2019年北京交大附中初三数学10月考试卷 Word
北京交大附中 2019—2020 年度第一学期 10 月月考练习
初三数学试卷
班级姓名学号
一、选择题（每题 2 分，共16 分）第1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．抛物线y =x2 + 2x - 3 的对称轴是直线（）
A.x =-2
B.x = 2
C.x =-1
D.x =1
3．抛物线向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A． B.
C． D.
4
．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）
A．（
3，﹣
2）
B．（2
，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
5. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来
的图案重合，那么n 的值可能是（）
A．45 B．60 C．90 D．120
6．如图，AB 是⊙O的直径，CD 是⊙O的弦，∠ABD =59︒，则∠C 等于（）
A. 29︒
B. 31︒
C. 59︒
D. 62︒
7.已知一次函数y1=kx +m(k ≠ 0) 和二次函数y2 =ax2 +bx +c(a ≠ 0) 部分自变量 D 和对应的函数值如表：
当y2＞y1 时，自变量x 的取值范围是（）
A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1 或x＞5 D．x＜-1 或x＞4
8.小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一
根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进
，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h，并
画出表示h 与t 的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是（）
A B C D
第6 题图
二、填空题（每题 2 分，共 16 分）
9．请写出一个开口向下，且与 y 轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式： ．
10.
在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = x 2
的图象经过点 M (x 1, y 1) ，N (x 2 , y 2 ) 两点，若- 4 < x 1 < -2 ，
0 < x 2 < 2 ，则 y 1
y
2 .（用“
< ”
，“=”或“>”号连接）
11.
如图，在矩形 ABCD 中，AB =5，AD =3．矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转一定角度得到矩形 AB 'C '
D '
．若点 B 的对应点 B ' 落在边 CD 上，则 B '
C 的长为
．
第 11 题图
第 13 题图
第 14 题图
第 16 题图
12.
二次函数 y = x 2 - 6x + m （m 是常数）的图象与 x 轴的一个交点为(-1，0) ，则关于 x 的一元二次方程
x 2 - 6x + m = 0 的根是
．
13．如图，⊙O 的直径 AB ⊥弦 CD ，垂足为点 E ，连接 AC ，若 CD =2 3，∠A =30º，则 BD 的长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是正方形，点 C （0，4），D 是 OA 中点，将△CDO
以 C 为旋转中心逆时针旋转 90°后，再将得到的三角形平移，使点 C 与点 O 重合，写出此时点 D 的对应点的坐标是：
．
15．若二次函数 y = x 2 + 2x + c 的最小值是 7，则它的图象与y 轴的交点坐标是
．
16．如图，在 Rt ∆ABC 中， ∠ACB = 90o ，将∆ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到∆A ' B 'C , M 是 BC 的中
点，N 是 A ' B ' 的中点，连接 MN ，若 BC=2,∠ABC=60°，则线段 MN 的最大值为
.
三、解答题（第 17-22 题每题 5 分，第 23-26 题每题 6 分，第 27-28 题每题 7 分，共 68 分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 已知二次函数的图象经过点(0,1) ，且顶点坐标为(2,5) ，求此二次函数的解析式．
18. 已知如图，四边形
ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，且 AB>CE ． 连接 BG 、DE ．求证：BG =DE .
D O
B
C
y
O
19.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，∠ABC =130°，求∠OAC 的度数．
A
20.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A （3，3），B （4，0），C （0， -1 ）．
（1）以点 C 为旋转中心，把△ABC 逆时针旋转 90°，画出旋转后的△ A ' B 'C ； （2）在（1）的条件下，
① 点
A 经过的路径 AA ' 的长度为 （结果保留π）；
② 点 B ' 的坐标为
．
21．如图，D 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转60︒
A
得到线段 AE ,连结 CD,BE. （1）求证：∠AEB ＝∠ADC ;
（2）连结 DE ，若∠ADC ＝115°,求∠BED 的度数.
C
22. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示：
x …
-3 -2 -1 0 1 …
y
…
-3
-4
-3
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次
函数的图象；
（3）当-4 < x < 2 时，直接写出 y 的取值范围．
A
B
O x
C
23．已知二次函数 y = kx 2 -(k +1)x +1 (k ≠ 0) ．
（1）求证：无论 k 取任何实数时，该函数图象与 x 轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，求 k 值.
24．图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m 时，
水面宽 8m. 水面上升 3 米，水面宽度减少多少？
25．如图，直线 AM 和 AN 相交于点 A ，∠MAN ＝30°，在射线 AN 上取一点 B ，使 AB ＝6cm ，过点 B 作
BC ⊥AM 于点 C ，D 是线段 AB 上的一个动点（不与点 B 重合），过点 D 作 CD 的垂线交射线 CA 于点 E ．
（1）确定点 B 的位置，在线段 AB 上任取一点 D ，根据题意，补全图形； （2）设 AD=x cm ，CE=y cm ，探究函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律. ① 通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组对应值，如下表：
（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）
② 建立平面直角坐标系 xOy ，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； ③ 结合画出的函数图象， 解决问题： 当 AD 为 Rt △ C DE 斜边 CE 上的中线时， A D 的长度约为
cm （结果保留一位小数）．
26. 在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y = mx 2 - 2mx + m -1 （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若 AB = 2, ① 求抛物线的解析式；
② 已知点 E ( 1
, 4) ， F (4, 4)，将抛物线在0 ≤ x ≤ 3 的部分
2
向上平移 n 个单位得到图象G ，若图象G 与线段 EF 恰有
1 个公共点，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.
(m > 0) 与 x 轴的交点为 A , B .
27．在等腰△ABC 中，AB =AC ，将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转到 BD ，使 BD ⊥AC 于 H ，连结 AD 并延长交 BC
的延长线于点 P . (1)依题意补全图形；
(2)若∠BAC =2α，求∠BDA 的大小（用含 α 的式子表示）；
(3)小明作了点 D 关于直线 BC 的对称点点 E ，从而用等式表示线段 DP 与 BC 之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段 DP 与 BC 之间的数量关系.
28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(a,b) 和点Q(a,b') ，给出如下定义：
变点的坐标是(2, 3)，点(-2,5)的限变点的坐标是(-2, -5)．
（1）①点(3,1)的限变点的坐标是；
②在点A(-1, -2)，B (-1, 2)中有一个点是函数y = 2x 图象
上某一个点的限变点，这个点是；
（2）若点P 在函数y =-x + 3(-2≤x≤k, k >-2)
点Q 的纵坐标b'的取值范围是-5≤b'≤2 ，求k 的取值范围；
点Q 的纵坐标b'的取值范围是b'≥m 或b'<n ，其中m >n ．令s =m -n ，
求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．
备用图。
2024年北京交大附中初三(上)10月月考数学试题及答案
2024北京交大附中初三10月月考数 学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ）A. B. C. D.2. 抛物线22()1y x =−+的顶点坐标是（ ） A. ()2,1B. ()2,1−C. ()2,1−D. ()2,1−−3. 将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. y ＝2（x ＋1）2＋5 B. y ＝2（x ＋1）2－5 C. y ＝2（x －1）2＋5 D. y ＝2（x －1）2－54. 如图，将ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''．若40,110A B ∠=∠='︒︒，则BCA '∠的度数是（ ）A. 90︒B. 80︒C. 50︒D. 30︒5. 在平面直角坐标系中，把点P （-3,2）绕原点O 顺时针旋转180°，所得到的对应点P 的坐标为（ ） A. （3，-2）B. （2，-3）C. （-3，-2）D. （3,2）6. 用配方法解一元二次方程245x x −=时，此方程可变形为（ ） A. ()221x +=B. ()221x −=C. ()229x +=D. ()229x −=7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =−，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为A. 2B. 4C. 8D. 168. 如图，动点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），分别以AB AP BP ，，为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y ，线段AP 的长为x ．当点P 从点A 移动到点B 时，y 随x 的变化而变化，则表示y 与x 之间关系的图象大致是（ ）A. B. C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9. 请写出一个开口向上且顶点坐标为()0,1的抛物线的解析式_______________．10. 二次函数2y x bx a =++的图像的顶点在x 轴上，写出一组满足条件的实数a 、b 的数值a =________，b =________． 11. 点()13,A y −，()22,By 在抛物线25y xx =−上，则1y ________2y ．（填“>”，“<”或“=”）12. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =−，与x 轴的一个交点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,3)，则方程()200ax bx c a ++=≠的解为________．13. 已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m −++−=有一个根是0，则m 的值是________．14. 如图，二次函数21(0)y ax bx c a =++>与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(2,4)A −，(8,2)B ，则使12y y >成立的x 的取值范围是_______________．15. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为_______．16. 二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：（2）抛物线顶点坐标为（1，5）；（3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．其中正确的序号为___________________.三、解答题（共868分，第17、18、19题每题4分，第20-26题、每题6分，第27-28题每题77分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()031−π+−． 18. 解方程：243x x =−19. 已知：如图，ABC 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到111A B C ，点A ，B ，C 分别对应点1A ，1B ，1C ．（1）根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点 ． （2）请在图中画出111A B C ．20. 如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，连接CD ，BE ．（1）求证：△AEB ≌△ADC ；（2）连接DE ，若∠ADC ＝105°，求∠BED 的度数．21. 已知关于x 的一元二次方程()21220m x x −++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．22. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标； （2）求出该函数图象与x 轴的交点坐标，并画出此二次函数的图象．（3）结合图象，当0y >时，x 的取值范围是 ． （4）结合图象，当21x −≤≤时，y 的取值范围是 ． 23. 如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，AD DC =，DE 平分∠ADC 交AC 于点E ，DF 平分∠BDC 交BC 于点F ，90DFC ∠=︒．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若30B ∠=︒，2AD =，连接BE ，求BE 的长．24. 2021年12月《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》正式发布，跳绳成为新增的体育中考选考项目．某校体育组为了解八年级学生跳绳的基本情况，从八年级男、女生中各随机抽取了20名学生1分钟跳绳次数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．学生1分钟跳绳次数频数分布直方图如下（数据分成9组：90100x ≤<，100110x ≤<，…，170180x ≤<）：b ．男生1分钟跳绳次数在140150x ≤<这一组的是：140，141，142，143，144，145，145，147c ．1分钟跳绳次数的平均数、中位数、优秀率如下表：级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个，成绩为优秀． 根据以上信息，回答下列问题：（1）将女生1分钟跳绳次数频数分布直方图补充完整； （2）写出表中m ，n 的值；（3）此次测试中，某学生的1分钟跳绳次数为140个，这名学生的成绩排名超过同组一半的学生，判断该生属于______（填“男生”或“女生”）组；（4）如果全年级男生人数为100人，女生人数为120人，请估计该年级跳绳成绩优秀的总人数． 25. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()20y a x h k a =−+<．（1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：（2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：()25 2.4 4.512y x =−−+，请回答下列问题： ①小明同学第一次投篮的出手点高度为__________m ；②已知篮筐中心位置在水平距离4.2m ，竖直高度3m 处．当篮球的竖直高度为3m 时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m 以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：()25 2.1412y x =−−+，已知两次投篮只有一次投中，则__________投中（填写“第一次”或“第二次”）．26. 已知抛物线22y x ax b =−+经过点()11，．（1）用含a 的式子表示b 及抛物线的顶点坐标；（2）若对于任意12a x a −≤≤+，都有1y ≤，求a 的取值范围．27. 如图，ACB △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点P 在AC 的延长线上，连接DP ，点B 与点E 关于直线DP 对称，连接AE ．（1）依题意补全图形； （2）求证：AE DP ∥；（3）当=AE CP 时，连接CE ，PE ，用等式表示线段AE ，CE ，PE 之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m −，()2,0C m +．（1）当0m =时，①在点()11,0P −，()21,1P ，()34,0P ，()43,1P −中，是折线BA AC −的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC −的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m −．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】D【分析】根据中心对称图形的定义∶把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可．【详解】解：A ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； B ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； C ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； D ．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键． 2. 【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数()2,(,y a x h k a b c =−+为常数，0)a ≠，顶点坐标是()h k ,，据此求解即可．【详解】解：抛物线22()1y x =−+的顶点坐标是()2,1， 故选：A ． 3. 【答案】C【详解】∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位， 平移后的抛物线的解析式为y ＝2（x －1）2＋5， 故选C.【点睛】本题考查了抛物线的平移变换．关键是将抛物线的平移转化为顶点的平移，平移的规律是左加右减，上加下减，根据规律结合顶点式即求平移后抛物线的解析式． 4. 【答案】B【分析】先利用旋转的性质得到50110ACA B B ''∠=︒==︒，∠∠，再利用三角形内角和计算出30ACB ∠=︒，然后计算BCA ACA '∠+∠即可．【详解】解：ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''，50110ACA B B ''∴∠=︒==︒，∠∠，40A ∠=︒，18030ACB A B ∴∠=︒−︒−=∠∠，305080BCA BCA ACA ''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5. 【答案】D【详解】根据题意得，点P 关于原点的对称点是点P ′， ∵P 点坐标为（-3，2）， ∴点P ′的坐标（3，-2）． 故选：D ．【点睛】考点：坐标与图形变化-旋转． 6. 【答案】D 【详解】245x x −=24454x x −+=+()229x −=故选：D ． 7. 【答案】B【详解】解：过点C 作CA ⊥y 轴于点A ，根据抛物线的对称性得：OBD 的面积等于CAO 的面积， ∴阴影部分的面积等于矩形ACBO 的面积．∵22112(2)222y x x x =−=−−， ∴顶点坐标为C （2，－2）．∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4． 故选B ． 8. 【答案】C【分析】假设1AB =，则1BP x =−，然后根据AB AP BP y S S S =−−半圆半圆半圆求出y 关于x 的函数关系式即可得到答案．【详解】解：假设1AB =，则1BP AB AP x =−=−， ∴AB AP BP y S S S =−−半圆半圆半圆22211222222x x πππ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−⨯−⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2221888x x x πππ−+=−−244x x ππ=−+，故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y 关于x 的函数关系式是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】21y x =+（答案不唯一）【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表示解析式，已知开口向上，只要二次项系数为正数即可． 【详解】解：由题意可设该抛物线解析式为21y ax =+． ∵开口向上， ∴0a >即可．令1a =，则抛物线的解析式为21y x =+． 故答案为：21y x =+（答案不唯一）． 10.【答案】 ①.14（答案不唯一）． ②. 1（答案不唯一）． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求出顶点坐标是解答本题的关键．先化为顶点式，求出顶点坐标，再利用顶点纵坐标等于0列式求解即可．【详解】解：22224b b y x bx a x a ⎛⎫=++=++− ⎪⎝⎭， ∴该二次函数的顶点坐标为2,24b b a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭．∵该二次函数的顶点在x 轴上，∴204b a −=，∴24a b =． 当1b =时，14a =． 故答案为：14，1（答案不唯一）． 11. 【答案】>【分析】将A ，B 两点代入抛物线，求出对应的y 值即可．【详解】当3x =−时，21524y x x =−=；当2x =时，2256y x x =−=−；∵246>−，∴12y y >．故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点是解题关键．12. 【答案】13x =−，21x =【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系．掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与x 轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为()3,0−，即得出其相关一元二次方程的的解为13x =−，21x =．【详解】解：∵该二次函数对称轴为直线1x =−，与x 轴的一个交点为()1,0，∴该二次函数与x 轴的另一个交点为()3,0−，∴方程()200ax bx c a ++=≠的解为13x =−，21x =．故答案为：13x =−，21x =．13. 【答案】1−【分析】把x =0代入方程进行计算，结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到答案．【详解】解：把0x =代入方程，得：210m −=，∴1m =±，∵10m −≠，∴1m ≠，∴1m =−；故答案为：1−.【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，利用方程的解正确求出参数.14. 【答案】2x <−或8x >【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求解．根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解．【详解】解：抛物线与直线交点坐标为(2,4)A −，(8,2)B ，2x ∴<−或8x >时，抛物线在直线上方，∴使12y y >成立的x 的取值范围是2x <−或8x >．故答案为：2x <−或8x >15. 【答案】y ＝（60﹣x ）（300+20x ）【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，本题得以解决.【详解】由题意可得，()()6030020=−+y x x .故答案为：()()6030020=−+y x x .【点睛】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式. 16. 【答案】（1）、（3）、（4）【分析】根据表格可得到函数的对称轴，再判断出函数的开口方向，与y 轴的交点、顶点坐标，再根据函数的图像与性质即可一一判断.【详解】（1）函数的对称轴为：x ＝12（0＋3）＝32， 对称轴左侧y 随x 的增大而增大，故a ＜0，x ＝0，y ＝3＝c ＞0，故（1）正确，符合题意；（2）函数的对称轴为x ＝32，故（2）错误，不符合题意； （3）ax 2＋（b−1）x ＋c ＝0，则ax 2＋bx ＋c ＝x ，当x ＝3时，ax 2＋bx ＋c ＝3，故（3）正确，符合题意；（4）由（3）知，3是方程ax 2＋（b−1）x ＋c ＝0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1， 故当−1＜x ＜3时，ax 2＋（b−1）x ＋c ＞0，故（4）正确，符合题意；故答案为：（1）、（3）、（4）．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．三、解答题（共868分，第17、18、19题每题4分，第20-26题、每题6分，第27-28题每题77分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．先计算零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，再进行加减运算即可．【详解】解：()031π−+11=+=18. 【答案】121,3x x ==【分析】先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：243x x =−，2430x x −+=，()()130x x −−=，即10x −=或30x −=，解得121,3x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．19. 【答案】（1）1O（2）见解析【分析】（1）分别作1AA 、1BB 的中垂线m 、n ，两者的交点即为所求；（2）作出点C 绕点1O 顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得；【小问1详解】解：如图，根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点1O ，【小问2详解】如图所示，111A B C 即为所求．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．20. 【答案】（1）见解析；（2）45°【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得60BAC ︒∠=，AB AC =，再由旋转的性质，可得60DAE ︒∠=，AE AD =，从而得到EAB DAC ∠=∠，再证EAB ≌()DAC SAS 即可；（2）根据题意可得EAD 为等边三角形．可得60AED ︒∠=，根据三角形全等可得105AEB ADC ︒∠=∠=，然后利用两角之差即可求解．【详解】（1）证明：ABC 是等边三角形，60BAC ︒∴∠=，AB AC =．线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，60DAE ︒∴∠=，AE AD =．BAD EAB BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠．EAB DAC ∴∠=∠．在△EAB 和△DAC 中，AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EAB ∴≌()DAC SAS ．()2解： 60DAE ︒∠=，AE AD =，EAD ∴为等边三角形．60AED ︒∴∠=， EAB ≌DAC △．105AEB ADC ︒∴∠=∠=．∴∠BED =∠AEB -∠AED =105°-60°=45°，45BED ︒∴∠=．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21. 【答案】（1）32m <且1m ≠；（2）11x =，21x =− 【分析】（1）由Δ＞0，得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知m ＝0，可得方程2220x x −++=，利用因式分解法求解可得．【详解】．解：（1）关于x 的一元二次方程()21220m x x −++=有两个不相等的实数根， 10m ∴−≠，即1m ≠．又128m ∆=−，0∴∆>，即1280m −>． 解得32m <． m ∴的取值范围是32m <且1m ≠． （2）在32m <且1m ≠的范围内，最大整数m 为0． 此时，方程化为2220x x −++=．∴方程的根为11x =+，21x =【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．22. 【答案】（1）223y x x =+−，顶点坐标(1,4)−−（2）与x 轴的交点坐标分别为()3,0−，()1,0，画图象见解析（3）3x <−或1x >（4）40y −≤≤【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标．利用待定系数法求二次函数解析式并正确画出图象是解题关键．（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，再将其改为顶点式即得出顶点坐标；（2）令0y =，求出x 的值，即得出该函数图象与x 轴的交点坐标，再描点连线画出此二次函数的图象即可；（3）求当0y >时，x 的取值范围，即求函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围，结合图象可直接得出结果；（4）结合图象可直接得出结果．【小问1详解】解：将 ()2,3−−，()1,4−−，()0,3−代入()20y ax bx c a =++≠， 得：34243a b c a b c c −=−+⎧⎪−=−+⎨⎪−=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，∴该二次函数的表达式为()222314y x x x =+−=+−，∴这个二次函数图象的顶点坐标为(1,4)−−；【小问2详解】解：对于223y x x =+−，令0y =，则2230x x +−=，解得：13x =−，21x =，∴该函数图象与x 轴的交点坐标分别为()3,0−，(1,0)．画出此二次函数的图象如下： 【小问3详解】解：由图可知，当0y >时，x 的取值范围是3x <−或1x >；【小问4详解】解：由图可知，当21x −≤≤时，y 的取值范围是40y −≤≤．23. 【答案】（1）见解析 （2【分析】（1）证∠EDF =90°，∠CED =90°，再由∠DFC =90°，即可得出结论；（2）证△ACD 是等边三角形，得∠ACD =60°，AC =AD =2，则AE =CE =1，再由勾股定理得DE ，然后由三角形中位线定理得BC =2DE =【小问1详解】解：证明：∵DE 平分∠ADC ，DF 平分∠BDC ，∴∠ADE =∠CDE =12∠ADC ，∠CDF =12∠BDC ， ∴∠CDE +∠CDF =12（∠ADC +∠BDC ）=12×180°=90°， 即∠EDF =90°，∵AD =DC ，∴∠DCA =∠DAC ，∴∠CED =∠AED =12×180°=90°， 又∵∠DFC =90°，∴四边形CEDF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）可知，四边形CEDF 是矩形，∴∠CED =∠ECF =90°，∴∠A =90°-∠B =90°-30°=60°，DE ⊥AC ，∵AD =DC ，∴CE =AE ，△ACD 是等边三角形，∴∠ACD =60°，AC =AD =2，∴AE =CE =1，∴DE =∠DCB =∠ECF -∠ACD =90°-60°=30°，∴∠DCB =∠B ，∴DB =DC =AD ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC =2DE =，在Rt △BCE 中，由勾股定理得：BE =，即BE【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）141.5m =，70%n =（3）“女生” （4）149人【分析】（1）利用抽取女生的总人数和女生跳绳次数频数分布直方图中的数据，求出成绩在130140x ≤<之间的人数即可；（2）利用中位数的定义求m ，利用八年级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数除以女生总人数求n ；（3）将这名学生的成绩与男生、女生成绩的中位数比较即可；（4）利用样本估计总体的方法解决．【小问1详解】解：女生成绩在130140x ≤<之间的人数为：20112261115−−−−−−−−=，补全后的频数分布直方图如下图所示：【小问2详解】解：由男生1分钟跳绳次数频数分布直方图和140150x ≤<这一组的数据可知，20名男生中，成绩从低到高排序，第10位和第11位的成绩分别是141，142， 因此男生组的中位数：141142141.52m +==； 女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数为：5611114++++=， 因此女生组的优秀率：14100%70%20n =⨯=， 故141.5m =，70%n =；【小问3详解】解：这名学生的成绩140小于男生组的中位数141.5，大于女生组的中位数138，因此该生属于“女生”，故答案为：“女生”；【小问4详解】解：由已知和（2）的结论知男生组的优秀率为65%，女生组的优秀率为70%，10065%12070%6584149⨯+⨯=+=（人）， 因此估计该年级跳绳成绩优秀的总人数为149人．【点睛】本题考查统计相关知识，掌握频数分布直方图、中位数的定义和应用，以及利用样本估计总体的方法是解题的关键．25. 【答案】（1）()2.54，，()28 2.5425y x =−−+ （2）①2.1；②第一次 【分析】（1）由表格中的数据可得篮球飞行轨迹的最高点坐标为()2.54，，设此函数满足的函数解析式为：()22.54y a x =−+，将()02，代入函数解析式，求出a 的值即可得到答案； （2）①令0x =，求出y 的值即可得到答案；②分别令3y =，计算出x 的值，进行估算，并进行比较即可得到答案．【小问1详解】解：由表格中的数据可得：篮球飞行轨迹的最高点坐标为()2.54，， 设此函数满足的函数解析式为：()22.54y a x =−+， 将()02，代入函数解析式得：()20 2.542a ⨯−+=， 解得：825a =−， ∴篮球飞行轨迹满足的函数解析式为：()28 2.5425y x =−−+； 【小问2详解】解：①根据题意得：当0x =时，()250 2.4 4.5 2.112y =−⨯−+=， ∴小明同学第一次投篮的出手点高度为2.1m ，故答案为：2.1； ②在()25 2.4 4.512y x =−−+中，令3y =，则()25 2.4 4.5312x −−+=，解得：1 2.45x =−，2 2.45x =+，在()25 2.1412y x =−−+中，令3y =，则()25 2.14312x −−+=，解得：1 2.15x =−，2 2.15x =+，2.4 4.35+≈，2.1 3.65+≈，且当篮球的竖直高度为3m 时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m 以内，篮球可以进入篮筐，篮筐中心位置在水平距离4.2m ，∴第一次投中，故答案为：第一次．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．26. 【答案】（1）2b a =，抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；（2）3a ≥或1a ≤−． 【分析】（1）把点()11，代入22y x ax b =−+计算可求得含a 的式子表示b 的代数式，配方成顶点式，即可求解；（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当2x a =+时，代入计算，解不等式即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线22y x ax b =−+经过点()11，，∴112a b =−+，∴2b a =，∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−， ∴抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；【小问2详解】 解：∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−，∴抛物线的对称轴为直线x a =，又∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且12a x a −≤≤+，∴当2x a =+时，()22222421y a a a a a a =+−+−=+−≤最大，即2230a a −−≥，∴()()310a a −+≥， ∴3010a a −≥⎧⎨+≥⎩或3010a a −≤⎧⎨+≤⎩， 解得3a ≥或1a ≤−．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，函数的增减性，在本题的解答中，除了必要的理论依据外，还需要学生具有比较强的解不等式的能力．27. 【答案】（1）补图见解析（2）证明见解析 （3）2222CE AE EP +=，证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．（1）根据题意画图即可；（2）设BE 与DP 交于点M ，分别证明M 、D 为BE 、AB 中点，利用中位线可证；（3）过点C 作CN CE ⊥交BE 于点N ，连接BP ，设AC 与BE 交于点T ，BE 与DP 交于点M ，BC 与DP 交于点Q ，先证CBN CAE △≌△，得CN CE =，推出45CEN ∠=︒，再证CPD EAC △≌△，推出CD EC =，推出BC ==，再证EP BP =，最后在Rt CBP △中，利用222BC CP BP +=求证．【小问1详解】解：补全图形如图：【小问2详解】解：如图，设BE 与DP 交于点M ，∵点B 与点E 关于直线DP 对称，∴DP BE ⊥，BM EM =，∵AC BC =，CD AB ⊥，∴AD BD =，∴M ，D 分别为,BE AB 的中点∴DM AE ∥，即：AE DP ∥；【小问3详解】解：2222CE AE EP +=，证明如下：如图，过点C 作CN CE ⊥交BE 于点N ，连接BP ，设AC 与BE 交于点T ，BE 与DP 交于点M ，BC 与DP 交于点Q ，∵90ACB ∠=︒，∴90ACN BCN ACN ACE ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCN ACE ∠=∠，∵90CBN CTB CAE ATE ∠+∠=∠+∠=︒，CTB ATE ∠=∠，∴CBN CAE ∠=∠，又∵CB CA =，∴()ASA CBN CAE ≌，∴CN CE =，∴45CEN CNE ∠=∠=︒，∴135AEC AEB CEN ∠=∠+∠=︒，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，∴45BCD CBD ∠=∠=︒，AD BD =，∴BC =，135PCD PCB BCD ∠=∠+∠=︒，∴AEC PCD ∠=∠，∵90PCQ BMQ ∠=∠=︒，∴90CPD CQP NBC BQM ∠+∠=∠+∠=︒，∵CQP BQM ∠=∠，∴CPD NBC ∠=∠，∴CPD CAE ∠=∠，又∵CP AE =，∴()ASA CPD EAC ≌，∴CD EC =，∴BC =，∵DP BE ⊥，BMEM =，∴EP BP =，在Rt CBP △中，222BC CP BP +=，即：)222AE EP +=，即：2222CE AE EP +=．28. 【答案】（1）①23,P P ；②223M x −≤<−（2）0m <或8m >【分析】（1）①根据所给坐标画出图像，根据定义进行判断即可求解；②根据题意画出24y x =+，结合定义可知当M 与点B 重合时M x 取得最小值，与直线AC 相交时，M x 取得最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线AB 的解析式为2y x m =−+，直线AC 的解析式为2y x m =−++，正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC −所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，根据点N 的坐标以及正方形的性质求得点F 的坐标，分别代入直线,AB AC 的解析式即可求得点F 的坐标，结合函数图像即可求解．【小问1详解】当0m =时，()()()0,2,2,0,2,0A B C −，①如图，在平面直角坐标系中描出点()()()0,2,2,0,2,0A B C −，()11,0P −，()21,1P ，()34,0P ，()43,1P −连接,AB AC ，由图像可知，23,P P 为折线BA AC −的“相关点”；②如图，点M 是直线24y x =+上一点，根据定义可知：点M 为折线BA AC −的“相关点”当M 与点()2,0B −重合时，此时M x 取得最小值，为2−，当M 在直线AC 上时，M x 取得最大值，设直线AC 解析式为y kx b =+()()0,2,2,0A C则202k b b +=⎧⎨=⎩解得12k b =−⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为2y x =−+联立224y x y x =−+⎧⎨=+⎩解得2383x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M x 的最大值为23− 223M x ∴−≤<− 【小问2详解】点(),2A m ，()2,0B m −，()2,0C m +．设直线AB 的解析式为y cx d =+，AC 解析式为y ex f =+,则()220mc d m c d +=⎧⎨−+=⎩，()220me f m e f +=⎧⎨++=⎩， 解得12c d m =⎧⎨=−+⎩，12e f m =−⎧⎨=+⎩ ∴直线AB 的解析式为2y x m =−+，直线AC 的解析式为2y x m =−++，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”；∴正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC −所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外）， 当正方形有一点在AB 或AC 上时，如图，当点F 在AB 上时，()24,0N m −，正方形的边长为2，则()23,1F m −−， 代入直线AB 解析式，可得()1232m m −=−−+，解得0m =；当点F 在AC 上时，()24,0N m −，正方形的边长为2， 则()25,1F m −−，代入直线AC 解析式，可得()1252m m −=−−++，解得8m =，结合图像可知，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”，0m <或8m >．【点睛】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．。
北京XX中学2019年初三10月抽考数学试题(含解析).doc.doc
北京XX 中学2019年初三10月抽考数学试题（含解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！初三数学第I 卷〔共30分〕【一】选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分、在每题所列出的四个选项中，只有一项为哪一项最符合题目要求的〕1、以下图形是中心对称图形的是〔〕、A 、B 、C 、D 、【答案】A【解析】绕一点旋转180︒后与自身能重合的图形是中心对称图形、2、将抛物线25y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，那么新抛物线的表达式是〔〕、 A 、25(2)3y x =++B 、25(2)3y x =-+C 、25(2)3y x =--D 、25(2)3y x =+-【答案】A【解析】平移：左+右——〔用于x 〕，上+下——〔用于y 〕、3、如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，50A ∠=︒，30B ∠=︒，那么ADC ∠的度数为〔〕、ODCBAA 、70︒B 、90︒C 、110︒D 、120︒【答案】C【解析】∵50A ∠=︒， ∴100BOC ∠=︒，∵BOC DBO BDO ∠=∠+∠，30DBO ∠=︒， ∴10030BDO ︒=︒+∠， ∴70BDO ∠=︒，∴180********ADC BDO ∠=-∠=︒-︒=︒、 4、代数式245x x -+的最小值是〔〕、A 、1-B 、1C 、2D 、5【答案】A【解析】2(2)11y x =-+≥、5、圆锥的母线长是3，底面半径是1，那么这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为〔〕、 A 、90︒ B 、120︒ C 、150︒ D 、180︒ 【答案】B【解析】设母线为R ，底面半径为r ，圆锥侧面展开图圆心角为n ，那么360r n R =︒，所以13360n=︒，120n =︒、6、如图，ABC △是等边三角形，D 是BC 的中点，以D 为旋转中心，把ABC △顺时针旋转60︒后，所成的图形是〔〕、DCBAA、 B、C、 D、【答案】D 【解析】C'B'A'DCBA7、假设二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，那么关于x 的方程25x bx +=的解为〔〕、 A 、10x =，24x = B 、11x =，25x =C 、11x =，25x =-D 、11x =-，25x =【答案】D【解析】∵2y x bx =+结称轴过点(2,0)，∴22b-=4b =-，∴24y x x =-，∴25x bx +=即为2450x x --=，(5)(1)0x x -+=，15x =，21x =-、8、⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为d ，假设抛物线22y x x d =-+与x 轴有两个不同的交点，那么点P 〔〕、 A 、在⊙O 的内部 B 、在⊙O 的外部 C 、在⊙O 上 D 、无法确定【答案】A【解析】∵22y x x d =-+与x 轴有两个不同交点， ∴0∆>，∴440d ∆=->， 1d <， ∵1R =，∴点P 在⊙O 内部、9、小刚在实践课上要做一个如图1所示的折扇，折扇扇面的宽度AB 是骨柄长OA 的34，折扇张开的角度为120︒、小刚现要在如图2所示的矩形布料上剪下扇面，且扇面不能拼接，矩形布料长为243cm ，宽为21cm 、小刚经过画图、计算，在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，假设不计裁剪和粘贴的损耗，此时扇面的宽度AB 为〔〕、图2图1骨柄长的34长：243cm宽：21cmO BAA 、21cmB 、20cmC 、19cmD 、18cm【答案】B 【解析】120°123123243cmA'ABO∵120A OB '∠=︒，243AA '=， ∴24AO =，324184AB =⨯=、16、阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 尺规作图：过圆外一点作圆的切线、 ：P 为⊙O 外一点、求作：经过点P 的⊙O 的切线、PO小敏的作法如下： 如图，〔1〕连接OP ，作线段OP 的垂直平分线MN 交OP 于点C 、〔2〕以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交⊙O 于A ，B 两点、 〔3〕作直线PA ，PB 、PNMOCBA老师认为小敏的作法正确、请回答：连接OA ，OB 后，可证90OAP OBP ∠=∠=︒，其依据是____________________；由此可证明直线PA ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是________________________________________、 【答案】见解析、【解析】①直径所对的圆周角是直角、②经过半径的外端并用垂直于半径的直线是圆的切线、 10、【答案】D 【解析】∵22282(2)8y x x m x m =-+=-+-， ∴对称轴2x =，将67x <<关于对称轴2x =对称， 得32x -<<-，那么此时图象位于x 轴上方，∵21x -<<-时图象位于x 轴下方， ∴可知，图象过(2,0)-， ∴0816m =++ 24m =-、 【二】填空题 11、【答案】>【解析】3x =-时，21(3)5391524y x =---=+=，2x =时，222524106y =-⨯=-=-，∴12y y >、12、【答案】1k <且0k ≠【解析】∵221y kx x =-+图象与x 轴有两个不同交点， ∴0∆>且0k ≠，∵2(2)4k ∆=--44k =-， ∴440k ->， ∴1k <，∴1k <且0k ≠、 13、【答案】16π 【解析】OCBA如图：130∠=︒，6AB =， ∴Rt ABO △中，2BO =， S S S =+全面积侧面积底面积2ππAB BO BO =⋅+⋅ 2π62π2=⨯⨯+⨯ 12π4π=+16π=、 14、【答案】2- 1 【解析】∵20ax bx c --=， 可化为2ax bx c =+，即方程的解为函数2y ax =，y bx c =+， 图象交点的横坐标，又∵交点为(2,4)A -，(1,1)B ， ∴x 为2-，1、 15、【答案】1 10 13【解析】OCDBA如图：1AB =，10CD =，由垂径定理可知：152CA CD ==，设半径为r ，在Rt ACO △中，222AO CA CO +=， ∴222(1)5r r -+=13r =、【三】解答题〔此题共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分〕解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程、 17、解一元二次方程：2420x x -+=【答案】122x =+，222x =-、 【解析】2420x x -+= 2442x x -+= 2(2)2x -=22x -=±，122x =+，222x =-、18、2310x x +-=，求224(2)(1)3(1)x x x x ++---的值、 【答案】6、【解析】原式222482133x x x x x =++-+-+ 2264x x =++ 22(3)4x x =++，当2310x x +-=，即231x x +=时， 原式2146=⨯+=、19、如图，ABC △内接于⊙O ，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为⊙O 的直径，10AD =，求弦AC 的长、ODCBA【答案】1033、 【解析】ABCDO∵⊙O 中BD 是直径， ∴90DAB ∠=︒，∵ABC △中，120BAC ∠=︒，AB AC =， ∴30C ∠=︒， ∴30D ∠=︒，在Rt ABD △中，10AD =，30D ∠=︒，90DAB ∠=︒， ∴1033AB =， ∴1033AC =、 20、如图，在ABC △中，75ABC ∠=︒，在同一平面内，将ABC △绕点B 旋转到DBE △的位置，使得DA BC ∥，求EBC ∠的度数、ABCDE【答案】30︒、【解析】∵AD BC ∥，75ABC ∠=︒， ∴75DAB ABC ∠=∠=︒，∵BA BD =，∴75BDA BAD ∠=∠=︒， ∴118075230∠=︒-︒⨯=︒，∴由旋转性质可知，2130∠=∠=︒、21ABCDE21、：如图，在平面直角坐标系中，ABC △三个顶点的坐标分别为(0,0)A ，(1,0)B ，(2,2)C 、以A 为旋转中心，把ABC △逆时针旋转90︒，得到AB C ''△、 〔1〕画出AB C ''△、〔2〕点B '的坐标为______________________________、 〔3〕求点C 旋转到C '所经过的路线长、221321y xCBA【答案】〔1〕见解析；〔2〕(0,1)；〔3〕2π、 【解析】〔3〕如图，C 走过的路线为弧CC '， ∵(2,2)C ，∴22AC =， ∵90CAC '∠=︒， ∴902π22360CC ︒'=⋅⋅︒2π=、122B 'C 'A BCxy 12322、：关于x 的一元二次方程220x x m --=有实数根、 〔1〕求m 的取值范围、〔2〕假设a ，b 是此方程的两个根，且满足22131(2451)22a a b b ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，求m 的值、【答案】〔1〕1m -≥；〔2〕1m =、 【解析】〔1〕∵220x x m --=有实根，∴0∆≥，∵44m ∆=+， ∴440m +≥， ∴1m -≥、〔2〕22131(241)22a a b b ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，2213(22)222a a b b ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，∵a 、b 为方程220x x m --=的两根，∴220a a m --=，220b b m --=， ∴22a a m -=，22b b m -=，∴13(1)22m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，2132122m m m +--=235022m m +-=22350m m +-= (25)(1)0m m +-=152m =-〔舍〕1m =，∴1m =、23、：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：x ⋅⋅⋅ 0 1 2 3 4 5 ⋅⋅⋅y⋅⋅⋅3 0 1- 0 m 8 ⋅⋅⋅〔1〕可求得m 的值为__________、 〔2〕求出这个二次函数的解析式、〔3〕当03x <<时，那么y 的取值范围为______________________________、【答案】〔1〕3；〔2〕2(2)1y x =--；〔3〕13y -<<、 【解析】〔1〕由表可知0x =，4x =，关于对称轴对称， ∴3m =、〔2〕设顶点式2(2)1y a x =--， ∵过(1,0)， ∴20(12)1a =--1a =，∴2(2)1y x =--、〔3〕∵抛物线开口向上，对称轴2x =， ∴03x <<时，当0x =时，y 有最大值3， 2x =时，y 有最小值1-， ∴13y -<<、24、某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%、据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：假设每件售价x 元，那么可卖出(32010)x -件、如果商店计划要获利400元，那么每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？ 【答案】22 100【解析】设每件商品的售价定为x 元， (18)(32010)400x x -⋅-=，128x =，222x =，18(125%)22.5x +=，∵1822.5x <≤， ∴22x =，320103*********x -=-⨯=〔件〕， 答：售价定为22时，卖出100件、 25、：如图，ABC △内接于⊙O ，OH AC ⊥于H ，30B ∠=︒，过A 点的直线与OC 的延长线交于点D ，30CAD ∠=︒，103AD =、〔1〕求证：AD 是⊙O 的切线、〔2〕假设E 为⊙O 上一动点，连接AE 交直线OD 于点P ，问：是否存在点P ，使得PA PH +的值最小，假设存在求PA PH +的最小值，假设不存在，说明理由、H ODCBA【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析、 【解析】〔1〕连结AO ， ∵30B ∠=︒，∴260AOC β∠=∠=︒， 又∵AO CO =，∴AOC △为等边三角形， ∴60OAC ∠=︒， 又∵30CAD ∠=︒， ∴90OAD ∠=︒， ∴OA AD ⊥， 又∵OA 为半径， ∴AD 为⊙O 切线、A 'PA BCDOH〔2〕将点A 关于直线OD 对称到点A '， 由垂径定理可知A '在⊙O 上， ∴PA PA '=，∴min min ()()PA PH PA PH '+=+， ∵60AOC ∠=︒， ∴60A OC '∠=︒， ∴120AOA '∠=︒，又∵1302AOH AOC ∠=∠=︒，∴1203090A OH '∠=︒-︒=︒，∵Rt AOD △中90OAD ∠=︒，60AOD ∠=︒，103AD =， ∴10AO =， ∴10A O '=，在Rt AOH △中，53OH =，∴在Rt OHA '△中，222OA OH A H ''+=， ∴22210(53)A H '+=， ∴57A H '=，∴PA PH +最小值为57、26、有这样一个问题：探究函数262x y x -=-的图象与性质、小慧根据学习函数的经验，对函数262x y x -=-的图象与性质进行了探究、下面是小慧的探究过程，请补充完成：〔1〕函数262x y x -=-的自变量x 的取值范围是__________、〔2〕列出y 与x 的几组对应值、请直接写出m 的值，m =__________、x ⋅⋅⋅ 3- 2- 0 1 1.5 2.5 m 4 6 7 ⋅⋅⋅ y ⋅⋅⋅ 2.4 2.5 3 4 6 2- 0 1 1.5 1.6 ⋅⋅⋅〔3〕请在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象、 〔4〕结合函数的图象，写出该函数的两条性质、①__________________________________________________、 ②__________________________________________________、1234y x123456784321O87654321【答案】〔1〕2x ≠；〔2〕3m =；〔3〕图象不过第三象限，与直线2x =没有交点；〔4〕见解析、 【解析】〔1〕分母不为0，那么20x -≠，2x ≠、 〔2〕令0y =，那么2602x x -=-， ∴3x =、〔3〕从交点个数，增减性，过象限等角度来写、27、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21212y ax x a =+-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ，B 两点〔点A 在点B 左侧〕，且点A 的横坐标为1-、 〔1〕求a 的值、〔2〕设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P '，求点P '的坐标、〔3〕将抛物线在A ，B 两点之间的部分〔包括A ，B 两点〕，先向下平移3个单位，再向左平移(0)m m >个单位，平移后的图象记为图象G ，假设图象G 与直线PP '无交点，求m 的取值范围、2222Oyx【答案】〔1〕2a =-；〔2〕(1,4)--；〔3〕见解析、 【解析】〔1〕∵图象过(1,0)A -，∴210(1)2(1)12a a =-+⨯--+10212a a =--+2a =-、〔2〕223y x x =-++ 2(1)4x =--+，顶点(1,4)P +，P 与P '关于原点对称，∴(1,4)P '--、〔3〕令0y =，那么2023x x =-++， (3)(1)0x x -+=，13x =，21x =-，∴(1,0)A -，(3,0)B ，将图象向下平移3个单位后，(1,3)A '--，(3,3)B '-， ∵(1,4)P ，(1,4)P '--， ∴直线PP '解析为4y x =，令3y =-，那么34x =-，∴3,34H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由图可知，333344B H ⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭，∴334m >时，图象G 与直线PP '无交点、P 'B 'A 'H y PxBA 331128、〔1〕如图1，在四边形ABCD 中，AB BC =，80ABC ∠=︒，180A C ∠+∠=︒，点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40︒，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系、〔2〕如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋12ABC ∠，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM ，CN ，MN 的数量关系是__________、〔3〕如图3，正方形ABCD 的边长是1，点M ，N 分别在AD ，CD 上，假设DMN △的周长为2，那么MBN △的面积最小值为____________________、图3图2图1A B CDM BCDA MDCBA解：〔1〕____________________、 〔2〕____________________、 〔3〕____________________、【答案】〔1〕MN AM NC =+；〔2〕MN AM NC =+；〔3〕21-、【解析】〔1〕连DC 延长线上截取CM AM '=， 连结BM '，∵1180A ∠+∠=︒，12180∠+∠=︒， ∴2A ∠=∠，在ABM △和CBM '△中， 2AB CB A AM CM ⎧=⎪⎪∠=∠⎨⎪'=⎪⎩， ∴ABM △≌CBM '△， ∴BM BM '=，34∠=∠， ∵80ABC ∠=︒，540∠=︒， ∴3640∠+∠=︒， ∴4640∠+∠=︒， ∴MBN M BN '∠=∠， 连结MN ，在MBN △和M BN '△中， 5BM BM NBM BN BN ⎧'=⎪⎪'∠=∠⎨⎪=⎪⎩， ∴MBN △≌M BN '△， ∴MN NM '=，∵NM NC CM NC AM ''=+=+， ∴MN AM NC =+、N 'M '654321ABC DM〔2〕证明同〔1〕、 〔3〕z y x NM LDC B A延长DC 至L ，使CL AM =， 连结BL ，∵90A BCL ∠=∠=︒，AB BC =， ∴ABM △≌CBL △〔SAS 〕， ∴BM BL =，∵2MD DN MN ++=， 2AM MD DN NC +++=， ∴MN AM NC =+， 又∵AM CL =，∴CL CN NL MN +==， ∴BMN △≌BLN △〔SSS 〕， 设DN x =，DM y =，MN z =， 那么222x y z +=， ∵2x y z ++=， ∴2x y z =--， ∴222(2)y z y z --+=，整理得：22(24)(44)0y z y z +-+-=， ∴2(24)42(44)0z z ∆=--⨯⨯-≥，即(222)(222)0z z +-++≥， 又∵0z >， ∵BMN BNL S S =△△12NL BC =⋅⋅ 112z =⨯⨯ 1(222)2⨯-≥， ∴BMN S △最小值21-29、在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y 轴的另一个交点为E 、给出如下定义：假设线段OE ，⊙A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABCD 是矩形〔点A ，B ，C ，D 顺时针排列〕，那么称矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”、 例如，下图中的矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”、备用图7651234567O1234876543211432xy lOy xE DCBA〔1〕假设点(1,2)A -，四边形ABCD 为直线1x =-的“理想矩形”，那么点D 的坐标为____________________、〔2〕假设点(3,4)A ，求直线1(0)y kx k =+≠的“理想矩形”的面积、〔3〕假设点(1,3)A -，直线l 的“理想矩形”面积的最大值为__________，此时点D 的坐标为________________________________________、 解：〔1〕____________________、 〔2〕____________________、〔3〕______________________________，______________________________、【答案】〔1〕(1,0)D -；〔2〕34；〔3〕5 (1,1)D -- (3,2)-、【解析】〔1〕四边形ABCD 中，A ，B ，C ，D 是顺时针排列， 且分别落在线段OE ，⊙A 和直线l 上， ∴(1,0)D -、yx1OA〔2〕连结AO ，过点A 作AF y ⊥轴于点F ， ∵(3,4)A 在1y kx =+上， ∴直线:1l y x =+，设l 与y 轴交于点(0,1)H ， ∵(0,4)F ，∴3HF =，在y 轴上截取3FB =，连结BA ， 可知32AB AH ==，过点B 作BC AB ⊥交⊙A 于点C ，过点C 作CD l ⊥于点D ， 使得A ，B ，C ，D 顺时针排列， 连结AC ，∵22345AC AO ==+=，32AB =，∴Rt ABC △中，222BC AC BA =- 225(32)=-7=，∴7BC =，∴327314S AB BC =⋅=⨯=、HFA BCD x yO l〔3〕设“理想矩形”的一组邻边分别为x ，y ， 那么222221310x y AO +==+=， ∵222()21020x y x y xy xy -=+-=-≥， ∴5xy ≤，5S xy =≤，∴当且仅当x y =时，xy 有最大值5，此时理想矩形为正方形、ON M D C BA yx①当点D 在第四象限明，过点A 作AM y ⊥轴于点M ，交过点D 平行于y 轴的直线于点N ， 易证BMA △≌AND △，∴(2,34)D H -+，即(3,2)-、 ②当点D 在第三象限时，过点A 作x 轴的平分线，交y 轴于点N ，交过点D 平行于y 轴的直线于点M ， 易证Rt ANB △≌Rt DMA △，那么有1DM AN ==，2AM BN ==， ∴(12,31)D --+即(1,2)--， 综上：最大值为5，(3,2)D -或(1,2)--、xy A B C D MN O。
北京市交大附中2018-2019学年第一学期十月月考初三数学试卷( 无答案)
北京市交大附中2018-2019学年第一学期十月月考初三数学试卷（ 无答案）北京交大附中 2018-2019 年度第一学期 10 月月考初三数学试卷班级：姓名：学号：一．选择题（每小题 2 分，共 16 分）1．如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．2．抛物线 y = ( x +1)2 - 4 的顶点坐标是A ．（1，4）B ．（-1，4）C ．（1，-4）D ．（-1，-4）3．将抛物线 y = x 2 - 4 先向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位长度，得到的抛物线解析式是A ． y = ( x + 2)2+ 2 C ． y = ( x - 2)2 - 2B ． y = ( x - 2)2+ 2 D ． y = ( x + 2)2 - 24．方程 x 2 - 3x - 5 = 0 的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定是否有实数根5．如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了 80°，小林的位置也从 A 点运动到了 A '点，则∠OAA ' 的度数为A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°6．为拉动内需促进消费，某品牌的电视机经过两次降价，从原来每台 6000 元降到现在的每台 4860 元，求平均每次的降价率是多少?设每次降价率为 x ，由题意列方程为 A ． 4860(1 + x )2= 6000 C ． 6000(1 - x )2 = 4860B ． 4860(1 - x )2= 6000 D ． 6000(1 + x )2= 48607．二次函数 y 1 = ax 2 + bx + c 与一次函数 y = mx + n 的图像如图所示，则满足不等式ax 2 + bx + c > mx + n 的取值范围是A ． -3 < x < 0 C ． x < -3 或 x > 1B ． x < -3 或 x > 0 D ． 0 < x < 38．城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题，近几年来“互联网+”战略与出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用．名为“数据包络分析”（简称 DE A ）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置．为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天 24 个时段的 DEA 值进行调查，调查发现，DEA 值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的 DEA 值 y 与 t 的关系近似满足函数 关系 y = at 2 + bt + c （a ，b ，c 是常数，且 a ≠0），如图记录了 3 个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻 t 是 A ．4.8B ．5C ．5.2D ．5.5二．填空题（每题 2 分，共 16 分）9．方程x 2 - 2x = 0 的解为 ．210．已知点（x 1，y 1），（x 2，y 2）在反比例函数 y = 2图象上，当 x < x < 0 时，y 1，x1 2y 2 的大小关系是 ．11．写出一个抛物线开口向上，与 y 轴交于（0，2）点的表达式 ．12．如图，点 P 在反比例函数 y = k的图像上，PA ⊥x 轴于点 A ，△PAO 的面积为x3，则 k 的值为 ．C'13．如图，把△ABC 绕着点 A 顺时针方向旋转，得到△AB 'C ' ，点 C 恰好在 B 'C '上，旋转角为α ，则∠C ' 的度数为．（用含α 的式子表示）14．如图，在平面直角坐标 xOy 中，△AOB 可以看做是△OCD 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD 得到△AOB 的过程：．15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为 8m 的正方形 ABCD ，改建的绿地是矩形 AEFG ，其中点 E 在 AB 上，点 G 在 AD 的延长线上，且 DG =2BE ．如果设 B E 的边长为 x （单位：m ），绿地 AEFG 的面积为 y （单位：m 2），那么 y 与 x 的函数的表达式为；当 BE = m 时，绿地 AEFG 的面积最大．16．如图，点 A 的坐标为( 3，0)，点 B 的坐标为（0，1），将△AO B 绕原点 O 顺时针旋转 60°到△A 'OB ' ，A ' B ' 恰好过点 B ，则 B ' 的坐标为 ，重叠部分△BOE 的面积为 ．三．解答题（第17-22 题每题5 分，第23-26 题每题6 分，第27-28 题每题7 分，共68 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．已知m是方程x2+x-1=0的一个根，求代数式(m+1)2 +(m+1)(m-1)的值．18．如图，在8×11 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的格点处．（1）画出△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转90°得到的△A' B 'C ' ；（2）求点 B 运动到点 B ' 所经过的路径的长．19．如图，在等边△ABC 中，点D 是AB 边上一点，连接CD，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．C20．如图，在平面直角坐标x Oy中，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y =mx 的图像交于点A（2，3）、B（-3，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P 是y 轴上一点，且满足△PAB 的面积是5，直接写出点P 的坐标．21．已知关于x 的一元二次方程x2 + 2x +k - 1= 0 有实数根．2（1）求k 的取值范围；（2）当此时方程有两个非．零．的整数根，求正整数k 的值．22．已知：二次函数y =ax2 +bx +c (a ≠ 0)中的x 和y 满足下表：（1）可求得m 的值为；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当0 <x < 3时，则y 的取值范围为．23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪 AB ，喷水口 A 距地面 2m ，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ， 且到地面的距离为 3.6m ，求水流的落地点 C 到水枪底部 B 的距离．24．已知一次函数y = kx + b 的图像与反比例函数 y = 4的图像交于点 A （-4，c ），xB （2，a ）两点，（1）求 a ，c 的值和一次函数 y = kx + b 的解析式；（2）若恰有一个整数 n 使不等式组kx + b < n < 4成立，结合函数图象直接写x出 x 的取值范围25．如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F，连接DF．已知AB=4cm，AD=2cm，设A，E 两点间的距离为x cm，△DEF 面积为y cm2．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化的规律进行了研究．F下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x 的取值范围是；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表格中各对对应值为坐标的点，画出函数的图像；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF 的面积最大时，AE 的长度为cm．26．在平面直角坐标系 x Oy 中，抛物线 y = ax 2 - 4ax + 3a 的最高点的纵坐标是 2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1 ≤ x ≤ 4 之间的部分记为图像 G 1，将图像 G 1 沿直线 x =1 翻折，翻折后的图像记为 G 2，图像 G 1 和 G 2 组成图像 G ．过（0，b ）作与 y 轴垂直的直线 l ，当直线 l 和图像 G 的公共点的横坐标的和小于等于 7时，求2b 的取值范围．27．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，过点 C 在△ABC 外作射线 CE ，且∠BCE =α ，点 B 关于 CE 的对称点为点 D ，连接 AD 、BD 、CD ，其中 AD 、 BD 分别交射线 CE 于点 M 、N ． （1）依题意补全图形；（2）当α =30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0︒< α< 45︒ 时，用等式表示线段 AM 、CN 之间的数量关系，并证明．E28．在平面直角坐标系x Oy中，点A（0，6），点B 在x 轴的正半轴上．若点P、Q 在线段AB 上，且PQ 为某个一边与x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“伴随矩形”．下图为点P，Q的“伴随矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C 的横坐标为2，则点B、C 的“伴随矩形”的面积为；（2）点M、N 的“伴随矩形”是正方形．①当正方形面积为4，且点M 到y 轴的距离为3 时，直接写出点B 的坐标，并求出直线ON 的函数关系式；②当正方形的对角线长度为3 2 时，原点O 与所有正方形上各点所连线段中的最大值和最小值分别为m，n，则m= ，n= ．。
2019年北京交大附中初三数学10月考试卷
北京交大附中2019—2020年度第一学期10月月考练习初三数学试卷班级姓名学号一、选择题（每题2 分，共16 分）第1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y =x2 + 2x -3的对称轴是直线（）A. x =-2B. x =2C. x =-1D. x =13．抛物线y = 2x2向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y = 2（x+1）2+3 B. y = 2（x+1）2 -3C．y = 2（x-1）2 -3 D. y = 2（x-1）2 +34．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）5. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是（）A．45 B．60 C．90 D．1206．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD = 59︒，则∠C 等于（）A. 29︒B. 31︒C. 59︒D. 62︒7. 已知一次函数y1 =kx +m(k ≠ 0) 和二次函数y2=ax2+bx +c(a ≠ 0) 部分自变量和对应的函数值如表：当y2＞y1 时，自变量x 的取值范围是（）A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1 或x＞5 D．x＜-1 或x＞48. 小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是（）A B C D二、填空题（每题2 分，共16 分）9．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式：．10. 在平面直角坐标系xOy 中，函数y =x2 的图象经过点M (x1, y1) ，N (x2, y2) 两点，若- 4 <x1<-2，0 <x2 < 2 ，则y1y2.（用“<”，“=”或“>”号连接）11. 如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3．矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C' D' ．若点B 的对应点B' 落在边CD 上，则B'C 的长为．12. 二次函数y =x2 - 6x +m（m 是常数）的图象与x 轴的一个交点为(-1，0) ，则关于x 的一元二次方程x2 - 6x +m = 0 的根是．13．如图，⊙O 的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，连接AC，若CD=23，∠A=30º，则BD 的长为．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点C（0，4），D 是OA 中点，将△CDO 以C 为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C 与点O 重合，写出此时点D 的对应点的坐标是：．15．若二次函数y =x2 + 2x +c 的最小值是7，则它的图象与y 轴的交点坐标是．16．如图，在Rt∆ABC 中，∠ACB = 90o ，将∆ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到∆A'B'C,M 是BC 的中点，N 是A 'B ' 的中点，连接MN，若BC=2,∠A BC=60°，则线段MN 的最大值为.三、解答题（第17-22 题每题5 分，第23-26 题每题6 分，第27-28 题每题7 分，共68 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 已知二次函数的图象经过点(0,1) ，且顶点坐标为(2,5) ，求此二次函数的解析式．18. 已知如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB>CE．连接BG、DE．求证：BG=DE.yCO19.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，∠ABC =130°，求∠OAC 的度数．20.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A （3，3），B （4，0），C （0， -1 ）．ABx（1）以点 C 为旋转中心，把△ABC 逆时针旋转 90°，画出旋转后的△ A ' B 'C ；（2）在（1）的条件下，① 点A 经过的路径 AA ' 的长度为 （结果保留 π）；② 点 B ' 的坐标为．21．如图，D 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60︒得到线段 AE ,连结 CD,BE. （1）求证：∠AEB ＝∠ADC ; （2）连结 DE ，若∠ADC ＝115°,求∠BED 的度数.22. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当 -4 < x < 2 时，直接写出 y 的取值范围．23．已知二次函数y =kx2 -(k +1)x +1 (k ≠ 0) ．（1）求证：无论k 取任何实数时，该函数图象与x 轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x 轴交点的横坐标均为整数，且k 为整数，求k 值.24．图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m 时，水面宽8m. 水面上升3 米，水面宽度减少多少？25．如图，直线AM 和AN 相交于点A，∠MAN＝30°，在射线AN 上取一点B，使AB＝6cm，过点B 作BC⊥AM 于点C，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E．（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D，根据题意，补全图形；（2）设AD=x cm，CE=y cm，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律.①通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表：（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）②建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD 为Rt△CDE 斜边CE 上的中线时，AD 的长度约为cm（结果保留一位小数）．26. 在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y =mx2 - 2mx +m -1(m > 0) 与x 轴的交点为A, B .（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若AB =2,①求抛物线的解析式；②已知点E(12,4) ，F(4,4) ，将抛物线在0 ≤x ≤ 3 的部分向上平移n 个单位得到图象G ，若图象G 与线段EF 恰有1 个公共点，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.27．在等腰△ABC 中，AB=AC，将线段BA 绕点B 顺时针旋转到BD，使BD⊥AC 于H，连结AD 并延长交BC 的延长线于点P.(1)依题意补全图形；(2)若∠BAC=2α，求∠BDA 的大小（用含α的式子表示）；(3)小明作了点D 关于直线BC 的对称点点E，从而用等式表示线段DP 与BC 之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP 与BC 之间的数量关系.28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(a,b) 和点Q(a, b') ，给出如下定义：若b'=,1,1b ab a≥⎧⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点(2,3)的限变点的坐标是2,3)，点(-2, 5)的限变点的坐标是(-2, -5)．（1）①点)的限变点的坐标是；②在点A(-1,-2)，B(-1,2)中有一个点是函数y = 2x 图象上某一个点的限变点，这个点是；（2）若点P 在函数y =-x +3(-2≤x≤k,k >-2)的图象上，其限变点Q 的纵坐标b'的取值范围是-5≤b'≤2 ，求k 的取值范围；（3）若点P 在关于x 的二次函数y =x2 - 2tx +t2 +t 的图象上，其限变点Q 的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'<n ，其中m >n ．令s =m -n ，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围。
精品解析：北京市海淀区北京交通大学附属中学2019-2020学年九年级上学期12月月考数学试题(解析版)
北京市海淀区北京交通大学附属中学2019-2020学年九年级上学期12月月考数学试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.点P （2，﹣1）关于原点对称的点P ′的坐标是（ ）A. （﹣2，1）B. （﹣2，﹣1）C. （﹣1，2）D. （1，﹣2）【答案】A【解析】【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．【详解】解：点P （2，-1）关于原点对称的点的坐标是（-2，1）．故选A ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2.抛物线()21y x =+的对称轴是（ ） A. 直线1x =B. 直线0x =C. 直线1x =-D. 直线0y =【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数顶点式的性质判断即可.【详解】()21y x =+的对称轴是:x =-1.故选C.【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质,关键在于牢记基础知识.3.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则S △ADE :S △ABC 等于（ ）A. 1:5B. 1:4C. 1:3D. 1:2【答案】B【解析】【分析】 证出DE 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC ，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．【详解】解：∵点D 、E 分别是AB 、C 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC ， ∴△ADE∽△ABC，∴S △ADE ：S △ABC =（12）2=14； 故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．4.O e 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为3，点P 与O e 的位置关系是( )A. 无法确定B. 点P 在O e 外C. 点P 在O e 上D. 点P 在O e 内 【答案】D【解析】【分析】根据点在圆上，则d r =；点在圆外，d r >；点在圆内，d r(d <即点到圆心的距离，r 即圆的半径)，进行判断即可．【详解】解：OP 35=<Q ，∴点P 与O e 的位置关系是点在圆内．故选D ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，熟知点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键． 5.已知近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）之间成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数解析式为（ ）A. y ＝200xB. y ＝200xC. y ＝100xD. y ＝100x【答案】D【解析】【分析】 首先由题中给出y 与x 成反比例写出反比例函数函数解析式的一般形式y ＝k x；把当x ＝0.5，y ＝200，代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程；解方程求出待定系数的值，从而得到函数解析式.【详解】解：∵近视镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例，∴设y ＝k x（k ≠0）， ∵200度近视镜的焦距为0.5m ，∴当x ＝0.5时，y ＝200，∴k ＝xy ＝0.5×200＝100. ∴眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为y ＝100x. 故选D.【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点.用待定系数求函数解析式的一般步骤：（1）写出函数解析式的一般形式；（2）把已知条件代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数的解析式.6.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，»»AD CD=，如果∠CAB ＝40°，那么∠CAD 的度数为（ ）A. 25°B. 50°C. 40°D. 80°【答案】A【解析】【分析】 先求出∠ABC =50°，进而判断出∠ABD =∠CBD =25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【详解】如图，连接BC ，BD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵∠CAB =40°，∴∠ABC =50°．∵弧AD =弧CD ，∴∠ABD =∠CBD 12=∠ABC =25°，∴∠CAD =∠CBD =25°． 故选A ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线．7.在□ABCD 中，E 是AD 上一点，AC BE ，交于点O ，若:1:2AE ED =，2OE =，则OB 的长为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】 由△AEO ∽△CBO ，可知OE ：BO=3:1，即可得出OB 的长.【详解】∵:1:2AE ED =∴:1:3AE AD =，则:1:3AE BC =∵△AEO ∽△CBO ， ∴13OE AE OB CB ==， ∴OB=6，选C.【点睛】此题主要考察相似三角形的应用.8.对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定：a★b＝()()a b a b a a b b+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y ＝2★x 的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据规定得出函数y ＝2★x 的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【详解】由题意，可得当2＜x ，即x ＞2时，y ＝2+x ，y 是x 的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A 、D 错误；当2≥x ，即x ≤2时，y ＝﹣2x，y 是x 的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x ≤2，故B 错误．故选C ．【点睛】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x 的解析式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小題2分）9.已知反比例函数1myx+=的图象经过点()2,3-，则m=______.【答案】-7【解析】【分析】将点(2,-3)代入反比例函数即可求出m的值. 【详解】将点(2,-3)代入得: 132m+-=, 解得:m=-7 故答案为:-7. 【点睛】本题考查反比例函数的代入求值,关键在于理解图象过点的意思.10.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是______mm．【答案】200【解析】【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．【详解】解：∵⊙O的直径为1000mm，∴OA=OA=500mm．∵OD⊥AB，AB=800mm，∴AC=400mm，=300mm，∴CD=OD-OC=500-300=200（mm）．答：水的最大深度为200mm．故答案为200【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．11.已知二次函数221y x bx=-+-图象的顶点在x轴上.则b=______.【答案】±【解析】【分析】根据二次函数的顶点公式得出顶点纵坐标,令其等于零即可解出.【详解】由题意得,顶点纵坐标:244ac ba-=即:()()()242142b⨯-⨯--=⨯-.解得:b=±.故答案为: ±【点睛】本题考查二次函数顶点的几何意义,关键在于理解顶点纵坐标为零.12.在－1，0，1这三个数中任取两个数m，n，则二次函数()2y x m n=-+图象的顶点在坐标轴上的概率为______.【答案】2 3【解析】【分析】将所有的可能的情况枚举出来,再根据频率计算概率即可.【详解】由题意顶点坐标m,n共有(-1,0)(-1,1)(0,-1)(0,1)(1,-1)(1,0)6种情况,其中在坐标轴的由4种,概率为:42 63 =.故答案为: 23. 【点睛】本题考查二次函数与概率计算,关键在于把顶点坐标表示出来.13.已知1(1)y -，，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y >，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式______．【答案】2y x -=(答案不唯一). 【解析】【分析】先根据题意判断出k 的符号，再写出符合条件的解析式即可．【详解】∵（-1，y 1），（2，y 2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y 1＞y 2，∴函数图象的分支在二四象限，则k ＜0．故答案为y=-2x ，答案不唯一． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解决此题的关键是确定k 的符号．14.已知点A 在反比例函数k y x=的图象上，点B 在x 轴上，O 是坐标原点，若AO AB =，AOB ∆的面积等于3，则k 的值为______.【答案】3±【解析】【分析】根据题意画出图象,利用公式法列出式子求出即可.【详解】由题意画如下图象:∵A(x A ,y A )在反比例函数上,∴OB=2 |x A |且x A ·y A =k .S △AOB =1||2A OB y ⋅⋅=3 即: 12||||2A A x y ⋅⋅=3,解得:|k|=3, ∴k=3±.故答案为: 3±.【点睛】本题考查反比例函数与几何的结合,主要在于画出图形了利用公式解题. 15.如图，一次函数3y x =-与反比例函数()0k y k x =<的图象交于A 、B 两点，点P 在以()3,0C 为圆心，1为半径的C e 上，M 是AP 的中点，已知OM 长的最小值为1，则k 的值为______.【答案】2725-【解析】【分析】 作辅助线,先确定OM 长的最大时,点P 的位置,当BP 过圆心C 时,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t,根据勾股定理计算t 的值,可得k 的值.【详解】 如图,连接BP ,由对称性得:OA=OB,∵M 是AP 的中点,∴OM=12BP ,∵OM 长是最小值为1,∴BP 长的最小值为1×2=2,如图,当BP 过圆点C 时,BP 最长,过B 作BD ⊥x 轴于D, ∵CP=1,∴BC=BP+CP=3,∵B 在直线y=-2x 上,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t, Rt △BCD 中,由勾股定理得:BC 2=CD 2+BD 2,∴32=(3-t)2+(-3t)2,解得t=0(舍)或35,∴B(35,95-),∵点B 在反比例函数()0ky k x =<的图象上,∴k=35×95-=2725-.故答案为: 2725-.【点睛】本题考查一次函数与反比例函数与圆的结合,关键在于合理作出辅助线.16.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：下面有四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子中大约有100kg的种子不能发芽.其中合理的是______.【答案】②④【解析】【分析】根据某农科所在相同条件下作某作物种子发芽率的试验表,可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左右,于是得到种子发芽的概率约为0.9,据此求出1000kg种子中大约有100kg种子是不能发芽的即可.【详解】①需要大量试验才可估算发芽率,故错误;②正确;③频率与概率不一定相等,故错误;④正确;故答案为:②④.【点睛】本题考查频率与概率的区别,关键还是在概念上区别两种.三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解方程：22530x x --=． 【答案】x 1=3，212x =- 【解析】 【分析】 因式分解法解.【详解】22530x x --= (-2x-1)(-x+3)=0 x 1=3，212x =-. 【点睛】考查利用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是解决本题的关键． 18.已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式； ()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【答案】（1）2(x 2)1--；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可． 【详解】解：()21y x 4x 3=-+=222x 4x 223-+-+ =2(x 2)1--()22y (x 2)1Q =--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．Q 函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0，∴其图象为：故答案为（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键． 19.下面是小明同学设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程. 已知：如图1，O e 和O e 外的一点P .求作：过点P 作O e 的切线. 作法：如图2，①连接OP ；②作线段OP 的垂直平分线MN ，直线MN 交OP 于C ； ③以点C 为圆心，CO 为半径作圆，交O e 于点A 和B ； ④作直线PA 和PB .则PA ，PB 就是所求作的O e 的切线. 根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明： 证明：连接OA ，OB ，∵由作图可知OP 是C e 的直径，∴90OAP OBP ∠=∠=︒（______）（填依据）， ∴OA PA ⊥，OB PB ⊥， 又∵OA 和OB 是O e 的半径，∴PA ，PB 就是O e 的切线（______）（填依据）.【答案】（1）详见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【解析】 【分析】(1)根据题中描述画图即可.(2)利用圆周角的性质求得OA PA ⊥，OB PB ⊥，即可得切线. 【详解】(1)如图所示:(2) 连接OA ，OB ，∵由作图可知OP 是C e 的直径，∴90OAP OBP ∠=∠=︒（直径所对的圆周角是直角）， ∴OA PA ⊥，OB PB ⊥， 又∵OA 和OB 是O e 的半径，∴PA ，PB 就是O e 的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）. 【点睛】本题考查圆的尺规作图,关键在于掌握尺规作图的方法. 20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，()4,0B ，()0,1C -.（1）以点C 为旋转中心，把ABC ∆逆时针旋转90︒，画出旋转后的A B C '''∆； （2）在（1）的条件下，①点B 经过的路径¼BB '的长度为______（结果保留π）；②点A '的坐标为______. 【答案】（1）详见解析；（2）①172；②()4,2-. 【解析】 【分析】(1)利用网格和旋转的性质画出点A 、B 对应的点A ′和B ′,相连得到所求三角形.(2)①先根据勾股定理求出CB 的长,然后根据弧长公式求解即可;②根据所画图形写出A ′坐标即可. 【详解】(1)如图所示, A B C '''∆即为所求:(2)①BC=221417+=,∠BCB ′=90°.所以点B 经过的路径¼BB'=901717ππ⋅⋅=,②由图象可得:A ′坐标为:()4,2-【点睛】本题考查旋转变化作图,关键在于先找到旋转后对应的点,也需要牢记弧长公式.21.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，12AC =，5BC =.当DE DC =时，求AD 的长.【答案】263AD = 【解析】 【分析】由题意得出ADE ABC ∆∆∽,利用对应边成比例列出式子解出即可. 【详解】解：∵DE AB ⊥，∴90DEA ∠=︒. 又∵90ACB AED ∠=︒=∠，A A ∠=∠.∴ADE ABC ∆∆∽. ∴AD DEAB BC= 在Rt ABC ∆中，∵12AC =，5BC =， ∴13AB =. 设AD x = ∵DE DC =∴12135x x -= 解得263x =∴263AD =.【点睛】本题考查相似的判定和性质,关键在于找到判定条件并利用性质列出式子. 22.如果抛物线2y x 2x 2k 4=++-与x 轴有两个不同的公共点．()1求k 的取值范围；()2如果k 为正整数，且该抛物线与x 轴的公共点的横坐标都是整数，求k 的值．【答案】（1）5k 2<；（2）k 的值为2． 【解析】 【分析】()1利用判别式的意义得到()2242k 40=-->V ，然后解不等式即可；()2先确定正整数k 的值为1，2，当k 1=时，抛物线解析式为2y x 2x 2=+-，当k 2=时，抛物线解析式为2y x 2x =+，然后分别解方程2x 2x 20+-=和2x 2x 0+=可确定满足条件的k 的值．【详解】解：()1根据题意得()2242k 40=-->V， 解得5k 2<；()52k 2<Q ， ∴正整数k 的值为1，2，当k 1=时，抛物线解析式为2y x 2x 2=+-，当y 0=时，2x 2x 20+-=，解得1x 13=-+，2x 13=--，该抛物线与x 轴的公共点的横坐标不是整数；当k 2=时，抛物线解析式为2y x 2x =+，当y 0=时，2x 2x 0+=，解得1x 0=，2x 2=-，该抛物线与x 轴的公共点的横坐标为0和2-，k ∴的值为2．故答案为:（1）5k 2<；（2）k 的值为2． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：抛物线与x 轴的交点个数由判别式确定：2b 4ac 0=->V 时，抛物线与x 轴有2个交点；2b 4ac 0=-=V 时，抛物线与x 轴有1个交点；2b 4ac 0=-<V 时，抛物线与x 轴没有交点．23.在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与双曲线ky x=相交于点()1,A m . （1）求反比例函数的表达式： （2）画出直线和双曲线的示意图；（3）直接写出4kx x≥-+的解集______； （4）若点P 是坐标轴负半轴上一点，且满足2PA OA =.直接写出点P 的坐标______. 【答案】（1）3y x=；（2）详见解析；（3）01x <≤或3x ≥；（4）()131,0P 或(0,339P 【解析】 【分析】(1)将点A 代入直线坐标中求出m,再将点A 代入反比例函数中求出即可.(2)根据题意画出图象即可. (3)由图象即可看出.(4)设P(x,y)代入等式即可算出.【详解】（1）∵将A 代入直线4y x =-+,m =-1+4=3.∴()1,3A . ∴反比例函数的表达式为:3y x=. （2）如图所示:（3）由上图可得:01x <≤或3x ≥ （4）设P 点坐标(x,y) 223110+=10()()2213x y -+-()()2213x y -+-10.当x=0时,y=339-当y=0时,x=131∴()131,0P 或(0,339P【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合,关键在于数形结合,熟悉基础知识.24.已知：如图，点C 是以AB 为直径的O e 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交直线AB 于点F .（1）求证：CF 是O e 的切线；（2）若3ED =，5EF =，求O e 的半径. 【答案】（1）详见解析；（2）O e 的半径为6. 【解析】 【分析】(1)连接CB 、OC,根据切线得∠ABD=90°,根据圆周角定理∠ACB=90°,即∠BCD=90°,则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE,于是得到∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°,然后根据切线的判定定理得CF 是O 得切线;(2)CE=BE=DE=3,于是得到CF=CE+EF=4,然后根据相似三角形的性质即可得到结论. 【详解】（1）证明：连接CB ，OC ， ∵BD 为O e 的切线，AB 是O e 的直径， ∴DB AB ⊥，90ACB ∠=︒. ∴90ABD ∠=︒. ∴90BCD ∠=︒. ∵E 为BD 的中点， ∴CE BE =. ∴BCE CBE ∠=∠. 又∵OCB OBC ∠=∠∴90OBC CBE OCB BCE ∠+∠=∠+∠=︒. ∴OC CF ⊥. ∴CF 是O e 的切线.（2）解：∵3CE BE DE ===，5EF =∴8CF CE EF =+=∵90ABD ∠=︒，∴90EBF ∠=︒，∵90OCF ∠=︒，∴EBF OCF ∠=∠，∵F F ∠=∠，∴EBF OCF ∆∆∽ ∴BE OC BF CF=， ∴348OC = ∴6OC =，即O e 的半径为6.【点睛】本题考查了切线的判定定理、勾股定理、圆周角定理,关键在于熟悉圆的基础知识及性质. 25.阅读材料：工厂加工某种新型材料，首先要将材料进行加温处理，使这种材料保持在一定的温度范围内方可进行继续加工.处理这种材料时，材料温度()y ℃是时间()x min 的函数.下面是小明同学研究该函数的过程，把它补充完整：()1在这个函数关系中，自变量x 的取值范围是______．()2如表记录了17min 内10个时间点材料温度y 随时间x 变化的情况： 时间()x min 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 ⋯温度()y ℃15 24 42 60 3007 1003 30011 30013 m 30017⋯ 上表中m 的值为______．()3如图，在平面直角坐标系xOy 中，已经描出了上表中的部分点.根据描出的点，画出该函数的图象．()4根据列出的表格和所画的函数图象，可以得到，当0x 5≤≤时，y 与x 之间的函数表达式为______，当x 5>时，y 与x 之间的函数表达式为______．()5根据工艺的要求，当材料的温度不低于30℃时，方可以进行产品加工，在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工的时间长度为______min ．【答案】（1）x 0≥；（2）20；（3）见解析；（4）y 9x 15=+，300y x =；（5）253. 【解析】【分析】（1）根据自变量x 表示的实际意义即可求解；（2）观察表格，可得x 5>时，时间与温度乘积不变；（3）用平滑曲线连接即可；（4）根据图象或表格，可知当0x 5≤≤时，函数是一次函数，由此利用待定系数法解决问题； 根据图象或表格可知，当x 5>时，函数是反比例函数，利用待定系数法即可解决问题；（5）将30℃分别代入两个表达式，结合图象确定加工时间．【详解】解：()1根据题意知x 0≥，故答案为x 0≥；()2x 5>时，时间与温度乘积不变，故15m 300=，m 20=，故答案为20；（3）()4当0x 5≤<时，设，y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+，把()0,15、()1,24代入得{15b 24k b ==+,解得k 9=，b 15=，y 9x 15∴=+；当5≥时，设，y 与x 之间的函数表达式为ky x =，把()15,20代入得k 300=，300y x ∴=，故答案为y 9x 15=+，300y x =；()5当y 30=时，309x 15=+，30030x =， 解得5x 3=，x 10=，5251033-=， 故答案为253．故答案为（1）x 0≥；（2）20；（3）见解析；（4）y 9x 15=+，300y x =；（5）253.【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的应用，正确确定函数表达式是解答关键．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++经过点()0,2A ，()3,4B -. （1）求该抛物线的函数表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），如果直线CD 与图象G 有一个公共点，结合函数的图象，直接写出点D 纵坐标t 的取值范围.【答案】（1）抛物线的表达式为2242y x x =-++，抛物线的对称轴为1x =；（2）4433t -≤<或4t =. 【解析】【分析】(1)将点A 、B 代入利用待定系数法解出即可.(2)由题意确定C 坐标,以及二次函数的最小值,确定出D 纵坐标的最小值,求直线AC 解析式,令x =1求出y 的值,由对称性即可得范围. 【详解】解：（1）∵点A ，B 在抛物线22y x mx n =++上， ∴22,4233.n m n =⎧⎨-=⨯++⎩ 解得4,2.m n =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的表达式为2242y x x =-++.∴抛物线的对称轴为1x =.（2）由题意得:C(-3,4),二次函数2242y x x =-++的最大值为4.设直线AC:y=kx+b, 将点A 和C 代入得:234b k b =⎧⎨-+=⎩,解得: 223b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩. ∴直线AC 的表达式为223y x =-+. 当x =1时, 43y =. 由对称性可知,此时与BC 交点的纵坐标为: 43-. ∴点D 纵坐标t 的范围为:4433t -≤<或4t =. 【点睛】本题考查二次函数的图象,关键在于掌握待定系数法和画图方法.27.如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE BD ⊥于E .（1）求证：CAE CBD ∠=∠.（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE .①依题意补全图形；②用等式表示线段AF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②22AF CE BE =+，理由详见解析.【解析】【分析】(1)利用同角的余角即可解出此问.(2)①根据题意补全图形;②过点C 作CG ⊥CE 角AE 于G,进而判断出∠CAE=∠CBD,即可判断△ACG ≌△BCE,得出AG=BE,CG=CE,进而判断出EC=2CE,得出AE=BE+2CE,再判断出EF=AE,即可.【详解】（1）证明：如图1，∵90ACB ∠=︒，AE BD ⊥，∴90ACB AEB ∠=∠=︒，又∵12∠=∠，∴CAE CBD ∠=∠.（2）①补全图形如图2.②22AF CE BE =.证明：在AE 上截取AM ，使AM BE =.又∵AC CB =，CAE CBD ∠=∠，∴ACM BCE ∆∆≌.∴CM CE =，ACM BCE ∠=∠.又∵90ACB ACM MCB ∠=∠+∠=︒.∴90MCE BCE MCB ∠=∠+∠=︒.∴ME =.又∵射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒后得到AF ，且90AEF ∠=︒，∴EF AE AM ME BE ==+=+.∴2AF CE ==+【点睛】本题考查三角形的综合知识,关键在于利用全等将线段进行转换.28.在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，如果PQ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形,M N 的“近距离”，记为(,)d M N .特别地，当图形M 与图形N 有公共点时，(,)0d M N =.已知(4,0)A -，(0,4)B ，(2,0)C -，（1）(d 点A ，点)B = ，(d 点A ，线段)BC = ；（2）⊙O 半径为r ，①当1r =时，求⊙O 与线段AB 的“近距离”(d ⊙O ，线段)AB ；②若(d ⊙O ，)ABC ∆1=，则r = .（3）D 为x 轴上一点，⊙D 的半径为1，点B 关于x 轴的对称点为点'B ，⊙D 与'BAB ∠的“近距离”(d ⊙D ，')1BAB ∠<，请直接写出圆心D 的横坐标m 的取值范围.【答案】（1）（2）①1;1或5;（3）64m -<< 【解析】【分析】(1) 根据图形M ，N 间的“距离”的定义即可解决问题;(2) ①设P 为⊙O 上一点，Q 为线段AB 上一点，根据当O 、P 、Q 共线时，PQ 最小求解即可; ②利用圆外一点到圆上的最近距离即可确定出半径的范围；(3)分两种种情形分别求解即可解决问题.【详解】(1)如图所示：(d 点A ，点)B = 22443242+==，(d 点A ，线段)BC =4-2=2;（2）①作OD⊥AB 交AB 于D,交⊙O 于点E,OD=442242⨯=，∴(d ⊙O ，线段)AB =DE=22-1，②若(d ⊙O ，)ABC ∆=(d ⊙O ，)BC 时，(d ⊙O ，)BC =45525DO ==,14515r =- ；若(d ⊙O ，)ABC ∆=(d ⊙O ，)AB 时，(d ⊙O ，)AB =MN=2415r =+=,∴r 的值为455或5；(3)6224m -<<①D 在A 点左侧时，近距离为AM 的长；②D在A点右侧时，近距离为PN垂线段的长.【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，图形M，N间的“距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决问题．。
(高清打印版)2019届交大附中初升高自招数学
精品文档，欢迎下载！2019年交大附中自招数学试卷1.求值：cos30sin 45tan 60︒⋅︒⋅︒=2.反比例函数1y x=与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为3.已知210x x --=，则3223x x -+=4.设方程(1)(11)(11)(21)(1)(21)0x x x x x x ++++++++=的两根为1x 、2x ，则12(1)(1)x x ++的值为5.直线y x k =+（0k <）上依次有A 、B 、C 、D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k 的值为6.交大附中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体锻课，英才班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等，一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有多少人？7.已知a 、b 、c 、n 是互不相等的正整数，且1111a b c n+++也是整数，则n 的最大值为8.如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为9.若关于x 的方程2(4)(6)0x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m 的值为10.设△ABC 的三边a 、b 、c 均为正整数，且40a b c ++=，则当乘积abc 最大时，△ABC 的面积为11.如图，在直角坐标系中，将△OAB 绕原点旋转到△OCD ，其中(3,1)A -、(4,3)B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为12.如图，数轴上从左到右依次有A 、B 、C 、D 四个点，它们对应的实数分别为a 、b 、c 、d ，如果存在实数λ，满足：对线段AB 和CD 上的任意一点M ，其对应的实数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(,,,,)a b c d λ为“完美数组“，例如：(1,2,3,6,6)就是一组”完美数组“，已知||1AB =，||5BC =，||4CD =，求此时所有的”完美数组“，写出你的结论和推算过程.参考答案1.42.3个3.24.20035.92- 6.36人7.428.4π9.65910.11.913(,)55-12.(4,3,2,6,12)--，(2,1,8,4,8)---，(2,3,8,12,24)2019年交大附中自招数学试卷（二）1.()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.（1）当1099n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（2）当100999n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（3）当10009999n ≤≤时，求()n S n 的最小值.2.（1）如图，2AB =，1BC =，3CD =，M 为以BD 为直径的圆上任意一点，求证：AM MC为定值.（2）尺规作图：以上图结论画出点P ，使::1:1:2PA PB PC =，保留作图痕迹并写出步骤.。
北京市人大附中2019-2020学年度第一学期人教版初三数学10月月考(word版无答案)
2019～2020学年度第一学期初三年级数学练习2一、选择题1.下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A . B.C.D.2.二次函数()2234y x =--+的顶点坐标是( ) A .()3,4B .()3,4-C .()3,4-D .()3,4--3.如图，在O ☉中，AB 为O ☉的直径，C 为圆上一点，若23CAB ∠=︒，则ABC ∠的度数为( )A .23︒B .46︒C .57︒D .67︒4.关于x 的一元二次方程2240kx x +-=的一个根是1，则k 的值是( ) A .1- B .2- C .1 D .25.如图，四边形ABCD 内接于O ☉，过B 点作BH AD ⊥于点H ，若135BCD =︒∠，4AB =，则BH 的长度为( )A B .C .D .不能确定6.用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是( ) A .()232x +=B .()232x -=C .()237x +=D .()237x -=7.一幅三角板如下图1放置(有一条边重合)，如下图2把含45︒的直角三角板ACD 绕点A 顺时针旋转30︒得到''AC D △，若2BC =，则'BCC △的面积为( )A .3B .3C .6D .6-8.北京海淀区某中学经过食堂装修后重新营业，同学们很高兴品尝各种美食菜品，某同学想要得到本校食堂最受同学欢迎的菜品，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的菜品②去食堂收集同学吃饭时选择的菜品名称和人数 ③绘制扇形图来表示各个种类菜品所占的百分比 ④整理所收集的数据并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是( )A .②→③→①→④B .③→④→①→②C .①→②→④→③D .②→④→③→①二、填空题9.在平面直角坐标系xOy 中，点()3,4-关于原点对称的点的坐标为__________.10.如图，在ABC △中，AB AC =，作A D B C ⊥于点D ，以点A 为圆心，AD 为半径画A ☉，则点B 与A ☉的位置关系为__________.(填“在圆内”，“在圆上”或“在圆外”)11.若点()12,A y -，()23,B y 在抛物线22y ax ax b =-+上，若12y y >，请写出一组满足条件的实数a ，b 的值：a =__________，b =__________. 12.如图，O ☉的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，点F 为O ☉上一点，且满足22.5AFC =︒∠，8AB =，则CD 的长为__________.13.若二次函数224y x x c =+-与x 轴的一个交点是()1,0，则关于x 的一元二次方程222xx c +-的根为__________. 14.在一次期末数学测试中，某中学同年级人数相同的A 、B 两个班的成绩统计如下表：数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下： ①这次数学测试成绩中，A 、B 两个班的平均水平相同； ②A 班学生中数学成绩95分及以上的人数少； ③B 班学生的数学成绩比较整齐，分化较小；上述评估中，正确的是_________________.(填序号)15.如图，点(),P a b 为直线143y x =-上的一个动点，点P 绕原点逆时针旋转90︒后，恰好落到图中阴影区域(包括边界)内，则a 的取值范围是_____________.16.如图，线段AB 为O ☉的一条弦，以AB 为直角边作等腰直角ABC △.直线AC 恰好是O ☉的切线，点D 为O ☉上的一点，连接DA 、DB 、DC ，若3DA =，4DB =，则DC 的长为__________.三、解答题17.解方程：()358x x x =+-.18.如图，点D 是等边ABC △的边BC 上的点，以AD 为边作等边ADE △，连接CE . (1)求证：ABD ACE △≌△；(2)若20BAD =︒∠，求AEC ∠的度数.19.已知关于x 的一元二次方程()222210x a x a -+++=. (1)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个实数根.(2)若该方程两个根12,x x 满足22120x x -=，求a 的值.20.如图，点C 是半圆O 上的一点，AB 是O ☉的直径，D 是AC 的中点，作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F ，求证：AF DF =.下面是小明的解法，请帮他补充完整(包括补全图形)解：补全半圆O 为完整的O ☉，连接AD ，延长DE 交O ☉于点H (补全图形) ∵D 是AC 的中点，∴AD CD =，∵DE AB ⊥，AB 是O ☉的直径，∴AD AH =(_________________)(填推理的依据) ∴AH CD =.∴ADF FAD =∠∠(__________________)(填推理的依据) ∴AF DF =(___________)(填推理的依据)21.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x bx c =++与直线2y kx m =+相交于()1,0A -，()3,4B 两点.(1)请分别求出抛物线解析式和直角的解析式； (2)直接写出12y y -的最小值.22.如图，在ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，过点A 作AE BD ∥，交CD 的延长线于点E ，过点E 作EF BC ⊥，交BC 延长线于点F . (1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若45ABC =︒∠，2BC =，求EF 的长.23.某学校在9月下旬进行了初三体育中考模拟测试.该学校初三年级男女生共590人，女生290人，为了解该年级学生的体育成绩情况，随机抽样调查20名男生的体育成绩.过程如下，请将有关问题补充完整.注：体育总成绩(满分30分)=跑步(满分10分)+球类(满分10分)+引体向上或者实心球(满分10分)，各单项及总分均为0.5的整数倍. 收集数据：a .该20个男生跑步成绩情况如下b .该20个男生总成绩和球类成绩情况统计图：注：该20名男生的体育总成绩平均分为26分，跑步平均成绩为8.8分 分析问题：(1) 这20名男生中跑步成绩的中位数是_________分.(2) 若在体育总成绩和球类成绩情况统计图中A 同学的跑步成绩是8分，则A 同学的引体向上(实心球)成绩是__________分.(3) 据有经验的体育老师估计现在体育总成绩大于等于24的男生正常情况下有望体育中考满分，则估计该年级体育中考满分的男生约有___________人. (4) 下列推断合理的是___________.①在体育总成绩和球类成绩情况统计图中B 同学的跑步和引体向上(实心球)成绩均为满分②在体育总成绩和球类成绩情况统计图中C 同学，可能是球类失误得了0分，但他的跑步和引体向上(实心球)成绩都是满分，只要把球类练好了中考体育有望满分.③对于这次体育模拟，男生的体育三项中，总体来说跑步相对其他两项是最弱项. ④对于这次体育模拟，男生的体育三项中，总体来说引体向上(实心球)是最强项.24.如图，AB 是O ☉的直径，过点A 的直线PC 交O ☉于A 、C 两点，AD 平分PAB ∠.射线AD 交于点D ，过点D 作DE PA ⊥于点E . (1)求证：ED 为O ☉的切线；(2)若10AB =，2ED AE =，求AC 的长.25.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x ax a a=-+-的对称轴与x 轴交于点A . (1)求点A 的坐标(用含a 的代数式表示)；(2)若抛物线与x 轴交于P 、Q 两点，且2PQ =，求抛物线的解析式；(2)点B 的坐标为110,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若该抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.26.如图，ABC △是等边三角形，平面上的动点P 满足PC AB ⊥，记APB a =∠. (1)如图1，当点P 在直线BC 上方时，直接写出PAC ∠的大小(用含a 的代数式表示)(2)过点B 作BC 的垂线BD ，同时作60PAD =︒∠，射线AD 与直线BD 交于点D . ①如图2，判断ADP △的形状，并给出证明.②连接CD ，若在点P 的运动过程中，CD =，直接写出此时a 的值.27.在平面中，对于给定的线段AB 和点C ，若平面上的点P (可以与点C 重合)满足： APB ACB =∠∠，则称点P 为点C 关于线段AB 的联络点. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A ，()0,2B ，()2,0C -.(1) 在()12,2P ，()21,0P ，()31P 三个点中，是点O 关于线段AB 的联络点的是______________________.(2) 若点P 既是点O 关于线段AB 的联络点，同时又是点B 关于线段OA 的联络点，求点P 的横坐标m 的取值范围. (3) 直线()0y x b b =+>与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，若在线段BC 上存在点N 关于线段OM 的联络点，直接写出b 的取值范围.。
北京交通大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
北京交通大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．各学科的图形都蒀含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180︒后得到的图案（）A ．B ．C ．D ．3．下列事件中，属于必然事件的是（）A ．在一个只装有黑球的箱子里摸到白球B ．蒙上眼睛射击正中靶心C ．打开电视机，正在播放综艺节目D ．在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾4．已知关于x 的一元二次方程20ax x c -+=，其中a c ，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程根的情况是()A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定5．如图所示，AB 是O 的直径，C ，D 是圆上两点，且30DCB ∠=︒，则BOD ∠=A．60︒6．如图，AB为O则ACD∠的度数为（A．30︒B7．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色后放回，过程，多次试验后，得到表中的数据：摸球的次数n100摸到白球的次数m70摸到白球的频率mn0.70并得出了四个结论，其中正确的是（A．试验1500次摸到白球的频率一定比试验B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为C．当试验次数n为2000D．这个盒子中的白球定有8．如图，过点A作OD作O的切线，交ABA ．2二、填空题9．若点()1,2M 、10．二次函数1y =2ax bx c mx ++>+12．如图，在O 中，等于.13．关于x 的一元二次方程为14．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的坐标15．如图，在平面直角坐标系心.16．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有的盒子，盒子容量和单价如下表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过盒子的个数分别为．三、解答题17．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：摸球的次数s150作法：①作射线PO ，交②以P 为圆心，PO 为半径作MN 的长为半径画弧交 ③连接PA ，OA ，OA 交④作直线PB ．所以直线PB 为O 的切线．(1)使用直尺和圆规进行尺规作图，依作法补全图形(2)完成下面的证明．证明：OA MN = ，OB ∴12OB OA =．PO PA = ，PB OA ∴⊥．()(填推理的依据∴半径OB BP ⊥．∴直线PB 为O 的切线．19．已知二次函数2y x=(1)二次函数243y x x =-+图象与x 轴的交点坐标是点坐标是；(2)在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数(3)当14x <<时，结合函数图象，直接写出20．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图1AB =米，D 为圆上一点，DC AB ⊥于点少？【分析】过O 作ON ⊥AB 于N ，过D 作DM 1________2AN BN AB ===(米)，再证四边形______MN CD ==米，DM CN BC BN ==+然后由题意列出方程或方程组，解方程(组)可得21．如图，在正方形ABCD 中有一点P ，连接(1)若正方形的边长是10，4PB =．则阴影部分面积为___________；(2)若4,7,135PB PA APB ==∠=︒，求PC 的长．22．如图，AB 是半径为5的O 的直径，点C 、D 是O 上的点，且∥OD BC ，AC 分别与BD 、OD 相交于点E 、F ．(1)求证：点D 为 AC 的中点；(2)若4CB =，求DF 的长；23．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A ，B ，C ，D 四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．A ．决策类人工智能B ．人工智能机器人C ．语音类人工智能D ．视觉类人工智能(1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；(2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．24．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，P 是⊙O 外一点，AC ⊥PD 于点E ，AD 平分∠BAC ．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若DE=3，，∠BAC=60°25．中新社上海3月21日电（记者缪璐）女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系动路线可以看作抛物线的一部分，与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离(1)求(b 用含a 的式子表示)；(2)抛物线过点()2,M m -，()1,N n ，(3,P ①证明：()()110m n --<；②若M ，N ，P 恰有两个点在x 轴上方，求27．在正方形ABCD 中，点E 在射线BC 上绕点E 逆时针旋转90︒得到EF ，连接BF(1)如图1，点E 在BC 边上．①依题意补全图1；②若6AB =，2EC =，求BF 的长；(2)如图2，点E 在BC 边的延长线上，用等式表示线段BD ，BE ，BF 之间的数量关系．28．定义：对于一次函数12y ax b y cx d =+=+、，我们称函数()()(0)y m ax b n cx d ma nc =++++≠为函数12y y 、的“组合函数”.(1)若m =3，n =1，试判断函数52y x =+是否为函数121,21y x y x =+=-的“组合函数”，并说明理由;(2)设函数12y x p =--与23y x p =-+的图像相交于点P .①若1m n +>，点P 在函数12y y 、的“组合函数”图像的上方，求p 的取值范围；②若p ≠1，函数12y y 、的“组合函数”图像经过点P .是否存在大小确定的m 值，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图像与x 轴交点Q 的位置不变?若存在，请求出m 的值及此时点Q 的坐标;若不存在，请说明理由.。
北京人大附中2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(10月份)
2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称的图形是（）A．B．C．D．2．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，﹣4）3．如图，在⊙O，AB为⊙O直径，C为上一点，若∠CAB＝23°，则∠ABC的度数为（）A．23°B．46°C．57°D．67°4．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣4＝0的一个根是1，则k的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（A．B．2C．3D．不能确定6．用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，原方程可变形为（）A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x+3）2＝7 D．（x﹣3）2＝27．一副三角板如图1放置（有一条边重合），如图2把含45°的直角三角板ACD绕点A顺时针旋转30°，得到△AC′D′，若BC＝2，则△BCC′的面积为（）A．2﹣3 B．3﹣C．4﹣6 D．6﹣28．北京海淀区某中学经过食堂装修后重新营业，同学们很高兴品尝各种美食菜品某同学想要得到本校食堂最受同学双迎的菜品，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的菜品；②去食堂收集同学吃饭时选择的菜品名称和人数；③绘制扇形图来表示各个种类产品所占的百分比；④整理所收集的数据，并绘制频数分布表；正确统计步骤的顺序是（）A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①二．填空题（共8小题）9．在平面直角坐标系xOy中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标为．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥BC于点D，以点A为圆心，AD为半径画⊙A．则点B与⊙A的位置关系为（填“在圆内”．“在圆上”或“在圆外”）11．若点A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+b上，若y1＞y2，请写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．12．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，点F为⊙O上一点，且满足∠AFC＝22.5°，AB＝8，则CD的长为．13．若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根为．14．在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表：班级平均分中位数方差甲班92.5 95.5 41.25乙班92.5 90.5 36.06 数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下：①这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；②甲班学生中数学成绩95分及以上的人数少；③乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小．上述评估中，正确的是．（填序号）15．如图，点P（a，b）为直线y＝x﹣1上一个动点，点P绕原点逆时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则a的取值范围是．16．如图，线段AB为⊙O的一条弦，以AB为直角边作等腰直角△ABC，直线AC恰好是⊙O的切线，点D为⊙O上的一点，连接DA，DB，DC，若DA＝3，DB＝4，则DC的长为．三．解答题（共10小题）17．解方程：3x＝x（x+5）﹣818．如图，点D是等边△ABC的边BC上的点，以AD为边作等边△ADE，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝20°，求∠AEC的度数．19．已知关子x的一元二次方程x2﹣（2a+2）x+2a+1＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根：（2）若该方程两个根x1，x2满足x12﹣x22＝0，求a的值20．如图，点C是半圆O上的一点，AB是⊙O的直径，D是的中点，作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．求证；AF＝DF下面是小明的解法，请帮他补充完整（包括补全图形）解：补全半圆O为完整的⊙O，连结AD，延长DE交⊙O于点H（补全图形）∵D是AC的中点；∴＝；∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径；∴＝（）（填推理的依据）；∴＝；∴∠ADF＝∠FAD（）（填推理的依据）；∴AF＝DF（）（填推理的依据）；21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝x2﹣bx+c与直线y2＝kx+m相交于A（﹣1，0），B（3，4）两点．（1）请分别求出抛物线解析式和直线的解析式；（2）直接写出y1﹣y2的最小值．22．如图，在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ABC＝45°，BC＝2，求EF的长．23．如图，AB是⊙O的直径，过点A的直线PC交⊙O于A，C两点，AD平分∠PAB，射线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥PA于点E．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）若AB＝10，ED＝2AE，求AC的长．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣的对称轴与x轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若抛物线与x轴交于P，Q两点，且PQ＝2，求抛物线解析式；（3）点B的坐标为（0，），若该抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象直接写出a的取值范围．25．如图，△ABC是等边三角形，平面上的动点P满足PC⊥AB，记∠APB＝α．（1）如图1，当点P在直线BC上方时，直接写出∠PAC的大小（用含α的代数式表示）；（2）过点B作BC的垂线BD，同时作∠PAD＝60°，射线AD与直线BD交于点D．①如图2，判断△ADP的形状，并给出证明；②连结CD，若在点P的运动过程中，CD＝AB．直接写出此时α的值．26．在平面上，对于给定的线段AB和点C，若平面上的点P（可以与点C重合）满足，∠APB＝∠ACB．则称点P为点C关于直线AB的联络点．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（0，2），C（﹣2，0）．（1）在P1（2，2），P（1，0），R（1+，1）三个点中，是点O关于线段AB的联络点的是．（2）若点P既是点O关于线段AB的联络点，同时又是点B关于线段OA的联络点，求点P的横坐标m 的取值范围；（3）直线y＝x+b（b＞0）与x轴，y轴分交于点M，N，若在线段BC上存在点N关于线段OM的联络点，直接写出b的取值范围．。
北京市人大附中2019-2020学年度第一学期人教版初三数学10月月考(word版 )
2019～2020学年度第一学期初三年级数学练习2一、选择题1.下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A . B.C.D.2.二次函数()2234y x =--+的顶点坐标是( ) A .()3,4B .()3,4-C .()3,4-D .()3,4--3.如图，在O ☉中，AB 为O ☉的直径，C 为圆上一点，若23CAB ∠=︒，则ABC ∠的度数为( )A .23︒B .46︒C .57︒D .67︒4.关于x 的一元二次方程2240kx x +-=的一个根是1，则k 的值是( ) A .1- B .2- C .1 D .25.如图，四边形ABCD 内接于O ☉，过B 点作BH AD ⊥于点H ，若135BCD =︒∠，4AB =，则BH 的长度为( )AB .C .D .不能确定6.用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是( ) A .()232x +=B .()232x -=C .()237x +=D .()237x -=7.一幅三角板如下图1放置(有一条边重合)，如下图2把含45︒的直角三角板ACD 绕点A 顺时针旋转30︒得到''AC D △，若2BC =，则'BCC △的面积为( )A .3B .3C .6-D .6-8.北京海淀区某中学经过食堂装修后重新营业，同学们很高兴品尝各种美食菜品，某同学想要得到本校食堂最受同学欢迎的菜品，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的菜品②去食堂收集同学吃饭时选择的菜品名称和人数 ③绘制扇形图来表示各个种类菜品所占的百分比 ④整理所收集的数据并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是( )A .②→③→①→④B .③→④→①→②C .①→②→④→③D .②→④→③→①二、填空题9.在平面直角坐标系xOy 中，点()3,4-关于原点对称的点的坐标为__________.10.如图，在ABC △中，AB AC =，作AD BC ⊥于点D ，以点A 为圆心，AD 为半径画A ☉，则点B 与A ☉的位置关系为__________.(填“在圆内”，“在圆上”或“在圆外”)11.若点()12,A y -，()23,B y 在抛物线22y ax ax b =-+上，若12y y >，请写出一组满足条件的实数a ，b 的值：a =__________，b =__________. 12.如图，O ☉的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，点F 为O ☉上一点，且满足22.5AFC =︒∠，8AB =，则CD 的长为__________.13.若二次函数224y x x c =+-与x 轴的一个交点是()1,0，则关于x 的一元二次方程222xx c +-的根为__________. 14.在一次期末数学测试中，某中学同年级人数相同的A 、B 两个班的成绩统计如下表：数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下： ①这次数学测试成绩中，A 、B 两个班的平均水平相同； ②A 班学生中数学成绩95分及以上的人数少； ③B 班学生的数学成绩比较整齐，分化较小；上述评估中，正确的是_________________.(填序号)15.如图，点(),P a b 为直线143y x =-上的一个动点，点P 绕原点逆时针旋转90︒后，恰好落到图中阴影区域(包括边界)内，则a 的取值范围是_____________.16.如图，线段AB 为O ☉的一条弦，以AB 为直角边作等腰直角ABC △.直线AC 恰好是O ☉的切线，点D 为O ☉上的一点，连接DA 、DB 、DC ，若3DA =，4DB =，则DC 的长为__________.三、解答题17.解方程：()358x x x =+-.18.如图，点D 是等边ABC △的边BC 上的点，以AD 为边作等边ADE △，连接CE . (1)求证：ABD ACE △≌△；(2)若20BAD =︒∠，求AEC ∠的度数.19.已知关于x 的一元二次方程()222210x a x a -+++=. (1)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个实数根.(2)若该方程两个根12,x x 满足22120x x -=，求a 的值.20.如图，点C 是半圆O 上的一点，AB 是O ☉的直径，D 是AC 的中点，作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F ，求证：AF DF =.下面是小明的解法，请帮他补充完整(包括补全图形)解：补全半圆O 为完整的O ☉，连接AD ，延长DE 交O ☉于点H (补全图形)∵D 是AC 的中点， ∴AD CD =，∵DE AB ⊥，AB 是O ☉的直径，∴AD AH =(_________________)(填推理的依据) ∴AH CD =.∴ADF FAD =∠∠(__________________)(填推理的依据) ∴AF DF =(___________)(填推理的依据)21.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x bx c =++与直线2y kx m =+相交于()1,0A -，()3,4B 两点.(1)请分别求出抛物线解析式和直角的解析式； (2)直接写出12y y -的最小值.22.如图，在ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，过点A 作AE BD ∥，交CD 的延长线于点E ，过点E 作EF BC ⊥，交BC 延长线于点F . (1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若45ABC =︒∠，2BC =，求EF 的长.23.某学校在9月下旬进行了初三体育中考模拟测试.该学校初三年级男女生共590人，女生290人，为了解该年级学生的体育成绩情况，随机抽样调查20名男生的体育成绩.过程如下，请将有关问题补充完整.注：体育总成绩(满分30分)=跑步(满分10分)+球类(满分10分)+引体向上或者实心球(满分10分)，各单项及总分均为0.5的整数倍. 收集数据：a .该20个男生跑步成绩情况如下b .该20个男生总成绩和球类成绩情况统计图：注：该20名男生的体育总成绩平均分为26分，跑步平均成绩为8.8分 分析问题：(1) 这20名男生中跑步成绩的中位数是_________分.(2) 若在体育总成绩和球类成绩情况统计图中A 同学的跑步成绩是8分，则A 同学的引体向上(实心球)成绩是__________分.(3) 据有经验的体育老师估计现在体育总成绩大于等于24的男生正常情况下有望体育中考满分，则估计该年级体育中考满分的男生约有___________人. (4) 下列推断合理的是___________.①在体育总成绩和球类成绩情况统计图中B 同学的跑步和引体向上(实心球)成绩均为满分②在体育总成绩和球类成绩情况统计图中C 同学，可能是球类失误得了0分，但他的跑步和引体向上(实心球)成绩都是满分，只要把球类练好了中考体育有望满分. ③对于这次体育模拟，男生的体育三项中，总体来说跑步相对其他两项是最弱项. ④对于这次体育模拟，男生的体育三项中，总体来说引体向上(实心球)是最强项.24.如图，AB 是O ☉的直径，过点A 的直线PC 交O ☉于A 、C 两点，AD 平分PAB ∠.射线AD 交于点D ，过点D 作DE PA ⊥于点E . (1)求证：ED 为O ☉的切线；(2)若10AB =，2ED AE =，求AC 的长.25.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x ax a a=-+-的对称轴与x 轴交于点A . (1)求点A 的坐标(用含a 的代数式表示)；(2)若抛物线与x 轴交于P 、Q 两点，且2PQ =，求抛物线的解析式；(2)点B 的坐标为110,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若该抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.26.如图，ABC △是等边三角形，平面上的动点P 满足PC AB ⊥，记APB a =∠. (1)如图1，当点P 在直线BC 上方时，直接写出PAC ∠的大小(用含a 的代数式表示)(2)过点B 作BC 的垂线BD ，同时作60PAD =︒∠，射线AD 与直线BD 交于点D . ①如图2，判断ADP △的形状，并给出证明.②连接CD ，若在点P 的运动过程中，CD ，直接写出此时a 的值.27.在平面中，对于给定的线段AB 和点C ，若平面上的点P (可以与点C 重合)满足： APB ACB =∠∠，则称点P 为点C 关于线段AB 的联络点. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A ，()0,2B ，()2,0C -.(1) 在()12,2P ，()21,0P ，()31P +三个点中，是点O 关于线段AB 的联络点的是______________________.(2) 若点P 既是点O 关于线段AB 的联络点，同时又是点B 关于线段OA 的联络点，求点P的横坐标m 的取值范围. (3) 直线()0y x b b =+>与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，若在线段BC 上存在点N 关于线段OM 的联络点，直接写出b 的取值范围.。