输油管的布置4

1 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 濮阳职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王英 2. 潘道敏 3. 胡彬彬 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 任艳梅

日期： 2011 年 9 月 2 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2 3

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人

评 分

备 注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 4

C题 输油管的布置 摘要 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，在地理条件允许的情况下，我们要考虑它的可行性，安全性，经济性，在求解中我们运用光的折射原理，通过线性规划模型加以图形来阐述我们的方案。 解决问题一时我们先从两炼油厂连线与铁路是否垂直分出两种情况，再从共用管道费用与非共用管道费用是否相同，分多种情况，从而给出解决方案。 在问题二、三中我们采用平面直角坐标系，设定位置点找出费用最少的输油路径来铺设输油管道并求出所需的最少的费用。 关键词： 输油管的布置 光的折射原理 线性规划模型 费用最省 权重 地质条件 5

一、问题重述 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。在方案设计时，若有共用管线，考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示： 为设计院给出管线布置方案及相应的费用。

3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。给出管线最佳布置方案及相应的费用。

二、 模型假设

工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20 6

⑴地理条件为理想情况，在铺设过程中不考虑地理条件的限制； ⑵共用管线费用不小于非共用管线费用； ⑶在问题一中炼油厂A到铁路的距离不小于炼油厂B到铁路的距离； ⑷两炼油厂之间的距离合理，且两炼油厂到铁路的距离分别在安全范围内。

三、符号说明 符号 符号说明 A, B 炼油厂 C, D 车站 E 公用管线时的端点 F 城区与郊区分界线上的点 a 为三公司的期望值 x,y,m,n 坐标点的数值

21,ZZ 总费用

四、 问题分析 炼油厂和车站的位置的选定决定着输油管线的使用费用以及通过建筑物时所需的拆迁和工程补偿等附加费用，所以我们需要在一定的区域内选定合适的位置建立炼油厂和车站，使得使用费用较小，节约一定的费用，且具有一定的安全性和可行性。 五、 模型建立与求解 问题一： 1、假设A、B在同一直线上且垂直于铁路，如图⑴ 7

① ② a、当共用管线费用与非共用管线费用相同,则车站C建在A、B连线垂直铁路的交点处费用较小（如图⑴①） b、当共用管线费用与非共用管线费用不同时 ①炼油厂距离铁路较远时，则在A、B连线垂直铁路的交点两边选择一点建车站处费用较小（如图⑴②） ②任一个炼油厂距离铁路较近时，则车站C建在A、B连线垂直铁路的交点处处费用较小（如图⑴①） 2、若A,B的连线不垂直铁路时：如图（2）（炼油厂A距铁路的距离大于炼油厂B到铁路的距离） 8

①当AD+DB>AC时， a,若共用管线费用与非共用管线费用相同时，此时车站建在C点；铺设非共用的AB和非共用的BC。 b,若共用管线费用比非共用管线费用不同时，且建在D点的总体费用比建在C点的高时，则车站建在C点；铺设非共用的AB和非共用的BC。 c,若共用管线费用比非共用管线费用不同时，且建在D点的总体费用比建在C点的低时，则车站建在D点；铺设AD、BD两管道。 ②当AD+BDa,若共用管线费用与非共用管线费用相同时, 此时车站建立在D点；铺设AD、BD两管道。 b,若共用管线费用比非共用管线费用不同时，此时车站建立在D点；铺设AD、BD两管道。 ③当AD+BD=AC时， a,若共用管线费用与非共用管线费用相同时，此时车站建在C，D点都行；铺设非共用的AB和非共用的BC或铺设AD、BD两管道。 b,若共用管线费用比非共用管线费用不同时，此时车站建立在D点；铺设AD、BD两管道。 3、当A、B两家炼油厂的连线平行于铁路线时,此时车站建立在C点，只是铺设管 9

道的路径不同,如图（3）所示： ⑴假设铺设共用管线费用和非共用管道费用相同。 a．当AE+EB+ECB两厂的共用管道。 b．当AE+EB+EC>AC+CB时，铺设AC、BC两条管道即可。 ⑵假设铺设共用管道费用和非共用管道费用不同时。 a．当AE+EB+ECB两厂的共用管道。 ①.铺设AE、BE两条非共用管道和铺设EC共用管道的费用之和小于铺设AC、BC两条管道之和时，则铺设AE、BE、EC三条管道。 ②. 铺设AE、BE两条非共用管道和铺设EC共用管道的费用之和大于铺设AC、BC两条管道之和时，则只需铺设AC、BC两条管道即可。 b．当AE+EB+EC>AC+CB时，铺设AC、BC两条管道即可。 问题二： 根据题意建立坐标系，以铁路线为x轴，以过A点且垂直于铁路的直线为y轴，即A点的坐标为（0,5），B点的坐标为（20,8），令C点坐标为（x,0），两区域的分界线为直线x=15，E点的坐标是（15，y）,F点坐标为（x,m）; 10

由于公司一为甲级资深，公司二、三为乙级资深，根据权重得： 公司一占50%，公司二、三占25%。 从而求得a=50%*21+25%*24+25%*20=21.5；

1Z=22222222281520815201552.7yaymmyxmx

即：1Z=2222222815207.282.7*)155(ymmyxmx 通过求1Z的最小值得出坐标点，即C(5 ，0), E(15，8) ,F(5，5 )，Min1Z=399.1万元 问题三： 根据题意建立与问题二相同的坐标系，即A点的坐标为（0,5），B点的坐标为（20,8），令C点坐标为（x,0），两区域的分界线为直线x=15，E点的坐标是（15，y）,F点坐标为（x,m）；由于炼油厂A,B所铺设管道费用不相同，所以不能用问题二的模型，而总体距离最短并不能使得总费用最少，此时要求得能使费用最少的铺设管线轨道，则有： 11

5.21*815206.5*56*1581520222222222ymxmyxyZ

通过求得2Z的最小值得出坐标点，即有C（15,0）E（15,8）F（15,5），min2Z=275.5万元 六、 模型评价 我们利用大量的图形和光的折射原理，使用线性规划模型，利用Matlab软件求解，确定了具有一定经济性的位置建立炼油厂和车站。 我们在解决问题一时，考虑了多种可能性的结果，并给出相应的最省的解决方案和相应的图形来阐述解决方案，使问题简单明了。 在问题二、三中，我们利用平面直角坐标系设定所需点的坐标，让问题简单化，求得的结果即为炼油厂和车站的相应位置，不仅节约了费用且具有一定的可行性。 在模型中我们运用大量的数学式子来解答我们的方案，让我们的模型具有一定的说服力，从而证明我们的模型具有一定的可行性。

七、 参考文献 （1）谢金星、叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003.8（2008重印）