大学物理 机械波习题思考题及答案

习题8

8-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m 的两质点A 与B ，B 点振动相位

比A 点落后

6

π

，已知振动周期为2.0s ，求波长和波速。 解：根据题意，对于A 、B 两点，m x 26

12=∆=-=∆，π

ϕϕϕ，

而m 242=⇒∆=

∆λλ

π

ϕx ，m/s 12==

T

u λ

8-2．已知一平面波沿x 轴正向传播，距坐标原点O 为1x 处P 点的振动式为

)cos(ϕω+=t A y ，波速为u ，求：

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x 轴负向传播，波动式又如何?

解：（1）设平面波的波动式为0cos[]x

y A t u

ωϕ=-+（），则P 点的振动式为：

1

0cos[]P x y A t u

ωϕ=-

+（），与题设P 点的振动式cos()P y A t ωϕ=+比较， 有：10x u

ωϕϕ=+，∴平面波的波动式为：1

cos[()]x x y A t u ωϕ-=-+；

（2）若波沿x 轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：

0cos[]x

y A t u ωϕ=++（），则P 点的振动式为：

10cos[]P x

y A t u ωϕ=++（），与题设P 点的振动式cos()P y A t ωϕ=+比较，

有：10x u

ωϕϕ=-+，∴平面波的波动式为：1

cos[()]x x y A t u ωϕ-=++。

8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A 点的振动规律为cos(2)y A t πνϕ=+，试写出： （1）该平面简谐波的表达式；

（2）B 点的振动表达式（B 点位于A 点右方d 处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O 点为原点平面简谐波的表达式为：

0cos[2]x y A t u πνϕ=++（），则A 点的振动式：0cos[2]A l y A t u

πν

ϕ-=++（） 题设A 点的振动式cos(2)y A t πνϕ=+比较，有：02l

u

πνϕϕ=+，

∴该平面简谐波的表达式为：]2cos[ϕπν+++

=）（u

x u l t A y （2）B 点的振动表达式可直接将坐标x d l =-，代入波动方程：

]2cos[]2cos[ϕπνϕπν++=+-++

=）（）（u

d t A u l d u l t A y

8-4．已知一沿x 正方向传播的平面余弦波，s 3

1

=

t 时的波形如图所示，且周期T 为s 2。

（1）写出O 点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A 点的振动表达式； （4）写出A 点离O 点的距离。

解：由图可知：0.1A m =，0.4m λ=，而2T s =，则：/0.2/u T m s λ==，

2T πωπ=

=，25k ππλ

==，∴波动方程为：00.1cos(5)y t x ππϕ=-+ O 点的振动方程可写成：00.1cos()O y t πϕ=+

由图形可知：s 31=t 时：0.05O y =，有：00.050.1cos()3π

ϕ=+

考虑到此时0O d y d t <，∴03πϕ=，53

π

（舍去） 那么：（1）O 点的振动表达式：0.1cos()3

O y t π

π=+

；

（2）波动方程为：0.1cos(5)3

y t x π

ππ=-+

；

（3）设A 点的振动表达式为：0.1cos()A A y t πϕ=+

由图形可知：s 31=t 时：0A y =，有：cos()03A π

ϕ+=

考虑到此时0A d y d t >，∴56A πϕ=-（或76

A π

ϕ=） ∴A 点的振动表达式：50.1cos()6A y t ππ=-，或70.1cos()6

A y t π

π=+；

（4）将A 点的坐标代入波动方程，可得到A 的振动方程为：

0.1cos(5)3

A A y t x π

ππ=-+，与（3）求得的A 点的振动表达式比较，有：

5563A t t x πππππ-=-+，所以：m x A 233.030

7== 。

8-5．一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 解：这是一个振动图像！

由图可知A =，设原点处的振动方程为：3

0510cos()O y t ωϕ-=⨯+。

（1）当0t =时，30

2.510O t y -==⨯，考虑到：

0O t d y d t

=>，有：03

π

ϕ=-

，

当1t =时，10O

t y ==，考虑到：10O t d y d t

=<，有：3

2

π

π

ω-

=

，56

πω=

， ∴原点的振动表达式：3

5510cos(

)63

O y t ππ-=⨯-； （2）沿x 轴负方向传播，设波动表达式：3

5510cos(

)63

y t k x ππ

-=⨯+- 而512460.825k u ωππ==⨯=，∴3

524510cos()6253

y t x πππ-=⨯+-；

（3）位相差：25

2 3.2724

x k x rad ϕππλ∆∆==∆== 。

8-6．一正弦形式空气波沿直径为cm 14的圆柱形管行进，波的平均强度为

39.010-⨯/()J s m ⋅，频率为Hz 300，波速为m/s 300。问波中的平均能量密度

和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：（1）已知波的平均强度为：3

9.010

I -=⨯/()J s m ⋅，由I w u =⋅ 有：

3539.010310/300

I w J m u --⨯===⨯

53max 2610/w w J m -==⨯；

（2）由W w V =⋅，∴221144u

W w d w d πλπν

=⋅=