安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题
A.若 ，则 ，此时不满足 ，该命题错误；
B.若 ，则 ，此时不满足 ，该命题错误；
C.由立体几何基本公理可知：若 , ，则 ，该命题正确；
D.若 , ，可能 ，也可能 ，该命题错误.
本题选择C选项.
【点睛】
本题考查了空间几何体的线面位置关系、点面位置关系判定与证明：
（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；
15．已知圆 ，直线 ，下面五个命题：
①对任意实数 与 ，直线 和圆 有公共点；
②存在实数 与 ，直线 和圆 相切；
③存在实数 与 ，直线 和圆 相离；
④对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 与和圆 相切；
⑤对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 与和圆 相切.
其中真命题的代号是______________________（写出所有真命题的代号）.
【点睛】
本题主要考查了旋转体的概念及其应用，其中解答中熟记旋转体的概念，合理判定是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.
2．C
【解析】
分析：由直线的方程 可得直线的斜率为： ，进而根据倾斜角与斜率之间的共线得到直线的倾斜角．
解：由直线的方程 可得直线的斜率为： ，
所以直线的倾斜角的度数为：60°．
A． B． C． D．0
9．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（）
A．4B． C． D．3
10．已知 为圆C: 上任意一点，则 的最大值为（）
A．2B． C． D．0
11．已知圆 与直线 相交于 两点， 为圆上的一点， 的中点 在线段 上，且 ，则圆 的半径 为（）
A． B． C． D．
（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.
【校级联考】安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得的几何体为（ ）
A．一个圆台B．两个圆锥C．一个圆柱D．一个圆锥
【详解】
将正方体还原之后如图所示，由于 的三条边均为正方体的面对角线，
故 ，即 是等边三角形，
据此可得：∠ABC的度数是60°.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查正方体的几何特征，折叠问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．C
【解析】
【分析】
逐一考查所给命题是否正确即可.
【详解】
A．0°B．30°C．60°D．90°
6．已知平面 ，直线 ，点 ，则下列命题正确的是( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 , ，则 D．若 , ，则
7．圆心在 轴上，且过点(2,4)的圆与 轴相切，则该圆的方程是( )
A． B．
C． D．
8．如图，已知正三棱柱 的棱长均为2，则异面直线 与 所成角的余弦值是( )
(2)求 的外接圆的方程.
19．如图，在三棱锥 中， 平面 ， , 为线段 的中点, 为线段 上一动点，且 , .
(1)求证: 平面 .
(2)当 ∥平面 时，求三棱锥 的体积．
20．已知圆的方程为
（1）求 的取值范围；
（2）若此圆与直线 相交于 两点，且 （ 为坐标原点），求 的值
21．如图所示，在直角梯形 中， ⊥ , , =6, =4, =2 ，点 , 分别在 、 上, ∥ ，并且 为 中点．现将四边形 沿 折起,使平面 ⊥平面
故答案为：C．
3．D
【解析】
【分析】
由题意结合直线垂直的充分必要条件确定m的值即可.
【详解】
很明显直线的斜率存在，直线方程即： ， ，
由直线垂直的充分必要条件可得： ，解得： .
本题选择D选项.
【点睛】
(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(1)证明： .
(2)在 上确定一点 ，使得过 、 、 的平面将三棱锥 分成的两部分体积相等.
参考答案
1．B
【分析】
根据旋转体的定义，可得将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周得到两个同底的圆锥组成的组合体，即可求解.
【详解】
由题意，根据旋转体的定义，可得将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周得到两个同底的圆锥组成的组合体，故选B.
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
4．B
【解析】
由于垂足Q在yOz平面内,可设Q(0,y,z)
∵直线PQ⊥yOz平面
∴P、Q两点的纵坐标、竖坐标都相等，
∵P的坐标为 ，
∴ ,可得 ，
本题选择B选项.
5．C
【分析】
首先将几何体还原，然后结合其空间结构特征确定角度值即可.
2．直线 的倾斜角是（）
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．已知直线 与 垂直，则 （ ）
A． B． C．-2D．2
4．在空间直角坐标系中，已知点 ，过点P作平面yoz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是（）
二、填空题
12．求过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
13．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时 ，那么这个二面角大小是_________.
14．如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为2，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为 ，则正四棱柱体的体积为_____________.
三、解答题
16．已知直线 ： ， ，
(1)求 与 的交点 的坐标.
(2)求过交点 且与 垂直的直线方程，并化为一般式.
17．如图，已知矩形 所在平面与平面 垂直， // ， ， ， .
（1）求证： 平面 .
（2）求证：平面 平面 .
18．在 中，点 （7，4）， （2，9）， （5，8）
(1)求 的面积.
安徽省宿州市十三所重点中学高二数学上学期期中试题理
宿州市十三所重点中学2018-2019学年度第一学期期中质量检测高二数学（理科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以一个直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是( )A. 一个圆柱B. 一个圆锥C. 一个圆台D. 两个圆锥 2.直线3320x y --=的倾斜角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 3.已知直线1:30-+=l mx y 与211:22l y x =-+垂直，则=m （ ） A. 12-B. 12C. -2D. 2 4.在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面xoz 的垂线PQ ，则垂足Q的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)5.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的度数是（ ）A ．0°B ．30° C.60° D ．90° 6.已知平面α，直线l ，点P ，则下列命题正确的是( )A ．若,l P l α⊄∈，则P α∉B ．若,l P l α⊄∈，则P α∈C ．若α⊂l ,P l ∈，则P α∈D ．若α⊂l ,P l ∉，则P α∉ 7.圆心在x 轴上，且过点(2,4)的圆与y 轴相切，则该圆的方程是( )A ．01022=++y y x B ．01022=-+y y x C ．01022=++x y x D ．01022=-+x y x8.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A 3B ．12C ．14D ．0 9. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱的大小是( )A ．3B ．22C ．5D ．210.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A ．4B ．34 C ．32D ．311. 已知),(b a P 为圆C:044222=+--+y x y x 上任意一点，则11+-a b 的最大值为（ ） A. 2 B. 34-C. 34 D. 012.已知圆222:(0)O x y r r +=>与直线20x y +-=相交于,A B 两点，C 为圆上的一点，OC 的中点D 在线段AB 上，且35AD DB =u u u r u u u r，则圆O 的半径r 为（ ）A.11B.103C.10D.23 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省宿州市汴北三校联考2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题
安徽省宿州市汴北三校联考2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．以一个等边三角形的底边所对应的中线为旋转轴旋转一周所得的几何体是（ ） A ．一个圆柱 B ．一个圆锥 C ．一个圆台 D ．两个圆锥 2．下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.3．已知直线经过点(0,4)A 和点(1,2)B ，则直线AB 的斜率为（ ）A ．3B ．2-C ．2D ．不存在 4．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π5．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面6．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若,,m n αα‖‖则m n ‖B ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ‖C ．若,,m m αβ‖‖则αβ‖D ．若,,m n αα⊥⊥则m n ‖7．已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为A B C D 8．过三棱柱ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有（ ）条.A ．2B ．4C ．6D ．89．直线20x y -+=的倾斜角为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．135︒10．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( ) A ． B ．C ．D ．11．已知点(1,3)P 与直线l ：10x y ++=，则点P 关于直线l 的对称点坐标为A ．(3,1)--B ．(2,4)C ．(4,2)--D ．(5,3)--12．两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y+c=0上，则m+c 的值为（ ）A ．3B ．2C ．0D ．－1二、填空题13．过点(1,2)M 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________.14．圆22:2220C x y x y +++-=，:20l x y -+=，求圆心到直线l 的距离________．15．在正方体1111ABCD A B C D -的各条棱中，与直线1AA 异面的棱有_________条.16．已知正方体1111ABCD A B C D -1111ABCD A B C D -的体积为________．三、解答题17．已知三角形ABC 的顶点坐标为(1,5)A -，(2,1)B --,(4,3)C ,M 是BC 边上的中点．（Ⅰ）求AB 边所在直线的方程；（Ⅱ）求中线AM 的长；（Ⅲ）求AB 边的高所在直线的方程．18．四边形ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：BD PC ⊥．19．已知点()()1,2,1,4A B --，求（1）过点A,B 且周长最小的圆的方程；（2）过点A,B 且圆心在直线240x y --=上的圆的方程．20．如图，多面体ABCDE 中，//BE CD ，BE BC ⊥，AB AC =，平面BCDE ⊥平面ABC ，M 为BC 的中点．（1）若N 是线段AE 的中点，求证：//MN 平面ACD ；（2）若1BE =，2BC =，3CD =，求证：DE ⊥平面AME ．21．已知圆22240x y x y m +--+=.（1）此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M .N 两点，且OM ON ⊥ (O 为坐标原点)，求的值；22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，E ，F 分别为11A C ，BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：在棱AC 上存在一点M ，使得平面1//C FM 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积．参考答案1．B【分析】旋转轴的左右两边都是直角三角形，并且旋转轴是直角三角形的较长直角边.【详解】以一个等边三角形的底边所对应的中线为旋转轴旋转一周所得的几何体相当于是一个圆锥， 故选B.【点睛】本题考查对旋转体的理解，能根据旋转过程判断所得到的旋转体，难度较易.以直角三角形的任意一条直角边为旋转轴旋转得到的几何体是圆锥.2．D【解析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 3．B【详解】 根据斜率公式有42201k -==--. 故选：B .4．B【解析】由三视图可知，该几何体为半个球，球半径为1. 所以其表面积为22214332R R R ππππ⨯+== 故选B点睛：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5．C【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.6．D【详解】A 项，,m n 可能相交或异面,当时，存在，，故A 项错误；B 项，αβ，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B 项错误；C 项，αβ，可能相交或垂直,当 时，存在，，故C 项错误；D 项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D 项正确,故选D.本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.7．A【解析】设底面半径为R ，侧面展开图半径为r ；底面周长等于侧面半圆周长，即2,2R r r R ππ==222136,2S R r R R 表πππ=+===选A 8．C【解析】分析：作出如图的图象，由图形知只有过H ，G ，F ，I 四点的直线才会与平面ABB 1A 1平行，由计数原理得出直线的条数即可解答：解：作出如图的图形，H ，G ，F ，I 是相应直线的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI 中，由此四点可以组成C 42=6条直线，故选C9．B【解析】直线20x y -+=的斜率为1所以倾斜角为45︒故选B10．A【分析】由题意逐一考查所给的函数图像是否符合题意即可.【详解】逐一考查所给的函数图像：对于选项A ，y ax =过坐标原点，则0a <，直线y x a =+在y 轴的截距应该小于零，题中图像符合题意；对于选项C ，y ax =过坐标原点，则0a >，直线y x a =+在y 轴的截距应该大于零，题中图像不合题意；y ax =过坐标原点，直线y x a =+的倾斜角为锐角，题中BD 选项中图像不合题意； 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，一次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C设点P 关于直线l 的对称点坐标()a b ，3111131022b a a b -⎧-⨯=-⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩,解得：a 4b 2=-=-， 故选：C点睛：两个点关于一条直线轴对称，即这条直线是两点连线段的中垂线，“中”是说线段中点落在轴上，“垂”直线与两点连线垂直，即点在直线上，斜率积为-1，布列方程组即可.12．A【解析】试题分析：由圆的知识可知公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，AB 中点为1,12m +⎛⎫⎪⎝⎭代入直线得21m c +=，415,231AB k m c m c m==-∴==-∴+=- 考点：圆与圆的位置关系点评：两圆相交时，两圆心的连心线是公共弦的垂直平分线13．x+y=3或y=2x【解析】试题分析：：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a ， 把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx ，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x 即2x-y=0．综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0考点：直线方程14【解析】 圆方程可化为()()22114x y +++=⇒圆心(1,1)C d --⇒==15．4与棱AA1异面的有：BC，CD，C1D1，B1C1故答案为4．16．8【解析】依题意得正方体的对角线即为球的直径,设正方体边长为a,,故2a==,所以正方体体积为328=.[点睛]本小题主要考查几何体外接球问题. 确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．17．(1) 6x-y+11=0 (2)AM=3）11163 y x=-+【分析】（1）由两点式直接写方程，（2）求出中点，用两点距离公式求解，（3）求出AB的斜率，得到AB边上高的斜率，进而可得AB边的高所在直线的方程【详解】解：（1）由两点式写方程得，即6x-y+11=0或直线AB的斜率为直线AB的方程为即6x-y+11=0（2）设M 的坐标为（），则由中点坐标公式得故M （1，1）（3）661AB k ==， 则AB 边的高所在直线的方程为1(4)36y x =--+即11163y x =-+ 18．（1）见解析；（2）见解析.【分析】 （1）要证PA 与平面EBD 平行，而过PA 的平面PAC 与平面EBD 的交线为EO ，因此只要证PA ∥EO 即可，这可由中位线定理得证；（2）要证BD PC ⊥，就是要证BD ⊥平面PAC ．【详解】（1）连接AC ，OE ，则AC 经过正方形中心点O ，由O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，得//OE PA ，又OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE ； （2）由PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,得PO BD ⊥，又正方形对角线互相垂直，即BD AC ⊥，PO AC O =，PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，得BD PC ⊥．【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19．（1）()22110x y +-=；（2）()()223220x y -+-=【分析】(1)当AB 为直径时，过,A B 的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心的坐标和圆的半径，即可得到圆的方程．(2) 解法1：AB 的斜率为3k =-时，则AB 的垂直平分线的方程330x y -+=，进而求得圆心坐标和圆的半径，得到圆的标准方程；解法2：设圆的方程为：222()()x a y b r -+-=，列方程组，求得,,a b r 的值，即可得到圆的方程．【详解】(1)当AB 为直径时，过A 、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即AB 中点(0,1)为圆心， 半径r ＝12|AB |.则圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝10. (2) 解法1：AB 的斜率为k ＝－3，则AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x .即x －3y ＋3＝0 由圆心在直线240x y --=上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C (3,2)．r ＝|AC |(x －3)2＋(y －2)2＝20.解法2：待定系数法设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.则2222222(1)(2)3(1)(4)224020a b r a a b r b a b r ⎧-+--==⎧⎪⎪--+-=⇒=⎨⎨⎪⎪--==⎩⎩∴圆的方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝20.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中熟记圆的标准方程和根据题设条件，求解圆的圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．20．（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）要证//MN 平面ACD ，取AB 的中点H ，只需证明平面//MNH 平面ACD ；（2）要证：DE ⊥平面AME ，只需证明AM DE ⊥，EM DE ⊥即可. 试题解析：（1）取AB 的中点H ，连接MH ，NH ，由N 是AE 的中点，得//NH BE ， 又//BE CD ，得//NH CD ，NH ⊄平面ACD ，所以//NH 平面ACD ，同理可证，//MH 平面ACD ，而MH NH H ⋂=点，所以平面//MNH 平面ACD ，从而//MN 平面ACD ；（2）连接AM ，DM ，EM ，由AB AC =，M 为BC 的中点，得AM BC ⊥，又 平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC =，AM ⊂平面ABC ，所以AM ⊥平面BCDE ，则AM DE ⊥，由勾股定理，在Rt EBM ∆中，1BE =，112BM BC ==，得EM =在Rt DCM ∆中，3CD =，112CM BC ==，得DM =，在直角梯形BCDE 中，由平面几何知识计算得DE ===，所以222EM DE DM +=，即EM DE ⊥，而AM EM M ⋂=点，所以DE ⊥平面AME ．21．(1) 5m < (2) 85m =【解析】试题分析：（1）由二元二次方程表示圆的条件D 2+E 2-4F 大于0列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的取值范围；（2）设出曲线与直线的交点M 和N 的坐标，联立曲线C 与直线的方程，消去y 后得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，然后由OM 与ON 垂直得到M 和N 横坐标之积与纵坐标之积的和为0，由直线方程化为横坐标的关系式，把表示出的两根之和与两根之积代入即可求出m 的值． 试题解析：（1）由D 2+E 2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5（2）设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由OM⊥ON 得x 1x 2+ y 1y 2=0.将直线方程x+2y-4=0与曲线C ：x 2+y 2-2x-4y+m=0联立并消去y 得 5x 2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x 1+x 2=85①,x 1x 2=4165m -②， ∆=64-20（4m-16）=384-80m ﹥0﹥所以m ﹤445又由x+2y-4=0得y=12(4-x), ∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+12(4-x 1)·12 (4-x 2)=54 x 1x 2-( x 1+x 2)+4=0.将①、②代入得m=85,满足∆﹥ 0.22．（1）见解析；（2）见解析；（3【解析】试题分析：（1）证明AB ⊥B 1BCC 1，可得平面ABE ⊥B 1BCC 1；（2）使得1//C FM 平面ABE ，只需证明四边形FGEC 1为平行四边形，可得C 1F ∥EG ；（3）利用V E ﹣ABC =13S △ABC•AA 1，可求三棱锥E ﹣ABC 的体积．试题解析：（1）由侧棱垂直于底面，1BB ⊥平面ABC ，得1BB AB ⊥，又AB BC ⊥， 1BC BB B ⋂=点，所以AB ⊥平面11B BCC ，从而平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）取AC 中点M ，连接1C M ，FM ，由F 为BC 的中点，知//FM AB ， FM ⊄平面ABE ，得//FM 平面ABE ， 因为1//AM C E ，1AM C E =，所以四边形1AMC E 为平行四边形， 则1//C M AE ，1C M ⊄平面ABE ，得1//C M 平面ABE ，而1C M FM M ⋂=点， 平面1//C FM 平面ABE ，即存在AC 中点M ，使得平面1//C FM 平面ABE ； （3）点E 到底面的距离即为侧棱长12AA =，在Rt ABC ∆中，2AC =，1BC =，AB BC ⊥，所以AB =11122ABC S AB BC ∆=⋅==所以123E ABC V -==。
2022-2023学年安徽省宿州市十三所重点中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年安徽省宿州市十三所重点中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线10x +-=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 【答案】D【分析】先由直线方程求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求得答案【详解】解：由直线10x -=得其斜率为k =，设直线的倾斜角为θ（[0,)θπ∈），则tan θ=， 所以56πθ=，所以直线的倾斜角为56π，故选：D【点睛】此题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题2．已知向量()2,1,0a =，(2,b =-，则2a b -=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【分析】利用空间向量的模公式求解.【详解】解：因为向量()2,1,0a =，(2,b =-，所以(22,3,a b -=， 则2224a b -==，故选：B3．已知直线()1:1210l m x y ++-=，()2:8110l x m y m ++-+=，则“5m =-”是“12//l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用12//l l 可求得m 的值，利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为12//l l ，则()2182m +=⨯，解得5m =-或3m =.当3m =时，直线1l 的方程可化为4210x y +-=，直线2l 的方程可化为4210x y +-=，此时两直线重合，不合乎题意.当5m =-时，直线1l 的方程可化为4210x y -+=，直线2l 的方程可化为4230x y -+=， 此时，12//l l ，合乎题意.因此，“5m =-”是“12//l l ”的充要条件. 故选：C.4．已知两点()1,3A -，()3,B a ，以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则a 等于（ ） A ．1- B ．3 C ．1 D ．3-【答案】C【分析】计算圆心为32,2a C -⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意得到2CO AB =，代入计算得到答案.【详解】,A B 的中点坐标为32,2a C -⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意得到2CO AB =，=1a =.故选：C5．已知()2,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,2C ，则点A 到直线BC 的距离为（ ）A ．2BC ．4D ．365【答案】B【分析】首先利用空间向量求出BA 在BC 上的投影，再利用勾股定理即可求解.【详解】由题意可得，()2,1,0BA =-，()0,1,2BC =-，则BA 在BC 上的投影为1BA BC BC⋅==，25(5BA -=故选：B6．若向量()1,1,1a =-是直线l 的一个方向向量，()1,2,2n =-是平面α的一个法向量，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．直线l 在平面α内D ．相交但不垂直【答案】D【分析】利用向量运算法则计算得到a 与n 不垂直，a 与n 不平行，得到直线和平面的位置关系. 【详解】()1,1,1a =-，()1,2,2n =-，12210a n ⋅=-+-=-≠，故a 与n 不垂直，即直线l 与平面α不平行；若n a λ=，则()()1,2,21,1,1λ-=-，无解，故a 与n 不平行，即直线l 与平面α不垂直. 故选：D.7．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，E ，F 为CD 上两个动点，且2aEF =，则点1A 到平面PEF 的距离（ ）A 5B ．2aC 2D ．与EF 的位置有关【答案】A【分析】题目转化为求点1A 到平面PCD 的距离，根据等体积法11A CPD C A PD V V --=计算得到答案. 【详解】点1A 到平面PEF 的距离，即点1A 到平面PCD 的距离，131********C A PD V a a a a -=⨯⨯⨯⨯=，11311513212A CPD C A PD V a h V a --=⨯⨯⨯==， 故5h =. 故选：A.8．已知点()2,0A ，()1,0B -，()0,1C ，直线y kx =将△ABC 分割为两部分，则当这两个部分的面积之积取得最大值时实数k 的值为（ ） A ．32B ．34C ．43D ．23【答案】A【分析】由题意，121322ABCS S S AB OC =+=⨯⨯=，结合均值不等式可得当1234S S ==时面积之积取得最大值，即1324OADD SOA y =⨯=，结合直线AC 的方程求解点D 坐标，代入直线y kx =求解即可. 【详解】由题意，直线y kx =将△ABC 分割为两部分，不妨记两部分面积分别为12,S S ， 故121322ABCSS S AB OC =+=⨯⨯=，由120,0S S >>，结合均值不等式可得1212322S S S S =+≥，即12916S S ≤， 当且仅当1234S S ==时等号成立， 即直线y kx =将△ABC 分割为面积相等的两部分时两个部分的面积之积最大， 由于131124OBCS=⨯⨯<，故若两部分面积相等，y kx =与AC 相交， 设交点为(,)D D D x y ， 故1324OADD D SOA y y =⨯==， 由于直线AC 方程为12x y +=，代入可得12D x =，故13(,)24D ，由于13(,)24D 在y kx =上，解得32k . 故选：A二、多选题9．设a ，b ，c 是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ） A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥；B ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面；C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++；D ．则a b +，b c +，a c -一定能构成空间的一个基底 【答案】BC【分析】,a c 所成角不一定为π2，A 错误，a ，b ，c 共面不能构成空间的一个基底，B 正确，根据空间向量基本定理得到C 正确，a b +，b c +，a c -向量共面，D 错误【详解】a b ⊥，b c ⊥，则,a c 所成角不一定为π2，A 错误；若a ，b ，c 共面，则不能构成空间的一个基底，B 正确；根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++，C 正确； ()()a b b c a c +=++-，故a b +，b c +，a c -向量共面，不能构成空间的基底向量，D 错误.故选：BC10．已知()2,4A --，()4,2B 两点到直线:10l ax y +-=的距离相等，则实数a 的值可能等于（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．2-【答案】AC【分析】由点线距离列等式求解即可【详解】由A 、B 两点到直线l 2541a a =⇔+=+，解得2a =或1a =-.故选：AC11．已知圆M 的一般方程为22680x y x y +++=，则下列说法正确的是（ ） A ．圆M 的半径为5B ．圆M 关于直线10x y --=对称C ．点()6,1-在圆M 内D ．实数x ，y 满足圆M 5【答案】ABD【分析】根据圆M 的方程可确定圆心与半径即可判断A ；根据圆的对称性可判断B ；根据点与圆的位置关系可判断C ；结合圆外一点与圆上一点求最值即可判断D.【详解】解：圆M 的一般方程为22680x y x y +++=，化为标准方程为()()223425x y +++= 则圆心()3,4M --，半径为5，故A 正确；圆心()3,4M --满足直线10x y --=方程，则直线过圆心，所以圆M 关于直线10x y --=对称，故B 正确；点()6,1-到圆心()3,4M --5=，故该点在圆M 外，故C 不正确；实数x ，y 满足圆M 的方程，则()()2234x y -+-为圆上一点(),P x y 与点()3,4A 的距离，又2268105AM =+=>，则()3,4A 在圆M 外，所以()()2234AP x y =-+-的最小值即55AM -=，故D 正确. 故选：ABD.12．如图，已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点，且1BP BD λ=，()0,1λ∈下面结论中正确的有（ ）A ．11A D C P ⊥B ．1A P 可能与面APB 垂直C ．当1A P PD +取最小值时，23λ=D ．若()0,1λ∈，则7,312APC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐一分析即可.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立如图空间直角坐标系，则1(1,1,0),(0,0,1)B D ，设(,,).P x y z 因为1BP BD λ=，()0,1λ∈，所以1BP BD λ= ，即(1,1,)(1,1,1),x y z λ--=-- 解得(1,1,).P λλλ--对于A,因为11(1,0,1),(0,0,0),(0,1,1),A D C 所以11(1,0,1),(1,,1),A D C P λλλ=--=---则111(1)+0)(1)(1)0A D C P λλλ⋅=-⨯-⨯+-⨯-=（-， 所以11A D C P ⊥，故A 正确，对于B,因为11(1,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),A A B D 所以11(,1,1),(1,0,1),(0,1,0),A P AD AB λλλ=---=-= 设=,,)n x y z （为面1ABD 的法向量，则10AD n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即00x z y -+=⎧⎨=⎩，令1,x =则=(1,0,1)n ， 假设1A P 与面APB 垂直，即1A P 与面1ABD 垂直， 故1,A P n μ=即(,1,1)(1,0,1)(,0,),λλλμμμ---==得101λμλλμ-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，此方程组无解，即1A P 不可能与面APB 垂直，故B 错误，对于C ，1A P PD +==则当23λ=时，1A P PD +取最小值，故C 正确, 对于D,因为(1,0,0),(0,1,0),A C所以(,1,),(1,,),PA PC λλλλλλ=--=--则222321cos =1,32+132+1PA PCAPC PA PCλλλλλλ⋅-∠==---⋅ 因为()0,1λ∈，所以2232+12,3λλ≤-<则21111,232+12λλ-≤-<- 则11cos ,22APC -≤∠<则π2πcos ,,33APC ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦故D 错误.故选:AC三、填空题13．已知向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-，且ka b +与2a b -相互垂直，则k 的值为__________． 【答案】1【分析】直接根据向量的垂直关系计算得到答案.【详解】()()()1,1,01,0,21,,2ka b k k k +=+-=+-，()()()221,1,01,0,21,2,2a b -=--=，()()21240k k a a k b b +⋅+-=+-=，解得1k =.故答案为：114．已知直线210x y -+=与直线230x my +-=平行，则它们之间的距离是__________．【分析】先根据两直线平行求出参数4m =-，再利用平行线间距离公式求解即可. 【详解】因为直线210x y -+=与直线230x my +-=平行，则有1221(3)1m m⨯=-⨯⎧⎨⨯-≠⨯⎩，解得：4m =-，所以直线230x my +-=可化为2430x y --=，也即3202x y --=，由两平行线间距离公式可得：3152214d +==+， 故答案为：52. 15．已知圆22:2810C x y x y +-++=关于直线40ax by --=（0a >，0b >）对称，则11a b+的最小值是__________． 【答案】94##2.25【分析】根据题意可知直线40ax by --=过圆心，得44a b +=，结合基本不等式即可求11a b+的最小值.【详解】解：()()222228101416x y x y x y +-++=⇒-++=，圆心为()1,4C -，半径4r =若圆C 关于直线40ax by --=（0a >，0b >）对称，则直线过圆心则44a b +=，0a >，0b >，所以()11155942444444b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++⨯=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a b a =，即42,33a b ==时等号成立，则11a b +的最小值为94.故答案为：94.16．如图，两个正方形ABCD ，CDEF 的边长都是2，且二面角A CD E --为60°，M ，N 为对角线AC 和FD 上的动点，且满足AM FN =，则线段MN 长的最小值为__________．25【分析】由已知得，DA ，DC ，DE 长度为2，且两两夹角已知，可用三个向量表示出MN ，表示出模长即可得到最小值.【详解】由题意知，ABCD ，CDEF 都是正方形， 则2DA DC DE ===，且DA DC ⊥，DE DC ⊥，所以ADE ∠即为二面角A CD E --的平面角，即60ADE ∠=. 因为AM FN =，AC DF =，设AM AC λ=，01λ≤≤则()1DN DF FN DF λ=-=-，且AM AC λ=，()1DN DF λ=-， 则()1MN MA AD DN AC DA DF λλ=++=--+-()()()()()111211DA DC DA DC DE DA DC DE λλλλλλλ=--+-+-=-----则，()()()221211MN DA DC DE λλλ⎡⎤=-----⎣⎦()()()()2222222121121DA DC DE DA DE λλλλ=-+-+---⋅ ()()()()2222141421412412λλλλ=-+-+--⨯⨯- 2234202482055λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则，当35λ=时，2MN 有最小值为45.所以，25MN ≥所以，线段MN .四、解答题17．在ABC 中，已知顶点()3,0A ，()3,4B -，()1,2C -． (1)求AB 边上中线的方程：(2)求过点B ，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程． 【答案】(1)10x y +-=(2)直线的一般式方程为430x y +=或250x y ++=【分析】（1）求得线段AB 的中点坐标，再结合点C 的坐标，由直线的点斜式写出直线方程； （2）分两类：①当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y kx =，代入点()3,4B -，求出k 的值；②当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为12x ym m+=，代入点()3,4B -，求得m 的值，得解．【详解】（1）解：()3,0A ，()3,4B -，则AB 中点坐标为()3,2D -则()22113CD k --==---，故AB 边上中线的方程为()21y x -=-+，即10x y +-=（2）解：当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y kx =， 代入点()3,4B -，则43k -=，解得43k =-，所以所求直线的方程为43y x =-，即430x y +=；当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为12x ym m+=， 代入点()3,4B -，则3412m m -+=，解得52m =-， 所以所求直线的方程为1552x y +=--，即250x y ++=， 综上所述，该直线的一般式方程为430x y +=或250x y ++=．18．已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，各棱的长为23，底面是正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，设AB a =，AD b =，1AA c =．(1)用a ，b ，c 表示1B D 并求1B D 的值； (2)求异面直线AC 与1B D 所成角的余弦值． 【答案】(1)1B D c a b =--+，16B D = 6【分析】（1）直接利用向量的加减运算得到1B D 的表达式，在根据()21B D c a b=--+计算得到答案.（2）计算AC a b =+，26AC =，再根据向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）11c B D B B BA AD a b =++=--+. 根据题意：1232362a cbc ⋅=⋅=⨯=，0a b ⋅=，()22221222366c a ba b c a B a c D b c b =--+=+++⋅-⋅-⋅==.（2）AC AB AD a b =+=+，()222226AC a ba b a b =+=++⋅=，()()22112A c C B D a b a ba cb a bc ⋅+=-=+⋅-+-⋅-⋅=--，异面直线AC 与1B D 所成角的余弦值为11112cos ,2AC B D AC B D AC B D⋅===⋅19．求下列圆的方程(1)圆1C 经过坐标原点，()2,0A -和()3,3B --；(2)圆2C 的圆心在x 轴上，并且过()1,1C -和()1,3D 两点． 【答案】(1)()()22125x y +++= (2)22(2)10x y -+=【分析】（1）设圆1C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，依题意得到方程组，解得即可；（2）设圆心坐标为2(,0)C a ，半径为r ，则其标准方程为222()x a y r -+=，根据圆过()1,1C -和()1,3D 两点得到方程组，解得a 、2r ，即可得解.【详解】（1）解：设圆1C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，依题意可得042099330F D F D E F =⎧⎪-+=⎨⎪+--+=⎩，解得024F D E =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆1C 的方程为22240x y x y +++=，即()()22125x y +++=. （2）解：根据题意，设圆心坐标为2(,0)C a ，半径为r ， 则其标准方程为222()x a y r -+=，由于点()1,1C -和()1,3D 在圆C 上，则有()2211a r --+=①，()2219a r -+=②，解可得2a =，210r =，故圆2C 的标准方程为22(2)10x y -+=；20．在四棱锥P ABCD -中，面PAD ⊥面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==，M 是棱P A 上一点且14AM AP =．(1)求证：BM平面PCD ；(2)求直线BM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】(1)见详解 (2)36【分析】（1）取AD 中点为O 点，连结PO 、CO ，易证PO 、CO 、OA 两两垂直.建立空间直角坐标系，利用空间坐标求得平面PCD 的法向量n ，由0BM n ⋅=，可得BM n ⊥，进而证得； （2）求得平面PBC 的法向量m ，由sin cos ,m BM θ=即可得解. 【详解】（1）取AD 中点为O 点，连结PO 、CO ，则1OA =. 由已知，PA PD =，AC CD =，则有PO OA ⊥，CO OA ⊥. 又AB AD ⊥，在平面ABCD 中，有//AB OC ，222OC AC OA =-= 由已知可得，APD △为直角三角形，则1OP OA ==. 又面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ⋂面ABCD =AD ， 则PO ⊥面ABCD ，OC ⊂面ABCD ，PO OC ⊥. 所以，PO 、CO 、OA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系O xyz -，由题意得，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0D -，()0,0,1P .()0,1,1PD =--，()2,0,1PC =-，()0,1,1AP =-，310,,1444OM OA AM OA AP ⎛⎫⎪+⎝==+=⎭，故111,,44BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则 0,0,n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,20,y z x z --=⎧⎨-=⎩ 令2z =，则x 1,y 2==-. ∴1,2,2n.∴()111122044BM n ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+-⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴BM n ⊥，又BM ⊄平面PCD ， ∴//BM 平面PCD .（2）由（1）()1,1,0B ，()2,0,0C ， ()0,0,1P . 则()1,1,1PB =-，()2,0,1PC =-设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z =，则 0,0,m PC m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111110,20,x y z x z +-=⎧⎨-=⎩， 令12z =，则111,1x y ==.所以()1,1,2m =.由（1）知111,,44BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.111cos ,6m BM m BM m BM--+⋅===所以直线BM 与平面PBC 所成角θ的正弦值3sin cos ,6m BM θ==21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且2PA =．(1)求证：PA ⊥面ABCD ；(2)在线段PD 上是否存在点E ，使平面P AB 与平面ACE 3E 的位置：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，E 是PD 中点【分析】（1）证明BC ⊥平面PAB ，得到BC PA ⊥，同理得到PA CD ⊥，得到线面垂直.（2）如图所示建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面PAB 的一个法向量是()10,1,0n =，平面ACE的一个法向量是21,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，利用向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）PB BC ⊥，,,BC AB PB AB PAB ⊥⊂平面，AB PB B ⋂=，故BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，故BC PA ⊥，同理可得PA CD ⊥，BC CD C ⋂=，故PA ⊥面ABCD . （2）如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()002P ,,，()2,2,0C ，()0,2,0D ， 设()0,2,2PE PD λλ==-，则()0,2,22E λλ-，[]0,1λ∈，平面PAB 的一个法向量是()10,1,0n =，设平面ACE 的一个法向量是()2,,n x y z =，则()()()()22,,2,2,0220,,0,2,222220n AC x y z x y n AE x y z y z z λλλλ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩， 取1x =得到1y =-，1z λλ=-，即21,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，12122123cos ,1111n n n n n n λλ⋅===⋅⎛⎫⨯++ ⎪-⎝⎭，解得12λ=，即存在点满足条件，E 是PD 中点.22．已知曲线C 的方程为()2222400ax ay a x y a +--=>(1)判断曲线C 的形状；(2)设直线:24L y x =-+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，且=OM ON （O 为坐标原点），求曲线C 的方程．(3)已知点()0,A m -，()()0,0B m m >，若点P 为（2）中所求曲线上一动点，且满足AP BP ⊥，求m 的取值范围．【答案】(1)曲线C 是以点2(,)a a 224a a +(2)曲线C 的方程为()()22215x y -+-= (3)025m <≤【分析】（1）把方程化为圆的标准方程，可得结论；（2）由圆C 过坐标原点，且||||OM ON =，可得圆心2(,)a a 在MN 的垂直平分线上，从而求出a ，再判断2a =-不合题意即可；（3）设()00,P x y ，可得()()2200215x y -+-=，又AP BP ⊥，即0AP BP ⋅=，可得22200x y m +=，把两式转化为圆与圆有公共点问题，即可得m 的取值范围．【详解】（1）解：将曲线C 的方程化为222224()()x a y a a a -+-=+可知曲线C 是以点2(,)a a 224a a+（2）解：圆C 过坐标原点，且||||OM ON =，∴圆心2(,)a a 在MN 的垂直平分线上，∴2212a =，2a ∴=±，当2a =-时，圆心坐标为(2,1)--圆心到直线:24l y x =-+的距离d ==> 直线l 与圆C 相离，不合题意舍去，2a ∴=，这时曲线C 的方程为()()22215x y -+-=．（3）解：设()00,P x y ，由于点P 在圆:C ()()22215x y -+-=上，所以()()2200215x y -+-=①若AP BP ⊥，则()()222000000,,0AP BP x y m x y m x y m ⋅=+⋅-=+-=，即22200x y m +=②，要满足①②两式，即以()0,0O 为圆心，m 为半径的圆与圆C 有公共点，所以m OC m ≤≤，所以m m ≤0m >，解得0m <≤。
安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考数学(文)试题 Word版含答案
宿州市十三所重点中学2020-2021学年度第一学期期中质量检测高二数学试卷（文科）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．考生务必将答题内容填写在答题卡上，写在试题卷上无效。
一、选择题120y -+=的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．如图，平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图．若3O A ''=，2O C ''=，则原四边形OABC 的周长为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．163．若()2,3A -，()3,2B -，1,2C m ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，则实数m 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．124．下列命题正确的是（ ） A ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B ．斜棱柱的侧面中可能有矩形C ．用一个平面去截圆锥，得到的一定是一个圆锥和一个圆台D ．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线5．已知直线1l ：3420x y --=和直线2l ：3430x y -+=，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1BC ．2D ．36．如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．72B ．64C ．48D ．247．在空间直角坐标系中，点()1,3,1P -和点()2,1,2Q 之间的距离为（ ）AB CD 8．已知两条不同的直线m ，n ，三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m n ，//n α，则//m α B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥9．圆1O ：()()22122x y -+-=与圆2O ：224230x y x y +++-=的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切10．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，侧棱长为4，一只蚂蚁从A 点出发沿每个侧面爬到1A ，路线为1A M N A →→→，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A ．4B ．5C 、6D ．111．已知点E ，F 分别是三棱锥P ABC -的棱PA ，BC 的中点，6PC AB ==，若异面直线PC 与AB 所成角为60°，则线段EF 长为（ ）A ．3B ．6C ．6或D ．3或12．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．若圆锥的母线长为4，底面半径为______．14．若圆222440x y x y ++-+=关于直线0x y m -+=对称，则实数m 的值为______．15．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知阳马P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，3PA =，1AB =，2BC =，则此阳马的外接球的表面积为______．16．已知直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围为______． 三、解答题17．已知直线1l ：2360x y ++=，求直线2l 的方程，使得： （1）2l 与1l 平行，且过点()2,1-；（2）2l 与1l 垂直，且2l 与两坐标轴围成的三角形面积为3．18．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，直线PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：//BC 平面PAD ；（2）若AB AD =，求证：BD ⊥平面PAC ．19．已知圆C ：22870x y y +-+=，直线l ：()20x my m m R +-=∈．（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判定直线与圆的位置关系；（2）若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB =时，求直线l 的方程．20．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，且AB =，M 是CD 上异于C ，D 两点的一个动点．（1）证明：MC ⊥平面ADM ；（2）当四棱锥M ABCD -的体积最大且最大值为9时，求该四棱锥M ABCD -的侧面积． 21．已知圆C 与x 轴相切于点()1,0，且圆心C 在直线3y x =上， （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线y x m =+交于不同两点A ，B ，若直角坐标系的原点O ，在以线段AB 为直径的圆上，求实数m 的值．22．如图在Rt ABC △中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，且//MN BC ，AB BC =，2AM MB =．若将AMN △沿MN 折起到PMN △的位置，使得60PMB ∠=︒． （1）求证：平面PBN ⊥平面BCNM ；（2）在棱PC 上是否存在点G ，使得//GN 平面PBM ？说明理由．宿州市十三所重点中学2020-021学年度第一学期期中质量检测高二数学（文科）试卷参考答案一、选择题二、填空题 13．8π 14．315．14π16．)1,2⎡⎣三、解答题17．解：（1）设2l ：230x y m -+=，∵2l 过点()2,1-， ∴430m ++=，解得7m =-． 所以2l 的方程为：2370x y --=．（2）设2l ：320x y p ++=，设2l 与x 轴交于点,03P M ⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴交于点0,2P H ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴13223MOH P PS =⋅=△，∴236P =．∴6P =±． 所以2l 的方程为：3260x y ++=或3260x y +-=． （其他解法，酌情赋分！）18．解：（1）证明：由题设易知：//BC AD ，AD平面PAD ，BC ⊂/平面PAD ，∴//BC 平面PAD ．（2）证明：连接AC 、BD 由题设易知AC BD ⊥ 又PA ⊥平面ABCD ，BD平面ABCD ，PA BD ⊥AP 平面PAC ，AC 平面PAC ，AP AC A ⋂= ∴BD ⊥平面PAC ．PC平面PAC ，BD PC ⊥．19．解：（1）由题设知圆C ：()2249x y +-=．所以圆C 的圆心坐标为()0,4，半径为3． 又l ：()20x m y +-=恒过()0,2M ，()2202449+-=<所以点M 在圆C 内，故直线必定与圆相交． （此问使用方程联立的方法也可！） （2）圆心C 到直线l的距离记为d =3r =，2AB= 又2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，代入解得：m =． 所以直线l的方程为：30x +-=或30x +=． （其他解法，酌情赋分！）20．（1）证明：由题设知，平面CDM ⊥平面ABCD ，平面CDM ⋂平面ABCD CD =，AD CD ⊥，AD平面ABCD ，所以AD ⊥平面CDM ．又MC平面CDM ，故AD MC ⊥．因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且CD 为半圆弧CD 的直径， 所以DM MC ⊥． 又AD DM D ⋂=，AD 平面ADM ，MD平面ADM ，所以MC ⊥平面ADM ．（2）由题意可知，当M 是半圆弧CD 的中点时，四棱锥M ABCD -的体积最大． 设BC a =，则AB CD ==，则21932M ABCD V a -=⋅=，解得3a =．此时，AB CD ==，3AD BC ==．易知，此时MCD △为等腰直角三角形，可求得3MD MC ==． 由（1）知，AD ⊥平面CDM ．所以AD DM ⊥，BC CM ⊥． 易证，MCD MBC MAD ≌≌△△△， 所以193322MCD MBC MAD S S S ===⨯⨯=△△△．又因为MA MB AB ===(2MAB S ==△． 故该四棱锥M ABCD -． （其他解法，酌情赋分!） 21．解：（1）由题意可得：圆心C 的横坐标为1，且圆心直线3y x =上，可得圆心C 坐标为()1,3，半径3r =， 则圆C 的方程为：()()22139x y -+-=．（2）由()()22139y x mx y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩可得：()22228610x m x m m +-+-+= 设()11,A x y ，()22,B x y 则：122124612x x mm m x x +=-⎧⎪⎨-+⋅=⎪⎩，且241656m m ∆=-++，由题意可得：OA OB ⊥，且11y x m =+，22y x m =+， 所以1OA OB k k ⋅=-代入化简可得：2210m m -+= 求得：1m =，此时满足：2416560m m ∆=-++> 综上可知：1m =． （其他解法，酌情赋分！）22．解：解：（1）在Rt ABC △中，由AB BC =可知，BC AB ⊥． 因为//MN BC ，所以MN AB ⊥．翻折后垂直关系没变，仍有MN PM ⊥，MN BM ⊥． 又PM BMM ⋂=，所以MN ⊥平面PBM ．又60PMB ∠=︒， 可令2PM=，则1BM =，由余弦定理得PB =所以222PB BM PM +=，即PB BM ⊥．又因为BM MN M ⋂=，所以PB ⊥平面BCNM ． 又因为PB平面PBM ，所以平面PBM⊥平面BCNM ．（2）在PC 上是存在一点G ，当13CG CP =时，使得//GN 平面PMB ． 证明如下：过点N 作//NH BM ，交BC 于点H ，则四边形BMNH 是平行四边形， 且2MN BH ==，1CH =． 又由NH ⊄平面PBM ，BM平面PBM 知，//NH 平面PBM ．再过点H 作//GH PB ，交PC 于点G ，则13CH CG CB CP ==． 又由GH ⊄平面GHN ，PB 平面PBM 知，//GH 平面PBM ．又NH面GHN ，GH面GHN ，GH HN H ⋂=，所以平面//GHN 平面PBM ． 又GN平面PBM ，所以//GN 平面PBM ．（其他解法，酌情赋分！）。
2020-2021学年安徽省宿州市十三所省重点中学高二(上)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年安徽省宿州市十三所省重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：∀x∈[1,+∞)，(x−1)2≥0，则命题p的否定为()A. ∃x0∈(−∞,1)，(x0−1)2<0B. ∃x0∈[1,+∞)，(x0−1)2<0C. ∀x∈(−∞,1)，(x−1)2<0D. ∀x∈[1,+∞)，(x−1)2<02.已知a⃗=(1,k，−2)，b⃗ =(2k,2，4)，若a⃗//b⃗ ，则实数k的值为()A. −2B. 2C. −1D. 13.△ABC的两个顶点为A(−3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为()A. x225+y216=1(y≠0) B. y225+x216=1(y≠0)C. x216+y29=1(y≠0) D. y216+x29=1(y≠0)4.设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC. 若α⊥β，l//α，则l⊥βD. 若l//α，l⊥β，则α⊥β5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M、N分别是DD1和BC的中点，异面直线AM与B1N所成的角为()A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°6.已知双曲线C与抛物线x2=12y有共同的焦点F，点F到双曲线C的渐近线的距离为2，则双曲线C的方程为()A. x213−y24=1 B. y213−x24=1 C. x25−y24=1 D. y25−x24=17.直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2−2x−3=0截得的弦长最短，则直线l的倾斜角为()A. 30°B. 45°C. 135°D. 150°8.已知条件p：x2−3x+2≤0，条件q：(x−a)(x−a−5)≤0.若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A. [−3,1]B. (−3,1]C. [−3,1)D. (−3,1)9.已知点F1，F2是实轴长为2的双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是C上的一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则|F1F2|=()A. √5B. 2√2C. 2√5D. 4√210.已知抛物线C1：y2=4x上的点M到焦点F的距离为2，若点N在C2：(x+3)2+y2=1上，则点M到点N距离的最大值为()A. 2√6+1B. 2√5+1C. 2√6−1D. 2√5−111.已知点P，A，B，C在同一个球面上，AB=6，BC=8，AC=10，若四面体PABC体积的最大值为80，则这个球的表面积是()A. 25π4B. 125π4C. 625π16D. 625π412.定义：若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，则以P为切点的切线方程为：x0xa2+y0yb2=1.已知椭圆C：x23+y22=1，点M为直线x−2y−6=0上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点()A. (12,−13) B. (−12,13) C. (12,−23) D. (−12,23)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=sℎ，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是______ ．14.直线mx+(2m+1)y−2=0和直线3x+my+1=0垂直，则实数m的值为______ ．15.已知点F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．16.已知点F为抛物线C：x2=2y的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+4|DE|的最小值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知m∈R，命题p：∀x∈R，不等式x2−mx+1>0恒成立；命题q：方程x2m+1+y2m−4=1表示为双曲线．(Ⅰ)若p为真命题，求实数m的取值范围；(Ⅱ)当p∨q为真，p∧q为假时，求实数m的取值范围．18.已知圆C：(x−4)2+(y−2)2=1．(Ⅰ)若直线l过定点A(4,0)，且与圆C相切，求直线l的方程；(Ⅱ)若圆M的半径为4，圆心在直线x+y−1=0上，且与圆C外切，求圆M的方程．19.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，点D，E分别为AC，AA1的中点．(Ⅰ)求点B1到平面BDE的距离；(Ⅱ)求二面角D−BE−C1的余弦值．20.平面上动点M到定点F(1,0)的距离比动点M到直线x=−2的距离小1.记M的轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)若曲线C上相异两点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于直线y=x+m对称，且y1⋅y2=−8，求实数m的值．21.在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，∠ADC=90°，BC=CD=1，PA=PD=AD=2，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，PC分别交于点G，F．(Ⅰ)求证：GF⊥PA；(Ⅱ)在棱PD上是否存在点G，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为√217，若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由．22.已知椭圆C经过点P(2,√2)，且与椭圆x220+y216=1有相同的焦点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若直线l与椭圆C相交于A，B两个不同点，O为坐标原点，设直线OA，OB斜率分别为k1，k2，且k1⋅k2=−1，试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．2答案和解析1.【答案】B【解析】解：命题是全称命题，则否定是∃x0∈[1,+∞)，(x0−1)2<0，故选：B．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，是基础题．2.【答案】C【解析】解：根据题意，若a⃗//b⃗ ，设a⃗=t b⃗ ，即(1,k，−2)=t(2k，2，4)=(2kt，2t，4t)，则有{1=2ktk=2t−2=4t，解可得k=−1，故选：C．根据题意，设a⃗=t b⃗ ，则有(1,k，−2)=t(2k，2，4)=(2kt，2t，4t)，求出k的值，即可得答案．本题考查空间向量平行的坐标表示，涉及涉及向量的坐标的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由题意可得AC+BC=10>AB，故顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点．∴2a=10，a=5，c=3，∴b=4，故顶点A的轨迹方程为：x225+y216=1，(y≠0)，故选：A．由题意可得AC+BC=10>AB，故顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质求出a、b的值，即得顶点C的轨迹方程．本题考查轨迹方程的求法，掌握椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，是简化解题的关键，注意轨迹方程中y≠0，这是解题的易错点．4.【答案】D【解析】解：若l//α，l//β，则α与β相交或平行，故选项A错误；若α⊥β，l⊥α，则l//β或l⊂β，故选项B错误；若α⊥β，l//α，则l与β相交、平行或l⊂β，故选项C错误；若l//α，l⊥β，则平面α中有一条与l平行的直线与β垂直，故α⊥β，故选项D正确．故选：D．利用线面平行、面面垂直的性质和定义对选项进行逐一的判断，即可得出结论．本题考查了空间中线面位置关系的判定，解题的关键是熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：以A1为坐标原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为2，则A(0,0，2)，M(0,2，1)，B 1(2,0，0)，N(2,1，2)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1),B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×0+2×1+(−1)×2=0，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故异面直线AM 与B 1N 所成的角为90°．故选：A ．建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线对应的方向向量，然后利用数量积求解即可． 本题考查了空间角的求解，主要考查了异面直线所成的角，对于空间角问题，经常选择建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：由题意双曲线C 与抛物线x 2=12y 有共同的焦点F(0,3)，c =3，可设双曲线C 的方程为y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)，则渐近线方程为y =±a b x ， 因为点F 到双曲线C 的渐近线的距离等于2，所以2=√1+b 2，即a 2b 2=54，又a 2+b 2=c 2=9，所以a =√5，b =2，所以双曲线C 的方程为：y 25−x 24=1．故选：D ．求出抛物线的焦点坐标，设出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离转化求解b ，推出a ，然后求解双曲线方程即可．本题考查双曲线的方程和几何性质，抛物线的焦点坐标，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：直线l ：y =kx +1过定点P(0,1)，化圆C ：x 2+y 2−2x −3=0为(x −1)2+y 2=4，定点P 在圆C 内，要使直线l ：y =kx +1被圆C ：x 2+y 2−2x −3=0截得的弦长最短，则直线l ⊥PC ，∵k PC =−1，∴k l =1，即直线l 的倾斜角为45°．故选：B ．求出直线所过定点P ，得到PC 所在直线当斜率，由l 与PC 垂直，可得l 的斜率，进一步求得直线l 的倾斜角．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：因为x 2−3x +2≤0，所以1≤x ≤2，则条件p ：1≤x ≤2，所以￢p ：x <1或x >2，因为(x −a)(x −a −5)≤0，所以a ≤x ≤a +5，则条件q ：a ≤x ≤a +5，所以￢q ：x <a 或x >a +5，又￢p 是￢q 的必要不充分条件，则(−∞,a)∪(a +5,+∞)⫋(−∞,1)∪(2,+∞)，所以{a ≤1a +5≥2，解得−3≤a ≤1， 则实数a 的取值范围是[−3,1]．故选：A ．先利用一元二次不等式的解法分别求出条件p 和条件q ，然后将￢p 是￢q 的必要不充分条件转化为(−∞,a)∪(a +5,+∞)⫋(−∞,1)∪(2,+∞)，列式求解即可．本题考查了充分条件与必要条件的应用，涉及了一元二次不等式的解法，复合命题真假的判断，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，实轴长为2，可得a =1，P 是C 上的一点，且F 1P ⊥F 2P.若△PF 1F 2的面积为4，设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，由双曲线的定义可得：|m −n|=2a =2，则有m 2+n 2=4c 2，①12mn =4，②联立①②解可得mn =8，可得4c 2=20，则c =√5，故选：C ．利用双曲线的实轴长求解a ，利用双曲线的定义，结合勾股定理，以及三角形的面积，求解c 即可． 本题考查双曲线的几何性质，勾股定理的应用，关键是利用|PF 1|⋅|PF 2|的值从而求解焦距，是中档题． 10.【答案】B【解析】解：由抛物线的方程可得：p =2，设M(x,y)，则由抛物线的定义可得：|MF|=x +1=2，所以x =1，代入抛物线方程可得：y =±2，不妨设点M(1,2)，设圆C 2的圆心为E(−3,0)，半径r =1，则|NM|max =|ME|+r =√(1+3)2+22+1=2√5+1，故选：B ．由已知可得p 的值，由此求出点M 的坐标，求出圆的圆心和半径，根据点与圆的位置关系即可求解． 本题考查了抛物线的性质以及点与圆的位置关系的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 11.【答案】D【解析】解：因为AB =6，BC =8，AC =10，所以△ABC 是一个直角三角形，面积为24，其所在球的小圆的圆心就是斜边AC 的中点，设小圆的圆心为Q ，若四面体APBC 的体积最大，由于底面积S △ABC 是定值，所以高最大时体积最大，所以PQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为13×S △ABC ×PQ =80，即13×24×PQ =80，所以PQ =10，如图所示，设球心为O ，半径为R ，则在Rt △AQO 中，OA 2=AQ 2+OQ 2，即R 2=52+(10−R)2，解得R =254， 所以球的表面积S =4π⋅(254)2=6254π．故选：D ．利用条件确定△ABC 是一个直角三角形，从而小圆的圆心Q 为斜边AC 的中点，由四面体的底面积为定值，故高PQ 垂直面ABC 时体积最大，利用几何关系列出关于球半径的关系式，求出半径，即可得到球的表面积．本题考查了球的表面积问题，涉及了球的相关几何性质的应用、四面体体积最值的应用，属于中档题． 12.【答案】C【解析】解：因为M 在直线x −2y −6=0上，则可设点M 的坐标为(2t +6,t)，t ∈R ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，所以直线MA ，MB 的方程分别为：x 1x3+y 1y2=1,x 2x3+y 2y2=1，显然点M 的坐标适合两个方程，代入可得：{x 1(2t+6)3+y 1t2=1x 2(2t+6)3+y 2t2=1，则直线AB 的方程为： x(2t+6)3+yt 2=1，即2(2t +6)x +3yt −6=0，即(4x +3y)t =6−12x ，令{4x +3y =06−12x =0，解得x =12,y =−23， 所以直线AB 过定点(12,−23)，故选：C ．设出点M 的坐标以及A ，B 的坐标，则可得直线MA ，MB 的方程，代入M 点的坐标，则可得直线AB 的方程，由此即可求解．本题考查了椭圆的性质，涉及到椭圆的切线问题以及直线过定点的问题，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．13.【答案】6【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直四棱柱，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，AB ⊥BC ，AB =BC =BB 1=2，AD =1，则该柱体的体积是V =12(1+2)×2×2=6．故答案为：6．由三视图还原原几何体，可知该几何体为直四棱柱，由已知结合棱柱的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．14.【答案】−2或0【解析】解：因为直线mx +(2m +1)y −2=0和直线3x +my +1=0垂直，所以m ×3+(2m +1)×m =0，解得m =0或−2．故答案为：−2或0．利用两条直线垂直的充要条件列式求解即可．本题考查了两条直线垂直的充要条件的应用，属于基础题．15.【答案】(1,2)【解析】【分析】本题考查双曲线的对称性，考查双曲线的离心率问题，属于基础题．利用双曲线的对称性及锐角三角形∠AEF <45°得到AF <EF ，求出A 的坐标；求出AF ，EF 得到关于a ，b ，c 的不等式，求出离心率的范围．【解答】解：∵△ABE 是锐角三角形，∴∠AEB 为锐角，∵双曲线关于x 轴对称，且直线AB 垂直x 轴，∴∠AEF =∠BEF <45°，∴AF <EF ，∵F 为左焦点，设其坐标为(−c,0)，所以A(−c,b 2a)， 所以AF =b 2a ，EF =a +c ， ∴b 2a <a +c ，即c 2−ac −2a 2<0，解得−1<c a <2 ，又因为e >1，∴双曲线的离心率的范围是(1,2)．故答案为(1,2)．16.【答案】18【解析】解：抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 坐标为(0,12)，准线方程为y =−12，设直线l 1斜率为k ，由题设知k ≠0，直线l 2斜率为−1k ，直线l 1，l 2方程分别为l 1：y =kx +12，l 2：y =−1k x +12；设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、D(x 3,y 3)、E(x 4,y 4)；{x 2=2yy =kx +12⇒x 2−2kx −1=0⇒x 1+x 2=2k 由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=y 1+12+y 2+12=y 1+y 2+1=k(x 1+x 2)+2=2k 2+2； 同理|DE|=2(−1k )2+2；所以|AB|+4|DE|=2(k 2+4(1k )2)+10≥2⋅2⋅√k 2⋅(4k 2)+10=18，当k =±1时，“=”成立， 故答案为：18．根据抛物线定义，用直线斜率表示|AB|+4|DE|，再用常用不等式法求最小值．本题考查了抛物线定义及性质，考查了抛物线与直线的位置关系，考查了最值问题，属中档题． 17.【答案】解：(Ⅰ)若p 为真命题，则¡÷=(−m)2−4<0，解得−2<m <2，故所求实数m 的取值范围为(−2,2)．(Ⅱ)由命题q 可得，(m +1)(m −4)<0，所以m ∈(−1,4)又因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p ，q 一真一假，具体如下：当p 真，q 假时，有{−2<m <2m ≥4或m ≤−1，可得m ∈(−2,−1]， 当p 假，q 真时，有{m ≥2或m ≤−2−1<m <4，可得m ∈[2,4)， 综上可知，所求实数m 的取值范围为(−2,−1]∪[2,4)．【解析】(Ⅰ)利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可；(Ⅱ)求出命题p 和命题q 为真命题时对应的m 的取值范围，然后利用复合命题的真假得到p 和q 一真一假，分别求解即可．本题考查了命题真假的应用，涉及了复合命题真假的应用、双曲线标准方程的应用、不等式恒成立的求解，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由C ：(x −4)2+(y −2)2=1，得C(4,2)，圆C 的半径为1，∵|AC|=|2−0|=2>1，∴A(4,0)在圆C 外，直线l 过定点A(4,0)，且与圆C 相切，则直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y =k(x −4)，∴圆心C(4,2)到直线l ：kx −y −4k =0的距离为r =1． 即√k 2+1=1，解得k =±√3，故所求直线l 的方程为y =√3x −4√3或y =−√3x +4√3；(Ⅱ)由题意，可设圆心M 的坐标为(t,1−t)，t ∈R ，则由圆C 与圆M 外切，得圆心距为|CM|=5，∴√(t −4)2+(−t −1)2=5，即t 2−3t −4=0，解得t =4或t =−1，则圆心M(4,−3)或M(−1,2)．故所求圆M 的方程为(x −4)2+(y +3)2=16或(x +1)2+(y −2)2=16．【解析】(Ⅰ)判断A 在圆外，且过A 的圆的切线的斜率存在，写出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得切线斜率，则答案可求；(Ⅱ)由题意，可设圆心M 的坐标为(t,1−t)，t ∈R ，则由圆C 与圆M 外切，得圆心距为|CM|=5，由两点间的距离公式列式求得t ，可得圆心坐标，进一步求得圆的方程．本题考查直线方程与圆的方程的求法，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：(Ⅰ)取A 1C 1的中点D 1，连接DD 1，则DD 1⊥平面ABC ，∵△ABC 是等边三角形，∴BD ⊥AC ，以D 为原点，分别以DA ，DB ，DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0,0，0)，B(0,√3,0)，E(1,0，1)，B 1(0,√3,2)，C 1(−1,0，2)，∴DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，设平面BDE 的法向量为n⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{√3y 1=0x 1+z 1=0， 令z 1=1，可得n⃗ =(−1,0，1)， ∴点B 1到平面BDE 的距离为|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2=√2．(Ⅱ)BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−√3，1)，EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)，设平面BEC 1的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x 2−√3y 2+z 2=0−2x 2+z 2=0， 令x 2=1可得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,2)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√2×√2=14， ∴二面角D −BE −C 1的余弦值为14．【解析】本题考查了空间向量在求空间距离、空间角中的应用，属于中档题．(Ⅰ)建立空间坐标系，求出平面BDE 的法向量n ⃗ ，则B 1到平面BDE 的距离为|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||n ⃗⃗ |；(Ⅱ)求出平面BEC 1的法向量m ⃗⃗⃗ ，计算m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角得出二面角的大小．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，动点M 到定点F(1,0)的距离等于动点M 到直线x =−1的距离． 由抛物线的定义可知，点M 的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x =−1为准线的抛物线．设所求抛物线的方程为y 2=2px(p >0)，则p2=1，即p =2．故所求曲线C 的方程为y 2=4x ．(Ⅱ)由题意，可设直线AB 方程为y =−x +n ，由{y 2=4x y =−x +n得y 2+4y −4n =0． 由△=16+16n >0，解得n >−1.所以y 1+y 2=−4，y 1⋅y 2=−4n ．又因为y 1⋅y 2=−4n =−8，所以n =2，满足n >−1．所以直线AB 的方程为y =−x +2，则y 1+y 2=−(x 1+x 2)+4，由y 1+y 2=−4，可知x 1+x 2=8．所以AB 的中点坐标为(4,−2)，把(4,−2)代入直线y =x +m ，解得m =−6.故所求实数m 的值为−6．【解析】(Ⅰ)判断点M 的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x =−1为准线的抛物线．求解p ，即可求解曲线C 的方程．(Ⅱ)设直线AB 方程为y =−x +n ，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，求出直线方程，代入点的坐标即可求解m ．本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21.【答案】(Ⅰ)证明：因为BC =12AD ，且E 为线段AD 的中点，所以BC =DE ．又BC//AD ，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以BE//CD ．又CD ⫋平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，所以BE//平面PCD ．又BE ⫋平面BEGF ，平面BEGF ∩平面PCD =GF ，所以BE//GF ．又平面PAD ⊥平面ABCD ，BE ⫋平面BEGF ，BE ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以BE ⊥平面PAD ，又因为BE//GF ，所以GF ⊥平面PAD ，又PA ⫋平面PAD ，所以GF ⊥PA ．(Ⅱ)解：存在，G 为棱PD 上靠近D 点的三等分点．因为PA =PD ，E 为线段AD 的中点，所以PE ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ．如图，以E 为坐标原点，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、EP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ， 则P(0,0,√3)，B(0,1，0)，E(0,0，0)，D(−1,0，0)，所以PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)， 设DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDP ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，得G(λ−1,0,√3λ)，所以EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1,0,√3λ)，设平面BEGF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{y =0(λ−1)x +√3λz =0， 令x =√3λ，可得n ⃗ =(√3λ,0,1−λ)为平面BEGF 的一个法向量，设直线PB 与平面BEGF 所成角为α，于是有sinα=|cos〈n ⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n ⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3(λ−1)2√3λ2+(1−λ)2=√217； 解得λ=13或λ=−1(舍去)， 所以存在点G(−23,0,√33)，使得直线PB 与平面BEGF 所成角的正弦值为√217， 故G 为棱PD 上靠近D 点的三等分点．【解析】(Ⅰ)证明BE//CD.推出BE//平面PCD.然后证明BE//GF.证明BE ⊥平面PAD ，然后推出GF ⊥PA ．(Ⅱ)以E 为坐标原点，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、EP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，求出平面BEGF 的法向量，平面BEGF 的一个法向量，利用空间向量的数量积转化求解即可．本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)依题意可得：椭圆C 的焦点为F 1(−2,0)，F 2(2,0)，则|PF 1|+|PF 2|=2a ， 所以2a =√(2−2)2+(√2−0)2+√(2+2)2+(√2−0)2=4√2，解得a =2√2．所以b =√a 2−c 2=2．故所求椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(Ⅱ)△AOB 的面积为定值2√2．由题意，可设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为k 1⋅k 2=−12，可得y 1x 1⋅y 2x 2=−12，即x 1x 2+2y 1y 2=0． ①当直线l 的斜率不存在时，可得x 1=x 2，y 1=−y 2，则x 12−2y 12=0， 由A(x 1,y 1)在圆C 上可知，x 12−2y 12=8，联立x 12−2y 12=0，可求得|x 1|=2，|y 1|=√2．此时，S △AOB =12|x 1||y 1−y 2|=|x 1||y 1|=2√2．③当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +m(m ≠0)，由{x 28+y 24=1y =kx +m，可得(2k 2+1)x 2+4km +2m 2−8=0.△=8(8k 2+4−m 2)>0， 所以x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1．又因为原点O 到直线l ：y =kx +m 的距离为d =√k 2+1，且|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|．所以S △AOB =12d ⋅|AB|=|m|2⋅|x 1−x 2|=|m|2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2①， 把{x 1+x 2=−4km 2k 2+1x 1x 2=2m 2−82k 2+1代入①式可得：S △AOB =√2|m|1+2k 2√8k 2+4−m 2． 因为k 1⋅k 2=−12，所以x 1x 2+2y 1y 2=0．化简得，(2k 2+1)x 1x 2+2km(x 1+x 2)+2m 2=0②把{x 1+x 2=−4km2k 2+1x 1x 2=2m 2−82k 2+1，代入②式有：m 2=4k 2+2，所以S △AOB =√2m 21+2k 2=2√2， 此时，△=8(8k 2+4−m 2)=8m 2>0满足题意，所以S △AOB =2√2．综上可知，△AOB 的面积是定值且为2√2．【解析】(Ⅰ)求出焦点坐标，利用|PF 1|+|PF 2|=2a ，求解a ，推出b ，即可得到椭圆方程． (Ⅱ)△AOB 的面积为定值2√2.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用k 1⋅k 2=−12，推出x 1x 2+2y 1y 2=0． ①当直线l 的斜率不存在时，求解三角形的面积．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +m(m ≠0)，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理，结合点到直线的距离求解三角形底面积，推出最大值即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
宿州市十三所重点中学部编版2020学年高二数学上学期期中试题理
宿州市十三所重点中学2018-2019学年度第一学期期中质量检测高二数学（理科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以一个直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是( )A. 一个圆柱B. 一个圆锥C. 一个圆台D. 两个圆锥 2.直线3320x y --=的倾斜角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 3.已知直线1:30-+=l mx y 与211:22l y x =-+垂直，则=m （ ） A. 12-B. 12C. -2D. 2 4.在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面xoz 的垂线PQ ，则垂足Q的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)5.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的度数是（ ）A ．0°B ．30° C.60° D ．90° 6.已知平面α，直线l ，点P ，则下列命题正确的是( )A ．若,l P l α⊄∈，则P α∉B ．若,l P l α⊄∈，则P α∈C ．若α⊂l ,P l ∈，则P α∈D ．若α⊂l ,P l ∉，则P α∉ 7.圆心在x 轴上，且过点(2,4)的圆与y 轴相切，则该圆的方程是( )A ．01022=++y y x B ．01022=-+y y x C ．01022=++x y x D ．01022=-+x y x8.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A 3B ．12C ．14D ．0 9. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱的大小是( )A ．3B ．22C ．5D ．210.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A ．4B ．34 C ．32D ．311. 已知),(b a P 为圆C:044222=+--+y x y x 上任意一点，则11+-a b 的最大值为（ ） A. 2 B. 34-C. 34 D. 012.已知圆222:(0)O x y r r +=>与直线20x y +-=相交于,A B 两点，C 为圆上的一点，OC 的中点D 在线段AB 上，且35AD DB =u u u r u u u r，则圆O 的半径r 为（ ）A.11B.103C.10D.23 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年安徽宿州高二上数学期中试卷
2020-2021学年安徽宿州高二上数学期中试卷一、选择题1. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面（过圆柱的轴作截面）的面积为()A.2πB.πC.2D.12. 直线(2m2−5m+2)x−(m2−4)y+5m=0的倾斜角45∘，则m的值为()A.−2B.2C.−3D.33. 过点M(2, 1)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为()A.2x−y−3=0B.2x+y−5=0C.x+2y−4=0D.x−2y+3=04. 如图所示的各图形中，不是正方体表面展开图的是()A. B. C. D.5. 经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是()A.x−y+1=0B.x−y−1=0C.x+y−1=0D.x+y+1=06. 光线从点A(−3, 5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2, 10)，则光线从A到B的距离是()A.5√2B.2√5C.5√10D.10√57. 用一个半径为2cm的半圆围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为( )A.1cmB.2cmC.12cm D.32cm8. 按如下程序框图，若输出结果为273，则判断框内？处应补充的条件为()A.i>7B.i≥7C.i>9D.i≥99. 点M在圆(x−5)2+(y−3)2=9上，则点M到直线3x+4y−2=0的最短距离为()A.9B.8C.5D.210. 设有四个命题，其中，真命题的个数是()①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；④侧面都是长方形的棱柱叫长方体.A.0个B.1个C.2个D.3个11. 在区间[0,1]上任取两个数a，b，方程x2+2ax+b=0有实根的概率为()A.12B.14C.13D.2312. 以相交两圆C1：x2+y2+4x+1=0及C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为( )A.(x−1)2+(y−1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+35)2+(y+65)2=45D.(x−35)2+(y−65)2=45二、填空题已知圆C:x2+y2−4x−2y+1=0，P为直线y=x+3上一个动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为E，F，当∠EPF最大时，P点的坐标为________.三、解答题已知△ABC的顶点A(5, 1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0．AC边上的高BH所在直线为x−2y−5=0．求：(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的162个相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）(1)求x，y；(2)若从高校A，B抽取的人中选2人作专题发言，求这二人至少有一人来自高校A的概率．已知关于x，y的方程C:x2+y2−2x−4y+m=0．(1)当m为何值时，方程C表示圆．(2)若圆C与直线l:x+2y−4=0相交于M，N两点，且|MN|=4√55，求m的值．某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：ℎ）的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在(12,16]内的人数为92.(1)求n的值．(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的平均值以及中位数（精确到0.01）．(3)如果计划对参与主题教育活动时间在(16,24]内的党员干部给予奖励，且在(16,20],(20,24]内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率．渭南市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：渭南城区所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚．如表是渭南市一主干路段，监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：(1)请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程ŷ=b̂x+â；(2)预测该路段7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式：b̂=∑x ini=1y i−nx¯y¯∑x i2ni=1−nx¯2=∑(ni=1x i−x¯)(y i−y¯)∑(ni=1x i−x¯)2，â=y¯−b̂x¯.已知圆C:x2+y2+2x−4y+3=0．(1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆C外一点P(x, y)向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．参考答案与试题解析2020-2021学年安徽宿州高二上数学期中试卷一、选择题1.【答案】C【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】首先确定轴截面的形状及边长，即可求出答案.【解答】解：由题意得：圆柱的轴截面为长为2，高为1的矩形,所以轴截面面积为：2×1=2.故选C.2.【答案】D【考点】直线的倾斜角直线的斜率【解析】直线(2m2−5m+2)x−(m2−4)y+5m=0的倾斜角45∘，显然m2≠4，于是2m2−5m+2m2−4=tan45∘=1，从而可求m的值．【解答】解：∵直线(2m2−5m+2)x−(m2−4)y+5m=0的倾斜角45∘，当m2=4时，与题意不符，∴2m2−5m+2m2−4=tan45∘=1，解得m=3或m=2（舍去）．故选D．3.【答案】C【考点】直线的截距式方程中点坐标公式【解析】由题意知M点为PQ的中点，进而得出点P和Q的坐标，然后根据截距式求出方程即可．【解答】解：设P(a, 0)，Q(0, b)，∵M点为PQ的中点，M=(2, 1)，则P(4, 0)，Q(0, 2)，∴x4+y2=1即x+2y−4=0.故选C．4.【答案】B【考点】表面展开图棱柱的结构特征【解析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．【解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，C，D选项可以拼成一个正方体，而B选项，折叠起来有两个侧面重合，且缺少一个底面，故不是正方体的展开图.故选B.5.【答案】A【考点】圆的标准方程与一般方程的转化两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的点斜式方程【解析】将圆的方程x2+2x+y2＝0可化为，(x+1)2+y2＝1求其圆心G(−1, 0)，根据直线垂直的斜率关系，求出与直线x+y＝0垂直的直线的斜率为1，根据点斜式即可写出所求直线方程．【解答】解：圆的方程x2+2x+y2=0可化为，(x+1)2+y2=1，∴圆心G(−1, 0)，∵直线x+y=0的斜率为−1，∴与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1，∴由点斜式方程可知，所求直线方程为y=x+1，即x−y+1=0.故选A.6.【答案】C【考点】两点间的距离公式【解析】由题意可得A(−3, 5)关于x轴的对称点为A′(−3, −5)，由对称性可知光线从A到B的距离即为A′到B的距离，由距离公式可得答案．【解答】解：由题意可得A(−3, 5)关于x轴的对称点为A′(−3, −5)，由对称性可知光线从A到B的距离即为A′到B的距离，由距离公式可得|A′B|=√(−3−2)2+(−5−10)2=5√10.故选C.7.【答案】A【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）弧长公式【解析】首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求得半径．【解答】解：由题意可得，圆锥的底面周长是2πcm，设圆锥的底面半径是rcm，则2πr=2π，解得：r=1.故选A．8.【答案】B【考点】程序框图【解析】按照程序框图的流程写出前三次循环的结果，直到第三次按照已知条件需要输出，根据循环的i的值得到判断框中的条件．【解答】解：经过第一次循环得到S=3，i=3，经过第二次循环得到S=3+33=30，i=5，经过第三次循环得到S=30+35=273，i=7，此时，需要输出结果，此时的i满足判断框中的条件，观察选项只有B符合题意.故选B.9.【答案】D【考点】点到直线的距离公式圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】先求出圆心到直线的距离，再由圆与直线的位置关系得圆上的点M到直线的最小距离等于圆心到直线的距离减去圆的半径．【解答】解：由题意得圆的圆心为(5, 3)，半径为3，则圆心到直线3x+4y−2=0的距离为d=√32+42=5，所以M点到直线3x+4y−2=0的最短距离为5−3=2.故选D.10.【答案】A【考点】棱台的结构特征棱柱的结构特征棱锥的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】解：①有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个多边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故①错误；②有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥，故②错误；③棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台，故③错误；④侧面都是长方形的棱柱叫长方体.没有说明底面形状，不满足长方体的定义，故④错误.真命题的个数为0.故选A.11.【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间[0,1]上任取两个数a和b，写出事件对应的集合，求出面积，满足条件的事件是关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根，根据二次方程的判别式写出a，b要满足的条件，写出对应的集合，求出面积，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间[0,1]上任取两个数a和b，事件对应的集合是Ω={(a,b)|0≤a≤1,0≤b≤1}，对应的面积是SΩ=1，满足条件的事件是关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根，即4a2−4b≥0，解得a2≥b，满足此条件时对应的图形面积S P=∫(1x2)dx=13，∴满足条件的概率P=S PSΩ=13.故选C．12.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的标准方程与一般方程的转化【解析】先确定公共弦的方程，再求出公共弦为直径的圆的圆心坐标、半径，即可得到公共弦为直径的圆的圆的方程．【解答】解：∵圆C1：x2+y2+4x+1=0，圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0，∴两圆相减可得公共弦方程为l：2x−2y=0，即x−y=0.又∵圆C1的标准方程为(x+2)2+y2=3，圆C2的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=1，∴ 圆C1：x2+y2+4x+1=0的圆心坐标为(−2, 0)，半径为√3，圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的圆心坐标为(−1, −1)，半径为1，∴C1C2的方程为x+y+2=0，∴联立{x−y=0，x+y+2=0，可得公共弦为直径的圆的圆心坐标为(−1, −1)，∵(−2, 0)到公共弦的距离为：√2，∴公共弦为直径的圆的半径为：√(√3)2−(√2)2=1，∴公共弦为直径的圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=1.故选B.二、填空题【答案】(0,3)【考点】圆的标准方程与一般方程的转化直线与圆的位置关系两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系与圆有关的最值问题【解析】由PE、PF为圆C的两条切线可知，要使∠EPF最大，只要∠EPC最大，由sin∠EPC=2PC，当PC长度最小时，∠EPC取最大值，此时PC与直线y=x+3垂直，求出直线PC，联立即可得出答案.【解答】解：圆C化为(x−2)2+(y−1)2=4，半径r=2，圆心(2,1)到直线y=x+3的距离d=2√2，d>r，如图：由题意，PE，PF为圆C的两条切线，则要使∠EPF最大，只要∠EPC最大，在Rt△EPC中，sin∠EPC=2PC，所以当PC长度最小时，∠EPC取最大值，此时PC与直线y=x+3垂直，则k PC=−1，由题意易得圆心C(2,1)，所以PC所在的直线方程为y−1=−(x−2)，即y=−x+3，联立方程组{y=x+3，y=−x+3，解得{x=0，y=3.可求得∠EPF最大时，P点坐标为(0,3).故答案为：(0,3).三、解答题【答案】解：(1)由题意BH与AC垂直，∴k BH⋅k AC=12k AC=−1，∴k AC=−2，∴直线AC的方程为2x+y−11=0，解方程组{2x−y−5=0,2x+y−11=0,得点C的坐标为(4,3).(2)设B(m, n)，则M(m+52, n+12)，{2×m+52−n+12−5=0,m−2n−5=0,整理得{2m−n−1=0,m−2n−5=0,解得{m=−1,n=−3,则B点坐标为(−1, −3)，则直线BC的方程为y−3=65(x−4)，即6x−5y−9=0．【考点】两条直线的交点坐标两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 直线的点斜式方程 中点坐标公式【解析】(1)先求直线AC 的方程，然后求出C 的坐标．(2)设出B 的坐标，求出M 代入直线方程为2x −y −5=0，与直线为x −2y −5=0．联立求出B 的坐标然后可得直线BC 的方程． 【解答】解：(1)由题意BH 与AC 垂直， ∴ k BH ⋅k AC =12k AC =−1，∴ k AC =−2，∴ 直线AC 的方程为2x +y −11=0， 解方程组{2x −y −5=0,2x +y −11=0,得点C 的坐标为(4,3). (2)设B(m, n)，则M(m+52, n+12)，{2×m+52−n+12−5=0,m −2n −5=0,整理得{2m −n −1=0,m −2n −5=0,解得{m =−1,n =−3,则B 点坐标为(−1, −3)，则直线BC 的方程为y −3=65(x −4)， 即6x −5y −9=0．【答案】解：(1)由题意，n =162−36−54=72， 则x =72×236=4，y =54×236=3.(2)已知高校A 抽取4人，分别为A ，B ，C ，D ， 高校B 抽取2人分别为甲、乙，则一共有以下15种等可能的情况数：AB ，AC ，AD ，A 甲，A 乙，BC ，BD ，B 甲，B 乙，CD ，C 甲，C 乙，甲乙，这两人中至少有1人来自A 高校有14种情况：AB ，AC ，AD ，A 甲，A 乙，BC ，BD ，B 甲，B 乙，CD ，C 甲，C 乙，所以由等可能性事件的概率可知，至少有1人来自A 高校的概率为P =1415. 【考点】 分层抽样方法列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】由三所高校有162个相关人员可先求出n =72，进一步利用分层抽样可求出x =4,y =3。
2021-2022学年安徽省宿州市十三所重点中学高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年安徽省宿州市十三所重点中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.圆心为，半径为3的圆的方程是( )A. B.C. D.2.直线的倾斜角为( )A. B. C.D.3.若直线与圆相切，则r 的值为( )A. 1B.C. D. 24.双曲线的渐近线方程为( )A.B.C. D.5.已知两条直线：和：，若，则实数m 的值为( )A.或1B. C. 1D.6.如图所示，在平行六面体中，E 为AC 与BD 的交点，则下列向量中与相等的向量是( )A.B.C.D.7.黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知焦点在x轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为( )A. B. C. 2 D.8.已知点与点B关于直线l：对称，则点B的坐标为( )A. B. C. D.9.若圆上总存在两个点到坐标原点的距离为1，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.10.已知，分别为双曲线C：的左，右焦点，双曲线C上的点A满足，且的中点在y轴上，则双曲线C的离心率为( )A. B. C. 2 D.11.已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上的两点P，Q均在第一象限，且，，，则直线PQ的斜率为( )A. 1B.C.D.12.已知，分别为椭圆的左，右焦点，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，且A，，B，四点共圆，则四边形的面积为( )A. 3B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.两平行直线：，：之间的距离为__________.14.已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则实数m的值为__________.15.设，分别为椭圆的左，右焦点，若直线上存在点P，使，则椭圆离心率的取值范围为__________.16.若关于x的不等式的解集为，且，则实数k的值为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分。
安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考数学(文)试题 含答案
D． 30
8．已知两条不同的直线 m ， n ，三个不重合的平面 ， ， ，下列命题正确的是（ ）
A．若 m//n ， n// ，则 m//
B．若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C．若 m ⊥ ， m ⊥ ，则 //
D．若 ⊥ ， m// ，则 m ⊥
9．圆 O1 ： ( x −1)2 + ( y − 2)2 = 2 与圆 O2 ： x2 + y2 + 4x + 2 y − 3 = 0 的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
10．如图，正三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面边长为 1，侧棱长为 4，一只蚂蚁从 A 点出发沿每个侧面爬到 A1 ，
路线为 A → M → N → A1 ，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．4
B．5
C、6
D． 2 5 +1
11．已知点 E ， F 分别是三棱锥 P − ABC 的棱 PA ， BC 的中点， PC = AB = 6 ，若异面直线 PC 与 AB 所成角为 60°，则线段 EF 长为（ ）
安徽省宿州市十三所重点中学 2020-2021 学年第一学期期中质量检测
高二数学试卷（文科）
注意事项：1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．考生务必将答题内容填写在答题卡上，写在试题卷上无效。 一、选择题
1．直线 3Leabharlann − y + 2 = 0 的倾斜角是（ ）
A． π 6
B． π 3
19．已知圆 C ： x2 + y2 − 8y + 7 = 0 ，直线 l ： x + my − 2m = 0(m R) ．
2020年1月安徽省宿州市十三所省重点中学高2021届高2018级高二第一学期期中联考理科数学试题及参考答案解析
2019～2020学年度安徽省宿州市十三所省重点中学高中二年级第一学期期中联考理科数学试题试题一、单选题1.点()4,1到直线4320x y -+=的距离等于( ) A.1B.2C.3D.4【试题参考答案】C【试题解析】根据点到直线距离公式,直接计算,即可得出结果.点()4,1到直线4320x y -+=的距离为16321535169-+===+d . 故选：C本题主要考查求点到直线的距离,熟记公式即可,属于基础题型. 2.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形D.平面和平面有不同在一条直线上的三个交点 【试题参考答案】C【试题解析】A 错误。
不共线的三个点才可以确定一个平面；B 错误。
四边形不一定是平面图形。
如：三棱锥的四个顶点构成的四边形；C 正确。
梯形有一组对边平行,两条平行线确定一平面；D 错误。
两个平面有公共点,这些点共线,是两个平面的交线；故选C 3.“3k =”是“两直线320kx y --=和2670kx y +-=互相垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【试题参考答案】A【试题解析】先由3k =,求两直线的斜率,再由两直线垂直求k 的取值,根据充分条件与必要条件的概念,即可得出结果.当3k =时,两直线320kx y --=和2670kx y +-=的斜率分别为：13=k 和13-=-k,所以两直线垂直；若两直线320kx y --=和2670kx y +-=互相垂直,则2(3)60⋅+-⋅=k k ,解得：3k =±；因此“3k =”是“两直线320kx y --=和2670kx y +-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A本题主要考查充分不必要条件的判定,熟记充分条件与必要条件的概念,以及两直线垂直的判定方法即可,属于基础题型.4.已知圆()()22122x y -+=+与圆O '关于x 轴对称,则圆O '的方程是( ) A.()()22211x y -++= B.()()22122x y -+-= C.()()22212x y -+-= D.()()22212x y ++-=【试题参考答案】B【试题解析】先由已知圆的方程,得到已知圆的圆心坐标与半径,再由已知圆与所求圆的对称关系,得到所求圆的圆心与半径,即可得出结果.因为圆()()22122x y -+=+的圆心坐标为()1,2-,,又圆()()22122x y -+=+与圆O '关于x 轴对称,所以圆O '的圆心坐标为()1,2,半径为r =因此圆O '的方程为：()()22122x y -+-=. 故选：B本题主要考查求圆的方程,熟记即圆与圆位置关系即可,属于基础题型. 5.若直线//l 平面α,直线a α⊂,则l 与a 的位置关系是( ) A.l a // B.l 与a 异面 C.l 与a 相交 D.l 与a 没有公共点【试题参考答案】D【试题解析】根据直线与平面平行的性质,得到平面α内的直线与l 平行或异面,进而可得出结果.因为直线//l 平面α,则平面α内的直线与l 平行或异面, 又直线a α⊂,所以l 与a 平行或异面,即没有公共点. 故选：D本题主要考查线线位置关系的判定,熟记线线、线面位置关系即可,属于基础题型. 6.圆222270x y x y +-+-=截直线0x y -=所得的弦长等于( )B. D.【试题参考答案】D【试题解析】先将圆的方程化为标准方程,得到圆心坐标,与半径r ,根据点到直线距离公式,求出圆心到直线的距离d ,再由弦长等于即可得出结果.因为222270x y x y +-+-=可化为()()22119-++=x y ,所以圆()()22119-++=x y 的圆心为()1,1-,半径为3r =,因为点()1,1-到直线0x y -=的距离为==d 所以,圆222270x y x y +-+-=截直线0x y -=所得的弦长===故选：D本题主要考查求圆的弦长,熟记几何法求解即可,属于常考题型.7.的正方形,则原图形的周长是( )A.22B.42C.62D.82【试题参考答案】D【试题解析】根据斜二测画法的性质求解即可.由斜二测画法性质得,原图'2OA OA ==,2'4OB OB ==.故原图形的周长为()22221682OA AB +=+=故选：D本题主要考查了斜二测画法的性质,属于基础题型.8.若过点()1,3-有两条直线与圆22210x y x y m +-+++=相切,则实数m 的取值范围是( ) A.(),1-∞- B.()4,-+∞C.14,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D.()1,1-【试题参考答案】C【试题解析】先由方程表示圆,得到()()2212410-+-+>m ；再由过点()1,3-有两条直线与圆22210x y x y m +-+++=相切,得到点()1,3-在圆22210x y x y m +-+++=外,列出不等式求解,即可得出结果.因为22210x y x y m +-+++=表示圆的方程, 所以()()2212410-+-+>m ,即14m <； 又过点()1,3-有两条直线与圆22210x y x y m +-+++=相切, 所以点()1,3-在圆22210x y x y m +-+++=外,因此()221312(3)10+--+⨯-++>m ,即4m >-； 综上,144-<<m . 故选：C本题主要考查由直线与圆位置关系求参数,熟记过圆外一点的圆的切线条数的判定方法,以及圆的一般方程即可,属于常考题型. 9.已知二面角的平面角是锐角,内一点到的距离为3,点C 到棱的距离为4,那么的值等于A. B. C. D.【试题参考答案】D【试题解析】解：如图,作CE ⊥AB,CD ⊥β,连接ED, 由条件可知,∠CED=θ,CD=3,CE=4故选D10.直线10x y --=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆()2222x y ++=上,则ABP ∆面积的取值范围是( )A.15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]2,6C.22⎣⎦D.⎡⎣【试题参考答案】A【试题解析】先由圆()2222x y ++=得到圆心坐标,根据点到直线距离公式,求出圆心到直线10x y --=的距离,确定直线与圆位置关系,求出圆上的点到直线的距离的范围,再由直线方程求出A ,B 两点坐标,根据三角形面积公式,即可得出结果.因为圆()2222x y ++=的圆心为()2,0-,半径为r =由点到直线距离公式可得：点()2,0-到直线10x y --=的距离为2==>d 所以直线与圆相离；又点P 在圆()2222x y ++=上,所以点P 到直线10x y --=距离范围是：[],d r d r -+,即22⎣⎦；又直线10x y --=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,所以()1,0A ,()0,1B -,因此AB =所以1122∆≤≤ABP S 即1522∆≤≤ABP S , 故选：A本题主要考查三角形面积的取值范围,熟记直线与圆位置关系,会求圆上的点到直线距离的范围即可,属于常考题型.11.如图,直三棱柱'''ABC A B C -的体积为V ,点,P Q 分别在侧棱'AA 和'CC上,'AP C Q =,则四棱锥B APQC -的体积为( )A.2V B.3V C.4V D.5V 【试题参考答案】B【试题解析】试题分析：不妨设三棱柱是正三棱柱,设底面边长a 和侧棱长h 均为1,则133112∆=⋅=⨯=ABC V S h 认为,P Q 分别为侧棱'AA 和'CC 上的中点,则13113133232234-=⋅=⨯⨯=⨯B APQC APQC V S (其中32为∆ABC 边AC 上的高),所以13-=B APQC V V .故选B.【考点】柱、锥、台体的体积.【思路】把问题给理想化,认为三棱柱是正三棱柱,设底面边长a 和侧棱长h 均为1,,P Q 分别为侧棱'AA 和'CC 上的中点,求出底面面积和高,即可求出四棱锥B APQC -的体积.本题考查柱、锥、台体的体积,考查计算能力,特殊化法,在解题中有独到效果,本题还可以让P 或Q 在特殊点,四棱锥变为三棱锥解答更好.12.若圆M ：224210x y x y ++++=上的任意一点()P m n ,关于直线l ：2390ax by ++=对称的点仍在圆M 上,则()()22m a n b -+-的最小值为( )A.1B.2C.3D.4【试题参考答案】D【试题解析】先由题意,得到圆M 关于直线l 对称,即直线l 过圆M 的圆心；根据圆的方程,得到圆心坐标()2,1--与半径2r =,得到4390+-=a b ,从而推出()()22m a n b -+-表示圆M 上的点P 到直线4390x y +-=距离的平方；求出圆心到直线4390x y +-=的距离,进而可求出结果.因为圆M 上的任意一点()P m n ,关于直线l ：2390ax by ++=对称的点仍在圆M 上, 所以圆M 关于直线l 对称,即直线l 过圆M 的圆心；又圆224210x y x y ++++=可化为22(2)(1)4+++=x y ,其圆心为()2,1--,半径为2r =；所以有()()223190⋅-+⋅-+=a b ,即4390+-=a b , 因此(),a b 可表示直线4390x y +-=上的点,又()P m n ,是圆M ：224210x y x y ++++=上的点,所以()()22m a n b -+-表示圆M 上的点P 到直线4390x y +-=距离的平方； 由点到直线的距离公式可得：点()2,1--到直线4390x y +-=的距离为4==>d r ,因此直线4390x y +-=与圆M 相离,所以圆M 上的点P 到直线4390x y +-=距离的最小值为2-=d r , 所以()()22m a n b -+-的最小值为4. 故选：D本题主要考查直线与圆位置关系的综合,熟记直线与圆位置关系,会求圆上的点到直线的距离即可,属于常考题型.二、填空题13.以点()2,3P --为圆心,并且与y 轴相切的圆的方程是______. 【试题参考答案】()()22234x y +++=【试题解析】先由题意,得到所求圆的半径,再由圆的标准方程,即可得出结果.因为所求圆以点()2,3P --为圆心,并且与y 轴相切, 所以所求圆的半径为2r =,因此,所求圆的方程为：()()22234x y +++=. 故答案为：()()22234x y +++=本题主要考查求圆的方程,熟记圆的标准方程即可,属于基础题型.14.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积是________.【试题参考答案】48π【试题解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABC A B C '''-,如图所示：其中,三角形ABC 是腰长为4的直角三角形,侧面ACC A ''是边长为4的正方形,则该几何体的外接球的半径为22244432++=∴该几何体的外接球的表面积为24(23)48ππ⨯=. 故答案为48π.：本题主要考查三棱柱外接球表面积的求法,属于中档题.要求外接球的表面积和体积,关键是求出求的半径,求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++(,,a b c 为三棱的长)；②若SA ⊥面ABC (SA a =),则22244R r a =+(r 为ABC ∆外接圆半径)；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.15.已知命题“0x R ∃∈使得02cos 0x a -≥”是假命题,则实数a 的取值范围是______. 【试题参考答案】2a >【试题解析】先由题意,得到命题的否定为真命题,即2cos >a x 对任意x ∈R 恒成立,进而可求出结果.因为命题“0x R ∃∈使得02cos 0x a -≥”是假命题,所以其否定“x R ∀∈使得2cos 0-<x a ”是真命题, 即2cos >a x 对任意x ∈R 恒成立,所以只需2a >. 故答案为：2a >本题主要考查由命题的真假求参数,熟记含有一个量词的命题的否定即可,属于基础题型.16.已知k ∈R,P(a,b)是直线x ＋y ＝2k 与圆x 2＋y 2＝k 2－2k ＋3的公共点,则ab 的最大值为________. 【试题参考答案】9【试题解析】先根据直线与圆相交,圆心到直线的距离小于等于半径,以及圆半径为正数,求出k 的范围,再根据P(a,b)是直线x+y=2k 与圆x 2+y 2=k 2﹣2k+3的公共点,满足直线与圆方程,代入直线与圆方程,化简,求出用k 表示的ab 的式子,根据k 的范围求ab 的最大值.由题意,圆心(0.0)到直线的距离解得﹣3≤k≤1,又∵k 2﹣2k+3＞0恒成立 ∴k 的取值范围为﹣3≤k≤1,由点P(a,b)是直线x+y=2k 与圆x 2+y 2=k 2﹣2k+3的公共点, 得(a+b)2﹣a 2﹣b 2=2ab=3k 2+2k ﹣3=3(k+13)2﹣103, ∴k=﹣3时,ab 的最大值为9. 故答案为：9本题主要考查了直线与圆相交位置关系的判断,做题时考虑要全面,不要丢情况.三、解答题17.一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域.【试题参考答案】,定义域为【试题解析】设出所截等腰三角形的底边边长为xcm,在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高,表示出四棱锥的体积,根据实际意义写出定义域.如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm,在正四棱锥E ﹣ABCD 中,底面ABCD 是边长为x 的正方形,F 是BC 的中点,EF ⊥BC,EF ＝5,则四棱锥的高EO ＝,其中0＜x ＜10, ∴四棱锥的体积V ＝,定义域为(0,10).本题考查了函数模型的应用,根据实际问题选择合适的函数模型,注意题目中自变量的取值范围,属于中档题.18.已知直线l 经过点()1,3P .(1)点()1,3Q --到直线l 的距离为2,求直线l 的方程. (2)直线l 在坐标轴上截距相等,求直线l 的方程.【试题参考答案】(1) 1x =,4350x y -+=.(2) 30x y -=或40x y +-=.【试题解析】(1)先讨论直线l 斜率不存在的情况,直接得出直线方程；再讨论直线l 斜率存在的情况,设出直线方程,根据点到直线距离公式,即可求出结果；(2)先由题意,得到直线l 斜率一定存在且0k ≠,分别求出直线在两坐标轴的截距,建立等量关系,求出斜率,进而即可求出结果.(1)当直线l 斜率不存在时,即1x =符合要求,当直线l 斜率存在时,设直线l 的方程为()31y k x -=-, 整理得30kx y k --+=,点()1,3Q --到l 的距离,()2222621133k d k k k k -+-+-+===++-,解得43k =,得4350x y -+=,即直线l 的方程为1x =,4350x y -+=.(2)由题知,直线l 斜率一定存在且0k ≠,直线30kx y k --+=, 当0x =时,3y k =-+,当0y =时,3k x k-=, ∴33k k k--+=,解得3k =或1k =-. 即直线l 的方程为30x y -=或40x y +-=.本题主要考查求直线的方程,熟记直线的点斜式方程,以及点到直线距离公式即可,属于常考题型.19.如图,在多面体ABCDE 中,AEB ∆为等边三角形,//AD BC ,BC AB ⊥,2BC AD =,点F 为边EB 的中点.(1)求证：//AF 平面DEC .(2)在BC 上找一点G 使得平面//AFG 平面DCE ,并证明.【试题参考答案】(1) 证明见解析(2) 点G 为BC 的中点.证明见解析【试题解析】(1)取EC 中点M ,连接FM ,DM ,根据线面平行的判定定理,即可证明结论成立；(2)先由题意,确定点G 为BC 的中点；再给出证明：连接FG ,AG ,根据面面平行的判定定理,即可证明结论成立.(1)取EC 中点M ,连接FM ,DM , ∵////AD BC FM ,12AD BC MF ==, ∴ADMF 是平行四边形,∴//AF DM ,∵AF ⊄平面DEC ,DM ⊂平面DEC ,∴//AF 平面DEC .(2)点G 为BC 的中点. 证：连接FG ,AG ,因为G 、F 分别是BC ,BE 的中点,所以//GF CE ,又GF ⊄平面DCE ,CE ⊂平面DCE ,所以//GF 平面DCE , 又因为//AD BC ,12AD BC =,所以//AD GC 且AD GC =, 即四边形ADCG 是平行四边形,所以//DC AG , 因为AG ⊄平面DCE ,所以//AG 平面DCE . 又因为AG GF G =I ,所以平面//AFG 平面DCE .本题主要考查证明线面平行,以及补全面面平行的条件,熟记线面平行的判定定理,以及面面平行的判定定理即可,属于常考题型. 20.已知圆C ：()2219x y -+=.(1)设直线30ax y -+=与圆C 相交于E 、F 两点,求实数a 的取值范围.(2)在(1)的条件下,是否存在实数a ,使得过点()4,4P --的直线l 垂直平分弦EF ？若存在,求出实数a 的值；若不存在,请说明理由. 【试题参考答案】(1) ()3,0,4⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭U (2) 存在,54a =-【试题解析】(1)由题圆心到直线的距离小于半径,列式解不等式即可.(2)设l 的方程,再根据直线l 垂直平分弦EF 得圆心()1,0必在l 上,代入方程求解参数即可.(1)因为直线30ax y -+=与圆相交于E 、F 两点, 所以圆心到直线的距离小于半径, 即2331a a +<+,化简得：2860a a ->, ∴0a <或34a >. 故实数a 的取值范围是()3,0,4⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭U . (2)设符合条件的实数a 存在,由(1)得0a ≠,则直线l 的斜率为1a-, ∴l 的方程为()144y x a=-+-,即440x ay a +++=, ∵l 垂直平分弦EF ,故圆心()1,0必在l 上, ∴1440a ++=,解得：54a =-. ∵()5,04-∈-∞, 故存在实数54a =-,使得过点()4,4P --的直线l 垂直平分弦EF .本题主要考查了直线与圆相交的问题,主要根据圆心到直线的距离求解,同时也考查了圆的对称性,属于中等题型. 21.如图,在以为顶点,母线长为的圆锥中,底面圆的直径长为2,点在圆所在平面内,且是圆的切线,交圆于点,连接,.(1)求证：平面；(2)若,求点到平面的距离.【试题参考答案】(1)详见解析；(2). 【试题解析】(1)由题意可知,,从而可得平面,从而由勾股定理得由线面垂直的判定定理可得到证明；(2)由条件计算和,然后利用即可得到结果.解：(1)因为是圆的直径,与圆切于点,所以.又在圆锥中,垂直底面圆,所以,而,所以平面,从而. 在三角形中,,所以,又所以平面.(2)因为,,,所以在直角中,.又,则是等腰三角形, 所以,. 又,所以设点到平面的距离为,由,即,所以.本题考查线面垂直的判定定理的应用,考查利用等体积法求点到面的距离,考查空间想象能力和计算能力,属于中档题.22.已知圆M ：()()22454x y -+-=,圆N 与圆M 关于直线l ：20x y +-=对称. (1)求圆N 的方程；(2)过直线l 上的点P 分别作斜率为14-,4的两条直线1l ,2l ,使得1l 被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长相等.(i)求点P 的坐标；(ii)过点P 任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交,判断所得弦长是否恒相等,并说明理由.【试题参考答案】(1) ()()22324x y +++= (2) (i)()3,5-.(ii)恒相等.见解析【试题解析】(1)根据轴对称求得圆N 的圆心即可.(2)由题,两问均可设(),2P m m -与过点P 任作两条互相垂直的直线分别为12,l l ,再由题意得M 到1l 的距离与N 到2l 的距离相等,列式求解与证明即可.(1)设(),N a b ,因为圆M 与圆N 关于直线l ：20x y +-=对称,()4,5M ,则直线MN 与直线l 垂直,MN 中点在直线l 上,得514452022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩, 解得32a b =-⎧⎨=-⎩,所以圆N ：()()22324x y +++=. (2)(i)设(),2P m m -,1l 的方程为()()124y m x m --=--,即()4380x y m ++-=； 2l 的方程为()()24y m x m --=-,即()4250x y m -+-=.因为1l 被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长相等,且两圆半径相等, 所以M 到1l 的距离与N 到2l 的距离相等,=,所以4m =或3m =-. 由题意,M 到直线1l的距离2d m =≤⇒≤≤, 所以4m =不满足题意,舍去, 故3m =-,点P 坐标为()3,5-.(ii)过点P 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交,所得弦长恒相等. 证明如下：当1l 的斜率等于0时,2l 的斜率不存在,1l 被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长都等于圆的直径；当1l 的斜率不存在,2l 的斜率等于0时,1l 与圆M 不相交,2l 与圆N 不相交.当1l 、2l 的斜率存在且都不等于0,两条直线分别与两圆相交时,设1l 、2l 的方程分别为()153y x k-=-+,()53y k x -=+,即()350x ky k ++-=,()350kx y k -++=. 因为M 到1l 的距离1d ==,N 到2l 的距离2d ==,所以M 到1l 的距离与N 到2l 的距离相等.因为圆M 与圆N 的半径相等,所以1l 被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长恒相等.综上所述,过点P 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交,所得弦长恒相等.本题主要考查了直线与圆的位置关系,同时也考查了垂径定理的运用等,需要根据题意找到圆心与直线的距离关系列式求解,属于中等题型.。