量子力学曾谨言第十章第十一章习题答案

第十章：散射问题[1]用玻恩近似法，求在下列势场中的散射微分截面：（1） ar a r V r V ><⎩⎨⎧-=0)(0（2） 20)(ar e V r V -= )0(>a (3) rer V ar-=β)( )0(>a(4) ar e V r V -=0)( )0(>a (5) 2)(ra r V =(解) （1）先列出玻恩近似法的基本公式。

根据理论，如果散射粒子所在的势场是)(r V 。

粒子质量是μ，粒子的波数是k （因是弹性散射，在散射前后都用此文字表示，它与能量E 的关系是222E kμ=）散射角度是θ，而)(θq 表示以下参数：2sin2)(θθk q = （1）则与散射方向θ对应的散射振幅用下述一维定积分计算⎰∞⋅⋅-=2sin )(2)(dr r qr r V qf μθ （2）是为玻恩的散射振幅公式一般适用于高能量散射，若)()(0a r V r V <-=代入（2）：⎰⋅⋅=adr r qr qV f 020sin 2)( μθ利用积分公式qx qx qx qqxdx x cos sin 1sin 2-=⎰于前一式，注意上下限为a 和0。

)c o s s i n (2)(220q qaa qqa q V f --= μθ （3） 微分截面：22242022)c o s s i n (4)()(qqaa qqa qV f -== μθθσ~400~第十一章：量子跃迁[1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求：（1）跃迁选择定则。

（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。

（解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。

（1）跃迁选择定则：为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396）)(34//'2222k k k k k k r q W ωρπ→=（1）式中2'→k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→kkr /仅有一项2/kk x )(34//'2222k k k k k k x q W ωρπ= （2）根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ⎰∞∞-=)0('/ψ （3）式中)(2)(!)0(ax H k ax k kkπψ=，μω=a~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }212{1)0(1)0(1)0(+-++=k k kk k x ψψαψ（4）代入（3），利用波函数的正交归一化关系：mn nxndx δψψ=⎰)0(*)0(dxk k x k k kk k ⎰∞∞-+-++⋅=}212{1)0(1)0(1*)0(''ψψαψ1,1,''21121+-++=k kk kk k δαδα（5）由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是：,1'-=k k 这时21,1'k k x x k k k α==- （6）,1'+=k k 这时211,1'+==+k k x x k k k α因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。

（2）每秒钟从基态0=k 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： )()211(3410222210ωραπq W =)(321010222ωρμωπ q=~447~[2]设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。

（1）求跃迁的选择定则。

（2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。

（解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。

（1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端）ax k ax k πψsin2)(=（1）根据此式计算矩阵元： dx ax k x ax k ax ax k k ππsinsin2''⋅⋅=⎰=dx axk k axk k x aax ⎰=+--=''])(cos)([cos1ππ利用不定积分公式：2cos sin cos ppx x ppx pxdx x x+⋅=⎰(2)axk k k k ax axk k k k aaxk k k k ax a x k k ππππππ)(sin)()(cos)()(sin )({1'''22'2'''++---+--=~448~aaxk k k k a0'22'2})(cos)(ππ+--222'2')(1)1(4'k kkak kk ---⋅=+π(3)从最后一式知道，要使矩阵元0'≠k k x ，k k +'必需要是奇数。

但这个规律也可以用别种方式叙述，当k k +'是奇数时k k k k k -=-+''2必然也是奇数，因此一维无限深势阱受光照的选择定则是：表示初态和末态的量子数之和（或差）应是个奇数),2,1,0()12('=-=±n n k k因此',k k 二者之中，一个是奇另一个是偶。

（2）跃迁速率：依前题公式（1） )(34'''2222k k kk k k x q W ωρπ=)(]1)1[()(364''2422'22'2222k k kk k kkk q a ωρπ⋅--⋅-⋅=+（4）=±k k '偶数时0'=k k W ，=±k k '奇数时)()(3256''422'22'2222k k k k k kkk hq W ωρππ-⋅=（5）粒子从基态1=k ，跃迁到任何一个偶数态n k 2'=的速率：)()14()(310241,242221,2n n n nqaW ωρπ-=~449~[3]设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z 轴方向、电场沿z 轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是： ⎪⎩⎪⎨⎧><=-)()0()0(0)(10为常数τεετt et t求时间充分长后，氢原子跃迁到2s ，或2p 态的几率。

（解）按照习惯表示法，氢原子的初态（k 态）的波函数是：100ψ，末态（'k 态）的波函数是200ψ或m21ψ，它们的显式是如下：1s 态 ar e a -=31001πψ （1）2s 态 ar ear a 23200)2(321--=πψ（2）2p 态 ϕθπψi ar e e a ra ⋅=-s i n )(8123211（3a ）ϕθπψi ar ee a ra ---⋅=s i n )(81231,21 （3b ）θπψcos )(32123210ar eara-=（3c ）~450~这些公式后面都要用来计算几率。

从题意看来，原子所受的微扰是个随时间变化的函数，而且，电场的方向是固定的，与光照射情形不同（光的电磁场是看作各向同性的），因此只能用一般的随时间变化的跃迁振幅公式§ 11-1公式（24）dt eH t C k k i tk k ik k )(0''''1)(ωω-⎰=（4）微扰是指氢原子在此均匀电场中的偶极矩势能：微扰算符Λ'H 在初态k ψ（即100ψ）以及末态（即200ψ或m21ψ）'kψ之间的矩阵元是：将（6）代入（4）先对时间进行积分；并认为充分长时间可以用∞→t 表达：~451~（7）（前式中利用了1)('=-tikkeωω）其次计算偶极矩阵元与无关部分kkez')(，按题意，要求两种跃迁几率，下面分别进行：)21(ss→跃迁，即从态200100ψψ跃迁到的几率：ϕθθπθπϕθddrdreaeraaraezararrsin]1][cos[])2(321[)(2323100,200⋅-=--⎰⎰⎰sincos)2(3212323=⋅-=⎰⎰⎰--∞=ππϕθθθπddrdrearaararr（8）代入（4）中知道ssWC21,0100,200100,200向即自==的跃迁不存在。

再考察)21(ps→的跃迁，由于2p有三种不同态，自1s跃迁到每一态都有一定几率，因而要分别计算再求总和。

ϕθθπθθπϕϕθddrdreaereearaezariarrsin]1][cos[]sin)(81[)(2323100,211⋅=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-⋅⋅=πθπϕϕϕθθθπ222344cossin8deddreraeiarr（9）~452~ 同理可求 ϕθθπθθπϕϕθd drd r e aer ee ara ez ar i ar rsin ]1][cos []sin )(81[)(2323100,211⋅=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰=--⋅⋅=ππϕϕϕθθθπ02022344cos sin 8d ed dre r aei ar （10）ϕθθπθθπd drd r ea er aara ez ar ar sin ]1][cos []cos )(321[)(2323100,200⋅=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞====-⋅⋅=r r ar d d dr er ae 02022344sin cos 32πθπϕϕθθθπππθπ20)cos 31()32(!432354-⋅-⋅⋅=a aeae 55*732=（11）将三种值分别代入（7），得0,0100,121100,211==-C C相应的跃迁几率（态——态自210100ψψ）因aeE ae E k k 282122'-==-==ωω~453~ 量子力学题解（P454—P473）⋅⋅+=⋅-+=⋅+-==32)83(222222152113215]2)'(21[2220223215]21)'(2[22022|100210|2100210ωωτωωτE ωτωωE τEτa e a e k k a ek a e，C W ，#[4]计算氢原子的第一激发态的自发辐射系数。

（解）按照爱因斯坦辐射理论，这系数是：|34'|2232''r ce A kk kk kk ω=（1） 第一激发态是指E 2的态（四度简并的），从第一激发态只能跃迁到基态E 1。