数学怎样证明平行定理
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明平行线的性质课件
A. ∠1+∠2-∠3=90°
ห้องสมุดไป่ตู้
B. ∠2+∠3-∠1=180°
C. ∠1-∠2+∠3=180°
D. ∠1+∠2+∠3=180°
4. 如图，已知AB∥CD，∠BAD=∠BCD，那么AD∥BC吗？在下面横线上填空或
填写理由.
解： 因 为AB∥CD,所 以 ∠1 = ∠2 （ 两直线平行 ，内错角相等 ）.又因为
5. 如图，一束平行光线AB与DE射向一个平面镜后被反 射，它们的反射光线依次为BC，EF.求证：BC∥EF.（提示： 根据光的反射定理,可得∠1=∠2,∠3=∠4）
∵AB∥DE(已知), ∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等). ∵∠1=∠2,∠3=∠4(光的反射原理), ∴∠2=∠4(等量代换). ∴BC∥EF(同位角相等，两直线平行).
4. 定理：平行于同一条直线的两条直线 平行 .
1. 如图,∠B=70°,∠DEC=100°,∠EDB=110°,则∠C等于（ C ）
A. 70°
B. 110° C. 80°
D. 100°
2. 如图，AB∥CD，FH平分∠BFG，∠EFB＝58°，则下列说法错误的是( D )
A. ∠EGD＝58°
B. GF＝GH
C. ∠FHG＝61°
D. FG＝FH
3. 如图，AD平分∠BDF,∠3=∠4，若∠1=50°,∠2=130°，则∠CBD= 65 °．
4. 看图填空：已知如图，直线a,b,c被直线l所截. ∵a∥b,b∥c, ∴a∥c（平行于同一条直线的两条直线平行）. ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∠ BAD=∠BCD( 已 知 ), 所 以 ∠ BAD-∠1=∠BCD-∠2( 等 量 代 换 ). 即 ∠ 3=∠4 ， 所 以
高考数学-线线、线面、面面平行的证明
专题18 线线、线面、面面平行的证明问题知识梳理一、直线与平面平行的判定定理：1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行2、符号： ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊄α，m ⊂α，且l ∥m ⇒l ∥α3、图形：二、直线与平面平行的性质定理1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．2、符号语言：l ∥α，l ⊂β，β∩α＝m ⇒l ∥m .3、图形语言：三、平面与平面平行的判定定理1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)2、符号语言：∵a ∥β，b ∥β，a ∩b ＝P ，a ⊂α，b ⊂α∴α∥β3、图形：4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．四、平面与平面平行的性质定理1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行2、符号语言：∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b3、图形：4、性质定理推论：推论1：如果两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．推论2：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例考向导航例题精讲考向1 线线平行证明【例1】如图，三棱锥P ABC -中，△ABC 为正三角形，点1A 在棱PA 上，1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，直线11A B 与直线AB 交于点D ，直线11A C 与直线AC 交于点E ，求证：//DE BC .【答案】证明见解析【解析】在三棱锥P ABC -中，因11,B C 分别是棱PB ，PC 的中点，所以11//B C BC ，又11B C ⊄平面BCED ，BC ⊂平面BCED ，所以11//B C 平面BCED ，又11B C ⊂平面11B C ED ，平面BCED ⋂平面11B C ED DE =，所以11//B C DE ，所以//DE BC .【变式1-1】在如图的几何体中，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，平面ABE 与平面CDE 交于EF ，求证：//CD EF .【答案】证明见解析【解析】因//AB CD ，AB 平面ABE ，⊄CD 平面ABE ，所以//CD 平面ABE ， 又CD ⊂平面CDE ，平面ABE 平面CDE EF =，所以//CD EF【变式1-2】在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形E ，F 分别为BC ，AD 的中点，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，求证：//AB MN【答案】证明见解析【解析】∵底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点， ∴EF ∕∕CD ，∴EF ∕∕AB ．又因EF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以EF ∕∕平面PCD ，又过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，∴MN ∕∕EF ，∴AB ∕∕MN ．【变式1-3】在正四棱锥P ABCD -中，,E F 分别是,AB AD 的中点，过直线EF 的平面α分别与侧棱,PB PD 交于点,M N ，求证：//MN BD【答案】证明见解析．【解析】在ABD △中，因为E ，F 分别是,AB AD 的中点，所以EF BD ∕∕且12EF BD =，又因为EF ⊄平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以EF ∕∕平面PBD ，又EF ⊂平面,αα⋂平面PBD MN =，所以EF MN ∕∕，所以//MN BD ．考向2 线面平行证明【例2】如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 为BC 的中点，连接AD ，DC 1，A 1B ，AC 1，求证：A 1B ∥平面ADC 1.【答案】证明见解析【解析】如图，连接A 1C ，设A 1C ∩AC 1＝O ，再连接OD .因为三棱柱ABC A 1B 1C 1中，A 1ACC 1是平行四边形，所以O 是A 1C 的中点，又D 是CB 的中点，所以OD ∥A 1B .又A 1B ⊄平面ADC 1，OD ⊂平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1.【变式2-1】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP AB ===，点E 为棱PC 的中点，F 在PA 上满足2PF FA =.（1）证明：//BE 平面P AD ；（2）证明：//PC 平面FBD【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析.【解析】（1）取PD 中点G ，连接AG ，EG ，又点E 为棱PC 的中点， 所以GE //CD 且12GE CD =，又//AB DC ，且2DC AB =，所以GE //AB ，且GE =AB ，所以四边形ABEG 为平行四边形，所以BE //AG ， 又BE ⊄平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，所以BE //平面P AD ；（2）连接AC ，交BD 于点H ，因为AB //CD ，且CD =2AB ，则12AH HC =，又PF =2AF ，所以PC ∥FH ，又FH ⊂平面BDF ，PC ⊄平面BDF ，所以PC //平面BDF .【变式2-2】如图，O 是长方体1111ABCD A B C D -底面对角线AC 与BD 的交点，求证：1//B O 平面11AC D .【答案】证明见解析【解析】如图，连接11B D 交11A C 于点1O ，连接1DO ，∵1111//B B D D B B D D =，，∴四边形11B BDD 为平行四边形，∴11B D BD =， ∵由正方体的性质得1O ，O 分别为11,B D BD 的中点，∴1111//O B DO O B DO =，，∴11O B OD 为平行四边形，∴11//B O O D ，又∵1B O ⊄平面11AC D ，1O D ⊂平面11AC D ，∴1//B O 平面11AC D【变式2-3】已知正方形ABCD ，如图1，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将ADE 沿DE 折起，如图2所示，求证：//BF 平面ADE .【答案】证明见解析【解析】因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，所以EB FD =又//EB FD ，所以四边形EBFD 为平行四边形，所以//BF ED ，因为DE ⊂平面ADE ，而BF ⊄平面ADE ，所以//BF平面ADE.考向3 面面平行证明【例3】如图，三棱锥PABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：平面GFE∥平面PCB.【答案】证明见解析【解析】因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF//BC，GF//CP.因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂平面PCB.所以EF//平面PCB，GF//平面PCB.又EF∩GF＝F，所以平面GFE//平面PCB.【变式3-1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.【答案】证明见解析【解析】如图所示，连接SB，SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【变式3-2】如图，已知ABCD是矩形，ABPE是梯形，2AE BP，BP=，1==，//AD AEAFG平面PEC.F，G分别是BC，BP的中点，求证：平面//【答案】证明见解析【解析】因F，G分别是BC，BP的中点，则//FG CP，而FG⊄平面CPE，CP⊂平面CPE，则//FG平面CPE，而1AE BP，BG PG AE===，且//于是得四边形AEPG是平行四边形，即//EP AG，又AG⊄平面CPE，EP⊂平面CPE，从而是//AG平面CPE，因AG FG G⋂=，,AG FG⊂平面AFG，所以平面//AFG平面PEC.【变式3-3】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，2AB BE EC===，GMF平面ADE.G，F，M分别是线段BE，DC，AB的中点，求证：平面//【答案】证明见解析【解析】因G，M分别是线段BE，AB的中点，则有//GM AE，又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，于是得//GM平面ADE，在矩形ABCD中，由F，M分别是DC，AB的中点可得//MF AD，又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，因此，//MF平面ADE，而GM MF MGM MF⊂平面GMF，⋂=，,GMF平面ADE.所以平面//【题组1 线线平行证明】1、如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为8的正方形，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，DC，PC上共面的四点，//GH EFBC平面GEFH，证明：//【答案】证明见解析【解析】∵//BC 平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面GEFH GH =，∴//BC GH .又∵//BC 平面GEFH ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面GEFH EF =， ∴//BC EF ，//BC GH ，//BC EF ，∴//EF GH .2、如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为DC ，AC 的中点，过EF 的平面与BD ，AB 分别交于点G ，H .求证：//EF GH【答案】证明见解析.【解析】因为E ，F 分别为DC ，AC 的中点，所以//AD EF ，因为AD ⊄平面EFHG ，EF ⊂平面EFHG ， 所以//AD 平面EFHG ，又平面EFHG ⋂平面ABD HG =，AD ⊂平面ABD 所以//AD GH ，因为//AD EF ，//AD GH ，所以//EF GH .3、如图，已知四面体ABCD 中，E ､F ､G ､H 分别是边,,,AB BC CD DA 上的点(与端点不重合)，//BD 平面EFGH ，且EH FG =. （1）求证：//EH FG ；（2）求证：//HG 平面ABC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为//BD平面EFGH，BD⊂平面ABD，平面EFGH平面ABD EHBD EH.=，所以//又因为//BD平面EFGH，BD⊂平面BCD，平面EFGH平面BCD FGBD FG.=，所以//所以//EH FG.（2）因为EH FGEH FG，所以四边形EHGF为平行四边形.=，//所以//HG EF.又因为EF⊂平面ABC，所以//HG平面ABC.4、如图，梯形ABCD中，//BC AD，E是PD的中点，过BC和点E的平面与PA交于点F.求证：//BC EF.【答案】证明见解析【解析】∵//BC AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴//BC平面PAD，∵BC⊂平面BCEF，平面BCEF平面PAD EF=，∴//BC EF5、如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上.求证：//AP GH.【答案】证明见解析【解析】如图，连接AC，设AC交BD于点O，连接MO．∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点又M是PC的中点，∴//MO PA.又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴//PA平面BDM又PA⊂平面PAHG，平面PAHG⋂平面BDM GH=，∴//AP GH．【题组2 线面平行证明】1、在三棱锥D ABC-中，O，E，F，分别是线段AC，AD，BD的中点，G是OC 中点.求证：//FG平面BOE.【答案】证明见解析【解析】取BC中点H，连GH，FH，∵O，E，F，H分别是AC，AD，BD，BC中点，∴//OE CD，//FH CD，∴//OE FH，∵OE⊂平面BOE，FH⊄平面BOE，∴//FH平面BOE，∵,G H分别是,OC BC的中点，∴//GH OB，∵OB⊂平面BOE，GH⊄平面BOE，∴//GH平面BOE，∵FH GH H=，FH⊂平面FGH，GH⊂平面FGH，∴平面//BOE平面FGH，∵FG⊂平面FGH，∴//FG平面BOE.2、如图，直三棱柱111ABC A B C-中，D、E分别是AB、1BB的中点，12AA AC CB AB===，证明：1//BC平面1A CD.【答案】证明见解析【解析】连接1AC交1A C于点O，连接OD，则O为1AC的中点，因为D为AB的中点，所以1OD BC，//又因为OD⊂平面1A CD，1BC⊄平面1A CD，所以1//BC平面1A CD.3、如图，在正方体1111-中，M，O分别是1A B，AC的中点．求证：// ABCD A B C DOM 平面11BB C C．【答案】证明见解析.【解析】连接11,AB B C.因为11ABB A为正方形，所以M是1A B的中点，所以1=，AM MB又O是AC的中点，所以1OM B C.//因为OM⊄平面11BB C C，BB C C，1B C⊂平面11所以OM∥平面11BB C C.4、如图，三棱锥A BCD-被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH．【答案】证明见解析【解析】因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF GH∕∕，因为GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，所以EF∕∕平面BCD，又因为EF⊂平面ACD，且平面ACD平面BCD CD=，所以EF CD∕∕，又因为⊄CD平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以CD∥平面EFGH5、如图，四棱锥A DBCE-中，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF．【答案】证明见解析【解析】连接OF，∵O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，则BO OE=△ABE中，BO OE=，AF FE=，则//AB OF又AB⊄平面DCF，OF⊂平面DCF，则AB∥平面DCF．【题组3 面面平行证明】1、如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱与底面垂直，122,2,,AC AA AD DC AC BD ====交于点E ，且E ，F 分别为1,AC CC 的中点，2BE =11//B CD 平面1A BD【答案】证明见解析【解析】如图，连接1AD ，设11AD A D H ⋂=，则H 为1AD 的中点，而E 为AC 的中点，连接EH ，则EH 为1ACD △的中位线，所以1//EH CD ，又EH ⊄平面11B CD ，1CD ⊂平面11B CD ，所以//EH 平面11B CD ，又因为四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱与底面垂直，所以11//BB DD ，11=BB DD ，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//BD 平面11B CD ，又因为BD EH E ⋂=，,BD EH ⊂面1A BD ，所以平面11//B CD 平面1A BD ．2、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，2BC AD =，P ，Q 是AB ，CD 的中，点M ，N 分别是SB ，CB 的中点， 求证∶平面AMN //平面SCD【答案】证明见解析【解析】因为M、N分别是SB，CB的中点，所以//MN SC，因为MN⊄平面SCD，SC⊂平面SCD，所以//MN平面SCD，又//AD CN且AD CN=，所以ADCN为平行四边形，所以//AN DC，因为AN⊄平面SCD，DC⊂平面SCD，所以//AN平面SCD，又AN MN NAN MN⊂平面AMN，=，,所以平面//AMN平面SCD.3、已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点．求证：平面1//A EF平面1B MC.【答案】证明见解析【解析】根据正方体的性质可知11//A DB C，由于1A D⊄平面1B AC，1B C⊂平面1B AC，所以1A D//平面1B AC .同理可证得11//A C 平面1B AC ，由于1111A D AC A ⋂=，所以平面11//AC D 平面1B AC ，所以平面1//A EF 平面1B MC .4、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别为棱11D C ，BC ，11B C 上异于顶点的点，M ，N ，K 分别为线段AP ，PQ ，QR 的中点．求证：平面//MNK 平面ABCD ．【答案】证明见解析【解析】连接,AQ PR ，在PAQ △中，因为M ，N ，分别为线段AP ，FQ 的中点． 所以//MN AQ ，又MN ⊄平面ABCD ，AQ ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD ，同理//NK PR ，因为NK ⊄平面1111D C B A ，PR ⊂平面1111D C B A ，所以//NK 平面1111D C B A ，因为平面ABCD //平面1111D C B A ，NK ⊄平面ABCD ，所以//NK 平面ABCD ，又MN NK N ⋂=，,MN NK ⊂平面MNK ，所以平面//MNK 平面ABCD ．△和ABF均为等腰直5、如图，四边形ABCD为矩形，,,,A EB F四点共面，且ABE角三角形，90∠=∠=，求证：平面//BAE AFBBCE平面ADF.【答案】证明见解析.【解析】因为四边形ABCD为矩形，所以//BC AD，又因为BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，所以//BC平面ADF，因为ABE△和ABF均为等腰直角三角形，且90∠=∠=，BAE AFB所以45AF BE，∠=∠=，所以//BAF ABE又因为BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，所以//BE平面ADF，又由BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，且BC BE B=，所以平面//BCE平面ADF。
高中数学直线平面平行的性质及判定
一、空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5 球的表面积24R S π=二、空间几何体的体积1柱体的体积 hS V ⨯=底2锥体的体积 hS V ⨯=底313台体的体积 hS S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=三、直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 用符号表示为a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α。
(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件： ①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行．(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想．(3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.【例1】 如右图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心．求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.证：如右图，取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连结PE 、QF 、EF ， ∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点， ∴PE12A 1B 1.同理QF 12AB .又A 1B 1AB ，∴PE QF .∴四边形PEFQ 是平行四边形． ∴PQ ∥EF .又PQ ⊄平面BCC 1B 1，EF ⊂平面BCC 1B 1， ∴PQ ∥平面BCC 1B 1.222r rl S ππ+=2、平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面相交直线，则这两个平面平行．用符号表示为：a ⊂β，b ⊂β，a∩b＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α(1)运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立．(2)证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面．(3)证明平面与平面平行的方法有：判定定理、线面垂直的性质定理、定义． (4)平面与平面的平行也具有传递性.【例2】 如右图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各棱长为4，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、A 1C 1、A 1B 1的中点， 求证：平面A 1EF ∥平面BCGH .思晨分析：本题证面面平行，可证明平面A 1EF 内的两条相交直线分别与平面BCGH 平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明． 证明：△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC .又∵EF ⊄ 平面BCGH ，BC ⊂平面BCGH ， ∴EF ∥平面BCGH .又∵G 、F 分别为A 1C 1，AC 的中点，∴A 1G FC .∴四边形A 1FCG 为平行四边形． ∴A 1F ∥GC .又∵A 1F ⊄平面BCGH ，CG ⊂平面BCGH ， ∴A 1F ∥平面BCGH . 又∵A 1F ∩EF ＝F ，∴平面A 1EF ∥平面BCGH .3、直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线 与该直线平行。
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。
在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。
同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。
即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。
即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
7.3 平行线的判定课件(30张PPT)北师大版八年级数学上册
(4) 从∠5 =∠ ABC ，可以推出 AB∥CD， 理由是 同位角相等，两直线平行 .
A
D
3
1
4
2
5
B
C
5. 如图，已知∠1 =∠3，AC 平分∠DAB，你能判定
哪两条直线平行？请说明理由.
解：AB∥CD. 理由如下：
D
∵ AC 平分∠DAB (已知)，
C 3
∴∠1 =∠2 (角平分线的定义).
A
2 54 DB
∴ __C_E__∥__A_B__ (同旁内角互补,两直线平行).
④ ∵∠4 +_∠__3__= 180°（已知），
∴ AB∥CE (同旁内角互补,两直线平行).
例2 如图，已知∠MCA =∠A，∠DEC =∠B，那么 M
DE∥MN 吗？为什么？
AD C
解：∵∠MCA =∠A（已知），
2. 如图所示，∠1 = 75°，要使 a∥b，则∠2 等于
( C) A. 75° B. 95°
1
a
C. 105° D. 115°
2
b
【解析】∠1 的同位角与∠2 互为补角，所以∠2 =
180° - 75° = 105°.
3. 如图，已知∠1 = 30°，若∠2 或∠3 满足条件 _∠__2_=__1_5_0_°_或__∠__3__=__3_0_°，则 a∥b.
想一想
我们可以用下图的方法作出平行线，你能说说其 中的道理吗？
典例精析 例1 根据条件完成填空.
① ∵∠2 =∠6（已知），
E
∴ _A_B_∥_C_D_ (同位角相等,两直线平行).
21
② ∵∠3 =∠5（已知），
A 34 B
平行线的判定定理【精选】
第八章 平行线的有关证明
第四节 平行线的判定定理 （第1课时）
公理 两条直线被第三条直线所截，如 果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行
公理与其他真命题的最大区别是什么？证明一个 命题是真命题的一般步骤是什么？
a
c 已知：如图，∠1和∠2是直线a、
定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角 相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行
随堂练习：课本P46 第1、2题
已知：如图,已知AB⊥ EF，CD⊥ EF,垂足
分别为M，N
求证：AB // CD
A
C
E
N
F
B
D
达尔文曾经说过：“（蜜蜂）巢房的精巧构造十分符
合需要，如果一个人看到巢房而不倍加赞扬，那他一定是个 糊涂虫.”这些小小的动物，它们用蜂蜡一昼夜可以造出几 千间巢房,而且每间的体积几乎都是0.25立方厘米，壁厚都 精确地保持在0.073±0.002毫米范围内.如果你仔细进行观 察就会发现，每个巢房从正面看去都是正六边形（每个角都 是120°），而它的尖顶形成的底部则都是由三个完全相同 的菱形拼接而成的.十八世纪初，法国学者马拉而琪经过测 量发现，所有的底部菱形的钝角都等于109°28′，而其锐角 都等于70°32′。法国物理学家列奥缪拉由这个有趣的发现 得到一个 启示：蜂房的这一特殊形状，可能是为了保证得
到同样大的容积而所用材料最省.多么令人惊奇，小小的蜜 蜂在人类有史以前就已经解决了的问题，十八世纪的数学家 竟要用高等数学才能解决！
β
β
蜂房的底部由三个全等的
四边形围成,每个四边形的形状 如图所示,其中∠α=109°28′, ∠β=70°32′.
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形， 故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。
高中数学证明线面平行方法
高中数学证明线面平行方法线面平行，几何术语。
定义为一条直线与一个平面无公共点(不相交)，称为直线与平面平行。
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
下面给大家分享一些关于高中数学证明线面平行方法，希望对大家有所帮助。
一.线面平行判断方法(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
二.证明线面平行的方法一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内版二，面外一直线上不同两点到面的权距离相等，强调面外三，证明线面无交点四，反证法(线与面相交，再推翻)五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)三.高中数学必考知识点必修一：1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)首先，在高中必考数学知识点归纳整理，集合的初步知识与其他知识点密切联系。
它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。
所以同学在集合与函数的概念一定要学扎实。
同学们应该知道，函数在高中是最重要的基本概念之一，老师运用有关的概念和函数的性质，培养学生的思维能力。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
立体几何这部分对高一同学是难点，因为需要同学立体意识较强。
在学习立体几何证明：垂直(多考查面面垂直)、平行在学习空间几何体、点、直线、平面之间的位置关系时，重点要帮助学生逐步形，逐步掌握解决立体几何的相关问题。
必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容。
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数学怎样证明平行定理
平行定理是数学的规律，那该怎么证明呢?那是有什么的证明规律吗?下面就是学习啦给大家的怎样证明平行内容，希望大家喜欢。
设有两两垂直的转轴x、y、z，则由定义得：Jx=m(y^2+z^2)，Jy=m(x^2+z^2)，Jz=m(x^2+y^2)，所以
Jx+Jy+Jz=2m(x^2+y^2+z^2)=2mr^2，此为垂直轴定理。
在沿z轴向一边平移d得到x'、y'、z轴，则r'^2=r^2+d^2，所以
Jx'+Jy'+Jz=2mr'^2=2m(r^2+d^2)，与上式相减得
(Jx'-Jx)+(Jy'-Jy)=2md^2，因为x、y轴平移方式相同，所以应有Jx'-Jx=Jy'-Jy，所以Jx'-Jx=Jy'-Jy=md^2，即为平行轴定理。
定理和判定都可以求的根据定理来就是:两组对边分别平行根
据判定来:a一组对边平行且相等b对角线互相平分c对角相等d两组对边分别相等
2
1,两组对边分别平行2，两组对边分别相等3，一组对边平行且相等4，对角线互相平分
一，两组对边分别平行二，两组对边分别相等三，一组对边平行且相等四，对角线互相平分五，对角相等!
沿着一条对角线折叠，就可以得到这条对角线平分另一条对角线，再沿着一条对角线折叠，就可以得到另条对角线平分这一条对角线。
这只是演示，不叫证明。
因为两条对角线将平行四边形分割成两
对全等的三角形任取其中一对因为两三角形全等的所以可得两三角形三条对应边分别相等(之前的都要用内错角来
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
2
1.画个圆，里面画个矩形
2.假设圆里面的是平行四边形
3.因为对边平行，所以4个角相等
4.平行四边四个角之和等于360，
5.360除以4等于90
6.所以圆内平行四边形为矩形..
3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。
)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边
形)本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。
)(1)平行四边形对边平行且相等。
(2)平行四边形两条对角线互相平分。
(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。
(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。
(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
(7)对称中心是两对角线的交点。
工作证明xx学校(单位)：
____同志，性别___，政治面貌___，身份证号：
___________________。
于xx年xx月xx日至xx年xx月xx日在我公司xx部门从事xx工作，工作积极，团结集体，遵纪守法，各方面表现优秀。
我单位对本证明真实性负责。
特此证明。
单位名称：(盖章)
年月日
勾股定理是一个基本的几何定理，要怎么证明呢?下面是学习啦收集的勾股定理的证明方法以供大家学习。
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