统计概率高考文科复习专题终审稿)
热点探究课概率与统计中高考热点题型高考数学(文科)总复习专题讲义
概率与统计中的高考热门题型[高考导航]__________________________________1．概率与统计是高考取相对独立的一个内容，办理问题的方式、方法表现了较高的思想含量．该类问题以应用题为载体，着重考察学生的应意图识及阅读理解能力、分类议论与化归转变能力．2．概率问题的中心是概率计算，此中事件的互斥、对峙、独立是概率计算的中心．统计问题的中心是样本数据的获取及剖析方法，要点是频次散布直方图、茎叶图和样本的数字特点．统计与概率内容互浸透，背景新奇．[热门打破]__________________________________热门一统计与统计案例以实质生活中的案例为背景，经过对有关数据的统计剖析、抽象归纳，作出预计，判断．常与抽样方法、茎叶图、频次散布直方图、概率等知识交汇考察，考察学生数据办理能力．近几年出现各样食品问题，食品增添剂会惹起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为认识三高疾病能否与性别有关，医院随机对住院的60人进行了问卷检查，获取了以下的列联表：(1)请将如图的列联表增补完好；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽 9人，此中女性抽多少人？(2)为了研究三高疾病能否与性别有关，请计算出统计量 K 2的观测值k ，并说明能否能够在出错误的概率不超出的前提下以为三高疾病与性别有关.患三高疾病 不患三高疾病总计男 630女总计36下边的临界值表供参照：2 ≥k 0P(K ) k 082 (参照公式 K 2＝n （ad －bc ），此中n ＝a （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＋b ＋c ＋d)解：(1)完美增补列联表以下：患三高疾不患三高疾总计病病男 24 6 30女 12 18 30总计3624609人，则抽取比率为 91在患三高疾病人群中抽36＝4，1所以女性应当抽取12×4＝3(人)．(2)依据2×2列联表，则K2的观察值60×（24×18－6×12）2k＝＝10>7.879.30×30×36×24所以在同意出错误的概率不超出的前提下以为能否患三高疾病与性别有关．1．将抽样方法与独立性查验交汇，背景新奇，求解得要点是抓住统计图表特点，完美样本数据．2．(1)此题常有的错误是对独立性查验思想理解不深刻，作出无关错误判断．(2)进行独立性查验时，提出的假定是二者没关．【变式训练】(2015·重庆卷)跟着我国经济的发展，居民的积蓄存款逐年增加．设某地域城乡居民人民币积蓄存款(年末余额)以下表：年份时间代号t积蓄存款y(千亿元)20102011201220132014 12345 567810求对于的回归方程^^^(1)y t y＝b＋；t a(2)用所求回归方程展望该地域2015年(t＝6)的人民币积蓄存款．^^^^附：回归方程y＝bt＋a中，b＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.－1解：(1)易求t＝5(1＋2＋3＋4＋5)＝3，(2)将t＝6代入回归方程可展望该地域2015年的人民币积蓄存款为^＝×＋＝千亿元．y 1.2 6 3.6 10.8()热门二古典概型与几何概型的概率计算几何概型与古典概型的实质差别在于试验结果的无穷性，几何概型常常波及的几何胸怀有长度、面积、体积等，解决几何概型的要点是找准几何测度；古典概型是命题的要点，对于较复杂的基本领件空间，列举时要依据必定的规律进行，做到不重不漏．某商场为吸引顾客花费，推出一项优惠活动．活动规则以下：花费每满100元能够转动以下图的圆盘一次，此中O为圆心，目标有20元，10元，0元的三部分地区面积相等．假定指针停在任一地点都是等可能的．当指针停在某地区时，返相应金额的优惠券．比如：某顾客花费了218元，第一次转动获取了20元，第二次获取了10元，则其共获取了30元优惠券．顾客甲和乙都到商场进行了花费，并依据规则参加了活动．(1)若顾客甲花费了128元，求他获取的优惠券面额大于0元的概率；(2)若顾客乙花费了280元，求他总合获取的优惠券金额不低于元的概率．解：(1)设“甲获取优惠券”为事件A.由于假定指针停在任一地点都是等可能的，而题中所给的三部分地区的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元地区内的概率都1是3.顾客甲获取优惠券，是指指针停在20元或10元地区，所以甲获1 1 2得优惠券面额大于0元的概率为P(A)＝3＋3＝3.(2)设“乙获取的优惠券金额不低于 20元”为事件B.由于顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获取优惠券的金额为x元，第二次获取优惠券的金额为y元，则基本领件空间为Ω＝{(20，20)，(20，10)，(20，0)，(10，20)，(10，10)，(10，0)，(0，20)，(0，10)，(0，0)}，即Ω中含有9个基本领件，每个基1本领件发生的概率都为9.而乙获取的优惠券金额不低于20元，是指x＋y≥20，所以事件B中包括的基本领件有6个．6 2所以乙获取的优惠券金额不低于20元的概率为P(B)＝9＝3.1．此题(1)中，指针连续地变化，是几何概型，第(2)问是顾客获得优惠券的各样可能，是能够一一列举的失散问题，知足古典概型．2．题目以“市场销售手段”为背景，仔细审题，实现知识迁徙，恰入选择概型是解题的要点．【变式训练】已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地平均的正方体骰子六个面的点数分别为1，2，3，4，5先后投掷两次时第一次、第二次出现的点数，求知足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，求知足a·b<0的概率．解：(1)将一枚质地平均的骰子先后投掷两次，共有6×6＝36个基本领件．由a·b＝－1，得2x－y＝1.∴a·b＝－1包括的基本领件为(1，1)，(2，3)，(3，5)共3种情况，3 1故P(a·b＝－1)＝36＝12.(2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，则所有基本领件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6}；知足a·b<0的基本领件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6且－2x＋y<0}；画出图形如图，1正方形的面积为S正方形＝25，暗影部分的面积为S暗影＝25－2×2×4＝21，21故知足a·b<0的概率P＝25.热门三概率与统计的综合问题(满分现场)统计和概率知知趣联合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋势，概率统计初步综合解答题的主要依靠点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的要点，在此基础上掌握好样本数字特点及各种概率的计算．(经典母题)(2015·安徽卷)(此题满分12分)某公司为认识部下某部门对本公司员工的服务状况，随机接见50名员工，依据这50名员工对该部门的评分，绘制频次散布直方图(以下图)，此中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，，[80，90)，[90，100]．(1)求频次散布直方图中a的值；(2)预计该公司的员工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访员工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．规范解答：(1)由于＋a＋＋×2＋0.028)×10＝1，所以a＝分(2)由所给频次散布直方图知，50名受访员工评分不低于80的频率为＋0.018)×10＝，所以该公司员工对该部门评分不低于80的概率的预计值为分(3)受访员工中评分在[50，60)的有：50××10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访员工中评分在[40，50)的有：50××10＝2(人)，记为B1，B2.8分从这5名受访员工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．记“2人的评分都在[40，50)”为事件M，则事件M发生时，只含一个基本领件{B1，B2}11分1故所求事件的概率P(M)＝10.12分【满分规则】 1.此题的易失分点：(1)不可以利用频次散布直方图的频次求出a值．(2)求错评分落在[50，60)，[40，50)间的人数．(3)没有指出“基本领件总数”与“事件M”包括的基本领件个数，或许只指失事件个数，没有一一列举10个基本领件及事件M包含的基本领件，致使扣3分或2分．2．得分原则(1)得步骤分：如第(1)问求a，第(2)问中的频次预计概率，第(3)问中，列出基本领件并求出概率．(2)得要点分：如第(1)问中，正确求得a＝；第(3)问中列出个基本领件，错写或多写，少写均不得分．(3)得转变计算分：如第(1)问，第(2)问中的计算要正确，不然不得分；第(3)问中利用“频数、样本容量、频次之间的关系”求得各区间的人数，转变为古典概型的概率．【建立模板】第一步：由各矩形的面积之和等于1，求a的值．第二步：由样本频次散布预计概率．第三步：设出字母，列出基本领件总数及所求事件M所包括的基本领件．第四步：利用古典概型概率公式计算．第五步：反省回首，查察要点点，易错点和答题规范．【变式训练】(2016·揭阳模拟)为检查乘客的候车状况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样安分红5组，如表所示：组别候车时间(分钟)人数一[0，5)2二[5，10)6三[10，15)4四[15，20)2五[20，25]1(1)预计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(2)若从表中第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步问卷检查，求抽到的两人恰巧来自不一样组的概率．解：(1)由题表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8.8所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大概为60×15＝32(人)．(2)设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1，2.“抽到的两个人恰巧来自不一样的组”为事件A，所得基本领件共有15种，即ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12.此中事件A包括基本领件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种．8由古典概型可得P(A)＝15.1．(2015·川卷四)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们依据座位号从小到大的次序先后上车．乘客P1因身体原由没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：假如自己的座位空着，就只好坐自己的座位；假如自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的节余空位中随意选择座位．(1)若乘客P1坐到了3号座位，其余乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了此中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客P1坐到了2号座位，其余乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．解：(1)余下两种坐法以下表所示：乘客P1P2P3P4P532415座位号32541(2)若乘客P1坐到了2号座位，其余乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示：乘客P1P2P3213231234234座位号235243243253于是，所有可能的坐法共8种．P4P5 45 45 15 51 41 15 11设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本领件的个数为4，1所以P(A)＝8＝2.1所以乘客P5坐到5号座位的概率是2.2．某学生对其家属30人的饮食习惯进行了一次检查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主． )(1)依据茎叶图，帮助这位学生说明其家属30人的饮食习惯；(2)依据以上数据达成以下2×2的列联表：主食蔬菜主食肉类总计岁以下岁以上总计(3)在出错误的概率不超出1%的前提下，你可否定为其家属的饮食习惯与年纪有关，并说明原由．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）P(K2≥k0)k08解：(1)由茎叶图知，50岁以下的12人中饮食指数低于70的有4人，饮食指数高于70的有8人．50岁以上的18人中，饮食指数低于70的有16人，高于70的只有2人．在其30位家属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．(2)列2×2的列联表以下：主食蔬菜主食肉类总计50岁以下481250岁以上16218总计20103030×（8－128）2(3)由(2)知，由于K2＝12×18×20×10＝10>6.635.又P(K2≥6.635)＝0.010.∴在出错误的概率不超出1%的前提下，以为其家属的饮食习惯与年纪有关．3．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也逐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花鞭炮的天数x与雾霾天数y进行统计剖析，得出下表数据.x4578y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请依据上表供给的数据，用最小二乘法求出y对于x的线性^^^回归方程y＝bx＋a；9(3)试依据(2)求出的线性回归方程，展望燃放烟花鞭炮的天数为的雾霾天数．4．(2014·庆卷重)某央企对2015年新聘任的20名研究生进行为期100天的岗前技术培训．现抽取这20名学生某次测试成绩(单位：分)作成频次散布直方图以下：(1)求频次散布直方图中a的值；(2)求成绩落在区间[50，70)中的人数；(3)从成绩在[50，70)区间段的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60，70)内的概率．解：(1)由频次散布直方图知，组距为10，∴(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)×10＝1.1所以a＝200＝0.005.(2)由(1)知，成绩在[50，70)中的人数为(2×＋3×0.005)×10×20＝5.(3)易知成绩落在[60，70)的人数为3××10×20＝3.记成绩在[60，70)内的3人为A1，A2，A3，其余两人记为B1，B2.从[50，70)的5人中任取2人的基本领件为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}共10种结果．此中2人的成绩在[60，70)的事件为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}共3种情况．3故所求事件的概率P＝10.。
完整版)统计概率高考文科复习专题
完整版)统计概率高考文科复习专题高考文科复专题：统计与概率知识点梳理1.随机抽样简单随机抽样的特点是从总体中逐个抽取，适用于总体中个体较少的情况。
系统抽样的特点是将总体均分成几部分，按照事先确定的规则在各部分中抽取，适用于总体中个体数较多的情况。
分层抽样的特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用于总体由差异明显的几部分组成的情况。
2.常用的统计图表频率分布直方图的特点是小长方形的面积等于组距乘以频率，各小长方形的面积之和等于1，小长方形的高等于频率，所有小长方形的高的和为组距。
茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好。
3.用样本的数字特征估计总体的数字特征众数是样本数据中出现次数最多的数据，中位数是将数据按大小依次排列，处于中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数，平均数是样本数据的算术平均数。
频率分布直方图的最高小长方形底边中点的横坐标是众数，将频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标是中位数，每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和是平均数。
4.变量的相关性与最小二乘法线性回归方程相关关系包括正相关和负相关，相关系数用来衡量变量之间的相关程度。
最小二乘法是对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，得到线性回归方程y=bx+a的方法。
5.独立性检验对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表可以用K2检验来检验其独立性。
例题：某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
I）应从小学、中学、大学中分别抽取2、2、2所学校。
II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，所有可能的抽取结果为21种。
2.(2012·___为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。
下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。
文科数学专题概率与统计(学案)高考二轮复习资料含答案
文科数学专题概率与统计(学案)高考二轮复习资料含答案1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算．4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型．一、统计与统计案例1.抽样方法三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围总体中的个体数较简单随机抽样抽样过程中将总体均分成几部分，每个个体被系统抽样抽取的概率部分抽取相等将总体分成几层，分层分层抽样进行抽取2.统计图表(1)在频率分布直方图中：频率①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝；②各小矩形面积之和等于1；③中位数组距左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．(2)茎叶图当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，从总体中逐个抽取少在起始部分抽样时采按事先确定的规则在各用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样时采用简单总体由差异明显的随机抽样或系统抽样几部分组成即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．3．样本的数字特征(1)众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．(2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数与方差－1样本数据的平均数x＝(x1＋x2＋?＋xn)．n1－2－2－22方差s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋?＋(xn－x)]．n注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．4．变量间的相关关系(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系．(2)用最小二乘法求回归直线的方程^^^设线性回归方程为y＝bx＋a，则?^?b＝－?? ?x－x??^－^－?a＝y－bxni＝1nii＝1－－? ?xi－x??yi－y?＝－－?xiyi－nxyi＝1nn22i－nx?x2－i＝1.－－注意：回归直线一定经过样本的中心点(x，y)，据此性质可以解决有关的计算问题．5．回归分析n? ?xi－x??yi－y?i＝1－－r＝n，叫做相关系数．? ?xi－x?2? ?yi－y?2i＝1i＝1－n－相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低．6．独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为x1 x2 总计2y1 a c a＋c 2y2 b d b＋d 总计a＋b c＋d a＋b＋c＋d ?a＋b＋c ＋d??ad－bc?则K＝，?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?若K3.841，则有95%的把握说两个事件有关；若K6.635，则有99%的把握说两个事件有关；若K2.706，则没有充分理由认为两个事件有关. 7.随机事件的概率随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 8．古典概型①计算一次试验中基本事件的总数n；②求事件A包含的基本事件的个数m；③利用公式P(A)＝计算．9．一般地，如果事件A、B 互斥，那么事件A＋B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．－10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和A不会同时发生，但一定有一个发生，因此有222mnP(A)＝1－P(A)．11．互斥事件与对立事件的关系－对立必互斥，互斥未必对立．12．几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝考点一几何概型例1．【2021课标1，】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是d的测度. D的测度1 41C．2A．Bπ 8πD．4B．【变式探究】(2021・江苏卷)记函数f(x)＝6＋x－x的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．5 93－?－2?52由6＋x－x≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为＝.5－?－4?9【变式探究】从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，?，xn，y1，y2，?，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n2m2nB.mC.4mn2m D.nCmπ4m4m由题意知，＝，故π＝，即圆周率π的近似值为.n4nn考点二古典概型例2．(2021・全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )。
高三复习文科统计概率(概率专项完整版)练习学生版
高三复习文科统计概率（概率专项）必须掌握知识点：○1随机事件的定义；正确理解概率的定义，能理解频率与概率的联系与区别.解析：判断事件是否随机抓住不能确保发生或不发生的事件，通常未发生的不是自然科学规律的事件为随机事件，而已发生、自然科学规律、公式以及定理等确定的事件为必然事件，违背自然科学的未发生的为不可能事件；事件发生的概率通俗讲就是事件发生的可能性大小，故可能发生也可能不发生，如天气预报有雨却没下雨，某人说某事99%的概率发生却没发生等并不表示天气预报有误也不表示某人说法错误；频率是统计得来，随着试验次数不同而浮动，概率可看着是对频率的固定值估计，是一个定值，但试验次数无限增加时，频率无限趋近该事件的概率.○2掌握对立事件与互斥事件的区别与联系.解析：对立事件与互斥事件都不能同时发生，而互斥事件可以同时不发生，对立事件却必然有事件发生，故对立事件是互斥事件充分不必要条件；互斥事件与对立事件经常作为间接求解使用.○3掌握古典概型和几何概型.解析：古典概型成立的特征需两个条件，条件一是试验的结果是有限的（如抛一枚硬币出现正面、方面两种情况），条件二是试验的所有结果发生可能性相同（如抛一枚硬币出现正面、反面的概率一样），解答古典概型题计算方式为()AP A事件发生的事件总数试验所有可能发生的事件总数；几何概型其实就是一个“量比”的问题，事件发生的概率与试验“器具”的量有关，且为其“量比”（如长度比、面积比、事件比、空间比、数轴比等，典型的如等公交车、过交通岗、设靶、数轴取数、抛黄豆以等）.○4独立性检验解析：独立性检验是经常出现在大题当中，固定的考试模式以及固定的求解步骤对考生来说没有难度，需要注意的是几种求问法：（1）是否有不低于99.5%的把握认为吸烟与患肺炎相关；（2）是否能在犯错误的概率不超过0.5%前提下，认为吸烟与患肺炎有关；（3）若低于95%的把握，则认为吸烟与患肺炎无关，反之亦然，从上表统计数据是否能判断吸烟与患肺炎有关，请注明你的结论。
统计、概率-全国各地文科数学高考试题汇总 知识点总结(近5年)
全国各地文科数学（统计、概率）高考试题汇总（近5年）知识点归纳1 事件的定义：随机事件；必然事件；不可能事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3、等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件，其事件A 的概率()mP A n=4、互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生，这时P(A •B)=０）P(A+B)=P （A ）+ P(B)。
若事件A 与B 不是互斥，运用P （A+B ）=1-P （A B •）进行计算5、对立事件的概念:事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件 A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生，()()A P A p -=1 6、事件的和的意义:事件A 、B 的和记作A +B ，表示事件A 、B 至少有一个发生 当A 、B 为互斥事件时，事件A +B 是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的， 因此当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥），且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=17、相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅8、独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生K 次的概率n k k n n P P C k P --=)1()( 表示事件A在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k ．次．的概率 9、解答概率问题的三个步骤：（1）确定事件的性质：事件是等可能，互斥，独立还是重复独立事件； （2）判断事件的运算：所求事件是由哪些基本事件通过怎样运算而得；（3）运用公式计算其事件的概率：等可能事件：()mP A n=，独立事件：()()()P A B P A P B ⋅=⋅互斥事件： P （A +B ）=P （A ）+P （B ），对立事件：P （A ）=1－P （A ）2011山东18.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女。
高考总复习二轮文科数学精品课件 专题4 概率与统计 高考小题突破6 概率与统计的基本运算
=
55 × 45 × 50 × 50
11
99.5%的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关.故选A.
考点三
古典概型
例3(1)(2021全国甲,文10)将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概
率为( C )
A.0.3
B.0.5
C.0.6
D.0.8
解析 将3个1和2个0随机排成一行,有11100,00111,01110,11010,11001,
∴a=96.
5
227
96
.
规律方法1.非线性回归方程的求法
(1)根据原始数据作出散点图;
(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数;
(3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程;
(4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得到非线性回归方程.
提醒:可以建立多个函数模型时,要对每个模型进行分析比较,选择最优模
型.
2.独立性检验问题的解题步骤
(1)作出2×2列联表;
(2)计算随机变量K2的观测值k;
(3)查临界值,检验作答.
对点训练2
(1)(2023陕西汉中二模)如图所示,已知两个线性相关变量x,y的统计数据如
下:
x
y
6
6
8
5
10
3
12
2
^
其线性回归方程为 =ax+10.3,则a=( A )
A.-0.7
则甲、乙都入选的概率为
3
10
.
解析 设除甲、乙外,其余三名同学为A,B,C.
从甲、乙等5名同学中随机选3名,则所有的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),
概率与统计(文科)
第二讲 概率——古典概型与几何概型
概率知识的考查是近几年新课改后高考命题的一大热点,高 考每年在选择、填空或解答题中都有所体现,由于文科数学后续 课程不再学习概率,文科数学将重点考查概率的意义、古典概型 与几何概型的掌握和运用.在处理概率问题时主要有两种思路:正 向思路和逆向思路.正向思考可对复杂问题进行分解;逆向思考常 使一些复杂问题得到简化.要学会将实际问题转化为古典概型和
[典题例析]
(2014·广东高考)为了解 1 000 名学生的学习情况，采用系统抽
样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的间隔为( )
A．50
B．40
C．25
D．20
解析：由1 40000＝25，可得分段的间隔为 25.故选 C.
2．(人教 B 版教材习题改编)某工厂平均每天生产某种机器零件 大约 10 000 件，要求产品检验员每天抽取 50 件零件，检查 其质量状况，采用系统抽样方法抽取，若抽取的第一组中的 号码为 0010，则第三组抽取的号码为___0_4_1_0__．
几何概型来解决.
古典概型
基础梳理
1. 基本事件
(1) 基本事件的定义:
(2) 一次试验中可能出现的试验结果称为一个基本事件.所有的基本事件都 有有限个,而且是试验中不能再分的最简单的随机事件.
(3)(2) 基本事件的特点:
(4)① 任何两个基本事件互是斥的;
(5)② 任何事件都可以表示成 基本事的件和.
73 58 07 44 39 52 38 79,33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 解析：由随机数表，可以看出前 4 个样本的个体的编号是 331,572,455,068.于是，第 4 个样本个体的编号是 068.
高三文科数统计概率归纳总结（超详细）（精华版）
统计概率考点总结【考点一】分层抽样01，交通治理部门为明白机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情形，对甲，乙，丙，丁四个社N ，其中甲社区有驾驶员区做分层抽样调查；假设四个社区驾驶员的总人数为96 人；如在甲，乙，N 丙，丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，就这四个社区驾驶员的总人数为（）A ，101 B，808 C，1212 D ，202102，某个年级有男生560 人，女生420 人，用分层抽样的方法从该年级全体同学中抽取一个容量为280 的样本，就此样本中男生人数为.03，一支田径运动队有男运动员56 人，女运动员42 人；现用分层抽样的方法抽取如干人，如抽取的男运动员有8 人，就抽取的女运动员有人；04，某单位有840 名职工, 现采纳系统抽样方法抽取42 人做问卷调查, 将840 人按1, 2, , 840 随机,编号, 就抽取的42 人中, 编号落入区间[481, 720] 的人数为（）A ．11B ．12 C．13 D ．1405，将参与夏令营的600 名同学编号为：001，002，600，采纳系统抽样方法抽取一个容量为50 的样本，且随机抽得的号码为003．这600 名同学分住在三个营区，从001 到300 在第Ⅰ营区，从301 到495 住在第Ⅱ营区，从496 到600 在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A ．26, B．25，17，8 C．25，16，9 D ．24，17，916, 8【考点二】频率分布直方图（估量各种特点数据）01，从某小区抽取100 户居民进行月用电量调查, 发觉其用电量都在50 到350 度之间, 频率分布直方图所示.x 的值为;(I) 直方图中(II) 在这些用户中, 用电量落在区间100,250 内的户数为.02，下图是样本容量为200 的频率分布直方图；依据样本的频率分布直方图估量，样本数据落在[6 ，10]内的频数为，数据落在（2，10）内的概率约为03，有一个容量为200 的样本，其频率分布直方图如下列图，依据样本的频率分布直方图估量，样本数据落在区间10,12 内的频数为A ．18B ．36 C．54 D ．7204，如上题的频率分布直方图，估量该组试验数据的众数为，中位数为，平均数为【考点三】数据特点01，抽样统计甲，乙两位设计运动员的 5 次训练成果( 单位: 环), 结果如下:运动员甲乙第 1 次8789第 2 次9190第 3 次9091第 4 次8988第 5 次9392就成果较为稳固( 方差较小) 的那位运动员成果的方差为.02，某单位200 名职工的年龄分布情形如图2，现要从中抽取40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200 编号，并按编号次序平均分为40 组（1－5 号，6－10 号，196－200 号）.如第5 组抽出的号码为22，就第8 组抽出的号码应是；如用分层抽样方法，就40 岁以下年龄段应抽取人.03，在某次测量中得到的 A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.如 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得数据，就A，B 两样本的以下数字特点对应相同的是(A) 众数(B) 平均数(C)中位数(D) 标准差04，总体由编号为,19,2的020 个个体组成；利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随01,02,机数表第 1 行第5 列和第6 列数字开头由左到右依次选取两个数字，就选出的第 5 个个体编号为A ．08B ．07 C．02 D．0105，容量为20 的样本数据，分组后的频数如下表就样本数据落在区间[10,40] 的频率为A B C D06，小波一星期的总开支分布图如图1 所示，一星期的食品开支如图2 所示，就小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为％ ％ ％ D. 不能确定07，对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），就该样本的中位数，众数，极差分别是（ ）A ．46,45,56B ． 46,45,53C ． 47,45,56D ．45,47,5308，考察某校各班参与课外书法小组人数, 在全校随机抽取 5 个班级 , 把每个班级参与该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为 7, 样本方差为 4, 且样本数据相互不相同 , 就样本数据中的最大值为【考点四】求回来直线，相关系数，相关指数 依据一组样本数据 （x i ， 01，设某高校的女生体重y （单位： kg ）与身高 x （单位： cm ）具有线性相关关系， y y i ）（i=1 ，2， ， n ），用最小二乘法建立的回来方程为 ，就以下结论中不正确选项A.y 与 x 具有正的线性相关关系 x ， ）y B. 回来直线过样本点的中心（ C.如该高校某女生身高增加 1cm ，就其体重约增加D.如该高校某女生身高为170cm ，就可肯定其体重必为x, y 有观测数据理力争（ x 1 ， y 1 ）（ i=1,2, 02，对变量 ，10），得散点图如下左图；对变量 u ，v 有观测数据（ u 1 ， v 1 ）（ i=1,2, ， 10） ,得散点图如下右图 . 由这两个散点图可以判定； （ A ）变量 与 正相关， 与 正相关 x y u v （ B ）变量 与 正相关， 与 负相关 x y u v （ C ）变量 与 负相关， 与 正相关 x y u v （ D ）变量 与 负相关， 与 负相关x y u vx 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过03，设（x1，y1），（x2，y2），，（x n，y n）是变量最小二乘法得到的线性回来直线（如图），以下结论中正确选项x 和y 的相关系数为直线l 的斜率A ．x 和y 的相关系数在B ．0 到1 之间C．当n 为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数肯定相同D ．直线l 过点( x, y)x1，y1），（x2，y2），，（x n，y n）（n≥2，x1,x2, ,x n 不全相等）的散点图中，如所04，在一组样本数据（1有样本点（x i，y i）( i=1,2 ,, n) 都在直线y= x+1 上，就这组样本数据的样本相关系数为2（C）12（A ）－1 （B）0 （D）105，如表供应了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x ( 吨) 与相应的生产能耗y ( 吨标准煤) 的几组对比数据；请依据表格供应的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回来方程为：ny xx i y i nx y ^b^，a^b x ，i 1y343546) (n22x i nxi 106，某产品的广告费用x 与销售额广告费用y 的统计数据如下表x(万元) 4235销售额y(万元) 49 26 39 54 依据上表可得回来方程^y＝b^x＋a中的b^^，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为()A ．万元B．万元C．万元D．万元07，某地2021 年其次季各月平均气温x （℃）与某户用水量y （吨）y 关于月平均如下表，依据表中数据，用最小二乘法求得用水量气温x 的线性回来方程是A . y.B. y.x C. y.x D . y.5x x08，（ 2021 年全国 I 18 题）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需明白年宣扬费 x(单位：千元 )对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元 )的影响．对近 8 年的年宣扬费 x i 和年销售量 y i (i ＝ 1,2， ， 8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． （ 1）依据散点图判定， y ＝a ＋ bx 与 y ＝ c ＋ d x 哪一个相宜作为年销售量 y 关于年宣扬费 x 的回来方程类型？ (给出判定即 可，不必说明理由 )（ 2）依据 (1) 的判定结果及表中数据， 建立 y 关于 x 的回来方程； （ 3）已知这种产品的年利润z 与 x ， y 的关系为 z ＝ － x.依据 (2) 的结果回答以下问题：①年宣扬费 x ＝ 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣扬费 x 为何值时，年利润的预报值最大？888822( x ix)( w iw)(w iw)( y iy)( x ix)( y i y)x y wi 1i 1i 1i 15631 46981 附： （ 1）在下 表中 w i ＝ x i ， w ＝w i8 i1（ 2）对于一组数据 (u 1， v 1)， (u 2，v 2)， n， (u n ， v n )，其回来直线 v ＝ α＋ βu 的斜率和截距的最小二乘法 ( u iu)( v i v) ^ ，α＝ v －β^运算公式分别为u i 1n2(u iu)i 1【考点五】独立性检验01，通过随机询问 110 名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 40 20 60女 20 30 50总计6050 110爱好 不爱好 总计22n c 2ad d k)bc a 110 40 30 20 20由 算得，．22KK a b P(Kc b d60 50 60 500． 050 0． 010 0． 001 3． 8416． 63510． 828k参照附表，得到的正确结论是 A ．再犯错误的概率不超过 0．1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B ．再犯错误的概率不超过0．1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【考点六】古典概型——列举法（ 6 选 3， 5 选 3）1 14, 就 n01，从 n 个正整1,2, n 中任意取出两个不同的数 5 的概率为, 如取出的两数之和等于 m , n ( m 7 , n 9 ) 可以任意选取 , 就 m ，n 都取到奇数的概02，现在某类病毒记作X m Y n , 其中正整数 率为 .03，从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0 的概率是4 91 3291 9A.B.C.D.22x y 3的概率是 ( )04，某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，就椭圆 ＋ b ＝ 1 的离心率 e> 2 2a 21 51 1 A ．18B ． 36C ． 6D ． 305，一袋中装有 10 个球 , 其中 3 个黑球 , 7 个白球 , 先后两次从袋中各取一球 (不放回 ). 就其次次取出的是黑球的概率是;已知第一次取出的是黑球 ,就其次次取出的仍是黑球的概率是.06，从装有1A.103 个红球，2 个白球的袋中任取 3 个球，就所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是()339D.10B.10C.507，从长度分别为2，3，4，5 的四条线段中任意取出三条，就以这三条线段为边可以构成三角形的概率是【考点七】几何概型（显性，隐性）1 2，01，小波通过做嬉戏的方式来确定周末活动，他随机的往单位圆内投掷一点，如此点到圆心的距离大于14就周末去看电影；如此点到圆心的距离小于，就去打篮球；否就，在家看书. 就小波周末不在家看书的概率为.a, 就时间“3a 10 ”发生的概率为02，利用运算机产生0~1 之间的匀称随机数03，在长为12cm 的线段AB 上任取一点 C.现作一矩形，令边长分别等于线段AC ，CB 的长，就该矩形面32cm2 的概率为积小于1 6132345(A) (B) (C) (D)1x , 使得x 1 x 2 1 成立的概率为3,304，在区间上随机取一个数3 05，如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA，OB 为直径作两个半圆. 在扇形A ．OAB 内随机取一点，就此点取自阴影部分的概率是B．C． D ．2π121π2π1π1RT BAC 中， 06，在 A， AB = 1 ， BC = 2211 2D ，就 ΔABD 的面积比 ΔABC 的面积的（ 1）在 BC 上取一点 仍大的概率为 211 2BC 交于点 D ，就 ΔABD 的面积比 ΔABC 的面积的（ 2）过 A 作射线与 仍大的概率为 314A ，B ，C ，就 ΔABC 为锐角三角形的概率为 07，在一个圆上任取三点答案：有注明讲的题目为下次上课必讲对象 【考点一】 5(讲) 【考点二】 4(讲) 702. 643. B 【考点三】 1. 22. 37, 203. D4. D5. B6. C7. A8. 10 【考点四】1. D 8( 讲)2. C3. D4. D5.6. B7 .D【考点五】 1. C 20 633 10 2 9【考点六】 1. 82.4. C5.7.13 16 2 3【考点七】1. 4 讲 6 讲7 讲2. 5. A。
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统计概率高考文科复习
专题
文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
高考文科复习专题——概率
知识点梳理
1．随机抽样
(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少．
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范
围：总体中的个体数较多．
(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几
部分组成．
2．常用的统计图表
(1)频率分布直方图①小长方形的面积＝组距×频率
组距
＝频率；
②各小长方形的面积之和等于1；
③小长方形的高＝频率
组距
，所有小长方形的高的和为
1
组距
.
(2)茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．3．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
(2)方差：s 2＝1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2
]．
标准差：
s ＝
1n
[x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2
].
4． 变量的相关性与最小二乘法
(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．
(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求
Q ＝ i ＝1
n
(y i －a －bx i )2
最小时，得到线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
的方法叫做最小二乘法．
5． 独立性检验
对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是：
则K 2＝nad －bc
2
a ＋bc ＋da ＋c
b ＋d
(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量).
1.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率.
2.一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人。
现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人。
3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．
4.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
5.乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。
每次发球，胜方得1分，负方得0分。
设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。
甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率.
6.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投
球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为1
3
，乙每次投篮投中的概率为
1
2
，且各次
投篮互不影响.
（Ⅰ）求乙获胜的概率；
（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
7.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
（1）列出所有可能的抽取结果；
（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。
8.若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过
．．．1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品。
在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品。
计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）, 将所得数据分组，得到如下频率分布表：
（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填完整；
（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率；
（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。
据此估算这批产品中的合格品的件数.
9．(2012·辽宁)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别
有关？
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体
育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附：
10．甲、乙两位运动员在5
分别为x甲，x乙，则下列判断正确的是
( )
A.x甲>x乙；甲比乙成绩稳定
B.x甲>x乙；乙比甲成绩稳定
C.x甲<x乙；甲比乙成绩稳定
D.x甲<x乙；乙比甲成绩稳定
11. （15年广东文科）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)
160,180，[)
180,200，[)
200,220，[)
220,240，[)
240,260，[)
260,280，[]
280,300分组的频率分布直方图如图．
()1求直方图中x的值；
()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)
220,240，[)
240,260，[)
260,280，[]
280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)
220,240的用户中应抽取多少户？
0.0125 0.011 0.0095
x 0.005
0.0025 0.002。