椭圆综合专题
椭圆专题总结
一、直线与椭圆问题的常规解题方法:
1.设直线与方程; (提醒:①设直线时分斜率存在与不-存在;②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别)
2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)
3.联立方程组;
4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)
5.根据条件重转化;常有以下类型:
①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K 是否存在) ②“点在圆内、圆上、圆外问题”
?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0;
③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系(120K K +=或12K K =); ④“共线问题”
(如:AQ QB λ= ?数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); (如:A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等); ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系;
⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式 的 合理选择); 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略;
①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想:
1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;
2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;
3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,
5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、 三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;
6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,
关键是积累“转化”的经验;
椭圆中的定值、定点问题
一、常见基本题型:
在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的。 (1)直线恒过定点问题
1、已知点00(,)P x y 是椭圆2
2:12
x E y +=上任意一点,直线l 的方程为
0012
x x
y y +=,直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M (-1,0)关于直线0l 的对称点为N ,直线PN 恒过一定点G ,求点G 的坐标。
2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为
2
2
,P 是椭圆在第一象限弧上一点,且121PF PF ?=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。求:(1)求P 点坐标;(2)求证直线AB 的斜率为定值;
3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:1553
x y C +=相交于A 、B 两点,已知点7
(,0)3M -, 求证:MA MB ?为定值.
4、 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2
2:13
x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E , 射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3
x =-于点(3,)D m -.(Ⅰ)求22m k +的最小值;(Ⅱ)若2
OG OD =?OE
求证:直线l 过
定点;
椭圆中的取值范围问题
一、常见基本题型:
对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解.
(1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围。
5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ,与椭圆22
:21C x y +=交于相异两点A 、B ,且
3AP PB =,求m 的取值范围.
(2)利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围. 6、已知点(4, 0)M ,(1, 0)N ,若动点P 满足6||MN MP PN ?=.
(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点,若181275
NA NB -?-≤≤,求直线l 的斜率的取值范围.
(3)利用基本不等式求参数的取值范围
7、已知点Q 为椭圆E :22
1182
x y +=上的一动点,点A 的坐标为(3,1),求AP AQ ?的取值
范围.
8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距离为 3. 求:
(1)求椭圆的方程
(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时,求m 的取值范围.
9.如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2
定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上,
点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为曲线E . (I )求曲线E 的方程;
(II )若过定点F (0,2)的直线交曲线E 于不同的两
点,G H (点G 在点,F H 之间),且满足FH FG λ=, 求λ的取值范围.
10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ,一个顶点为
)0,2(H .求:
(1)求椭圆E 的标准方程;
(2)对于x 轴上的点)0,(t P ,椭圆E 上存在点M ,使得MH MP ⊥求t 的取值范围.
11.已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的离心率为22,以原点为圆心,椭圆的短半轴
长为半径的圆与直线20x y -+=相切.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ,设P 为椭圆上一点,且满足OP t OB OA =+(O 为坐标原点),当PB PA -<253
时,求实数t 取值范围. 椭圆中的最值问题
一、常见基本题型:
(1)利用基本不等式求最值,
12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为
2
2
,P 是椭圆在第一象限弧上一点,且121PF PF ?=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点,求△PAB 面积的最大值。 (2)利用函数求最值,
13.如图,DP x ⊥轴,
点M 在DP 的延长线上,且||2||DM DP =.当点P 在圆22
1x y += 上运动时。
(I )求点M 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A ,
B 两点,求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标。
14、已知椭圆2
2:14
x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点.将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.
思维拓展训练
1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x m 上的三点,其中点A 的坐标为
)0,32(,BC 过椭圆m 的中心,且||2||,0AC BC BC AC ==?.
(1)求椭圆m 的方程;
(2)过点),0(t M 的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P ,Q ,设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点,且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围.
2.已知圆M :222
()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ,点P 是圆M 上的动点,点Q 在NP
上,点G 在MP 上,且满足NP =2NQ ,GQ ·NP =0. (1)若1,0,4m n r =-==,求点G 的轨迹C 的方程;
(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ,是否存在一组正实数,,m n r , 使得直线MN 垂直平分线段AB ,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由. 3、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点(A B ,不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.
4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M (2,1),平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),l 交椭圆于A 、B 两个不同点。 (1)求椭圆的方程; (2)求m 的取值范围;
(3)求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.
参考答案
1、解:直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n
则0000001
212022x n
m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??,解得3200020432
0000
2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-?
∴ 直线PN 的斜率为4320000032
00004288
2(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为: 43200000032
0004288
()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即32000432
00002(34)
14288
y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G
2、解:(1)设椭圆方程为22
221y x a b +=,由题意可得
2,a b c ===22
142y x +=
则12(0,F F ,设0000(,)(0,0)P x y x y >>
则100200(,2),(,),PF x y PF x y =--=-
221200(2)1PF PF x y ∴?=--=
点00(,)P x y 在曲线上,则2200 1.24x y += 2
2
0042
y x -∴=
从而2
2
004
(2)12
y y ---=,得0y =P 的坐标为。
(2)由(1)知1//PF x 轴,直线PA 、PB 斜率互为相反数,
设PB 斜率为(0)k k >,则PB
的直线方程为:(1)y k x =-
由22(1)124
y k x x y ?=-??+
=??
得222(2)2))40k x k k x k +++-=
设(,),B B B x y
则222
2(2
122B k k k x k k
---=-=++
同理可得2222A k x k +-=+
,则2
2A B x x k
-=+ 所以直线AB
的斜率A B
AB A B
y y k x x -=
=-
3、解: 将(1)y k x =+代入
22
155
3
x y +=中 得2
2
2
2
(13)6350k x k x k +++-=
4
2
2
2
364(31)(35)48200k k k k ∴?=-+-=+>,
2
122631
k x x k +=-+,21223531k x x k -=+
所以112212127777
(,)(,)()()3333
MA MB x y x y x x y y ?=+
+=+++ 422
2
316549319
k k k k ---=+++49=。 4、 解:(Ⅰ)由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,
由22
13
y kx n
x y =+???+=??消y 得:222
(13)6330k x knx n +++-=, 设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:
12x x +=
2613kn k -+,即02313kn x k -=+,00
2
313kn
y kx n k n k -=+=?+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(
,13kn k -+2
)13n
k +,
因为O 、E 、D 三点在同一直线上,
所以OE OD k K =,即133
m
k -
=-, 解得1m k =,
所以22m k +=
221
2k k
+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2. (Ⅱ)证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3
m
y x =-,
所以由223
1
3
m y x x y ?=-????+=??得交点G 的纵坐标为22
3G m y m =+, 又因为2
13E n y k =+,D
y m =,且2
OG OD =?OE ,所以222313m n m m k =?++, 又由(Ⅰ)知: 1
m k
=
,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关, 5、 解:(1)当直线斜率不存在时:1
2
m =±
(2)当直线斜率存在时:设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y
∴22
21
y kx m x y =+??+=?得 222
(2)210k x kmx m +++-= 22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴?=-+-=-+> (*) ∵3AP PB =,∴123x x -=,
∴122
2
122
23x x x x x x +=-??=-?. 消去2x ,得2
12123()40x x x x ++=, 整理得2
2
2
2
4220k m m k +--=
2
14m =时,上式不成立; 214
m ≠时,22
2
2241m k m -=-, ∴22
222041m k m -=≥-,∴211-<≤-m 或12
1
≤ 把22 22241m k m -=-代入(*)得211-<<-m 或12 1 < ∴211- <<-m 或12 1 < <≤-m 或12 1 ≤ 由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--, 化简得2 2 3412x y +=,得22 143 x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆,C 的方程为13 42 2=+y x . (Ⅱ)由题意知,直线l 的斜率必存在, 不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-, 设A ,B 两点的坐标分别为11(, )A x y ,22(, )B x y . 由22(1), 14 3y k x x y =-???+=??消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=. 因为N 在椭圆内,所以0?>. 所以2 122 2 1228,34412.34k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+? 因为2 121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ?=--+=+-- 2 22 2222 43) 1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=, 所以22 189(1)127345 k k -+--+≤≤. 解得2 13k ≤≤. 7、 解: (1,3)AP =,设Q (x ,y ),(3,1)AQ x y =--, (3)3(1)36AP AQ x y x y ?=-+-=+-. ∵221182 x y +=,即22(3)18x y +=, 而22(3)2|||3|x y x y +?≥,∴-18≤6xy ≤18. 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0,36]. 3x y +的取值范围是[-6,6]. ∴36AP AQ x y ?=+-的取值范围是[-12,0]. 8、解:(1)依题意可设椭圆方程为2 221x y a +=,则右焦点( ) 21,0F a - 由题设 2|122| 32 a -+=,解得23a =, 故所求椭圆的方程为2 2 1.3x y += (2)设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y , P 为弦MN 的中点,由2 213 y kx m x y =+?? ?+=?? 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-= 直线与椭圆相交, 22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴?=-+?->?<+ ① 2 3231 M N P x x mk x k +∴==-+,从而231P P m y kx m k =+=+, 21313P AP P y m k k x mk +++∴==-,又||||,,AM AN AP MN =∴⊥ 则:23113m k mk k ++-=-,即2231m k =+,② 把②代入①得22m m <,解02m <<, 由②得221 03 m k -= >,解得12m >. 综上求得m 的取值范围是 1 22 m <<. 9、解:(Ⅰ).0,2=?=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C (-1,0),A (1,0)为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22=== ∴b c a ∴曲线E 的方程为.12 22 =+y x (Ⅱ)当直线GH 斜率存在时, 设直线GH 方程为,12 ,222 =++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2 3 0. 034)2 1 (22 2 >>?=+++k kx x k 得由 设22122122112 13 ,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G += +-=+则 λ λλλλ212 22212 22122121)1( . ,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴, 又当直线GH 斜率不存在,方程为.3 1,31,0== =λFH FG x 10、解:(1)由题意可得,1c =,2a =,∴3b . ∴所求的椭圆的标准方程为:22 143 x y +=. (2)设) ,(00y x M )20±≠x (,则 22 00143 x y +=. ① 且),(00y x t MP --=,),2(00y x MH --=, 由MH MP ⊥可得0=?MH MP ,即 ∴0)2)((2 000=+--y x x t . ② 由①、②消去0y 整理得 3241)2(02 00-+-=-x x x t . ∵20≠x ∴2 3 411)2(4100-=---=x x t . ∵220<<-x , ∴ 12-<<-t . ∴t 的取值范围为)1,2(--. 11、 解:(Ⅰ)由题意知22c e a ==, 所以2222 22 12 c a b e a a -===. 即2 2 2a b =. 又因为2 111 b = =+,所以22a =,21b =. 故椭圆C 的方程为12 22 =+y x . (Ⅱ)由题意知直线AB 的斜率存在. 设AB :(2)y k x =-,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)P x y , 由22 (2),1.2y k x x y =-???+=??得2222 (12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ?=-+->,212 k < . 2 122 812k x x k +=+,21228212k x x k -=+. ∵OP t OB OA =+,∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=,2 1228(12) x x k x t t k +== +, 12122 14[()4](12) y y k y k x x k t t t k +-= =+-=+. ∵点P 在椭圆上,∴222 2 22222 (8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++, ∴222 16(12)k t k =+. PB PA -< 53212251k x +-<,∴22 121220(1)[()4]9k x x x x ++-< ∴422 222648220 (1)[4](12)129 k k k k k -+-<++, ∴22(41)(1413)0k k -+>,∴2 14 k > . ∴2 1142 k <<,∵22216(12)k t k =+,∴222216881212k t k k ==-++, ∴2623 t -<<- 或26 23t <<, ∴实数t 取值范围为)2,3 62()362,2( - -. 12、解、设椭圆方程为22 221y x a b +=,由题意可得 2,2,22a b c ===, 故椭圆方程为22 142 y x += 设AB 的直线方程:m x y +=2. 由?????=+ +=14 222 2y x m x y ,得042242 2=-++m mx x , 由0)4(16)22(2 2>--=?m m ,得2222<<-m P 到AB 的距离为3 | |m d =, 则3 ||3)21 4(21||212m m d AB S PAB ??-=?= ? 2)28(81)8(812222 2=+-≤+-=m m m m 。 当且仅当() 22,222-∈±=m 取等号, ∴三角形PAB 面积的最大值为2。 13、 解:设点M 的坐标为()y x ,,点P 的坐标为()00,y x , 则0x x =,02y y =,所以x x =0,2 0y y = , ① 因为()00,y x P 在圆122=+y x 上,所以12 020=+y x ② 将①代入②,得点M 的轨迹方程C 的方程为14 2 2 =+y x . (Ⅱ)由题意知,1||≥t . 当1=t 时,切线l 的方程为1=y ,点A 、B 的坐标分别为),1,2 3(),1,23(- 此时3||=AB ,当1-=t 时,同理可得3||=AB ; 当1>t 时,设切线l 的方程为,m kx y +=R k ∈ 由?? ???=++=,14,2 2 y x t kx y 得042)4(222=-+++t ktx x k ③ 设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ,则由③得: 2 22122144 ,42k t x x k kt x x +-=+-=+. 又由l 与圆12 2 =+y x 相切,得 ,11 ||2=+k t 即.122+=k t 所以2 122 12)()(||y y x x AB -+-=]4)4(4)4(4)[1(222222 k t k t k k +--++=2.3||342+=t t 因为,2| |3||3 43 | |34||2≤+ =+= t t t t AB 且当3±=t 时, |AB|=2,所以|AB|的最大值为2 依题意,圆心O 到直线AB 的距离为圆12 2=+y x 的半径, 所以AOB ?面积112 1 ≤?= AB S , 当且仅当3±=t 时,AOB ?面积S 的最大值为1, 相应的T 的坐标为()3,0-或者() 3,0. 14、 解:由题意知,||1m ≥. 当1m =时,切线l 的方程为1x =,点A,B 的坐标分别为33 , 此时||3AB = 当1m =-时,同理可得||3AB = 当1m >时,设切线l 的方程为()y k x m =-. 由22 ()14 y k x m x y =-???+=??得22222 (14)8440k x k mx k m +-+-=. 设A,B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 又由l 与圆2 2 1x y +=相切,得 211 k =+,即2221m k k =+. 所以2 2 2 2 21212112||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++- 42222 222644(44)(1)[](14)14k m k m k k k -=+-++43|| m = . 由于当1m =±时,||3AB = 243|43||23 3|||| m AB m m m = =≤++, 当且当3m =||2AB =.所以|AB|的最大值为2. 选做 1、 解(1)椭圆m :14 122 2=+y x (2)由条件D (0,-2) ∵M (0,t ) 1°当k=0时,显然-2 ?? ???+==+ t kx y y x 14 122 2 消y 得 由△>0 可得 2 2124k t +< ① 设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点 则22103132k kt x x x +=+= 20 031k t t kx y +=+= ∴)31,313(2 2k t k kt H ++- 由k k PQ OH DH 1 | |||-=⊥∴=即 ∴22 2311 0313231k t k k kt k t +=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1 ∴t 的范围是(1,4) 综上t ∈(-2,4) 2、解:(1)2,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点, 又 0GQ NP ?=,GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合.∴.||||GN PG = 又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆, 且2,1a c == ,∴b G ==∴的轨迹方程是22 1.43x y += (2)解:不存在这样一组正实数, 下面证明: 由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线MN 的斜率存在时,设之为k , 故直线MN 的方程为:(1)y k x =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 中点00(,)D x y , 则22 1122 2214314 3x y x y ?+=????+=??,两式相减得: 12121212()()()() 043 x x x x y y y y -+-++=. 注意到12121y y x x k -=--,且12012 02 2 x x x y y y +? =??? +?=?? ,则00314x y k = , ② 又点D 在直线MN 上,00(1)y k x ∴=-,代入②式得:04x =. 因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内, 故022x -<<, 这与04x =矛盾,所以所求这组正实数不存在. 当直线MN 的斜率不存在时, 直线MN 的方程为1x =, 则此时1212,2y y x x =+=,代入①式得120x x -=, 这与,A B 是不同两点矛盾.综上,所求的这组正实数不存在. 3、解:(Ⅰ)椭圆的标准方程为22 143 x y +=. (Ⅱ)设11()A x y ,,22()B x y ,, 联立22 1.4 3y kx m x y =+???+=??, , 得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=, 又2222 121212122 3(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+, 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D , , 1AD BD k k ∴=-,即12 12122 y y x x =---, 1212122()40y y x x x x ∴+-++=, 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --∴+++=+++, 2291640m mk k ∴++=. 解得: 12m k =-,227 k m =- ,且均满足22 340k m +->, 当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20),,与已知矛盾; 当227k m =-时,l 的方程为2 ()7 y k x =-,直线过定点2(0)7,. 所以,直线l 过定点,定点坐标为2 (0)7 ,. 4、解:(1)设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 则?????==?????=+=28 11 4222 2 2b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12 82 2=+y x (2)∵直线l 平行于OM ,且在y 轴上的截距m, 又K OM = 2 1 由0422128 21222 2=-++∴???????=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点, (3)设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可 设42,2),,(),,(2 21212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且 则2 1,21222111--= --=x y k x y k 由可得04222 2=-++m mx x 而) 2)(2() 2)(1()2()1(2121211221221121----+---= --+--=+x x x y x y x y x y k k 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。 椭圆基础训练题 编号: 年级:高二、高三 知识点:圆锥曲线 分知识点:椭圆 题型:选择题 难度:易 题目:1.已知椭圆长半轴与短半轴之比是5:3,焦距是8,焦点在x 轴上,则此椭圆的标准方程是( ) (A )5x 2+3y 2=1(B )25x 2+9y 2=1 (C )3x 2+5y 2=1 (D )9 x 2+25y 2 =1 答案:B 编号: 年级:高二、高三 知识点:圆锥曲线 分知识点:椭圆 题型:选择题 难度:易 题目:2.椭圆5x 2 +4 y 2=1的两条准线间的距离是( ) (A )52 (B )10 (C )15 (D )3 50 答案:B 编号: 年级:高二、高三 知识点:圆锥曲线 分知识点:椭圆 题型:选择题 难度:易 题目:3.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点,则椭圆的离心率是( ) (A )21(B )22(C )23(D )3 3 答案:B 编号: 年级:高二、高三 知识点:圆锥曲线 分知识点:椭圆 题型:选择题 难度:中等 题目:4.椭圆25x 2+9y 2=1上有一点P ,它到右准线的距离是4 9 ,那么P 点到 左准线的距离是( )。 (A )5 9 (B ) 516 (C )441 (D )5 41 答案:D 编号: 年级:高二、高三 知识点:圆锥曲线 分知识点:椭圆 题型:选择题 难度:易 题目:5.已知椭圆x 2+2y 2=m ,则下列与m 无关的是( ) (A )焦点坐标 (B )准线方程 (C )焦距 (D )离心率 答案:D 编号: 年级:高二、高三 知识点:圆锥曲线 分知识点:椭圆 题型:选择题 难度:易 题目:6.椭圆mx 2+y 2=1的离心率是 2 3 ,则它的长半轴的长是( ) (A )1 (B )1或2 (C )2 (D )2 1 或1 椭圆 专题 例1.如图:直线L :与椭圆C :交于A 、B 两点,以OA 、OB 为邻边作平行四边形 OAPB 。 求证:椭圆C :与直线L :总有 两个交点。 当时,求点P 的轨迹方程。 (3)是否存在直线L ,使OAPB 为矩形?若存在,求出此时直线L 的方程;若不存在,说明理由。 解:(1)由 得 椭圆C :与直线L :总有两个 交点。 (2)设,,,与交于点,则有 即 ,又由(1)得 , (2) 得 (3) 1y mx =+2 22(0) ax y a +=>222(0) ax y a +=>1y mx =+2a =22 1 2 y mx ax y =+??+=?22()210 a m x mx ++-=22044()0a m a m >∴=++>∴ 2 22(0) ax y a +=>1y mx =+(,)P x y 1 1 (,)A x y 2 2 (,)B x y AB OP M 1212,2222 x x y y x y ++==1212 ,x x x y y y =+=+122 22m x x m +=- +122 1x x a m ?=- +12122 22 224 (1) (1)(1)()2()2222m m x y mx mx m x x m m m m ∴=- =+++=++=- +=+++(1)(2) ÷22x m x m y y =-?=- 将(3)代入(2)得 点P 的轨迹方程为 当时,这样的直线不存在;当时,存在 这样的直线,此时直线为 例 2. 设椭圆 的两个焦点是与 ,且椭圆上存在一点,使得直线与垂直. (1)求实数的取值范围; (2)设是相应于焦点的准线,直线与相 交于点 ,若 ,求直线的方程. 解:(Ⅰ)由题设有 设点P 的坐标为 由PF1⊥PF2,得 化简得 ① 将①与联立,解得 222 2 4 22042y x y y x y = ?+-=+(0,0)x y ≠≠∴ 2 2220x y y +-=(0,0) x y ≠≠121212122121200(1)(1)0(1)()10 OA OB x x y y x x mx mx m x x m x x ?=?+=?+++=?++++=222 222212(1)()()1012021 m m m a m a m m m a m m a -∴+- ++=++?---++=?=-∴ 01a <<1a >l 1y =+11 22 =++y m x )0,(1 c F -) 0(),0,(2>c c F P 1 PF 2 PF m L 2 F 2 PF L Q 322 2 -=PF QF 2 PF . ,0m c m = >), ,(00y x ,10000-=+?-c x y c x y . 2020m y x =+11 2 02 0=++y m x . 1 ,12022 m y m m x =-= 椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一,也是高考的热点和重点,椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习,笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨,希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径,根据椭圆的定义,很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时,用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P (,)是椭圆上的任意一点, 分别是椭圆的左、右焦点,椭圆 ,求证,。证法1: 。 因为,所以 ∴ 又因为,所以 ∴, 证法2:设P 到左、右准线的距离分别为,由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ,又,所 以, 而 。 ∴,。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A ()、B ()、C ()到焦点F (4, 0)的距离成等差数列,则 12 x x + . 解:在已知椭圆中,右准线方程为 25 4x = ,设A 、B 、C 到右准线的距离为 , 则、、。 ∵ , , ,而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴,即,。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点,P 是椭圆上的动点,求 的最大值和最 小值。 解:设 ,则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上,022x ∴-≤≤,12PF PF ?的最大值为4,最小值为1. 变式练习1:. 求过椭圆的左焦点,倾斜角为的弦AB 的长度。 解:由已知 可得 ,所以直线AB 的方程 为 ,代入椭圆方程 得 设 ,则 ,从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点,求证:以2QF (或1QF )为 圆锥曲线 椭圆 专项训练 【例题精选】: 例1 求下列椭圆的标准方程: (1)与椭圆x y 22416+=有相同焦点,过点P (,)56; (3)两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点,焦点到椭圆的最短距离为3。 例5 过椭圆14 16 2 2 =+ y x 内一点M (2,1)引一条弦,使弦被M 平分,求此弦所在直线 方程。 小结:有关中点弦问题多采用“点差法”即设点做差的方法,也叫“设而不求”。 例6 C y x B A 的两个顶点,是椭圆 、125 16 )5,0()0,4(2 2 =+ 是 椭圆在第一象限内部分上的一点,求?ABC 面积的最大值。 小结:已知椭圆的方程求最值或求范围,要用不等式的均值 定理,或判别式来求解。(圆中用直径性质或弦心距)。要有耐心,处理好复杂运算。 【专项训练】: 一、 选择题: 1.椭圆6322 2 =+y x 的焦距是 ( ) A .2 B .)23(2- C .52 D .)23(2+ 2.F 1、F 2是定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则点M 的轨迹是 ( ) A .椭圆 B .直线 C .线段 D .圆 3.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点) 23,25( -,则椭圆方程是( ) A . 14 8 2 2 =+ x y B . 16 10 2 2 =+ x y C . 18 4 2 2 =+ x y D .16 10 2 2 =+ y x 4.方程22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是 ( ) A .),0(+∞ B .(0,2) C .(1,+∞) D .(0,1) 5. 过椭圆1242 2 =+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点,则A 、B 与椭圆的 椭圆练习题1 A组基础过关 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于 ( ). A.1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 解析由题意得2a=22b?a=2b,又a2=b2+c2 ?b=c?a=2c?e= 2 2 . 答案B 2.(2012·长沙调研)中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( ). A.x2 81 + y2 72 =1 B. x2 81 + y2 9 =1 C. x2 81 + y2 45 =1 D.x2 81+ y2 36 =1 解析 依题意知:2a =18,∴a =9,2c =1 3×2a ,∴c =3, ∴b 2 =a 2 -c 2 =81-9=72,∴椭圆方程为x 2 81 + y 2 72 =1. 答案 A 3.(2012·长春模拟)椭圆x 2+4y 2=1的离心率为( ). A. 32 B.34 C.22 D.23 解析 先将 x 2+4y 2=1 化为标准方程x 21+y 214 =1,则a =1,b =12,c =a 2-b 2=3 2 . 离心率e =c a =3 2. 答案 A 4.(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24+y 2 =1的左、右焦点,P 是第一象 限内该椭圆上的一点,且PF 1⊥PF 2,则点P 的横坐标为( ). A .1 B.83 C .2 2 D.26 3 解析 由题意知,点P 即为圆x 2+y 2=3与椭圆x 24 +y 2=1在第一象限的交点, 解方程组???? ? x 2+y 2=3,x 24+y 2 =1,得点P 的横坐标为 26 3 . 答案 D 5.(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为 3 2 ,且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为( ). 圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义: 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2( 2 12F F a >)的点的轨迹叫椭圆,这两 个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作a 2)大于这两个定点之间的距离 2 1F F (记作c 2),否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下: (ⅰ)当c a 22>时,点的轨迹是椭圆; (ⅱ)当c a 22=时,点的轨迹是线段21F F ; (ⅲ)当c a 22<时,点的轨迹不存在。 注2:若用M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+(c a 22>, c F F 221=),即 2 121F F MF MF >+. 注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条件: a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义: 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e (10< 注1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴,主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴;长半轴跟y 走,椭圆的焦点在y 轴。 (1)注2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设 其方程为12222=+b y a x (0>>b a )或122 22=+b x a y (0>>b a );若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠). 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x (0>>b a )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-; (2)对称性:关于x 轴、y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; (3)顶点:左右顶点分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ;上下顶点分别为),0(1b B ,),0(2b B -; (4)长轴长为a 2,短轴长为b 2,焦距为c 2; (5)长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=; (6)准线方程:c a x 2 ± =; (7)焦准距:c b 2 ; (8)离心率: a c e = 且10< 高中数学-选修2-1-椭圆题型大全-(1) 椭圆题 1、命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 2、已知1 F 、2 F 是两个定点,且4 2 1=F F ,若动点P 满足4 2 1 =+PF PF 则动点P 的轨迹是( ) A 、椭圆 B 、圆 C 、直线 D 、线段 3、已知1 F 、 2 F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长1 F P 到Q ,使得2 PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是 ( ) A 、椭圆 B 、圆 C 、直线 D 、点 4、已知1 F 、2 F 是平面α内的定点,并且) 0(22 1>=c c F F ,M 是α 内的动点,且a MF MF 221 =+,判断动点M 的轨迹. 5、椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1 F 的距离为2,N 为1 MF 的中 点,O 是椭圆的中心,则ON 的值是 。 6、若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的范围. 7、 轴上的椭圆”的 表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ) A 、充分而不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 8、已知方程 11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数 m 的范围是 . 9、已知方程2 22 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 10、方程2 31y x -= 所表示的曲线是 . 11、如果方程2 22 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,求实数k 的取值范围。 12、已知椭圆0 6322 =-+m y mx 的一个焦点为)2,0(,求m 的值。 13、已知方程2 22 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 14、根据下列条件求椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26; (2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,-6); (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点) 2,3(),1,6( 21 --P P ,求椭圆方程. 15、以)0,2(1 -F 和)0,2(2 F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点,则该椭 圆的方程为 。 16、如果椭圆:k y x =+22 4上两点间的最大距离为8,则k 的 值为 。 17、已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆 36 94:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点,且椭圆C 初步圆锥曲线 感受:已知圆O 以坐标原点为圆心且过点1,22?? ? ??? ,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的 坐标为0,3? - ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 (1)求圆O 的方程; (2)求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 (1)曲线上点的坐标都是方程的解; (2)方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题:教材P .37 A 组.T3 T4 B组 T2 练习 1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ,则动点P 的轨迹方程是____ 练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -,动点满足条件2MBA MAB ∠=∠,则动点M 的轨迹方程为___________ 总结:求点轨迹方程的步骤: (1)建立直角坐标系 (2)设点:将所求点坐标设为(),x y ,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示) (3)列式:从已知条件中发掘,x y 的关系,列出方程 (4)化简:将方程进行变形化简,并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程:若直线方程未给出,应先假设. (1)若已知直线过点00(,)x y ,则假设方程为00()y y k x x ; (2)若已知直线恒过y 轴上一点()t ,0,则假设方程为t kx y +=; (3)若仅仅知道是直线,则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论; (4)若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ,且水平线不满足条件(斜率为0),可以假设 直线为x my t 。 【反斜截式,1 m k 】不含垂直于y 轴的情况(水平线) 例题:圆C 的方程为:.0222=-+y x (1)若直线过点)(4,0且与圆C 相交于A,B 两点,且2=AB ,求直线方程. (2)若直线过点) (3,1且与圆C 相切,求直线方程. (3)若直线过点) (0,4且与圆C 相切,求直线方程. 附加:4)4(3:22 =-+-y x C )( . 若直线过点)(0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点,求CPQ S ?最大时的直线方程. 椭 圆 高中椭圆练习题 一、选择题: 1.下列方程表示椭圆的是() A.22 199x y += B.2228x y --=- C. 22 1259 x y -= D.22(2)1x y -+= 2.动点P 到两个定点1F (- 4,0).2F (4,0)的距离之和为8,则P 点的轨迹为() A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D.不能确定 3.已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=,则椭圆的焦点坐标为() A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4.椭圆2222 222222 222 11()x y x y a b k a b a k b k +=+=>>--和的关系是 A .有相同的长.短轴B .有相同的离心率 C .有相同的准线 D .有相同的焦点 5.已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3,则P 到另一焦点的距离是() A.3 B.2 C.3 D.6 6.如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围为() A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 7.“m>n>0”是“方程2 2 1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.椭圆的短轴长是4,长轴长是短轴长的 3 2 倍,则椭圆的焦距是() B.4 C.6 D. 2 F C c D 1 F 9.关于曲线的对称性的论述正确的是() A.方程2 2 0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3 3 0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2 2 10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程3 38x y -=的曲线关于原点对称 10.方程 22 22 1x y ka kb +=(a >b >0,k >0且k ≠1)与方程22 221x y a b +=(a >b >0)表示的椭圆( ). A.有相同的离心率;B.有共同的焦点; C.有等长的短轴.长轴; D.有相同的顶点. 第11题 二、填空题:(本大题共4小题,共20分.) 11.(6分)已知椭圆的方程为: 22 164100 x y +=,则a=___,b=____,c=____, 焦点坐标为:___ __,焦距等于______;若CD 为过左焦点F1的弦, (如图)则?2F CD 的周长为________. 12.(6分)椭圆2 2 1625400x y +=的长轴长为____,短轴长为____, 焦点坐标为 四个顶点坐标分别为___ , 离心率为 ;椭圆的左准线方程为 13.(4分)比较下列每组中的椭圆: (1)①2 2 9436x y += 与 ② 22 11216 x y += ,哪一个更圆 (2)① 22 1610 x y +=与②22936x y +=,哪一个更扁 14.(4分)若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是 椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形:通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决; 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -,2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中,12F PF α=∠,则当P 为短轴端点时α最大,且 ① 122PF PF a +=; ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-; ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?(b 短轴长) 2、直线与椭圆的位置关系:直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点,则12AB x =-=3、椭圆的中点弦:设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点, 00(,)M x y 是线段AB 的中点,可运用点差法可得直线AB 斜率,且20 20 AB b x k a y =-; 4、椭圆的离心率 范围:01e <<,e 越大,椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用:c a e = ,222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点,焦点 为1(,0)c F -,2(,0)c F ,则焦半径10PF a ex =+,10PF a ex =-; 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法:根据椭圆定义,确定2 a ,2 b 值,结合焦点位置直接写出椭圆方程; ⑵待定系数法:根据焦点位置设出相应标准方程,根据题中条件解出2 a ,2 b ,从而求出标准方程; ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=; 一、选择题: 1.下列方程表示椭圆的是() A. 22199 x y += B.22 28x y --=- C.221259x y -= D.22(2)1x y -+= 2.动点P 到两个定点1F (- 4,0).2F (4,0)的距离之和为8,则P 点的轨迹为() A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D .不能确定 3.已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=,则椭圆的焦点坐标为() A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4.椭圆2222 222222 222 11()x y x y a b k a b a k b k +=+=>>--和的关系是 A .有相同的长.短轴B .有相同的离心率 C .有相同的准线 D .有相同的焦点 5.已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3,则P 到另一焦点的距离是() A.3 B.2 C.3 D.6 6.如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围为() A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 7.“m>n>0”是“方程2 2 1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.椭圆的短轴长是4,长轴长是短轴长的 3 2 倍,则椭圆的焦距是() B.4 C.6 D.9.关于曲线的对称性的论述正确的是() A.方程2 2 0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3 3 0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2 2 10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程33 8x y -=的曲线关于原点对称 椭圆练习题(经典归纳)标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 初步圆锥曲线 感受:已知圆O 以坐标原点为圆心且过点12? ?? ,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐 标为0,? ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 (1)求圆O 的方程; (2)求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 (1)曲线上点的坐标都是方程的解; (2)方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题:教材 A 组.T3 T4 B 组 T2 练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ,则动点P 的轨迹方程是____ 练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -,动点满足条件2MBA MAB ∠=∠,则动点M 的轨迹方程为___________ 总结:求点轨迹方程的步骤: (1)建立直角坐标系 (2)设点:将所求点坐标设为(),x y ,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示) (3)列式:从已知条件中发掘,x y 的关系,列出方程 (4)化简:将方程进行变形化简,并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程:若直线方程未给出,应先假设. (1)若已知直线过点00(,)x y ,则假设方程为00()y y k x x ; (2)若已知直线恒过y 轴上一点()t ,0,则假设方程为t kx y +=; (3)若仅仅知道是直线,则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论; (4)若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ,且水平线不满足条件(斜率为0),可以假设 高考数学 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识: 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直:则121k k =-;两条直线垂直,则直线所在的向量120v v =r r g 2、韦达定理:若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ,则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式:1212,y 22 x x y y x ++= =,其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ,的中点坐标。 4、弦长公式:若点1122(,)(,)A x y B x y ,在直线(0)y kx b k =+≠上, 则1122y kx b y kx b =+=+,,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一, AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点,求m 的取值范围 解: 14m m ≤≠且。 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2 y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0),使得ABE ?是等边三角形,若存在,求出0x ;若不存在,请说明理由。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+,0k ≠,11(,)A x y ,22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+?? =?消y 整理,得2222 (21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点,得 2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理,得:212221 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22211 (,)22k k k -- 。 线段的垂直平分线方程为:2 21112()22k y x k k k --=-- 椭圆练习题 一.选择题: 1.已知椭圆 上的一点P ,到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为( D ) A .2 B .3 C .5 D .7 2.中心在原点,焦点在横轴上,长轴长为4,短轴长为2,则椭圆方程是( C ) A. B. C. D. 3.与椭圆9x 2 +4y 2 =36有相同焦点,且短轴长为4的椭圆方程是( B ) A 4.椭圆的一个焦点是,那么等于( A ) A. B. C. D. 5.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直,则离心率等于( B ) A. B. C. D. 6.椭圆两焦点为 , ,P 在椭圆上,若 △的面积的最大值为12,则椭圆方程为( B ) A. B . C . D . 7.椭圆的两个焦点是F 1(-1, 0), F 2(1, 0),P 为椭圆上一点,且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2| 的等差中项,则该椭圆方程是( C )。 A +=1 B +=1 C +=1 D +=1 8.椭圆的两个焦点和中心,将两准线间的距离四等分,则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 9.椭圆 上的点M 到焦点F 1的距离是2,N 是MF 1的中点,则|ON |为( A ) A. 4 B . 2 C. 8 D . 116 252 2=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=22 14 y x +=5185 8014520125201 20 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2 2 55x ky -=(0,2)k 1-1512 21(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=22 1254 x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24 y 222 1259 x y +=2 3 椭圆常考题型汇总及练习 第一部分:复习运用的知识 (一)椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点;两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ,即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个:()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴: 21A A 叫椭圆的长轴,a a A A ,221=是长半轴长; 21B B 叫椭圆的短轴,b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 (1)椭圆焦距与长轴的比a c e =,()10,0<<∴>>e c a Θ (2)22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=,即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形,并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. (3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时,c 越接近于a ,从而22c a b -= 越小, 椭圆越扁;当e 接近于0时,c 越接近于0,从而2 2c a b -=越大,椭圆越接近圆。 解析几何——椭圆精炼专题 一、 选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的.) 1.椭圆6322 2 =+y x 的焦距是( ) A .2 B .)23(2- C .52 D .)23(2+ 2.F 1、F 2是定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则点M 的轨迹是( ) A .椭圆 B .直线 C .线段 D .圆 3.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点)2 3,25(-,则椭圆方程是 ( ) A .14 8 2 2=+x y B .16102 2=+x y C .18 42 2=+x y D .16 102 2=+y x 4.方程22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是( ) A .),0(+∞ B .(0,2) C .(1,+∞) D .(0,1) 5. 过椭圆1242 2 =+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点,则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ?,那么2 ABF ?的周长是( ) A . 22 B . 2 C . 2 D . 1 6.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为 3 1 ,长轴长为12,则椭圆方程为( ) A . 112814422=+y x 或114412822=+y x B . 14 62 2=+y x C . 1323622=+y x 或1363222=+y x D . 16422=+y x 或1462 2=+y x 7. 已知k <4,则曲线 14 92 2=+y x 和14922=-+-k y k x 有( ) A . 相同的短轴 B . 相同的焦点 C . 相同的离心率 D . 相同的长轴 8.椭圆 19 252 2=+y x 的焦点1F 、2F ,P 为椭圆上的一点,已知21PF PF ⊥,则△21PF F 的面积为( ) A .9 B .12 C .10 D .8 9.椭圆13 122 2=+y x 的焦点为1F 和2F ,点P 在椭圆上,若线段1PF 的中点在y 轴上,那么1PF 是2PF 的( ) A .4倍 B .5倍 C .7倍 D .3倍 10.椭圆144942 2 =+y x 内有一点P (3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点,那么这弦所在直线的方程为( ) A .01223=-+y x B .01232=-+y x C .014494=-+y x D . 014449=-+y x 11.椭圆14 162 2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 ( ) A .3 B .11 C .22 D .10 12.过点M (-2,0)的直线M 与椭圆12 22 =+y x 交于P 1,P 2,线段P 1P 2的中点为P ,设直线M 的斜率为k 1(01≠k ) ,直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( ) A .2 B .-2 C . 21 D .-2 1 二、 填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.) 13.椭圆 2214x y m +=的离心率为1 2 ,则m = . 14.设P 是椭圆2 214 x y +=上的一点,12,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF 的最大值为 ;最小值为 . 15.直线y =x -2 1被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 . 16.已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:2 2及点=++为圆上一点,AQ 的垂直平分线交CQ 于M ,则点M 的轨迹方程 为 . 椭圆基础训练题 一、选择题 1.F 1、F 2是定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则点M 的轨迹是 ( ) A .椭圆 B .直线 C .线段 D .圆 2.设定点F 1(0,-3)、F 2(0,3),动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ,则点P 的轨迹 是 ( ) A .椭圆 B .线段 C .不存在 D .椭圆或线段 3.椭圆116 252 2=+y x 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 ( ) A .2 B .3 C .5 D .7 4.方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是 ( ) A .),0(+∞ B .(0,2) C .(1,+∞) D .(0,1) 5.若方程x 2a 2 —y 2a =1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是( ) A 、a<0 B 、-1k 具有( ) A .相同的离心率 B .相同的焦点 C .相同的顶点 D .相同的长、短轴 11.椭圆22 1259 x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2,N 是MF 1的中点,则|ON |为 ( ) A. 4 B . 2 C. 8 D . 2 3 椭 圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程; (提醒:①设直线时分斜率存在与不-存在;②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别) 2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 3.联立方程组; 4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5.根据条件重转化;常有以下类型: ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K 是否存在) ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0; ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系(120K K +=或12K K =); ④“共线问题” (如:AQ QB λ= ?数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); (如:A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等); ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系; ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式 的 合理选择); 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略; ①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想: 1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明, 5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、 三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决; 6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性, 关键是积累“转化”的经验; 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型: 在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的。 (1)直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012 x x y y +=,直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M (-1,0)关于直线0l 的对称点为N ,直线PN 恒过一定点G ,求点G 的坐标。 椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义: 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之 2. 和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 已知1F 、2F 是两个定点,且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( D ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 4. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹 是( B ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 5. 椭圆19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,O 是椭圆的中心,则ON 的值是 4 。 6. 选做:F 1是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点,P 在椭圆上运动,定点A (1,1),求||||1PF PA +的最小值。 解:26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA (二) 标准方程求参数范围 1. 试讨论k 的取值范围,使方程13 52 2=-+-k y k x 表示圆,椭圆,双曲线。 (略) 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>( C ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程1cos sin 2 2=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆,α所在的象限是( A ) A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 . 5. 已知方程222 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26; 1144 1692 2=+x y (2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,-6); 137 148,113522 222=+=+y x x y 或 (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点) 2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 1 3 9 2 2=+ y x椭圆基础训练题
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