椭圆综合专题整理(供参考)
椭
圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法:
1.设直线与方程； （提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）
2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
3.联立方程组；
4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
5.根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在）
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0；
③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”
（如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）；
⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）；
6.化简与计算；
7.细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.
二、基本解题思想：
1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，
5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；
6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，
关键是积累“转化”的经验；
椭圆中的定值、定点问题
一、常见基本题型：
在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。
（1）直线恒过定点问题
1、已知点00(,)P x y 是椭圆2
2:12
x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012
x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。
高中数学椭圆经典例题(学生+老 师)
（教师版）椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设 条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，， 有， 故其方程为． （2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方 程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或．
例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得． 故． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标
圆与椭圆综合题
1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 3 ，两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12，圆k C :021422 2 =--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A . （1）求椭圆G 的方程；（2）求21F F A k ?的面积； （3）问是否存在圆k C 包围椭圆G 请说明理由. 2.已知椭圆2 2 21(01)y x b b +=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作 P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ． (1) 若FC 是P 的直径，求椭圆的离心率； （2）若P 的圆心在直线 0x y +=上，求椭圆的方程． 3.在平面直角坐标系xOy 巾，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于 坐标原点O ．椭圆22 219 x y a + =与圆c 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． " (1)求圆C 的方程； (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 4.如图，已知圆C ：2 2 2x y +=与x 轴交于A 1、 A 2两点，椭圆E 以线段A 1A 2为长轴，离心 率2 e = ． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程； （Ⅱ）设椭圆E 的左焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2O 作直线PF 的垂线交直线2x =-于点Q ，判断直线PQ 与圆C 并给出证明．
5.已知平面直角坐标系中，A 1(—2，0)，A 2(2,0)、A 3(1,3)，△A 1A 2A 3的外接圆为C ；椭圆 C 1以线段A 1A 2为长轴，离心率.2 2= e （I ）求圆C 及椭圆C 1的方程； （II ）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF 的 垂线交直线22=x 于点Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明。 6.离心率为4 5 的椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为10. 以椭圆C 的右焦点)0,(c F 为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT （T 为切点），且点P 满足||||PB PT =（B 为椭圆C 的上顶点）。 （Ｉ）求椭圆的方程； （II ）求点P 所在的直线方程l . 。 7.已知椭圆22 2210x y C a b a b +=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离为 ． （1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标． 8.. 如图，已知椭圆2 22:1(1)+=>x C y a a 的上顶点为A :M 226270+--+=x y x y 相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0,?=AP AQ 求证：直线l 过定点，并求出该定点N : 第21题图
2018年高考全国卷1理综物理
理科综合能力测试 二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，第 14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。 14．高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动。在启动阶段，列 车的动能 A ．与它所经历的时间成正比 B ．与它的位移成正比 C ．与它的速度成正比 D ．与它的动量成正比 解析：列车做初速度为零的匀加速直线运动规律，列车动能：2 2 1mv E k = ，又因为：at v =，所以222 1t ma E k =，动能跟速度平方成正比，A 选项错误；根据动能定理 mas W E k ==合，故动能与位移成正比，B 选项正确；动能与速度平方成正比，故 C 选项错误；由m p E k 22 =，可知动能与动量的平方成正比，D 选项错误。正确答案： B 。 考点：匀变速直线运动，动能和动量数值关系，动能定理 15．如图，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P ，系统处 于静止状态。现用一竖直向上的力F 作用在P 上，使其向上做匀加速直线运动。以x 表示P 离开静止位置的位移，在弹簧恢复原长前，下列表示F 和x 之间关系的图像可能正确的是 解析：物块静止时受到向上的弹力和向下的重力，处于平衡状态有：0kx mg =，施加拉力F 后，物块向上做匀加速直线运动，有牛顿第二定律有：0()F k x x mg ma +--=， F ma kx ∴=+，A 选项正确。正确答案：A 考点：弹簧弹力，牛顿第二定律 A B C D
a b 16．如图，三个固定的带电小球a 、b 和c ，相互间的距离分别为 ab=5cm ，bc=3cm ，ca =4cm 。小球c 所受库仑力的合力 的方向平行于a 、b 的连线。设小球a 、b 所带电荷量的比值的绝对值为k ，则 A ．a 、b 的电荷同号，169k = B ．a 、b 的电荷异号，169k = C ．a 、b 的电荷同号，6427 k = D ．a 、b 的电荷异号，6427 k = 解析：对固定的小球c 受到的库仑力分析，要使c 球受到的 库仑力合力与a 、b 的连线平行，则竖直方向对小球c 受到的库仑力合力为零，则a 、b 的电荷必须异号，如下 图 所 示 ， 则 有 ： 2 2 22224 4sin 645sin sin 3sin 27 35 a c b c a ac ac bc b bc Q Q Q Q Q r k k r r Q r βαβα?=?===?，正确答案：D 考点：库仑定律处理平衡问题 17．如图，导体轨道OPQS 固定，其中PQS 是半圆弧，Q 为半圆弧的中点，O 为圆心。轨 道的电阻忽略不计。OM 是有一定电阻、可绕O 转动的金属杆，M 端位于PQS 上，OM 与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B 。现使OM 从OQ 位置以恒定的角速度逆时针转到OS 位置并固 定（过程I ）；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B 增加到B '（过程II ）。在过程I 、II 中，流过OM 的电荷量相等， 则B B ' 等于 A ． 54 B ． 32 C ． 74 D ．2 解析：通过导体横截面的带电量为： t q I t n t n R R ? ????=??=??=，过程I 流过OM 的电荷量为：2114B r q R π?=，过程II 流过OM 的电荷量：2 21()2B B r q R π'- ?= ，依P S a 2a c ac Q Q k r 2b c bc Q Q k r
椭圆的常见题型及解法(一).
椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。
∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为
椭圆典型题型归纳(供参考)
椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>
椭圆的几何性质及综合问题汇总
椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”； 2.椭圆的通经： 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式： 4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系： 6.椭圆的中点弦问题： 【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围． 题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点， 且直线AP ，AQ 的斜率之积为2 1 -，则椭圆C 的离心率为（ ） A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长 为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0) D ．(－5，0) （2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4 5 ，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D ．19 25 或21 (3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ， B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________． 【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且 215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是 练习：如图，把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++Λ=
2018年高考全国Ⅲ卷理综物理高考试题(word版含答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷3) 理科综合能力测试 物理部分 生物：1-6、29-32、37-38 化学：7-13、26-28、35-36 物理：14-21、22-25、33-34 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 S 32 Cr 52 Zn 65 I 127 二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，第 14~17题只有一项符合题目要求，第18~21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。 14．1934年，约里奥-居里夫妇用α粒子轰击铝核2713Al ，产生了第一个人工放射性核素X ： 2713α+Al n+X 。X 的原子序数和质量数分别为 A ．15和28 B ．15和30 C ．16和30 D ．17和31 15．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16 倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍。P 与Q 的周期之比约为 A ．2:1 B ．4:1 C ．8:1 D ．16:1 16．一电阻接到方波交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q 方；若该电阻接到正弦交 变电源上，在一个周期内产生的热量为Q 正。该电阻上电压的峰值为u 0，周期为T ，如图所示。则Q 方: Q 正等于
高中理科椭圆的典型例题
典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ，
由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF = -12 ，∴115 4 5x ex a AF -=-=． 同理2545x CF -=．∵BF CF AF 2=+，且5 9 =BF ， ∴51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ，即821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ??+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得() 212 2 21024x x y y x --=-
2017年全国高考理综(物理)试题及答案-全国卷2
2017年全国高考理综（物理）试题及答案-全国卷2 二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，第14~18 题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。 14.如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环，小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力 A.一直不做功 B.一直做正功 C.始终指向大圆环圆心 D.始终背离大圆环圆心 【参考答案】A 15.一静止的铀核放出一个α粒子衰变成钍核，衰变方程为2382344 92 902U Th He → +，下列说法正 确的是 A. 衰变后钍核的动能等于α粒子的动能 B. 衰变后钍核的动量大小等于α粒子的动量大小 C. 铀核的半衰期等于其放出一个α粒子所经历的时间 D. 衰变后α粒子与钍核的质量之和等于衰变前铀核的质量 【参考答案】B
16.如图，一物块在水平拉力F 的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F 的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为 A. 2 B. 6 C. 3 D. 2 【参考答案】C 【参考解析】 F 水平时：F mg μ=；当保持F 的大小不变，而方向与水平面成60°角时，则 cos 60(sin 60)F mg F μ=- ，联立解得：3 μ= ，故选C. 17.如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物快以速度从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物快落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g ） A.216v g B.28v g C.24v g D.22v g 【参考答案】B 18.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为1v ，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为2v ，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则21:v v 为 2 D. 【参考答案】C 【参考解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远，则当粒子射入的
人教A版高二数学选修21第二章第二节椭圆经典例题汇总
椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2 1= e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21= e ，得4191=-k ，即4 5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ???-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围． 解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4 3,2( ππα∈． 说明：(1)由椭圆的标准方程知 0sin 1>α，0cos 1>-α ，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α sin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0 例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式． 解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03， -A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为7342 2=-=b 的椭圆的方程：17162 2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得 2=a ，3=b ，∴1=c ，2 1= e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知： 椭 圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程； （提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。 高考理综物理大题 23．如图所示的装置中，AB部分为一顺时针匀速转动的传送带，其中E点为AB的中点，BCD部分为一竖直放置的光滑半圆形轨道，直径BD恰好竖直，并与传送带相切于B点.现将一可视为质点的小滑块无初速地放在传送带的左端A点上，经过一段时间，小滑块恰能经过半圆形轨道的最高点D，并落到BE的中点F〔F点未画出〕.若将此小滑块无初速地放在传送带的E点上，经过一段时间，小滑块经过D 点，仍然落回到F点.已知地球表面的重力加速度为g. 〔1〕试判定第一次当小滑块向右运动到E点时，是否和皮带共速？请利用相关物理量说明理由； 〔2〕若半圆形轨道BCD的轨道半径为R，求皮带AB的长度，并讨论小滑块与皮带间的动摩擦因素μ需满足的条件. （1）共速.小滑块两次滑到B点的速度相同，说明滑到B之前已经和皮带共速，所以加速位移小于等于BE. （2） gR v D = ；；； g R t 4 = R t v S D BF 2 = =R S S BF AB 8 4= = gR v B 5 = ；； R g v B4 2 2 ≤ μ8 5 ≥ μ 24.如图所示，可视为质点的三物块A 、B 、C 放在倾角为300、长L=2m 的固定光滑斜面上，A 与B 紧靠在一起放在斜面的顶端，C 紧靠挡板固定.mA ＝1.0kg ，mB ＝0.2kg ，其中A 不带电，B 、C 的带电量分别为qB ＝＋4.0×10-5C 、qC ＝＋2.0×10-5C 且保持不变，某时刻静止释放AB ，两物体沿斜面向下滑动，且最多能滑到距离C 点0.6m 的D 点〔图中未画出〕．已知静电力常量k ＝9.0×109N ·m2／C2，g ＝10m/s2. 〔1〕在AB 下滑过程中，当下滑距离为多少时，B 物体速度达到最大？ 〔2〕当AB 下滑至斜面中点时，求A 对B 的压力？ 〔3〕若将一质量为1.8kg 的不带电的小物块M 替换物块A ，仍然从斜面顶端静止释放，求它们下滑至D 点时B 物体的速度大小. 〔1〕 θsin )()(2g m m x L q q k B A B c +=- 5302-=x 〔2〕 θsin )()2 ()(2g m m L q q k a m m B A B c B A +-=+2/1s m a = 对A a m g m F A A N =-θsin N F N 6= 〔3〕电势能的变化量与第一次相同 2)(21sin )(v m M L g m M B AD A += ?-θ 3552=v 25.如图所示,在一平面直角坐标系所确定的平面内存在着两个匀强磁场区域，以一、三象限角平分线为界，分界线为MN ．MN 上方区域存在匀强磁场B1，垂直纸面向里，下方区城存在匀强磁场B2，也垂直纸面向里，且有B2 =2B1＝0.2T ，x 正半轴与ON 之间的区域没有磁场.在边界线MN 上有坐标为〔2、2〕的一粒子发射源S ，不断向Y 轴负方向发射各种速率的带电粒子．所有粒子带电量均为-q ，质量均为m 〔重力不计〕,其荷质比为c/kg.试问： 椭圆练习题1 A组基础过关 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )． A.1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 解析由题意得2a＝22b?a＝2b，又a2＝b2＋c2 ?b＝c?a＝2c?e＝ 2 2 . 答案B 2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x2 81 ＋ y2 72 ＝1 B. x2 81 ＋ y2 9 ＝1 C. x2 81 ＋ y2 45 ＝1 D.x2 81＋ y2 36 ＝1 解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1 3×2a ，∴c ＝3， ∴b 2 ＝a 2 －c 2 ＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 2 81 ＋ y 2 72 ＝1. 答案 A 3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A. 32 B.34 C.22 D.23 解析 先将 x 2＋4y 2＝1 化为标准方程x 21＋y 214 ＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝3 2 . 离心率e ＝c a ＝3 2. 答案 A 4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2 ＝1的左、右焦点，P 是第一象 限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.26 3 解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24 ＋y 2＝1在第一象限的交点， 解方程组???? ? x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2 ＝1，得点P 的横坐标为 26 3 . 答案 D 5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 3 2 ，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )． 椭圆习题课 1 已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为_____________ 2 如图直线y ＝kx ＋b 与椭圆 2 2 14 x y +=交于A 、B 两点,记△AOB 的面积为S ． (I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程． 3 设椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点， 212AF F F ⊥，原点O 到直线1A F 的距离为 113 O F ． （Ⅰ）证明a =； （Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥． 4 求F 1、F 2分别是椭圆 2 2 14 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，2 2 1254 P F P F +=- ，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 15 我们把由半椭圆 12 22 2=+ b y a x (0)x ≥与半椭圆 12 22 2=+ c x b y (0)x ≤合成 的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ． 如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ， y 轴的交点，M 是线段21A A 的中点． （1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程； （2）设P 是“果圆”的半椭圆 12 22 2=+ c x b y (0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时， P 在点12B B ，或1A 处； （3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标． 最新届全国高考理科综合物理试卷（8） 时限：150分钟满分：300分 可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Al-27 Si-28 S-32 Cl-35.5 K-39 Ca-40 Fe-56 Mn-55 Ba-137 Cu-64 Zn-65 Ag-108 Pb-207 第Ⅰ卷(选择题共126分) 二、选择题：本题共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，第14—18题只有一项符合题目要求，第19—21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对不全的得3分，有选错的得0分。 14．如图，质量m A＞m B的两物体A、B叠放在一起，靠着竖直墙面。让它们由静止释放，在沿粗糙墙面下落过程中，物体B的受力示意图是（） 15．如图，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为N．在运动过程中（） A．F增大，N减小 B．F减小，N减小 C．F增大，N增大 D．F减小，N增大 16．如图1所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以 不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动 势图象如图2中曲线a、b所示，则（） A．两次t=0时刻线圈平面与中性面垂直 B．曲线a、b对应的线圈转速之比为2∶3 C．曲线a表示的交变电动势频率为50Hz D．曲线b表示的交变电动势有效值为52V 17．静止在地面上的物体在竖直向上的恒力作用下上升，在某一高度撤去恒力。不计空气阻力，在整个上升过程中，物体机械能随时间变化关系是（） 18．2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波。证实了爱因斯坦100年前的预言，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”。双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为r ?（a 星的轨道半径大于b 星的），则（ ） A ．b 星公转的周期为 l r T l r -?+? B ．a 星公转的线速度大小为π() l r T +? C ．a 、b 两颗星的半径之比为 l l r -? D ．a 、b 两颗星的质量之比为l r l r +?-? 19．如图，匀强磁场垂直于软导线回路平面，由于磁场发生变化，回路变为圆形。则该磁场（ ） A ．逐渐增强，方向向外 B ．逐渐增强，方向向里 C ．逐渐减弱，方向向外 D ．逐渐减弱，方向向里 20．如图所示，在匀强电场中有直角三角形OBC ，电场方向与三角形所在平面平行，若三角形三点处的电势分别用φO 、φB 、φC ，已知φO ＝0 V ，φB ＝3 V ，φC ＝6 V ，且边长OB cm 3= ，OC 6cm =，则下列说法中正确的是（ ） A ．匀强电场中电场强度的大小为200 V/m B ．匀强电场中电场强度的大小为200 3 V/m C ．匀强电场中电场强度的方向斜向下与OC 夹角（锐角）为60° D ．一个电子由C 点运动到O 点再运动到B 点的过程中电势能减少了3 eV 21．如图，宽为L 的竖直障碍物上开有间距d=0.6m 的矩形孔，其下沿离地高h=1.2m ，离地高H=2m 的质点与障碍物相距x 。在障碍物以v o =4m/s 匀速向左运动的同时，质点自由 下落。为使质点能穿过该孔，则（ ）(取g=10m/s 2 ) A ．L 的最大值为0.6m ；． B ．L 的最大值为0.8m 椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率 范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点 为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=； 椭圆练习题(经典归纳)标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 初步圆锥曲线 感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点12? ?? ,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐 标为0,? ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 （1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题：教材 A 组.T3 T4 B 组 T2 练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ，则动点P 的轨迹方程是____ 练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________ 总结：求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程：若直线方程未给出，应先假设. （1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ； （2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设椭圆综合专题整理(供参考)
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