立体几何中球内切和外接问题完美版ppt课件
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8.3.2球的内接与外切类型总结课件(人教版)
和该长方体的5个面相切。
例如，装乒乓球的盒子
如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体
类型二：长方体方体
长方体的外接球
=
+ +
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则a 2 b 2 c 2 (2 R) 2。
反馈练习
3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且
4 3
球的体积公式 ：V R
3
2
●
R
球的截面问题
例1、一个距离球心为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表
8π
面积为_______。
解：作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得OO′=1，设截
面圆的半径为r，球的半径为R，
因为截面圆的面积为π，所以可得πr2=π，解得r=1
又由R2=OO′2+r2=2，所以 R 2
同一个球面上，且CA CB CC1 a,
ACB 60，求该球的表面积。
O1
O
O2
结论2.直棱柱（圆柱）外接球半径
球心是上、下底面外接圆
圆心所连线段的中点；
o1 r
R
o
h 2
R r ( )
2
2
●
o2
2
（r为底面外接圆半径，h为体高）
1、已知一长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 3， 3， 6
的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，所以球的半径为 1，
4
4π
其体积是 ×π×13＝ .
3
3
5.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为
100π
例如，装乒乓球的盒子
如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体
类型二：长方体方体
长方体的外接球
=
+ +
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则a 2 b 2 c 2 (2 R) 2。
反馈练习
3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且
4 3
球的体积公式 ：V R
3
2
●
R
球的截面问题
例1、一个距离球心为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表
8π
面积为_______。
解：作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得OO′=1，设截
面圆的半径为r，球的半径为R，
因为截面圆的面积为π，所以可得πr2=π，解得r=1
又由R2=OO′2+r2=2，所以 R 2
同一个球面上，且CA CB CC1 a,
ACB 60，求该球的表面积。
O1
O
O2
结论2.直棱柱（圆柱）外接球半径
球心是上、下底面外接圆
圆心所连线段的中点；
o1 r
R
o
h 2
R r ( )
2
2
●
o2
2
（r为底面外接圆半径，h为体高）
1、已知一长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 3， 3， 6
的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，所以球的半径为 1，
4
4π
其体积是 ×π×13＝ .
3
3
5.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为
100π
内切球和外接球问题课件
• 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角 线的中点。
• 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的 连线的中点。
• 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角 形外心的连线的中点。
• 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位 置可通过计算找到。
• 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形， 则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
正方体的内切球
例1
将棱长为2的正方体木块削成一个体积最 大的球，则这个球的表面积为 4
直棱柱的外接球
例2
已已知知直直三三棱棱柱柱AABBCCA1AB11BC11C的1的六六个个顶顶点点都在都在 球球OO的的球球面面上上,,若若AABBBCBC 1,1,ABACBC12012,0, AAAA11 22 33，，则则球球OO的的表表面面积积为为
几何体外接：一个几何体所有顶点都 在另一个几何体表面上。
正方体的内切球、棱切球、外接球
• 三、几何体的外接球与内切球问题：
• 1、外接球的问题： • 几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的
考点，此类问题实质是解决球的半径或确定球心0 的位置问题，其中球心的确定是关键。 • (1)由球的定义确定球心 • 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有 顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多 面体的外接球的球心。 • 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的 球心的如下结论。
• 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成 长方体或正方体．
• 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补 成长方体或正方体．
(3)由性质确定球心 利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球心与弦 中点的连线垂直于弦的性质，确定球心． 内切球的问题 对内切球有以下几点认识： 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球 心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重 合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
高考数学一轮复习第六章专题六几何体的外接球与内切球问题课件
)
A.4 3π
B.8π
C.12π
D.20π
解析：在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 外接圆的
半径为
r＝2sin B∠CBAC＝2sin2
3π＝ 4
2.
直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径 R＝ ( 2)2＋12＝ 3，
r2＋A2A12＝
则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的体积为43πR3＝4 3π.
当
λ＝12时，cos〈E→B，E→G〉＝2
3
2 .
∴cos〈E→B，E→G〉的最大值为2
3
2 .
∵A→C＝(－1，1，0)，A→F＝(0，1，1)， ∴E→B·A→C＝E→B·A→F＝0. ∴EB⊥AC，EB⊥AF. ∵AC∩AF＝A，∴EB⊥平面 AFC. ∵E→B·E→G>0，∴cos〈E→B，E→G〉即为 EG 与平面 AFC 所成角
如图 6-7 所示，把四面体 S-ABC 补全为长方体 ABCD-SPMN， 其中 SA，AB，BC 为长方体中首尾相连且两两相互垂直的三条棱， 点 H 为 PM 中点.
图 6-7
∵GH∥AP，∴G，H 两点到平面 AEF 的距离相等.
设点 H 到平面 AEF 的距离为 d.
∵△APF 是边长为 2 2的等边三角形，
[例 1]已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内
切球的表面积为( )
A.π
B.32π
C.2π
D.3π
解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图
6-1 所示.设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB
上的高为 2 2，因为△SOD∽△SBE，所以SSOB＝OBED，
即2 32－r＝1r，解得 r＝ 22.所以圆锥内切球的表面
正方体内切球外接球棱切球图例演示ppt课件
正方体的内切 球的半径是棱 长的一半
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
正方体的棱切球
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
正方体的内切球
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
正方体的棱 切球半径是 面对角线长 的一半
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
正方体的外接球
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
D A
D A11C BO Nhomakorabea1B1
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
正方体的棱切球
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正方体的内切球
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正方体的棱 切球半径是 面对角线长 的一半
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
正方体的外接球
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
D A
D A11C BO Nhomakorabea1B1
空间几何体的外接球,内切球课件,公开课
例 10 若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上,求 球的表面积．
解2：补形法.
把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，
C
则
P
a＝
2x，由题意 2R＝
3x＝
3×
2a＝ 2
26a，
∴
S
球＝4π
R2＝3πa2. 2
O
•
A
B
LOGO
S
O
•
A
C
B
锥体模型 侧面与底面垂直的几何体，外接球的球心在哪？
过PA,PD作轴截面，交BC边中点E, 连接OE，OF
∴PD=1,易知
， PE为斜高D,
由△POF∽△PED，得
r 1 r 3 23
，解得r=
1 3
3
3
S球=4πr2=
4 9
V球=
4 πr3=
3
4 81
A
轴截面法
作轴截面，球心在棱锥的高所在的直线上.
LOGO
P
O
C
D
E
B
P
rF
O
r
E D
探究新知 LOGO
的球心
16.已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上,
SC是球O的直径. 若平面SCA 平面SCB, SA AC ,
SB BC,三棱锥S ABC的体积为9, 则球O的表面积
为 36 . B
B
S
CS
OC
设OA r, 则 A
A
VA SBC
1 3
S△SBC
OA
1 3
1 2r r r 2
R2
r22
r12
(a)2 2
解2：补形法.
把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，
C
则
P
a＝
2x，由题意 2R＝
3x＝
3×
2a＝ 2
26a，
∴
S
球＝4π
R2＝3πa2. 2
O
•
A
B
LOGO
S
O
•
A
C
B
锥体模型 侧面与底面垂直的几何体，外接球的球心在哪？
过PA,PD作轴截面，交BC边中点E, 连接OE，OF
∴PD=1,易知
， PE为斜高D,
由△POF∽△PED，得
r 1 r 3 23
，解得r=
1 3
3
3
S球=4πr2=
4 9
V球=
4 πr3=
3
4 81
A
轴截面法
作轴截面，球心在棱锥的高所在的直线上.
LOGO
P
O
C
D
E
B
P
rF
O
r
E D
探究新知 LOGO
的球心
16.已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上,
SC是球O的直径. 若平面SCA 平面SCB, SA AC ,
SB BC,三棱锥S ABC的体积为9, 则球O的表面积
为 36 . B
B
S
CS
OC
设OA r, 则 A
A
VA SBC
1 3
S△SBC
OA
1 3
1 2r r r 2
R2
r22
r12
(a)2 2
外接球、内切球模型总结专题课件-高三数学二轮复习备考课件
∴正三棱锥 − 的三条侧棱两两互相垂直
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球
其直径为 =
=
1
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2
=
1
2 + 2 + 2 =
2
1
2 + 2 + 2
半径为
6
2
4
球 = ×
找三条两两垂直的线段，直接用公式 2
即2 = 2 + 2 + 2 ，求出
2
= 2 + 2 + 2 ，
例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的
表面积是( C )
B. 20
A.16
C. 24
D. 32
= 2 ℎ = 16
则该四面体的外接球的表面积为( D )
A. 11
B. 7
1
C.
10
3
D.
40
3
在
��
2 = 2 + 2 − 2 ⋅ ⋅ cos120∘
=7
= 7
中
的外接球直径为
7 2 7
=
2 =
=
sin∠
3
3
2
∵ ⊥平面 ∴ ⊥ ∴ ∆是直角三角形
是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球
其直径为 =
=
1
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2
=
1
2 + 2 + 2 =
2
1
2 + 2 + 2
半径为
6
2
4
球 = ×
找三条两两垂直的线段，直接用公式 2
即2 = 2 + 2 + 2 ，求出
2
= 2 + 2 + 2 ，
例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的
表面积是( C )
B. 20
A.16
C. 24
D. 32
= 2 ℎ = 16
则该四面体的外接球的表面积为( D )
A. 11
B. 7
1
C.
10
3
D.
40
3
在
��
2 = 2 + 2 − 2 ⋅ ⋅ cos120∘
=7
= 7
中
的外接球直径为
7 2 7
=
2 =
=
sin∠
3
3
2
∵ ⊥平面 ∴ ⊥ ∴ ∆是直角三角形
是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
立体几何中的与球有关的内切外接问题分解课件
公式
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件
C.
1变变:2式式则 :3题 题：：在 一已A个知正各B方顶中 BC 体点. 的都各在， 顶一点个用 均球在面同上解 一的球正直 的四球棱面柱角 上高识 ，为三 若4，该得 体角 正积方r为， 体形 1的6，3表3则知 面,这从 积个为球2而 S的4，表O 则1面该积球为S的（体A2积为）AO 12 .
球外接于正方体
D A
D1 A1
C
对角面 A
B
O
设棱长为1
C1
A1
B1
C
2R 3
O
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
二、构造法
1、构造正方体 例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长
均为 3 ，则其外接球的表面积是 9
变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D， D 平 A A， 面 B A C B B ,D C A A B B C 3 则球O的体积等于
高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ） 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 (h
A. 1 6 B. C. 2 4 D. 2 0 3 2 为正四面体的高)，且外接球的半径 ，从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。
66x433,x2h,hx
1, 2 3．
∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 Rr2d21, V 2球43 .
d
3 2
小结 本题是运用公式 R2r2d2求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都 相切)的表面积为________，体积为________．
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D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的 平面截球与正四面体所得的图形如下，
则（ D ）
①
②
③
④
• A．以下四个图形都是正确的 • C．只有④是正确的
B．只有②④是正确的 D．只有①②是正确的
解法2：
A B
O D
r
62
例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的
全面积和它的内切球的表面积。
解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD =
A
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
1 3
2
VABC D3
2 6 4
1
O
D
1
3 r S全 32 23r
球与多面体的内切、外接
球的半径r 的棱长a有什么关系？
.r
a
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4 R3
3
二、球与多面体的接、切
② S球面4R2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 多面体的内切球 。
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，
SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
S
A.
B.
C.1
D.
答案：D.
O
，即
.
C
A
M
B
7
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
例 9、已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上，
．
4
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。
例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为2 6 。求棱锥的全面
积和它的内切球的表面积。
A
解法1： 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
所示，该斜三棱柱的体积为______.
4 举一反三-突破提升
2、（2015 郑州三模） 正三角形ABC的边长为2 3 ，将
它沿高AD翻折，使点B 与点C间的距离为 3 ，此时四面
体ABCD的外接球的体积为
。
BD DC 3
BC 3
A B C 等边三角形
BE 1 3 1 2 sin 60
1
剖析定义
一、由球心的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的 所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简 单多面体的外接球球心。
1 一、定义法 针对讲解
D
AO
C
图4 B
2 求正方体、长方体的外接球的有关问题
2
求正方体、长方体的外接球的有关问题
②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法)，联系正方体。
AD 3 , BE 1 3
2
2 sin 60
OB OE2 BE2 9 1 13
4
2
V 4R2 13 13
且
，，
解：
且
，
，
因为 所以
所以知 所以可得图形为：
，
，
,
,求球 的体积。
P
在
中斜边为
在
中斜边为
B
取斜边的中点 ， 在
中
在
中
所以在几何体中
，即 为该四面体的外接球的球心
A
O
C
所以该外接球的体积为
03
破译规律-特别提醒
2 例题剖析-针对讲解
04
举一反三-突破提升
4
举一反三-突破提升
1、（2015 海淀二模）已知斜三棱柱的三视图如图
B
O1
E
r 62 S 球 8526
C 注意：①割补法，②
V V多 多面 面 体 体 13S13全r内 S全 切球 r内切球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截 面的可能图形是（ ）
①
②
③
④
• A ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④
ABC 所成的角为 60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A．
B.
C. 4
D.
5
正棱锥的外接球的球心是在其高上
例 6.一个正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为
则此球的表面积为 9 .
，五个顶点都在同一个球面上，
P
设外接球半径为 R，在△OO1A 中有
D
解得 . ∴ .
O1
O C
A B
6
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
体（棱长为a）的外接球半径R与内切球半径r之比 为R：r＝3：1.外接球半径：R 6 a
4
内切球半径：r 6 a
12
结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球
和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定
有内切球的半径 r 1 h (为正四面体的高)，且外接球的半径 R3r
，∴ ，
∴外接球的半径为
，∴球的表面积等于
.
解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小 圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利 用正弦定理得到小圆半径 c 2r ，从而解决问题。
sin C
5
正棱锥的外接球的球心是在其高上
例 5 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB=PC= ,侧棱 PA 与底面
C 求正多面体外接球的半径
A B
O D
C
求正方体外接球的半径
4
直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。
例 4、（2014）已知三棱柱 若该棱柱的体积为
的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，
．
，则此球的表面积等于_________．
解：由已知条件得： ∵
，∴
，
，∴
，
设 的外接圆的半径为 ，则
例 2.（全国卷）一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在
同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3
B. 4 C. 3 3 D. 6
2 破译规律-特别提醒
3
球与正四面体内切接问题
【例3】求棱长为a的正四面体内切球的体积．
3
球与正四面体内切接问题
3 正四面体内切、外接结论 球内接长方体的对角线是球的直径。正四面
O F D BC2 6 O1E 2 且AE 3
B
O1
E
S 全 31 226
3 3262 4
C
9 26 3
作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r
∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
r 1r
S 球 8 5 262 3