椭圆综合专题

椭圆专题总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程； （提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”（如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。

这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。

（1）直线恒过定点问题1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。

2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。

求：（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:1553x y C +=相交于A 、B 两点,已知点7(,0)3M -， 求证：MA MB ⋅为定值.4、 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ， 射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -.（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2OG OD =?OE求证：直线l 过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.(1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。

5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B ，且3AP PB =，求m 的取值范围．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围. 6、已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275NA NB -⋅-≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.(3)利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点，点A 的坐标为(3,1)，求AP AQ ⋅的取值范围．8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距离为 3. 求：（1）求椭圆的方程（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的取值范围.9.如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E . （I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点,G H （点G 在点,F H 之间），且满足FH FG λ=， 求λ的取值范围.10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为)0,2(H .求：（1）求椭圆E 的标准方程；（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥求t 的取值范围.11.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OP t OB OA =+（O 为坐标原点），当PB PA -＜253时，求实数t 取值范围． 椭圆中的最值问题一、常见基本题型：（1）利用基本不等式求最值，12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点，求△PAB 面积的最大值。

（2）利用函数求最值，13.如图，DP x ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y += 上运动时。

（I ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标。

14、已知椭圆22:14x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点.将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值.思维拓展训练1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC 过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==•．（1）求椭圆m 的方程；（2）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP上，点G 在MP 上，且满足NP ＝2NQ ，GQ ·NP ＝0． （1）若1,0,4m n r =-==，求点G 的轨迹C 的方程；（2）若动圆M 和（1）中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ，是否存在一组正实数,,m n r ， 使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由． 3、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

（1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G2、解：（1）设椭圆方程为22221y x a b +=，由题意可得2,a b c ===22142y x +=则12(0,F F ，设0000(,)(0,0)P x y x y >>则100200(,2),(,),PF x y PF x y =--=-221200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=点00(,)P x y 在曲线上，则2200 1.24x y += 220042y x -∴=从而22004(2)12y y ---=，得0y =P 的坐标为。

（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，设PB 斜率为(0)k k >，则PB的直线方程为：(1)y k x =-由22(1)124y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得222(2)2))40k x k k x k +++-=设(,),B B B x y则2222(2122B k k k x k k---=-=++同理可得2222A k x k +-=+，则22A B x x k-=+ 所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-3、解: 将(1)y k x =+代入221553x y +=中 得2222(13)6350k x k x k +++-=4222364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>，2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ 4222316549319k k k k ---=+++49=。