人教版文科数学椭圆讲义
2.1椭圆
第1课时椭圆及其标准方程
1．归纳总结，核心必记
(1)椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)椭圆的标准方程
标准方程
焦点坐标(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)
例题1（椭圆定义理解）
已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，
求△ABF2的周长．
解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
∴△ABF2的周长为4a.
由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a 案例1 1．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数； 命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)． 所以甲是乙的必要条件． 反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件． 2．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段 解析：选D 因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 例题2（求椭圆的标准方程） (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点????52，－3 2，求它的标准方程； (2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程． 解：(1) ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的定义知 2a ＝ ????52＋22＋??? ?－322 ＋ ????52－22＋??? ?－322 ＝210， ∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 2 6 ＝1. (2) 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点， ∴? ????4m ＝1，n ＝1， ∴?????m ＝14，n ＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2 ＝1. 案例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)； (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26. 解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)． 因为2a ＝ （5＋3）2＋02＋ （5－3）2＋02＝10，2c ＝6， 所以a ＝5，c ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16. 所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2 16＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)． 因为2a ＝26，2c ＝10， 所以a ＝13，c ＝5. 所以b 2＝a 2－c 2＝144. 所以所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2 144 ＝1. 例题3（与椭圆有关的轨迹问题） 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程． [尝试解答] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4. 由椭圆定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 2 3 ＝1(x ≠－2)． 解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法 (1)定义法： 用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． (2)相关点法： 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法． 案例3 如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1，0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程． 解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |，∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝4.又|AC |＝2， ∴M 点的轨迹为椭圆． 由椭圆的定义知，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴所求轨迹方程为x 24＋y 2 3 ＝1. 例题4 （与焦点有关的三角形问题） 如图所示，P 是椭圆x 24＋y 2 3＝1上的一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°， 求△PF 1F 2的面积． [思考点拨] 由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF 1|，再代入三角形的面积公式求解． [尝试解答] 由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝ a 2－ b 2＝ 4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ② ②代入①解得|PF 1|＝6 5 . ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝33 5. 即△PF 1F 2的面积是33 5. 第2课时 椭圆的简单几何性质 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P 37～P 40“探究”的内容，回答下列问题． 观察教材P 38－图2.1－7，思考以下问题： (1)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)中x ，y 的取值范围各是什么？ 提示：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ． (2)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的对称轴和对称中心各是什么？ 提示：对称轴为x 轴和y 轴，对称中心为坐标原点(0，0)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)与坐标轴的交点坐标是什么？ 提示：与x 轴的交点坐标为(±a ，0)，与y 轴的交点坐标为(0，±b )． (4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？ 提示：长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2. (5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？ 提示：离心率e ＝c a ；0 (6)如果保持椭圆的长半轴长a 不变，改变椭圆的短半轴长b 的值，你发现b 的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？ 提示：b 越大，椭圆越圆；b 越小，椭圆越扁． (7)根据离心率的定义及椭圆中a ，b ，c 的关系可知， e ＝c a ＝c 2a 2 ＝a 2－b 2 a 2 ＝1－????b a 2 ，所以e 越接近于1，则c 越接近于a ，从而b ＝ a 2－c 2就越小；e 越接近于0，则c 越接近于0，从而 b 越接近于a .那么e 的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？ 提示：e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 2．归纳总结，核心必记 椭圆的简单几何性质 (1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． (2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？ 提示：点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c ． (3)如何用a ，b 表示离心率？ 提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2， ∴e ＝ 1－????b a 2 . ∴e ＝ 1－b 2a 2. 续表 例题1 （由椭圆的标准方程研究几何性质） 求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [尝试解答] 将椭圆方程变形为x 29＋y 2 4＝1， ∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝ a 2－ b 2＝ 9－4＝ 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝5 3. 案例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)， 可转化为x 21m 2＋y 2 14m 2＝1. ∵m 2<4m 2， ∴1m 2>14m 2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝3 2m . ∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1 m ， 焦点坐标为????－32m ，0，??? ?3 2m ，0， 顶点坐标为????1m ，0，????－1m ，0，????0，－12m ，????0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m ＝3 2 . 例题2 （由椭圆的几何性质求方程） 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5，0)； (2)离心率e ＝3 5 ，焦距为12. [尝试解答] (1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，由题意得 ?????2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1， 解得?????a ＝5，b ＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 2 25 ＋y 2＝1； 若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)， 由题意，得?????2a ＝5×2b ， 0a 2＋25b 2＝1， 解得?????a ＝25， b ＝5. 故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 2 25 ＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2 ＝1或y 2625＋x 225＝1. (2)由e ＝c a ＝3 5，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝64. 当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 2 64＝1； 当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 2 64＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 2 64＝1. 案例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2，3)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上， 设标准方程为x 24b 2＋y 2 b 2＝1(b >0)， ∵椭圆过点A (2，3)，∴1b 2＋9 b 2＝1，b 2＝10. ∴方程为x 240＋y 2 10＝1. 若椭圆的焦点在y 轴上． 设椭圆方程为y 24b 2＋x 2 b 2＝1(b >0)， ∵椭圆过点A (2，3)，∴94b 2＋4b 2＝1，b 2＝25 4. ∴方程为y 225＋4x 2 25 ＝1. 综上所述，椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋4x 2 25 ＝1. (2)由已知?????a ＝2c ，a －c ＝3，∴?????a ＝23， c ＝ 3. 从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 2 12 ＝1. 例题3（求椭圆的离心率） 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－ c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如 果F 1到直线AB 的距离为 b 7 ，求椭圆的离心率e . [尝试解答] 由A (－a ，0)，B (0，b )， 得直线AB 的斜率为k AB ＝b a ， 故AB 所在的直线方程为y －b ＝b a x ，即bx －ay ＋a b ＝0. 又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得 d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7， ∴7·(a －c )＝ a 2＋ b 2. 又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0， 即8????c a 2 －14c a ＋5＝0.∴8e 2 －14e ＋5＝0. 解得e ＝12或e ＝5 4(舍去)． 综上可知，椭圆的离心率e ＝1 2 . 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a ，c ，可直接利用e ＝c a 求解．若已知a ， b 或b ， c ，可借助于a 2＝ b 2＋ c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝c a 求解． (2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围． 案例3 如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率． 解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则由题意可知P ????－c ，b 2a . ∵△PF 1O ∽△BOA ， ∴PF 1BO ＝F 1O OA . ∴b 2 a b ＝c a ，即 b ＝ c ， ∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22 . 第3课时 直线与椭圆的位置关系(习题课) 1、直线与椭圆的位置关系（重要） [思考1] 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？ 名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 与圆的半径的大小关系判断，d ＝r ?相切；d >r ?相离；d ?相交． (2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断． [思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？ 名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系． [思考3] 已知直线l 和椭圆C 的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？ 名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 Δ>0?直线与椭圆相交； Δ＝0?直线与椭圆相切； Δ<0?直线与椭圆相离． 例题1 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离． [尝试解答] 将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1，消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2. 当Δ＝0时，得m ＝±5 2，直线与椭圆相切； 当Δ>0时，得－ 52 2 ，直线与椭圆相交； 当Δ<0时，得m <－ 52或m >5 2 ，直线与椭圆相离． 判断直线与椭圆的位置关系的方法 案例1 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆 x 25＋y 2 m ＝1总有公共点，求m 的取值范围． 解：由?????y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m ＝1， 消去y ，整理得 (m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， 所以Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)， 因为直线与椭圆总有公共点， 所以Δ≥0对任意k ∈R 都成立， 因为m >0， 所以5k 2≥1－m 恒成立， 所以1－m ≤0， 即m ≥1. 又因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以0 2、直线与椭圆的相交弦问题 [思考1] 若直线l 与圆C 相交于点A ，B ，如何求弦长|AB |? 名师指津：(1)利用r 2 ＝d 2 ＋???? l 22 求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长公 [思考2] 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如何 求|AB |的值？ 名师指津 例题2 已知椭圆x 236＋y 2 9 ＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点． (1)当直线l 的斜率为1 2时，求线段AB 的长度； (2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． [尝试解答] (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝1 2 x . 由??? y ＝12 x ，x 2 36＋y 2 9＝1， 可得x 2 －18＝0， 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（x 1－x 2）2＋1 4（x 1－x 2）2 ＝52 （x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5 2 ×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. (2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立?????x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4）， 消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2 ， 由于AB 的中点恰好为P (4，2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4， 解得k ＝－1 2 ，且满足Δ>0. 这时直线的方程为y －2＝－1 2(x －4)， 即y ＝－1 2 x ＋4. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有? ??x 2136＋y 21 9＝1，x 2236＋y 22 9 ＝1， 两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 21 9 ＝0， 整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1） 36（y 2＋y 1） ， 由于P (4，2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4 ＝－1 2， 于是直线AB 的方程为y －2＝－1 2(x －4)， 即y ＝－1 2 x ＋4. (1)弦长公式 设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)，直线 与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， 所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2 ＝1＋k 2·（x 1－x 2）2 ＝ 1＋k 2· （x 1＋x 2）2－4x 1x 2， 或|AB |＝????1k y 1－1k y 22 ＋（y 1－y 2）2 ＝1＋1 k 2·（y 1－y 2）2 ＝ 1＋1k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到． (2)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． ②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0) 上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点， 则???x 21a 2＋y 21 b 2＝1，①x 22a 2 ＋y 22b 2 ＝1，② 由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－b 2a 2·x 0 y 0 ，即k AB ＝ －b 2x 0 a 2y 0. 案例2 （1）直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 2 2＝1所截得线段的中点的坐标是( ) A.????23，53 B.????43，73 C.????－23，13 D.????－132 ，－172 解析：选C 联立方程组?????y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1， 消去y 得3x 2＋4x －2＝0. 设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)， ∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝1 3. ∴所求中点的坐标为??? ?－23，1 3. （2）．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 2，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ， 且|PQ |＝10，求椭圆方程． 解：∵e ＝ 32，∴b 2＝1 4 a 2.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0， 由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝5 4×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为 x 236＋y 2 9 ＝1. 例题3（与椭圆有关的最值问题） 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝6 3. (1)若2a 2 c ＝32，求椭圆方程； (2)直线l 过点C (－1，0)交椭圆于A 、B 两点，且满足：，试求△OAB 面积 的最大值． [尝试解答] (1)由题意知???c a ＝63 ，2a 2 c ＝32， 解得a ＝ 3，c ＝ 2. 所以a 2＝3，b 2＝1， 所以椭圆方程为x 23 ＋y 2 ＝1. (2)由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝3b 2 ，可设椭圆的方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 由题意知直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 由?????y ＝k （x ＋1）， x 23b 2＋y 2b 2＝1， 得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－3b 2＝0， 且Δ＝12(3b 2－1)k 2＋12b 2， 因为直线l 交椭圆于A 、B 两点，且， 所以点C 在椭圆内部，所以a >1， 所以3b 2>1，所以Δ>0.所以x 1＋x 2＝－6k 2 3k 2＋1. 因为 ，所以(x 1＋1，y 1)＝3(－1－x 2，－y 2)， 所以x 1＝－4－3x 2， 所以x 2＋1＝－13k 2＋1，所以|x 1－x 2|＝4 3k 2＋1. 又O 到直线l 的距离为d ＝ |k |1＋k 2 ， 所以S △ABO ＝12|AB |d ＝ 1 21＋k 2|x 1－x 2|·d ＝ 2|k | 3k 2＋1＝23|k |＋1|k | ≤33， 所以当且仅当3|k |＝1|k |，即k ＝±3 3时， S △ABO 取得最大值 33 . 解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件． 案例3 在椭圆x 24＋y 2 7＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出 最短距离． 解：设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝3 2 x ＋m ， 代入x 24＋y 2 7 ＝1， 并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 ?m 2＝16?m ＝±4， 故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝3 2x －4距l 最近，d ＝ |16－8|32 ＋（－2） 2 ＝ 8 13 ， 切点为P ????32，－74. （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： 椭 圆 1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2 +ny 2 =1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0 , y 0 ), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得x 2 ＋(2y)2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2 ． a A 1y O F 1F 2 x B 2 B 1 A 2c b y O F 1F 2x M c c x F 2 F 1 O y M c c y x P O P ' M 高三第一轮复习资料（注意保密） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 绝密★启用前 xxxx年度xx学校xx考试 数学试卷 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1 卡上 第1卷 一、选择题 1、已知是椭圆的两个焦点,过且垂直于轴的直线交于, 两点,且,则椭圆的方程为( ) A. B. C. D. 2、中心在原点、焦点在轴上,若长轴长为,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( ) A. B. C. D. 3、若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为( ) A. B. C.或 D.以上都不对 4、椭圆的两个焦点为、,过作垂直于轴的直线与椭圆相交,一个交点为,则等于( ) A. B. C. D. 5、已知的顶点在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭 圆的另外一个焦点在边上,则的周长是( ) A. B. C. D. 6、是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且,则三角形的面积为( ) A. B. C. D. 7、若点和点分别为椭圆的中心和左焦点,点为椭圆上的任意一点, 则的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 8、已知中心在原点的椭圆的右焦点为,离心率等于,则椭圆的方程是( ) A. B. C. D. 9、点是长轴在轴上的椭圆上的动点,,分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为,则的最大值是( ) A. B. C. D. 二、填空题 10、若椭圆经过点,且焦点为,,则这个椭圆的离心率等 于. 11、已知椭圆的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,且椭圆上一点到它的两个焦点的距离之和为,则椭圆的方程 为 . 12、椭圆的离心率为,则 . 三、解答题 13、如图,已知椭圆经过点,对称轴为坐标轴,焦点在轴上,离心率 . 高二数学椭圆知识点 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭 圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨 迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴 为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对 称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆 122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< 椭圆(1) 【考点及要求】理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程。 掌握椭圆的几何性质，运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 【基础知识】 1. 椭圆13 42 2=+y x 的长轴位于_____轴，长轴长等于_____；短轴位于_____轴，短轴长等于_____；焦点在_____轴上，焦点坐标分别是________和________；离心率e =_____；左 顶点坐标是________；下顶点坐标是________；椭圆上点),(00y x P 的横坐标的范围是___________，纵坐标的范围是___________；00y x +的取值范围是______________. 2. 已知1F 、2F 是椭圆 19 162 2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则B AF 2?的周长为______________. 【基本训练】 1. ABC ?中，若B 、C 的坐标分别为)0,3(-、)0,3(，且ABC ?的周长等于16，则顶点A 的轨迹方程为___________________. 2. 若椭圆的长轴是短轴的3倍，且经过点)0,3(A ，则椭圆标准方程为___________________. 3. 如果方程k ky x =+22表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是_____________ 4. 椭圆14 22 =+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆上一动点，当21PF F ∠为钝角时，则点P 的横坐标∈0x __________________. 【典型例题】 例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1) 与椭圆1592 2=+y x 有相同焦点且过点)1,6(- (2) 与椭圆13 42 2=+y x 有相同离心率且过点)3,2(-.； 练习 已知三点)0,6(),0,6(),2,5(21F F P -.(1)求以1F 、2F 为焦点且过点的椭圆的标准方程； (2)设点21,,F F P 关于直线x y =的对称点分别为',','21F F P ，求以','21F F 为焦点且过点'P 的双曲线的标准方程. 第1讲 课题：椭圆 课 型：复习巩固 上课时间：2013年10月3日 教学目标： （1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义； （3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题； 教学重点：椭圆方程、离心率； 教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单 一、椭圆的定义： (1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. (2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数e ，当10< 上式化为12 2=+C By C Ax ，122=+B C y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当 B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B C A C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 五、椭圆的几何性质（以()0122 22>>=+b a b y a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式 1,122 22≤≤b y a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5.离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=， 即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆. 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为a b 2 2. 高三文科数学椭圆练习2014.1.24 1．“m>n>0”是“方程mx 2 ＋ny 2 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的____________条件． 2．已知椭圆x 2 10－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于___________. 3．若椭圆x 2 m ＋y 2n ＝1（m ＞n ＞0）上的点到右准线的距离是到右焦点距离的3倍，则m n ＝ ________. 4．过椭圆x 2 a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆 于点P ，F 2为右焦点，若∠PF 2F 1＝30°，则椭圆的离心率为________________. 5．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2, 4b 2 ]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是________________. 6．已知椭圆C ：x 2 2＋y 2 ＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A ∈l ，线段 AF 交C 于点B.若FA →＝3FB →，则|AF → |＝_____________. 7．过椭圆x 2 6＋y 2 5＝1内的一点P （2，－1）的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方 程___________. 8．椭圆x 29＋y 2 2＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________； ∠F 1PF 2的大小为__________． 9．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为____________． 10．已知A 、B 为椭圆C ：x 2 m ＋1＋y 2 m ＝1的长轴的两个端点，P 是椭圆C 上的动点，且∠APB 的最大值是2π 3，则实数m 的值是__________． 11．已知A 、B 两点分别是椭圆C ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶 点，而F 是椭圆C 的右焦点，若AB →2BF → ＝0，则椭圆C 的离心率e ＝________. 12．直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆左焦点F 1和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为___________. 13．已知椭圆x 2 16＋y 2 12＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若 |ON|＝1，则MF 1的长等于______________. 14．过椭圆x 2 a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若 ∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率__________. 高中数学椭圆的经典知识总结 椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义：1,2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个 焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离： 0? 高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳： 名 称 椭圆 双曲线 图 象 x O y x O y 定 义 平面内到两定点21,F F 的距离的和为 常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆 即a MF MF 221=+ 当2a ﹥2c 时， 轨迹是椭圆， 当2a ＝2c 时， 轨迹是一条线段21F F 当2a ﹤2c 时， 轨迹不存在 平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝 对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹 叫双曲线即122MF MF a -= 当2a ﹤2c 时， 轨迹是双曲线 当2a ＝2c 时， 轨迹是两条射线 当2a ﹥2c 时， 轨迹不存在 标准方 程 焦点在x 轴上时： 122 22=+b y a x 焦点在y 轴上时：122 22=+b x a y 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐 标轴上 焦点在x 轴上时：122 22=-b y a x 焦点在y 轴上时：122 22=-b x a y 常 数 c b a ,,的关 系 222b c a +=， 0>>b a ， a 最大， b c b c b c ><=,, 222b a c +=， 0>>a c c 最大， 可以b a b a b a ><=,, 渐近线 焦点在x 轴上时： 0x y a b ±= 焦点在y 轴上时：0y x a b ±= 抛物线： 图形 x y O F l x y O F l 方程 )0(22 >=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 焦 点 )0,2 (p )0,2(p - )2,0(p )2,0(p - 准 线 2 p x -= 2p x = 2p y -= 2 p y = （一）椭圆 1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(122 22>>=+b a b y a x （1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-， 椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。 （2）对称性:图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心， 简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围， 对称的截距。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -， ),0(),,0(2b B b B -。加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。21A A 叫椭圆的长轴， 21B B 叫椭圆的短轴。长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。a c e = ?2)(1a b e -=。10< 椭圆 知识点一：椭圆的定义 第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和为定值 )2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹不存在. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=. 注意：①只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； ②在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； ③椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 题型一、椭圆的定义 1、方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是 2、若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 3、椭圆19 252 2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．2 3 4、椭圆22 12516 x y +=两焦点为12F F 、，()3,1A ，点P 在椭圆上，则1PF PA +的最大值为_____，最小值为 ___ 题型二、椭圆的标准方程 5、方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是 （A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆 6、若方程22 153 x y k k +=--， （1）表示圆，则实数k 的取值是 . （2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 . 7、椭圆22 14x y m +=的焦距为2，则m = 8、已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 9、已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 10、求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。 11、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为 354和3 52，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 2018年高考全国卷1文科数学试题解析版 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合 中的元素，最后求得结果. 详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A. 点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果. 2. 设，则 A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到，根据复数模的公式，得到，从而选出正确结果. 详解：因为， 所以，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目. 3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结 论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确； 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确； 故选A. 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 4. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果. 详解：根据题意，可知，因为， 所以，即， 所以椭圆的离心率为，故选C. 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式， 椭圆 【考纲要求】 1.了解椭圆图形的实际背景及形成过程； 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 3.掌握椭圆的简单应用； 4.理解解析几何中数形结合思想的运用. 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：椭圆及其性质404776 知识要点】 考点一、椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)， 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 要点诠释： （1）若1212P F P F FF +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212P F P F FF +<，则动点P 的轨 迹无图形. （2）确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a 、b ，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 考点二、椭圆的标准方程 （1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； （2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 要点诠释： （1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和2 2 2 b a c -=； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -. 椭圆 数形结合思想 标准方程及简单性质 椭圆的实际背景及定义 课题：椭圆 教学目标： （1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义； （3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题； 教学重点：椭圆方程、离心率； 教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单 一、椭圆的定义： (1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. (2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数e ，当10< 且满足.222c b a += 四、二元二次方程表示椭圆的充要条件 方程()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件： 上式化为 122=+C By C Ax ，12 2=+B C y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B C A C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 五、椭圆的几何性质（以()0122 22>>=+b a b y a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式 1,122 22≤≤b y a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5.离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a Θ（2） 22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆 高三文科数学专题复习之圆锥曲线 名 称 椭圆 双曲线 图 象 x O y x O y 定 义 平面内到两定点 的距离的和为 常数（大于）的动点的轨迹叫椭 圆即 当2﹥2时，轨迹是椭圆， 当2＝2时，轨迹是一条线段 当2﹤2时，轨迹不存在 平面内到两定点 的距离的差的绝对值为常数（小于 ）的动点的轨 迹叫双曲线即 当2﹤2时，轨迹是双曲线 当2＝2时，轨迹是两条射线 当2﹥2时，轨迹不存在 标准 方 程 焦点在轴上时： 焦点在 轴上时： 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在轴上时： 焦点在 轴上时： 常数 的关 系 ， ， 最大， ， 最大，可以 渐近线 焦点在轴上时： 焦点在 轴上时： 抛物线： 图 形 方 程 焦 点 准 线 （一）椭圆 1. 椭圆的性质：由椭圆方程 （1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。 （2）对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点：，。加两焦点共有六个特殊点。叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴。长分别为。分别为椭圆的长半轴长和短半 轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。。。 椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为是椭圆在时的特例。 2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这 个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率。 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程 对于，左准线；右准线 对于，下准线；上准线 2020届全国高考数学椭圆知识点总结 （名师总结必考知识点，值得下载背诵） 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质 椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的简单几何性质 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤， b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目） 离心率 )10(<<= e a c e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围） 注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等 知识点三：椭圆相关计算 1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222c b a += 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a b 2 2 焦点弦：椭圆过焦点的弦。 3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。 个性化教学辅导教案 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目） 离心率 )10(<<= e a c e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围） 注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦 距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等 知识点三：椭圆相关计算 1．椭圆标准方程中的三个量c b a, ,的几何意义2 2 2c b a+ = 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长 a b2 2 焦点弦：椭圆过焦点的弦。 3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，2 1 PF F ∠为最大角。 4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。 焦点三角形的面积2 tan 2 2 1 θ b S F PF = ? ，其中2 1 PF F ∠ = θ（注意公式的推导）5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）． (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上． (2)设方程： ①依据上述判断设方程为 2 2 2 2 b y a x +=1)0 (> >b a或 2 2 2 2 a y b x +=1)0 (> >b a ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系: 2 2 2 2 b y a x +<1,点在椭圆内； 2 2 2 2 b y a x +=1，点在椭圆上； 2 2 2 2 b y a x +>1, 点在椭圆外。 7.直线与椭圆的位置关系 设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． (1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
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