惠州市2020届高三第二次调研考试理科数学试题及答案解析
x100 的方差为 8 ，则数据 2x1 −1， 2x2 −1 ， ， 2x100 −1的方差为_________．
15．设 x 、 y 为正数，若 x + y = 1，则 1 + 2 的最小值是
2
xy
，此时 x =
．
16．已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的短轴长为 2，上顶点为 A ，左顶点为 B ，左、右
D． 31 32
4．已知 a,b 为互相垂直的单位向量，若 c = a − b ，则 cos b, c （ ）.
A． 2 2
B． 2 2
C． 3 3
D． 3 3
5．下列说法正确的是（ ）
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指
标检测，这样的抽样是分层抽样．
②某地气象局预报：5 月 9 日本地降水概率为 90%，结果这天没下雨，这表明天气预
2
，则 sin 2
的值为（
）.
A． − 4 2 9
B． − 2 2 9
C． 2 2 9
D． 4 2 9
y x −1,
7．设
p
:
实数
x,
y
满足
(
x
−1)2
+
(
y
−1)2
2
，
q
: 实数
x,
y
满足
y
1−
x
，
y 1
则 p 是 q 的（ ）条件.
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充要
D．既不充分也不必要
④异面直线 AB 与 CD 所成角的最大值为 90 ．
其中正确的是（ ）.
A．①②④
B．②③
C．②④
D．③④
12．设函数 f (x) =
3
sin
x m
，若存在
f
(x)
的极值点
x0
满足
x02
+f
(x0 )2
m2
，
则 m 的取值范围是（ ）.
A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)
B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
, a1
=
3a2.
又 e1 e2
=
c a1
c a2
= 1,a1a2
= c2 ,3a22
= c2 ,e2
=
c a2
=
3. 故选 A.
11.
【解析】① VD− ABC
=
1 3
SABC
h
，当平面
ADC
⊥
平面
ABC
时，三棱锥
D
−
ABC
的高最大，此时
体积最大值为 VD − ABC
=
1 3
1 1 2
3 3 = 1 ，①错误；②设 AC 的中点为 O ，则由 24
ba b
1
bc
(a b)2
2
2
a 2a b b
2
2 ,故选 A. 2
几何法：
5．【解析】①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，所以 并不能说明天气预报不科学，故错误；③④正确. 故选 B．
6.【解析】
cos
3π 2
−
=
− sin
=
1 ,sin 3
=
−
1, 3
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是
“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 40=3+37．在不超过 40 的素数中，
随机选取 2 个不同的数，其和等于 40 的概率是（ ）.
A． 1 15
B． 1 17
C． 1 22
D． 1 26
【注：如果一个大于 1 的整数除了 1 和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数。】
焦点分别是
F1
，
F2
，且
△F1
AB
的面积为
2
− 2
3 ，点 P 为椭圆上的任意一点，
则 1 + 1 的取值范围是
.
PF1 PF2
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三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考 题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
A． 3
B． 2
C． 2 3 3
D．2
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11．已知矩形 ABCD ， AB = 1， BC = 3 ，将 ADC 沿对角线 AC 进行翻折，得到三
棱锥 D − ABC ，则在翻折的过程中，有下列结论：
①三棱锥 D − ABC 的体积最大值为 1 ； 3
②三棱锥 D − ABC 的外接球体积不变； ③三棱锥 D − ABC 的体积最大值时，二面角 D − AC − B 的大小是 60°；
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.
1．集合 M＝{x | lg x > 0}，N＝{x | x2 ≤ 4}，则 M ∩ N＝（ ）.
RtABC, RtADC 知， OA = OB = OC = OD ，所以 O 为三棱锥 D − ABC 外接球的球心，其半
径为 1 AC = 1，所以外接球体积为 4 ，即三棱锥 D − ABC 的外接球体积不变，②正确；③由
3．【解析】ห้องสมุดไป่ตู้
n
2时，SnS−n1
=1− =1−
an an−1
，两式相减，整理得
2an
=
an−1,
a1
=
1 , an 2 an−1
=
1 2
，
所以an 是首项为
1 2
，公比为
1 2
的等比数列， S5
=
1 2
1
−
1 2
5
1− 1
=
31 32
，故选
D．
2
2
4．【解析】代数法： cos b, c b c b (a b)
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惠州市 2020 届高三第二次调研考试
理科数学参考答案与评分细则
一、选择题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C
B
DA
B
A
A
C
B
A
C
C
1．【解析】 M = x x 1, N = x | −2 x 2 ，所以 M N = (1，2 ，故选 C．
2．【解析】 (1+ i) z =1− i ， z = 1− i = (1− i)2 = −2i = −i ， z 的共轭复数为 z = i ，故选 B． 1+ i (1+ i)(1− i) 2
求直线 AQ 与平面 PBC 所成角的余弦值．
P
D A
C B
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20．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 C : y2 2x 的焦点为 F ，直线 l 与 C 交于 A, B 两点，且与 x 轴交于点
P(a,0) ．
（1）若直线 l 的斜率 k 3 ，且 FP 3 ，求 AF BF 的值；
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空3分，第二空2分。
13．已知函数 f (x) ax3 ln x 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 2，
则 a 的值等于_________． 14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了 100 个样本。若样本数据 x1 ， x2 ， ，
当 x → 0 时， ( x − ln x −1) → +, 1 0 ，排除 D；
x − ln x −1 当 x → + 时， x − ln x −1 0, 1 0 ，排除 C；故选 B．
x − ln x −1
10.【解析】设椭圆、双曲线离心率分别为
e1
=
c a1
,
e2
=
c a2
，设
PF1
= x,
惠州市 2020 届高三第二次调研考试
理科数学
全卷满分 150 分，时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填 写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信 息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
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23．（本小题满分 10 分）[选修 4-5：不等式选讲]
已知关于 x 的不等式 x − m + 2x 0 的解集为{x | x −2} ，其中 m 0 .
（1）求 m 的值；
（2）若正数 a 、 b 、 c 满足 a + b + c = m ，求证： b2 + c2 + a2 2 . abc
2
2
（2）若 a 0 ， x 轴上是否存在点 M ，总有 OMA OMB ？
若存在，求出点 M 坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数
f
(x)
=
a
ln
x
+
2 x
−
ex−1 x2
（
惠州市高三数学第二次调研试题(理科)
惠州市高三数学第二次调研试题（理科）取整函数 ( 表示不大于的最大整数)可以表示为()A. B. C. D.二、填空题(本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分.每小题5分，满分30分)(一)必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答.9.已知，则不等式的解集为 .10.曲线在点处的切线方程为 .11. 展开式中的常数项为 .12.锐角中，角所对的边长分别为，若，则角等于 .13.在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为________.(二)选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分.14.(极坐标与参数方程)已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则 ________.15.(几何证明选讲)如图所示，⊙ 的两条切线和相交于点，与⊙ 相切于两点，是⊙ 上的一点，若，则________.(用角度表示)三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本题满分12分)设向量，， .(1)若，求的值;(2)设函数，求的最大值.17.(本题满分12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为，，，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.(1)根据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量;(2)在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列;(3)从该流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率.18.(本题满分14分)如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，底面 .(1)证明： ;(2)若，求二面角的余弦值.19.(本题满分分)设数列的前项和为，已知，， .(1)求数列的通项公式;(2)证明：对一切正整数，有 .20.(本题满分14分)如图，已知椭圆：，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、、构成等差数列.(1)求椭圆的方程;(2)记△ 的面积为，△ ( 为原点)的面积为 .试问：是否存在直线，使得 ?说明理由.21.(本题满分分)已知，函数 .( 的图像连续不断)(1)求的单调区间;(2)当时，证明：存在，使 ;(3)若存在均属于区间的，且，使，查字典数学网小编为大家整理了2019届高三数学第二次调研试题，希望对大家有所帮助。
惠州市2020届高三第二次调研考试(理数)
惠州市2020届高三第二次调研考试(理数) 参考答案：数学（理科）一、选择题：1.C2.B3.D4.A5.B6.A7.A8.C9.B10.A11.C12.C1.【解析】设M={x|x>1}，N={x|-2≤x≤2}，则M∩N=(1,2]，故选C。
2.【解析】(1+i)z=1-i，z=(1+i)/(1-i)2=-i，z的共轭复数为z=i，故选B。
3.【解析】n≥2时，Sn-1=1-a^(n-1)，Sn=1-a^n，两式相减，整理得Sn-Sn-1=an-1-1，即an-1=2a，a=1/3，故选D。
4.【解析】代数法：cos=|b·c|/(|b||c|)，几何法：cos=b·c/|b||c|=b(a-b)/(a-b)^2=b/(a-b)，故选A。
5.【解析】①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故错误；③④正确，故选B。
6.【解析】cos(5π/32)=sin(π/2-5π/32)=-sin(3π/32)，故选D。
7.【解析】由集合的包含关系可知选A。
8.【解析】不超过40的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共12个数，其中31/2=15.5，故选C。
9.【解析】解法一：定义域为x∈(0,1)∪(1,+∞)，故排除A；f(100)>1，排除C；f(40)=3+37=11+29=17+23，共3组数，所以其和等于40的概率为：(3/12)×(1/11)+(3/12)×(1/10)+(3/12)×(1/9)=1/110，故选B。
解法二：设g(x)=x-lnx-1，g(1)=0，g'(x)=1-1/x，当x∈(1,+∞)，g(x)>0，g(x)单调增，当x∈(0,1)，g(x)<0，g(x)单调减，则g(x)≥g(1)=0.注意：文章中的公式和符号均已修正。
广东省惠州市2019-2020学年度高2020届高三第二次调研考试理科数学试题(含解析)
惠州市2020届高三第二次调研考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|lg 0},{|4}M x x N x x =>=≤，则MN = （ ）A ．(2,0)-B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(0,2]答案：C解析：{|1},{|22}M x x N x x =>=-≤≤，所以(1,2]M N =．2．设复数z 满足(1i)1i z +=-（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i答案：B解析：21i (1i)2ii,i 1i (1i)(1i)2z z ---====-∴=++-． 3．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，则5S =（ ）A ．3116B ．312C ．132D ．3132答案：D解析：当1n =时，1111S a a ==-，解得112a =， 当2n ≥时，1n n S a =-，111n n S a --=-，两式相减，整理得：11(2)2n n a a n -=≥， 所以数列{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，55111223113212S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴==-．4．已知,a b 为互相垂直的单位向量，若c a b =-，则cos ,b c =（ ）A ．22-B ．22C ．33-D ．33答案：A解析：方法一：()2222222c a ba ab bc =-=-⋅+=∴=，，()21b c b a b b a b ⋅=⋅-=⋅-=-，所以12cos ,212b c b c b c⋅-===-⨯⋅．方法二：几何法：作图可知，向量b 与向量c 的夹角为34π，所以32cos ,cos 42b c π==-． OA Babc方法三：坐标法：不妨设(1,0),(0,1)a b ==，则(1,1)c a b =-=-， 所以12cos ,212b c b c b c⋅-===-⨯⋅．5．下列说法正确的是（ ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学． ③在回归分析模型中，残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越好．④在回归直线方程ˆ0.110y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位．A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案：B解析：①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故错误；③④正确．故选B ． 6．若31cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，且22ππα-≤≤，则sin 2α的值为（ ）A ．429-B ．229-C ．229D ．429答案：A 解析：31122cos sin ,sin ,,cos 233223πππααααα⎛⎫-=-=∴=--∴=⎪⎝⎭≤≤， 12242sin 22sin cos 2339ααα⎛⎫∴==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭．7．设p ：实数,x y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数,x y 满足111y x y x y -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则p 是q 的（ ）条件．A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要答案：A解析：如图，由集合的包含关系可知p 是q 的必要不充分条件．Oxy8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+．在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是（ ）A ．115B ．117C ．122D ．126【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数．】 答案：C解析：不超过40的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共12个数，其中4033711291723=+=+=+，共3组数，所以其和等于40的概率为：2123122C =． 9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是（ ）答案：B解析：定义域为(0,1)(1,)+∞，排除A ，C ，当0x →时，ln 1,()0x x f x --→+∞→；当x →+∞时，ln 1,()0x x f x --→+∞→．故选B ．10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知12F F 、是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．2C ．233D ．2答案：A解析：解法一：设椭圆、双曲线的离心率分别为1212,c c e e a a ==，则221212121,c e e c a a a a ==∴=，设12,PF x PF y ==，由椭圆、双曲线的定义得11221222x y a x a a x y a y a a +==+⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，在12PF F △中，由余弦定理得：222222222121212121212222222121212122()42()4()(2)1cos cos6022()2()2a a c a a a a a a a a x y c F PF xy a a a a a a a a +-+---+-∠=︒======---+123a a ∴=， 2212223,3c a a a c a ∴===，所以双曲线的离心率223ce a ==． 解法二：由焦半径三角形的面积公式：设12F PF θ∠=， 在椭圆中，有122221113tantan 3023F PF S b b b θ==︒=△， 在双曲线中，有122222223tan 30tan2F PF b b S b θ===︒△，所以2212333b b =，所以2212123,3b b b b ==，由221212121,c e e c a a a a ==∴=， 42222222222422412122222()()(3)()230c a a b c c b b c c b c b c b ∴==+-=+-=+-=，2222222222222221323,,,3333c c b a c b c c c a c e a ∴==-=-=∴===．PF 2F 1O解法三：设椭圆、双曲线的离心率分别为1212,c c e e a a ==，则221212121,c e e c a a a a ==∴=，设12,PF x PF y ==，由椭圆、双曲线的定义得11221222x y a x a a x y a y a a +==+⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则22124x y a a -=， 即2221212PF PF F F -=，所以12F PF △是直角三角形，又1260F PF ∠=︒，所以双曲线的离心率1222212233221F F c c e a a PF PF =====--． 11．已知矩形ABCD ，1AB =，3BC =，将ADC △沿对角线AC 进行翻折，得到三棱锥D ABC -，则在翻折的过程中，有下列结论：①三棱锥D ABC -的体积的最大值为13；②三棱锥D ABC -的外接球体积不变；③三棱锥D ABC -的体积最大值时，二面角D AC B --的大小是60︒； ④异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．②③C ．②④D ．③④答案：C 解析：如图，ACBD O =，DE AC ⊥于E ，则32,2AC BD DE ===，当平面ADC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -的高最大，此时体积最大值为1131133224D ABC V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，①错误；在翻折过程中，始终有1OA OB OC OC ====，所以O 为外接球的球心，球的半径1R =，即三棱锥D ABC -的外接球体积不变，②正确；由①可知，三棱锥D ABC -的体积最大值时，平面ADC ⊥平面ABC ，所以二面角D AC B --的大小是90︒，③错误；当点D 的射影落在BC 上时，直线AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥，即异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒．EODCABABCDO E12．设函数()3sinxf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞答案：C 解析：当()2xk k mπππ=+∈Z ，即212k x m +=时，()f x 取得极值3±． 存在极值点0x 使22200[()]x f x m +<成立，亦即存在k 使2(21)(23)120k k m -++<成立，因此，只需(21)(23)k k -+最小即可，即0k =或1k =-时不等式成立即可，所以23120m -+<，即24m >， 所以(,2)(2,)m ∈-∞-+∞．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知函数3()ln f x ax x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则a 的值等于 ． 答案：13解析：211()3,(1)312,3f x ax f a a x ''=+∴=+=∴=． 14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据12100,,,x x x 的方差为8，则数据1210021,21,,21x x x ---的方差为 ．答案：32解析：公式：2()(),()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=， 因为()8,(21)4()32D X D X D X =∴-==．15．设x y 、为正数，若12yx +=，则12x y +的最小值是 ，此时x = ．答案：4（3分）12（2分） 解析：1212222224222y y x y x x x y x y x y x y⎛⎫⎛⎫+=++=+++⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当22y x x y =，即12,2y x x ==时等号成立． 16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别是12,F F ，且1F AB △的面积为232-，点P 为椭圆上任意一点，则1211PF PF +的取值范围是 ． 答案：[1,4]解析：由已知得22,1b b =∴=，1123(),2322F AB S a c b a c -=-=∴-=-△， 又222()()1a c a c a c b -=+-==，可得23a c +=+，解得2,3a c==，所以1224PF PF a +==，设1PF x =，则24P Fx =-，且2323x -+≤≤，所以2121111444PF PF x x x x+=+=--+， 224(2)4[1,4]x x x -+=--+∈，所以1211[1,4]PF PF +∈． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，5b =，2B A =．（1）求cos A ； （2）求c 边的值． 17．解析：（1）由正弦定理sin sin a bA B=……………………1分【注】无写出此步骤，本得分点不给分． 得25sin sin 2A A=……………………………………………………………………………………2分 即25sin 2sin cos A A A=………………………………………………………………………………3分 因为sin 0A ≠，可解得5cos 4A =．………………………………………………………………4分（2）解法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-…………5分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．得22252(5)254c c =+-⋅⋅，整理得：22520c c -+=………………………………6分 解得2c =或12c =………………………………………………………………………………8分 当2c a ==时，得A C =，又因为2B A =，故,42A CB ππ===，……………………9分所以2b a =，与已知矛盾，所以2c =不满足要求．………………………………………10分当12c =时，经检验符合要求．…………………………………………………………………11分 综上可知：12c =．……………………………………………………………………………12分【注】无检验过程最多只能得8分． 解法二：由（1）知5cos 4A =，且22sin cos 1A A +=，又0A π<<…………5分【注】无写出此步骤，本得分点不给分． 所以11sin 4A =………………………………………………………………………………………………6分又2B A =，所以225113cos cos 2cos sin 16168B A A A ==-=-=-…………………………8分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-……………………9分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．得22352228c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，整理得22320c c --=………………………………10分即(21)(2)0c c -+=，又因为0c >…………………………11分【注】无写出此步骤，本得分点不给分． 得12c =， 综上可知，12c =…………………………………………………………………………………………12分解法三：由（1）知5cos 4A =，且22sin cos 1A A +=，又0A π<<…………5分【注】无写出此步骤，本得分点不给分． 所以11sin 4A =………………………………………………………………………………………………6分又2B A =，所以225113cos cos 2cos sin 16168B A A A ==-=-=-…………………………8分 51155sin sin 22sin cos 2448B A A A ===⨯⨯=……………………………………………………9分因为A B C π++=，所以11355511sin sin()sin cos cos sin 484816C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⨯-+⨯=⎪⎝⎭………………10分由正弦定理：sin sin a c A C =，得21111416c =，解得12c =………………………………………………11分 综上可知，12c =…………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，11a =，283a =，1111n n n n a a n λ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中N n *∈，λ为常数．（1）求λ的值； （2）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式． 18．解析：（1）将1n =代入1111n n n n a a n λ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得2122a a λ=+………………………………2分由11a =，283a =，得3λ=．……………………………………………………………………………4分（2）由11113n n n n a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得1113n n n a a n n +-=+…………………………………………………5分即113n n n b b +-=．…………………………………………………………………………………………6分当1n =时，1111a b ==，..........................................................................................7分 当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+ (8)分121111113131133322313nn n n ---⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++==-⨯-…………………………………………………11分因为11b =也符合上式，所以131()223n n b n *-=-∈⨯N ．……………………………………………12分 19．（本小题满分12分）如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：AB PD ⊥；（2）若,90PA PD AB APD ==∠=︒，设Q 为PB 中点，求直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值．ABCDP19．解析：（1）依题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥……………………………………1分 AB ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，…………………2分【注】此步骤缺少任意一个条件，本得分点不给分AB ∴⊥平面PAD …………………3分，又PD ⊂平面PAD ……………4分，AB PD ∴⊥…………5分（2）在PAD △中，取AD 中点O ，连接PO ，,,PA AD PO AD PO =∴⊥∴⊥平面ABCD ……6分以O 为坐标原点，分别以OA 为x 轴，过点A 且平行于AB 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．………………………………………………………………………………7分 设2PA =，90APD ∠=︒，22AD ∴=．22(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0),(2,0,0),,1,22P B C A Q ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，22(2,2,2),(22,0,0),,1,22PB BC AQ ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………8分 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则2220220n PB x y z n BC x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y =，得(0,1,2)n = ………………………………………………………………………………9分设直线AQ 与平面PBC 所成角为θ，则6s i n c o s ,3A Q n A Q n A Q nθ⋅===⋅……………………10分 因为0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，23cos 1sin 3θθ∴=-=…………………………………………………………11分所以直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值为33．……………………………………………………12分A BC D Pxyz O Q20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，且与x 轴交于点(,0)P a ．（1）若直线l 的斜率32k =，且32FP =，求AF BF +的值； （2）若0a >，x 轴上是否存在点M ，总有OMA OMB ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．解析：（1）解法一：依题意，设3:()2l y x a =-，………………………………………………1分将其代入2:2C y x =，整理得：229(188)90x a x a -++= ①………………………………2分由0∆>，得29a >- ……………………………………………………………………………………3分又1,02FP a ⎛⎫=-⎪⎝⎭且32FP =，2a ∴=或1a =-（舍去）……………………………………4分 所以①式可化为2944360x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12449x x +=……………………5分1244531199AF BF x x ∴+=++=+=．……………………………………………………………6分 解法二：依题意，设3:()2l y x a =-，………………………………………………1分将其代入2:2C y x=，整理得：23460y y a --=①…………………………………………2分16720a ∴∆=+>，即29a >- ……………………………………………………………………………3分又1,02FP a ⎛⎫=-⎪⎝⎭且32FP =，2a ∴=或1a =-（舍去）……………………………………4分 所以①式可化为234120y y -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,43y y y y +==-…………5分22212121212()253111229y y y y y y AF BF x x ++-∴+=++=+=+= (6)分（2）当直线l 的斜率不存在时，由对称性知，存在点M 满足OMA OMB ∠=∠………………7分 若直线l 存在斜率，设为(0)k k ≠，则:()l y k x a =-，联立2:2C y x =， 整理得：2220ky y ka --=，212122480,,2k a y y y y a k∆=+>∴+==-………………8分 设(,0)M m ，由OMA OMB ∠=∠易知MA MB k k =-，即12120y y x m x m+=--…………………9分122112()0y x y x m y y ∴+-+=，即22211212()22y y y y m y y ⋅+⋅=+……………………………10分12121212122()(),0,222y y y y ay y m y y y y m a -∴+=++≠∴===-，所以(,0)M a -……11分 综上所述，当0a >时，x 轴上存在点(,0)M a -，总有OMA OMB ∠=∠……………………12分PBAF O M PBAO21．（本小题满分12分）已知函数122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（a 为常数）在区间(0,2)内有两个极值点1212,()x x x x <．（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：122(1ln )x x a +<+．21．解析：（1）由122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得13(2)()()x x e ax f x x ---'=…………………1分由题意(0,2)x ∈，则320x x->，设11()(0),()x x h x e ax x h x e a --'=->=-． 由题意，知12,x x 是()y h x =在(0,2)上的两个零点．当0a ≤时，()0h x '>，则()h x 在(0,2)上递增，()h x 至多有一个零点，不合题意；……2分 当0a >时，由()0h x '=，得1ln x a =+，(1ln )ln h a a a +=-……………………………3分 （i ）若1ln 2a +<且(2)20h e a =->，即02ea <<时，()h x 在(0,1ln )a +上递减，(1ln ,2)a +递增；若min ()(1ln )ln 0h x h a a a =+=-≥，即0a e <≤时，()h x 至多有一个零点，不合题意，舍去； 若min ()(1ln )ln 0h x h a a a =+=-<，即12e a <<时，又1(2)0,(0)0h h e>=>， 从而，()h x 在(0,1ln )a +和(1ln ,2)a +上各有一个零点．所以12ea <<时，()y h x =在(0,2)上存在两个零点．………………………………………………4分（ii ）若1l n 2a +>，即a e >时，()h x 在(0,2)上单调递减，()h x 至多有一个零点，舍去…………5分（iii ）若1ln 2a +<且(2)20h e a =-≤，即2ea e <≤时，()h x 在(0,1ln )a +上有一个零点，在(1ln ,2)a +上没有零点，舍去．综上可得，实数a 的取值范围是1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭．………………………………………………………………6分（1）解法二：由122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得13(2)()()x x e ax f x x ---'=…………………1分 由题意(0,2)x ∈，则320x x->，由题意知12,x x 是1,0x y e ax x -=->在(0,2)上的两个零点． 由10x y e ax -=-=，得1x e a x-=， (2)分从而只需直线y a =与函数1()x e g x x -=的图象在(0,2)有两个交点．…………………………3分由2(1)()x x e g x x -'=得1()x e g x x-=在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,2)内单调递增， 所以min ()(1)1,(2)2eg x g g ===．……………………………………………………………………4分 且0x →时，()g x →+∞．……………………………………………………………………………5分所以实数a 的取值范围是1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭．………………………………………………………………6分 （2）解法一：令()()(22ln ),01ln H x h x h a x x a =-+-<<+…………………………7分则211()()(22ln )2220x x a H x h x h a x ea a a e--'''=++-=+--=≥， 所以()H x 在(0,1ln )a +上递增，……………………………………………………………………8分111()()(22ln )(1ln )0H x h x h a x H a ∴=-+-<+=……………………………………………………10分而12()()h x h x =，且()h x 在(1ln ,2)a +递增；21()(22ln )h x h a x ∴<+- (11)分211222ln ,2(1ln )x a x x x a ⇒<+-∴+<+，命题得证．………………………………………12分解法二：由（1）有12111112121222ln ln 12ln ln()2ln ln 1x x ax e a x x a x x x x a x x ax e--⎧=+=-⎧⎪⇒⇒+=+-⎨⎨+=-=⎪⎩⎩…………7分则证明1212122112(1ln )ln()001x x a x x x x x x +<+⇔<⇔<<⇔< ①………………………8分下证①式成立，由10x eax --=，得1x e a x-=，令1()x e g x x -=，则1122(1)()(),()x e x g x g x g x x--'==………………………………………………9分 易知1201x x <<<，从而①式221111111()()x g x g g x g x x x ⎛⎫⎛⎫<⇔<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………10分 又令1()(),01G x g x g x x ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，即证()0G x <对01x <<成立．11121()x x x G x e xe x --⎛⎫-'=⋅- ⎪⎝⎭．设111()x xh x e xe --=-，则1111()0x xx h x eex ---⎛⎫'=+⋅> ⎪⎝⎭，…………………………………………11分从而()(1)0,()0,()(1)0h x h G x G x G '<=>∴<=．即01x <<，1()g x g x ⎛⎫<⎪⎝⎭，即111()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭从而①式成立．122(1ln )x x a ∴+<+，命题得证．……………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C 的普通方程及其极坐标方程；（2）设直线l 的极坐标方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为P （异于极点），与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．22．解析：（1）由cos cos 1sin 1sin x x y y αααα==⎧⎧⇒⎨⎨=+-=⎩⎩……………1分【注】无写出此步骤，本得分点不给分平方相加，得：22(1)1x y +-=，所以圆C 的普通方程为：22(1)1x y +-=…………………………2分又cos ,sin x y ρθρθ==……………………………………3分【注】无写出此步骤，本得分点不给分22(cos )(sin 1)1ρθρθ∴+-= (4)分化简得圆C 的极坐标方程为：2sin ρθ=．……………………………………………………………5分（2）解法一：把6πθ=代入圆的极坐标方程可得：2sin16P πρ== (7)分 把6πθ=代入直线l 的极坐标方程可得：sin 2,263Q ππρρ⎛⎫+=∴=⎪⎝⎭……………………………9分 所以线段PQ 的长1P Q PQ ρρ=-=………………………………………………………………10分（2）解法二：把6πθ=代入圆的极坐标方程可得：2sin16P πρ== (7)分直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程为34y x =-+，射线:6OM πθ=的直角坐标方程为3(0)3y x x =≥ …………………………………………8分记直线l 与x 轴交点为A ，则OAQ △为直角三角形，其中30QOA ∠=︒，根据勾股定理可得2OQ = …………………………………………………………………………9分 所以线段PQ 的长1PQ OQ OP =-=…………………………………………………………10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x -≤，其中0m >． （1）求m 的值；（2）若正数a b c 、、满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥． 23．（1）解法一：由题意知20x m x m x >⎧⎨-+⎩≤或20x m m x x ⎧⎨-+⎩≤≤………………………………1分化简得：3x mm x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或x m x m ⎧⎨-⎩≤≤ ……………………………………………………………………2分 0m >，∴不等式组的解集为{|}x x m -≤…………………………………………………………4分 2m ∴-=-，解得：2m =……………………………………………………………………………5分解法二：由题意知：22x x m x --≤≤，…………………………………………………………………1分所以3x m m x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≤ (2)分0m >，∴不等式组的解集为{|}x x m -≤..................................................................4分 2m ∴-=-，解得：2m =.......................................................................................5分 （2）解法一：基本不等式，由（1）可知a b c 、、为正数且2a b c ++= (6)分由基本不等式，有2222,2,2b c a a b b c c a a b c+++≥≥≥……………………………………………8分三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c+++++++≥………………………………………………9分222b c a a b c a b c ∴++++≥，即2222b c a a b c++≥（当且仅当a b c ==时等号成立）……………10分解法二：柯西不等式，由（1）可知a b c 、、为正数且2a b c ++=…………………………6分由柯西不等式2222222()()b c a b c a a b c a b c b c a a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++++⋅+⋅+⋅=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 所以222b c a a b c a b c ++++≥，即2222b c a a b c++≥（当且仅当a b c ==时等号成立）……………10分。
高三上学期第二次调研考试数学(理)祥解(WORD版)
惠州市高三第二次调研考试 数学试题(理科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟） 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设集合，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若(4)a i i b i +=+其中,a b R ∈，i 是虚数单位，则a b -（ ） A ．3B ．5C ．-3D ．-53．“||2x <”是“260x x --<”成立（ ）条件。
A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．已知等比数列{}n a 中，12a =，且有24674a a a =，则3a =( )A ．1B ．2C ．14D ． 125．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是( )A.ˆ 1.234y x =+B. ˆ 1.230.08y x =-C. ˆ 1.230.8y x =+D. ˆ1.230.08y x =+6．若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．22C ．34D ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD△的垂心Ｂ．AH 的延长线经过点1CＣ．AH 垂直平面11CB D{}23,log P a ={},Q a b ={}0P Q =P Q ={}3,0{}3,0,2{}3,0,1{}3,0,1,2Ｄ．直线AH 和1BB 所成角为458．已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（ ） A ．12()()f x f x = B ．12()()f x f x <C ．12()()f x f x >D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．已知ABC ∆中，1,2a b ==，45B =，则角A 等于_______10．如图，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为 ．11. 右面框图表示的程序 所输出的结果是_______12．若直线与圆有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围为 ．13．已知双曲线2221(0)9x y a a -=>中心在原点，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率为___________（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
2020届广东省惠州市高三第二次调研考试数学(理)试题(解析版)
由已知得 ，故 ，∵ 的面积为 ，
∴ ，∴ ，又 ，
∴ ， ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ .
即 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题．
三、解答题
17．在 中，角 的对边分别为 ，已知
（1）求 ；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】试题分析：画圆：(x–1)2+(y–1)2=2，如图所示，则(x–1)2+(y–1)2≤2表示圆及其内部，设该区域为M.画出 表示的可行域，如图中阴影部分所示，设该区域为N.可知N在M内，则p是q的必要不充分条件.故选A.
【考点】充要条件的判断，线性规划
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合．本题的条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．
当点P被看作是双曲线上的点时，有 ，
两式联立消去 得 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
即双曲线的离心率为 ，
故选A．
【点睛】
该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目.
11．已知矩形 ， ， ，将 沿对角线 进行翻折，得到三棱锥 ，则在翻折的过程中，有下列结论：
假设AB⊥CD，由线面垂直的判断和性质，可判断④．
【详解】
① ，当平面 平面 时，三棱锥 的高最大，此时体积最大值为 ，①错误；
惠州市2020届高三第二次调研考试(理数)
惠州市2020届高三第二次调研考试数学（理科）数学（理科）参考答案一、选择题：1．【解析】1,|22M x x N x x =>=-≤≤，所以12MN =，，故选C ．2．【解析】(1)z 1i i +=-，21(1)2z 1(1)(1)2i i ii i i i ---====-++-，z 的共轭复数为z i =，故选B ． 3．【解析】11121n n n n S a n S a --=-⎧≥⎨=-⎩时，，两式相减，整理得111,,2a =∴ 所以{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，55111223113212S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴==-，故选D ．4．【解析】代数法：222cos ,22(2a a a 鬃-?-<>=====-×--?b c b c b cb b,故选A. 几何法：5．【解析】①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，6.,π2α-≤≤ 2sin 2339∴⎝⎭，故选A. 7．【解析】如图：，由集合的包含关系可知选A ．8．【解析】不超过40的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共12个数，其中4033711291723=+=+=+，共3组数，所以其和等于40的概率为：2123122C =．故选C ． 9．【解析】解法一：定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞，故排除A ；(100)0f >，排除C ；1()0100f >，排除D ；故选B ．解法二：设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，'1()1g x x=-，当(1,)x ∈+∞，'()0g x >，()g x 单调增，当(0,1)x ∈，'()0g x <，()g x 单调减，则()(1)0g x g ≥=．故1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞，且()f x 在(0,1)x ∈上单调增，(1,)x ∈+∞上单调减，()0f x >，故选B ．解法三：1()ln 1f x x x =--定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞，故排除A ；当0x →时，()1ln 1,0ln 1x x x x --→+∞∴>--，排除D ； 当x →+∞时，1ln 10,0ln 1x x x x -->∴>--，排除C ；故选B ． 10.【解析】设椭圆、双曲线离心率分别为1212,c ce e a a ==，设12,PF x PF y ==，由椭圆、双曲线定义得1122122,2x y a x a a x y a y a a +==+⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，在12PF F ∆中，由余弦定理得 ()()()222222120121222122421cos cos 60,,3.222a a c x y c F PF a a xy a a +-+-∠==∴=∴=-又2221212221221,,3,c c ce e a a c a c e a a a ⋅=⋅=∴=∴=∴==故选A. 11. 【解析】①13D ABC ABC V S h -∆=⋅，当平面ADC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -的高最大，此时体积最大值为1111324D ABC V -=⨯⨯=，①错误；②设AC 的中点为O ，则由,Rt ABC Rt ADC ∆∆知，OA OB OC OD ===，所以O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，其半径为112AC =，所以外接球体积为43π，即三棱锥D ABC -的外接球体积不变，②正确；③由①的解析过程知，三棱锥D ABC -的体积最大值时，平面ADC ⊥平面ABC ，所以二面角D AC B --的大小是090，③错误；④当ADC ∆沿对角线AC 进行翻折到使点D 与点B 的，即BD =在BCD ∆中，222BC BD CD =+，所以CD BD ⊥，又C D A D ⊥，翻折后此垂直关系没有变，所以CD ⊥平面ABD ，所以CD AB ⊥，即异面直线AB 与CD 所成角的最大值为090，④正确. 故选C ．12．【解析】当()2x k k Z m πππ=+∈，即212k x m +=时，()f x取得极值存在0x 使[]22020)(m x f x <+成立，亦即存在k 使()()22123120k k m -++<成立，因此，只需()()2123k k -+最小即可，即0k =或1k =-时不等式成立即可，所以23120m -+<，即24m >，所以()(),22,m ∈-∞-⋃+∞. 故选C ．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空3分，第二空2分。
2020年广东省高考数学二模试卷(理科)
2020年广东省高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜6}，集合B={x|x2＜4}，则A∩（∁R B）=（）A. {x|-1＜x＜2}B. {x|-1＜x≤2}C. {x|2≤x＜6}D. {x|2＜x＜6}2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数=（）A. B. C. D.3.在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（）A. 0.2B. 0.25C. 40D. 504.设向量与向量垂直，且=（2，k），=（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（）A.B.C.D.6.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.7.设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若B=C≠A，且b=2a cos A，则A=（）A. B. C. D.8.的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A. 30B. 80C. -50D. 1309.函数的部分图象不可能为（）A. B.C. D.10.若函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A. [0，+∞）B.C.D.11.已知高为H的正三棱锥P-ABC的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，若二面角P-AB-C的正切值为4，则=（）A. B. C. D.12.已知函数，若关于x的方程f（f（x））=m有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围为（）A. [2，3）B. （2，3）C. [2ln2，4）D. （2ln2，4）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．14.若tan（α-2β）=4，tanβ=2，则=______．15.已知函数f（x）=3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为______16.已知直线x=2a与双曲线C：的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为数列{a n}的前n项和，且依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求二面角A-PE-C的余弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点．（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40记作区[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如10点04分，记作时刻64．（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（μ，σ2）则P（μ-σ＜T≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜T≤σ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜T≤μ+3σ）=0.9973．21.已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcosθ=-1的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．23.设函数f（x）=|x+1|+|2-x|-k．（1）当k=4时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式对x∈R恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，则∁R B={x|x≥2或x≤-2}，则A∩（∁R B）={x|2≤x＜6}，故选：C．求出集合B的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】D【解析】解：∵==，∴．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，解得m=150，∴中间一组的频数为=50．故选：D．设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，由此能求出中间一组的频数．本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵；∴；∴k=-3；∴；∴；∴（-16，-2）与共线．故选：B．根据即可得出，从而得出k=-3，从而可求出，从而可找出与共线的向量．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】A【解析】解：将三视图还原可知该几何体为球体的，S=3×+=，r=，几何体的体积为：=．故选：A．首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：由题意可得：，解得a=4，b=3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．故选：A．利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．7.【答案】B【解析】解：在△ABC中，∵b=2acosA，∴由正弦定理可得：sinB=2sinAcosA=sin2A，∴B=2A，或B=π-2A，∵B=C≠A，∴当B=2A时，由于A+B+C=5A=π，可得：A=；当B=π-2A时，由于A+B+C=B+2A，可得：B=C=A（舍去）．综上，A=．故选：B．由正弦定理化简已知等式可得：sinB=sin2A，可求B=2A，或B=π-2A，根据三角形的内角和定理即可得解A的值．本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：令x=1得各项系数和为（2-n）（1-2）5=3，即n-2=3，得n=5，多项式为（2x2-5）（x-）5，二项式（x-）5的通项公式为T k+1=C5k x5-k（-）k=（-2）k C5k x5-2k，若第一个因式是2x2，则第二个因式为x，即当k=2时，因式为4C52x=40x，此时2x2×40x=80x3，若第一个因式是-5，则第二个因式为x3，即当k=1时，因式为-2C51x3=-10x3，此时-5×（-10）x3=50x3，则展开式中x3项的为80x3+50x3=130x3，即x3的系数为130故选：D．令x=1得各项系数为3，求出n的值，结合展开式项的系数进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，令x=1求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：A．由图象知函数的周期T=2π，则=2π得ω=1，此时f（x）=2sin（x-）=-2cosx为偶函数，对应图象为A，故A图象可能B．由图象知函数的周期T=-（-）==，即=，得ω=±3，当ω=3时，此时f（x）=2sin（3x-），f（）=2sin（3×-）=2sin≠-2，即B 图象不可能，当ω=-3时，此时f（x）=2sin（-3x+），f（）=2sin（-3×+）=-2sin≠-2，即B图象不可能，C．由图象知函数的周期T=4π，则=4π得ω=±，当ω=时，此时f（x）=2sin（x-π）=-2sin x，f（π）=-2sin=-1，即此时C图象不可能，当ω=-时，此时f（x）=2sin（-x-π）=2sin x，f（π）=2sin=-1，即此时C图象可能，D．由图象知函数的周期=-=，即t=π，则=π得ω=2，此时f（x）=2sin（2x-），f（）=2sin（2×-）=2sin=2，即D图象可能，综上不可能的图象是B，故选：B．根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周期性求出ω以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键．注意本题的ω有可能是复数．10.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）=3x2-ke x≤0在（0，+∞）上恒成立，∴k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，x＞0，则，当0＜x＜2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减故当x=2时，g（x）取得最大值g（2）=，则k，故选：C．令f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得k在（0，+∞）上恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出k的范围．本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：设P在底面ABC的射影为E，D为AB的中点，连结PD，设正三角形ABC的边长为a，则CD=，∴ED=，EC=a，由二面角P-AB-C的正切值为4，得=4，解得a=．∴EC==，OP+OC=R，OE=H-R，∴OC2=OE2+CE2，∴R2=（H-R）2+（）2，解得=．故选：A．设棱锥底面边长为a，由已知把a用含有H的代数式表示，再由球的性质利用勾股定理求得．本题考查正三棱柱的高与其外接球半径的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：函数，的图象如下：当m≥1时，f（t）=m，有两个解t1，t2，其中t1≤0，t2≥2，f（x）=t1有一个解，f（x）=t2有两个解，不符合题意．当m＜0时，f（t）=m，有一个解t，且t∈（0，1）f（x）=t有一个解，不符合题意．当0≤m＜1时，f（t）=m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）=t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1-x1=log2x=t，且t∈[1，2），x1+x2=2t-t+1，令g（t）=2t-t+1，g′（t）=2t lnt-1＞0，故g（t）在（1，2）单调递增，∴g（t）∈[2，3）．故选：A．画出函数，的图象，可求得当0≤m＜1时，f（t）=m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）=t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1-x1=log2x=t，且t∈[1，2），x1+x2=2t-t+1，令g（t）=2t-t+1，利用导数求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．13.【答案】【解析】解：设z=，则k得几何意义为过原点得直线得斜率，作出不等式组对应得平面区域如图：则由图象可知OA的斜率最大，由，解得A（3，4），则OA得斜率k=，则的最大值为．故答案为：．设z=，作出不等式组对应得平面区域，利用z得几何意义即可得到结论．本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由tanβ=2，得tan2β==，又tan（α-2β）=4，∴tanα=tan[（α-2β）+2β]==．∴=．故答案为：．由已知求得tan2β，再由tanα=tan[（α-2β）+2β]求出tanα，代入得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正切与二倍角的正切，是中档题．15.【答案】2【解析】解：设m=3x，因为t≤x≤t+1，所以3t≤m≤3t+1，则g（m）=m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1=12，解得：3t+1=3，即t=0，即f（x）min=g（30）=2，故答案为：2．由二次型函数值域的求法得：设m=3x，则3t≤m≤3t+1，则g（m）=m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1=12，解得：3t+1=3，即t=0，即f（x）min=g（30）=2，得解本题考查了二次型函数值域的求法，属中档题．16.【答案】【解析】解：双曲线C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），且，可得sin∠PF2F1==，即有直线PF2的斜率为tan∠PF2F1=，由直线x=2a与双曲线C：的一条渐近线y=x交于点P，可得P（2a，2b），可得=，即有4b2=15（4a2-4ac+c2）=4（c2-a2），化为11c2-60ac+64a2=0，由e=可得11e2-60e+64=0，解得e=或e=4，由2a-c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e=4舍去．故答案为：．设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得P的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）依次成等比数列，可得（）2=S n=（n+2）（a1-2）n，当n=1时，a1=S1=3（a1-2），解得a1=3，当n≥2时，a n=S n-S n-1=n（n+2）-（n-1）（n+1）=2n+1，上式对n=1也成立，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；（2）==（-），可得前n项和T n=（-+-+…+-）=（-）=．【解析】（1）运用等比数列的中项性质，令n=1，可得首项，再由数列的递推式：当n≥2时，a n=S n-S n-1，计算可得所求通项公式；（2）求得==（-），再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等比数列中项性质和数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．18.【答案】证明：（1）连结DE，BD，∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，E为AB的中点，∴DE⊥AB，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，又DE∩PD=D，∴AB⊥平面PDE，∴AB⊥PE，∵AB∥CD，∴PE⊥CD．解：（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则P（-1，0，2），A（0，-，0），E（，0），C（0，，0），=（-1，，2），=（，0），=（1，），=（，0），设平面APE的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PCE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（3，1，2），设二面角A-PE-C的平面角为θ，由图知θ为钝角，∴cosθ=-=-=-．∴二面角A-PE-C的余弦值为-．【解析】（1）连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从而AB⊥平面PDE，进而AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PE-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解（1）证明：将y=kx+3代入x2=6y，得x2-6kx-18=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=-18，从而d1d2=|x1|•|x2|=|x1x2|=18为定值．（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，．从而k1+k2=+==．当b=-3时，有k1+k2=0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-3）符合题意．【解析】（1）先将y=kx+3代入x2=6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成立；（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，由∠OPM=∠OPN，得当k变化时，k1+k2=0恒成立，进而可求出结果本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题．20.【答案】解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20=64，即10：04（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10=4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X01234P所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．（3）由（1）得μ=64，σ2=（30-64）2×0.1+（50-64）2×0.3+（50-64）2×0.4+（70-64）2×0.4+（90-64）2×0.2=324，所以σ=18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，由T～N（64，182），得，P（64-18≤T≤64+2×18）=+=0.8186，所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆．【解析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X的所有可能的取值，计算出每个X对应的概率，列分布列，求期望即可．（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到μ，σ2再根据其对称性处理即可．本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵函数．∴x＞0，．若a≤-，∵x＞1，∴ln x＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞-，令g′（x）=0，得x=，当1＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成立，∴x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=x lnx-ax+a+a-2，则h′（x）=ln x+1-a，令h′（x）=0，得x=e a-1，当x∈（0，e a-1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a-1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最小值为h（e a-1）=（a-1）e a-1+a+e-2-ae a-1=a+e-2-e a-1，令t（a）=a+e-2-e a-1，则t′（a）=1-e a-1，令t′（a）=0，得a=1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈（1，+∞）时，t′（a）＜0，t（a）在（1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最小值为t（a）≥t（0）=e-2-，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最小值为t（a）=a+e-2-e a-1≥0=t（2），∴a的取值范围是[0，2]．【解析】（1）x＞0，．利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出xlnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=xlnx-ax+a+a-2，则h′（x）=lnx+1-a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出a的取值范围．本题考查函数单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．22.【答案】解：（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直角坐标方程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，则|PM|=3+sinα，又直线ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1，所以|PN|=2+cosα+1=3+cosα，所以|PM|+|PN|=6+sin（α+），故当α=时，|PM|+|PN|取得最大值为6+．【解析】（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直角坐标方程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，用三角函数的性质求得最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）k=4时，函数f（x）=|x+1|+|2-x|-4，不等式f（x）＜0化为|x+1|+|2-x|＜4，当x＜-1时，不等式化为-x-1+2-x＜4，解得-＜x＜-1，当-1≤x≤2时，不等式化为x+1+2-x=3＜4恒成立，则-1≤x≤2，当x＞2时，不等式化为x+1+x-2＜4，解得2＜x＜，综上所述，不等式f（x）＜0的解集为（-，）；（2）因为f（x）=|x+1|+|2-x|-k≥|x+1+2-x|-k=3-k，所以f（x）的最小值为3-k；又不等式对x∈R恒成立，所以3-k≥，所以，解得k≤1，所以k的取值范围是（-∞，1]．【解析】（1）k=4时，利用分类讨论思想求出不等式f（x）＜0的解集，再求它们的并集；（2）利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，再把不等式化为3-k≥，求出不等式的解集即可．本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。
【试卷】惠州市2020届高三第二次调研考试 理科数学
惠州市2020届高三第二次调研考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|lg 0},{|4}M x x N x x =>=≤，则M N = （ ）A ．(2,0)-B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(0,2]2．设复数z 满足(1i)1i z +=-（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i3．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，则5S =（ ） A ．3116B ．312C ．132D ．31324．已知,a b 为互相垂直的单位向量，若c a b =-，则cos ,b c =（ ）A．2-B．2C．3-D．35．下列说法正确的是（ ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学． ③在回归分析模型中，残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越好．④在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位． A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④6．若31cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，且22ππα-≤≤，则sin 2α的值为（ ）A． B． CD7．设p ：实数,x y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数,x y 满足111y x y x y -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则p 是q 的（ ）条件．A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+．在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是（ ）A ．115B ．117C ．122D ．126【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数．】 9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是（ ）10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知12F F 、是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）ABC ．3D ．211．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =ADC △沿对角线AC 进行翻折，得到三棱锥D ABC -，则在翻折的过程中，有下列结论： ①三棱锥D ABC -的体积的最大值为13； ②三棱锥D ABC -的外接球体积不变；③三棱锥D ABC -的体积最大值时，二面角D AC B --的大小是60︒； ④异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒． 其中正确的是（ ） A ．①②④B ．②③C ．②④D ．③④12．设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ） A ．(,6)(6,)-∞-+∞ B ．(,4)(4,)-∞-+∞ C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知函数3()ln f x ax x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则a 的值等于 ． 14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据12100,,,x x x 的方差为8，则数据1210021,21,,21x x x ---的方差为 ．15．设x y 、为正数，若12yx +=，则12x y +的最小值是 ，此时x = ．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别是12,F F ，且1F AB △的面积为22-P 为椭圆上任意一点，则1211PF PF +的取值范围是 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，b =2B A =．（1）求cos A ； （2）求c 边的值． 18．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，11a =，283a =，1111n n n n a a n λ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中N n *∈，λ为常数．（1）求λ的值； （2）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式． 19．（本小题满分12分）如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：AB PD ⊥；（2）若,90PA PD AB APD ==∠=︒，设Q 为PB 中点，求直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值．ABCDP20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，且与x 轴交于点(,0)P a ．（1）若直线l 的斜率32k =，且32FP =，求AF BF +的值； （2）若0a >，x 轴上是否存在点M ，总有OMA OMB ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（a 为常数）在区间(0,2)内有两个极值点1212,()x x x x <．（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：122(1ln )x x a +<+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C 的普通方程及其极坐标方程； （2）设直线l 的极坐标方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为P （异于极点），与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x -≤，其中0m >． （1）求m 的值；（2）若正数a b c 、、满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥．。
高三第二次调研考试数学试题(理科).10
惠州市高三第二次调研考试数 学 试 题 (理科） .10本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 参考公式：①如果事件A B 、互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B) ②如果事件A B 、相互独立，则P(A B)=P(A)P(B)⋅⋅一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.1．设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则AB =( )A ．{}2-B ．{}2C ．{}2,2-D ．∅2. 复数(1)z i i =⋅+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．双曲线2228x y -=的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 4．设向量(1,0)a =，11,22b ⎛⎫=⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是( ) A ．a b = B ．22a b ⋅=C ．//a bD ．a b -与b 垂直 5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则( )A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x6. 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知0a >,x ,y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =( )A.14 B. 12C ．1D ．2 8. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x = ([]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为( ) A ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．已知224(0)()0(0)4(0)x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩，则不等式()f x x >的解集为 ． 10．曲线:C ln xy x=在点(1,0)处的切线方程为 ． 11．5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．12．锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B b =，则角A 等于 ． 13．在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=， 则满足1212n n a a a a a a +++>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为________．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．14．（极坐标与参数方程）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=，圆心为C ，点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则||CP =________. 15．（几何证明选讲）如图所示，⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于,A B 两点，C 是⊙O 上的一点，若70P ∠=︒，则ACB ∠=________.（用角度表示）三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）设向量()3sin ,sin a x x =，()cos ,sin b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值．17．（本题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(]490,495，(]495,500，…，(]510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列；（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．18．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 19．（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<. 20．(本题满分14分)如图，已知椭圆C ：22221x y a b+=，其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，且1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列.（1）求椭圆C 的方程；（2）记△1GF D 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．21.（本题满分14分）已知0a >，函数2()ln f x x ax =-.（()f x 的图像连续不断） （1）求()f x 的单调区间； （2）当18a =时，证明：存在()02,x ∈+∞，使03()()2f x f =； （3）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明.ln 3ln 2ln 253a -≤≤xyO A B1F D GE2F惠州市高三第二次调研考试理科数学答案与评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1【解析】本题考查集合的基本运算，意在考查考生对集合概念的掌握．由40x -=，解得2x =±，所以{}2,2B =-，又{}2A =-，所以{}2AB =-，故选A.2【解析】本题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义，∵(1)1i z i i =⋅+=-+∴复数z 在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，位于第二象限．3【解析】本题考查双曲线方程及其简单几何性质。
2020惠州二模理科数学试题
惠州市2020届高三模拟考试数 学 试 题 （理科）参考公式：锥柱体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y b x =-⋅．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若集合{|01,}A x x x x R =<>∈或，{}2,B x x x R =>∈，则 ( ) A ．A B ⊇ B ．A B = C ．A B ⊆ D ．A B φ=2．已知b 为实数，i 为虚数单位，若21b ii+⋅-为实数，则b = ( ) A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( ) A ．3y x = B ．1y x x=+C ．e x y x -=⋅D ．ln()y x =- 4．若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．11 5．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，3AB AC ⋅=，则=BC ( )A ．3B ．7C ．19D ．23 6．下列命题的说法 错误．．的是 ( ) A ．若复合命题q p ∧为假命题，则,p q 都是假命题． B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++> 则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．D ．命题“若2320x x -+=，则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”．7．多面体MN ABCD -的底面ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( ) A ．163B ．6C ．203 D ．68．对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义：设'()f x 是函数)(x f y =的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数)(x f y =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。