外接球与内切球
多面体的外接球和内切球(解析版)
多面体的外接球和内切球一、结论1、球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P -ABCD 中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：V P -ABCD =V O -ABCD +V O -PBC +V O -PCD +V O -PAD +V O -PAB即：V P -ABCD =13S ABCD ⋅r +13S PBC ⋅r +13S PCD ⋅r +13S PAD ⋅r +13S PAB ⋅r ，可求出r .球的外接问题1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )3.单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4.双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题1(2023春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()A.3π4B.3πC.12πD.16π【答案】B【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R=12+12+12=3，故R=3 2．所以S=4πR2=4π×322=3π．故选：B．【反思】本例属于正方体外接球问题，其外接球半径公式可直接记忆.2(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)在四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC= 120°，AB=AC=AP=2，则该四面体的外接球的表面积为()A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【详解】因为PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设底面△ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，所以PA⎳OG.设D为PA的中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA.因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC,所以PA⊥AG，所以OD⎳AG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以OG=AD=12PA=1.因为∠BAC=120°，AB=AC=2，所以BC=AB2+AC2-2AB⋅AC cos∠BAC=4+4-2×2×2×-1 2=23,由正弦定理，得2AG=2332=4⇒AG=2.所以该外接球的半径R满足R2=OG2+AG2=5,故该外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选:D.【反思】本例属于单面定球心问题①用正弦定理求出ΔABC外心G；②过G做平面ABC的垂线，则外接球球心O在此垂线上；③通过计算算出半径.3(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD 是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50π C.100π D.500π3【答案】B【详解】因PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又因四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD.则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同.又PA=5，AB=3，AD=BC=4．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：R=PA 2+AB 2+AD 22=32+42+522=522，则外接球的表面积为：S =4πR 2=4π⋅504=50π.故选：B【反思】本例属于墙角型模型，通过补形，将原图形补成长方体模型，借助长方体模型求外接球半径.4(2023·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的各边长为2,∠D =60°．如图所示，将ΔACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S -ABC ，此时SB =3．E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S -ABC 的外接球上运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹的周长为()A.233π B.433π C.533π D.2213π【答案】C【详解】取AC 中点M ，则AC ⊥BM ,AC ⊥SM ,BM ∩SM =M ，∴AC ⊥平面SMB ，SM =MB =3，又SB =3，∴∠SBM =∠MSB =30°，作EH ⊥AC 于H ，设点F 轨迹所在平面为α，则平面α经过点H 且AC ⊥α，设三棱锥S -ABC 外接球的球心为O ,△SAC ,△BAC 的中心分别为O 1,O 2，易知OO 1⊥平面SAC ,OO 2⊥平面BAC ，且O ,O 1,O 2,M 四点共面，由题可得∠OMO 1=12∠O 1MO 2=60°，O 1M =13SM =33，解Rt △OO 1M ，得OO 1=3O 1M =1，又O 1S =23SM =233，则三棱锥S -ABC 外接球半径r =OO 21+O 1S 2=73，易知O 到平面α的距离d =MH =12，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r 1=r 2-d 2=73-14=536，∴截面圆的周长为l =2πr 1=533π，即点F 轨迹的周长为533π．故选：C 【反思】此题典型的双面定球心。
外接球与内切球
外接球与内切球【基础回顾】 球的体积公式：343V R π=球的表面积公式：24S R π= ☆核心：求出外接球/内切球的半径R . 【知识引导】一、多边形外接圆⇒几何体外接球（圆心到多边形各个顶点距离相等，距离为半径r ⇒球心到几何体各顶点距离相等，距离为半径R ） ☆核心：找到合适底面外接圆圆心，求出半径r . 【1】常见多边形外接圆半径 1. 四边形长方形： 半径：22a br +=，圆心：对角线交点正方形： 半径：22r a =， 圆心：对角线交点2. 三角形☆等边三角形： 半径：3r =， 圆心：中线三等分点 （注意讲解中线上2:1关系）直角三角形： 半径：222a br +=， 圆心：斜边中点120︒等腰三角形： 半径：r a =，圆心：如图，在三角形外部普通三角形： 半径：利用正弦定理2sin ar A= （已知一组对边角） （这里r 即为外接圆半径）【2】常见几何体外接球半径1. 直棱柱：222hR r⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，r为底面外接圆半径，h为柱体的高（注：斜棱柱无外接球）长方体：半径：222a b c R++ =正方体：半径：3R=，球心：体对角线交点直三棱柱：半径：222h R r⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2. 锥体：正三棱锥：外接球球心在底面的高线上球半径可利用勾股定理列方程求解正四面体：半径：64R=，二、多边形内切圆⇒几何体内切球【解题技巧与步骤】一、求解外接球半径R （☆核心：找到合适底面外接圆圆心，求出半径r ）【1】柱体：R =r 为底面外接圆半径. 【2】锥体步骤：（1）选合适底面，找圆心O '，求出底面外接圆半径r .（底面：长方形，正方形，等边∆，直角∆，120︒等腰∆，已知一组对边角的∆） （2）将圆心向上平移h ，得到球心O☆（3）利用PO AO =（R 相等）列方程求h （OA（4）将h 代入OA =R（三棱锥外接球为重点内容，重点讲解第3步列方程中各长度的求解）二、求解内切球半径R （核心：等体积法）题型一、柱体外接球1. 一个长方体的长、宽、高分别为3,4,5cm cm cm ，则该长方体的外接球的体积是________3cm ．2. 长方体的长宽高分别是 ，，，则其外接球的体积是 ．3.长、宽、高分别为 、 、 的长方体的外接球的表面积为 ．4.一个棱长为2cm 的正方体的外接球的体积是_________3cm ．5.若正方体外接球的体积是 ，则正方体的棱长等于 ．6.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A . B. C.132D. 7.三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A. B. C.D.8.三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.B.C.D.9.已知侧棱与底面垂直的三棱柱满足，，则其外接球的表面积为 ．10.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. 2a π B.273a π C.2113a π D. 25a π11.设正三棱柱中，，，则该正三棱柱外接球的表面积是．12.一个直六棱柱的底面是边长为的正六边形，侧棱长为，则它的外接球的表面积为．题型二：锥体外接球（等边三角形（含正三棱锥））1.在正三棱锥中，，分别是棱，的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是．2.已知三棱锥的所有棱长均为 ，则该三棱锥的外接球的直径为 ．3.一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是___________.4.已知球的直径6SC =，,A B 是该球球面上的两点，且3AB SA SB ===，则棱锥S ABC -的体积为A . B.C.D.5.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =,则此棱锥的体积为_________________.6.菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=︒，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120︒，已知,,,A B C D 四点在同一个球面上，则球的表面积等于___________.7.在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是等边三角形，侧面PAB 是直角三角形，且2PA PB ==，当三棱锥P ABC -表面积最大时，该三棱锥外接球的表面积为 A. 12π B. 8π C. 43πD.323π8.三棱锥中， 为等边三角形，，，二面角的大小为，则三棱锥 的外接球的表面积为A. B.C.D.9.已知三棱锥A BCD -中，2,2AB AC BD CD BC AD =====，直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的体积为A. 8πB.C.D.（直角三角形） 1.设，，， 是球面上的四点，，， 两两互相垂直，且 ，，，则球的表面积为A. B. C. D.2.已知 的顶点都在球 的球面上，，，，三棱锥的体积为，则该球的表面积等于 ．3.已知三棱锥 中，，，，，则该三棱锥外接球的体积为 ．4.已知四面体P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ABC ⊥平面, AB AC ⊥,且AC =2PB AB ==,则球O 的表面积为_______________________.5.某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为A. B. C. D.6.一个三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的体积是．7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的A.外接球的体积为B.外接球的表面积为4πC.体积为D.18.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的表面积是A. B. C. D.9.已知点,,,A B C D 在同一个球的球面上，2AB BC ===,若四面体中球心O 恰好在侧棱DA 上，DC =则这个球的表面积为___________________.10.在体积为43的三棱锥S ABC -中，2,90,AB BC ABC SA SC ==∠=︒=，且平面SAC ⊥平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是A.B. 92π C. 272π D. 12π11.如图，三棱锥中S ABC -，,6,12SA ABC AB BC ⊥==平面, AC SB ==则三棱锥S ABC -外接球的表面积为_______________.12.已知三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的三视图如图所示，三个视图的外轮廓都是直角三角形，则其侧视图面积的最大值为 ．13.在三棱锥 中，， 斜边上的高为 ，三棱锥的外接球的直径是 ，若该外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为B. C.D.14.如图所示，平面四边形ABCD 中，,,AB AD BD CD BCD ⊥⊥∆BD 折成四面体ABCD ，满足二面角A BD C --为60︒.若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为( )A. 4πB.C. 8πD.（正弦定理）1.如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC ∆中，AB =60,90,,ACB BCD AB CD CD ∠=︒∠=︒⊥=则该球的体积为___________.2.三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，且2,5,6PA AB AC BC ====，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为___________.3.三棱锥P ABC -中，6,AB BC AC PC ===⊥平面ABC ，2PC =，则这三棱锥的外接球表面积为A . 253π B.252π C.833π D.832π（120︒等腰∆） 1.已知球的半径为 ，，， 三点在球 的球面上，球心 到平面的距离为，，， 则球的表面积为 A. B.C.D.（四棱锥）1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 ，底面边长为 ，则该球的表面积为 ．2.底面为正方形，顶点投影再底面中心的棱锥P ABCD-的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为_____________3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为A. 8πB. 252π C. 12π D.414π4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球体的表面积是A. 12πB. 24πC. 32πD. 48π5.某四棱锥的三视图如图所示，其中网格中的小正方形的边长为1，侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的外接球的表面积是___________.6.已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PBC ABCD ⊥平面平面，PE BC ⊥于点E ，1EC =，AB =,3,2BC PE ==则四棱锥P ABCD -的外接球半径为________________.7.四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，,E F 分别是棱,AB CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为( )A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π8.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的外接球表面积为________________.题型三：内切球1.在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为．2.已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为√2a．求它的内切球的表面积．。
专题——几何体的外接球和内切球问题
B．112π
C.1 000π 9
D.5 000 10π 81
※内切球问题 1．正棱锥的内切球.
第一步：先现出内切球的截面图， E, H 分别是两个三角形的外心； 第二步：由 POE 相似于 PDH ，建立等式： OE PO ，解出 r
DH PD
2．任意多面体的内切球：等体积法，
例 3 非直二面角类型
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
专题——几何体的外接球和内切球问题
※基础知识：
1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径： 3 a 6
外接圆半径： 3 a 3
面体的外接球的球心。 由定义，给出以下简单多面体外接球的球心的结论。
结论 1：正方体或长方体的外接球的球心就是其体对角线的中点，即其外接球的半径 R 满足：
2R2 a2 b2 c2 ，即 R a2 b2 c2
2 结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点，即正棱柱的外接球的半径 R 为： R h 2 r 2 （其中 h 为正棱柱的侧棱长， r 是底面多边形的外接圆的半径）
（1）已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中，BAD 60 ，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C 的大
小为120 的四面体，则该四面体的外接球的表面积为
。
第一步：先求出多面体的表面积和体积； 第二步：解出 r 3V S表
例 1、正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
球。
3．球的截面：
用一平面 去截一个球 O ，设 OO 是平面 的垂线段，O 为垂 足，且 OO d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以
空间几何外接球和内切球含详解
A.
B.
C.
D. ⺁
2．已知如图所示的三棱锥 D ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上， ABC 和 DBC 所在平面相互垂直， AB 3 ， AC 3 ， BC CD BD 2 3 ，则球 O 的表面积为 ( )
A ． 4
B ．12
C ．16
D ． 36
3．三棱锥 P ABC 的底面是等腰三角形，C 120 ，侧面是等边三角形且与底面 ABC 垂直，AC 2 ，
ᒺ ，若三棱柱的所有顶点都在同一
考向三 棱锥的外接球
类型一：正棱锥型
【例 3-1】已知正四棱锥 P ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 2 ，若该正四棱锥的
体积为 2，则此球的体积为 （ ）
A. 124 3
B. 625 81
C. 500 81
D. 256 9
【套路总结】
【举一反三】
【举一反三】 1. 设直三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是 40π，AB=AC=AA1，∠BAC=120°， 则此直三棱柱的高是________.
2.直三棱柱 홨 홨 中，已知 홨 홨， 홨 ᒺ ，홨 ᒺ ⺁， 球面上，则该球的表面积为__________．
B. 20
C. 12
D. 20 3
【套路总结】 侧棱垂直与底面---垂面型
【举一反三】 1.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. ⺁π
B. ᒺπ
C. π
D. ⺁π
2.已知三棱锥 S－ABC 中， SA 平面 ABC ，且 ACB 30 ， AC 2AB 2 3.SA 1 .则该三棱锥
【举一反三】
高考数学 核心考点 外接球与内切球的计算
A微专题 与球相关的外接与内切问题知识梳理1、若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球，计算外接球的两大方法：构造法、球心定位法。
2、若一个多面体的各面都与内部的一个球相切，那么这个球叫做这个多面体的内切球。
3、球的性质：球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 的关系：222dr R +=题型归纳方法一 构造法（补形法）处理外接球问题事实：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 类型一：三棱相互垂直型【例1】如图所示，设A ，B ，C ，D 为球O 上四点，AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝AC ＝3， 若AD ＝R(R 为球O 的半径)，则球O 的表面积为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【解析】因为AB ，AC ，AD 两两垂直，所以以AB ，AC ，AD 为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB ＝AC ＝3，所以AE ＝6，AD ＝R ，DE ＝2R ，则有R 2＋6＝(2R)2，解得R ＝2，所以球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选D 。
【点评】当一三棱锥的三侧棱a 、b 、c 两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解，长方体的外接球即为该三棱锥的外接球，满足2222)2(c b a R ++=关系式。
变式1：如图所示，已知三棱锥A-BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ， BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为( )A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π【解析】由AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD 知三棱锥A-BCD 可以补成以AC ，BC ，CD 为三条棱的长方体，设球O 的半径为R ，则有(2R)2＝AC 2＋BC 2＋CD 2＝3＋4＋5＝12，所以S 球＝4πR 2＝12π.故选A 。
外接球与内切球解题方法
空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1•球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。
2•外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一入球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
3•内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
二、外接球的有关知识与方法1・性质：性质1：过球心的平面裁球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2:经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面裁球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在范平面（类比：圆的垂径定理）;性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5:在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1 初图2初图1 初图22. 结论:结论I:长方体的外接球的球心在体对角线的交点外，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此直垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6:直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8:圆锥体轴裁面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3. 终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法|.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。
内切球与外接球常见解法
内切球与外接球常见解法在立体几何的学习中，内切球与外接球问题常常让同学们感到头疼。
其实，只要掌握了常见的解法，这类问题就能迎刃而解。
下面咱们就来详细探讨一下内切球与外接球的常见解法。
首先，咱们得明白什么是内切球和外接球。
内切球就是一个几何体内部恰好能够容纳一个球，并且这个球与几何体的各个面都相切；外接球则是指一个几何体恰好能够被一个球完全包围，并且几何体的各个顶点都在这个球面上。
对于常见的几何体，比如长方体、正方体、正四面体等，都有比较固定的求解方法。
先来说说长方体的外接球。
假设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，那么其外接球的直径就是长方体的体对角线长度。
体对角线长度可以通过勾股定理求出，即\（＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}＼），所以外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}｝｛2}＼）。
正方体就更简单啦。
设正方体的棱长为 a，那么其外接球的直径就是正方体的面对角线长度的\（＼sqrt{3}＼）倍，所以外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{3}a}｛2}＼）。
再看看正四面体的外接球。
正四面体比较特殊，我们可以通过一些几何关系来求解。
设正四面体的棱长为 a，先求出正四面体的高\（h ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛3}a\），然后外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛4}a\）。
接下来，咱们说说一般多面体的外接球求解方法。
其中一种常用的方法是补形法。
比如说，如果一个三棱锥的对棱相等，那么我们可以把它补成一个长方体，然后利用长方体的外接球求解方法来解决。
还有一种方法是找球心。
球心到几何体各个顶点的距离都相等，我们可以通过一些已知条件，比如垂直关系、距离关系等来确定球心的位置。
对于内切球的求解，通常会用到体积分割的方法。
比如说，对于一个三棱锥，如果知道了它的表面积和体积，那么内切球的半径 r 就可以通过体积分割来求。
设三棱锥的体积为 V，表面积为 S，那么\（V ＝＼frac{1}｛3}Sr\），从而可以求出内切球的半径 r 。
空间几何体的外接球与内切球。专题汇编
空间几何体的外接球与内切球。
专题汇编本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的定义、性质、结论和求解方法。
首先，球的定义是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，简称球。
在此基础上，定义了外接球和内切球。
外接球是指一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，这个球是这个多面体的外接球；内切球是指一个多面体的各面都与一个球的球面相切，这个球是这个多面体的内切球。
其次，文章介绍了外接球的性质和结论。
其中，外接球的性质包括过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面；球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心。
文章还列举了各种空间几何体的外接球的结论，如长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处等。
最后，文章介绍了内切球的一个重要结论，即若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。
同时，文章还提到了勾股定理、正定理及余弦定理等求解三角形线段长度的方法。
经过剔除格式错误和删除有问题的段落，本文更加清晰明了地介绍了空间几何体的外接球与内切球的相关知识和方法。
2.内切球与多面体各面的距离相等，外接球与多面体各顶点的距离相等，类比于多边形的内切圆。
3.正多面体的内切球和外接球的球心重合。
4.正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上，但不一定重合。
5.求解内切球半径的基本方法有两种：一是构造三角形利用相似比和勾股定理，二是体积分割法，即等体积法。
6.与台体相关的内容在此略过。
7.八大模型之一是墙角模型，其中三条棱两两垂直，可以直接使用公式(2R)2=a2+b2+c2求出内切球半径R。
8.举例说明：（1）已知同一球面上正四棱柱的高为4，体积为16，则其内切球表面积为24π；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球表面积为9π；（3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM垂直MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。
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简单几何体的外接球与内切球问题
复习回顾：
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
学习重点：
常用性质：
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
自我训练：
一、 直棱柱的外接球
1、长方体的外接球：
长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几
何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2
2
22c b a R ++= 2、正方体的外接球：
正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。
3、直棱柱的外接球：
方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。
例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98
，底面周长为３，则这个球的体积为 . 例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
二、棱锥的外接球
1、正棱锥的外接球
方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。
例3、正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
例4、若正四面体的棱长为4，则正四面体的外接球的表面积为___________。
例5、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ）
（A ）433 (B)33 (C) 43 (D) 12
3 2、补体方法的应用
（1）正四面体（2）三条侧棱两两垂直的三棱锥
（3）四个面均为直角三角形的三棱锥（4）对棱相等的三棱锥
例6、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62cm 、42cm 和32cm ，那么它的外接球的体积是 。
例7、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )
A. 4π
B. 8π
C. 12π
D. 16π
三、圆柱、圆锥的外接球
旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。
例8、圆台的底面半径分别是3和6，母线长为5，求该圆台的外接球的半径。
例9、圆柱的底面半径为4，母线为8，求该圆柱的外接球的半径。
例10、圆锥的底面半径为2，母线长为4，求该圆锥的外接球的半径。
四、正方体的内切球
设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。
（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2
a R =；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2
2=。
五、棱锥的内切球（分割法）
将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R 的方程。
若棱锥的体积
为V ，表面积为S ，则内切球的半径为S V R 3=. 例11、正四棱锥S ABCD -，底面边长为2，侧棱长为3，则内切球的半径是多少？ 例12、三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则此三棱锥内切球的半径为（ ）
六、圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法）
例13、圆锥的高为4，底面半径为2，求该圆锥内切球与外接球的半径比。
例14、圆柱的底面直径和高都是6，求该圆柱内切球的半径。
讨论总结：
巩固训练：
1、一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。
2、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________．
3、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 .
4、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,
ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为
A B C P
D
E
F
图1
图2
（ ）
A B C D
5、已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为
形.若,则△OAB 的面积为______________.
读题背题：
作业：
1、已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
2、在三棱锥BCD A -中，BC CD BCD AB ⊥⊥,平面,543===CD BC AB ，， 则三棱锥BCD A -外接球的表面积__________。