高三专题复习立体几何外接球和内切球无答案

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高考数学复习微难点11 空间几何体的外接球和内切球问题

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若直三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长均为 2 3，则此三棱柱的外接球的表面积为( C )
A. 12π
B. 16π
C. 28π
D. 36π
【解析】由直三棱柱的底面边长为 2 3，得底面外接圆的半径 r＝12·2 π3＝2，又由 sin3
直三棱柱的侧棱长为 2 3，得 h＝2 3，所以外接球的半径 R＝接球的表面积为 S＝4πR2＝28π.
EC＝BE, 所以四边形 ADCE，四边形 ABED 均为平行四边形，所以 AE＝DC，AB＝DE.
又 DC＝1BC，所以 AE＝1BC＝AB，所以 AE＝DE＝BE＝EC，所以 E 为四边形 AB球心，由球的性质可知 OE⊥平面 ABCD，作 OF⊥PA，
垂足为 F，所以四边形 AEOF 为矩形，OF＝AE＝2.设 AF＝x，OP＝OA＝R，则 4＋
16π 3
4π C. 3
32 3π D. 27
【解析】因为 AB＝AC＝1，BC＝ 3，由余弦定理可求得∠BAC＝23π，由正弦定理
可求得△ABC 的外接圆的半径 r＝2sBinC23π＝1.因为 PA＝PB＝PC＝2，所以 P 在底面上的
射影为△ABC 的外心 D，且 PD＝ 3.设三棱锥外接球的半径为 R，则 R2＝12＋( 3－R)2，
(例 2(1))
(2) (2021·福州二模)已知 P，A，B，C，D 是球 O 的球面上的五个点，四边形 ABCD
为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝PA＝4，PA⊥平面 ABCD，那么球 O 的体积
为( A )
64 2π A. 3
16 2π B. 3
C. 16 2π

2020高考热点立体几何之外接球和内切球

2020高考热点立体几何之外接球和内切球(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--外接球和内切球题型一高过外心（正棱锥、圆锥、侧棱相等）【例1】已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，2PA AB ==，则球O 的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】C 【解析】∵正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，PA ＝AB ＝2， ∴连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ，则PO ⊥面ABCD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD=221=AC ，OP 222=-=OB PB ，∴O 是球心，球O 的半径r =∴球O 的表面积为S ＝4πr 2＝8π．故选：C ．【举一反三】1．（2019·广东高考模拟（文））在三棱锥P ABC-中.2PA PB PC ===.1AB AC ==，BC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．8πB ．163πC ．43πD ．27【答案】B题型二高不过心（直棱柱、圆柱、侧棱垂直于底面的圆锥）【例2】（1）（2019·天津高考模拟（理））长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB =2，AD =√3，AA 1=1，则球的表面积为______．（2）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（）【答案】（1）8π（2）D【举一反三】1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，12,4AA BC BAC π==∠=，则三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D2．四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，则PA 的长为（） A ．3B ．2C ．1D ．12 【答案】C3．四棱锥A BCDE -的各顶点都在同一球面上，AB ⊥底面BCDE ，底面BCDE 为梯形，60BCD ∠=，且2AB CB BE ED ＝＝＝＝，则此球的表面积等于（）A ．25πB ．24πC ．20πD ．16π【答案】C题型三找高作心（顶点的投影在底边上）【例3】（1）在三棱锥P −ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，ΔABC 是边长为2√3的等边三角形，其中PA =PB =√7，则该三棱锥外接球的表面积为_____．（2）在四面体ABCD 中，ABD ∆与BDC ∆都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为_______．【举一反三】1．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.【答案】1015π3（2019·河南高考模拟（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（）A B C ．193π D ．223π 【答案】A考向四球心在边上（斜边是球的直径）【例4】在三棱锥P ABC -中，2AC AB ==BC =90APC ∠=，平面ABC ⊥平面PAC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A ．4πB ．5πC ．8πD ．10π【答案】D【举一反三】1．已知三棱锥A SBC -，各顶点均在以SC 为直径球面上，2AB AC BC ===，则这个球的表面积为_____________。

高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)-精选.pdf

高考数学中的内切球和外接球问题
一、有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面
体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接
球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点 . 考查
学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要
学习 .
五 .确定球心位置法
例 5 在矩形 ABCD 中， AB 4, BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一
个直二面角 B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为
125
A. 12
125
B. 9
125
C. 6
125
D. 3
D
A
O
C
图4 B
解设矩形对角线的交点为 O ，则由矩形对角线互相平分，可知
例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的
表面积为 24 ，则该球的体积为 ______________.4 3 . 2、求长方体的外接球的有关问题
例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条
棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为
.14 .
例 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，
只是希望能有个人，在我说没事的时候，知道我不是真的没事；能有个人，在我强颜欢笑的时候，知道我不是真的开心。 ——张小娴
OA OB OC OD .∴点 O 到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的距离相
等，即点 O 为四面体的外接球的球心，如图 2 所示 .∴外接球的半径
5 R OA
V 球 4 R3 125
2 .故
3
6 .选 C.

专题08 外接球与内切球(新高考地区专用)(解析版)复习资料

专题08 外接球与内切球一．外接球8大模型秒杀公式推导r α说明：为底面外接圆的半径，R 为球的半径，l 为两面公共边的长度为两个面的二面角，h 是空间几何体的高，H 为某一面的高1.墙角模型(1) 使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合（2）推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径(2) 秒杀公式：222222a b c 3a R (a b c R (a 44++==、、为长方体的长宽高）正方体的边长）（4）图示过程(3) 秒杀公式：2.汉堡模型技巧导图技巧详讲（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置第二步：根据勾股定理可得2 22h R r4=+（3）秒杀公式：2 22h R r4=+（4）图示过程3.斗笠模型（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h 第二步：在h上取一点作为球心O第三步：根据勾股定理22 222r h R(h R)r R2h+ =-+⇔=（3）秒杀公式：22r h R2h+ =（4）图示过程4.折叠模型（1）使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（2）推导过程第一步：过两个平面取其外心H 1、H 2，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O第二步：计算2222222111OH H E tan=(CE-H E)tan (H r)tan (222ααα==-α为两个平面的二面角）第三步：22222211OC OH CH (H r)tanr 2α=+=-+ （3）秒杀技巧：2222R (H r)tanr 2α=-+ （4）图示过程5.切瓜模型（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥（2）推导过程：第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F 、N ，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O ，取BC 的中点为M ，连接FM 、MN 、OF 、ON第二步：22222222212l ONMF OA AN ON AN MF R r r 4∴=+=+∴=+-为矩形由勾股可得（3）秒杀公式：2 22212lR r r4=+-（4）图示过程6.麻花模型（1）使用范围：对棱相等的三棱锥（2）推导过程：设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、c 2222222222222x a bx y zy b c R8z a c⎧=+⎪++⎪=+⇔=⎨⎪=+⎪⎩（3）秒杀公式：2222x y zR8++=（4）图示过程7.矩形模型（1）使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边（2）推导过程：根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得，斜边为球的直径（3）秒杀公式：22l R 4=（4）图示过程8.鳄鱼模型（1）使用范围：适用所有的棱锥（2）推导过程：121212222121221212221122211O O O O O O OO E r (1sin O O E O O =O E O E 2O E O E cos 2 OD O O O D 3OD O O O D∴α∆+-α=+=+第一步：在两个平面上分别找外心、两外心做这两面的垂线相交于球心第二步：四点共圆，正弦定理可得OE=2=）在中，（）（）第三步：由（1）（2）（3)整理可得且过 2221122212112222221211122221212 =OE O E O DO O O E O D sin O E O E 2O E O E cos O E O D sin O E O E 2O E O E cos =sin -+=-+α+-α=-+α+-α=2211O E O B-+α2122222O E =m O E =n AB =l,m n 2mncos l R =+sin 4α+-αα第四步：设，，两个面的二面角为由第三步可得（3）秒杀公式：22222m n 2mncos l R =+ sin 4+-αα （4）图示过程二．内切球的半径---等体积法 1. 推导过程P ABC PAB PAC PBC ABC PAB PAC PBC ABC 11111V S h RS RS RS RS 333331=R(S S S S )31=RS 33V R=S -∆∆∆∆∆∆∆∆==++++++∴底面表面积几何体表面积以三棱锥P-ABC 为例2. 秒杀公式：3V R=S 几何体表面积3. 图示过程特别说明：下面例题或练习都是常规方法解题，大家可以利用模型的秒杀公式技巧1 外接球之墙角模型【例1】（2020·河南高三月考）已知长方体''''ABCD A B C D-中，''3A B=，''1B C=，'A B与平面''ACC A所成角的正弦值为510，则该长方体的外接球的表面积为（）A．4πB．16πC．163πD．323π【答案】B【解析】作BE AC⊥，垂足为E，连接'A E，BE.因为平面ABC⊥平面''ACC A，平面ABC平面''ACC A AC=，BE⊂平面ABC，所以BE⊥平面''ACC A，所以'BA E∠是'A B与平面''ACC A所成的平面角.又223132(3)1BE⨯==+，22'(3)'3'A B AA AA=+=+.例题举证所以sin''10BEBA EA B∠===，解得'AA=.4=.设长方体的外接球的半径为R，则24R=，解得2R=.所以该长方体的外接球的表面积为2244216S Rπππ==⨯=.故选B.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）棱长为2的正方体的外接球的表面积为（）A．4πB．43πC．12πD．【答案】C【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以2R=解得R=2412S Rππ==.故选：C2．（2019·绥德中学）球面上有,,,A B C D四个点，若,,AB AC AD两两垂直，且4AB AC AD===，则该球的表面积为（）A．803πB．32πC．42πD．48π【答案】D【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R，由题意可得：()22222444R=++,据此可得：212R=，外接球的表面积为：2441248S R πππ==⨯=.本题选择D 选项.技巧2 外接球之汉堡模型【例2】（2020·四川泸州市·高三）已知四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形，3AB =且AB ⊥平面BCDE ，则该四棱锥外接球的表面积为（） A ．4π B ．174πC ．17πD ．8π【答案】C【解析】由题意，四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形， 3AB =且AB ⊥平面BCDE ，可把四棱锥A BCDE -放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3，则四棱锥A BCDE -的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥A BCDE -的外接球的半径为R ，2R =，解得R =，所以该四棱锥外接球的表面积为22=4=417S R πππ⨯=. 故选：C.【举一反三】1．（2020·广州市广外）各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（） A ．16π B ．12πC ．10πD ．8π【答案】B【解析】因为正四棱柱高为2，体积为8，所以它的底面边长是2，所以它的体对角线的长是因此它的外接球的直径是所以这个球的表面积是：2412S ππ==.故选：B ．2．（2020·辽宁省高三）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，BD ⊥平面ADC ，BD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，AC ，则三棱锥A ﹣BCD 外接球的体积为（）A ．4πB ．3πC ．D ．【答案】D【解析】因为BD ⊥平面ADC ，所以BD AD ⊥，BD DC ⊥，所以222413AD AB BD =-=-=，222918DC BC BD =-=-=，所以222AC AD DC =+，所以AD DC ⊥，所以以DA 、DB 、DC 为棱的长方体与三棱锥A ﹣BCD 具有相同的外接球，==则该外接球的体积为343π⨯=故选：D.3．（2020·广东广州市·高三月考）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 在正方形11CDD C 内，1C M ⊥平面1ACM ，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为（） A ．11π2B ．7πC ．11πD ．14π【答案】C【解析】长方体1AC 中，11A D ⊥平面11CDD C ，1C M ⊂平面11CDD C ，∴111C M A D ⊥，又1C M ⊥平面1ACM ，1AC ⊂平面1ACM ，∴11C M AC ⊥， ∵1111AC A D A =，∴1C M ⊥平面11A CD ，而1CD ⊂平面11A CD ，∴11C M CD ⊥，11CDD C 是正方形，∴M 是1CD 与1C D 交点，即为1CD 的中点，也是1C D 的中点．1C MC △是直角三角形，设E 是1CC 中点，F 是1BB 中点，则由//EF BC 可得EF ⊥平面1MCC （长方体中棱与相交面垂直），E 是1C MC △的外心，三棱锥11A MCC -的外接球球心O 在直线EF 上（线段EF 或EF 的延长线上）．设OE h =，则22222(1)22h h ⎛⎫⎛+=++- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得32h =，∴外接球半径为2r ==，表面积为21144114S r πππ==⨯=．故选：C ．4．（2020·全国高三月考（文））三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，1AC =，AB =12AA =，则该三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为（）A ．3B ．3C ．3D ．8π【答案】B【解析】如图，取BC 中点1O ，连1BC 交1B C 于点O ，AC AB ⊥，1O ∴为Rt ABC 的外接圆圆心，3AB =，1AC =，2BC ∴=，ABC ∴外接圆半径为12BC=, 111////OO CC AA ，1AA ⊥平面ABC ，1OO ∴⊥平面ABC ，又1112BB OO ==，∴点O 为三棱柱111ABC A B C -的外接球球心，∴外接球半径R OB ===，∴外接球体积3433V R π==.故选：B.技巧3 外接球之斗笠模型【例3】（2020·江苏南通市·高三期中）正三棱锥S ABC -中，2SA =，AB =的表面积为（）A ．B ．4πC ．12πD ．6π【答案】C【解析】正三棱锥S ABC -中，2SA =，AB =所以222SA SB AB +=, 故SA SB ⊥,同理可得SA SC ⊥, SB SC ⊥, 以,,SA SB SC 为棱构造正方体，则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，如图，所以2222(2)22212R =++=，故球的表面积为2412S R ππ==,故选：C 【举一反三】1．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学）已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________. 【答案】64π【解析】过点S 作SE ⊥平面ABC 于点E ，记球心为O .∵在正三棱锥S ABC -中，底面边长为6，侧棱长为∴263BE ==∴6SE ==.∵球心O 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长R ， ∴OB R =，6OE R =-.在Rt BOE 中，222OB BE OE =+，即()22126R R =+-，解得4R =， ∴外接球的表面积为2464S R ππ==. 故答案为：64π.2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A【解析】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，1AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.技巧4 外接球之折叠模型【例4】（2020·广东省高三）在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．7πB ．8πC ．163πD ．283π【答案】D【解析】如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F则由AH ＝22⨯=AE 23=AH =EH 13=AH = 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°所以OE ＝1，则R ＝OA ==则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 故选：D【举一反三】1．（2020·山东枣庄市·高三期中）已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【答案】2887π【解析】设()06AB x x =<<，则6BC x =-，设PAB △和ABC 的外心分别为E 、H ，则,E H 分别为,PB AC 的中点，过点,E H 分别作PAB △和ABC 所在平面的垂线，两垂线的交点为点O ，则O 为三棱锥P ABC -的外心，连接OB ，则OB 为三棱锥外接球的半径．取AB 的中点G ，连接EG 、GH 、OG ，如图所示，由题意可知，2x EG =，32x GH =-，2xGB =，且EG AB ⊥，GH AB ⊥， EGH ∴∠为二面角PAB C 的平面角，即120EGH ∠=，连接EH ，OE ⊥平面PAB ，OH ⊥平面ABC ， OE EG ∴⊥，OH GH ⊥，,,,O E G H ∴四点共圆，且该圆的直径为OG ．在EGH 中，由余弦定理知，222222132cos 32392222242x x x x x EH EG GH EG GH EGH x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅∠=+--⋅⋅-⋅-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭EGH ∴的外接圆直径2sin1203EH OG ==2222224371272934221277x x OB OG GB x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=⋅-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当127x =时，2OB 取得最小值，为727，此时该球的表面积取得最小值，为2722884477OB πππ⋅=⋅=．故答案为：2887π． 2．（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S 一ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为1的正三角形，二面角A ﹣BC ﹣S 的大小为23π，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．73π B ．133π C ．43π D ．3π【答案】A【解析】取线段BC 的中点D ，连结AD ，SD ，由题意得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，∴∠ADS 是二面角A ﹣BC ﹣S 的平面角，∴∠ADS 23π=，由题意得BC ⊥平面ADS ，分别取AD ，SD 的三等分点E ，F ，在平面ADS 内，过点E ，F 分别作直线垂直于AD ，SD ，两条直线的交点即球心O ，连结OA ，则球O 半径R ＝|OA |，由题意知BD 12=，AD =DE 13AD ==AE 23AD ==连结OD ，在Rt △ODE 中，3ODE π∠=，OE =12=， ∴OA 2＝OE 2+AE 2712=， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 273π=．故选：A ．技巧5 外接球之切瓜模型【例5】（2020·内蒙古赤峰市·高三月考）已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A ．143πB ．283πC ．11πD ．12π【答案】B 【解析】如图，1PA =，3PB =，AB =∴222PA AB PB +=，2PAB π∠=，所以ABP △的外接圆的圆心为斜边PB 的中点N,CA CB ==∴ABC 为等腰三角形.取AB 的中点D ，连接CD ，DN ，∴CD AB ⊥，AD BD ==∴CD ==又面PAB ⊥面ABC ，面PAB ⋂面ABC AB =，CD ⊂面ABC ，∴CD ⊥面PAB ，过点N 作CD 的平行线，则球心O 一定在该直线上.设ABC 的外接圆的圆心为1O ，,则1O 点在CD 上，连接1OO , 由球的性质则，1OO ⊥平面ABC ，则1O OND 为矩形. 在ABC中，cos 5CAB ∠==,则sin 5CAB ∠= 所以ABC的外接圆的半径12sin 3BC O A CAB ===∠所以16O A =，则1O D ===则1ON O D ==所以球的半径为OP ===所以三棱锥的外接球的表面积为2212844393πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B【举一反三】1．（2020·四川泸州市·高三一模）已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，且ABD △和BCD △都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（） A ．4π B ．163πC ．8πD ．203π【答案】D 【解析】如图，由已知可得，ABD △与BCD △均为等边三角形，取BD 中点G ，连接AG ，CG ，则AG BD ⊥， ∵平面ABD ⊥平面BCD ，则AG ⊥平面BCD ，分别取ABD △与BCD △的外心,E F ，过,E F 分别作两面的垂线，相交于O ，则O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心，由ABD △与BCD △均为边长为2的等边三角形，可得11233OE OF CG ===⨯=，223CE ∴==，R OC ∴====，∴三棱锥A −BCD 的外接球的表面积为2220443R πππ⨯=⨯=.故选：D.技巧6 外接球之麻花模型【例6】（2020·四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体ABCD 中，若AB CD ==2==AC BD ，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π【答案】C【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD 的四个面为全等的三角形，2x ，y ，z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体，并且x 2+y 2＝3，x 2+z 2＝5，y 2+z 2＝4，则有（2R ）2＝x 2+y 2+z 2＝6（R 为球的半径），得2R 2＝3，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝6π．故答案为6π．技巧7 外接球之矩形模型【例7】（2020·新疆维吾尔自治区）在四面体ABCD 中，AB =，1DA DB CA CB ====，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】B【解析】由AB =1DA DB CA CB ====，所以222CA CB AB +=，222AD BD AB +=可得90ACB ADB ∠=∠=，所以OA OB OC OD ====，即O 为外接球的球心，球的半径2R =所以四面体ABCD 的外接球的表面积为： 214422S R πππ==⨯=.故选：B 【举一反三】1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中）四面体SABC 中，AC BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，SA =AC =，BC =，则该四面体外接球的表面积为（）A ．323πB ．163πC ．16πD ．32π【答案】C【解析】如图所示：由已知可得SAB 与SBC 为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为SB 的中点O ，因为AC BC ==,且AC BC ⊥,所以10AB ,所以4SB ===,所以四面体SABC 的外接球半径2R =,则表面积2416S R ππ==.故答案选：C2．（2020·重庆一中高三）已知四面体ABCD 满足：1AB BC CD DA AC =====，BD =，则四面体ABCD 外接球的表面积为_______. 【答案】2π【解析】因为1AB BC CD DA ====，BD =，所以222BD AB AD =+，222BD BC CD =+，所以△,ABD △,CBD 均为直角三角形，取斜边BD 的中点O ，连接CO 、AO ，如图：易得CO AO BO DO ===，所以点O 为该四面体外接球的球心，所以球的半径122r OD BD ===22424S r πππ=⨯⎝⎭==. 故答案为：2π.技巧8 内切球半径【例8】（2020·全国）正四面体的外接球与内切球的表面积比为（） A ．9: 1 B ．27: 1 C ．3: 1D ．不确定【答案】A【解析】如图，正四面体ABCD 的中心O 即为外接球与内切球的球心，设正四面体的棱长为a ，可得33BE a =，63AE a =，又14OE AE =，64R OA a ∴==，612r a=，∴22342S R a ππ==外，22146S r a ππ==内．所以22392116a S S a ππ==外内故选：A【举一反三】1．（2020·北京）如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a ，那么球的体积为（）A ．343a π B ．3aC ．32a D ．316a π【答案】D【解析】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的12，所以球的半径为2a ，所以球的体积为334326a a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D.2．（2020·山西大同一中）已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）A ．25︰1B ．1︰25C ．1︰5D ．5︰1【答案】D【解析】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则MN =，MA =，因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以OM MN ==，即三棱柱内切球的半径r =，AM =，所以OA ==，即三棱柱外接球的半径3R a =，所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==，所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D3．（2020·江苏无锡市第六高级中学）的内切球，则此棱柱的体积是（）.A ．3B ．354cmC ．327cmD ．3【答案】B的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,13⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为16622⨯⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V＝54=cm 3．故选：B ．1．（2020·江苏镇江市·高三期中）直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA = ）A ．40πB ．32πC ．10πD ．8π【答案】A 【解析】如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA =∴可将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，其中2AB AC BM CM ====，11AA BB ==1CB ====r .∴球的表面积为224440S r πππ==⨯=.故选: A.2．（2020·江西高三其他模拟）在三棱锥P ABC -中，AB AC ==120BAC ∠=，PB PC ==PA = ）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【答案】A【解析】在BAC 中，2222cos 24BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅⋅∠=，即BC =PB PC ==∴PBC 为等边三角形根据题意，有如下示意图：如图，设ABC 的外接圆的圆心为1O ，连接1O C ，1O A ，1BC O A H ⋂=，连接PH.由题意可得AH BC ⊥，且112AH O A ==12BH BC ==.∴由上知：PH BC ⊥且PH ==222PH AH PA +=，∴PH AH ⊥，由AHBC H =，PH ⊥平面ABC.设O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，连接1OO ，OP ，OC 过O 作OD PH ⊥，垂足为D ，则外接球的半径R 满足()22222111()R OO CO PH OO OD =+=-+，1A C B O == 1OD O H AH ===，代入解得1OO =210R =，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2440R ππ=.故选：A.3．（2020·四川泸州市·高三）已知四棱锥A BCDE -中，AB ⊥平面BCDE ，底面BCDE 是边长为2的正方形，且3AB =，则该四棱锥外接球的表面积为（） A ．4π B ．174πC ．17πD ．8π【答案】C【解析】由题意，四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形， 3AB =且AB ⊥平面BCDE ，可把四棱锥A BCDE -放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3，则四棱锥A BCDE -的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥A BCDE -的外接球的半径为R ，2R =，解得R =，所以该四棱锥外接球的表面积为22=4=417S R πππ⨯=. 故选：C.4．（2020·四川宜宾市·高三）已知点P ，A ，B ，C 在同一个球的球表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PBBC PC =2，则该球的表面积为（）A ．6πB ．8πC ．12πD ．16π【答案】A【解析】如图，三棱锥P ABC -补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球，长方体的外接球的直径2R ====即2R =，则该球的表面积246S R ππ==.故选：A5．（2020·江西赣州市·高三）四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（） A ．3π B ．4πC ．6πD ．12π【答案】B【解析】如图，在四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，可得90BCD ∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，2=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1．其表面积为2414ππ⨯=．故选：B ．6．（2020·全国高三专题练习））平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，且2224AB BD +=，沿BD 将四边形折起成平面ABD ⊥平面BDC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A ．2π B ．2πC ．4πD ．16π【答案】C【解析】由题意，平面ABD ⊥平面BDC ，又因为平面ABD ⋂平面BDC BD =，AB平面ABD ，AB BD ⊥，可得AB ⊥平面BDC ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以//AB CD ，同理CD ⊥平面ABD ，所以ABC ∆、ACD ∆均为Rt ∆，设AC 中点为O ，连BO 、DO ，则12AO BO CO DO AC R =====，其中R 为三棱锥A BCD -外接球半径，则222222222224AC AB BC AB AD AB AB BD AB BD =+=+=++=+=，2AC =，则112R AC ==，故三棱锥A BCD -外接球的表面积为4π. 故选：C.7．（2020·湖北省鄂州高中高三月考）张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（）A ．30B ．C ．D ．36【答案】C【解析】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径R 满足：22222a R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则R =.由题意知：122aR r a -=-=，则2a =，R ，该正方体的外接球的表面积为12π，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即2π5168=，所以π=所以外接球的表面积为故选：C.8．（2020·江苏南京市第二十九中学高三期中）已知直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，且4AB =，16AA =，30ACB ∠=︒，则此直三棱柱的外接球O 的表面积是（）A ．25πB ．50πC ．100πD ．500π3【答案】C【解析】如图所示：设点O '为ABC 外接圆的圆心，因为30ACB ∠=︒，所以60AO B '∠=，又O A O B r ''==，所以AO B '△是等边三角形，所以4r O A O B AB ''====，又直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，所以外接球的半径为5R ==，所以直三棱柱的外接球O 的表面积是24100S R ππ==，故选：C9．（2020·全国高三专题练习）已知三棱柱111ABC A B C -(侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形)内接于球O ，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是3，则球O 的表面积是（） A ．228π c m 3B ．256π c m 3C ．27π c m 3D ．214π c m 3【答案】A【解析】易知11AB A ∠是1AB 与底面111A B C 所成的角，则1145AB A ∠=︒．故由11111tan tan 451AA AB A A B ∠=︒==，得111AA A B =．设111AA A B a ==，则11131224ABC A B C V a a a -=⨯⨯⨯==三棱柱，解得2a =．所以球O 的半径R ==所以球O 的表面积22228π4π4π3S R cm ==⨯=．故选：A ．10．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三）在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，AD AB ⊥，AB =6AD =，4BC =，PA PB PD ===P BCD -外接球的表面积为（）A ．60πB ．40πC ．100πD ．80π【答案】D【解析】如图，取AD 的两个三等分点1O 、E ，连接BD 、1O C 、CE ，设1BDO C H =，连接PH 、AH .则1123AO AD ==，14O D BC ∴==，又//BC AD ，1//BC O D ∴，所以，四边形1BCDO 为平行四边形，1O C BD H =，H ∴为BD 的中点，所以，1122AH BH DH BD =====由勾股定理可得14O B ===，则11O B O D =，在1Rt O AB △中，11tan ABAO B AO ∠==13AO B π∴∠=， //BC AD ，13CBO π∴∠=，又11BC O D O B ==，则1O BC △为等边三角形，1114O C O B O D ∴===，则1O 是BCD 的外接圆的圆心.因为PA PB PD ===H 为BD 的中点，PHBD ∴⊥，PA PB =，AH BH =，PH PH =，PAH PBH ∴≅△△，2PHA PHB π∴∠=∠=，PH AH ∴⊥，又PH BD ⊥，AHBD H =，PH ∴⊥平面ABCD ，且6PH ===.设O 为三棱锥P BCD -外接球的球心，连接1OO 、OP 、OD ，过O 作OF PH ⊥，垂足为F ，则外接球的半径R 满足()2222211146R OO OO O H =+=-+，设1OO x =，则()221664x x +=-+，解得2x =，从而222420R x =+=，故三棱锥P BCD -外接球的表面积为2480R ππ=. 故选：D.11．（2020·天津红桥区·高三期中）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A ．10B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】因为正四棱柱高为4，体积为16，所以正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为即2R =2424R S R ππ===球, 故选：C12．（2020·河南洛阳市·高三月考）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（）A ．45π2B C ．30π D ．45π【答案】D【解析】解法一：由“堑堵”的定义可知，ABC 为直角三角形，故4BC ==，易知1AC PC ⊥，又1PC PC ⊥，1PC PC P ⋂=，所以1PC ⊥平面APC ，而AP ⊂平面APC ，于是得1AP PC ⊥．设1BB z =，BP t =，则1B P z t =-，则AP ==1PC ==1AC ==由1AP PC ⊥，得()222925161z t z +=+++-，整理得16z t t=+，所以()22212161616PC z t x=+-=+，所以1112APC S AP PC =⋅==△18≥=，当且仅当22400tt=，即t =1APC 的面积取得最小值18．此时AP ==设三棱锥P ABC -的外接球半径为R ，因为AC CP ⊥，AB BP ⊥，故线段AP 为外接球的直径，故所求外接球的表面积454π45π4S =⨯=．故选：D ．解法二：令11PCB C PB θ∠==∠，则14sin C P θ=，4cos CP θ=，AP == 又因为AC ⊥平面11CBB C ，所以1AC C P ⊥，又1CP C P ⊥．所以1C P ⊥平面ACP ，所以190C PA ∠=︒．1APC的面积1111422sin APC S C P AP θ=⋅=⋅=△===当且仅当2210064tan tan θθ=时，1APC S △取最小值，此时tan 2θ=，AP ===．在三棱锥P ABC -中，因为90ACP ABP ∠=∠=︒，取AP 中点为O ，则12OC OB AP OA OP ====，故O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，所以AP 为外接球直径，224ππ45πO S R AP ===球．故选：D ．13．（2020·山西高三月考）已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球为球1O ，则外接球1O 的表面积是__________．【答案】60π【解析】因为正三棱柱111ABC A B C -的底面积216sin 602S =⨯⨯︒=底面外接圆半径62sin 60r ==︒所以正三棱柱111ABC A B C -的高Vh S==所以外接球1O 的半径R ==，则24π60πS R ==，故答案为：60π．14．（2020·济南市·山东省实验中学高三月考）在三棱锥P ABC -中，侧棱PA ⊥底面,120,1ABC BAC AB AC ∠===且2,PA BC =则该三棱锥的外接球的体积为__________．【答案】323π【解析】在ABC 中，由余弦定理可知：BC ===因为120,1BAC AB AC ∠===，所以ABC 是顶角为钝角的等腰三角形，设ABC 的外接圆的直径为AD ，由正弦定理可知：2sin BC AD BAC ===∠，因为侧棱PA ⊥底面ABC ， 2PA BC ==，所以三棱锥P ABC -的外接球的直径为PD ，由勾股定理可知：4P D ===，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为：1422R =⨯=，所以三棱锥P ABC -的外接球的体积为：3344322.333V R πππ==⨯= 故答案为：323π15．（2020·湖南怀化市·高三期中）如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【答案】192π【解析】由题意知：在,,ABC CBD DBA 中，根据余弦定理有：29412cos73AC π=+-=，2448cos43CD π=+-=，24912cos73DA π=+-=，∴CAD 中有2AC DA CD ===，即CBD 为等边三角形，若E 为CD 中点，连接,BE AE ，可得BE AE ==3AB =，则在AEB △中有222AB BE AE =+，∴BE AE ⊥，又BE CD ⊥且AE CD E ⋂=，即BE ⊥面ACD ，又由BE ⊂面CBD 知：面CBD ⊥面ACD ，∴三棱锥B ACD -的外接球球心：在AEB △中，过BE 三等份点E '作BE 的垂线与AB 的垂直平分线的交点即为球心O ，所以令外接球半径为R，3EE '=，则：2243R -=，解得2198R =，所以由球的表面积21942S R ππ==，故答案为：192π. 16．（2020·广东肇庆市·高三月考）鳖臑（bi ē n ào ）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥A BCD -是一个鳖臑，其中AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC CD ⊥，且4AB BC DC ===，过点B 向AC引垂线，垂足为E ，过E 作CD 的平行线，交AD 于点F ，连接BF ．设三棱锥A BCD -的外接球的表面积为1S ，三棱锥A BEF -的外接球的表面积为2S ，则12S S =________．【答案】125．【解析】AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC BD B =，则AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB CD ⊥，又CD BC ⊥，BCAB B =，∴CD ⊥平面ACB ，,BE AC ⊂平面ACB ，∴CD AC ⊥，CD BE ⊥．又//CD EF ，∴EF BE ⊥，AC EF ⊥，又BE AC ⊥，∴三棱锥E ABF -可补形成以,,EA EF EB 为棱的一个长方体，其外接球的直径的平方等于,,EA EF EB 的平方和，而由,AB BD AC DC ⊥⊥，则AD 是三棱锥A BCD -外接球的直径． ∵4AB BC DC ===，∴AC =2EF =，EB =22EA，BD =，AD ==∴22220EA EB EF ++=，2148444824AD S πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，22420S ππ=⨯=⎝⎭， ∴124812205S S ππ==．故答案为：125． 17．（2020·上海市松江二中高三期中）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为______.【答案】【解析】因为正方体的体积为8，故棱长为2，因此正方体的体对角线的长为故正方体外接球的直径为故球的体积为343π⨯=，故答案为：.18．（2020·江苏南通市·高三期中）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BB ==，1BC =，AC =则这个“堑堵”的外接球的表面积为________. 【答案】9π【解析】因为2,1,AB BC AC ===222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以可将三棱柱111ABC A B C -补成一个长方体，如图：则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径2R，所以23R ==，所以32R =. 所以外接球的表面积为22344()92R πππ=⨯=. 故答案为：9π19．（2020·合肥市第六中学高三期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 在正方形11CDD C 内，1C M ⊥平面1ACM ，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______. 【答案】11π 【解析】如图所示：1C M ⊥平面1ACM ，连接1CD ，又11CDD C 为正方形，∴点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则1MCC △是等腰直角三角形，M 是直角顶点，设E 是1CC 中点，则E 是1MCC △的外心，取F 是1BB 中点，则//EF BC ，而BC ⊥平面11DCC D ，EF ∴⊥平面11DCC D ，∴三棱锥11M ACC -的外接球的球心O 在直线EF 上，由已知可计算，1FC A F ====FC >， O ∴在EF 的延长线上，设OF x =，则由1OA OC =得2222(1)22x x ⎛⎛+=++ ⎝⎭⎝⎭，解得12x =，2OC ∴==，∴外接球表面积：2411S ππ=⨯=⎝⎭．故答案为：11π．20．（2020·湖南高三开学考试）在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2SA =，BC =________. 【答案】403π 【解析】在ABC 中，因为120BAC ∠=︒，BC =可得ABC的外圆球直径为2sin 2BC r BAC ===∠，又由球的性质，可得()()2222402243R r SA ⎛⎫=+=+=，所以球的表面积为240=43S R ππ=球表. 故答案为：403π. 21．（2020·全国高三月考）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知某方锥各棱长均为2，则其内切球的体积为______.【解析】如图，设方锥底面的中心为O ，则在Rt ABC △中，AC =AO CO ==在Rt PAO △中，PO =，所以方锥的体积为3，设方锥内切球的半径为r ，而方锥的表面积为2144242+⨯⨯=+(143r =⨯+，解得2r =，体积为34π3⨯=⎝⎭..22．（2020·江西南昌市·南昌十中）已知在三棱锥P ABC -中，PA PB ==，23APB ∠=π，6ACB π∠=，则当点C 到平面PAB 的距离最大时，三棱锥P ABC -外接球的表面积为_____．【答案】523π 【解析】当点C 到平面PAB 的距离最大时，平面ABC ⊥平面PAB ,设1O ，2O 分别为PAB △，ABC 的外心，O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，连结1O P ，2OO ，设1O P 交AB 于H ，由面面垂直的性质定理可知1O H ⊥平面ABC ，在PAB △中，PA PA ==，23APB ∠=π，所以6πPAB PBA ∠=∠=,所以1sin 2PH PA PAB =⋅∠==，2cos 22AB PA PAB =⋅∠==，PAB △的外接圆直径为31sin 32PA PBA ==∠，所以1O P =，所以11O H O P PH =-=， ABC 的外接圆直径为241sin 2AB ACB ==∠，所以22O A =，在2Rt OO A △中，OA ===，所以三棱锥P ABC -外接球的半径为，所以三棱锥P ABC -外接球的表面积为25243ππ⨯=. 故答案为：523π 23．（2021·福建省福州第一中学高三期中）三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，2BC BD ==，面ACD，则此三棱锥外接球的表面积为___．【答案】16π【解析】如图，2BC BD ==，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，ABC ABD ∴≅，则AC AD =，∴2CD =，又由面ACD，则ACD △的高AE为AC AD ==，60ABC DBA ==∠∠，可得4AB =，90ACB ADB ∠=∠=︒，即AC BC ⊥，AD DB ⊥，明显地，当球内有一条边能同时对应两个面的三角形的直角，则该边必为球的直径，所以，24AB R ==，所以，三棱锥外接球的表面积为2416R ππ=故答案为：16π24．（2020·福建福州市·高三期中）在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【答案】52π【解析】如图，过点A 在面PAB 内作AQ AB ⊥交PAB △的外接圆于点Q ，平面PAB 垂直平面ABC ，两平面的交线为AB ，AQ AB ⊥，AQ ⊂面PAB ，AQ ∴⊥面ABC ，PAB △的外接圆直径为4QB ==，2QA ∴==，而2h QA ==，ABC 中，AB AC ==，120BAC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，设底面ABC 的外接圆半径为r ，则2sin AB r BCA==∠R ，则有2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，球的表面积为2452S R ππ==故答案为：52π25．（2020·全国高三其他模拟）在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，BC =1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -的体积为3，则此三棱锥的外接球的表面积为______ 【答案】20π【解析】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ，过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.。

2023届高三数学一轮复习专题空间几何体的外接球与内切球问题讲义 (解析版)

空间几何体的外接球与内切球问题高考分析：球与几何体的切接问题是近几年高考的高频考点，常以选择题和填空题的形式出现，以中档题和偏难题为主. 一、几种常见几何体的外接与内切球 1.长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点；(2)半径：R ＝a 2＋b 2＋c 22(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径R ＝32a(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝2a(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径=2r a (a 为正方体的棱长)． 3.正四面体的外接球与内切球(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径R (a 为正四面体的棱长)；(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r (a 为正四面体的棱长)．求外接球问题常用方法：1.补体法。

将几何体补形成长方体正方体等常见模型去求解2.外接球的球心都在过底面外接圆圆心的垂线上（注意球体可以滚动所以可以选择较为方便计算的那一面作为底面）3.利用外接球球心到几何体各顶点距离都等于半径4.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆求外接球的关键是确定球心位置，进而计算出外接球半径。

题型一：柱体的外接球1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________．2.已知三棱柱111ABC A B C －的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12 ，则该三棱柱的体积为_________．3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π4.已知圆柱的底面半径为12，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4 C.π2 D.π4题型二：锥体的外接球5.求棱长为1的正四面体外接球的体积为_________．6.已知正四棱锥P －ABCD 内接于一个半径为R 的球，则正四棱锥P －ABCD 体积的最大值是( )A.16R 381B.32R 381C.64R 381 D ．R 3 7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝π3，则三棱锥P －AOB 的外接球的体积是_________．8.已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（） A.B.C. 1D.9.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π10.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均是直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝5，AB ＝3，BC ＝4，则阳马C 1－ABB 1A 1的外接球的表面积是( )A ．25πB ．50πC ．100πD ．200π11.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π12.已知正三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E,F ,G 分别为为侧棱AB,AC,AD 的中点.若O 在三棱锥A -BCD 内，且三棱锥A -BCD 的体积是三棱锥O -BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为微专题球与几何体的切接问题——内切球1.半径为R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为_________，体积为_________．2.若正四面体的棱长为a ，则其内切球的半径为_________．3.已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( ) A ．18 B ．12 C ．6 3 D ．434.将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为( )A.2π3 B.3π3 C.4π3D ．2π 5.如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3 C.π6 D.33π题型三最值问题6.已知底面是正六边形的六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为_________．7.四棱锥S －ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，则球O 的体积等于( )A.32π3B.322π3 C ．16π D.162π38.已知SAB 是边上为2的等边三角形，045ACB ∠=，则三棱锥体积最大时，CA = ;其外接球的表面积为。

高考数学中地内切球和外接球问题(附习题)

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球. 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27 .例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.4 3 .2、求长方体的外接球的有关问题例3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为.14 .例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. CA. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有6x 3, 1x ,29 326 x h,h 3．8 4∴正六棱柱的底面圆的半径 1r ，球心到底面的距离23d .∴外2接球的半径R 2 d . 体积：r24V 3 .RV 3 .3小结本题是运用公式 2 2 2R r d 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是_______________.9 .例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积 2S 4 R 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有 2 222Ra bc .出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

2025高考数学必刷题第50讲、外接球、内切球、棱切球(学生版)

第50讲外接球、内切球、棱切球知识梳理知识点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体-P ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长=a ，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4知识点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为2a ，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为22==R a ，即正四面体外接球半径为=R ．知识点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD 中，==AB CD m ，==AC BD n ，==AD BC t ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222222222⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩b c m a c n a b t ，三式相加可得222++=a b c 222,2++m n t 而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224+=+a b c R，所以=R．知识点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O 的位置，1O 是∆ABC 的外心，则1⊥OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径1=AO r ，111122==OO AA h （1=AA h 也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222()2=+hR r⇒=R R知识点五：直棱锥外接球如图，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径．解题步骤：第一步：将∆ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为∆ABC 的外心，所以1⊥OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径1=O D r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2sin sin sin ===a b c r A B C )，112=OO PA ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)=+R PA r ⇔2=R②2221=+R r OO ⇔=R ．知识点六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：222+=r h R h．2、侧棱相等模型：如图，P 的射影是∆ABC 的外心⇔三棱锥-P ABC 的三条侧棱相等⇔三棱锥-P ABC 的底面∆ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取∆ABC 的外心1O ，则1,,P O O 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径1=AO r ，再算出棱锥的高1=PO h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222()=-+R h R r ，解出222+=r h R h．知识点七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．知识点八：共斜边拼接模型如图，在四面体ABCD 中，⊥AB AD ，⊥CB CD ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，BD 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O 为公共斜边BD 的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，===OA OC OB OD ，即点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，故点O 就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边BD 就是外接球的一条直径．知识点九：垂面模型如图1所示为四面体-P ABC ，已知平面⊥PAB 平面ABC ，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ．（3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12-A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．图1图2知识点十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等知识点十一：二面角模型如图1所示为四面体-P ABC ，已知二面角--P AB C 大小为α，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ．（3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12-A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．知识点十二：坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为(,,)O x y z ，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．知识点十三：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图1，设圆锥的高为h ，底面圆半径为r ，球的半径为R ．通常在△OCB 中，由勾股定理建立方程来计算R ．如图2，当>PC CB 时，球心在圆锥内部；如图3，当<PC CB 时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图2、图3可知，=-OC h R 或-R h ，故222()-+=h R r R ，所以222+=h r R h．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，其外接球的半径为R ，三者之间满足22(2+=hr R ．3、球内接圆台2222222122⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭r r h R r h ，其中12,,r r h 分别为圆台的上底面、下底面、高．知识点十四：锥体内切球方法：等体积法，即3体积表面积=V R S知识点十五：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形必考题型全归纳题型一：外接球之正方体、长方体模型例1．（2024·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为例2．（2024·吉林·则球的表面积为．例3．（2024·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球O 表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球O 的表面积是变式1．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为25π，AB =AD 1111ABCD A B C D -的体积为.变式2．（2024·天津静海·高一校考期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，BC =，14BB =，则长方体外接球的表面积为．题型二：外接球之正四面体模型例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD 的表面积为且A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，则球O 的体积为．例5．（2024·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是．例6．（2024·全国·的正四面体的外接球体积为.变式3．（2024·全国·高一假期作业）正四面体P BDE -和边长为1的正方体1111ABCD A B C D -有公共顶点B ，D ，则该正四面体P BDE -的外接球的体积为.变式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体-P ABC 中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为.题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型例7．（2024·高一单元测试）在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2==AC BD ，AD BC =ABCD 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π例8．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD 中，AB CD ==AC BD =，AD BC =，则四面体ABCD 外接球的体积为（）A ．45πBC D ．例9．（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥S ABC -中，5SA BC ==，SB AC ==，SC AB ==）A ．50πB ．100πC ．150πD ．200π变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA BC ==2PB AC ==，PC AB ==-P ABC 外接球的体积为（）AB C D ．6π题型四：外接球之直棱柱模型例10．（2024·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD 的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且1,120AB AC AA BAC ∠=== ，则此直三棱柱的表面积是（）A ．16+B ．8+C ．8+D ．16+例12．（2024·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，若三棱柱111ABC A B C -的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π变式6．（2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为）A ．12πB ．6πC ．16πD ．8π变式7．（2024·全国·高三专题练习）在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,90BC AB BCC ==∠= ，AB ⊥侧面11BB C C ，且直线1C B 与底面ABC 则此三棱柱的外接球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π变式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（）A ．48πB ．60πC ．64πD ．84π题型五：外接球之直棱锥模型例13．（2024·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，侧棱PA ⊥平面ABC ，且4PA =，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积为．例14．（2024·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥面ABC ，ABC 为等边三角形，且PA AB ==-P ABC 的外接球的表面积为．例15．（2024·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC ，其中PA ⊥平面,120,2ABC BAC PA AB AC ∠=︒===，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为.变式9．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥D ABC -中，ABC 为等边三角形，DC ⊥平面ABC ，若6AC CD +=，则三棱锥D ABC -外接球的表面积的最小值为.变式10．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2AB BC CA ===，异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为4，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为．变式11．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为.变式12．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥A BCDE -中，AB ⊥平面BCDE ，BC CD ⊥，BE DE ⊥，120CBE ∠=︒，且2AB BC BE ===，则该四棱锥的外接球的表面积为.变式13．（2024·广东韶关·高二统考期末）三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC ,4PA =,π3BAC ∠=,BC =,则三棱锥-P ABC 外接球的体积是．题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型例16．（2024·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥PABC ﹣的顶点都在球O 的球面上，其侧棱与底面所成角为π3，且PA =O 的表面积为例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥-P ABC 中，点D 在棱PA 上，且满足2PD DA =，CD PB ⊥，若AB =P BCD -外接球的表面积为.变式14．（2024·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥-P ABC 的侧棱与底面所成的角为60︒，高为，则该三棱锥外接球的表面积为.变式15．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥-P ABC中，1PA =，AB =，该三棱锥的外接球体积为．变式16．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台111ABC A B C -中，AB =116A B =，1AA =111ABC A B C -的外接球表面积为（）A ．64B ．64πC ．256π3D ．64π3变式17．（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A ．32πB ．33πC ．34πD ．35π变式18．（2024·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为．变式19．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥P ABCD -中，=，若四棱锥P ABCD -的体积为2563，则该四棱锥外接球的体积为．变式20．（2024·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =）A ．332πB ．33πC ．572πD ．57π题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型例19．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥-P ABC 中，PA PB PC ===，26AB AC ==，π3BAC ∠=，则该三棱锥外接球的表面积为．例20．（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥S ABC -中，2SA SB CA CB AB =====，二面角S AB C --的大小为60︒，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为．例21．（2024·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的各侧棱长均为且3,AB BC AC ===-P ABC 的外接球的表面积为.变式21．（2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠= ，则球O 的体积为.变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知在三棱锥S ABC -中，2SA SB SC AB ====，AC BC ⊥，则该三棱锥外接球的体积为A ．27B ．9C ．323πD ．163π变式23．（2024·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥A BCD -中，2AB BC AC CD ====，120BCD ∠=︒，二面角A BC D --的大小为120︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（）A ．823πB ．803πC ．27πD ．2449π变式24．（2024·全国·高三专题练习）在四面体ABCD 中，2AB AC BC BD CD =====，AD =ABCD 的外接球的表面积为（）A ．163πB ．5πC ．20πsD ．203π题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型例22．（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为.例23．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为8π，该圆锥内接于球O ，则球O 的表面积为.例24．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为.变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球的体积为500π3，则该圆台的侧面积为（）A ．60πB ．75πC ．35πD ．变式26．（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为O 的球面上，则球O 的体积为（）A ．250π3B ．500π3C ．100π3D ．125π3变式27．（2024·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（）A ．175π3B ．75πC ．238π3D ．259π3题型九：外接球之垂面模型例25．（2024·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥A BCD -中，平面ACD ⊥平面BCD ，ACD 是边长为2的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒.若A ，B ，C ，D 四点在某个球面上，则该球体的表面积为.例26．（2024·四川乐山·高二期末）已知正ABC 边长为1，将ABC 绕BC 旋转至DBC △，使得平面ABC ⊥平面BCD ，则三棱锥D ABC -的外接球表面积为．例27．（2024·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，平面ABC ⊥平面,PAB AC BC ⊥，点D 是AB 的中点，,2PD PB PB PD ⊥==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.变式28．（2024·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB BC ==．设D 为1A C 的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为．变式29．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥-P ABC 中,平面PAB ⊥平面ABC ,6AB =,4BC =,AB BC ⊥,PAB 为等边三角形,则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为．变式30．（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形ABCD 中，π,42ADB ABC BD BC ∠=∠===，沿对角线BD 将ABD △折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，连接AC ，得到三棱锥A BCD -，则三棱锥A BCD -外接球表面积的最小值为.变式31．（2024·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB ⊥，且PA PB ==ABC 是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．变式32．（2024·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形ABCD 中，483AB BC ==，现沿AC 折起，使得平面ABC ⊥平面ADC ，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，则其外接球的体积为．变式33．（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为15π，则该三棱锥体积的最大值为.变式34．（2024·四川乐山·统考三模）在三棱锥-P ABC 中，2PA PC BA BC ====，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积的最小值为．变式35．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形ABCD 中，90,90,2ADB ABC BD BC ∠∠==== ，沿对角线BD 将ABD △折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，得到三棱锥A BCD -，则三棱锥A BCD -外接球表面积的最小值为.题型十：外接球之二面角模型例28．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，90ADC ∠= ，二面角D AC B --的平面角为30 ，则三棱锥D ABC -外接球表面积的最小值为（）A ．()161πB ．()163π-C ．()161πD ．()163π例29．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC 中，PA PB ⊥，ABC 是边长为2的等边三角形，若二面角P AB C --的大小为120︒，则四面体PABC 的外接球的表面积为（）A ．13π9B ．26π9C ．52π9D ．104π9例30．（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥,S ABCD SA -⊥平面,,4ABCD AD DC SA BC ⊥==，二面角S BC A --的大小为π3.若点,,,,S A B C D 均在球O 的表面上，则该球O 的表面积为（）A ．152π3B ．52πC ．160π3D ．54π变式36．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体ABCD 中，ABC 与BCD △都是边长为6的等边三角形，且二面角A BC D --的大小为60︒，则四面体ABCD 外接球的表面积是（）A ．52πB ．54πC ．56πD ．60π变式37．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组成的平面四边形ABCD ，其中小三角形纸板的斜边AC 与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a ，现将小三角形纸板ACD 沿着AC 边折起，使得点D 到达点M 的位置，得到三棱锥M ABC -，如图2．若二面角M AC B --的大小为23π，则所得三棱锥M －ABC 的外接球的表面积为（）A ．273a πB ．24a πC ．2143a πD ．227a 变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图1，在PBC 中，PA BC ⊥，AM PB ⊥，6BC =，4PA =，沿PA 将PAB 折起，使得二面角B PA C --为60°，得到三棱锥-P ABC ，如图2，若AM PC ⊥，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A ．32πB ．36πC ．64πD ．80π变式39．（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，30AD BD AC BC DAB CBA ∠∠⊥⊥== ,,，二面角D AB C --的大小为60 ，若球O 的表面积等于36π，则三棱锥D ABC -的体积等于（）AB ．8C D变式40．（2024·全国·高一专题练习）在三棱锥A BCD -中，,,224AB BC BC CD CD AB BC ⊥⊥===，二面角A BC D --为60︒，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A ．16πB ．24πC ．18πD ．20π题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型例31．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC-的体积为83，则球O 的体积为（）A ．4πB ．203πC ．6πD ．323π例32．（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥S ABC -的体积为12，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，若SC 是其外接球的直径，则球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π例33．（2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SA 为球的直径,ABC ∆是边长为2的等边三角形,三棱锥S ABC -的体积为3,则球的表面积为()A ．8πBC ．16πD ．1283π变式41．（2024·重庆·校联考一模）已知三棱锥S ABC -各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若2AB BC ==，23ABC π∠=，三棱锥S ABC -的体积为4，则球O 的表面积为A ．120πB ．64πC ．32πD ．16π变式42．（2024·河北唐山·统考三模）三棱锥S ABC -的四个顶点都在球面上，SA 是球的直径，AC AB ⊥，2BC SB SC ===，则该球的表面积为()A ．4πB ．6πC ．9πD ．12π变式43．（2024·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥-P ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径.若平面PCA ⊥平面PCB ，PA AC =，PB BC =，三棱锥-P ABC 的体积为a ，则球O 的体积为A ．2a πB ．4a πC ．23a πD ．43a π变式44．（2024·福建莆田·高三统考期中）三棱锥S ABC -的各顶点均在球O 上，SC 为该球的直径，1,120AC BC ACB ︒==∠=，三棱锥S ABC -的体积为12，则球的表面积为A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥-P ABC 的体积为163，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．163πB ．403πC ．643πD ．803π变式46．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知SC 是球O 的直径，,A B 是球O球面上的两点，且1,CA CB AB ===S ABC -的体积为1，则球O 的表面积为A ．4πB ．13πC ．16πD ．52π题型十二：外接球之共斜边拼接模型例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面是菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 是对角线AC 与BD 的交点，若1PB =，3APB π∠=，则三棱锥P BOC -的外接球的体积为（）A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，PC =，AB =2CA CB ==，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A ．143πB ．283πC ．9πD ．12π例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥A SBC -中，10,,,4AB ASC BSC AC AS BC BS π=∠=∠===若该三棱锥的体积为153，则三棱锥A SBC -外球的体积为（）A ．πB ．3πC ．5πD ．43π变式47．在矩形A B C D 中，==4,3A B B C ，沿A C 将矩形A B C D 折成一个直二面角--B A C D ，则四面体A B C D 的外接球的体积为（）A ．π12512B ．π1259C ．π1256D ．π1253变式48．三棱锥-P A B C 中，平面⊥P A C 平面A B C ，=2A C ，⊥P A P C ，⊥A B B C ，则三棱锥-P A B C 的外接球的半径为题型十三：外接球之坐标法模型例37．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系O xyz -中，(2,0,0),(0,3,0),(0,0,5),(2,3,5),A B C D 则四面体ABCD 外接球体积是（）A ．25πB ．36πC ．1083πD ．288π例38．（2024·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：m ）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为2m 例39．（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥A BCD -中，,2,AD AB AB AD ACD ⊥== 为等边三角形，三棱锥A BCD -的体积为23，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为.变式49．（2024·全国·高三专题练习）如图①，在Rt ABC 中，2C π=，2AC BC ==，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D CD ⊥，如图②.若F 是1A B 的中点，则四面体FCDE 的外接球体积是（）A ．2πBC ．6D ．12变式50．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为3的正方形，⊥AE 面ABCD ，2EQ QD = ，2EP PB = ，12ER RC = ，若RP RQ ==，则四棱锥E ABCD -外接球表面积为（）A ．44πB ．54πC ．176πD ．216π变式51．（2024·河南郑州·模拟预测）在长方体中1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，AD ＝2，M 是棱11B C 的中点，过点B ，M ，1D 的平面α交棱AD 于点N ，点P 为线段1D N 上一动点，则三棱锥1P BB M -外接球表面积的最小值为．变式52．（2024·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11A D ､1AA 的中点，G 为面对角线1B C 上一个动点，则三棱锥1A EFG -的外接球表面积的最小值为.变式53．（2024·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 是线段11B D 上的动点，则三棱锥-P ABC 的外接球半径的取值范围为．题型十四：外接球之空间多面体例40．（2024·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为2cm ．例41．（2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为.例42．（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于．变式54．（2024·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（）A ．11πB ．(8π+C ．(8π+D 题型十五：与球有关的最值问题例43．（2024·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱ABC A B C '''-中，,4AC BC AC BC ⊥==，棱柱的侧棱足够长，点P 在棱BB '上，点1C 在CC '上，且1PA PC ⊥，则当△1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的体积为.例44．（2024·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，3π,24BCA AC BC ∠===，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.例45．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC 的面积取得最小值时，三棱锥1E BCC -外接球的体积为.变式55．（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC⊥BC ，AC =3BC =，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为．变式56．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC 为等腰直角三角形且4BA BC ==，若该三棱锥体积的最大值为323，则其外接球的表面积为.变式57．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为．变式58．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，2PA =，2AB AC BC m ===，M 为AC 的中点，若三棱锥P ABM -的顶点均在球O 的球面上，D 是球O 上一点，且三棱锥-D PAC O 的体积为.变式59．（2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD，则这个球的表面积为.题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型例46．（2024·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球的球心为O ，则球O 的体积为（）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π例47．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知直三棱柱111ABC A B C -存在内切球，若3,4,AB BC AB BC ==⊥，则该三棱柱外接球的表面积为（）A ．26πB ．27πC ．28πD ．29π例48．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是32π3，则该正方体的体积为（）A ．4B ．16C ．8D ．64变式60．（2024·全国·高一专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（）A ．B ．5:1C ．:1D ．6:1变式61．（2024·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，D 是侧棱BB '上一点，E 是侧棱CC '上一点，若线段AD DE EA '++的最小值是在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π变式62．（2024·全国·高一专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（）A ．2:1B ．3:2C ．7:3D ．7:4变式63．（2024·全国·高三专题练习）已知点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等，。

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外接球的体积问题
1.直棱锥的球心找法
例1：三棱锥中，,则该三棱锥的外接球的体积为________。

例2：三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，其中是正三角形，，,则该球的体积为________。

面面垂直样式的棱锥球心找法
例1：四棱锥，平面,为正三角形边长为2，四边形为矩形,，求四棱锥外接球的体积________。

例2:（2019全国）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O 的直径。

若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________。

2.正棱锥的球心找法
例1：正三棱锥的四个顶点，同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是________。

例2：正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，该球的表面积为________。

正棱锥与三视图的结合
已知正三棱锥S及其正视图如图1所示，其外接球的半径为________。

正视图
斜棱锥题型
例1.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2.则此棱锥的体积为
3．球内的截面问题
例1.球O的球面上有三点A,B,C且BC=3，∠BAC=30°，过A,B,C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为________。

(双截面问题）例2.已知半径为5的球O被相互垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为________。

4．圆柱和棱柱外接球解法
例1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________。

例2.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积，AB=2,AC=1,∠BAC=60°，则此球的表面积等于________。

5.球的最值问题
例1．已知A,B是球O的球面上的两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________。

例2.设A,B,C,D是同一个半径为4的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积
为，则三棱锥D-ABC体积的最大值为________。

例3.已知三棱锥P-ABC的顶点P,A,B,C在球O的球面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为，那么P到平面ABC距离的最大值为________ 6.外接球与导数的结合
例1.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。

D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。

当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。

例2.已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_______。

内切球
例1：（2019全国3）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是________。

（A）4π（B）9π
2（C）6π（D）
32π
3
例2：正三棱锥，________。