高考导数大题汇编理科资料答案

一、解答题

1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'

112()e ln e e e .x

x x x a b b f x a x x x x

--=+

-+ 由题意可得'

(1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知12e ()e ln ,x x

f x x x -=+从而()1f x >等价于2

ln e .e

x x x x ->- 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，所以当1

(0,)e

x ∈时，'

()0g x <;

当1

(,)e

x ∈+∞时，'

()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e

+∞单调递增，从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11().e e

g =-. 设函数2

()e

h x x -=-，则'()e (1)x h x x -=-，所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >；当(1,)x ∈+∞时，'

()0h x <，故()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e

h =-

. 综上，当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >.

2. 解题指南（1）根据导数公式求出函数的导数，利用分类讨论思想求解；（2）根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点，代入函数中求解.

解析（1）2/

2(2)24(1)

()1(2)(1)(2)

a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ （*）当1a ≥时，/

()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．

当01a <<时，由/()0f x =

得1

x =，

（2x =-舍去）．

当1(0,)x x ∈时，/

()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，/

()0f x >．故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减，在区间1(,)x +∞上单调递增．综上所述，当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．

当01a <<时，()f x

在区间(0,

上单调递减，在区间)+∞上单调递增．由（*）式知，当1a ≥时，/

()0f x >，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，

必有01a <<．又()f x

的极值点只可能是1

x =

2x =-，且由定义可知，1

x a >-

且2x ≠-

，所以1a ->-

且2-≠-，解得1

a ≠- 此时，由（*）式易知，12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点，而 12()()f x f x +=12

121222ln(1)ln(1)22

x x ax ax x x +-++-++

21212121212124()ln[1()]2()4

x x x x a x x a x x x x x x ++=+++-

+++224(1)2

ln(21)ln(21)22121a a a a a -=--=-+---

令21a x -=，则01a <<且12a ≠-

知：当102

a <<时，10x -<<；当1

12a <<时，01x <<．记2

()ln 2g x x x

=+-，（Ⅰ）当10x -<

<时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以/22

2222

()0x g x x x x

-=-=< 因此，()g x 在区间(1,0)-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当1

a <<

时， 12()()0f x f x +<．

（Ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+

-，所以/22

2222

()0x g x x x x -=-=< 因此，()g x 在区间(0,1)上单调递减，从而()(1)0g x g >=，故当时1

a <<，12()()0f x f x +>．

综上所述，满足条件的a 的取值围为1(,1)2

．

3. (1)证明：因为对任意x ∈R ，都有()()e e e e ()x

x x x f x f x -----=+=+=，所以f (x )是R 上的偶函数．

(2)解：由条件知(e e

1)e 1x

x m --+-≤-在(0，+∞)上恒成立．

令t = e x (x >0)，则t >1，所以m ≤211

11111

t t t t t --

=--+-++-对于任意t >1成立．

因为11

112(1)11(1)t t t t -+

+≥-?+-- = 3，所以1113111

t t -

≥--++-，当且仅当t = 2，即x = ln2时等号成立．

因此实数m 的取值围是1,3?

?-∞- ??

?．

(3)解：令函数31()e (3)e x

x g x a x x =+--+，则2

1()e 3(1)e

x x

g x a x '=-+-．当x ≥1时，1

e 0e

x x -

>，x 2 – 1≥0，又a >0，故g ′(x )>0，所以g (x )是[1，+∞)上的单调增函数，因此g (x )在[1，+∞)上的最小值是1

(1)e e 2g a -=+-．

由于存在x 0∈[1，+∞)，使003

0e e (3)0x x a x x -+--+<成立，当且仅当最小值g (1)<0，故1

e+e 20a --<，即1

e e 2

a -+>．

令函数()(e 1)ln 1h x x x =---，则()1h x '=-

e 1

-，令h ′(x ) = 0，得e 1x =-．当(0,e 1)x ∈-时，h ′(x )<0，故h (x )是(0,e 1)-上的单调减函数．当x ∈(e – 1，+∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e – 1，+∞)上的单调增函数．所以h (x )在(0，+∞)上的最小值是(e 1)h -．注意到h (1) = h (e) = 0，所以当(1,e 1)x ∈-

(0,e 1)-时，(e 1)h -)≤h (x )

当(e 1,e)(e 1,)a ∈-?-+∞时，h (x )

①当a ∈1e e ,e 2-??

+ ???

(1，e)时，h (a )<0，即1(e 1)ln a a -<-，从而1

e 1e

a a --<；

②当a = e 时，1

e 1e

a a --<；

③当(e,)(e 1,)a ∈+∞?-+∞时，h (a )>h (e) = 0，即1(e 1)ln a a ->-，故1

e 1e a a -->．

综上所述，当a ∈1e e ,e 2-??

???

时，1e 1e a a --<，当a = e 时，1e 1e a a --=，当(e,)a ∈+∞ 时，1

e 1e a a -->．

4. 解题指南：（I ）利用'()f x 为偶函数和()y

f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -建立关于,a b 的

方程求解. （II ）利用基本不等式求解.(III)需对c 进行分类，讨论方程'()0f x =是否有实根，从而确定极值.

解析：（I ）对()f x 求导得'22()22x x f x ae be c -=+-，由()f x '为偶函数，知'()'()f x f x -=，即222()()0x x a b e e --+=，因220x x e e -+>，所以a b =. 又'(0)224f a b c c =+-=-，故1,1a b ==. （II ）当3c =时，22()3x x f x e e x -=--，那么

'2222()22322310,x x x x f x e e e e --=+-≥?=>

故()f x 在R 上为增函数.

(III)由（Ⅰ）知'22()22x x f x e e c -=+-，而222222224,x x x x e e e e --+≥?=当0x =时等号成立.

下面分三种情况进行讨论.

当4c <时，对任意22,()220x x x R f x e e c -'∈=+->，此时()f x 无极值；当4c =时，对任意220,()220x x x f x e e c -'≠=+->，此时()f x 无极值；

当4c >时，令2x

e t =，注意到方程2

20t c t

+-=有两根21,2160c c t ±-=

>，

即'()0f x =有两根112211

ln ln 22

x t x t =

=或. 当12x x x <<时，'()0f x <；又当2x x >时，'()0f x >，从而'()f x 在2x x =处取得极小值；综上，若'()f x 有极值，则c 取值围为()4,+∞.

5. 解题指南（1）先求导数，结合解不等式求解函数的单调区间；（2）利用单调性与导数的关系求解字母的取

值围.

解析⑴当4b =时,2

12()(44)x f x x x -=++,定义域为12

(,)-∞,

1221212()(24)(44)(2)x

f x x x x ---'=+?

+++??

?-=

令()0f x '=,解得12x =-,20x =. 当2x <-或12

0x <<

时,()0f x '<；当20x -<<时,()0f x '>.所以()f

x 在(,2)-∞-,1

(0,)上单调递减；

在(2,0)-上单调递增.所以当2x =-时,()f x 取得极小值(2)0f -=；当0x =时,()f x 取得极大值(0)4f =. ⑵因为()f x 在13

(0,)上单调递增,所以()0f x '≥,且不恒等于0对13

(0,)x ∈恒成立.

2211221212()(2)()(2)x

f x x b x bx b ---'=+?

+++??

?-=

,所以25320x bx x --+≥,

得min 253()x b -≤.因为1

2525133

-?->

=,所以19

b ≤,故b 的取值围为19

(,]-∞.

6. 解析：（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x x

x a e x ax e x a x a

f x e e +-+-+-+=

= 因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =.

当0a =时，()f x =

336,'(),x x x x x f x e e -+=故33

(1),'(1),f f e e

==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33

(1),y x e e

-=-化简得30.x ey -=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'().x

x a x a

f x e -+-+=

令2

()3(6),g x x a x a =-+-+

由()0g x =解得2212636636

,.a a a a x x --+-++=

= 当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；

当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数；当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；

由()f x 在[)3,+∞上为减函数，知226363,a a x -++=

≤解得9

a ≥- 故a 的取值围为9,.2??

+∞????

考点分类第四章考点一、导数的概念、运算及其几何意义；考点二、导数的应用；第九章考点一、不等关系与一元二次不等式

7. 解：（1）∵22'()2(1)(1)0x x x f x x x x =++=+≥e e e （仅当1x =-时取等号），

∴()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞．

（2）∵(0)10f a =-<，2

(ln )(ln )0f a a a =>，

∴()f x 在单调递增区间(,)-∞+∞上仅有一个零点．

（3）由题意知'()0P f x =，又仅'(1)0f -=，得1P x =-，2P y a =-e

，

由题意知'()OP f m k =，得22(1)m m a +=-e e

，

要证3

21m a ≤

--e

，即要证3

2(1)m a +≤-e ，

只需证32(1)(1)m

m m +≤+e ，即要证1m m +≤e ，① 设()1m

g m m =+-e ，则'()1m

g m =-e ，

又'()00g m m ?==，

∴()g m 在(,0)-∞上递增，在(0,)∞+上递减。 ∴()(0)0g m g ≤=，即不等式①成立，得证．

8. 解：对()f x 求导，得2

()(4)e x

f x x x '=+，

由()0f x '<，解得40x -<<，所以()f x 的单调递减区间为(4,0)-。

9. （1）解：由()f x =n

nx x -，可得()1

1()1n n f x n nx

n x --'=-=-，其中n *∈N ，且2n ≥.

下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时.

令()0f x '=，解得1x =，或1x =-.

当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以，()f x 在

(，上单调递减，在单调递增。

②当n 为偶数时.

当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减. 所以，()f x 在

(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.

（2）证明：设点P 的坐标为

()0,0x ，则011n x n

，2

0()f x n n '=-.曲线y =()f x 在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即00()()()g x f x x x '=-.令()()()F x f x g x =-，即00()()()()F x f x f x x x '=--，

则0()()()F x f x f x '''=-.

由于1

()n f x nx

n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减.又因为

0()0F x '=，所以当()00,x x ∈时，()0F x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在()

00,x 单调递增，在

()0,x +∞上单调递减，所以对于任意的正实数x ，都有0()()0F x F x ≤=，即对于任意的

正实数x ，都有()

f x ()

g x ≤.

（3）证明：不妨设12x x ≤.由（2）知()()()2

g x n n

x x =--.设方程()g x a =的根为2

x '，可得

202

x x n n

+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减. 又由（2）知()()()

222g x f x a g x '≥==，可得22x x '≤.

类似地，设曲线

()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当()0,x ∈+∞，

()()0n f x h x x -=-<，即对于任意的()0,x ∈+∞，()()f x h x <.

设方程()h

x a =的根为1x '，可得1a

x n

.因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且()

()()111h x a f x h x '==<，因此11x x '<.

由此可得212101a

x x x x x n

''-<-=+-. 因为2n ≥，所以()

112

111C 11n n n n n ---=+≥+=+-=，故01

2n x n

-≥=. 则当12x x ≤时，2121||x x x x -=-＜21a

+- 同理可证当1x ＞2x 时，结论也成立所以，2121a

x x n

-<+-.

10. 解：（Ⅰ）2121()(21)11ax ax a f x a x x x ++-'=+-=++，函数()f x 极值点的个数等价于()0f x '=，即2210ax ax a ++-=在(1,)x ∈-+∞上的变号根的个数.

令2

()21g x ax ax a =++-，

①0a =时，()10g x =≠，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增，无极值点；

②0a ≠时，令22

8(1)980a a a a a ?=--=-≤，解得809a <≤时，()f x 单调递增，无极值点；

③0a <时，0?>，抛物线()g x 的开口向下，对称轴为1

4x =-，(0)10,(1)10g a g =->-=>，

2210ax ax a ++-=在(1,)x ∈-+∞上有一个变号根，即()f x 有一个极值点；

④89

a >时，0?>，抛物线()g x 的开口向上，对称轴为14x =-，(1)10g -=>，2

210ax ax a ++-=在

1(1,)4

x ∈--与1

(,)4x ∈-+∞上各有一个变号根，即()f x 有两个极值点.

综上：0a <时，()f x 有一个极值点；809a ≤≤时，()f x 无极值点；8

a >时，()f x 有两个极值点.

（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，8

a ≤≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，所以0x ≥时，()(0)0f x f >=符

合题意； ②

0a <时，令[)1()ln(1),0,,()1011x

h x x x x h x x x -'=+-∈+∞=

-=<++，所以()h x 单调递减，()(0)0h x h ≤=，

所

以

ln(1)x x

+≤，因为

()

f x 在

0x ≥时先增后减，

222()ln(1)()()(1)f x x a x x x a x x ax a x =++-<+-=+-.

当x →+∞时，()f x →-∞,不满足，0,()0x f x ?>≥，舍去； ③

819a <≤时，由（Ⅰ）知，对称轴1

x =-,0?>，(0)10g a =-≥，所以()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，即0x ≥时，()(0)0f x f >=符合题意； ④1a >时，由（Ⅰ）知，对称轴1

x =-

,0?>，(0)10g a =-<，所以存在00x >,使0(0,)x x ∈()0g x <,即()0f x '<，()f x 单调递减，故0(0,)x x ∈0x ≥时，()(0)0f x f <=不符合0,()0x f x ?>≥，舍去.

综上：所求a 的取值围是[]0,1.

11. 解法一：（1）令()()ln(1),[0,)F x f x x x x x =-=+-∈+∞，则有1()111

F x x x -'=

++. 当(0,)x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在[0,)+∞上单调递减，

故当0x >时，()(0)0F x F <=，即当0x >时，()f x x <. （2）令()()()ln(1),[0,)G x f x g x x kx x =-=+-∈+∞，则有1(1)

()11

kx k G x k x x -+-'=-=

++, 当0k

≤时，()0G x '>，故()G x 在[0,)+∞单调递增, ()(0)0G x G >=，

故对任意正实数0x 均满足题意. 当01k <<时，令()0G x '=，得11

10k x k k

-==->，取01

1x k

-，对任意0(0,)x x ∈，有()0G x '>，从而()G x 在0[0,)x 单调递增，所以()(0)0G x G >=，即()()f x g x > 综上，当1k <时，总存在00x >，使得对任意0(0,)x x ∈，恒有()()f x g x >.

（3）当1k

>时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ?∈+∞>>，故()()g x f x >.

|()()|()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+.

令2

()ln(1),[0,)M x kx x x x =-+-∈+∞，

则有212(2)1()211

x k x k M x k x x x -+-+-'=--=++.

故当x ∈时，()0M x '>,

()M x

在上单调递增，

故()(0)0M x M >=，即2

|()()|f x g x x ->,所以满足题意的t 不存在

当1k

<时，由（2）知，存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()()f x g x >，

此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+-. 令2

()ln(1),[0,)N x x kx x x =+--∈+∞，

则有212(2)1()211

x k x k

N x k x x x --++-'=--=++，

当x ∈时，()0N x '>，

()N x

在上单调递增，

故()(0)0N x N >=，即2

()()f x g x x ->.

记0x

1x ，

则当1(0,)x x ∈时，恒有2

|()()|f x g x x ->. 故满足题意的t 不存在当1k

=时，由（1）知，当0x >时，|()()|()()ln(1)f x g x g x f x x x -=-=-+.

令2

()ln(1),[0,)H x x x x x =-+-∈+∞，则有212()1211x x H x x x x --'=--=++. 当0x >时，()0H x '<,

所以()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=. 故当0x >时，恒有2

|()()|f x g x x -<.

此时，任意正实数t 均满足题意. 综上，1k

解法二：（1）（2）同解法一. （3）当1k

>时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ?∈+∞>>，

故|()()|()()ln(1)(1)f x g x g x f x kx x kx x k x -=-=-+>-=-. 令2

(1)k x x ->，解得01x k <<-. 从而得到，当1k

>时，对于(0,1)x k ∈-，恒有2|()()|f x g x x ->.

故满足题意的t 不存在。当1k

<时，取11

k k +=

，从而11k k <<. 由（2）知，存在00x >，使得01(0,),()()x x f x k x kx g x ∈>>=，此时11|()()|()()()2

f x

g x f x g x k k x x --=->-=

，令212k x x ->，解得102k x -<<

，此时2

()()f x g x x ->. 记0x 与12

k -的较小者为1x ，当1(0,)x x ∈时，恒有2

|()()|f x g x x ->.

故满足题意的t 不存在.

当1k

=时，由（1）知，0,|()()|()()ln(1)x f x g x f x g x x x >-=-=-+，

令2

()ln(1),[0,)M x x x x x =-+-∈+∞，

则有212()1211

x x

M x x x x --'=--=++.