椭圆专题复习讲义

椭圆专题复习

★知识梳理★

1. 椭圆定义：

（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.

当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;

当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段

（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<

（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.

2.椭圆的方程与几何性质:

考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用

[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径

不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c)

C ．2(a+c)

D

[解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】

1.短轴长为5，离心率3

2

=

e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ）

A.3

B.6

C.12

D.24

[解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12

2.已知P 为椭圆22

12516

x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆

22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）

A ． 5

B ． 7

C ．13

D ． 15

[解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7

题型2 求椭圆的标准方程

[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来

[解析]设椭圆的方程为122

22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a

y b x ，

则??

?

??+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为

116322

2=+y x 或132

1622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系．

［警示］易漏焦点在y 轴上的情况． 【新题导练】

3. 如果方程x 2+ky 2

=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.

[解析](0,1). 椭圆方程化为22x +k

y 22=1. 焦点在y 轴上，则k 2

>2，即k <1.

又k >0，∴0

4.已知方程),0(,1sin cos 2

2

πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状 [解析]当)4

,0(π

θ∈时，θθcos sin <，方程表示焦点在y 轴上的椭圆，

当4

πθ=

时，θθcos sin =，方程表示圆心在原点的圆，

当)2

,4(

π

πθ∈时，θθcos sin >，方程表示焦点在x 轴上的椭圆 5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上

的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.

[解析] ????==-c a c a 23?????==3

32c a ，3=∴b ，所求方程为122x +92y =1或92x +122

y =1.

考点2 椭圆的几何性质

题型1:求椭圆的离心率（或范围）

[例3 ] 在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点

C ，则该椭圆的离心率e = ．

【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||2

1

=?=

?A AC AB S ABC ， 32||=∴AC ，2cos ||||2||||||22=?-+=A AC AB AC AB BC

2

1

32322||||||-=

+=+=

BC AC AB e 【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定

（2）只要列出c b a 、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注

【新题导练】

6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A .45 B .23 C .22 D .2

1

[解析]选B

7.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12

2=+n

y m x 的离心率为 [解析]由???

???≠=+=0

222

2mn n m n n

m n ??

?==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

[例4 ] 已知实数y x ,满足12

42

2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 【解题思路】 把x y x -+2

2

看作x 的函数

[解析] 由12422=+y x 得222

1

2x y -=, 2202

122

≤≤-∴≥-

∴x x ]2,2[,2

3

)1(212212222-∈+-=+-=-+∴x x x x x y x

当1=x 时,x y x -+22取得最小值2

3,当2-=x 时,x y x -+2

2取得最大值6

【新题导练】

9.已知点B A ,是椭圆22

221x y m n

+=（0m >，0n >）上两点,且λ=,则λ=

[解析] 由BO AO λ=知点B O A ,,共线,因椭圆关于原点对称,1-=∴λ

10.如图，把椭圆22

12516

x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上

半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点

则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________

［解析］由椭圆的对称性知：352536271==+=+=+a F P F P F P F P F P F P ． 考点3 椭圆的最值问题

[例5 ]椭圆

19

162

2=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________． 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数

[解析]在椭圆上任取一点P,设P(θθsin 3,cos 4). 那么点P 到直线l 的距离为：

|9)sin(5|2

2

11|

12sin 3cos 4|2

2-+=

+-+?θθθ.22≥ 【名师指引】也可以直接设点),(y x P ，用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为x 的函数，关键是要具有“函数思想” 【新题导练】

11.椭圆

19

162

2=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 [解析]设内接矩形的一个顶点为)sin 3,cos 4(θθ， 矩形的面积242sin 24cos sin 48≤==θθθS

12. P 是椭圆122

22=+b

y a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ?的最大值

与最小值

[解析] ],[||,)|(||)|2(||||||12

2

11121c a c a PF a a PF PF a PF PF PF +-∈+--=-=? 当a PF =||1时，||||21PF PF ?取得最大值2

a ， 当c a PF ±=||1时，||||21PF PF ?取得最小值2b

13.已知点P 是椭圆14

22

=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ， O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________．

[解析] 设)2

,0(),sin ,cos 2(π

θθθ∈P ，则

θθcos 22

1

sin 21?+?=+=??OB OA S S S OPB OPA OAPB 2cos sin ≤+=θθ

考点4 椭圆的综合应用

题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题

[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且

PB AP 3=．

（1）求椭圆方程； （2）求m 的取值范围．

【解题思路】通过PB AP 3=，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关

系得到一个关于m 的不等式

[解析]（1）由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆，可设22

22:1(0)y x C a b a b

+=>>

由条件知1a =且b c =，又有222

a b c =+，解得 1,2

a b c ===

故椭圆C 的离心率为2

c e a ==，其标准方程为：12

122

=+x y （2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）

?

????

y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2

∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴?????

x 1＋x 2＝－2x 2

x 1x 2＝－3x 22

消去x 2，得

3（x 1＋x 2）2

＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2

＝0

整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0 m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2

＝2－2m 24m 2－1

， 因

λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝

2－2m 24m 2－1

>0，∴－1

2

容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（1

2，1）

【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 【新题导练】

14.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点

P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=?，则P 点的轨迹方程

是 （ ）

A.

()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132

3

22>>=-y x y x C. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,012

3322

>>=+y x y x

[解析]

),(),3,23(y x OQ y x AB -=-=132

3

22=+∴y x ，选A. 15. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2

2

。一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|PA |+|PB |的值不变，直线l 经过A 与曲线E 交于M 、N 两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；

（2）设直线l 的斜率为k ，若∠MBN 为钝角，求k 的取值范围。

解：（1）以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A （－1，0），

B （1，0） 由题设可得

222

2322)22(222||||||||22=+=++=

+=+CB CA PB PA ∴动点P 的轨迹方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，

则1.1,222=-===

c a b c a

∴曲线E 方程为12

22

=+y x （2）直线MN 的方程为),(),,,(),,(),1(221111y x N y x M y x M x k y 设设+=

由0)1(24)21(0

22)1(22222

2=-+++???=-++=k x k x k y x x k y 得 0882>+=?k Θ

∴方程有两个不等的实数根

2

221222121)

1(2,224x k k x x k k x +-=?+-=+∴

),1(),,1(2211y x BN y x BM -=-=∴

)1)(1()1)(1()1)(1(112212121+++--=+--=?x x k x x y y x x BN BM

22122121))(1()1(k x x k x x k +++-++=

2

22

222222

21171)214)(1(21)1(2)1(k

k k k k k k k k +-=+++--++-+= ∵∠MBN 是钝角

0

即

0211

72

2<+-k k 解得：7

777<<-

k 又M 、B 、N 三点不共线

0≠∴k

综上所述，k 的取值范围是)7

7,0()0,77(?- 基础巩固训练

1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且

ο901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( )

A

213- B 21

5- C 2

1

5- D 23

[解析] B .

=?=-?-=-?e ac c a c

b

a b 221)(2

1

5- 2. 设F 1、F 2为椭圆4

2x +y 2

=1的两焦点，P 在椭圆上，当△F 1PF 2面积为1时，21PF PF ?的

值为

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

[解析] A . 1||321==?P PF F y S Θ， ∴P 的纵坐标为3

3

±

，从而P 的坐标为)3

3

,362(±±

，=?21PF PF 0， 3.椭圆22

1369

x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是

A ．20x y -=

B ．2100x y +-=

C ．220x y --=

D ．280x y +-=

[解析] D. 1936212

1=+y x ,19362

22

2=+y x ,两式相减得：0)(42

12

12121=--+++x x y y y y x x ，4,82121=+=+y y x x Θ，2

1

2121

-=--∴x x y y 4.在ABC △中，90A ∠=o

，3tan 4

B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点

C ，则该椭圆的

离心率e = ．

[解析]=+====BC AC AB

e k BC k AC k AB ,5,3,412

5. 已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF ,

则此椭圆的离心率为 _________.

[解析] 13- [三角形三边的比是2:3:1]

6.在平面直角坐标系中，椭圆22

22x y a b

+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径

的圆，过点2,0a c ??

???作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．

[解析]=?=e a c

a 2

2

2

综合提高训练

7、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 与过点A (2，0)，B (0，1)的直线l 有且只有一个公共点

T ，且椭圆的离心率2

3

=e ．求椭圆方程 [

解

析

]

直线l 的方程为：

12

1

+-

=x y 由已知

222242

3

b a a b a =?=- ① 由???

????+-==+1

21122

22x y b y a x 得：0)41(2222222=-+-+b a a x a x a b

∴0))(4(222224=-+-=?b a a a b a ，即2244b a -= ②

由

①

②

得

：

2

1

222=

=b a ， 故椭圆E 方程为12

12

22

=+y x

8.

已知A 、B 分别是椭圆122

22=+b

y a x 的左右两个焦点，O 为坐标原点，点P 22,1(-）在椭

圆上，线段PB 与y 轴的交点M 为线段PB 的中点。 （1）求椭圆的标准方程；

（2）点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC ，求sin sin sin A B

C

+的值。

[解析]（1）∵点M 是线段PB 的中点

∴OM 是△PAB 的中位线

又AB OM ⊥∴AB PA ⊥

∴222222221111

2,1,12c a b c a b a b c

=???

+====???=+?解得

∴椭圆的标准方程为22

2

y x +=1 （2）∵点C 在椭圆上，A 、B 是椭圆的两个焦点 ∴AC ＋BC ＝2a

＝AB ＝2c ＝2

在△ABC 中，由正弦定理，

sin sin sin BC AC AB

A B C

==

∴

sin sin sin A B C

+

＝

2BC AC AB +== 9. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐

标系xoy . (Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,

[解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()(

)(

)

1,2,

0,

2,

0,2-.

设椭圆的标准方程是()0122

22>>=+b a b

y a x .

()(

)()

(

)

()2240122012

222

2

2

2

>=-+-+

-+--=

+=BC

AC a 则

2=∴a

224222=-=-=∴c a b .

∴椭圆的标准方程是.12

42

2=+y x

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x

图8