2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题(解析版)
14．某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来 20 天内,这种水果每箱的销售利 润 r (单位:元)与时间 t(1 t 20, t N ,单位:天)之间的函数关系式为 r 1 t 10 , 且
4
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日销售量 y (单位:箱)与时间 t 之间的函数关系式为 y 120 2t
①离心率为 2 ;
②一条渐近线的倾斜角为 30;
③ 实轴长为 8 ,且焦点在 x 轴上.
写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．
【答案】 x2 y2 1,答案不唯一 16 48
【解析】根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出 a, b, c ，即可得到满足题意的一
个的双曲线标准方程． 【详解】
因此 b
22 32
13 ．
故答案为： 13 ．
【点睛】 本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题．
11．在公差为 d d 0 的等差数列an 中, a1 1 ,且 a2 , a4 , a12 成等比数列, 则 d
______________ 第 5 页 共 18 页
【答案】3
【解析】根据等差数列的通项公式，用 d 表示出 a2 , a4 , a12 ，再根据 a2 , a4 , a12 成等比数
列，列式即可求解．
【详解】
因为 an a1 (n 1)d 1 (n 1)d ，所以 a2 1 d, a4 1 3d, a12 111d ，
而 a2 , a4 , a12 成等比数列，所以
（2）求函数
f
x
在区间
2
, 0 上的最小值和最大值.
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【答案】（1） π （2）最大值 0 ．最小值 3 . 2
【解析】（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角
2020 届北京市西城区高三上学期期末数学试题
一、单选题
1．设集合 A x | x a, B 3, 0,1,5 ,若集合 A B 有且仅有 2 个元素,则实数 a 的
取值范围为（
A． 3,
）
B． 0,1
C．1,
D． 1, 5
【答案】B
【解析】根据集合的交集运算，由题意知 A B 3, 0 ，由此可得， 0 a 1．
①因为 r 4 1 4 10 11， y 4 120 2 4 112 ，所以该天的销售利润为
4 11112 1232 ；
②设捐赠后的利润为W
元，则W
yr
m
120
2t
1 4
t
10
m
，
化简可得，W 1 t2 2m 10t 1200 120m ．
2
令W f t ，因为二次函数的开口向下，对称轴为 t 2m 10 ，为满足题意所以，
①第 4 天的销售利润为__________元; ②在未来的这 20 天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠 m(m N * ) 元给 “精准扶 贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间 t 的增大而增大,则 m 的最
小值是__________． 【答案】1232 5 【解析】①先求出第 4 天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售 利润； ②先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出． 【详解】
a 1 a 1 k 0
根据函数的单调性可知，
f
b
b
1
，即可得到
b
1
，即可知
b1k 0
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1 4k 0
a 1,
b
1 是方程
x2
x
k
0
的两个不同非负实根，所以
x1x2
k
0
，解得
1 k 0． 4
故选：D．
【点睛】
本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查
PB2 BC 2 PC 2 ， PBC 也是直角三角形． 在△PDC 中， PD2 4 4 8, CD2 12 22 5 ，而 PC2 9 ，所以△PDC 不是
直角三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有 3 个． 故答案为：3 【点睛】 本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，意 在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． 13．对于双曲线,给出下列三个条件:
故“ a b c 0 ”是 “以 a , b , c 为边长的三角形存在”的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的理解与判断，属于基础题．
7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众
多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个
1 3d 1 d
1 11d 1 3d
，解得 d
3或d0 (舍去)．来自故答案为：3．【点睛】
本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题．
12．某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个
【答案】3 【解析】根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出． 【详解】 如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱 PA 垂直于底面的四棱锥．
3．在 ABC 中,若 a 6, A 60, B 75 ,则 c （ ）
A． 4
【答案】D
B． 2 2
C． 2 3
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D． 2 6
【解析】根据三角形内角和求出角 C ，再根据正弦定理即可求出边 c ．
【详解】
因为 C 180 75 60 45 ，所以根据正弦定理知， a c ，即 sin A sin C
【详解】
因为集合 A B 有且仅有 2 个元素，所以 A B 3, 0 ，即有 0 a 1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．
2．已知复数 z 3 i ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ 1 i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
） D．第四象限
【答案】D
【解析】根据复数的运算法则，化简复数 z 1 2i ，再利用复数的表示，即可判定，
故V 1 52 10 1 32 6 196 200 cm3 ．
3
3
3
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题．
8．已知函数 f x x 1 k ,若存在区间a,b1, ,使得函数 f(x)在区间
a,b 上的值域为a 1,b 1, 则实数 k 的取值范围为（ ）
得到答案.
【详解】
由题意，复数
z
3i 1 i
3 i1 i 1 i1 i
2 4i 2
1
2i
，
所以复数 z 对应的点 (1, 2) 位于第四象限.
故选：D. 【点睛】 本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则， 准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
A． 1,
B． 1, 0
C．
1 4
,
D．
1 4
,
0
【答案】D
f a a 1
a 1 a 1 k 0
【解析】根据函数的单调性可知，
f
b
b
1
，即得
b
1
，故可
b1k 0
知 a 1, b 1 是方程 x2 x k 0 的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求
出．
【详解】
f a a 1
6 sin 60
c sin 45
，解得 c
2
6．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形，属于基础题．
4．设 x y ,且 xy 0, 则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． 1 1 xy
B． ln x ln y
C． 2x 2 y
D． x2 y2
【答案】C 【解析】根据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假． 【详解】
2m 10 20
f 1 0
，解得 m 5 ．
n N *
故答案为：①1232；②5．
【点睛】
本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的
理解和函数模型的建立，属于基础题．
三、解答题
15．已知函数
f
x
2cosxsin
x
6
.
（1）求函数 f x 的最小正周期;
故选：C． 【点睛】 本题主要考查利用函数的单调性或者不等式的性质比较大小，属于基础题．
5．已知直线 x y 2 0 与圆 x2 y2 2x 2 y a 0 有公共点,则实数 a 的取值范围
为（ ）
A． , 0
B．0,
C．0, 2
D． , 2
【答案】A 【解析】依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径， 即可求出． 【详解】
圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关
数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（ ） 第 3 页 共 18 页
A．100 cm3
B． 200cm3
C．300 cm3
D．400 cm3
【答案】B
【解析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．
【详解】
北京市西城区2021届高三上学期期末考试数学试卷及答案
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|13}A x x =-<<，{|04}B x x =<≤，则A B =（A ）(0,3)（B ）(1,4)-（C ）(0,4]（D ）(1,4]-解析：注意求的是并集，不是交集，选D.（2）在复平面内，复数所对应的点的坐标为(1,1)-，则z z ⋅=（A ）（B ）2i -（C（D ）解析：1z i =-，2(1)(1)12z z i i i ⋅=-⋅+=-=，选A. （3）已知()f x 为奇函数，其局部图象如图所示，那么（A ）(2)2f = （B ）(2)2f =- （C ）(2)2f >- （D ）(2)2f <-解析：1(2)2f <-<，奇函数，2(2)1f -<<-，选C. （4）已知(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，则的值为（A ）（B ）（C ）（D ）解析：三点共线，则AB AC k k =，即84824243y--==--，解得6y =，选C. （5）已知双曲线22221x y a b-=的焦距等于实轴长的倍，则其渐近线的方程为（A ）y =（B ）2y x =±（C ）y = （D ）12y x =±解析：2224c a a =⨯=，即2c a =，则b =，渐近线by x a=±=，选A.（6）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为（A ） （B ） （C ） （D ）21=，选B.（7）已知函数()sin 2,[,]f x x x a b =∈，则“2b a π-≥”是“()f x 的值域为[1,1]-”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件解析：后推前，22T b a π-≥=，正确；前推后，例如0a =，2b π=时，值域为[0,1]，选B. （8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log (1)SC W N=+，其中为最大数据传输速率，单位为bit /s ；为信道带宽，单位为Hz ；SN为信噪比. 香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99S N =，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；当9999S N=，3000Hz W =时，最大数据传输速率记为2C ，则21C C 为 （A ） （B ）52 （C ）154（D ） 解析：122000log (199)C =+，223000log (19999)C =+，则2100133log 100002322C C =⨯=⨯=，D.（9）设函数()f x 和()g x 的定义域为，若存在非零实数c D ∈，使得()()0f c g c +=，则称函数()f x 和()g x 在D 上具有性质P.现有三组函数：①()f x x =，2()g x x =②()2x f x -=，()e x g x =-③2()f x x =-，()2x g x =其中具有性质P 的是 （A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③解析：由题，即()()g x f x =-有非零解，2x x =-，22x x =有非零解，1()2x x e =没有非零解，选B.（10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是 （A ）点可以是棱1BB 的中点（B ）线段MP （C ）点的轨迹是正方形（D ）点轨迹的长度为解析：动点问题不如建系.111(,,)222M ，1(,1,1)2N ，(0,1,0)C ，设(,,)P x y z ，则111113(,0,1)(,,)0222224CN MP x y z x z ⋅=⋅---=+-=，线段MP 的最大值为MQ MH =， 选B.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020届北京市西城区高三诊断性考试(二模)数学试题(解析版)
2020届北京市西城区高三诊断性考试（二模）数学试题一、单选题1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =I （ ） A ．{}0,2 B ．{}2,2-C ．{}2,0,2-D ．{}2,1,0,1,2--【答案】C【解析】求出集合A ，利用交集的定义可得出集合A B I . 【详解】{}{}333A x x x x =<=-<<Q ，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-I .故选：C. 【点睛】本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的除法运算将复数z 表示为一般形式，进而可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】1z i i ⋅=-+Q ，211i i i z i i i-++∴===+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的判断，涉及复数除法运算的应用，考查计算能力，属于基础题.3．下列函数中，值域为R 且区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．3y x =-B ．y x x =C ．1y x -=D ．y =【答案】B【解析】求出各选项中函数的值域，并判断出各函数在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出结论.【详解】对于A 选项，函数3y x =-的值域为R 且区间()0,∞+上单调递减；对于B 选项，22,0,0x x y x x x x ⎧-≤==⎨>⎩，当0x >时，20y x =>；当0x ≤时，20y x =-≤. 所以，函数y x x =的值域为R ，且在区间()0,∞+上单调递增；对于C 选项，函数1y x -=的值域为{}0x x ≠，且在区间()0,∞+上单调递减；对于D 选项，函数y =[)0,+∞，且在区间()0,∞+上单调递增.故选：B. 【点睛】本题考查基本初等函数值域的求解，同时也考查了函数单调性的判断，考查推理能力，属于基础题.4．抛物线24x y =的准线方程是（ ）． A ．1y = B ．1y =- C ．1x =- D ．1x =【答案】B【解析】Q 抛物线24x y =是焦点在y 轴，开口向上的抛物线，，且24p =12p∴= ∴准线方程为1y =-故答案选B5．在ABC V 中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（ ） A ．18B ．14C ．310D ．35【答案】A【解析】先根据大边对大角定理判断出ABC V 的最大角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】::4:5:6a b c =Q ，则C 为ABC V 的最大内角，设()40a t t =>，则5b t =，6c t =，由余弦定理得()()()2222224561cos 22458t t t a b c C ab t t +-+-===⨯⨯. 故选：A. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角的余弦值，涉及大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题.6．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】B【解析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】指数函数3x y =为R 上的增函数，则0.20331a =>=；对数函数3log y x =为()0,∞+上的增函数，则333log 1log 2log 3<<，即01b <<； 对数函数0.2log y x =为()0,∞+上的减函数，则0.20.2log 3log 10c =<=. 因此，a b c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】作出几何体的直观图，可知该几何体为四棱锥，求出四棱锥的底面积和高，可求得该四棱锥的体积. 【详解】作出几何体的直观图如下图所示：可知，该几何体为四棱锥P ABCD -，且底面ABCD 为直角梯形，其面积为()12232S +⨯==，四棱锥P ABCD -的高为2h PD ==， 因此，该几何体的体积为1132233P ABCD V Sh -==⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，一般要将几何体的直观图作出来，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.8．若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,0]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[5,)+∞【答案】A【解析】将圆的方程化为标准方程，根据题意得出关于a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22215x y a -++=-，由于该圆与x 轴、y 轴均有公共点，则505251a a a ->⎧-≥-≥，解得1a ≤，因此，实数a 的取值范围是(],1-∞. 故选：A. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也要注意利用一般方程表示圆时的等价条件，考查计算能力，属于中等题.9．若向量a r 与b r不共线，则“0a b ⋅<r r ”是“2a b a b ->+r r r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据平面向量数量积的运算结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由于向量a r 与b r不共线，当0a b ⋅<r r 时，22222a b a a b b a a -=-⋅+>=r r r r r r r r ，则a b a ->r r r ，同理可得a b b ->r r r ，2a b a b ∴->+r r r r ，则“0a b ⋅<r r”⇒“2a b a b ->+r r r r ”；若a b ⊥r r ，22222a b a a b b a a -=-⋅+>=r r r r r r r r ，则a b a ->r r r ，同理a b b ->r r r， 所以，“2a b a b ->+r r r r ”⇒“0a b ⋅<r r”，因此，“0a b ⋅<r r”是“2a b a b ->+r r r r ”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.10．设函数()()1xf x x e =-，若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,e B ．(20,e ⎤⎦C ．21,2e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】利用导数分析函数()y f x =的单调性与极值，作出函数()y f x =与1y ax =-的图象，根据图象和整数解的个数得出关于实数a 的不等式组，即可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()1x f x x e =-Q ，()x f x xe '∴=，令()0f x '=，得0x =，列表如下：()f x]极小值Z所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+. 则函数()y f x =在0x =处取得极小值，且极小值为()01f =-，如下图所示：当0a >时，若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则()()11221f a f a ⎧<-⎪⎨≥-⎪⎩，解得2112e a +<≤；当0a <时，由于直线1y ax =-与x 轴的负半轴交于点1,0a ⎛⎫⎪⎝⎭，当1x a<时，关于x 的不等式()1f x ax <-有无数个整数解，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数不等式整数解的个数问题求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题11．设平面向量()1,2a =-r ，(),2b k =r 满足a b ⊥r r，则b =r ____．【答案】【解析】利用垂直向量的坐标表示求出实数k 的值，利用向量模的坐标公式可求得b r的值. 【详解】()1,2a =-r Q ，(),2b k =r 且a b ⊥r r，40a b k ∴⋅=-=r r ，得4k =，则()4,2b =r ，因此，b ==r故答案为：【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，同时也考查了利用坐标计算向量的模，考查计算能力，属于基础题.12．若双曲线()2221016x y a a -=>经过点()2,0，则该双曲线渐近线的方程为____．【答案】2y x =±【解析】将点()2,0的坐标代入双曲线的方程，求出实数a 的值，进而可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】将点()2,0的坐标代入双曲线的方程得241a=，0a >Q ，可得2a =， 所以，双曲线的方程为221416x y -=，因此，该双曲线的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x =±. 【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，考查计算能力，属于基础题. 13．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.【答案】乙、丁【解析】本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果. 【详解】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖. 所以本题答案为乙、丁. 【点睛】本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.14．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E 、F 、H 分别是棱PB 、BC 、PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于； ②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD -四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③【解析】取CD 的中点G ，PA 的四等分点I ，顺次连接E 、F 、G 、H 、I ，则平面EFGHI 即为过E 、F 、H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面，计算出截面面积，根据截面形状可判断命题①②③的正误.【详解】取CD 的中点G ，PA 的四等分点I ，顺次连接E 、F 、G 、H 、I ，则平面EFGHI 即为过E 、F 、H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面，如下图所示：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E Q 、F 分别为PB 、BC 的中点，//EF PC ∴且1232EF PC == EF ⊂Q 平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，//PC ∴平面EFH ， PC ⊂Q 平面PCD ，平面PCD I 平面EFH GH =，//GH PC ∴，H Q 为PD 的中点，G ∴为CD 的中点，1232GH PC ∴== 同理可得////EH BD FG ，且1222EH FG BD === PA ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD PA ∴⊥，Q 四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，PA AC A =Q I ，BD ∴⊥平面PAC ，PC ⊂Q 平面PAC ，BD PC ∴⊥，则EF EH ⊥，所以，四边形EFGH 为矩形，其面积为23226EF EH⋅== 设FG AC M =I ，BD AC N =I ，则M 为CN 的中点，N 为AC 的中点，1124CM CN AC ∴==，34AM AC ∴=， //PC Q 平面EFH ，PC ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面EFH IM =，//IM PC ∴，且3334IM PC ==， IEH ∴V 的边EH 上的高为33233IJ IM MJ =-== IEH V 的面积为11223622IEH S EH IJ =⋅=⨯=V 所以，截面面积为46656=①错误；该截面是一个五边形，命题②正确；由图可知，截面与四棱锥P ABCD -侧棱PA 、PB 、PD 相交，命题③正确. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的几何特征，与棱锥相关的面积和体积计算，确定截面的形状是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、双空题15．设函数()2sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．【答案】π1【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得该函数的周期，求出函数()y f x =的最大值，可求得实数m 的最小值. 【详解】()2sin 22cos sin 2cos 21214f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的周期为22T ππ==，函数()y f x =的最大值为()max 1f x =，由于对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则()max 1m f x ≥=.因此，实数m 1.故答案为：π1. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，考查计算能力，属于中等题.四、解答题16．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//DE BF ，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面//BCF 平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13-．【解析】（Ⅰ）推导出//BF 平面ADE ，//BC 平面ADE ，利用面面平行的判定定理可证明出平面//BCF 平面ADE ；（Ⅱ）分别以DA 、DC 、DE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出钝二面角D AE F --的余弦值． 【详解】（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE ． 同理，得//BC 平面ADE ．又因为BC BF B =I ，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE ；（Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，可知DA 、DC 、DE 两两垂直，分别以DA 、DC 、DE 为x 轴、y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系， 则()0,0,0D 、()0,0,2E 、()2,2,1F 、()2,0,0A ，所以()2,0,2AE =-u u u v ，()0,2,1AF =u u u v，设平面AEF 的法向量(),,n x y z =v，由00AE n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得22020x z y z -+=⎧⎨+=⎩， 令1y =，则2z =-，2x =-，得()2,1,2n =--v． 平面ADE 的一个法向量()0,1,0m =v．11cos ,133m n m n m n ⋅===⋅⨯v vv vv v ，因此，钝二面角D AE F --的余弦值为13-. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.17．从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答． 在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值．【答案】选择①：（Ⅰ）*21()n a n n N =-∈；（Ⅱ）5．选择②：（Ⅰ）32()n a n n =-∈N *；（Ⅱ）6．选择③：（Ⅰ）*21()n a n n =-∈N ；（Ⅱ）5．【解析】（Ⅰ）选择①，由11a S =求得p 的值，再由()12n n n a S S n -=-≥可求得数列{}n a 的通项公式；选择②，可知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式； 选择③，可知数列{}n a 是等差数列，求出公差d 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）由21nm a a a =可得出m 关于n 的表达式，进而可求得m 的最小值． 【详解】选择①：（Ⅰ）当1n =时，由1111a S p ==+=，得0p =.当2n ≥时，由题意，得()21n S n =-，所以()1212nn n a S S n n -=-=-≥．经检验，11a =符合上式，所以()21n a n n N *=-∈；（Ⅱ）由1a 、n a 、m a 成等比数列，得21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-． 化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． 选择②：（Ⅰ）因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=． 所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列.所以()()()1113132n a a n d n n n N*=+-=+-=-∈；（Ⅱ）由1a 、n a 、m a 成等比数列，得21nm a a a =，即()()232132n m -=⨯-． 化简，得2222342333m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 取到最小值6； 选择③：（Ⅰ）由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =. 所以()()1121n a a n d n n N*=+-=-∈；（Ⅱ） 因为1a 、n a 、m a 成等比数列，所以21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-． 化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.18．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、L 、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）． 【答案】（Ⅰ）0.8；（Ⅱ）分布列详见解析，数学期望为31；（Ⅲ）方差变大了． 【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中矩形面积之和为1，求出a 的值，再结合频率分布直方图以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（Ⅱ）由题意可知，随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，由此可列出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望；（Ⅲ）根据离散型随机变量方差的性质可得出结论. 【详解】（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， 由图表，得()0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.40.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =，由图表，知“C 级”种子的频率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=，故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2． 因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8PM =-=；（Ⅱ）由题意，任取一颗种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为()4.4 1.20.40.050.3++⨯=，恰好是“B 级”康乃馨的概率为()4.0 6.00.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=．随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40， 且()2200.20.04PX ===，()2520.50.20.2P X ==⨯⨯=，()2300.520.30.20.37P X ==+⨯⨯=，()350.30.520.3P X ==⨯⨯=， ()2400.30.09P X ===.所以X 的分布列为：故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了离散型随机变量分布列及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(),0A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线MA 、NA 分别与直线4x =交于点P 、Q ，求PFQ ∠的大小．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）90PFQ ∠=o． 【解析】（Ⅰ）由已知条件求得a 、c 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，并求出点P 、Q 的坐标，计算出FP u u u r 、FQ uuur 的坐标，并计算出FP FQ ⋅u u u r u u u r，由此可得出PFQ ∠的大小. 【详解】（Ⅰ）由题意得121c aAF a c ⎧=⎪⎨⎪=-=⎩，解得2a =，1c =，从而223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，则()214410t ∆=+>恒成立，由韦达定理得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+， 设点()4,P m ，()()11112,1,AM x y ty y =-=-u u u u r ，()2,AP m =u u u r，由//AM AP u u u u r u u u r得()1121y m ty =-，可得1121y m ty =-，即点1124,1y P ty ⎛⎫⎪-⎝⎭， 同理可得点2224,1y Q ty ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，1123,1y FP ty ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭u u u r ，2223,1y FQ ty ⎛⎫= ⎪-⎝⎭u u u r ，()()()121221212124499111y y y y FP FQ ty ty t y y t y y ∴⋅=+=+---++u u u r u u u r222223634909613434t t t t t -+=+=-++++， 因此，90PFQ ∠=o.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中角的计算，涉及平面向量数量积以及韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 20．设函数()cos xf x ae x =+，其中a R ∈．（Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[]0,π内有两个不同的零点，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）34,2e e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭． 【解析】（Ⅰ）利用偶函数的定义()()f x f x -=，化简后可得实数a 的值； （Ⅱ）利用导数分析函数()y f x =在()0,∞+上的单调性，进而可证得()2f x >； （Ⅲ）令()0f x =得cos xx a e =-，令()cos x xh x e =-，利用导数分析函数()y h x =在区间[]0,π上的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）函数()y f x =为偶函数，所以()()f x f x -=，即()cos cos xx ae x ae x -+-=+，整理得()0x xa e e--=对任意的x ∈R 恒成立，0a ∴=；（Ⅱ）当1a =时，()cos x f x e x =+，则()sin x f x e x '=-，0x Q >，则e 1x >，1sin 1x -≤≤，()sin 0xf x e x '∴=->，所以，函数()cos x f x e x =+在()0,∞+上单调递增，∴当0x >时，()()02f x f >=；（Ⅲ）由()cos 0x f x ae x =+=，得cos xx a e =-，设函数()cos x xh x e =-，[]0,x π∈， 则()sin cos 4x xx x x h x e e π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，令()0h x '=，得34x π=． 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭34π 3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦()h x ' +-()h xZ极大值]所以，函数()y h x =在30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减．又因为()01h =-，()h eππ-=，334422h ee ππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()340h e h π⎛⎫> ⎪⎝⎭，如下图所示：所以，当342a e ππ--⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，方程cos x xa e =-在区间[]0,π内有两个不同解， 因此，所求实数a 的取值范围为342,2e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数求解函数的零点个数问题，考查推理能力与数形结合思想的应用，属于中等题. 21．设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =L ）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈；②对任意{}1,2,,k N ∈L ，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+L L ）． （Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =L 能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）．（Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-；（Ⅱ）100；（Ⅲ）N 存在最大值，为200．【解析】（Ⅰ）根据题意可得出结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结论得出k a 可以等于1k -，可得出区间k I 的长度为1，结合①得出100N ≥，再由[]10,1I =，[]21,2I =，L，[]10099,100I =满足条件①、②可得出N 的最小值；（Ⅲ）利用反证法推导出111k k a a +->+，进而得出2001100a +>，由此得出[]()122000,100I I I ⊆U UL U ，进而得出200N ≤，再举例说明200N =成立，由此可得出正整数N 的最大值. 【详解】（Ⅰ）k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-； （Ⅱ）记b a -为区间[],a b 的长度，则区间[]0,100的长度为100，k I 的长度为1． 由①，得100N ≥． 又因为[]10,1I =，[]21,2I =，L，[]10099,100I =显然满足条件①，②．所以N 的最小值为100；（Ⅲ）N 的最大值存在，且为200． 解答如下：（1）首先，证明200N ≤．由②，得1I 、2I 、L 、N I 互不相同，且对于任意k ，[]0,100k I ≠∅I ．不妨设12n a a a <<<<L L ．如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,i x I i N ∉=L ．这与题意不符，故20a >. 如果111k k a a +-+≤，那么()11kk k I I I -+⊆U ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得i x I ∉（其中1i =、2、L 、1k -、1k +、L 、N ）”矛盾，故111k k a a +->+．所以421a a >+，6412a a >+>，L，200198199a a >+>，则2001100a +>．故[]()122000,100I I I ⊆U UL U ．若存在201I ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,200i x I i ∉=L ”矛盾，所以200N ≤．（2）给出200N =存在的例子 ．令()110012199k a k =-+-，其中1k =、2、L 、200，即1a 、2a 、L 、200a 为等差数列，公差100199d =．由1d <，知1k k I I +≠∅I ，则易得122001201,22I I I ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦U UL U ， 所以1I 、2I 、L 、200I 满足条件①．又公差10011992d =>， 所以()1001199k k I -∈，()()10011,2,,1,1,,199i k I i k k N -∉=-+L L ．（注：()1001199k -为区间k I 的中点对应的数）所以1I 、2I 、L 、200I 满足条件②．综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200． 【点睛】本题考查数列与区间的综合应用，考查反证法的应用，考查推理论证能力，属于难题.。
2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}{},3,0,1|,5A x x a B =<=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3, -+∞ B ．(]0,1C ．[)1,+∞D ．[)1,5【答案】B 2．已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D3．在ABC V 中,若6,60,75a A B ==︒=︒,则c =（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】D4．设x y >,且0,xy ≠则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11x y> B ．ln ln x y >C ．22x y --<D ．22x y >【答案】C5．已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=有公共点,则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．[)0,2D ．(),2-∞【答案】A6．设三个向量,,a b c r r r 互不共线,则 “0a b c ++=r r r r”是 “以,,a b c r r r 为边长的三角形存在”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm ),那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm【答案】B8．已知函数() 1f x x k =+,若存在区间[][),1,a b ∈-+∞,使得函数f (x )在区间[],a b 上的值域为[]1,1,a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A ．()1,-+∞B ．(]1,0-C ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D二、填空题9．在()51x -的展开式中,2x 的系数为___________. 【答案】10【解析】根据二项展开式的通项，赋值即可求出． 【详解】()51x -的展开式通项为()15r r r T C x +=-，令2x =，所以2x 的系数为()225110C -=．故答案为：10． 【点睛】本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础题．10．已知向量()()4,6,2,a b x =-=r r 满足//a b r r,其中x ∈R ,那么b =r _____________【答案】13【解析】根据向量平行的坐标表示求出x ，再根据向量模的坐标计算公式即可求出． 【详解】因为//a b r r，所以4260x --⨯=，解得3x =-．因此()222313b =+-=r ．故答案为：13． 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题． 11．在公差为() 0d d ≠的等差数列{}n a 中,11a =- ,且2412,,a a a 成等比数列, 则d =______________【答案】3【解析】根据等差数列的通项公式，用d 表示出2412,,a a a ，再根据2412,,a a a 成等比数列，列式即可求解． 【详解】因为1(1)1(1)n a a n d n d =+-=-+-，所以24121,13,111a d a d a d =-+=-+=-+， 而2412,,a a a 成等比数列，所以13111113d dd d-+-+=-+-+，解得3d =或0d =(舍去)．故答案为：3． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题．12．某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个【答案】3【解析】根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出． 【详解】如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱PA 垂直于底面的四棱锥．由三视图可知，2,1PA AD AB BC ====，,AD AB BC AB ⊥⊥． 因为PA ⊥面ABCD ，所以,PAB PAD V V 都是直角三角形．在PBC V 中，22222,1,4419PB BC PC PA AB BC ===++=++=，所以222PB BC PC +=，PBC V 也是直角三角形．在PDC △中，2222448,125PD CD =+==+=，而29PC =，所以PDC △不是直角三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3个． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． 13．对于双曲线,给出下列三个条件: ①离心率为2;②一条渐近线的倾斜角为30°; ③ 实轴长为8,且焦点在x 轴上.写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．【答案】2211648x y -=,答案不唯一【解析】根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出,,a b c ，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程． 【详解】若选择①③，所以2,28ce a a===，解得4,8a c ==，所以222228448b c a =-=-=，因为焦点在x 轴上，所以双曲线的标准方程为2211648x y-=．若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．故答案为：2211648x y -=，答案不唯一．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．14．某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r (单位:元)与时间120(,t t t N ≤≤∈,单位:天)之间的函数关系式为1104r t =+, 且日销售量y (单位:箱)与时间t 之间的函数关系式为1202y t =- ①第4天的销售利润为__________元;②在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠) (*m m N ∈元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t 的增大而增大,则m 的最小值是__________． 【答案】1232 5【解析】①先求出第4天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利润；②先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出． 【详解】 ①因为()14410114r =⨯+=，()412024112y =-⨯=，所以该天的销售利润为111121232⨯=；②设捐赠后的利润为W 元，则()()11202104W y r m t t m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭， 化简可得，()2121012001202W t m t m =-+++-．令()W f t =，因为二次函数的开口向下，对称轴为210t m =+，为满足题意所以，()*2102010m f n N +≥⎧⎪>⎨⎪∈⎩，解得5m ≥． 故答案为：①1232；②5． 【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的理解和函数模型的建立，属于基础题．三、解答题15．已知函数()2.6f x cosx sin x π⎛⎫⎪⎝=⎭-g （1）求函数()f x 的最小正周期; （2）求函数()f x 在区间 ,02π⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值. 【答案】（1）π（2）最大值0．最小值32-. 【解析】（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成()sin y A x k ωϕ=++的形式，即可求出函数()f x 的最小正周期.（2）由 ,02x π⎡∈-⎤⎢⎥⎣⎦，求出72,666t x πππ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，再根据sin y t =的单调性可求出函数()f x 的最大最小值． 【详解】（1）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-2cos cos x x x =-112cos222x x -- π1sin(2)62x =--所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666t x -≤=-≤-，而sin y t =在7,62ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，而7sin sin 66ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当ππ262t x =-=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-， 当π7π266t x =-=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0．【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．16．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由. 【答案】（1）2950（2）分布列见解析，数学期望25（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.见解析【解析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， 22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为：1 21625825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．17．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥平面 ,ABC ABC V 为正三角形, 侧面11ABB A 是边长为2的正方形,D 为BC 的中点.（1）求证1://A B 平面1AC D ; （2）求二面角1C AC D --的余弦值;（3）试判断直线11A B 与平面1AC D 的位置关系,并加以证明. 【答案】（1）证明见解析（215（3）直线11A B 与平面1AC D 相交.证明见解析 【解析】（1）根据线面平行的判定定理,在面1AC D 内找一条直线平行于1A B 即可．所以连接1A C 交AC 与点E ，再连接DE ，由中位线定理可得1//DE A B ，即可得证； （2）取11B C 的中点F ，连接DF ．分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，再根据二面角的向量方法即可求出；（3）根据平面1AC D 的法向量与直线11A B 的方向向量的关系，即可判断直线11A B 与平面1AC D 的位置关系． 【详解】（1）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱．连接1A C ． 设11A C AC E =I ，则E 是1A C 的中点．连接DE ， 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B ．又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ， 所以1//A B 平面1AC D ．（2）取11B C 的中点F ，连接DF ．因为V ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥． 由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ， 又因为1BB ⊥平面ABC ， 所以DF ⊥平面ABC ，即有DFAD ⊥，DF BC ⊥．分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， 则3)A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =u u u u r ，3)DA =u u u r ，(3)CA =-u u u r ，1(0,2,0)CC =u u u u r，设平面1AC D 的法向量1111(,,)n x y z =u r， 由10DA n ⋅=u u u r u u r ，110DC n ⋅=u u u u r u u r ，得11130,20,z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令11y =，得1(2,1,0)=-n ． 设平面1AC C 的法向量2222(,,)n x y z =u u r，由20CA n ⋅=u u u r u u r ，120CC n ⋅=u u u u r u u r ，得22230,20,x z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令21z =，得2(3,0,1)n =u u r．设二面角1C ACD --的平面角为θ，则 121215|cos |||||||n n n n θ⋅==⋅u u r u u r u u r u u r 由图可得二面角1C AC D --为锐二面角， 所以二面角1C AC D --15．（3）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交． 证明：因为(1,0,3)AB =--u u u r ，11//A B AB ，且11=A B AB ， 所以11(1,0,3)A B =-u u u u r ．又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)n =-u u r ，且11120A B n ⋅=≠u u u u r u u r ，所以11A B u u u u r 与1n u r 不垂直， 因为11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理的应用，二面角的求法，以及直线与平面的位置关系判断，意在考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．18．已知椭圆22: 14x W y +=的右焦点为F ,过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆W 交于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点.（1）证明:点M 在y 轴的右侧;（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点,C D .若ODC △与CMF V 的面积相等,求直线l 的斜率k【答案】（1）证明见解析（2）2 【解析】（1）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点M 的横坐标即可证出；（2）根据线段AB 的垂直平分线求出点,C D 的坐标，即可求出ODC △的面积，再表示出CMF V 的面积，由V ODC 与V CMF 的面积相等列式，即可解出直线l 的斜率k ．【详解】（1）由题意，得F，直线(l y k x =-：（0k ≠）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=， 显然>0∆，12x x += 则点M的横坐标122M x x x +=，因为22041M x k =>+， 所以点M 在y 轴的右侧．（2）由（1）得点M的纵坐标(M M y k x ==即M ． 所以线段AB的垂直平分线方程为：1(y x k =--． 令0x =，得2(0,)41D k +；令0y =，得22(,0)41C k +． 所以V ODC的面积222127||22(41)ODC k k S k ∆⋅=⋅⋅+， V CMF的面积22213(1)||||22(41)CMF k k S k ∆+⋅=⋅⋅=+． 因为V ODC 与V CMF 的面积相等， 所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得4k =±． 所以当V ODC 与V CMF 的面积相等时，直线l的斜率k = 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．19．已知函数()21,2x f x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;（2）当1a =时,求函数()f x 的单调区间;（3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立,求b a -的最大值. 【答案】（1）10x y -+=（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞.（3）11e+ 【解析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，且(0)0f '=，分别解不等式()0f x '>以及()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；（3）由题意得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立，设()e (1)x g x a x b =-+-，用导数讨论函数的单调性，求出最小值(ln(1))0g a +≥，可得1(1)ln(1)b a a a --++≤．再设()1ln (0)h x x x x =->，求出函数()h x 的最大值，即为b a -的最大值．【详解】（1）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+， 所以(0)1f =，(0)1f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=．（2）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+． 因为(0)0f '=，且 ()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，所以由()e 10x f x x '=-+>得，0x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ，由()e 10x f x x '=-+<得，0x <所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．（3）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立．设()e (1)x g x a x b =-+-，则()e (1)x g x a '=-+．由()e (1)0x g x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）．随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增．所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-． 由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤．设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--．因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1ex >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e+∞上单调递减． 所以当1ex =时，max 11()()1e e h x h ==+． 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2e b =时，b a -有最大值为11e+． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的等价转化思想和数学运算能力，属于较难题．20．设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001?··205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.【答案】（1）{1,2,3,,100}A =L （2）证明见解析 （3）16个【解析】（1）根据题目条件，令n a n =，即可写出一个集合{1,2,3,,100}A =L ；（2）由反证法即可证明；（3）因为任意的{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉，所以集合{201,202,,205}A I L 中至多5个元素.设100100m a b -=≤，先通过判断集合A 中前100m -个元素的最大值可以推出(1100)i a i i m =-≤≤，故集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．【详解】（1）答案不唯一． 如{1,2,3,,100}A =L ；（2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈L 使得0x A ∈，令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈，由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈L ，x A ∉．（3）设集合{201,202,,205}A I L 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<L ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<L ，由（2）知，100100m a b -=≤．假设100b m >-，则1000b m -+>．因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤，又因为121001m a a a -<<<L ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤．任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-L U U ， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤．若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈．故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个．【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．。
2020年1月北京市西城区高三上学期期末数学试题(pdf版含答案)
则实数k 的取值范围为
(A)(－1,+ ∞)
(B)(－1,0]
(C)
1 4
,
(D)
1 4
,
0
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在 (1－x)5 的展开式中,x2 的系数为
.
10.已知向量a=(－4,6),b=(2,x)满足a∥b,其中x∈R,那么|b|=
18.(本小题满分13分)
已知椭圆W : x2 y2 1的右焦点为F,过点F 且斜率为k (k≠0)的直线l 与椭圆W交于A,B 两点, 4
线段AB 的中点为M .O 为坐标原点. (Ⅰ)证明:点 M 在y 轴的右侧; (Ⅱ)设线段AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点C,D.若△ODC 与△CMF 的面积相等, 求直线l的斜率k.
14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r (单
位:元)与时间t(1≤t≤20,t∈N,单位:天)之间的函数关系式为r= 1 t +10,且日销售量y (单位:箱)与 4
时间t 之间的函数关系式为y=120－2t.
① 第4天的销售利润为
元;
② 在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠 m (m ∈N* )元给 “精准扶贫”对象.
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷
高三数学
2020.1
本试卷共5页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。
第Ⅰ卷 (选择题共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
北京市西城区2021届高三第一学期期末考试数学试卷
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷 高三数学 第1页（共12页）北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷高三数学 2021.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|13}A x x =−<<，{|04}B x x =<≤，则A B =（A ）(0,3)（B ）(1,4)−（C ）(0,4]（D ）(1,4]−（2）在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)−，则z z ⋅=（A ）2（B ）2i −（C（D ）2i（3）已知()f x 为奇函数，其局部图象如图所示，那么（A ）(2)2f = （B ）(2)2f =− （C ）(2)2f >− （D ）(2)2f <−（4）已知(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，则y 的值为（A ）4（B ）5（C ）6（D ）7（5）已知双曲线22221x y a b−=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为（A）y =（B ）2y x =±（C）3y x =±（D ）12y x =±（6）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y −+=的距离的最小值为（A ）0（B ）1（C ）2 （D ）3北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷 高三数学 第2页（共12页）（7）已知函数()sin 2,[,]f x x x a b =∈，则“2b a π−≥”是“()f x 的值域为[1,1]−”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log (1)SC W N=+，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ；W 为信道带宽，单位为Hz ；SN为信噪比. 香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；当9999S N =，3000Hz W =时，最大数据传输速率记为2C ，则21C C 为 （A ）1（B ）52 （C ）154（D ）3（9）设函数()f x 和()g x 的定义域为D ，若存在非零实数c D ∈，使得()()0f c g c +=，则称函数()f x 和()g x 在D 上具有性质P .现有三组函数：①()f x x =，2()g x x = ②()2x f x −=，()e x g x =−③2()f x x =−，()2x g x =其中具有性质P 的是 （A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③（10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是 （A ）点P 可以是棱1BB 的中点 （B ）线段MP（C ）点P 的轨迹是正方形 （D ）点P轨迹的长度为北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷 高三数学 第3页（共12页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
2020届北京市西城区第四中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2020届北京市西城区第四中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．tan 690o 的值为（ ）A ．3 B ．3 C ．3- D ．3- 【答案】C【解析】试题分析：因=-=-=030tan )30720tan(690tan 3-,故应选C. 【考点】诱导公式及运用.2．设数列{a n }是等差数列，若a 3+a 4+a 5＝12，则a 1+a 2+…+a 7＝（ ） A ．14 B ．21C ．28D ．35【答案】C【解析】根据等差数列性质得到44a =，再计算12747a a a a ++⋯+=得到答案. 【详解】数列{a n }是等差数列，则345443142a a a a a ==+∴=+；1247728a a a a =⋯+=++故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用. 3．设，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 ，得成立；若 ，得【详解】 若，得 成立；反之，若，得故选：C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“”推出“”.4．定义：a b ad bc c d=-，若复数z 满足112z i i i=+-，则z 等于（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．3+iD ．3﹣i【答案】B【解析】根据定义得到1z zi i i i=+-，代入数据化简得到答案. 【详解】 根据题意知：11121z izi i i z i i ii+=+=+∴==-- 故选：B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 5．已知集合{}512,,1,1M x x x R P x x Z x ⎧⎫=-≤∈=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P I 等于（ ）A ．{}03,x x x Z <≤∈B ．{}03,x x x Z ≤≤∈ C ．{}10,x x x Z -≤≤∈ D ．{}10,x x x Z -≤<∈【答案】B【解析】解绝对值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得M P I 。
2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届北京市房山区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2,3B =，则A B =I （ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-【答案】C【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】∵集合{}12A x x =-≤≤，B ＝{0，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：C ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数=z z 的虚部为（ ）A ．13B ．3C ．13-D ．3-【答案】B【解析】利用复数的代数形式的运算法则，先求出z ，由此利用复数的定义能求出z 的虚部． 【详解】i i133z ===+,故z 的虚部为3 故选：B 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的合理运用． 3．等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（ ） A ．28 B ．21C ．14D ．7【答案】C【解析】利用等差数列下角标性质求得4a ，再利用求和公式求解 【详解】等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，则4436,2a a =∴=则74714S a == 故选：C 【点睛】本题考查等数列的前n 项公式，考查化简、计算能力，熟练运用等差数列下角标性质是关键，属于基础题． 4．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80C ．90D ．110【答案】D【解析】利用抽样比求解 【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】A【解析】将三视图还原，利用三棱锥体积公式求解【详解】三视图还原为如图所示的三棱锥：侧面SBC⊥底面ABC，且SBC∆为等腰三角形，ABC∆为直角三角形，故体积112221323V=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查三视图及锥体体积，考查空间想象能力，是基础题6．若点5π5π(cos,sin)66M在角α的终边上，则tan2α=（）A3B．3C3D．3【答案】D【解析】先求出点M的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出tanα的值,再利用二倍角公式求解【详解】5π5π(cos,sin)66M即为31,22M⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，则2333tan tan23113αα-=∴==-故选：D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题．7．已知双曲线C的方程为2214yx-=，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ的斜率的取值范围是（）A ．(2,2)-B ．11(,)22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．11(,)(,)22-∞-+∞U【答案】A【解析】利用直线PQ 的斜率与渐近线比较求解 【详解】由题双曲线的渐近线斜率为2±，当直线PQ 的斜率为(2,2)-时，满足题意，当直线PQ 的斜率(,2)(2,)-∞-+∞U 为时，交双曲线为同一支，故选：A 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查渐近线斜率，是基础题8．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r 夹角为π3”是“||a b +r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由“|a b +rr|=|a r|2+|b r|2+2a r •b =r3，即1+1+2a r •b =r 3，得2a r •b =r 1，a r •12b =r ，则cosθ112112a b a b ⋅===⨯rr r r， 则a r与b r夹角θ3π=，即“a r 与b r 夹角为3π”是“|a b +r r|=的充分必要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（ ）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分【答案】BD M垂直，取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，在正方【解析】先找到一个平面总是保持与1体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得AF⊥面DMD1，MD1⊥平面AEF即可得出．【详解】D M垂直，如图，先找到一个平面总是保持与1取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D D⊥AF，则有AF⊥面DMD1，同理MD1⊥AE，则MD1⊥平面AEF易证DM⊥AF，1又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面AEF与面BCC1B1的交线段EF．故选：B【点睛】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可【详解】由题，甲各项得分为：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184 乙各项得分为：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多故选：B【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题二、填空题11．已知两点()2,0A ，()0,2B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为_____________． 【答案】()()22112x y -+-=【解析】根据中点坐标公式求圆心为（1，1），求两点间距离公式求AB ，写出圆的标准方程即可。
北京市西城区19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
北京市西城区19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={0,2}，B={−2,−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {0}B. {1,2}C. {0,2}D. {−2,−1,0，1，2}2.在复平面内，复数z=2i1+i所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在△ABC中，a=10，B=75°，C=45°，则c等于()A. B. C. D.4.已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是()A. a2<abB. 1a >1bC. |a|<|b|D. (12)a<(12)b5.若直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [−3,−1]B. [−1,3]C. (−∞,−3]∪[1,+∞)D. [−3,1]6.设a⃗，b⃗ 是两个向量，则“|a⃗+b⃗ |>|a⃗−b⃗ |”是“a⃗⋅b⃗ >0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为()A. B. 18π C. 6π D. 3√3π8.函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D，使得f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，那么称函数f(x)为对称函数．已知函数f(x)=√2−x−k是对称函数，则实数k的取值范围是()A. [2,94)B. (−∞,94)C. (2,94)D. (−∞,94]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 在(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于______.(用数字作答)10. 已知向量a ⃗ =(4,2)，向量b ⃗ =(x,3)，且a ⃗ //b ⃗ ，则|b ⃗ |=_____．11. 已知{a n }是公差不为零的等差数列，同时a 9，a 1，a 5成等比数列，且a 1+3a 5+a 9=20，则a 13=______ ．12. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是______，侧面积为______．13. 双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为____________．14. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1=5.06x −0.15x 2和L 2=2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 已知函数f(x)=(2cos 2x −1)sin2x +12cos4x ．(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)当α∈(π2,π)时，若f(α)=√22，求α的值．16.高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展.据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次):老年人中年人青年人满意度乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344(1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率，求X的分布列和数学期望;(3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机⋅并说明理由．17.在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE>1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．(1)若AE=2，求证：AC//平面BDE；(2)若二面角A−DE−B为60°，求AE的长；(3)在(2)的条件下，求直线CD与平面BDE所成角．18.设椭圆C：x2+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．2(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．19.已知函数．(Ⅰ)当a=2时，求曲线在y=f(x)点(1,f(1))处的切线方程：(Ⅱ)若f(x)在区间[1,2]上单调递增，求a的取值范围；(Ⅲ)求f(x)在[1,e]上的最小值．20.集合A={x|−1<x<3,x∈Z}的子集有多少个？并写出所有的子集．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的交集运算，由交集的定义求解即可．解：因为A={0,2}，B={−2,−1,0，1，2}，所以A∩B={0,2}．故选C．2.答案：A解析：解：∵z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴复数z所对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：本题考查正弦定理的运用，属于基础题．先利用三角形内角和定理求出A，再利用正弦定理求解即可．解：在△ABC中，a=10，B=75°，C=45°，则A=180°−75°−45°=60°，故由正弦定理可得asinA =csinC,c=asinCsinA=10×√22√32=10√63．故选D．4.答案：D解析：解：∵a >b >0， ∴(12)a <(12)b ．故选：D ．利用指数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．5.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题，利用直线与圆相交或相切的条件求解． 解：∵直线x −y +1=0与圆(x −a)2+y 2=2有公共点 ∴圆心到直线x −y +1=0的距离为√2≤√2 ∴|a +1|≤2 ∴−3≤a ≤1故选D ．6.答案：C解析：解：若|a ⃗ +b ⃗ |>|a ⃗ −b ⃗ |，则等价为|a ⃗ +b ⃗ |2>|a ⃗ −b ⃗ |2， 即|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ >|a ⃗ |2+|b ⃗ |2−2a ⃗ ⋅b ⃗ ， 即4a ⃗ ⋅b ⃗ >0，则a ⃗ ⋅b ⃗ >0成立， 反之，也成立，即“|a ⃗ +b ⃗ |>|a ⃗ −b ⃗ |”是“a ⃗ ⋅b ⃗ >0”的充要条件， 故选：C ．根据向量数量积的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不向量数量积的应用是解决本题的关键．7.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ，由题意得2πr =6π，解得r =3，所以ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果． 解：设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ， 由题意得2πr =6π，解得r =3， ∴ℎ=√62−32=3√3，∴V 圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π． 故选A ．8.答案：A解析：本题主要考查了函数的值域，单调性，f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，{√2−a −k =−a,√2−b −k =−b，即a 和b 是关于x 的方程√2−x +x =k 在(−∞,2]内的两个不同的实数根．利用换元法，结合范围得出结论．解：函数f(x)=√2−x −k 在(−∞,2]上是减函数，故满足条件①． 又f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，∴{√2−a −k =−a,√2−b −k =−b,∴a 和b 是关于x 的方程√2−x +x =k 在(−∞,2]内的两个不同的实数根． 令t =√2−x ，则x =2−t 2，t ≥0，∴关于t 的方程t 2−t +k −2=0在[0,+∞)上有两个不同的实数根， ∴{1−4(k −2)>0k −2≥0，解得2≤k <94，即实数k 的取值范围是[2,94). 故选A ．9.答案：40解析：解：由于(1+2x)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)r，令r=2求得x2的系数等于C52×22=40，故答案为40．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10.答案：3√5解析：本题主要考查了平面向量共线的充要条件，平面向量的坐标运算，向量的模，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．由向量的坐标，结合平行向量的条件，得到x 的值，从而得到向量的模长．解：向量a⃗=(4,2)，向量b⃗ =(x,3)，且a⃗//b⃗ ，则4×3−2x=0，解得x=6，所以b⃗ =(6,3)，所以|b⃗ |=√62+32=3√5，故答案为3√5．11.答案：28解析：本题考查等差数列的通项公式的运用、等比数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．解：设{a n}的公差为d(d≠0)，由a9，a1，a5成等比数列，可得a12=a9a5，即a12=(a1+8d)(a1+4d)，化为3a1+8d=0①，由a1+3a5+a9=20，可得5a5=20，即有a1+4d=4②，由①②可得a1=−8，d=3，a n=a1+(n−1)d=−8+3(n−1)=3n−11，n∈N∗，a13=3×13−11=28．故答案为28．12.答案：12；27解析：解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP=12AD⋅AP=6，S△ABP=12AB⋅AP=6，S△CDP=12CD⋅PD=152，S△CBP=12BC⋅BP=152．∴四棱锥的侧面积S=6+6+152+152=27.四棱锥的体积V=13S正方形ABCD⋅PA=13×32×4=12．故答案为12，27．几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算体积和四个侧面的面积．本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的面积和体积计算，属于中档题．13.答案：y=±√2x解析：本题考查双曲线的渐近线方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．依据题意，求出a、c、b的值，再根据双曲线的焦点在x轴上，求出双曲线的渐近线方程．解：由2a=4，ca=√3，得a=2，c=2√3，b=2√2，所以渐近线方程为y=±√2x.故答案为y=±√2x.14.答案：45.6解析：先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售(15−x)辆，再列出总利润S的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．本题考查函数模型的构建，考查利用配方法求函数的最值，解题的关键是正确构建函数解析式．解：依题意，可设甲销售x(x≥0)辆，则乙销售(15−x)辆，∴总利润S=5.06x−0.15x2+2(15−x)=−0.15x2+3.06x+30=−0.15(x−10.2)2+45.606，根据二次函数图象和x∈N∗，可知当x=10时，获得最大利润S=−0.15×102+3.06×10+30=45.6万元．故答案为45.615.答案：解：(1)因为f(x)=(2cos2x−1)sin2x+12cos4x=1sin4x+1cos4x=√22sin(4x+π4)∴T=2π4=π2，函数的最大值为：√22．(2)∵f(x)=√22sin(4x+π4)，f(α)=√22，所以sin(4α+π4)=1，∴4α+π4=π2+2kπ，k∈Z，∴α=π16+kπ2，又∵α∈(π2, π)，∴α=916π．解析：本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，两角和的正弦函数，三角函数的周期与最值的求法，以及角的求法，考查计算能力．(1)利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求f(x)的最小正周期，利用三角函数的最值求出函数的最大值；(2)通过α∈(π2, π)，且f(α)=√22，求出α的正弦值，然后求出角即可．16.答案：解：(1)设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)=19+39100=2950．(2)由题意，X 的所有可能取值为：0,1,2.因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是1575=15，所以P(X =0)=C 2×(1−15)2=1625， P(X =1)=C 21×15×(1−15)=825，P(X =2)=C 22×(15)2=125，所以随机变量X 的分布列为：故E(X)=0×1625+1×825+2×125=25． (3)答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：52×10+12×5+11×052+12+11=11615乘坐飞机的人满意度均值为：4×10+14×5+7×04+14+7=225因为11615>225，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．解析：本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．(1)根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；(2)依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是1575=15，所以X ～B(2,15)即可求出X 的分布列和数学期望；(3)可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．17.答案：(1)证明：取AB 的中点M ，BC 的中点O ，BE 的中点N ，连接OM ，OD ，DN ，MN ，∵O ，M ，N 分别是BC ，AB ，BE 的中点， ∴OM//AC ，MN//AE ，MN =12AE =1， ∵BD =CD ，O 是BC 的中点，∴OD ⊥BC ， ∵平面BCD ⊥平面ABC ，平面BCD ∩平面ABC =BC ， ∴OD ⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ， ∴OD//AE ，∵△BCD 是等腰直角三角形，BC =2，∴OD =1， ∴OD//MN ，OD =MN ，∴四边形OMND 是平行四边形，∴DN//OM ， ∴DN//AC ，又DN ⊂平面BDE ，AC ⊄平面BDE ， ∴AC//平面BDE ．(2)解：∵△ABC 是等边三角形，∴OA ⊥BC ，以O 为原点，以OB ，OA ，OD 为坐标轴建立空间坐标系O −xyz ，如图， 则O(0,0，0)，D(0,0，1)，B(1,0，0)，设AE =m(m >0)，则E(0,√3,m)， ∴BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,m −1)， 设平面BDE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +z =0√3y +(m −1)z =0，令x =1可得m⃗⃗⃗ =(1,√3,1)，又平面ADE 的一个法向量为n ⃗ =(1,0，0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√(1−m)23+2，令√(1−m)23+2=cos60°=12，解得m =1+√6． ∴AE =1+√6．(3)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，m⃗⃗⃗ =(1,−√2,1)， ∴cos <CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√2×2=√22， ∴直线CD 与平面BDE 所成角的正弦值为√22，故直线CD 与平面BDE 所成角为45°．解析：(1)取AB 的中点M ，BC 的中点O ，BE 的中点N ，证明四边形OMND 是平行四边形得出DN//OM ，又OM//AC 即可得出DN//AC ，于是AC//平面BDE ；(2)以O 为原点建立空间坐标系，设AE =m ，求出两平面的法向量，令法向量夹角余弦值的绝对值等于12计算m 的值即可；(3)计算CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面BDE 的法向量的夹角余弦值得出所求的线面角．本题考查线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．18.答案：解：(1)c =√2−1=1，∴F(1,0)， ∵l 与x 轴垂直， ∴直线l 的方程为x =1，由{x =1x 22+y 2=1，解得{x =1y =√22或{x =1y =−√22, ∴A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22)，∴直线AM 的方程为y =−√22x +√2或y =√22x −√2；(2)当l 与x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA =∠OMB ， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y =k(x −1)，k ≠0， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1<√2，x 2<√2，则k MA +k MB =y 1x 1−2+y2x 2−2，由y 1=kx 1−k ，y 2=kx 2−k ，得k MA +k MB =2kx 1x 2−3k(x 1 +x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)，将y =k(x −1)代入x 22+y 2=1，可得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，则Δ>0，∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，∴2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k=12k 2+1(4k 3−4k −12k 3+8k 3+4k)=0， 从而k MA +k MB =0， 故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA =∠OMB ，综上，∠OMA =∠OMB ．解析：本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题． (1)先得到F 的坐标，再求出点A 的坐标，即可得解；(2)分三种情况讨论，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可证明．19.答案：解：(Ⅰ)当a =2时，，f (1)=12，f′(x )=2x −12x 2，∴f′(1)=32，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −12=32(x −1)， 即3x −2y −2=0． (Ⅱ)f′(x )=2ax−12x 2，∵f(x)在区间[1,2]上是单调递增函数， ∴f′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，∴只需{2a −1≥04a −1≥0，解得a ≥12，所以，当a ≥12时，f(x)在区间[1,2]上是单调递增函数． (Ⅲ)f′(x )=2ax−12x 2，①当a ≤0时，f′(x )<0在x ∈[1,e]上恒成立， ∴f(x)在区间[1,e]上是单调递减函数， ∴f (x )min =f (e )=a +12e．②当0<a ≤12e 时，12a ≥e ，f′(x )≤0在x ∈[1,e]上恒成立， ∴f(x)在区间[1,e]上是单调递减函数， ∴f (x )min =f (e )=a +12e ．③当12e <a <12时，1<12a <e ，令f′(x )<0，解得1<x <12a ， 令f′(x )>0，解得12a <x <e ，∴f(x)在区间(1,12a )上单调递减函数，在区间(12a ,e)上单调递增函数，．④当a≥1时，f′(x)≥0在x∈[1,e]上恒成立，2∴f(x)在区间[1,e]上是单调递增函数，∴f(x)min=f(1)=1．2综上，．解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性最值，属于较难题．(Ⅰ)利用导数求出切线斜率，即可求得切线方程;(Ⅱ)若f(x)在区间[1,2]上单调递增，则fˈ(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立，解得a≥1；2(Ⅲ)对a进行分类讨论求出函数的单调区间，即可求出最值．20.答案：8；ϕ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{1,2,3}．解析：A={0,1,2}，所以真子集共23=8个，分别是ϕ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}．。
2020届北京市西城区高三上学期期末考试数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形内角和求出角 ,再根据正弦定理即可求出边 ．
【详解】因为 ,所以根据正弦定理知, ,即 ,解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边,利用正弦定理解三角形,属于基础题．
4.设 ,且 则下列不等式中一定成立的是（）
10.已知向量 满足 ,其中 ,那么 _____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示求出 ,再根据向量模的坐标计算公式即可求出．
【详解】因为 ,所以 ,解得 ．
因此 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用,属于基础题．
11.在公差为 的等差数列 中, ,且 成等比数列,则 ______________
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的单调性可知, ,即得 ,故可知 是方程 的两个不同非负实根,由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知, ,即可得到 ,即可知 是方程 的两个不同非负实根,所以 ,解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用,意在考查学生的转化能力,属于中档题．
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在 的展开式中, 的系数为___________.
【答案】10
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项,赋值即可求出．
【详解】 展开式通项为 ,令 ,所以 的系数为 ．