椭圆 专题
椭圆 专题
例1．如图：直线L ：与椭圆C ：交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形
OAPB 。 求证：椭圆C ：与直线L ：总有
两个交点。
当时，求点P 的轨迹方程。
（3）是否存在直线L ，使OAPB 为矩形？若存在，求出此时直线L 的方程；若不存在，说明理由。 解：(1)由
得
椭圆C ：与直线L ：总有两个
交点。
(2)设,,,与交于点，则有
即
，又由（1）得
，
（2）
得
（3）
1y mx =+2
22(0)
ax y a +=>222(0)
ax y a +=>1y mx =+2a =22
1
2
y mx ax y =+??+=?22()210
a m x mx ++-=22044()0a m a m >∴=++>∴
2
22(0)
ax
y a +=>1y mx =+(,)P x y 1
1
(,)A x y 2
2
(,)B x y AB OP M 1212,2222
x x y y x y ++==1212
,x x x y y y =+=+122
22m
x x m +=-
+122
1x x a m ?=-
+12122
22
224
(1)
(1)(1)()2()2222m
m x y mx mx m x x m m m m ∴=-
=+++=++=-
+=+++(1)(2)
÷22x m x
m y y
=-?=-
将（3）代入（2）得
点P 的轨迹方程为
当时，这样的直线不存在；当时，存在
这样的直线，此时直线为
例 2. 设椭圆
的两个焦点是与
，且椭圆上存在一点，使得直线与垂直.
（1）求实数的取值范围；
（2）设是相应于焦点的准线，直线与相
交于点
，若
，求直线的方程.
解：（Ⅰ）由题设有 设点P 的坐标为
由PF1⊥PF2，得 化简得
①
将①与联立，解得
222
2
4
22042y x y y x y
=
?+-=+(0,0)x y ≠≠∴
2
2220x
y y +-=(0,0)
x y ≠≠121212122121200(1)(1)0(1)()10
OA OB x x y y x x mx mx m x x m x x ?=?+=?+++=?++++=222
222212(1)()()1012021
m
m m a m a m
m m a m m a -∴+-
++=++?---++=?=-∴
01a <<1a >l
1y =+11
22
=++y m x )0,(1
c F -)
0(),0,(2>c c F P 1
PF 2
PF
m L 2
F 2
PF L Q
322
2
-=PF QF 2
PF .
,0m c m =
>),
,(00y x ,10000-=+?-c
x y
c x y .
2020m y x =+11
2
02
0=++y m x .
1
,12022
m
y m m x =-=
由
所以m 的取值范围是
.
（Ⅱ）准线L 的方程为设点Q 的坐标为，
则
②
将
代入②，化简得
由题设 ，得 ， 无解.
将
代入②，化简得
由题设
，得 .
解得m=2. 从而
，
得到PF2的方程
例3.（08安徽）设椭圆过点，
且左焦点为
.
1,01
,0220
≥≥-=>m m
m x m 得1
≥m .
1m m x +=
),(1
1
y x .
11m
m x +=
.
1
||||0
122x m m
m
m x c c
x PF QF --+=--=m
m x 120-=
.11
1
||||2222-+=--=m m m m PF QF 32|
||
|22-=PF QF 3
212-=-+m m m
m x 1
20--
=.11
1
||||2222--=-+=m m m m PF QF 32|
||
|22-=PF QF 3
212-=--
m m 2,22,2300=±=-
=c y x ).
2)(23(--±=x y )0(1:22
22>>=+b a b
y a x C )
1,2(
M )
0,2(
1
F
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点
时，在线段
上取点
，满足
。证明：点Q 总在某定直线上。
解：（Ⅰ）由题意：，解得.
所求的求椭圆的方程
.
（Ⅱ)方法一：设点，，，由题设，
、、、均不为0，且，又四点共线，可设，，于是
，
…………………………………① ，
…………………………………②
由于，在椭圆上，将①②分别带入的方程
，整理得：
………………③ ………………④
由④-③得 .
C ()4,1P l C ,A B
AB
Q
||||PB AQ QB AP ??222222
2111
c a b c a b ?=?
?+=??=-??
2
24,2
a b ==C 22
142
x y +=(,)Q x y 1
1
(,)A x y 2
2
(,)B x y PA
PB AQ QB PA PB
AQ QB =,,,P A Q B
PA AQ λ=-(0,1)PB BQ λλ=≠±141x
x λλ
-=
-111y y λλ-=
-241x x λλ
+=+211x y λλ
+=
+1
1
(,)A x y 2
2
(,)B x y C 22
142
x y +=222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+=222(24)4(22)140
x y x y λλ+-++-+=8(22)0x y λ+-=
椭圆 专题
椭圆 专题 例1．如图：直线L ：与椭圆C ：交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形 OAPB 。 求证：椭圆C ：与直线L ：总有 两个交点。 当时，求点P 的轨迹方程。 （3）是否存在直线L ，使OAPB 为矩形？若存在，求出此时直线L 的方程；若不存在，说明理由。 解：(1)由 得 椭圆C ：与直线L ：总有两个 交点。 (2)设,,,与交于点，则有 即 ，又由（1）得 ， （2） 得 （3） 1y mx =+2 22(0) ax y a +=>222(0) ax y a +=>1y mx =+2a =22 1 2 y mx ax y =+??+=?22()210 a m x mx ++-=22044()0a m a m >∴=++>∴ 2 22(0) ax y a +=>1y mx =+(,)P x y 1 1 (,)A x y 2 2 (,)B x y AB OP M 1212,2222 x x y y x y ++==1212 ,x x x y y y =+=+122 22m x x m +=- +122 1x x a m ?=- +12122 22 224 (1) (1)(1)()2()2222m m x y mx mx m x x m m m m ∴=- =+++=++=- +=+++(1)(2) ÷22x m x m y y =-?=-
将（3）代入（2）得 点P 的轨迹方程为 当时，这样的直线不存在；当时，存在 这样的直线，此时直线为 例 2. 设椭圆 的两个焦点是与 ，且椭圆上存在一点，使得直线与垂直. （1）求实数的取值范围； （2）设是相应于焦点的准线，直线与相 交于点 ，若 ，求直线的方程. 解：（Ⅰ）由题设有 设点P 的坐标为 由PF1⊥PF2，得 化简得 ① 将①与联立，解得 222 2 4 22042y x y y x y = ?+-=+(0,0)x y ≠≠∴ 2 2220x y y +-=(0,0) x y ≠≠121212122121200(1)(1)0(1)()10 OA OB x x y y x x mx mx m x x m x x ?=?+=?+++=?++++=222 222212(1)()()1012021 m m m a m a m m m a m m a -∴+- ++=++?---++=?=-∴ 01a <<1a >l 1y =+11 22 =++y m x )0,(1 c F -) 0(),0,(2>c c F P 1 PF 2 PF m L 2 F 2 PF L Q 322 2 -=PF QF 2 PF . ,0m c m = >), ,(00y x ,10000-=+?-c x y c x y . 2020m y x =+11 2 02 0=++y m x . 1 ,12022 m y m m x =-=
高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版
圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<
注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设 其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； （5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=； （6）准线方程：c a x 2 ± =； （7）焦准距：c b 2 ； （8）离心率： a c e = 且10< 【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大 （一）椭圆的定义及椭圆的标准方程： ?椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点F 1、 F 2的距离之和等于常数 （二）椭圆的简单几何性： ?标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 2 2 x 2 y 2 =1 (a b O) a b (PF 1 + PF 2 =2a ■ F1F 2）,这个动点P 的轨迹叫椭圆?这两个定点叫椭圆的 焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的 焦距. 注意：①若（PF 1 + |PF 2 |=F I F 2），则动点P 的轨迹为线段F 1F 2 ； ②若（PF 1 + PF ^<|F 1F 2 ），则动点P 的轨迹无图形 2 2 y 2 X 2 =1 (a ■ b ■ O) a b 图形 性质 焦占 八焦距 范围 F i (-c,O)，F 2(C ,0) F I (O,-C )，F 2(0,C ) F 1F 2 =2C F 1 F 2 = 2c x^b, | y| 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 标准方程 (_a,0) , (0,-b) (0,-a), (_b,0) 顶点 ?椭圆标准方程为 =1 (a b - 0)，椭圆焦点三角形: 设P 为椭圆上任意一点, F i ,F 2为焦点且/ F 1PF 2 ?，则△ F i PF 2为焦点三角形，其面积为 轴长 长轴长 AA 2, AAj =2a ，短轴长 BB 2, EB 2 =2b 离心率 ① e = C (0cec1)，② e =』1—(b )2 ③ c 2 = a 2_b 2 a V a (离心率越大，椭圆越扁) 【说明】： 1?方程中的两个参数a 与b ,确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点 F i ，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数 a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且 a 2 = b 2+ c 2. 2 2 2.方程Ax By 二C 表示椭圆的充要条件是：ABC 工0,且A ，B ，C 同号，A 2 2 S PF I F 2 = b 2 tan 。 2 (四)通径：如图：通径长 2 2 ?椭圆标准方程：笃? — =1 a 2 b 2 (五)点与椭圆的位置关系： C 1) 点 P(x o ,y o )在椭圆外= a b a b x =1； 椭 圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程； （提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。 椭圆专题复习 1.(课本P33.7)已知圆221:(1)1,F x y ++=圆22 2:(1)9,F x y -+=动圆P 与圆1F 外切，与圆 2F 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 . 2.(课本P3 3.8).设动点P 到点(1,0)F 的距离是到直线9x =的距离之比为1 3 ，则点P 的轨迹方程是 3.（课本P32.3)改编)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为_______________________________ 4.(课本P33.3).经过两点2A(2,,3B(2,两点的椭圆标准方程是 . 5.(2015江苏改编) 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的椭圆的离心率是22 ，且右焦点F 到左 准线l 的距离为3，则椭圆的标准方程为________. 6．(2015南通)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为(0,b)B ，右焦点为F ，直线BF 与 椭圆的另一个交点为M ，且2BF FM =,则椭圆的离心率为 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点 P ，使得PF 1 PF 2 ＝e ，则该离心率e 的取值范围是________． 8.( 浙江2015高考第15题·)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称 点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________. 9.(重庆2015高考第21题)如图，椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左， 右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1. (1)若PF 1＝2＋2，PF 2＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若PF 1＝PQ ，求椭圆的离心率e . 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A ．133 B ．53 C ．23 D ．5 9 【答案】B 【解析】 试题分析：945 33 e -= = ，选B ． 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右 顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A 6 B 3 C 2 D ．1 3 【答案】A 【解析】 试题分析：以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即： 2 2 d a a b = =+， 整理可得223a b =，即()222223,23a a c a c =-=， 从而22 223 c e a ==，椭圆的离心率26 33c e a === ， 故选A . 【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝c a ； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：2 2x m +y 2=1(m >1)与双曲线 C 2： 22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】 1.短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， 则?? ? ??+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为 116322 2=+y x 或132 1622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系． 椭圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程； （提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点，直线l 的方程为 0012 x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。 椭圆专题训练卷 一、单选题 1．（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆22 12516 x y + =上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 2．（2020·全国高三课时练习（理））设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“2 16 x ＋ 29y ≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（2019·浙江省春晖中学高二月考）已知椭圆22 1102 x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于 ( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 4．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点 为B ，且OA （O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 5．（2020·四川资阳 高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心 率为 1 2 ，则C 的方程是（ ） A ．22 143x y += B ．22 186 x y + C ．22 142 x y += D ．22 184 x y += 6．（2020·全国高三课时练习（理））已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ， B 分别为 C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A ．13 B ． 12 C ． 23 D ． 34 7．（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()22 2210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线 :4 l y x = 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为( ) A ． 2 B ． 34 C ． 12 D ． 14 8．（2020·甘肃城关 兰大附中高三月考（理））已知1F ，2F 分别为椭圆22 1168 x y +=的左、右焦点，M 是椭 圆上的一点，且在y 轴的左侧过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若2ON =（O 为坐标原点）则21MF MF -等于（ ） A ．4 B ．2 C D 9．（2020·黑龙江南岗 哈师大附中高三其他（文））已知1F 、2F 是椭圆22 143 x y +=的左、右焦点，点P 是 椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 12QF QF ?=( ) A ． B ．4 C ．3 D ．1 10．（2019·宁波市第四中学高二期中）设椭圆22 221 x y a b +=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -，，点(,)2a N c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232 MF MN F F +<恒成 立，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ） A ．(0 B ．1) C ．5)6 ， D ．5(,1)6 二、多选题 “椭圆的切线方程”教学设计 马鞍山二中 文恫兵 一、 教学目标 知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。 过程与方 法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。 情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的 学习精神。 二、 教学重点与难点 教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。 教学难点：椭圆的切线方程的探究。 三、 教学流程设计 （一）创设情境 复习：怎样定义直线与圆相切？ 设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比, 都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一 元二次方程中的判别式等于零来解决。 （二）探究新知 基础铺垫： X 1 2 3 问题1、已知椭圆C ：— 8 1与直线1只有一个公共点 设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如 x 2 2, y 2。先由 特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。 （2 ）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消 元，得到一元二次方程，判别式 0。切线斜率确定，切线不确定。 （3 ）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元 二次方程，判别式 0。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由 （2） （ 3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二 次方程，判别式 0。 （4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切 点得到椭圆切线的一般方法。 问题一般化： 2 2 X y 猜想：椭圆C : r 牙1与直线I 相切于点P （X o , y 。），则切线I 的方程? 1 请你写出一条直线1的方程； 2 若已知直线I 的斜率为k 1，求直线I 的方程; 3 若已知切点P （2,1）,求直线I 的方程； （4）若已知切点 ,求直线I 的方程。 椭圆专题学案 专题一：巧设椭圆方程 （1） 已知焦点坐标求椭圆方程 1. 求过点（2，-3）且与椭圆36 492 2 =+y x 有共同焦点的椭圆的标准方程 2. 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为4，并且经过点) 62,3(-P ，求椭圆的标准 方程。 （2） 已知两点求椭圆方程 求焦点在坐标轴上，且经过 ), 1,32(),2,3(--B A 两点的椭圆方程 专题二：椭圆方程中分母参数的范围 1.方程116252 2 =++-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是多少？ 2.? ? ? ??∈?2,0π，方程1cos sin 2 2 =?+y x α表示焦点在x 轴上 的椭圆，则α的取值范围是？ 专题三：求离心率 1. 若椭圆的 短轴为AB ，他的一个焦点为1 F 则满足三 角形 1 ABF 为等边三角形的椭圆的离心率是 多少？ 2.设椭圆的两个焦点分别为1 F 、2 F ，过2 F 做椭 圆长轴的垂线交椭圆于点P,若 2 1PF F ?为等腰直 角三角形，则椭圆的离心率是多少？ 3.已知点F,A 分别是椭圆) 0(12 22 2>>=+ b a b y a x 左焦点， 右顶点，B(0，b)满足0 =?→ → AB FB 则椭圆的离心率 是多少？ 专题四：焦点三角形 1. 椭圆 1 7 9 2 2 =+ y x 的两个焦点分别为1 F 、2 F ，P 为 椭圆上一点，且. 2160 =∠PF F (1)求2 1PF F ?的面积；（2）求P 点坐标 2.椭圆 1 24 49 2 2 =+ y x 的两个焦点分别为1 F 、2 F ，P 为椭 圆上一点，且P F P F 21与互相垂直，则 2 1PF F ?的面积 是多少？ 专题13.2 椭圆（专题训练卷） 一、单选题 1．（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆22 12516 x y + =上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 【答案】D 【解析】 因为椭圆的方程为22 5 1162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=， 故选D ． 2．（2020·全国高三课时练习（理））设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“2 16 x ＋ 29y ≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 “|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域， “216x ＋29y ≤1”表示的平面区域N 为椭圆2 16 x ＋ 29y ≤1及其内部， 则如图 显然N 在M 内， 故选：B ． 3．（2019·浙江省春晖中学高二月考）已知椭圆22 1102 x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于 （ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】 ∵ 椭圆22 1102 x y m m +=--的焦点在y 轴上， ∴ 22a m =-，210b m =-， ∵ 焦距为4， ∴ 24c =即24c =， 在椭圆中：222a b c =+即2(10)4m m -=-+，解得：8m =， 故选：D 4．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点 为B ，且OA （O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 依题意可知3a b ,即3 b = , 又c ===, 所以该椭圆的离心率3 c e a == . 故选:B 椭圆专题 1． 直线与椭圆相切，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．从椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰好为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且OP AB //（O 是坐标原点） ，则该椭圆的离心率是（ ） A ．4 B ．12 C 2 D 3．设12,F F 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左右焦点，P 为直线32 a x =上一点，21F PF ?是底脚为030的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ． 12 B ．23 C ．34 D ．45 4．设12,F F 是椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>的左右焦点，过点12,F F 作x 轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为（ ） A C ．2 D 5．方程表示椭圆，则的取值范围是（ ） A ． B ．或 C ． D ．或 6．已知椭圆19 162 2=+y x 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （A ）47 （B ）37 （C ）47或37 （D ）6 7 7．若椭圆1322=+m y x 的离心率为12 ,则m = （A ）49 （B ）4 （C ）49或4 （D ）2 3 8．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 （A ）13 （B ）3 （C ）12 （D ）2 9．已知点、 分别是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，若2ABF 为锐角三角形，则该椭圆离心率 的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 10．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e ＝21，右焦点为F （c ，0），方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P （x 1，x 2） A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 C ．以上三种情形都有可能 y x m =+2 212 x y +=m 1±3±22 141x y t t +=--t 14t <<1t <4t >4t >512t <<542 t <<22 22=1(0)x y a b a b +>>A B ()01-() 1,12-???? ??-215,0???? ??-1,215 椭圆专题 编辑：秋耳（南京金石可镂教育培训中心QQ:2832787514） 1、给定椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆Ｃ的 “准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(2,0)F ，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为3. （I ）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程； (II )点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，且12,l l 分别交其“准圆”于点M ，N . （1）当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求12,l l 的方程； （2）求证：|MN |为定值. 解：（I ）因为3,2==a c ，所以1=b 所以椭圆的方程为2 213 x y +=， 准圆的方程为422=+y x . （II ）（1）因为准圆422=+y x 与y 轴正半轴的交点为P （0，2）, 设过点P （0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为2+=kx y , 所以22 213 y kx x y =+???+=??，消去y ，得到0912)31(2 2=+++kx x k , 因为椭圆与2+=kx y 只有一个公共点, 所以22 14449(13)0k k ?=-?+= ，解得1±=k . 所以12,l l 方程为2,2+-=+=x y x y . （2）①当12,l l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率， 因为1l 与椭圆只有一个公共点，则其方程为3=x 或3-=x ， 当1l 方程为3= x 时，此时1l 与准圆交于点)1,3(),1,3(-， 此时经过点)1,3((或)1,3(-)且与椭圆只有一个公共点的直线是 1=y (或1-=y )，即2l 为1=y (或1-=y )，显然直线12,l l 垂直； 椭圆及其标准方程 【题型Ⅰ】椭圆及其标准方程 1、若点M 到两定点F 1（0，-1），F 2（0，1）的距离之和为2，则点M 的轨迹是（ ） A .椭圆 B .直线21F F C .线段21F F D .线段21F F 的中垂线. 变式：6.=表示的曲线为________ 2、两焦点为)0,3(1-F ，)0,3(2F ，且过点)4,0(A 的椭圆方程是（ ） A ．19 1622=+y x B ．116252 2=+y x C ．19 252 2=+y x D ．以上都不对 练习：椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为3 2，长轴长为6，则椭圆方程为（ ） A ．1203622=+y x B ．15 92 2=+y x C ．15922=+y x 或19522=+y x D ．136 2022=+y x 或120362 2=+y x 3、与圆1)1(22=++y x 外切，且与圆9)1(2 2=+-y x 内切的动圆圆心的轨迹方程是__________。 练习：已知圆()1003:22=++y x A ，圆A 内一定点B （3，0），圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程. 4、椭圆19 252 2=+y x 的左、右焦点为1F 、2F ，1ABF ?的顶点A 、B 在椭圆上，且边AB 经过右焦点2F ，则1ABF ?的周长是__________。 练习：已知三角形PAB 的周长为12，其中A(-3,0),B(3,0),求动点P 的轨迹方程 5、已知椭圆22 121F F A ,195 x y +=，，分别为椭圆的左右焦点，点（1）为椭圆内一点， 1P PA +PF 点位椭圆上一点，求的最大值 6、求与椭圆14 162 2=+y x 有相同焦点，且过点)6,5(--P 的椭圆方程。 练习：若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ） A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．16 1022=+y x 7、经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 . 变式：方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是 （A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆 【题型Ⅱ】椭圆的几何性质 8、曲线192522=+y x 与)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间有（ ） A ．相同的长短轴 B ．相同的焦距 C ．相同的离心率 D ．相同的短轴长 专题复习一 椭圆 探究点一 椭圆的定义 例1 (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且21PF PF .若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． (2)已知椭圆：x 24＋y 2 b 2＝1(0b >0)上任意一点P 到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为13 ，则椭圆的方程为________． (2)过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的方程为( ) A.x 2＋y 2＝1 B.x 2＋y 2＝1 C.x 2＋y 2＝1 D.x 2＋y 2＝1 椭圆专题一 椭圆的定义 班级__________ 姓名：__________ 一、椭圆的第一定义： 1.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( C ) A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12 2.（四川2012理科15）椭圆22 143 x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ?的周长最大时，FAB ?的面积是_____3_____。 3.已知定圆05562 2=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P(-3，0)，则圆心M 的轨迹方程是____22 1167 x y +=_____。 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为12,F F ，设P 是椭圆上的任意一点， 若12F PF ∠的外角平分线为PT ，焦点在PT 上的射影M 的轨迹方程是 222a y x =+ . 二、椭圆的第二定义： 1. 离心率e =35，一条准线方程为x=503 的椭圆的标准方程为__22110064x y +=___. 2.点A(1,1),1F (4,0)，点M 在椭圆221259x y +=上运动，则154MA MF +的最小值为 4 21 ． 3.(07宁夏14)设椭圆22 12516 x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2 OM OP OF =+，则||OM = 2 ． 4.(2010辽宁理数20)设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.则椭圆C 的离心率为___3 2___. 5．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22 259 1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（ C ） A ．10 B ．105- C ．105+ D ．1025+ 6.已知动点),(y x P 在椭圆116 252 2=+y x 上，若A 点坐标为),0,3(,1||=AM 且0=?AM PM ， 则||PM 的最小值是 专题21 椭圆（原卷版） 易错点1：焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系： 易错点2：椭圆的几何性质 易错点3：直线与椭圆的位置关系 （1）忽视直线斜率为0或不存在的情况 （2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式 的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）. 易错点4：求轨迹方程时，忽视对结论进行验证。 题组一：椭圆的定义与焦点三角形 1.(2013新课标1)已知圆M ：1)1(22=++y x ，圆N ：9)1(2 2=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .则C 的方程为________。 2.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E,点E 的轨迹方程为___________. 3.（20191）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若 22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( ) A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22 154 x y += 4.（20193）设1F ，2F 为椭圆22 :13620 x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为 ． 5.（2011）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率2。过F 1的直线交椭圆C 于,A B 两点，且2ABF ?的周长为16，那么C 的方程为 。 题组二：椭圆的标准方程 6.（20171）已知椭圆C ：22 22=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1）， P 3（–1，3），P 4（13）中恰有三点在椭圆C 上，则C 的方程是______________。 7.（20192）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点是椭圆22 13x y p p +=的一个焦点，则p=_____. 8.（20141）已知点A （0，-2），椭圆E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为33 ，E 的方程是____________.最新椭圆标准方程及其性质知识点大全
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