专题：椭圆的离心率解法大全

专题：椭圆的离心率

一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 2

21??

?

??-=a b e ）

1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e

3

2

2，椭圆

1422=+m y x 的离心率为2

1，则=m [解析]当焦点在x 轴上时，

32124=?=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316

214=?=-m m

m ， 综上3

16

=

m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是5

3

4，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12

2=+n

y m x 的离心率为 [解析]由???

???≠=+=0

222

2mn n m n n

m n ??

?==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(12

1>>=+n m n

m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23

6，设椭圆22

22b

y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的

距离，则椭圆的离心率是2

1

。

二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e

1，在?Rt ABC 中，

90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 (

)

36-=

e

2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且

901=∠BDB ,

则椭圆的离心率为( ) [解析]

=?=-?-=-?e ac c a c

b

a b 221)(21

5-

3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线

MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13-

变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13-

4,椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2

=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则

椭圆的离心率e ？

解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= c

a

= 3-1

变式（1）：椭圆x 2 a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？

解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1

变式（2） 椭圆x 2 a 2 +y 2

b 2

=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，

PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？

解：∵｜PF 1｜= b 2 a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2

∴a 2

=5c 2 e=

55

变式(3):将上题中的条件“PF 2 ∥AB ”变换为“PO ∥AB (O 为坐标原点)”

相似题：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?

解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2

a 2+

b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+

c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2 e 2

+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)

变式(1):椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5

2

, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？

点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°

引申：此类e=5-1

2

的椭圆为优美椭圆。

性质：（1）∠ABF=90°

（2）假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。 （3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。 变式(2): 椭圆

12

22

2=+b y a x (a ＞b ＞0)的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，则

椭圆的离心率e =

2

1

5- ． 提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c ，又等于直角三角形AOB 斜边上的高，∴由面积得：22b a r ab +?=，

但c

r =

4，设椭圆）（0b a 1b

y a x 22

22>>=+的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使?=∠90PF F 21，求离心率e

的取值范围。

解：设()()()0,c F ,0,c F ,y ,x P 21- 法1：利用椭圆范围。

由→

→⊥P F P F 21得222c y x =+，将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得2

222222b a b a c a x --=2

222)(e

a c a -=。 由椭圆的性质知22a x 0<≤，得），以12

2

[

e ∈。 附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似） 法2：判别式法。

由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 1212

22

122

224+=?++=，又因为?=∠902

1PF F ，

可得222122214||||||c F F PF PF ==+，则)(2||||2

221c a PF PF -=2

2b =，

1PF ∴，2PF 是方程0222

2

=+-b az z 的两个根，则22

210)(84222

2

2

2

≥

?≥=?≥--=?e a

c e c a a 解法3：正弦定理

设记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有

||sin sin |

|||90sin ||sin ||sin ||21212121F F PF PF F F PF PF =++??==β

ααβ 又因为c F F a PF PF 2||2||||2121==+，

，且

90=+βα 则 )

4

sin(21cos sin 1

sin sin 1π

ααβα+

=?

+=+==

a c e

2

0π

α<

< 434

4

ππ

απ

<

+

<∴

则1)4sin(22≤+<πα，2)4

sin(21≤+<π

α 所以

12

2

<≤e 解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+||||平方后得

42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++?≤+==||||||||(||||)||

得c a

221

2≥所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性

由∠=?F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。

又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P ，故有c b c b a c ≥?≥=-2

2

2

2

变式(1)：圆x 2 a 2 +y 2

b 2

=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交

点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求椭圆的离心率e

分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。

解：由正弦定理：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜

sin F 1F 2P 2

12sin F PF PF ∠=

根据和比性质：

y

B 2

T

M

｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜+｜PF 2｜ sinF 1F 2P+sin PF 1F 2 变形得： ｜F 1F 2｜ ｜PF 2｜+｜F 1P ｜ =sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 a c

22=

=e ∠PF 1F 2 =75°∠PF 2F 1 =15° e= sin90° sin75°+sin15° =63

点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=sin F 1PF 2

sin F 1F 2P +sin PF 1F 2

变式(2)：椭圆x 2 a 2 +y 2

b 2

=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，求

椭圆离心率e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。

解：设∠F 1F 2P=α，则∠F 2F 1P=120°-α e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 = sin60°

sin α+sin(120°-α)

=

1 2sin(α+30°)≥1

2 ∴1

2

≤e<1

变式(3)：过椭圆22

221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若

1260F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的值

解析：因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有2

32,b a a

=从而得33c e a ==

变式(4)：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0

120=∠AQB ，求此椭圆

离心率的最小值。{136

<≤e } 变式(5)：8、椭圆()0122

22>>=+b a b y a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设

α=∠ABF ，且??

?

???∈4,12ππα，则椭圆的离心率的取值范围为

解析：设F '为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形F AFB '为平行四边形且为矩形，c AB 2=，

ααcos 2,sin 2c BF c AF ==，a c c 2cos 2sin 2=+αα，所以?

?? ?

?

+=+==

4sin 21

cos sin 1παα

αa c e ，由??

?

?

??∈4,12ππα得3622≤≤e 。

6，如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的四个顶点，F 为其右

焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭

圆的离心率为 .

F 2

M

F 1

O M

P F 2

F 1

O 直线21B A 的方程为

1=+-b y a x ，直线F B 1的方程为1=-+b y c x ，两式联立得T 的坐标??

?

??-+-c a c a b c a ac )(,2，

所以中点M 的坐标为?

??

?

??-+-)(2)(,c a c a b c a ac ，因为点M 在椭圆上，代人方程得()2

2

24)(4c a c a c -=++ 则03102=-+e e ()1,0∈e 所以275e =-

7，椭圆x 2 a 2 +y 2

b 2

=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→

MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e

的取值范围？

分析：∵→MF 1·→

MF 2 =0∴以F 1F 2 为直径作圆，M 在圆O 上，与椭圆没有交点。

解：∴c2c 2

∴0

如图所示,画图可知点M 的轨迹是以12F F 为直径的圆，则它在椭圆内部,故22222122c b c b a c e e 222

?-<<

,2

0e 10e 2

<<∴<<

8，椭圆x 2 a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-

c ，0）、F 2 (c,0)，P 为右准线L ：x=a

2

c

上一点，F 1P 的垂直平分线

恰过F 2 点，求e 的取值范围？

分析：思路1,如图F 1P 与 F 2M 垂直，根据向量垂直，找a 、b 、c 的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e

解法一：F 1 （-c ，0） F 2 (c,0) P(a 2

c ,y 0 ) M( a 2c -c 2 ,y 0

2

)

既( b 22c , y 0 2 ) 则→

PF 1 =-( a 2c

+c, y 0 ) →MF 2 =-( b 22c -c, y 0 2 ) →PF 1·→MF 2 =0( a 2c +c, y 0 ) ·( b 22c -c, y 0 2

)=0 ( a 2c +c)·( b 22c -c)+ y 02

2 =0a 2-3c 2≤0 ∴3

3

≤e<1

解法2：｜F 1F 2｜=｜PF 2｜=2c ｜PF 2｜≥a 2

c -c 则2c ≥a 2

c -c 3c ≥a 2

c 3c 2≥a 2

则33

≤e<1

总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。

9，如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是13-

解：以AD 所在直线为X 轴，AD 中点为坐标原点建立坐标系。设正六边形的边长为r ，则椭圆的半焦距r c =，

易知ΔAOF 为等边三角形，∴F （)23,2c c -，代入椭圆方程12222=+b y a x 中，得：143422

22=+b

c a c ， F E

A D

∴432

2222=-+c a c a c ，即：

41132

2

=-+e e 4132

22

=-+e

e e ，,13,324,048),1(43)1(2

242222±=±==+--=+-e e e e e e e e 又13,10-=∴<

法二：如图，连结AE ，易知0

90=∠AED ，设c ED c EA c AD ==

=,3,2则，由椭圆定义，

有：a ED EA 2=+，a c 2)13(=+， ∴131

32-=+==

a c e 10，椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2

=1(a>b >0)，过左焦点F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜BF 1｜,求

椭圆的离心率e 的值

解：设｜BF 1｜=m 则｜AF 2｜=2a-am ｜BF 2｜=2a-m

在△AF 1F 2 及△BF 1F 2 中，由余弦定理得：???a 2 –c 2

=m(2a-c) 2(a 2-c 2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c =12 ?e=23

练习题：

1，椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2

212MF MF b ?=，求椭圆的离心率.

解析: 由椭圆的定义，可得 212MF MF a +=又2

212MF MF b ?=，所以21,MF MF 是方程

22220x ax b -+=的两根，由22(2)420a b ?=--?≥， 可得222a b ≥，即2222()a c a ≥-所以22

c e a =

≥，所以椭圆离心率的取值范围是2

[

,1)2

2，在ABC △中，90A ∠=，3

tan 4

B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点

C ，则该椭圆的离心率e = ． [解析]=+====BC AC AB

e k BC k AC k AB ,5,3,412

3，已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率

为 _________.

[解析] 13- [三角形三边的比是2:3:1]

4，在平面直角坐标系中，椭圆22

22x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ??

???

作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．

[解析]

=?=e a c

a 22

22 5， 在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率

e = ．

【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||2

1

=?=

?A AC AB S ABC ，32||=∴AC ，2cos ||||2||||||22=?-+=A AC AB AC AB BC

2

1

32322||||||-=

+=+=

BC AC AB e 6，已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c =，

则该椭圆的离心率的取值范围为 ．

[解析] ∵在12PF F ?中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =，则由已知，得21

a c

PF PF =

，即12aPF cPF =，∴12c PF PF a =

，由椭圆的定义知12PF PF 2a +=，∴222c

PF PF a a

+=， 即222a PF c a =+，由解法三知2

22211a c a PF a c e c a

-<=<+?-<<+∴椭圆的离心率(

)

21,1e ∈

-。

7，已知椭圆22

22:1(0)x y M a b a b

+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，P 为椭圆M 上任意一点，且12

PF PF 的最大值的取值范围是22

,3c c ????

，其中22c a b =-，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． [解析]：设()00,P x y ，则()()22212000000,,PF PF c x y c x y x y c =-----=+-，而 222200x y PO a +=≤,∴12PF PF 的最大值为22a c -，

∴222222212

32422

c a c c c a c e ≤-≤?≤≤?

≤≤

8，在平面直角坐标系中，椭圆22

22x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点2,0a c ??

???

作圆的两切线互相垂直，则离心率e =

2

2

9，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

e 2

=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-= 的两个实根分别

为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ A ）

Ａ．必在圆2

2

2x y +=内 Ｂ．必在圆22

2x y +=上 Ｃ．必在圆2

2

2x y +=外

Ｄ．以上三种情形都有可能