专题：椭圆的离心率解法大全

； ’. 专题：椭圆的离心率

一，利用定义求椭圆的离心率（ace 或 221abe） 1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率e 32 2，椭圆1422myx的离心率为21，则m [解析]当焦点在x轴上时，32124mm； 当焦点在y轴上时，316214mmm， 综上316m或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是53

4，已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆122nymx的离心率为 [解析]由02222mnnmnnmn42nm，椭圆122nymx的离心率为2

2

5，已知)0.0(121nmnm则当mn取得最小值时，椭圆12222nymx的的离心率为23 6，设椭圆2222byax=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是21。

二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e 1，在RtABC中，90A，1ACAB，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在

AB上，求这个椭圆的离心率 36e 2， 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线1AB与BF交于D,且901BDB,则椭圆的离心率为( )

[解析] eaccacbab221)(2

15

3，以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线； ’. MF1与圆相切，则椭圆的离心率是13 变式（1）：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13

4,椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1

变式（1）：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变式（2） 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= ba 又 ∵b= a2-c2

∴a2=5c2 e=55 变式(3):将上题中的条件“PF2 ∥AB”变换为“PO∥AB(O为坐标原点)”

相似题：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? 解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜=a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+5 2 e=-1-52(舍去)

变式(1):椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+5 2, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。 性质：（1）∠ABF=90° （2）假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。 （3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。

变式(2): 椭圆12222byax(a＞b＞0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则

椭圆的离心率e = 215 ． 提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c，又等于直角三角形AOB斜边上的高，∴由面积得：22barab，但cr

4，设椭圆）（0ba1byax2222的左、右焦点分别为21FF、，如果椭圆上存在点P，使90PFF21，求离心率e的取值范围。 解：设0,cF,0,cF,y,xP21 法1：利用椭圆范围。 ； ’. 由PFPF21得222cyx，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得2222222babacax2222)(eaca。

由椭圆的性质知22ax0，得），以122[e。 附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似） 法2：判别式法。 由椭圆定义知||||||||||||PFPFaPFPFPFPFa121222122224，又因为9021PFF， 可得222122214||||||cFFPFPF，则)(2||||2221caPFPF22b，

1PF，2PF是方程02222bazz的两个根，则22210)(84222222eacecaa

解法3：正弦定理 设记PFFPFF1221，，由正弦定理有 ||sinsin||||90sin||sin||sin||21212121FFPFPFFFPFPF 又因为cFFaPFPF2||2||||2121，，且90 则

)4sin(21cossin1sinsin1ace

20 4344 则1)4sin(22，2)4sin(21



所以122e 解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212aPFPF||||平方后得 42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFFFc||||||||(||||)||

得ca2212所以有，）e[221

解法6：巧用图形的几何特性 由FPF1290，知点P在以||FFc122为直径的圆上。 又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有cbcbac2222 变式(1)：圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求椭圆的离心率e 分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。

解：由正弦定理：｜F1F2｜sin F1PF2 = ｜F1P｜sin F1F2P 212sinFPFPF 根据和比性质： ； ’. x

y

A1 B2 A2 O T

M

｜F1F2｜sin F1PF2 = ｜F1P｜+｜PF2｜ sinF1F2P+sin PF1F2 变形得： ｜F1F2｜ ｜PF2｜+｜F1P｜ =sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 ac2

2=e

∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e= sin90° sin75°+sin15° =63 点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 变式(2)：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，求椭圆离心率e的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。

解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 = sin60° sinα+sin(120°-α) = 1 2sin(α+30°)≥12 ∴12≤e<1

变式(3)：过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率e的值

解析：因为2(,)bPca，再由1260FPF有232,baa从而得33cea 变式(4)：若BA,为椭圆)0(12222babyax的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使0120AQB，求此椭圆离心率的最小值。{136e} 变式(5)：8、椭圆012222babyax上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若BFAF，设ABF

，且4,12，则椭圆的离心率的取值范围为

解析：设F为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形FAFB为平行四边形且为矩形，cAB2，cos2,sin2cBFcAF

，acc2cos2sin2，所以4sin21cossin1ace，由



4,

12

得3622e。

6，如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,AABB为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 .