高三第一轮复习集合讲义
学生： 科目： 数学 第 阶段第 次课 教师：课 题集合教学目标 1、集合的概念、性质 2、集合的分类、运算 3、集合的表示方法重点、难点重点：集合的分类、运算、性质 难点：集合的运算、性质教学内容 集合一、集合的概念1、集合的概念①集合：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C …表示②元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
元素用小写的拉丁字母a,b,c …表示。
注：集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 5、集合的表示方法①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）} 含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}③文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 6、集合的分类：a:以元素的个数分类：①有限集：含有有限个元素的集合 ②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x b:以元素的种类分：点集，数集，等二、子集 全集 补集（集合与集合的关系）1.子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 记作:A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A 注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2.集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3.真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4..人为规定：空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A （在考虑集合问题时千万不能忘记空集这个特殊集合） 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆5.含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为22-n6.易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3} ②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}7、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示8. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作AC S ，即CSA=},|{A x S x x ∉∈且 2、性质：CS （CSA ）=A ，CSS=φ，CS φ=S典型例题一、判断下列语句是否正确1）大于5的自然数集可以构成一个集合。
正确{}5>∈x Nx2）由1，2，3，2，1构成一个集合，这个集合共有5个元素。
错误 3）所有的偶数构成的集合是无限集。
正确4）集合{}{}b a c B c b a A ,,,,,==则集合A 和集合B 是两个不同的集合。
错误 二、用符号∈或∉填空。
1）N __0 2）Z _____14.3 3）Q ______π4）若{}x x x A 22==，则A _____2- 5）若{}0322=--=x x x B ，则B _____3 三、用适当的方法表示下列集合 1）一次函数12+=x y 与421+-=x y 的交点组成的集合。
⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛517,56 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛517,56与⎭⎬⎫⎩⎨⎧517,56区别是什么？ 2）绝对值等于3的全体实数构成的集合。
{}3,3- 3）大于0的偶数。
{}*,2N n n x x ∈={},...8,6,4,2四、用适当的符号填空∈⊆⊂1）{}2__1,2,3 2）{}__,a a b 3）{}{}_____,,a a b c 4）{}__0∅ 5）{}{}1,4,7____7,1,4 6）{}0,1____N 7）{}2____1x R x ∅∈=- 五、已知集合{}2,0,1A =-，那么A 的非空真子集有_________个。
{}{}{}{}{}{}20120211,0Φ---解：A 的非空真子集指的是，除A 集合本身与后所有子集 含有1个元素的 含有2个元素的，，六、求下列四个集合间的关系，并用维恩图表示。
U A C{}{}{}{}A x x B x x C x x D x x ====是平行四边形，是菱形，是矩形，是正方形⊂⊂⊂⋂解：B A,C A,D A,D=B C七、已知{}{}{}1,2,3,4,,10,21234U A B === ，4，6，8，10，，，，，求()(),U U A B C A C B ⋂⋂。
{}{}{}()(){}24135795678910579U U U U A B A B A B ⋂===∴⋂=解：， C ，，，， C ，，，，，C C ，， 能力提升1）集合(){}N y x y x y x A ∈=+=,,72,，用列举法表示集合A 。
,005322x y N x y N N∈∴≥≥∉∈∴ 解： 当x=1 y=3 当x=3 y=2 x=2 y=x=4 y=x=5 y=1{（1,3）,(3,2),(5,1)}2）集合{}0122=++=x ax x A 中只有一个元素，求a 的值。
21221044a 1=0 a=1x ≠++=∆=-⨯⨯∴解：当a=0 方程：2x+1=0 x=-合题意当a 0 ax 当3）用描述法可将集合{} ,11,9,7,5,3,1---表示成________________________。
n+1{x x n *}N =∈解：（-1）（2-1）,n4）、若集合X 满足{}{}0121012X ⊆⊆--，，，，，，则X 的个数有几个？ {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}0101320110120101232101220112010132102X --------解：中至少要含有，两个元素。
比，多一个元素的有个，，，，，，比，多个人元素的有个，，，，，，，，，比，多个元素的，，，1， 5）、已知集合{}{}{}24,21,,5,1,9,9A a a B a a A B =--=--⋂=，试求实数a 。
{9}9B A∴∴∴⋂⋂=∴∈ 解：对于集合A 来讲（1）令2a-1=9a=5A={-4,9,25} B={0,-4,9}A B={-4，9}与已知不符。
a=5舍去A2(2)9333{4,5,9}a a a a A ===-==-令或时， B={-2，-2，9} 不符合集合的互异性，a=3舍去A B={9}3{4,4,8,7,9}a A B ⋂∴=-∴⋃=---（3）当a=-3A={-4,-7,9} B={-8,4,9} 与相符 6）、已知集合(){}2210,,A x x p x p x R =+++=∈，且A R +⋂=∅，求实数p 的取值范围。
222(2)x 1041104p 0 -4p 0A R p φφφ+⋂=+++=∴∆-⨯⨯+∴ 解：若 等价于A= 或方程x 有两个非正根 若A=则=（p+2） p21212(2)x 100p 0p 4x x p 20p x x 10p -4p 0p 2p 0p p +++=∆≥⇒≥≤⎧⎪+=--⎨⎪⋅=⎩≤≥⎧⎨-⎩∴≥∞ （2）方程x 有两个非正根或 -2或 解得 综上的取值范围（-4，+）注意：A R +⋂=∅的条件之一就是A =∅，这是十分容易遗漏的，另外对(){}2210,,A x x p x p x R=+++=∈的正确理解应是二次方程()2210xp x +++=的根组成的集合。
那么应该有三种情况：两个不等实根、两个相等实根、无实根。
而无实根就是使得A 为空集的情况。
课后作业1．已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（ ）A ．1B ．—1C ．1或—1D ．1或—1或02．设集合{}21<≤-=x x M ，{}0≤-=k x x N ，若M N M = ，则k 的取值范围（ ） （A ）(1,2)- （B ）[2,)+∞ （C ）(2,)+∞ (D)]2,1[-3．如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A 、 ()M P S B 、 ()M P S C 、 ()u M P C S D 、 ()u M P C S4．设{}022=+-=q px x x A ，{}05)2(62=++++=q x p x x B ，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21B A ，则=B A （ ）（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-4,31,21 （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-4,21 （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧31,21 (D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧215．函数22232x y x x -=--的定义域为（ ）A 、(],2-∞B 、(],1-∞C 、11,,222⎛⎫⎛⎤-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D 、11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6. 设{}{}I a A a a =-=-+241222，，，，，若{}1I C A =-，则a=__________。
2024届高三地理一轮复习讲义+第一部分++地球与地图
一轮复习第一部分地球与地图第一节地球与地球仪一、地球的大小和形状地球赤道半径大于极半径，其形状特点是：赤道略鼓、两极稍扁的不规则球体。
二、经纬度和经纬线1.纬线和纬度地球仪上同赤道平行的圆圈，表示东西方向，长度不等。
自赤道向北向南各分90°，向北度数增大为北纬度，向南度数增大为南纬度。
北纬用N表示，南纬用S表示。
南、北半球的分界线是赤道（0°）。
2.经线和经度连接南北两极的垂直于纬线的弧线，形状是半圆，指示南北方向，长度相等。
自本初子午线向东向西各分180°，东经用E表示，西经用W表示，东经度的度数向东增大，西经度的度数向西增加。
东、西半球的分界线是20°W和160°E组成的经线圈，东半球为20°W-0°-160°E，西半球为160°E-180°-20°W。
三经纬网1.概念：在地球仪上，经线和纬线相互交织而成的网格。
2.应用：（1）定位置①确定具体经纬度位置：书写地理坐标时应将经纬度用小括号括起来，如（25°W，55°N）。
②确定区域位置：根据经纬网确定所在的地形区、气候区、自然带、大洲和大洋等区域。
（2）定方向①以极点为中心的经纬网看自转方向，定南北（北顺南逆）；确定南北半球，定东西。
左图，地球自转方向为顺时针，判断为南半球，D在E的正东方，C在E的西北方。
右图，南半球，自转方向为顺时针，B在A的正东方向，C在B的正南方，C在A的东南方。
②方格状经纬网A 确定南北方向分别在南、北半球的两点，北半球的点在北，南半球的点在南；同在北半球，纬度值大者在北；同在南半球，纬度值大者在南。
B 确定东西方向同在东经度，数值大的在东；同在西经度，数值大的在西；分别在东经度、西经度的两点：两者之和<180°，东经度在东，西经度在西；两者之和>180°，东经度在西，西经度在东；图中，A地位于B地的东北方向，C地位于D地的西北方向。
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第1章集合与常用逻辑用语 第1节集合
B.{1,2}
C.{1,4}
D.{-1,4}
解析 B={x|0≤x≤2},则A∩B={1,2},故选B.
10.(2022·新高考Ⅰ,5)若集合 M={x|√<4},N={x|3x≥1},则 M∩N=( D )
A.{x|0≤x<2}
C.{x|3≤x<16}
B. x
1
D.
1
3
≤x<2
A.(-2,-1]∪[1,+∞)
B.(-2,-1]∪(1,+∞)
C.(-2,-1)∪[1,+∞)
D.(-2,-1)∪(1,+∞)
解析 因为A={x|y=ln(x+2)}={x|x>-2},B={y|y=sin x}={y|-1≤y≤1},则
∁AB=(-2,-1)∪(1,+∞),故选D.
[对点训练2]已知集合A={x|x2-3x-10<0},B={x =
A∪B=A,故选B.
7.(湘教版必修第一册习题1.1第15题改编)已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},
且A∩B=⌀,则实数a的取值范围是 (-∞,1] .
解析 在数轴上标出集合A,B的取值范围,当a≤1时,A∩B=⌀,所以实数a的取
值范围是(-∞,1].
8.(湘教版必修第一册复习题一第18题)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},
自然语言
符号语言
把所有既属于集合A又属
交集 于集合B的元素组成的集 A∩B={x|x∈A,且x∈B}
合
把集合A,B中的元素放在
并集
一起组成的集合
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
高中数学一轮复习课件：集合课件(共31PPT)
A.{2}
B.{2，3}
C.{3，4}
D.{2，3，4}
索引
5.设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)
＝( B)
A.{3}
B.{1，6}
C.{5，6}
D.{1，3}
索引
6.若集合A，B，U满足A B U，则U＝( B )
A.A∪(∁UB)
B.B∪(∁UA)
解 ∵B⊆A， ∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；
2m－1≥m＋1， 若 B≠∅，则m＋1≥－2， 解得 2≤m≤3.
2m－1≤5， 故实数m的取值范围为(－∞，3].
索引
1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为 元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn 图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验 证，否则易增解或漏解.
又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，
所以－2≤x≤4，则B＝[－2，4]； 因为xx－ ＋45≤0，所以－5＜x≤4，则 C＝(－5，4]， 所以A⊆B，A⊆C，B⊆C.故选D.
索引
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m
的取值范围为__(－___∞__，__3_]__.
索引
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( × ) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( × ) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.( × ) (4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ )
集合(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)
集合
的元素,同时集合B的任何一个元素都是 A=B
相等
集合A的元素,那么集合A与集合B相等
Venn图
考点知识梳理
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
Venn图
符号
语言
A∪B={x|x∈A,或x∈B} A∩B={x|x∈A,且x∈B}
∁UA=
{x|x∈U,且x∉A}
考向典题讲解
【对点训练1】定义集合 + = { + | ∈A且 ∈ .已知集合 = 2,4,6 ， = −1,1 ，则 + 中元
素的个数为（ C ）
A．6
B．5
C．4
D．7
【解题总结】
1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.
2、描述法，注意代表元素.
理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足 ∪ = ， ∩ = ∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个
元素，则称 , 为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（
A． = < 0 , = > 0 是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则 < ，
则 = ∈ | ≤ , = ∈ ≥ ，而(, )内也有有理数，
则 ∪ ≠ ，故C错误；
对于D，若 = ∈ | < 2 ， = { ∈ | ≥ 2|，
则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，
A．1
B．2
2023届高考数学一轮复习讲义：第1讲 集合的概念与运算
第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)真子集 集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中集合 相等集合A ，B 中元素相同A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝A ∩B ＝∁U A ＝➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞ B ．[)1,2 C ．()1,2D ．[]1,22．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－23．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．24．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)[举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1]5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．64．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,95．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5B ．6C ．10D ．152.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75 D ．最多人数是80[举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．302．[2021·四川成都联考]已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B 1，B 2，B 3，…，B k ，k ∈N *.记b i 为集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中的最大元素，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝( )A ．45B ．105C ．150D ．2103．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M ，N 都是非空集合U 的子集，令集合S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}，下列说法正确的是( )A ．若S ＝N ，则M ＝∅B ．若S ＝∅，则M ＝NC ．若S ⊆M ，则M ⊆ND ．∃M ，N ，使得S ＝(∁U M )∪(∁U N )4．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．235．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .求集合A .第1讲 集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合 相等集合A ，B 中元素相同 A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝ {x |x ∈A 或x∈B }A ∩B ＝ {x |x ∈A 且x ∈B }∁U A ＝ {x |x ∈U 且 x ∉A }➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[解析] (1)将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.(2)因为4∈A ，即4∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4.若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1.故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,3}， 所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6. 综上所述，a 的取值集合为{4}． [答案] (1)A (2){4} [举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,2【答案】D【解析】因为2A ∉，所以()()2220a a --≥，解得12a ≤≤．故选：D ．2．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．2解析：选BD.因为集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，－2n ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝4－4m ＝0，n ＝－－22m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝12或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，所以m ＋n ＝12或m ＋n ＝2.故选BD.4．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】当2x =±时，y ＝1；当1x =±时，y ＝0；当x ＝3时，2log 3y =．故集合B 共有3个元素．故选：B.5．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】 (1)因为M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，所以N ＝∁R M ，所以M ∪(∁R N )＝M .故选B.(2)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为B ⊆A ，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1. 【答案】 (1)B (2)C [举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题可知{}1,0,1A =-，所有{}0,1A B =，所有其子集分别是{}{}{},1,0,0,1∅，所有共有4个子集，故选：C2．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 求解一元二次方程，得A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R }＝{1,2}，易知B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}．因为A ⊆C ⊆B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.3．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=【答案】A 【解析】UN 表示集合N 的补集，因为()U M N ⊆，所以M N ⋂=∅．故选：A4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1][答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，故A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}．因为A ∩B 只有4个子集，所以A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1,2}，所以0<a ≤1，故选D.5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：由题易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ， 所以N ⊆M ， 所以N ＝∅或N ＝M ， 所以a ＝0或a ＝±1. 答案：0或1或－1➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)【解析】 (1)方法一：由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B ，所以2∈A ∪B ，所以2∉∁U (A ∪B )，故排除B ，D ；又0∈A ，所以0∈A ∪B ，所以0∉∁U (A ∪B )，故排除C ，故选A.(2)由x 2－2x －8≤0，得－2≤x ≤4，所以N ＝{x |－2≤x ≤4}，则M ∪N ＝{x |－3≤x ≤4}，A 错误；M ∩N ＝{x |－2≤x <4}，B 正确；由于∁U M ＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C 正确；由于∁U N ＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M ∩(∁U N )＝[－3，－2)，D 错误．故选BC.【答案】 (1)A (2)BC2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 【答案】 (1)B (2)D [举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--【答案】D 【解析】因为30311x x x +<⇒-<<-，所以{}2,1,0B =--，而{3,2,1,0,1}A =---， 所以A B ={2,1,0}--，故选：D2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]解析：选C 因为A ∩B ≠∅，所以结合数轴可知实数a 的取值范围是a <3，故选C. 3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C.由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C.4．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,9【答案】B【解析】由图可知，图中阴影部分表示()R A B ⋂，由214480x x -+≤，得68x ≤≤， 所以{}68B x x =≤≤，所以{R 6B x x =<或}8x >，因为{}1,3,5,6,7,8,9A =， 所以(){}R1,3,5,9AB =，故选：B5．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =.故选：C.6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞D ．(1，＋∞)[答案] B [解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知，若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B. 7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A 【解析】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5 B ．6C ．10D ．15【答案】A 【解析】解：由题意，集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆有{}{}125,1,2,3,4,6A A ==；{}{}121,4,2,3,5,6A A ==；{}{}123,4,1,2,5,6A A ==；{}{}124,5,1,2,3,6A A ==；{}{}124,6,1,2,3,5A A ==，共5种，故选：A.2.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．[解析] (1)答案不唯一，合理即可．示例： 对于解析式y ＝x ＋1，因为A 0＝{x |0<x <1}，所以A 1＝{x |1<x <2}， A 2＝{x |2<x <3}，…，显然符合A n ∩A n －1＝∅.故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y ＝x ＋1. (2)对于①，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |x >1}，A 2＝{x |0<x <1}，…， 依次循环下去，符合A n ∩A n －1＝∅.对于②，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |1<x <2}，A 2＝{x |2<x <5}，A 3＝{x |5<x <26}，…，根据函数y ＝x 2＋1的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合A n ∩A n －1＝∅.对于③，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |2<x <3}，A 2＝{x |1<x <2}，A 3＝{x |1<x <2}， 不符合A n ∩A n －1＝∅.所以具有性质“∅”的函数的序号是①②. [答案] (1)y ＝x ＋1 (2)①②3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75D ．最多人数是80解析：选B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ，其中带感冒药的人组成集合A ，带胃药的人组成集合B .设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ，则0≤x ≤20.设以上两种药都带的人数为y .由图可知，x ＋card(A )＋card(B )－y ＝100.∴x ＋75＋80－y ＝100，∴y ＝55＋x .∵0≤x ≤20，∴55≤y ≤75，故最少人数是55. [举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，中元素的个数为则A BA．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．2．[2021·四川成都联考]已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，…，B k，k∈N*.记b i为集合B i(i＝1,2,3，…，k)中的最大元素，则b1＋b2＋b3＋…＋b k＝()A．45 B．105C．150 D．210[答案]B[解析]本题考查集合的新定义问题．集合A的含有3个元素的子集共有C36＝20个，所以k＝20.在集合B i(i＝1,2,3，…，k)中，最大元素为3的集合有C22＝1个；最大元素为4的集合有C23＝3个；最大元素为5的集合有C24＝6个；最大元素为6的集合有C25＝10个，所以b1＋b2＋b3＋…＋b k＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.3．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是()A．若S＝N，则M＝∅B．若S＝∅，则M＝NC．若S⊆M，则M⊆ND．∃M，N，使得S＝(∁U M)∪(∁U N)[答案] ABD [解析]本题考查Venn 图．用Venn 图表示，集合S 为如图1中的阴影部分，对于A 选项，若S ＝N ，利用S 的Venn 图观察，则有M ∩N ＝∅，M ＝∅，故A 选项正确；对于B 选项，若S ＝∅，则M ＝N ，故B 选项正确；对于C 选项，反例：如图集合S 为如图2中的阴影部分，N ⊆M ，故C 选项错误；对于D 选项，例如U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{4}，S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}＝{1,2,3,4}＝U ，而(∁U M )∪(∁U N )＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S ，故D 选项正确，故选ABD.图1 图24．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．23解析：选D ∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A ，B ，C 三个集合，故选D.5．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________． 解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4.若③正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4.若④正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2.所以符合条件的数组共6个． 答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 66．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.解：假设a1∈A，则a2∈A.又若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．。
高考数学一轮复习-集合课件
命题进行否定.
1.命题真假的判断是高 考每年必考的内容.
2.全称命题与特称命题 的否定也是高考的一 个热点.
3.高考也有可能涉及利 用命题的真假求参数 的取值范围的题目.
知识点
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1.了解“若p，则q”形式 的命题及其逆命题、 1.充分必要条件
充分条件、 否命题与逆否命题，
的判断为高考
本题中集合P、Q的元素是向量，求P∩Q，就是要找出集 合P、Q中相等的向量，若将本题改为“已知P＝{|a||a＝ (1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{|b||b＝(1,1)＋n(－1,1)， n∈R}，且P∩Q≠∅，求m，n满足的关系该如何求解？
【解】 (1)由x2－2x－8<0，得－2<x<4， ∴A＝{x|－2<x<4}. 当m＝3时，由x－m<0，得x<3，∴B＝{x|x<3}， ∴U＝A∪B＝{x|x<4}，∁UB＝{x|3≤x<4}. ∴A∩(∁UB)＝{x|3≤x<4}. (2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}， 又A∩B＝∅，∴m≤－2. (3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}， 由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.
数a＝
.
解析：A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}.∴a＝2.
答案：2
5.设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，
则(A∪B)∩(∁UC)＝
.
解析：A∪B＝{2,3,4,5}，∁UC＝{1,2,5}， ∴(A∪B)∩(∁UC)＝{2,5}.
答案：{2,5}
y=f(x)=x2+x-1=
备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第1讲集合
第1讲集合1.集合的概念空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 规律总结（1）A ⊆B （子集）{A ＝B （相等）⇔A ⊆B 且A ⊇B ，A⫋B （真子集）⇔A ⊆B 且A ≠B.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即⌀⊆A ，⌀⫋B （B ≠⌀）. （3）任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .空集只有一个子集，即它本身.（4）含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，非空子集的个数是2n －1，真子集的个数是2n －1，非空真子集的个数是2n －2.（5）对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C . 3.集合的基本运算集合的运算性质（1）A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .（2）∁U （A ∩B ）＝（∁U A ）∪（∁U B ），∁U （A ∪B ）＝（∁U A ）∩（∁U B ）.1.下列说法正确的是（ D ）A.{x ｜y ＝x 2}＝{y ｜y ＝x 2}＝{（x ，y ）｜y ＝x 2}B.方程√x －2024＋（y ＋2 025）2＝0的解集为{2 024，－2 025}C.若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0或1D.对任意两个集合A ，B ，（A ∩B ）⊆（A ∪B ）恒成立 2.若集合P ＝{x ∈N ｜x ≤√2025}，a ＝2√2，则（ D ）A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P3.集合{a，b}的真子集的个数为3.解析解法一集合{a，b}的真子集为⌀，{a}，{b}，有3个.解法二集合{a，b}有2个元素，则集合{a，b}的真子集的个数为22－1＝3.4.设a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，则a－b＝1.解析∵P＝Q，∴{a＝－1，－b=2，∴a－b＝－1－（－2）＝1.5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（∁U B）＝{2，4} ，（∁U A）∩（∁U B）＝{6} .解析∵∁U A＝{1，3，6，7}，∁U B＝{2，4，6}，∴A∩（∁U B）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（∁U A）∩（∁U B）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.研透高考明确方向命题点1集合的概念例1 （1）[2022全国卷乙]设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁U M＝{1，3}，则（A）A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M解析由题意知M＝{2，4，5}，故选A.（2）[全国卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为（C）A.2B.3C.4D.6解析由题意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的个数为4，故选C.方法技巧1.解决集合含义问题的三个关键点：一是确定构成集合的元素；二是分析元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.2.常见集合的含义训练1 （1）[多选/2024黑龙江模拟]已知集合A ＝{x ｜4ax 2－4（a ＋2）x ＋9＝0}中只有一个元素，则实数a 的可能取值为（ ABD ） A.0B.1C.2D.4解析 当a ＝0时，－8x ＋9＝0，解得x ＝98，所以A ＝{98}，符合题意；当a ≠0时，由题意，得Δ＝[4（a ＋2）]2－4×4a ×9＝0，解得a ＝1或a ＝4.故选ABD.（2）[多选/2023江苏省镇江中学模拟]已知集合A ＝{y ｜y ＝x 2＋2}，集合B ＝{（x ，y ）｜y ＝x 2＋2}，下列关系正确的是（ AB ） A.（1，3）∈B B.（0，0）∉B C.0∈AD.A ＝B解析 ∵集合A ＝{y ｜y ≥2}＝[2，＋∞），集合B ＝{（x ，y ）｜y ＝x 2＋2}是由抛物线y ＝x 2＋2上的点组成的集合，∴AB 正确，CD 错误，故选AB.（3）已知集合A ＝{0，m ，m 2－5m ＋6}，且2∈A ，则实数m 的值为 1或4 .解析 因为A ＝{0，m ，m 2－5m ＋6}，2∈A ，所以m ＝2或m 2－5m ＋6＝2.当m ＝2时，m 2－5m ＋6＝0，不满足集合中元素互异性，所以m ＝2不符合题意.当m 2－5m ＋6＝2时，m ＝1或m ＝4，若m ＝1，A ＝{0，1，2}符合题意；若m ＝4，A ＝{0，4，2}符合题意.所以实数m 的值为1或4.命题点2 集合间的基本关系例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]设集合A ＝{0，－a }，B ＝{1，a －2，2a －2}，若A ⊆B ，则a ＝（ B ） A.2B.1C.23D.－1解析 依题意，有a －2＝0或2a －2＝0.当a －2＝0时，解得a ＝2，此时A ＝{0，－2}，B ＝{1，0，2}，不满足A ⊆B ；当2a －2＝0时，解得a ＝1，此时A ＝{0，－1}，B ＝{－1，0，1}，满足A ⊆B .所以a ＝1，故选B.（2）[2024山西太原模拟]满足条件{1，2}⊆A ⫋{1，2，3，4，5}的集合A 的个数是（ C ） A.5B.6C.7D.8解析 解法一 因为集合{1，2}⊆A ⫋{1，2，3，4，5}，所以集合A 可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共 7 个.故选C.解法二 问题等价于求集合{3，4，5}的真子集的个数，则共有23－1＝7个.故选C. 方法技巧1.求集合的子集个数，常借助列举法和公式法求解.2.根据两集合间的关系求参数，常根据集合间的关系转化为方程（组）或不等式（组）求解，求解时注意集合中元素的互异性和端点值能否取到.注意在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的情况，如已知集合A、非空集合B满足A⊆B或A⫋B，则有A＝⌀和A≠⌀两种情况.训练2 （1）设集合P＝{y｜y＝x2＋1}，M＝{x｜y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是（D）A.M＝PB.P∈MC.M⫋PD.P⫋M解析∵P＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}，M＝{x｜y＝x2＋1}＝R，∴P⫋M.故选D.（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为（－∞，3] .解析因为B⊆A，所以分以下两种情况：①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2；②若B≠∅，则{2m－1≥m+1，m+1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3].命题点3集合的基本运算角度1集合的交、并、补运算例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（C）A.{－2，－1，0，1}B.{0，1，2}C.{－2}D.{2}解析解法一因为N＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C.解法二因为1∉N，所以1∉M∩N，排除A，B；因为2∉N，所以2∉M∩N，排除D.故选C. （2）[2023全国卷甲]设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（A）A.{x｜x＝3k，k∈Z}B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}D.∅解析解法一M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.解法二 集合M ∪N 表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好能被3整除的整数集，故选A.角度2 已知集合运算结果求参数例4 （1）[全国卷Ⅰ]设集合A ＝{x ｜x 2－4≤0}，B ＝{x ｜2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x ｜－2≤x ≤1}，则a ＝（ B ） A.－4B.－2C.2D.4解析 易知A ＝{x ｜－2≤x ≤2}，B ＝{x ｜x ≤－a 2}，因为A ∩B ＝{x ｜－2≤x ≤1}，所以－a 2＝1，解得a ＝－2.故选B.（2）已知集合A ＝{x ｜y ＝ln （1－x 2）}，B ＝{x ｜x ≤a }，若（∁R A ）∪B ＝R ，则实数a 的取值范围为（ B ） A.（1，＋∞） B.[1，＋∞） C.（－∞，1）D.（－∞，1]解析 由题可知A ＝{x ｜y ＝ln （1－x 2）}＝{x ｜－1＜x ＜1}，∁R A ＝{x ｜x ≤－1或x ≥1}，所以由（∁R A ）∪B ＝R ，B ＝{x ｜x ≤a }，得a ≥1. 方法技巧1.处理集合的交、并、补运算时，一是要明确集合中的元素是什么，二是要能够化简集合，得出元素满足的最简条件.2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可借助Venn 图求解；如果集合中的元素是连续的，可借助数轴求解，此时要注意端点的情况.训练3 （1）[2023全国卷乙]设集合U ＝R ，集合M ＝{x ｜x ＜1}，N ＝{x ｜－1＜x ＜2}，则{x ｜x ≥2}＝（ A ） A.∁U （M ∪N ） B.N ∪∁U M C.∁U （M ∩N ）D.M ∪∁U N解析 由题意知M ∪N ＝{x ｜x ＜2}，所以∁U （M ∪N ）＝{x ｜x ≥2}，故选A.（2）[2023江西省联考]已知集合A ＝{（x ，y ）｜（x －1）2＋y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）｜kx －y －2＜0}.若A ∩B ＝A ，则实数k 的取值范围是（ A ） A.（－∞，34）B.（34，3）C.（34，＋∞）D.（－∞，34]解析 因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，则圆（x －1）2＋y 2＝1在直线y ＝kx －2的上方，则{k ×1－2<0，√k 2＋（－1）2>1，解得k ＜34.命题点4 集合中的计数问题例5 [全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（C）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8解析解法一由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90－80＋60＝70，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100＝0.7.故选C.解法二用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系，如图，易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》＝0.7.故选C.的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100方法技巧集合中元素的个数问题的求解策略关于集合中元素的个数问题，常借助Venn图或用公式card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－ card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的个数）求解.训练4 向50名学生调查对A，B两种观点的态度，结果如下：赞成观点A的学生人数是全体人数的3，其余的不赞成；赞成观点B的学生人数比赞成观点A的多3人，其余的不赞5成；另外，对观点A，B都不赞成的学生人数比对观点A，B都赞成的学生人数的1多13人，则对观点A，B都赞成的学生有21人.＝30，赞成观点B的学生人数为30解析赞成观点A的学生人数为50×35＋3＝33.如图，记50名学生组成的集合为U，赞成观点A的学生全体为集合A，赞成观点B的学生全体为集合B.设对观点A，B都赞成的学生人数为x，则对观点A，B都不赞成的学生人数为x＋1，赞成观点A或赞成观点B的学生人数为303＋1＝50，解得x＝21.故对观点A，B都赞成的学生有21人. ＋33－x.依题意30＋33－x＋x3命题点5集合的新定义问题例6 （1）[2024上海市晋元高级中学模拟]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆M，定义M（A）为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的M（A）的和记为S，则S＝120.解析由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1个，其中最小值为1的有25个，最小值为2的有24个，最小值为3的有23个，最小值为4的有22个，最小值为5的有21个，最小值为6的有20个，故S＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5＋1×6＝120. （2）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}和集合B＝{x｜x2－x－2＜0}，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为（1，2）.解析由题意，可知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}，集合B＝{x｜－1＜x＜2}，因为集合A，B构成“偏食”，所以{t>0，－t＜－1<t<2，解得1＜t＜2.所以实数t的取值范围为（1，2）.方法技巧解决集合新定义问题的关键紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆.训练5 [多选/2023山东省淄博一中月考]在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z}（k＝0，1，2，3，4），给出如下四个结论，正确结论为（ACD）A.2 023∈[3]B.－2∈[2]C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D.整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]解析由2 023÷5＝404……3，得2 023∈[3]，故A正确；－2＝5×（－1）＋3，所以－2∈[3]，故B错误；因为整数集中的被5除的数可以且只可以分成五类，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确；因为整数a，b属于同一“类”，所以整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]，故D正确.故选ACD.。
集合专题讲义-高三数学一轮复习
集合一、知识点1、集合的定义：把某些能够确切指定的对象看做一个整体，这个整体就叫做集合，简称集，通常用大写字母A,B,C,D……来表示集合，集合中的各个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a,b,c,d.……来表示元素。
如果说a是A中的元素，就说a属于A，记为a∈A；如果b不是B中的元素，就说b不属于B，记为b∉B。
2.集合中元素的特征（1）确定性（2）互异性（3）无序性（1）列举法（2）描述法｛x∣x具有性质p｝（3）韦恩图（文氏图）（1）有限集（2）无限集5.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ（1）自然数集N（正整数集N+或N*）（2）整数集Z（正整数集Z+，负整数集Z）（3）有理数集Q（无理数集C R Q）（4）实数集R （5）复数集C7、区间的概念：通常把介于两个实数a，b（a＜b）之间的实数集合称之为区间，并规定（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示[a,b]；（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示﹙a,b﹚；（3）满足不等式a≤x<b,或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示[a,b﹚,﹙a,b].（4）满足不等式x>a或x<a的实数x的集合叫做无限区间,表示（a,+∞）,(∞,a）（5）（+∞,∞）=R（实数集合）（1）子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或 B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或集合B包含集合A”。
（2）真子集：如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⊊B。
（3）子集、真子集的一些性质：①规定空集φ是任何集合的子集；②对于含n个元素的集合，它的子集个数为2n，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个。
9.集合的运算（1）交集：由集合A和集合B的公共元素组成的集合，叫做集合A和集合B的交集，记作A∩B，读作A交B。
高中数学一轮复习第一讲：集合
②数形结合进行判断
3.集合的基本运算
例6、已知集合 = −2, −1,0,1,2 , = | 2 − − 6 ≥ 0 , 则 ∩ = （ ）
A. −2, −1,0,1
B. 0,1,2
C. −2
D. 2
答案：C
解析：方法一
因为 = | − − ≥ = (−∞, −] ∪ [, +∞), 而 = −, −, , , ，
. | = 3, ∈
. | = 3 − 1, ∈
C. | = 3 − 2, ∈
. ∅
答案：A
解析：因为整数集 = | = 3, ∈ ∪ | = 3 + 1, ∈ ∪ | = 3 + 2, ∈ ,U=Z
所以 ( ∪ )= | = 3, ∈
4.4 ∩ = ↔ ∪ = ↔ , ↔ ∩ = ∅
02 复习策略
二、复习策略
1.明确子集、真子集、空集、并集、交集、补集、全集的概念，了解这些概念的
区别。
2.在解题过程中充分利用分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想，优化解题
过程。
A. ( ∪ )
B. ∪
C. ∪
D. ( ∩ )
答案：A
解析：由题意得：
∩ = | < ,则 ( ∪ )= | ≥ ,选项A正确
= | ≥ ,则 ∪ = | > − ,选项B错误
= | ≤ −或 ≥ , ∪ = | < 或 ≥ ,选项C错误
用数学符号语言表示：
一个元素a，一个集合A 属于： ∈ 不属于： a A
1.3 集合元素的特征
2023版高考数学一轮总复习：集合课件理
补集 ∁UA={x|x∈U且x∉A}
U,A∩(∁UA)=⌀,∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),
∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
理解自测
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1){x|y=x2}={y|y=x2}={(x,y)|y=x2}.(
×)
(2)方程x-2 021+(y+2 022)2=0的解集为{2 021,-2 022}.(
或
A⊆B,
且B⊆A
A⫋B
或B⫌A
A=B
Venn图
或
考点2
集合间的基本关系
= (相等)⇔ ⊆ 且 ⊇ ,
注意 (1)A⊆B(子集)ቊ
⫋(真子集)⇔ ⊆ 且 ≠ .
(2)空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集,即⌀⊆A,
⌀⫋B(B≠⌀).
(3)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.空集只有一个子集,即它本
(2) 由y=ln(1-x)可得1-x>0,即x<1,所以M={x|x<1},∁RM={x|x≥1}.由
y=
1
可得x+1>0,即x>-1,所以N={x|x>-1},所以∁RM⊆N.故选D.
+1
考向2
集合间的基本关系
方法技巧 1.子集个数的求解方法
列举法
公式法
将集合的子集一一列举出来,从而得到子集的个数,适用于集合中
1.典例 [福建高考]已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系①a≠2,②
b=2,③c≠0中有且只有一个正确, 则100a+10b+c等于
201
.
解析 可分下列三种情形:(1)若只有①正确,则a≠2,b≠2,c=0,推出