2017届高三第一轮复习专题训练之椭圆选填题神奇结论
椭圆历年高考题(选填题)
椭圆历年高考真题（选填题）1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C:x2x2+x24=1的一个核心为(2,0),则C的离心率为()A.13B.12C.√22D.2√232.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左,右核心,A是C的左极点,点P在过A且斜率为√36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,那么C的离心率为()A.23B.12C.13D.143.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个核心,P是C上的一点,假设PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()√3 2√3C.√3-12√34.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:23x+2ym=1长轴的两个端点,假设C上存在点M知足∠AMB=120°,那么m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, ∪[4,+∞)5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右极点别离为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,那么C的离心率为()A.B.C. D.136.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右极点别离为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,那么C的离心率为()A.3B.3C.3D.137.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l通过椭圆的一个极点和一个核心,假设椭圆中心到l的距离为其短轴长的,那么该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.348.(2016·全国卷3·理科·T11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2222x ya b=1(a>b>0)的左核心,A,B别离为C的左,右极点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.假设直线BM通过OE的中点,那么C的离心率为()A.13B.12C.23D.349.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆2222x y+=1a b(a>b>0)的右核心,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,那么该椭圆的离心率是.10.(2015·全国1卷理科·T14)一个圆通过椭圆x216+y24=1的三个极点，且圆心在x轴上，那么该圆的标准方程为 .椭圆历年高考真题（选填题）参考答案1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个核心为(2,0),那么C的离心率为()A.13B.12C.√22D.2√23【解析】选C.因为椭圆的一个核心为(2,0),那么c=2,因此a2=b2+c2=8,a=2√2,因此离心率e=√22.2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右核心,A是C的左极点,点P在过A且斜率为√36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,那么C的离心率为()A.23B.12C.13D.14【命题用意】此题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用和数学运算能力. 【解析】选D .由题意直线AP 的方程为y =√36(x +a ),△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,因此PF 2=2c ,∠PF 2x =60°,故P (2c ,√3c ),代入y =√36(x +a )得,√36(2c +a )=√3c ,解得e =c a =14.3.(2018·全国卷II 高考文科·T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个核心,P 是C 上的一点,假设PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,那么C 的离心率为 ( )√32√3 C .√3-12√3【命题用意】此题考查椭圆的概念和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力. 【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 因此PF 1=√3c ,PF 2=c ,又PF 1+PF 2=2a ,因此√3c +c =2a , 解得e =ca =3+1=√3-1.4.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B 是椭圆C:23x +2y m=1长轴的两个端点,假设C 上存在点M 知足∠AMB=120°,那么m 的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,∪[4,+∞)【命题用意】此题要紧考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.【解析】选A.当0<m<3时,核心在x 轴上,要使C 上存在点M 知足∠AMB=120°,那么ab≥tan60°=即得0<m≤1;当m>3时,核心在y 轴上,要使C 上存在点M 知足∠AMB=120°,那么a b≥tan60°=即得m≥9,故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),应选A. 5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C: 22x a+22y b =1(a>b>0)的左、右极点别离为A 1,A 2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,那么C的离心率为()A.63 B. 33 C.23D.13【命题用意】此题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,因此圆心到直线的距离d=22a b+=a,整理得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a =23,e=c a =63. 6.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22x a +22yb=1(a>b>0)的左、右极点别离为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,那么C 的离心率为 ( )A.6 B.3 C.2D.13 【命题用意】此题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,因此圆心到直线的距离d=22ab+=a,整理为a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a=23,e=c a =6.7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 通过椭圆的一个极点和一个核心,假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,那么该椭圆的离心率为 ( ) A.13B .12C .23D .34【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a +22y b =1(a>b>0),右核心F(c,0),那么直线l 的方程为x c +y b =1,即bx+cy-bc=0,由题意可知22bc b c -+=12b,又a 2=b 2+c 2,得b 2c 2=14b 2a 2,因此e=ca=12.8.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O为坐标原点,F是椭圆C:2222x ya b+=1(a>b>0)的左核心,A,B别离为C的左,右极点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.假设直线BM通过OE的中点,那么C的离心率为()A.13B.12C.23D.34【解题指南】点M是直线AE和直线BM的交点,点M的横坐标和左核心相同,进而找到a,b,c的联系.【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直线AE的方程为y=k()x a+,令x=0可得点E 坐标为()0,ka,因此OE的中点H坐标为ka0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右极点B(a,0),因此可得直线BM的斜率为-k2,可设其方程为y=-k2x+k2a,联立()y k x a,k ky x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M横坐标为-a3,又点M的横坐标和左核心相同,因此-a3=-c,因此e=13.9.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆2222x y+=1a b(a>b>0)的右核心,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,那么该椭圆的离心率是.【解题指南】利用k BF·k CF=-1计算得出离心率的值.【解析】将直线y=2b与椭圆的方程联立得B3b2⎛⎫⎪⎪⎝⎭,C3b2⎫⎪⎪⎝⎭,F(c,0),那么k BF=b23a c--CF=b23a c-因为∠BFC=90°,因此k BF·k CF=b23a c2--×b23a c2-整理得b2=3a2-4c2,因此a2-c2=3a2-4c2,即3c 2=2a 2⇒e=c a =3答案10.(2015·全国1卷理科·T14)（14）一个圆通过椭圆x 216+y 24=1的三个极点，且圆心在x 轴上，那么该圆的标准方程为 。
最新高三理科数学一轮复习试题精选21椭圆(含解析)
高三理科数学一轮复习试题选编21：椭圆一、选择题1 ．（北京市海淀区 高三上学期期末考试数学理试题 ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>地 左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同地 点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 地 离心率地 取值范围是 （） A ．12(,)33B ．1(,1)2C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)322U【答案】D解：当点P 位于椭圆地 两个短轴端点时，12F F P ∆为等腰三角形，此时有2个。
，若点不在短轴地 端点时，要使12F F P ∆为等腰三角形，则有1122PF F F c==或2122PF F F c==。
此时222PF a c=-。
所以有1122PF F F PF +>，即2222c c a c +>-，所以3c a >，即13c a >，又当点P 不在短轴上，所以11PF BF ≠，即2c a ≠，所以12c a ≠。
所以椭圆地 离心率满足113e <<且12e ≠，即111(,)(,1)322U ，所以选 D ． 二、填空题2 ．（北京市西城区 高三上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆22142x y +=地 两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 地 面积是______．解：由椭圆地 方程可知2,a c ==，且12||||24PF PF a +==，所以解得12||3,||1PF PF ==，又12||2F F c ==，所以有2221212||||PF PF F F =+，即三角形21PF F 为直角三角形，所以△12PF F 地 面积12211122SF F PF ∆==⨯=3 ．（北京东城区普通校 高三12月联考理科数学）椭圆22192x y +=地 焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠地 小大为_____________.【答案】120o【解析】椭圆22192x y +=地 29,3aa ==，22222,7b c a b ==-=，所以c =.因为14PF =，所以1226PF PF a +==，所以2642PF =-=.所以22222211121212421cos 22422PF PF F F F PF PF PF +-+-===-⨯⨯，所以12120F PF∠=o三、解答题4 ．（北京东城区普通校 高三12月联考理科数学）(本小题满分14分) 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>地地 一个端点与两个焦点构成地 三角形地面积为3. (Ⅰ)求椭圆C 地 方程;(Ⅱ)已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点地 横坐标为12-，求斜率k 地 值;②若点7(,0)3M -，求证:MA MB⋅u u u r u u u r 为定值.【答案】(本题满分14分)解:(Ⅰ)因为22221(0)x y a b a b+=>>满足222ab c =+，3ca =，1223b c ⨯⨯=解得2255,3a b ==，则椭圆方程为221553x y +=(Ⅱ)(1)将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-=4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>2122631k x x k +=-+因为AB 中点地 横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得k =(2)由(1)知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++u u u r u u u r2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++5 ．（北京市朝阳区 高三上学期期末考试数学理试题 ）已知点A 是椭圆()22:109x y C t t+=>地 左顶点，直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆C 相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B .且当0m =时，△AEF 地 面积为163. （Ⅰ）求椭圆C 地 方程；（Ⅱ）设直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径地 圆是否经过点B ？并请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 地 方程为1x =，设点E 在x 轴上方， 由221,91x y t x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,E F，所以EF =因为△AEF 地面积为116423⨯=，解得2t =. 所以椭圆C地 方程为22192x y +=. …………………………………………………4分 （Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R.…………………5分设1122(,),(,)E x y F x y ， 则121222416,2929m y y y y m m --+==++，………………………………………………6分111x my =+，221xmy =+.又直线AE 地 方程为11(3)3y y x x =++，由11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +， 同理得226(3,)3y N x +.所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++u u u u r u u u r ，……………………9分又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++u u u u r u u u r12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++22264576641285769m m m ---++=0= (13)分所以BM BN⊥u u u u r u u u r ，所以以MN为直径地 圆过点B. …………………………………14分6 ．（ 北京海淀二模数学理科试题及答案）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>地 四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o地 菱形地 四个顶点.(I)求椭圆M 地 方程;(II)直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 地 垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB ∆ (O 为原点)面积地 最大值. 【答案】解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b +=>>地 四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o地 菱形地 四个顶点，所以1a b ==，椭圆M 地 方程为2213x y +=(II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 地 垂直平分线通过点1(0,)2-， 显然直线AB 有斜率，当直线AB 地 斜率为0时，则AB 地 垂直平分线为y 轴，则1212,x x y y =-=所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ∆====2211(3)322x x +-=，所以AOB S ∆≤当且仅当1||x =时，AOBS ∆当直线AB 地 斜率不为0时，则设AB 地 方程为y kx t =+所以2213y kx t xy =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330kx kt t +++-=当224(933)0k t ∆=+->， 即2231kt +>①方程有两个不同地 解又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+所以122231y y tk +=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314kt+=②代入①，得到04t << 又原点到直线地距离为d =12|||AB x x =-=所以1=||||2AOB S AB d ∆=化简得到AOB S ∆因为04t <<，所以当2t =时，即k =时，AOBS ∆取得最大综上，AOB ∆面积地7 ．（ 北京房山二模数学理科试题及答案）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>地 离心率为22，且过点A .直线2y x m =+交椭圆C 于B ，D (不与点A 重合)两点.(Ⅰ)求椭圆C 地 方程;(Ⅱ)△ABD 地 面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由. 【答案】(Ⅰ)Θace ==22， 22211a b +=，222c b a+=∴2=a ，2=b ，2=c∴22142x y +=(Ⅱ)设11(,)B x y ，22(,)D x y，由22=+2142y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2220x m ⇒++-=∴282m 0∆=-> 22m ⇒-<<，12,x x+= ① 2122x xm =-②12BD x =-=Q设d 为点A 到直线BD:=+2y x m 地 距离，∴d =∴12ABD S BD d ∆==≤当且仅当m =(2,2)∈-时等号成立∴当m =ABD ∆地 8 ．（ 北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分13分) 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>地 长轴为AB ，过点B 地直线l 与x 轴垂直，椭圆地 离心率e =F 为椭圆地 左焦点，且1AF BF=g .(I)求此椭圆地 方程;(II)设P 是此椭圆上异于,A B 地 任意一点，PH x ⊥轴，H为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =. 连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 地 中点，判定直线QN 与以AB 为直径地 圆O 地 位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由题意可知，(,0)A a -， (,0)B a ，(,0)F c -，()()1AF BF a c a c =+-=g 2221ac b ∴-== 又e =22222222134c a b a e a a a --==== ，解得24a=所求椭圆方程为2214x y +=(Ⅱ)设0(,)P x y ，则0(,2)Q x y 00(2,2)xx ≠≠- 由(2,0),A -得0022AQy kx =+所以直线AQ 方程002(2)2y y x x =++由(2,0),B -得直线l 2,x =的方程为08(2,)2y M x ∴+ 004(2,)2y N x ∴+由 0000200422224NQy y x x y k x x -+==--又点P 地 坐标满足椭圆方程得到:2200+44xy = ，所以220044x y -=-000002200022442NQ x y x y x k x y y ===--- ∴直线NQ 地 方程:0002()2x y yx x y -=--化简整理得到:22000244x x yyx y +=+= 即024x x yy+= 所以点O 到直线NQ 地距离2d O ===圆的半径∴直线NQ 与AB 为直径地 圆O 相切9 ．（北京市丰台区 高三上学期期末考试 数学理试题 ）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等地 椭圆．点M 地 坐标是（0，1），线段MN 是1C 地 短轴，是2C 地 长轴.直线:(01)l y m m =<<与1C交于A ，D 两点（A 在D 地 左侧），与2C 交于B ，C 两点（B 在C 地 左侧）．（Ⅰ）当m= 2， 54AC =时，求椭圆12,C C 地 方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 地 取值范围． 【答案】解：（Ⅰ）设C 1地 方程为2221x y a+=，C 2地 方程为2221x y b+=，其中1,01a b ><<．..2分ΘC 1 ，C 2地 离心率相同，所以22211a b a -=-，所以1ab =，……………………….…3分∴C 2地 方程为2221a xy +=．当m=时，A(2a -，C 1(2a ． (5)分 又Θ54AC =，所以，15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ………….…………..6分 ∴C 1 ，C 2地 方程分别为2214x y +=，2241x y +=．………………………………….7分（Ⅱ）A(-，m)，B(-，m) ． …………………………………………9分QOB ∥AN ，∴OBANkk =，∴1m =，∴211m a =- ． …………………………………….11分2221a e a-=，∴2211a e =-，∴221e m e-=． ………………………………………12分Q01m <<，∴22101e e-<<，∴12e <<．........................................................13分10．（ 北京西城高三二模数学理科）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<地 左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 地 任意一点，点P 与点A 关于点M 对称.(Ⅰ)若点P 地 坐标为9(,55，求m 地 值; (Ⅱ)若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 地 取值范围.【答案】(Ⅰ)解:依题意，M 是线段AP 地 中点，因为(1,0)A -，9(5P ，所以 点M 地 坐标为2(5由点M 在椭圆C 上，所以 41212525m+=， 解得 47m =(Ⅱ)解:设00(,)M x y ，则2201y x m +=，且011x-<<. ①因为 M 是线段AP 地 中点， 所以 00(21,2)P xy +因为 OP OM ⊥， 所以 200(21)20x xy ++=. ②由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+，当且仅当2x=-.所以 m 地 取值范围是1(0,]24-11．（ 北京丰台二模数学理科试题及答案）已知椭圆C:2214x y +=地 短轴地 端点分别为A ，B ，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于E ，F 两点，其中点M (m ，12) 满足0m ≠，且3m ≠±. (Ⅰ)求椭圆C 地 离心率e; (Ⅱ)用m 表示点E ，F 地 坐标;(Ⅲ)若∆BME 面积是∆AMF 面积地 5倍，求m 地 值.【答案】解:(Ⅰ)依题意知2a =，3=c ，23=∴e ; (Ⅱ)Θ)1,0(),1,0(-B A ，M (m ，12)，且0m ≠， ∴直线AM 地 斜率为k 1=m 21-，直线BM 斜率为k 2=m 23，∴直线AM 地 方程为y=121+-x m ，直线BM 地 方程为y=123-x m ， 由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m xmx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()012922=-+mx xm ，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭; (Ⅲ)Θ1||||sin 2AMFSMA MF AMF ∆=∠，1||||sin 2BMESMB ME BME ∆=∠，AMF BME ∠=∠，5AMF BMES S ∆∆=，∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =， ∴225,41219m mm mm m m m =--++Θ0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0mm --=，又Θm ≠∴230m-≠， 12=∴m，1m ∴=±为所求12．（ 北京顺义二模数学理科试题及答案）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 地 两个焦点分别为21,F F ，且221=F F ，点P 在椭圆上，且21F PF ∆地 周长为6.(I)求椭圆C 地 方程;(II)若点P 地 坐标为()1,2，不过原点O 地 直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，设线段AB 地 中点为M ，点P 到直线l 地 距离为d ，且P O M ,,三点共线.求2216131312d AB+地 最大值.【答案】解:(I)由已知得22=c 且622=+c a ，解得1,2==c a ，又3222=-=c a b，所以椭圆C 地 方程为13422=+y x(II)设()()2211,,,y x B y x A .当直线l 与x 轴垂直时，由椭圆地 对称性可知，点M 在x 轴上，且与O 点不重合，显然P O M ,,三点不共线，不符合题设条件.故可设直线l 地 方程为()0≠+=m m kx y . 由⎩⎨⎧=++=1243,22y x m kx y 消去y 整理得()0124843222=-+++m kmx xk .①则()()124434642222>-+-=∆m k mk ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122143124,438k m x x k km x x 所以点M 地 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++-22433,434k m kkm.因为P O M ,,三点共线，所以22432433,k kmk m k kOP OM+-=+=，因为≠m ，所以23-=k ， 此时方程①为33322=-+-m mx x ，则()1232>-=∆m ，⎪⎩⎪⎨⎧-==+33,22121m x x m x x所以()()2122122y y x x AB -+-=()()[]21221241x x x x k -++=()2121213m -=，又1342232822-=+-=m m d ，所以()()352344344121613131222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+m m m d AB ，故当()0,3234-∈-=m 时，2216131312d AB+地 最大值为352 13．（ 北京东城高三二模数学理科）已知椭圆C:22221x y a b+=(0)a b >>地 离心率e =，原点到过点(,0)A a ，(0,)B b -地 直线地 距离是5.(Ⅰ)求椭圆C 地 方程; (Ⅱ)若椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=地 对称点为()111,y x P ，求2211xy +地 取值范围.(Ⅲ)如果直线1(0)y kx k =+≠交椭圆C 于不同地 两点E，F ，且E ，F 都在以B 为圆心地 圆上，求k 地 值.【答案】(共13分)解: (Ⅰ)因为c a =，222a b c -=，所以 2a b =.因为原点到直线AB :1x ya b-=地 距离d ==，解得4a =，2b =. 故所求椭圆C 地 方程为221164x y +=.(Ⅱ)因为点()0,P x y 关于直线x y 2=地 对称点为()111,y x P ，所以0101010121,2.22y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩ 解得 01435y xx -=，01345yx y +=.所以22221100xy x y +=+. 因为点()00,P x y 在椭圆C:221164x y +=上，所以22222011344x x y x y +=+=+.因为044x-≤≤， 所以2211416xy ≤+≤.所以2211xy +地 取值范围为[]4,16. (Ⅲ)由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得22(14)8120k xkx ++-=.可知0∆>.设22(,)E x y ，33(,)F x y ，EF 地 中点是(,)MM M xy ，则2324214Mx x kxk +-==+，21114MM ykx k =+=+.所以21M BMM y kx k+==-. 所以20MM xky k ++=.即 224201414kkk kk -++=++. 又因为0k ≠，所以218k=.所以4k =±14．（北京市石景山区 高三一模数学理试题）设椭圆C:2222x y a b +=1(a>b>0)地 左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足112BF F F =u u u r u u u u r ，且AB ⊥AF 2.(I)求椭圆C 地 离心率;(II)若过A 、B 、F 2三点地 圆与直线l:x 3-=0相切，求椭圆C 地 方程;(Ⅲ)在(II)地条件下，过右焦点F作斜率为k地2直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN地中垂线与x轴相交于点P(m，O)，求实数m地取值范围.【答案】15．（北京市顺义区 高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知椭圆()11:222>=+a y ax C 地 上顶点为A ，左焦点为F ，直线AF 与圆0726:22=+-++y x y xM 相切.过点⎪⎭⎫⎝⎛-21,0地 直线与椭圆C 交于Q P ,两点. (I)求椭圆C 地 方程;(II)当APQ ∆地 面积达到最大时，求直线地 方程. 【答案】解:(I)将圆M 地 一般方程072622=+-++y x y x 化为标准方程()()31322=-++y x ，则圆M 地 圆心()1,3-M ，半径3=r .由()()()10,,1,02-=-a c c F A 得直线AF 地 方程为=+-c cy x .由直线AF 与圆M 相切，得3132=++--cc c ，所以2=c 或2-=c (舍去).当2=c 时，3122=+=c a，故椭圆C 地 方程为1322=+y x(II)由题意可知，直线地 斜率存在，设直线地 斜率为k ，则直线地 方程为21-=kx y . 因为点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0在椭圆内， 所以对任意R ∈k ，直线都与椭圆C 交于不同地 两点. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=13,2122y x kx y 得()04933122=--+kx xk .设点Q P ,地 坐标分别为()()2211,,,y x y x ，则()22122122113149,313,21,21k x x k k x x kx y kx y +-=+=+-=-=，所以()()212212y y x x PQ -+-=()()[]21221241x x x xk -++=()()222314113k k k +++=.又因为点()1,0A 到直线21-=kx y 地 距离1232+=k d ，所以APQ ∆地 面积为()2231441921k k d PQ S ++=⋅=设2311kt +=，则10≤<t 且31312-=t k ， ()34231493344931344922+--=-=-⋅=t t t t t S .因为10≤<t ，所以当1=t 时，APQ ∆地 面积S 达到最大， 此时13112=+k，即0=k .故当APQ ∆地 面积达到最大时，直线地 方程为21-=y 16．（ 北京高考数学（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上地 三个点，O 是坐标原点.(I)当点B 是W 地 右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形地 面积;(II)当点B 不是W 地 顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=地 右顶点B 地 坐标为(2，0).因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1，m )，代入椭圆方程得2114m+=，即m =. 所以菱形OABC 地 面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=(II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 地 顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 地 方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠. 由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k xkmx m +++-=.设A 1,1()x y ，C 2,2()xy ，则1224214x xkm k +=-+，121222214y yx x mk m k ++=⋅+=+.所以AC 地 中点为M(2414km k -+，214mk+). 因为M 为AC 和OB 地 交点，所以直线OB 地 斜率为14k -.因为1()14k k ⋅-≠-，所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾.所以当点B 不是W 地 顶点时，四边形OABC 不可能是菱形.17．（ 年高考（北京理））已知椭圆G:2214x y +=.过点(,0)m 作圆221xy +=地 切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.(Ⅰ)求椭圆G 地 焦点坐标和离心率;(Ⅱ)将|AB|表示为m 地 函数，并求|AB|地 最大值.【答案】【命题立意】本题考查椭圆地 标准方程和性质以及直线被椭圆截得地 弦长地 求法，运用基本不等式求解函数地 最值问题.考查学生地 运算能力和综合解答问题地 能力. 【解析】(Ⅰ)由已知得2,1a b ==，c =所以椭圆G 地 焦点坐标为(，，离心率为2c e a ==(Ⅱ)由题意知，||1m ≥.当1m =时，切线l 地 方程为1x =，点A ，B 地 坐标分别为，(1,，此时||AB =当1m =-时，同理可得||AB =当||1m >时，设切线l 地 方程为()y k x m =-，由22()14y k x m xy =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222(14)8440k xk mx k m +-+-=设A 、B 两点地 坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则2221212228441414k m k m x x x x k k -+=⋅=++又由l 与圆221x y +=1=，即2221k mk =+所以||AB=由于当1m =±时，||AB =||(,1][1,)AB m ∈-∞-+∞U因为||2||||AB m m =≤+，当且仅当m =||2AB =所以||AB 地 最大值是218．（ 北京朝阳二模数学理科试题）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>地 右焦点为F (1,0)，短轴地 端点分别为12,B B ，且12FB FB a⋅=-u u u r u u u u r.(Ⅰ)求椭圆C 地 方程;(Ⅱ)过点F 且斜率为k (0)k ≠地 直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 地 垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN地 中点为P ，试求DPMN 地 取值范围.【答案】解:(Ⅰ)依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--u u u r，2(1,)FB b =-u u u u r.由12FB FB a⋅=-u u u r u u u u r，得21ba-=-.又因为221ab -=，解得2,a b ==. 所以椭圆C 地 方程为22143x y +=(Ⅱ)依题直线l 地 方程为(1)y k x =-. 由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k xk x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+所以弦MN 地 中点为22243(,)3434k k P k k -++所以MN ===2212(1)43k k +=+直线PD 地 方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<.所以DP MN地 取值范围是1(0,)419．（北京市海淀区北师特学校 高三第四次月考理科数学）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e(Ⅰ）求椭圆C 地 方程；(Ⅱ)若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于不同地 两点NM ,（N M ,不是左、右顶点），且以MN 为直径地 圆经过椭圆C 地 右顶点A. 求证：直线l 过定点，并求出定点地 坐标.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a c e c (1)分解得 1,2==b a ………2分 所以椭圆地方程为：1422=+y x ……3分（II ）证明：由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1422448)k 41222=-+++m kmx x 得（…4分 0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km 整理得1422>+-m k (5)分设),(),,(2221y x N x x M则22212214144,418k m x x k km x x +-=+-=+ …….6分由已知，ANAM ⊥且椭圆地 右顶点为)0,2(A ………7分)2)(2(2121=+--∴y y x x (8)分2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=即04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k也即04418)2(4144))1(22222=+++-•-++-•+m kkmkm k m k …… 10分整理得：1216522=++k mk m (1)1分 解得562km k m -=-=或均满足1422>+-m k ……12分当km 2-=时，直线地 l 方程为k kx y 2-=，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分当56k m -=时，直线地 l 方程为)56(-=x k y ，过定点)0,56( 故直线l过定点，且定点地 坐标为)0,56( …….14分20．（北京市东城区普通高中示范校 高三12月综合练习(一)数学理试题）椭圆T 地 中心为坐标原,,OM ON OP地 斜率之和为0，求证.【答案】解:(1)设椭圆T地由题意知:左焦点为'(2,0)F -2b =. 故椭圆T 地 方法2、待定系数法)(2)设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，112233(,),(,),(,)M s t N s t P s t ，由:221128xy +=，28x y +=，两式相减，得到12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=,,OM ON OP 地 斜率之和为0，方法2:设直线AB :111()y t k x s -=-，代入椭圆2228xy +=，得到22211111111(12)4()2()80k x t k s k x t k s ++-+--=以下同21．（北京市东城区普通校 高三3月联考数学（理）试题 ）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 地 离心率为.36（I ）若原点到直线0=-+b y x 地 距离为,2求椭圆地方程；（II ）设过椭圆地 右焦点且倾斜角为︒45地 直线和椭圆交于A ，B 两点. （i ）当3||=AB ，求b 地 值；（ii ）对于椭圆上任一点M ，若μλ+=，求实数μλ,满足地 关系式.【答案】解：（I ）222=∴==b b d Θ323622=∴==ac a c e Θ22222324a a c b a =-∴=-Θ 解得.4,1222==b a椭圆地 方程为.141222=+y x (4)分（II ）（i ）∵e .232,3,36222222b a c b a c===∴=Θ椭圆地 方程可化为：22233b y x =+ ①易知右焦点)0,2(b F ，据题意有AB ：bx y 2-= ②由①，②有：0326422=+-b bx x③设),(),,(2211y x B y x A ，33424244872)11()()(||222222212212==⋅=-+=-+-=b b b b y y x x AB1=∴b ………………………8分（2）（ii ）显然OA 与OB 可作为平面向量地 一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内地 向量OM ，有且只有一对实数λ，μ，使得等OM μλ+=成立. 设M （x ，y ），,,),,(),(),(21212211y y y x x x y x y x y x μλμλμλ+=+=∴+=Θ又点M 在椭圆上，22212213)(3)(b y y x x =+++∴μλμλ ④由③有：43,22322121b x x b x x ==+则22121212121216)(234)2)(2(33b x x b x x b x b x x x y y xx ++-=--+=+693222=+-b b b ⑤又A ，B 在椭圆上，故有222222212133,33b y x b y x =+=+ ⑥ 将⑥，⑤代入④可得：.122=+μλ ……………………14分22．（北京市海淀区 高三5月查缺补漏数学（理））已知椭圆22:143x y C +=地 左右两个顶点分别为A B ，，点M 是直线:4l x =上任意一点，直线MA ，MB 分别与椭圆交于不同于A B ，两点地 点P ，点Q . (Ⅰ)求椭圆地 离心率和右焦点F 地 坐标; (Ⅱ)(i)证明,,P F Q 三点共线; (Ⅱ)求PQB ∆面积地 最大值. 【答案】解:(Ⅰ)24a=，23b=，所以，2221ca b =-=.所以，椭圆地 离心率12c e a ==. 右焦点()1,0F .(Ⅱ)(i)()2,0A -，()2,0B .设()4,M m ，显然0m ≠.则():26m MA y x =+，():22m MB y x =-. 由()222,6143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得222542,2718.27P P m x m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩由()222,2143m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22226,36.3Q Q m x m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩当29m =时，1PQ x x ==，,,P Q F 三点共线.当29m≠时，22018612739P FPP y m mkx m m -===---，22066199Q FQ Q y m mk x m m --===---，所以，FPPQkk =，所以，,,P Q F 三点共线.综上，,,P Q F 三点共线.(Ⅱ)因为,,P Q F 三点共线，所以，△PQB 地 面积()()()22212912327P Q m m S FB y y m m +=⨯⨯-=++2912912m m m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭设9u m m =+，则21212uS u =+ 因为()()22246'12u S u-=+，且96u m m =+≥，所以，'0S ≤，且仅当6u =时，'0S =，所以，21212uS u =+在[6,)+∞上单调递减. 所以，212636122S ⨯≤=+，等号当且仅当6u =，即3m =±时取得. 所以，△PQB 地 面积地 最大值为32.23．（北京市海淀区 高三5月查缺补漏数学（理））已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>地 离心率为12，且经过点3(1,)2A .(Ⅰ)求椭圆C 地 方程;(Ⅱ)设,M N 为椭圆C 上地 两个动点，线段MN 地 垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 地 取值范围.【答案】解: (Ⅰ)椭圆C 地 方程为:221.43x y +=(Ⅱ)设1122(,),(,)M x y N x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=. 依题意有||||PM PN ==，整理得 22221212012()()2()0x x y y y y y -+---=.将2211443y x =-，2222443y x =-代入上式，消去2212,x x ，得 2212012()6()0yy y y y -+-=.依题意有 12y y-≠，所以126y y y+=-.注意到1||y ≤，2||y≤，且,M N 两点不重合，从而12y y -+<所以(y ∈.24．（北京市石景山区 高三上学期期末考试数学理试题 ）已知椭圆地 中心在原点，焦点在x 轴上，(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同地 两点A B 、． （Ⅰ）求椭圆地 方程； （Ⅱ）求m 地 取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、地 斜率互为相反数．【答案】（Ⅰ）设椭圆地 方程为22221x y a b +=，因为e =所以224ab =，又因为(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20ba ==，故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分（Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200xmx m ++-=，22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 地 斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．。
2017三年高考真题解析一专题17椭圆及其综合应用(供参考)
1.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】B 【解析】 试题分析：94533e -==，选B ．2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右极点别离为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为A 6B 3C 2D ．13【答案】A 【解析】试题分析：以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，因此圆心到直线的距离等于半径，即：22d a a b==+，整理可得223a b =，即()222223,23a a c a c =-=，从而22223c e a ==，椭圆的离心率263c e a ===应选A .【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方式： ①求出a ，c ，代入公式e ＝ca； ②只需要依照一个条件取得关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边别离除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的核心重合，e 1，e 2别离为C 1，C 2的离心率，那么（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A 【解析】那么很容易显现错误。
高三第一轮复习椭圆的定义方程几何性质
椭圆的定义、方程及几何性质【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1) 若c a >，则集合P 为椭圆； (2) 若c a =，则集合P 为线段； (3) 若c a <，则集合P 为空集．3. 椭圆中常见的结论（1）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦1P 2P 的直线方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.（4）A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴的端点，M ),(00y x 为椭圆上任意一点，则22MA MB b k k a ⋅=-， 方法规律总结1．求椭圆标准方程的方法(1) 定义法：根据椭圆定义，确定2a 、2b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2) 待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b ，从而写出椭圆的标准方程．2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．3.椭圆性质的运用一般策略（1）与椭圆双焦点焦点有关的问题，充分考虑椭圆的定义，单焦点的问题可连接另一个焦点。
(浙江专用)高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十七)椭圆(含解析)
（浙江专用）高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十七）椭圆（含解析）课时跟踪检测（四十七） 椭圆一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“2＜m ＜6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆．则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4.故“2＜m ＜6”是“x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．(2019·湖州一中月考)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )A.x 220＋y 24＝1B.x 225＋y 24＝1C.y 220＋x 24＝1 D.x 24＋y 225＝1解析：选C 法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，故c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a ＝25，由c 2＝a 2－b 2，得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1，故选C.法二：设所求椭圆方程为y 225－k＋x 29－k＝1(k ＜9)，将点(3，－5)的坐标代入可得525－k ＋39－k ＝1，解得k ＝5或k ＝21(舍)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1，故选C. 3．(2019·丽水质检)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( )A.43 B ．1 C.45 D.34解析：选D 法一：不妨设点A 在点B 上方，由题意知F 2(1，0)，将F 2的横坐标代入方程x 24＋y 23＝1中，可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)．故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，而△ABF 1的周长C周＝4a ＝8，由S △ABF 1＝12C 周·r 得r ＝34，故选D.4．(2018·长兴中学适应测试)已知椭圆C ：y 216＋x 29＝1，则该椭圆的长轴长为________；焦点坐标为________．解析：长轴长为2a ＝8，c 2＝16－9＝7，所以c ＝7，所以焦点坐标为(0，－7)和(0，7)．答案：8 (0，－7)和(0，7)5．(2018·宁波五校联考)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________；离心率为________．解析：因为椭圆的左焦点为F 1(－4,0)，所以25－m 2＝42，解得m ＝3.所以离心率为e ＝c a ＝45. 答案：3 45二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·丽水高三质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与直线x ＝b 在第一象限交于点P ，若直线OP 的倾斜角为30°，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.33C.63D.23解析：选B 由题意可得P ⎝⎛⎭⎪⎫b ，bc a ，因为直线OP 的倾斜角为30°，所以bc a b ＝c a ＝tan 30°，所以e ＝33.故选B. 2．(2018·东阳调研)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba 的值为( ) A.32 B.233C.932D.2327解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 两式相减得ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)， 即b y 1－y 2y 1＋y 2a x 1－x 2x 1＋x 2＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1，∴b a ＝233，故选B. 3．(2019·德阳模拟)设点P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，如果|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．6解析：选C ∵点P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝10， ∴△PF 1F 2是直角三角形，S12PF F ＝12|PF 1|·|PF 2|＝24， ∵△PF 1F 2的重心为G ， ∴S12PF F ＝3S1GPF ，∴△GPF 1的面积为8，故选C.4．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．5.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1解析：选 B 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝452－42＝8.由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.6．(2018·达州模拟)以圆x 2＋y 2＝4与x 轴的交点为焦点，以抛物线y 2＝10x 的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是( )A.15B.25C.45D.110解析：选C 根据题意，圆x 2＋y 2＝4与x 轴的交点为(±2,0)，抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，即椭圆的焦点为(±2,0)，椭圆的一个顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，则椭圆中c ＝2，a ＝52，则椭圆的离心率e ＝c a ＝252＝45.7．(2019·温州模拟)设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________________．解析：由题意知|AF 2|＝|BF 2|＝|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|， ①又由椭圆的定义知|AF 2|＋|AF 1|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ， ②联立①②，解得|AF 2|＝|BF 2|＝|AB |＝43a ，|AF 1|＝|BF 1|＝23a ，所以S2F AB ＝12|AB |·|AF 2|sin 60°＝43，所以a ＝3，|F 1F 2|＝32|AB |＝23，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝6，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.答案：x 29＋y 26＝18．已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B＝________.解析：由椭圆x 225＋y 216＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A ，B 为椭圆的两个焦点．在△ABC 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则c ＝|AB |＝6，a ＋b ＝|BC |＋|AC |＝10，由正弦定理可得5sin C sin A ＋sin B ＝5c a ＋b ＝5×610＝3.答案：39．(2018·新乡一模)已知直线l ：y ＝2x －2与椭圆Ω：x 24m 2＋y 2m2＝1(m ≠0)交于A ，B 两点．(1)求Ω的离心率；(2)若以线段AB 为直径的圆C 经过坐标原点，求Ω的方程及圆C 的标准方程． 解：(1)e ＝1－b 2a 2＝1－m 24m2＝ 1－14＝32. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 24m 2＋y 2m2＝1，得17x 2－32x ＋16－4m 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Δ＝322－68(16－4m 2)＞0，x 1＋x 2＝3217，x 1x 2＝16－4m217.由已知得OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋4(x 1－1)(x 2－1)＝5x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋4＝0， 即5×16－4m 217－4×3217＋4＝0，解得m 2＝1，且满足Δ＝322－68(16－4m 2)＞0， 故Ω的方程为x 24＋y 2＝1.设圆C 的圆心坐标为(x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝1617，y 0＝2(x 0－1)＝－217. 由x 1x 2＝16－4m 217＝1217，得|AB |＝1＋22·x 1＋x 22－4x 1x 2＝46517.故圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16172＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2172＝260289.10．(2018·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程．(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍，求k 的值．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意知，x 2＞x 1＞0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)． 因为△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍， 所以|PM |＝2|P Q|，所以x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)， 两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0， 解得k ＝－89或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以k 的值为－12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·绍兴一中质检)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255C.⎝⎛⎦⎥⎤0，355D.⎝⎛⎦⎥⎤0，455解析：选B 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255.2.(2018·杭州模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22. (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l ，与该椭圆交于P ，Q 两点，直线OP ，P Q ，O Q 的斜率依次为k 1，k (k ≠0)，k 2，满足k 1,2k ，k 2依次成等差数列，求△OP Q 面积的取值范围．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为 y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2. 因为k 1,2k ，k 2依次成等差数列， 所以k 1＋k 2＝4k ，即y 1x 1＋y 2x 2＝4k ，所以m x 1＋x 2x 1x 2＝2k ，即m ×⎝⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 24m 2－11＋4k2＝2k ，解得m 2＝12.所以|P Q|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 22－4×4m 2－11＋4k 2＝1＋k 2·216k 2＋21＋4k 2，O 到直线P Q 的距离d ＝12＋2k 2， 所以S △OP Q ＝12·d ·|P Q|＝8k 2＋14k 2＋1.令8k 2＋1＝t ，t ＞1， 则S △OP Q ＝tt 2－12＋1＝2t ＋1t，因为t ＞1时，t ＋1t＞2，所以0＜2t ＋1t＜1，所以△OP Q 面积的取值范围为(0,1)．。
高三第一轮复习专题训练之椭圆选填题神奇结论
椭圆选填题神奇结论【神奇结论1】*椭圆上的点与焦点距离的最大值为a c +，最小值为a c -.*例 1.椭圆22186x y +=上存在n 个不同的点12,,,,n P P P ⋅⋅⋅椭圆的右焦点为,F 数列{||}n P F 是公差大于15的等差数列,则n 的最大值是( ) A.16 B.15 C.14 D.13【神奇结论2】*直线l 与椭圆221x y m n+=相交于,,A B M 为AB 的中点，则AB OM n k k m ⋅=-* 例 2.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ） A.2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .221189x y += 【神奇结论3】*在椭圆221x y m n+=中，若MN 是过中心的一条弦，P 是椭圆上异于,M N 的一点，则有PM PN n k k m⋅=-* 例3.已知椭圆22:143x y C +=的左，右顶点分别为12,,A A 点P 在椭圆C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1,--那么直线1PA 的斜率的取值范围是（ ） A. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【神奇结论4】*椭圆中122tan.2F PF S b θ∆=* 例4.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，若121212PF PF PF PF ⋅= ，则21F PF ∆的面积为_______________【神奇结论5】*12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，点P 在椭圆上，,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ*例5.设椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左右焦点分别为12,,F F 椭圆上存在点P ，使12F PF ∠为钝角，则该椭圆离心率e 的取值范围为______________【神奇结论6】*点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，则过P 点的切线方程为0022 1.x x y y a b += 例6.经过椭圆2214x y +=上一点1)2的切线方程为___________________ 【神奇结论7】*直线:0l Ax By C ++=与椭圆2222:=1x y E a b+，当222220a A bB C +->时，直线l 与椭圆E 相交；当22222=0a A b B C +-时，直线l 与椭圆E 相切；当222220a A b B C +-<时，直线l 与椭圆E 相离. *例7.已知两定点(1,0),(1,0),A B -若直线l 上存在点,M 使得||||3,MA MB +=则称直线l 为“M 型直线”.给出下列直线的方程：①2;x =②3;y x =+③21;y x =--④1;y =⑤2 3.y x =+其中是“M 型直线”的条数为（）A.1B.2C.3D.4【神奇结论8】*直线l与椭圆22221x ya b+=交于两点,A B，坐标原点为,O O到直线l的距离为,d则有OA OB d⊥⇔=*例8.过点(0,2)P的直线l交椭圆22:=142x yE+于,M N两点，且,OM ON⊥则直线l的方程为_____________________。
高考数学一轮复习椭圆作业题 含答案
基础题1． 若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为________．答案 4 3解析 ∵点(－2，3)在椭圆上， ∴416＋3b2＝1，即b 2＝4， ∴c 2＝16－4＝12，故2c ＝4 3.2． 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是__________．答案 (0,1)解析 将椭圆方程化为x 22＋y 22k＝1，∵焦点在y 轴上，∴2k>2，即k <1，又k >0，∴0<k <1.3． 已知椭圆的焦点在y 轴上，若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值是( )A.23 B.43 C.53 D.83答案 D解析 由题意知a 2＝m ，b 2＝2，∴c 2＝m －2. ∵e ＝12，∴c 2a 2＝14，∴m －2m ＝14，∴m ＝83.4． 已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 A解析 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16， 故所求的第三边的长度为16－10＝6.5． 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.2－22B.22－12C.3－1D.2－1答案 D解析 依题意有P (c,2c )，点P 在椭圆上，所以有c 2a 2＋2c 2b 2＝1，整理得b 2c 2＋4a 2c 2＝a 2b 2，又因为b 2＝a 2－c 2，代入得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0， 即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22(3＋22舍去)， 从而e ＝2－1.中档题1． (2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2答案 B解析 由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ， 且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |， 即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2， 所以e 2＝15，所以e ＝55.2． 已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c a ＝45a 2＝b 2＋c2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.3． 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 答案 A解析 由 x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3.4． 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3答案 B解析 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0， 整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为____________． 答案33解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，所以离心率e ＝2c 2a ＝33.6． 已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是________． 答案165解析 F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4， ∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°. 设P (x,3)，代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.7. 如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ， 则椭圆的方程为__________． 答案x 24＋y 22＝1 解析 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，则A (a,0)，B (0，b )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，F (a 2－b 2，0)．依题意，得a 2－b 2＝2，FM 的直线方程是x ＝2，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫2，baa 2－2.由于O ，C ，M 三点共线，所以b a 2－2a 2＝b 2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2. 所求方程是x 24＋y 22＝1.。
高考椭圆必背结论
椭圆22221x y a b+=)0(>>b a 的性质一．基本性质1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=. 8. 焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-.9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+.二．会推导的经典结论1. 椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 3. 若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有s i n s i n s i n ce aαβγ==+.5. 若椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e≤21-时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9. 过椭圆的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10. 已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.11. 设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是椭圆的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBAβ∠=,BPAγ∠=，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|||sabPAa c coαγ=-.(2) 2tan tan1eαβ=-.(3)22222cotPABa bSb aγ∆=-.13.已知椭圆的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC x⊥轴，则直线AC经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.。
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2017届高三第一轮复习专题训练之椭圆选填题神奇结论
【神奇结论1】*椭圆上的点与焦点距离的最大值为a c +，最小值为a c -.*
例 1.椭圆22
186
x y +=上存在n 个不同的点12,,,,n P P P ⋅⋅⋅椭圆的右焦点为,F 数列{||}n P F 是公差大于15
的等差数列,则n 的最大值是( B )A.16 B.15 C.14 D.13 【神奇结论2】*直线l 与椭圆22
1x y m n
+=相交于,,A B M 为AB 的中点，则AB OM n k k m ⋅=-* 例 2.已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（D ） A.2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22
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x y += 【神奇结论3】*在椭圆22
1x y m n
+=中，若MN 是过中心的一条弦，P 是椭圆上异于,M N 的一点，则有PM PN n k k m
⋅=-* 例3.已知椭圆22
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x y C +=的左，右顶点分别为12,,A A 点P 在椭圆C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1,--那么直线1PA 的斜率的取值范围是（ B ） A. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【神奇结论4】*椭圆中122tan .2F PF S b θ∆=*
例4.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，若121212
PF PF PF PF ⋅
=，则21F PF ∆的面积为【神奇结论5】*12,F F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点，点P 在椭圆上，,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ*
例5.设椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）的左右焦点分别为12,,F F 椭圆上存在点P
，使12F PF ∠为钝角，则该椭圆离心率e 的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭
【神奇结论6】*点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，则过P 点的切线方程为0
022 1.x x y y a b += 例6.
经过椭圆2
214
x y +=
上一点1)2240y +-= 【神奇结论7】*直线:0l Ax By C ++=与椭圆2222:=1x y E a b
+，当222220a A bB C +->时，直线l 与椭圆E 相交；当22222=0a A b B C +-时，直线l 与椭圆E 相切；当222220a A b B C +-<时，直线l 与椭
圆E 相离. *
例7.已知两定点(1,0),(1,0),A B -若直线l 上存在点,M 使得||||3,MA MB +=则称直线l 为“M 型直
线”.给出下列直线的方程：①2;x =②3;y x =+③21;y x =--④1;y =⑤2 3.y x =+其中是“M 型直线”的条数为（ C ）A.1 B.2 C.3 D.4
【神奇结论8】*直线l 与椭圆22
221x y a b
+=交于两点,A B ，坐标原点为,O O 到直线l 的距离为,d 则有
OA OB d ⊥⇔=* 例8.过点(0,2)P 的直线l 交椭圆22
:=142
x y E +于,M N 两点，且,OM ON ⊥则直线l 的方程为
2y -+=20y +-=。