上海市高一下学期数学期末测试题
2019年上海市高一下学期数学期末测试题2019年上海市高一下学期数学期末测试题
【】有关于2019年上海市高一下学期数学期末测试题是查字典数学网特地为您集合的，查字典数学网编辑将第一时间为您整理全国考试资讯信息，供大家参考!
一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知过点和的直线与直线平行，则的值为( A )
A. B. C. D.
2、过点且垂直于直线的直线方程为( B )
A. B.
C. D.
3、下列四个结论：
⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为( A )
A. B. C. D.
4、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表
面积是( B )
A. B. C. D.
5、圆上的点到点的距离的最小值是( B )
A.1
B.4
C.5
D.6
6、若为圆的弦的中点，则直线的方程是( D )
A. B.
C. D.
7、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为( C )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分;把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
8、在空间直角坐标系中，点与点的距离为.
9、方程表示一个圆，则的取值范围是.
10、如图，正方体中，，点为的中点，点在上，若，则线段的长度等于.
11、直线恒经过定点，则点的坐标为
12、一个底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱，其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为.
【第12题图】【第13题图】
13、如图，二面角的大小是60，线段在平面EFGH上，在EF上，与EF所成的角为30，则与平面所成的角的正弦值是
三.解答题：本大题共3小题，共35分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14、(满分11分)某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图(如图)，其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示(单位cm);
(1)求出这个工件的体积;
(2)工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用(精确到整数部分).
【解析】(1)由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4，母线长为
3，.........................................2分设圆锥高为，
则........................4分
则...6分
(2)圆锥的侧面积，.........8分
则表面积=侧面积+底面积=(平方厘米)
喷漆总费用=元...............11分
15、(满分12分)如图，在正方体中，
(1)求证：;
(2)求直线与直线BD所成的角
【解析】(1)在正方体中，
又，且,
则,
而在平面内，且相交
故;...........................................6分(2)连接，
因为BD平行，则即为所求的角，
而三角形为正三角形，故，
则直线与直线BD所成的角
为.......................................12分16、(满分12分)已知圆C=0
(1)已知不过原点的直线与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程;
(2)求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程。
【解析】：(1)∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为.............1分
圆心C(-1,2)到切线的距离等于圆半径，..............3分
即= ...................4分
或..................5分
所求切线方程为：或6分
(2)当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标
为(0,1),(0,3),线段长为2，符合
故直线.................8分
当直线斜率存在时，设直线方程为，即
由已知得，圆心到直线的距离为1，.................9分则，.................11分
直线方程为
综上，直线方程为，.................12分
必考Ⅱ部分
四、本部分共5个小题，满分50分，计入总分.
17(满分5分)在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，(不包括端点)上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
18(满分5分)在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，设.有下列四个说法：
①存在实数，使点在直线上;
②若，则过、两点的直线与直线平行;
③若，则直线经过线段的中点;
④若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交.上述说法中，所有正确说法的序号是② ③ ④
19(满分13分)已知：以点C (t, )(tR , t 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值;
(2)设直线y = 2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程.
【解析】(1)，.
设圆的方程是
此时到直线的距离，
圆与直线相交于两
点.............................................10分当时，圆心的坐标为，，
此时到直线的距离
圆与直线不相交，
不符合题意舍
去.....................................11分
圆的方程为............................13分
20(满分13分)如图，四棱锥中，∥,，侧面为等边三角形..(1)证明：
(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值。
【解析】(1)证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。
连结SE，则
又SD=1，故
所以为直角。
由，得
,所以.
SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
所以..........................6分
(II)由知，
作，垂足为F，
则,
作，垂足为G，则FG=DC=1。
连结SG，则
又，,
故，
作，H为垂足，则.
即F到平面SBC的距离为。
(1)若，求直线的方程;
(2)经过三点的圆的圆心是，求线段(为坐标原点)长的最小值.
直线PA与圆M相切，，解得或
直线PA的方程是或........6分
(2)设
与圆M相切于点A，
经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点.
的坐标是
设
当，即时，
当，即时，
当，即时
考生只要在全面复习的基础上，抓住重点、难点、易错点，各个击破，夯实基础，规范答题，一定会稳中求进，取得优异的成绩。
查字典数学网高考频道为大家整理了2019年上海市高一下学期数学期末测试题。
上海市莘庄中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
莘庄中学2023学年第二学期高一年级数学期末2024.06一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分）1．函数的最小正周期是______．2．直线倾斜角大小为______3．已知复数z 满足（i 是虚数单位），则______．4．已知，，，若向量与垂直（O 为坐标原点），则实数x 的值为______．5．若是方程的一个根，则______．6．若直线：与直线：平行，则实数______．7．若，则的值为______．8．平面向量与是单位向量，夹角为60°，那么，向量、构成平面的一个基．若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为．设，，则______．9．已知直线与直线：的夹角为，且经过点，直线的方程是______．10．已知，点是平面上一个动点，则当t 由0连续变到时，线段AP 扫过的面积是______．11．已知平面向量，满足，，，若平面向量满足，则的最大值为______．16~()()sin f x x =π10x y --=()117i z i +=-z =()2,1A ()4,2B -()1,C x -OA OB + OC32i +()20,x bx c b c R ++=∈c =1l 260x ay +-=2l ()()150x a y a +-++=a =()1sin cos tan tan 22π⎛⎫π-θ-θ=θ-θ ⎪⎝⎭sin 2θ1e 2e 1e 2e12a xe ye =+ ,x y 〈〉a,a x y =〈〉 1,1a =〈-〉2,b 0=〈〉 a b ⋅= 2l 1l 30x -+=3π(2l ()0,2A sin 2,cos 2P -33t t-⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3πa b 3a = 4b = 4a b ⋅= c1c b -= c a -12．已知复数，，i 为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，，存在θ使得等式成立，则实数λ的取值范围为______．二．选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分）13．已知函数的图象关于y 轴对称，则实数φ的取值可能是（ ）A．B ．C ．D ．14．点关于直线l ：的对称点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（ ）A．B ．C ．D ．16．已知向量、、满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）．①若，则的最小值为；②若，则存在唯一的y ，使得；③若，则的最小值为；④若，则的最小值为．A ．1B ．2C ．3D ．4三．解答题（本大题共5题，共78分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．12sin z =θ-()212cos z i =+θ5,26ππ⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦1z 2z ab ()()0a b a b λ-⋅-λ= ()()sin f x x =+ϕ4π3π2ππ()2,3P 0x y +=()2,3--()2,3-()3,2()3,2--0ω>()()0f x x =ωω>()g x x =ωω=2π4π6π8πa b c 1a b ==12a b ⋅=- (),0c xa yb x y R y =+∈≥ 、1x =c 1x =0a c ⋅=1c =x y +1-1c = a c b c ⋅+⋅12-已知复数，且为纯虚数．（1）求实数a 的值；（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数b 的取值范围．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求；（2）若，的面积为2，求b ．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km ．测得，．以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上．（1）求码头Q 点的坐标；()11z ai a R =+∈()13z i +212023b i z z -=2z ABC △()2sin 8sin 2BA C +=cosB 6a c +=ABC △tan 3MON ∠=-6OA km =（2）海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，，且），游轮无法靠近．求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标．20．（本题满分18分）本题共有3个小题第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知函数的图象如图所示．（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值；（3）在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求m 的值．PQ OM ⊥6PQ km =()()sin 0,0,2f x A x A π⎛⎫=ω+ϕ>ω>ϕ≤ ⎪⎝⎭()f x ()y f x =6π()y g x =()()2x h x f g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()()22F x g x mg x m R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭()0,4π21．（本题满分18分）本题共有3个小题第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．在梯形ABCD 中，，，，，P ，Q 分别为直线BC ，CD 上的动点．（1）当P ，Q 为线段BC ，CD 上的中点，试用和来表示；（2）若，求；（3）若，，，，G 为的重心，若D ，G ，B 在同一条直线上，求λμ的最大值．AB CD ∥2AB BC ==1CD =120BCD ∠=︒AB ADQP 14BP BC =AP BP BC =μ DQ DC =λ0λ>0μ>APQ △参考答案一、填空题1.2;2.; 3.5; 4.; 5.13; 6.2; 7.; 8.1;9.或;；12.11．已知平面向量，满足，，，若平面向量满足，则的最大值为______．【解析】如图,设,设,则又向量满足,即在以为圆心,1为半径的圆上,即当三点共线,且在之间时,取得最大值.故答案为.12．已知复数，，i为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，，存在θ使得等式成立，则实数λ的取值范围为______．4π23-3x =90x +-=3π1+[2-+a b 3a = 4b = 4a b ⋅= c 1c b -=c a -1+,OA a OB b == OC c =3,4OA OB ==••34a b OA OB cos ∴==⨯⨯4AOB ∠=1,3cos AOB ∴∠=AB ∴===c 1c b -=1,OC OB ∴-= 1,BC = C ∴B ,c a OC OA AC -=-=∴,,A B C B AC AC 1AB r +=+1+12sin z =θ-()212cos z i =+θ5,26ππ⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦1z 2z a b ()()0a b a b λ-⋅-λ=【答案】【解析】由题意,等式成立,即即整理可得：而所以,可得,因为,所以,所以,所以,即,解得,所以实数的取值范围为.二、选择题13.C14.D15.A16.D16．已知向量、、满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）．①若，则的最小值为；②若，则存在唯一的y ，使得；③若，则的最小值为；④若，则的最小值为．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】对①,若,[2-+(2a sin ,=θ- ()12,b ,cos =θ ()()•0a b a b λ--λ=()212(2sin ,cos sin λθ---θ⋅θ-λ,2)0,cos -λθ=()()212sin sin λθ-⋅θ-λ()()220cos cos +-θ⋅-λθ=()228sin θ-θλ+λ()20sin +-θ+θ=243sin sin π⎛⎫-θ+θ=-θ- ⎪⎝⎭()281403sin π⎛⎫λ-λ+θ-= ⎪⎝⎭2231sin πλ⎛⎫θ-= ⎪λ+⎝⎭526,ππ⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦362,πππ⎡⎤θ-∈⎢⎥⎣⎦1132sin ,π⎛⎫⎡⎤θ-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦212121λ+λ (22)1421⎧λ+≤λ⎨λ≤+λ⎩22R ⎧-≤λ≤+⎪⎨λ∈⎪⎩λ22⎡+⎣a b c 1a b ==12a b ⋅=- (),0c xa yb x y R y =+∈≥ 、1x =c 1x =0a c ⋅=1c =x y +1-1c = a c b c ⋅+⋅12-11,,2a b a b ==⋅=-()0,c xa yb x,y R,y =+∈ …∴1x =则,当且仅当时,取得等号,的最小值为的最小值为①正确;对②,若,由得存在唯一的,使得,②正确;对③,若,则当且仅当时,取得等号,又,当且仅当,时取得等号,③正确;对④,若,则,由③知,④正确.故答案为:D.三．解答题17.（1）-3 （2）18.（1）（2）219.（1）（4，2） (2)（1，5）20．已知函数的图象如图所示．（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数22222222113321212244c x a xya b y b y y y y y ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+⨯-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …12y =2c ∴ 3,4c ∴ ∴1x =•0a c = 21•0,2xa ya b x y +=-=110,2y ∴-=2,y ∴=∴2y =•0a c =∴1c = ()22221c xa ybx y xy ==+=+-()()222332x y x y xy x y +⎛⎫=+-+-⋅ ⎪⎝⎭…()24x y +=1x y ==()0y …()21,2,4x y x y +∴≤∴+…0,1y x y x ∴+-………0y =1x =-∴1c = 11••222x y a c b c x y x y +⎛⎫+=-+-+= ⎪⎝⎭1x y +- (1),22x y +∴≥-∴1(,3)3-1517()()sin 0,0,2f x A x A π⎛⎫=ω+ϕ>ω>ϕ≤ ⎪⎝⎭()f x ()y f x =6π()y g x =的最小值；（3）在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求m 的值．【答案】（1）（2）（3）或.【解析】（1）由图可得,最小正周期,则,由,可得,又,所以,所以,由,可得,所以的单调递减区间为(2)由题意得,所以的最小值为(3)令,可得令,得,由于,故方程必有两个不同的实数根,且,由知异号,不妨设,,若,则,()()2x h x f g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()()22F x g x mg x m R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭()0,4π7,1212k ,k k Z ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦14-1m =1m =-1A =721212T ππ⎛⎫=⨯-=π ⎪⎝⎭22T πω==77211212f sin ⎛⎫⎛⎫π=⨯π+ϕ=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52,3k k Z πϕ=-+π∈2πϕ≤3πϕ=()23f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3222,232k x k k Z ππππ+≤+≤+π∈7,1212k x k k Z ππ+π≤≤+π∈()f x 7,1212k ,k k Zππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦()g x sinx =()()23x h x f g x sin x sinxπ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2122sin x x =+=()1124cos x +-112,264sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()2x h x f g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭111;244-+=-()222F x sin x msinx cos x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭()221msinx sin x msinx m R +=-++∈()0F x =2210sin x msinx --=[]11t sinx ,=∈-2210t mt --=280Δm =+>12,t t 12121,22m t t t t +==-12102t t =-<12,t t 10t >20t <11t >2111022t ,t ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭,无解,在内有四个零点,不符题意;若,则在内有2个零点,在内有4个零点,符合题意,此时,得;若,在有4个零点,故在内应恰有2个零点,,此时,综上所述,或.21．在梯形ABCD 中，，，，，P ，Q 分别为直线BC ，CD 上的动点．（1）当P ，Q 为线段BC ，CD 上的中点，试用和来表示；（2）若，求；（3）若，，，，G 为的重心，若D ，G ，B 在同一条直线上，求λμ的最大值．【答案】（1）（2）（3）1【解析】（1）由已知可得,;1sinx t =2sinx t =()04,π11t =21,12t sinx =-=()04,π12sinx =-()04,π1122m-=1m =1211101,22t t t <<=-<-1sinx t =()04,π2sinx t =()04,π21t ∴=-111,1222mt =-+=1,m ∴=-1m =1m =-AB CD ∥2AB BC ==1CD =120BCD ∠=︒AB ADQP 14BP BC =AP BP BC =μ DQ DC =λ0λ>0μ>APQ △1122AB AD -12QP DB =，QP DB ()1111122222QP DB QP DB AB AD AB AD ∴=∴==-=- ()112,44BP BC AP AB BP AB BC =∴=+=+ //,120,60,120,AB CD BCD ABC AB,BC ∠=∴∠=∴=••AB BC AB AC cos<AB,BC >∴= 12222⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭14AP AB BC ∴=+== ==(3)设线段的中点为,连接,交与点,由已知为的重心，由重心性质可得,又设,可得,当且仅当时等号成立,的最大值为1.PQ E AE BD G G APQ ∆23AG AE = 12AE AQ QE AQ QP =+=+ ()111222AQ AP AQ AP AQ =+-=+ ()AP AB BP AB BC AB BA AD DC =+=+μ=+μ++ 12AB AD AQ AD DQ μ⎛⎫=-+μ=+ ⎪⎝⎭ 2AD DC AD AB λ=+λ=+ 1133AG AP AQ ∴=+ 2163AB AD -μ+λμ+=+ ,B t BD = ()()1AG AB BG AB t BD AB t AD AB t AB t AD =+=+=+-=-+ 21613t t -μ+λ⎧=-⎪⎪∴⎨μ+⎪=⎪⎩21163-μ+λμ+∴+=2212λ+μ⎛⎫λ+μ=∴λμ= ⎪⎝⎭…1λ=μ=∴λμ。
上海市黄浦区2022-2023学年高一下学期期末数学试题(教师版)
黄浦区2022学年第二学期高一年级期终调研测试数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．1.若集合{1,3}A =，{3,5}B =则A B ⋃=________【答案】{1,3,5}【解析】【分析】根据两个集合的元素直接写出并集即可.【详解】由题：集合{1,3}A =，{3,5}B =则A B ⋃={1,3,5}.故答案为：{1,3,5}【点睛】此题考查集合的并集运算，根据集合中的元素，直接写出并集，属于简单题目.2.不等式01xx <+的解是_____．【答案】()1,0-【解析】【详解】由01x x <+可得，()10x x +<解得10x -<<，所以不等式01x x <+的解是()1,0-.故答案为：()1,0-.3.若tan 3α=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭____．【答案】2-【解析】【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．【详解】若tan 3α=，则πtan tanπ314tan 2π41311tan tan 4ααα++⎛⎫+===- ⎪-⨯⎝⎭-⋅，故答案为：2-.4.已知π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若7cos28α=，则sin α=______．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式，结合角的范围，即可求得结果．【详解】因为7cos28α=，所以2712sin 8α-=，即21sin 16α=，又π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以1sin 4α=-.故答案为：14-.5.已知32a =，35b =，若用a 、b 表示6log 5，则6log 5=______．【答案】1b a +##1b a +【解析】【分析】将指数式化为对数式，在利用换底公式及对数的运算法则计算可得.【详解】因为32a =，35b =，所以3log 2a =，3log 5b =，所以()33333336log 5log 5log 5log 5log log lo g 622g lo 133ba+===⨯=+.故答案为：1b a+6.若1tan 4α=，则()()πsin 2cos π2sin πααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=-______．【答案】4-【解析】【分析】利用诱导公式对所求进行化简，把条件代入求值即可.【详解】()()πsin 2cos πcos 2cos cos 12,sin πsin sin tan ααααααααα⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭==-=--又1tan 4α=，所以原式14,tan α=-=-故答案为： 4.-7.函数21xy x =-图像的对称中心的坐标为______．【答案】(1,2)【解析】【分析】将函数解析式分离常数变形后，利用反比例函数的对称性，结合函数图像的平移变换即可得答案．【详解】222222111x x y x x x -+===+---，它的图像是由函数2y x=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，因为函数2y x =的图像对称中心的坐标为(0,0)，所以函数21xy x =-图像的对称中心的坐标为(1,2)．故答案为：(1,2)．8.在平面直角坐标系中，角ϕ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若其终边过点(，则函数()sin y x ϕ=+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为______．【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先根据题意结合任意角三角函数的定义求出ϕ，代入()sin y x ϕ=+化简可得πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦求出π3x +，再结合正弦函数的性质可求出其范围.【详解】因为角ϕ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，其终边过点(，所以tan yxϕ==因为ϕ是第一象限的角，所以π2π,Z 3k k ϕ=+∈，所以()πsin sin 2π(Z)3y x x k k ϕ⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭πsin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π,336x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1πsin 123x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以函数()sin y x ϕ=+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知()2f x x =和()kg x x =，其中{}2,1,1,2,3k ∈--，若()()f x g x >对任意的()1,x ∈+∞成立，则所有的k 的值为______．【答案】2-、1-、1【解析】【分析】根据幂函数的性质判断即可.【详解】因为()2f x x =在()1,+∞上单调递增，且幂函数()h x x α=恒过点()1,1，当0α<时()h x x α=在()0,∞+上单调递减，当0α>时()h x x α=在()0,∞+上单调递增，且α越大在()1,+∞上增长趋势越快，所以要使()()f x g x >对任意的()1,x ∈+∞成立，则2k <，故符合题意的k 有2-、1-、1.故答案为：2-、1-、110.若复数z 满足Re 0z ≥，Im 0z ≥，且1i z z =--（i 为虚数单位），则z 的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】根据已知关系求得变量关系，然后统一未知量，最后根据二次函数性质可得答案.【详解】设z =()i ,R a b a b +∈，1i z z =-- ，()()i 11i a b a b ∴+=-+-=，化简得1a b +=，1b a =-，∴z ==，根据二次函数性质可知，当12a =时，z 取得最小值22，此时12b =，符合Re 0z ≥，Im 0z ≥，∴z 的最小值为22.故答案为：22.11.在ABC 中，若2AC =，π3B =，且9sin sin 28A C =，则AB =______．【答案】677或277【解析】【分析】由正弦定理可求出127ac =，再由余弦定理可得877a c +=，解方程即可得出答案.【详解】由正弦定理可得：2sin b R B ==29sin sin 164283ac ac A C R ===，所以127ac =，由余弦定理可得：()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--，所以()212121422772a c =+-⨯-⨯⨯，可得()2647a c +=，则7a c +=，又因为127ac =，所以,a c 可以看成是一元二次方程28712077x x -+=的两根，所以6727077x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：677x =或277x =，故AB =677或277.故答案为：677或712.已知π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若2π3cos 52n α⎛⎫+< ⎪⎝⎭对任意的正整数n 成立，则α的取值范围是______．【答案】π7π,630⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】依题意可得2πππ2π,2π566n k k α⎡⎤+∉-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，对1n =、2、3、4、5分别求出2π5n α+的取值范围，从而求出α需满足的条件，再根据周期性即可得解.【详解】由2πcos 52n α⎛⎫+< ⎪⎝⎭，可得2πππ2π,2π566n k k α⎡⎤+∉-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1n =时2π2π9150π,5α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，均满足题意；当2n =时4π4π11503π,5α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，均满足题意；当3n =时6π6π11507π,5α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，均满足题意；当4n =时8π8π21501π,5α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时需8π11π56α+<，即7π30α<；当5n =时10π5π2π,25α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时需13π10π65α<+，即π6α>；由()2πcos 5n f n α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2π52π5T ==，所以6n ≥之后会重复前面的取值，综上可得π7π630α<<，即α的取值范围是π7π,630⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：π7π,630⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A.2,3b c ==B.2,1b c ==-C.2,1b c =-=-D.2,3b c =-=【答案】D 【解析】【分析】把1x =+代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.【详解】由题意1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=∴2(1(10b c ++=，即()1i 0b c -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得23b c =-⎧⎨=⎩.故选：D ．14.在平面直角坐标系中，角α和β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若角α和β的终边关于y 轴对称，则下列关系式一定正确的是（）A.π2π2k αβ-=+（Z k ∈） B.π2π2k αβ+=+（Z k ∈）C.2ππk αβ-=+（Z k ∈） D.2ππk αβ+=+（Z k ∈）【答案】D 【解析】【分析】根据角α与角β的终边关于y 轴对称，即可确定α与β的关系．【详解】πα- 是与α关于y 轴对称的一个角，β∴与πα-的终边相同，即()2ππk βα=+-（Z k ∈），()2ππ2ππk k αβαα∴+=++-=+，（Z k ∈）.故选：D ．15.已知向量a 、b ，“a b = ”是“a 在b 方向上的数量投影与b 在a方向上的数量投影相等”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】【分析】设a 与b的夹角为θ，结合向量的数量投影的几何意义判断充分性，利用特例法判断必要性，从而可得答案.【详解】设a 与b的夹角为θ，则a 在b方向上的数量投影为cos a θ ，b 在a方向上的数量投影cos b θ ，若a b =，则cos cos a b θθ=r r 成立，充分性成立；若cos cos a b θθ=r r ，不能推出a b =成立，例如，π2θ=，2,1a b == 时，cos cos a b θθ=r r 成立，而a b =不成立，所以必要性不成立，故“a b = ”是“a 在b 方向上的数量投影与b 在a方向上的数量投影相等”的充分非必要条件，故选：A.16.已知()f x x =，若存在实数m ，使得方程()g x m =有无穷多个非负实数解，则()g x 的表达式可以为（）A.()()1f x f x -⋅B.()()1f x f x -+C.()()1f x f x ⋅+D.()()1f x f x ++【答案】B 【解析】【分析】分别分析各选项函数解析式，改写成分段函数，再分析方程的解的情况，即可判断.【详解】因为()f x x =，对于A ：令()()()(][)()222,,01,11,0,1x x x g x f x f x x x x x x x x ∞∞⎧-∈-⋃+⎪=-⋅=-=-=⎨-+∈⎪⎩，则()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，[)1,+∞上单调递增，在(],0-∞，1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则当104m <<时()g x m =有四个实数根，当0m =或14m >时()g x m =有两个实数根，当14m =时()g x m =有三个实数根，当0m <时()g x m =无实数根，故A 错误；对于B ：令()()()21,0111,0121,1x x g x f x f x x x x x x -+<⎧⎪=-+=-+=≤≤⎨⎪->⎩，所以当1m =时()g x m =的解集为[]0,1x ∈，故B 正确；对于C ：令()()()(][)()222,,10,11,1,0x x x g x f x f x x x x x x x x ∞∞⎧+∈--⋃+⎪=⋅+=+=+=⎨--∈-⎪⎩，则()g x 在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，[)0,∞+上单调递增，在(],1-∞-，1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则当104m <<时()g x m =有四个实数根，当0m =或14m >时()g x m =有两个实数根，当14m =时()g x m =有三个实数根，当0m <时()g x m =无实数根，故C 错误；对于D ：令()()()21,0111,1021,1x x g x f x f x x x x x x +≥⎧⎪=++=++=-<<⎨⎪--≤-⎩，显然当0x ≥时()21g x x =+函数在[)0,∞+上单调递增，故方程()g x m =不可能有无穷多个非负实数解，故D 错误；故选：B三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．17.已知复数112z i =+，22i z b =+（b ∈R ，i 为虚数单位）．（1）若12z z ⋅为实数，求2z ；（2）设1z 、2z 在复平面上所对应的点为1Z 、2Z ，O 为原点，若12OZ OZ ⊥，求2z ．【答案】（1）24i +（2）2i -【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简12z z ⋅，再根据12z z ⋅为实数得到虚部为0，即可求出参数b 的值，从而得解；（2）首先表示出1OZ 、2OZ，由向量垂直得到120OZ OZ ⋅= ，根据数量积的坐标表示得到方程解得b ，即可得解.【小问1详解】因为22i z b =+，所以22i z b =-，所以()()()()21212i 2i 2i 4i 2i 224i z z b b b b b ⋅=+-=-+-=++-，因为12z z ⋅为实数，所以40b -=，解得4b =，所以224i z =+.【小问2详解】因为112z i =+，22i z b =+在复平面上所对应的点为1Z 、2Z ，所以()11,2Z 、()22,Z b ，则()11,2OZ =、()22,OZ b = ，因为12OZ OZ ⊥ ，所以121220O b Z OZ =⨯+=⋅，解得1b =-，所以22i z =-.18.某小区围墙一角要建造一个水池和两条小路．如图，四边形ABCD 中，DA AB ⊥，DC AB ∥，以A 为圆心、AD 为半径的四分之一圆及AB 与AD 圈成的区域为水池，线段DC 和CB 为两条小路，且CB 所在直线与圆弧相切．已知10AD =米，设DAC ∠θ=（π04θ<<），那么当θ为多少时，才能使两条小路长之和DC CB +最小？最小长度是多少？【答案】π6θ=，DC CB +最小，最小长度为【解析】【分析】设CB 与圆弧的切点为E ，连接AE ，由三角函数表示出,DC CB ，化简可得153tan tan DC CB θθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，再由基本不等式求解即可.【详解】设CB 与圆弧的切点为E ，连接AE ，由题设，得π22EAB θ∠=-，于是π10tan 2,10tan 2EB DC θθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而21tan 120tan 10cot 2102tan 53tan 2tan tan DC CB θθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由π04θ<<，得0tan 1θ<<，从而153tan tan θθ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当tan 3θ=，即π6θ=，DC CB +最小，最小长度为米.19.设0a >，()22x xa f x =-．（1）当3a =时，求满足()2f x ≥的x 的取值范围；（2）求证：函数()y f x =在区间(),-∞+∞上是严格增函数．【答案】（1）[)2log 3,+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）()2f x ≥即()222230xx -⨯-≥，亦即()()21230x x +-≥，可得230x -≥，进而可得答案；（2）设12,x x 是区间(),-∞+∞上任意给定的两个实数，且12x x <，证明()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<即可得结论.【小问1详解】()3222x x f x =-≥即()222230x x -⨯-≥，亦即()()21230x x +-≥，因为210x +>，所以上述不等式即为230x -≥，解得2log 3x ≥，故满足()2f x ≥的x 的取值范围是[)2log 3,+∞；【小问2详解】设12,x x 是区间(),-∞+∞上任意给定的两个实数，且12x x <，()()()()12121212121222222222x x x x x x x x x x a a a f x f x ++-+⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞0，由12x x <，可得12022x x <<，即12220x x -<，又0a >，1220x x +>，从而122x x a ++＞0，故()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<，因此，函数()y f x =在区间(),-∞+∞上是严格增函数增函数．20.如图，已知ABCD 为平行四边形．（1）若5AB = ，4AD = ，BD = AB AD ⋅ 及AC 的值；（2）记平行四边形ABCD 的面积为S ，设()11,AB x y = ，()22,AD x y = ，求证：1221S x y x y =-【答案】（1）10AB AD ⋅= ，AC = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由BD AD AB =- ，根据数量积的运算律求出AB AD ⋅ ，再根据AC AD AB +== 计算可得；（2）由面积公式得到sin ABCD S AB AD A = ，将两边平方，再由同角三角函数的基本关系、夹角公式及数量积、模的坐标表示计算可得.【小问1详解】在平行四边形ABCD 中BD AD AB =- ，所以BD AD AB =-==，即2242521AB AD -⋅+=，解得10AB AD ⋅= ，所以A B C AD A +=====.【小问2详解】因为sin ABCD S AB AD A = ，将两边平方可得()2222222sin 1cos S AB AD A AB AD A ==- ，又cos AB AD A AB AD⋅=⋅ ，所以22221AB AD S AB AD AB AD ⎡⎤⎛⎫⋅⎢⎥ ⎪=-⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得()2222S AB AD AB AD =-⋅ ，又22211AB x y =+ ，22222AD x y =+ ，1212AB AD x x y y ⋅=+ ，所以()()()()22222222222112212121212122112212S x y x y x x y y x y x x y y x y x y x y =++-+=-+=-，所以1221S x y x y =-.21.已知定义在R 上的函数()y f x =，满足()00f =，当0πx <<时，()cos f x x =．（1）若函数()y f x =的最小正周期为π，求证：()y f x =，()π,πx ∈-为奇函数；（2）设0a >，若()()π2f x f x +=，函数()y f x a =-在区间()0,2023π上恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）)202120222,2⎡⎣【解析】【分析】（1）由函数的周期性和奇偶性即可证明；（2）令()0f x a -=，则()f x a =，等价于关于x 的方程在区间()0,2023π上仅有一解，分别求出在区间()0,2022π和区间()2022π,2023π()y f x =的取值范围即可得出答案.【小问1详解】当π0x -<<时，0ππx <+<，所以()()πcos πcos f x x x +=+=-，又因为函数()y f x =的最小正周期为π，所以()()πf x f x +=，所以()cos f x x =-，故()cos ,π00,0cos ,0πx x f x x x x --<<⎧⎪==⎨⎪<<⎩.对于任意给定的π0x -<<，()cos f x x =-，因为0πx <-<，所以()()()cos cos f x x x f x -=-==-.对于任意给定的0πx <<，()cos f x x =，因为π0x -<-<，所以()()()cos cos f x x x f x -=--=-=-，当0x =时，()00f =.综上所述，函数()y f x =，()π,πx ∈-为奇函数.【小问2详解】()()π2f x f x +=，即()()2πf x f x =-，当π2πx <<，0ππx <-<，于是()()()2π2cos π2cos f x f x x x =-=-=-，当2π3πx <<，ππ2πx <-<，于是()()()22π22cos π2cos f x f x x x ⎡⎤=-=--=⎣⎦，据此可得，当()21π2πn x n -<<（n 为正整数）时，()212cos n f x x -=-，当()2π21πn x n <<+（n 为正整数）时，()22cos n f x x =，函数()y f x =在区间()π,ππk k +（k 为正整数）上为严格的减函数，其值域为()2,2k k -，函数()y f x a =-在区间()0,2023π上恰有一个零点，等价于关于x 的方程在区间()0,2023π上仅有一解，对于函数()y f x =，在区间()0,2022π上，其函数值的取值范围是()202120212,2-；在区间()2022π,2023π上，其函数值的取值范围是()202220222,2-.由题意，关于x 的方程()f x a =在区间()0,2022π上须无解，而在区间()2022π,2023π上仅有一解，所以a 的取值范围为)202120222,2⎡⎣.。
上海市最新高一数学下学期期末考试试题(含解析)
上海市控江中学2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.函数()arcsin 2y x =-的定义域________． 【答案】[]1,3. 【解析】 【分析】根据反正弦函数的定义得出121x -≤-≤，解出x 可得出所求函数的定义域. 【详解】由反正弦的定义可得121x -≤-≤，解得13x ≤≤， 因此，函数()arcsin 2y x =-的定义域为[]1,3，故答案为：[]1,3.【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，属于基础题.2.函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为________． 【答案】1. 【解析】 【分析】根据正切型函数的周期公式可计算出函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期.【详解】由正切型函数的周期公式得1T ππ==， 因此，函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为1，故答案为：1. 【点睛】本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于正切型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.3.已知数列{}n a 是等比数列，公比为q ，且2468a a a ⋅⋅=，754a =，则q =_________． 【答案】3. 【解析】【分析】先利用等比中项的性质计算出4a 的值，然后由374a q a =可求出q 的值. 【详解】由等比中项的性质可得632448a a a a ⋅⋅==，得42a =，所以，37454272a q a ===，3q ∴=，故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用，可简化计算，属于中等题. 4.已知tan 3α=，则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα-=-_________． 【答案】13. 【解析】 【分析】在分式中分子分母同时除以2cos α，将代数式转化为正切来进行计算.【详解】由题意得，原式222222226cos 3sin cos 63tan 6331cos cos 3sin cos 2sin 3tan 2tan 33233cos cos ααααααααααααα---⨯===-⨯-⨯-=，故答案为：13.【点睛】本题考查弦的分式齐次式的计算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要应用于以下两种题型：（1）弦的n 次分式齐次式：当分式是关于角α的n 次分式齐次式，在分子分母中同时除以cos n α，可以将分式化为切的分式来求解；（2）弦的二次整式：当代数式是关于角α弦的二次整式时，先除以22cos sin αα+，将代数式转化为关于角α弦的二次分式齐次式，然后在分式分子分母中同时除以2cos α，可实现弦化切.5.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若4a =，6b =，9c =，则角C =________． 【答案】29arccos 48π-. 【解析】 【分析】利用余弦定理求出cos C 的值，结合角C 的取值范围得出角C 的值.【详解】由余弦定理得22222246929cos 224648a b c C ab +-+-===-⨯⨯，0C π<<，29arccos48C π∴=-，故答案为：29arccos 48π-. 【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.6.在ABC ∆中，角A 所对的边为a ，若2a =，且ABC ∆的外接圆半径为2，则A =________． 【答案】6π或56π. 【解析】 【分析】利用正弦定理求出sin A 的值，结合角A 的取值范围得出角A 的值. 【详解】由正弦定理可得4sin a A =，所以，1sin 42a A ==， 0A π<<，6A π∴=或56π，故答案为：6π或56π.【点睛】本题考查正弦定理的应用，在利用正弦值求角时，除了找出锐角还要注意相应的补角是否满足题意，考查计算能力，属于基础题.7.已知数列{}n a 满足15a =，123n n a a +=-，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =________．【答案】23nn a =+. 【解析】 【分析】由题意得出()1332n n a a +=--，可得出数列{}3n a -为等比数列，确定出该数列的首项和公比，可求出数列{}3n a -的通项公式，进而求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】设()12n n a x a x ++=+，整理得12n n a a x +=+，对比可得3x =-，()1323n n a a +∴-=-，即1332n n a a +--=，且132a -=， 所以，数列{}3n a -是以2为首项，以2为公比的等比数列，13222n nn a -∴-=⨯=，因此，23n n a =+，故答案为：23nn a =+.【点睛】本题考查数列通项的求解，解题时要结合递推式的结构选择合适的方法来求解，同时要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8.已知数列{}n a的通项公式为()*124,2,21n n n n k a k N n k -+=⎧⎪=∈⎨=-⎪⎩，n S 是其前n 项和，则15S =_____．（结果用数字作答）【答案】395. 【解析】 【分析】由题意知，数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出15S 的值. 【详解】由题意可得()()1717151821232212281232S =+++++=+++++++()8878321221140395122⨯+-=+=-+=-，故答案为：395.【点睛】本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题.9.在等差数列{}n a 中，若11101a a -＜，且它的前n 项和n S 有最大值，则当n S 取得最小正值时，n 的值为_______. 【答案】12. 【解析】试题分析：因为等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，所以公差为负，所以由11101a a <-得1110111011100,0,0a a a a a a <-⇒+<，所以119191010()1002a a S a +==>，1202010()2a a S +=＝101110()02a a +<，所以当19n =时，n S 取到最小正值． 考点：1、等差数列性质；2、等差数列的前n 项和公式．【方法点睛】求等差数列前n 项和的最值常用的方法有：(1)先求n a ，再利用10{n n a a +≥≤或10{0n n a a +≤≥求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值；（3）利用等差数列的前n 项和2n S An Bn ＝＋(A B ，为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．10.已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且13lim 1n n q q a →∞+-⎫ ⎪⎝⎭=⎛，则首项1a 的取值范围是________． 【答案】[)()2,33,4【解析】 【分析】根据极限存在得出()(]1,00,1q ∈-，对q 分10q -<<、01q <<和1q =三种情况讨论得出1a 与q 之间的关系，可得出1a 的取值范围.【详解】由于13lim 1n n q q a →∞+-⎫ ⎪⎝⎭=⎛，则()(]1,00,1q ∈-.①当10q -<<时，则1133lim 1n n q q q a a →∞⎛⎫ =⎪+⎝⎭+-=，()132,3a q ∴=+∈； ②当01q <<时，则1133lim 1n n q qq a a →∞⎛⎫=⎪+⎝⎭+-=，()133,4a q ∴=+∈；③当1q =时，113lim 114n n q q a a →∞⎛⎫ ⎪⎝=⎭+--=，解得12a =. 综上所述：首项1a 的取值范围是[)()2,33,4，故答案为：[)()2,33,4.【点睛】本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.11.在数列{}()*n a n N∈中，12a=，n S 是其前n 项和，当2n ≥时，恒有n a 、n S 、2n S -成等比数列，则()2lim 1n n n n a →∞++⋅=________． 【答案】2-. 【解析】 【分析】由题意得出()22n n n S a S =-，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，代入()22n n n S a S =-，化简得出1122n n n S S S --=+，利用倒数法求出{}n S 的通项公式，从而得出1n n n a S S -=-的表达式，于是可求出()2lim 1n n n n a →∞++⋅的值. 【详解】当2n ≥时，由题意可得()22n n n S a S =-，即()()212n n n n S S S S -=--，化简得1122n n n n S S S S --+=，得1122n n n S S S --=+，两边取倒数得11111211222n n n n n S S S S S ----=+=+，11112n n S S -∴-=， 所以，数列{}n S 是以111112S a ==为首项，以12为公差的等差数列， ()1111222n nn S ∴=+-⋅=，2n S n∴=，则()12222211n n n a S S n n n n n n-=-=-=-=----， 因此，()()222211121lim 1li 2m lim 211n n n n n n n n n n n nn a →∞→∞→∞+++-++=-=-⋅=--+，故答案为：2-. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了数列通项的求解，在含n S 的数列递推式中，若作差法不能求通项时，可利用1n n n a S S -=-转化为n S 的递推公式求通项，考查分析问题和解决问题的能力，综合性较强，属于中等题.12.设集合{}2016,nA n n N =≤≤∈，它共有136个二元子集，如{}012,2、{}122,2、等等．记这136个二元子集1B 、2B 、3B 、、136B ，设{}()*,1136,i B x y i i N=≤≤∈，定义()1S B x y =-，则()()()()123136S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=_____．（结果用数字作答） 【答案】1835028 【解析】 【分析】分别分析中二元子集中较大元素分别为12、22、、162时，对应的二元子集中较小的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果. 【详解】当二元子集较大的数为12，则较小的数为02； 当二元子集较大的数为22，则较小的数为02、12； 当二元子集较大的数为32，则较小的数为02、12 、22；当二元子集较大的数为162，则较小的数为02、12、22、、152.由题意可得()()()()()()10201123136222222S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=-+⨯--+()()301216011532222162222⨯---++⨯----()231612316121212222232162121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()11223316162212221322116221=-++⨯-++⨯-+++⨯-+()2316122215216=⨯+⨯++⨯+， 令23161222152S =⨯+⨯++⨯，得31617212142152S =⨯++⨯+⨯，上式-下式得()21523161717217212222152152214212S --=+++-⨯=-⨯=--⨯-，化简得2172142S =+⨯，因此，()()()()2171231362142161835028S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=+⨯+=，故答案为：1835028.【点睛】本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.二、选择题13.已知ϕ是常数，那么“tan 2ϕ=”是“()sin 2cos x x x ϕ++等式对任意x ∈R 恒成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式结合条件()sin 2cos x x x ϕ+=+得出cos ϕ、sin ϕ的值，由tan 2ϕ=结合同角三角函数得出cos ϕ、sin ϕ的值，于此可得出结论.【详解】由22sin tan 2cos sin cos 1ϕϕϕϕϕ⎧==⎪⎨⎪+=⎩可得sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由辅助角公式)sin 2cos sin sin cos cos sin 55x x x x x x ϕϕ⎫+=+=+⎪⎪⎭()x ϕ=+，其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=. 因此，“tan 2ϕ=”是“()sin 2cos x x x ϕ+=+等式对任意x ∈R 恒成立”的必要非充分条件，故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查同角三角函数的基本关系以及辅助角公式的应用，考查推理能力，属于中等题.14.已知ϕ是常数，如果函数()5cos 2y x ϕ=-+的图像关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（ ） A.3πB.4π C.6π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】 将点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式，得出()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求出ϕ的表达式，可得出ϕ的最小值.【详解】由于函数()5cos 2y x ϕ=-+的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则45cos 203πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，()4232k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，则()136k k Z ϕππ=-∈， 因此，当2k =时，ϕ取得最小值6π，故选：C. 【点睛】本题考查余弦函数的对称性，考查初相绝对值的最小值，解题时要结合题中条件求出初相的表达式，结合表达式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A. 当8n =时，该命题不成立 B. 当8n =时，该命题成立 C. 当6n =时，该命题不成立 D. 当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N *=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ）A. 6B. 0C. 4D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先计算出()()244lim 22222222n x x y x x x x x x →∞+=+=+-=++-+++，然后利用基本不等式可得出lim n n M →∞的值.【详解】()()2222(1)2lim lim lim 32322n n n x n x x n x y x x x nx n x x n →∞→∞→∞⎡⎤+⎡⎤⎢⎥++=+=+=+⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎢⎥++⎣⎦， 由基本不等式得22444422222222x x x x x x x x x x x x -+=++=+-+=+-+++++()4226662x x =++-≥=+， 当且仅当()4222x x +=+时，由于1x≥-，即当2x =时，等号成立， 因此，lim 6n n M →∞=，故选：A. 【点睛】本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带x 的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题17.在数列{}n a 中，112a =，43a =，且满足212n n n a a a +++=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()121n n b n a =-，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*153n a n n N =-=；（2）()*11114612n T n N n n ⎛⎫=-+∈ ⎪++⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由题意知，数列{}n a 是等差数列，可设该数列的公差为d ，根据题中条件列方程解出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式；（2）先求出数列{}n b 的通项公式，并将该数列的通项裂项，然后利用裂项法求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）对任意的*n N ∈，212n n n a a a +++=，则数列{}n a 是等差数列，设该数列的公差为d ，则4131233a a d d =+=+=，解得3d =-，()()111231153n a a n d n n =+-=--=-；（2）()()()()11111112136326221153n n b n a n n n n n n n n ⎛⎫=====- ⎪-+++⋅--⎡⎤⎝⎭⎣⎦，因此，1111111111116362463562n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111162124612n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉等差数列的几种判断方法，同时也要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.18.设函数()222cos 24sin 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，定义域为R ． （1）求函数()f x 的最小正周期，并求出其单调递减区间；（2）求关于x 的方程()2f x =的解集．【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）,412x x k x k k Z ππππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或. 【解析】 分析】（1）利用两角差的余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解出x 的范围得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由()2f x =1sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解出该方程可得出结果. 【详解】（1）()222cos 24sin 3f x x xπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭221cos 22cos 2cos sin 2sin423cos 22332x x x x x ππ-⎛⎫=++⋅=-+ ⎪⎝⎭1sin 222sin 2cos cos 2sin 2233x x x x ππ⎫⎫=+=-+⎪⎪⎪⎭⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==， 由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）令()2223f x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭1sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 52236x k πππ∴-=-+或()2236x k k Z πππ-=-+∈， 解得4x k ππ=-或()12x k k Z ππ=+∈，因此，关于x 的方程()2f x =的解集为,412x x k x k k Z ππππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，然后再利用相应公式或图象进行求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.19.已知函数()()21f x x =-，{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为(),1q q R q ∈≠的等比数列．且()11a f d =-，()91a f d =+，()21b f q =-，()41b f q =+． （1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）已知数列{}n c 满足：()*112233n n n b c b c b c b c a n N ++++=∈，求数列{}n c 的通项公式．【答案】（1）10n a n =-，23n n b -=；（2）227,11,23n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【解析】 【分析】（1）根据题意分别列出关于d 、q 的方程，求出这两个量，然后分别求出数列{}n a 、{}n b 的首项，再利用等差数列和等比数列的通项公式可计算出数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令1n =可得出1c 的值，再令2n ≥，由112233n n n b c b c b c b c a ++++=得出112233111n n n b c b c b c b c a ---++++=，两式相减可求出n c ，于此得出数列{}n c 的通项公式.【详解】（1）由题意得()()2211244a f d d d d =-=-=-+，()291a f d d =+=，()229184444d a a d d d d =-=--+=-，解得1d =-，且()()221239a d =-=-=，()()119110n a a n d n n ∴=+-=--=-，()()2221244b f q q q q =-=-=-+，()241b f q q =+=，2242244b qq b q q ∴==-+， 0q ≠且1q ≠，整理得2430q q -+=，解得3q =，()2221b q ∴=-=，2113b b q ∴==，由等比数列的通项公式可得11211333n n n n b b q ---=⋅=⋅=； （2）由题意可知，对任意的n *∈N ，11223310n n n b c b c b c b c a n +++=+=-.当1n =时，119b c =，11927c b ∴==； 当2n ≥时，由11223310n n b c b c b c b c n ++++=-，可得1122133111n n b c b c b c b c n --++++=-，上述两式相减得1n n b c =-，即231n n c -=-，213n n c -∴=-.127c =不适合上式，因此，227,11,23n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解，以及利用作差法求数列通项，解题时要结合数列递推式的结构选择合适的方法求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知常数R λ∈且3λ>-，在数列{}()*n a n N∈中，首项1aλ=，n S 是其前n 项和，且143n n S a +=+，*n N ∈.（1）设12n n n b a a +=-，*n N ∈，证明数列{}n b 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式； （2）设2nn n a c =，*n N ∈，证明数列{}n c 是等差数列，并求出{}n c 的通项公式； （3）若当且仅当7n =时，数列{}n S 取到最小值，求λ的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，()1*(3)2n n b n N λ-=+⋅∈；（2）证明见解析，()()*334n N n c n λλ+-∈+=；（3）79,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）令1n =，求出2a 的值，再令2n ≥，由143n n S a +=+，得出143n n S a -=+，将两式相减得1144n n n a a a +-=-，再利用等比数列的定义证明1nn b b -为常数，可得出数列{}n b 为等比数列，并确定等比数列{}n b 的首项和公比，可求出n b ； （2）由题意得出()11232n n n n a a b λ-+-==+⋅，再利用等差数列的定义证明出数列{}n c 为等差数列，确定等差数列{}n c 的首项和公差，可求出数列{}n c 的通项公式；（3）求出数列{}n a 的通项公式，由数列{}n S 在7n =时取最小值，可得出当7n ≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >，再利用参变量分离法可得出实数λ的取值范围.【详解】（1）当1n =时，有2143S a =+，即21143a a a +=+，213333a a λ∴=+=+； 当2n ≥时，由143n n S a +=+，可得143n n S a -=+，将上述两式相减得1144n n n a a a +-=-，12n n n b a a +=-，()11111114422242222n n n n n n n n n n n n n n n a a a b a a a a b a a a a a a -+---------∴====---， 且()12123323b a a λλλ=-=+-=+，所以，数列{}n b 是以13b λ=+，以2为公比的等比数列，()()132n n b n N λ-*∴=+⋅∈； （2）由（1）知()11232n n n n a a b λ-+-==+⋅，2n n n a c =，由等差数列的定义得()1111111322322224n n n n n n n n n n n a a a a c c λλ-+++++++⋅-+-=-===， 且1122a c λ==，所以，数列{}n c 是以12c λ=为首项，以34λ+为公差的等差数列， 因此，()()3331244n n c n λλλλ++-+=+-=；（3）由（2）知，()3324nn n n a c λλ++-==，()2332n n a n λλ-∴=++-⋅⎡⎤⎣⎦， 由数列{}n S 在7n =时取最小值，可得出当7n ≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >， 由0n a <，得()330n λλ++-<， 得()6313363111n n n n n λ-+-<==-+++在7n ≤时恒成立， 由于数列631n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭在7n ≤时单调递减，则66933184n -≥-=-+，此时，94λ<-；由0n a >，得()330n λλ++->， 得()6313363111n n n n n λ-+->==-+++在8n ≥时恒成立， 由于数列631n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭在8n ≥时单调递减，则66733193n -≤-=-+，此时，73λ>-.综上所述：实数λ的取值范围是79,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列，证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明，同时也考查数列最值问题，需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题，利用参变量分离法可简化计算，考查化归与转化思想和运算求解能力，综合性较强，属于难题.21.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A B C <<，cos a B =，若C 角满足()1f C =-，求a b c ++的取值范围； （3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =；（2）()1；（3）1λ=-，1347n =. 【解析】 【分析】（1）由函数的周期公式可求出ω的值，求出函数()y f x =的对称轴方程，结合直线2x π=-为一条对称轴结合ϕ的范围可得出ϕ的值，于此得出函数()y f x =的解析式； （2）由()1f C =-得出2C π=，再由cos a B =结合锐角三角函数得出1c =，利用正弦定理以及内角和定理得出14a b c A π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由条件得出04A π<<，于此可计算出a b c ++的取值范围；（3）令()0F x =，得22sin sin 10x x λ--=，换元得出[]sin 1,1t x =∈-，得出方程2210t t λ--=，设该方程的两根为1t 、2t ，由韦达定理得出1212t t =-，分（ii ）101t <<、202t <<；（ii ）11t =，2102t -<<；（iii ）11t =-，2102t <<三种情况讨论，计算出关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在一个周期区间()0,2π上的实根个数，结合已知条件得出λ与n 的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=+，令()22x k k Z πϕπ+=+∈，得()422k x k Z πϕπ=-+∈，由于直线2x π=-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()2422k k Z ππϕπ-=-+∈， 得()32k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ<<，1k ∴=-，则2ϕπ=， 因此，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）A B C <<，由三角形的内角和定理得3A B C C π=++<，3C ππ∴<<.()cos21f C C ==-，且2223C ππ<<，2C π∴=，2C π∴=. cos cos sin 2B A A π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，由cos a B =，得sin a A =，由锐角三角函数的定义得sin a A c =，1sin ac A∴==， 由正弦定理得1sin sin b a B A ==，sin sin cos 2b B A A π⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，sin cos 114a b c A A A π⎛⎫∴++=++=++ ⎪⎝⎭，2C π=，且22A B A π+=>，04A π∴<<，442A πππ∴<+<，sin 124A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.21a b c ∴<++<，因此，a b c ++的取值范围是()1；（3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位， 得到函数cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t 、2t ，则1212t t =-，则1t 、2t 异号， （i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()0,n n N π*∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()0,n n N π*∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =，则2102t -<<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上只有一个根，在区间()1367,1368ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数解，在区间()1367,1368ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合乎题意； （iii ）当11t =-时，则2102t <<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数根，在区间()1367,1368ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上有两个实数解，在区间()1367,1368ππ上无实数解， 因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根，此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-.综上所述：1λ=-，1347n =.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.。
2021-2022学年上海市七宝中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市七宝中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．设z C ∈，则0z z +=是z 为纯虚数的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据共轭复数的特征，复数的概念，以及充分条件与必要条件的判断方法，即可得出结果. 【详解】对于复数z ，若0z z +=，则z 不一定为纯虚数，可以为0； 反之，若z 为纯虚数，则0z z +=，所以0z z +=是z 为纯虚数的必要非充分条件. 故选：B.2．一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（ ） A ．正三棱锥 B ．正四棱锥 C ．正五棱锥 D ．正六棱锥【答案】D【解析】根据正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长判断. 【详解】因为正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长， 所以正六棱锥的侧棱必大于底面棱长， 故选：D.3．非零复数1z 、2z 在复平面内分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为坐标原点），若22120z z +=，则（ ） A ．O 、1Z 、2Z 三点共线 B ．12OZ Z 是直角三角形 C ．12OZ Z 是等边三角形 D ．以上都不对【答案】B【分析】设()()12i 0,i 0z a b ab z c d cd =+≠=+≠，根据22120z z +=，可得12i z z =±⋅，从而可将复数2z 用,a b 表示，再判断各个选项即可.【详解】解：设()()12i 0,i 0z a b ab z c d cd =+≠=+≠， 则()()21,,,Z a b Z c d ，故()()12,,,OZ a b OZ c d ==，因为22120z z +=，所以()222122i z z z =⋅=-，所以()12i i z z d c =±⋅=±-+，所以d a c b =-⎧⎨=⎩或d a c b=⎧⎨=-⎩，故()2,OZ b a =-或()2,OZ b a =-， 当()2,OZ b a =-时，120OZ OZ ⋅=， 当()2,OZ b a =-时，120OZ OZ ⋅=，所以12OZ OZ ⊥，所以12OZ Z 是直角三角形， 故O 、1Z 、2Z 三点不共线且12OZ Z 不是等边三角形. 故选：B.4．已知四面体ABCD 的棱AB平面α，且3CD =，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面α，若四面体ABCD 绕AB 所在直线旋转，且始终在平面α的上方，则它在平面α内影子面积的最小值为（ ）A 33B ．112C 3D ．32【答案】C【分析】取AB 的中点M ，连接,MD MC ，证明AB ⊥平面MCD ，分别求出点M 到CD 的距离，点C 到MD 的距离，点D 到MC 的距离，从而可得出答案. 【详解】解：取AB 的中点M ，连接,MD MC ， 因为2AB BC AC BD AD =====，所以,MD AB MC AB ⊥⊥，且3MC MD == 又,,MD MC M MC MD ⋂=⊂平面MCD ， 所以AB ⊥平面MCD ，又CD ⊂平面MCD ，所以AB CD ⊥，设点M 到CD 的距离为1d ，点C 到MD 的距离为2d ，点D 到MC 的距离为3d ，则193342d =-=， 由123111222CD d MD d MC d ⋅=⋅=⋅，得2332d d ==，因为3322<， 所以影子面积的最小值为1332222⨯⨯=.故选：C.二、填空题5．三条互相平行的直线最多可确定____个平面． 【答案】3【分析】讨论三条直线的位置关系即可得到答案.【详解】解：若三条直线在同一个平面内，则此时三条直线只能确定一个平面， 若三条直线不在同一个平面内，则此时三条直线能确定三个平面， 所以三条互相平行的直线最多可确定3个平面. 故答案为：3.6．若复数z 满足(34)43i z i +=-，则z 的虚部为___.【答案】45-【分析】先根据复数的模以及除法法则化复数为代数形式，即得结果. 【详解】53434(34)4334555i i z i z i i -+=-∴===-+ 因此z 的虚部为45-.【点睛】本题考查复数的虚部、模以及除法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______．【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：4π，底面半径为：2，圆锥的高为：212.3π⋅⨯. 【点睛】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．8．将复数化为三角形式：11i 22-=______．7π7πcos isin 44⎫+⎪⎝⎭【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可.【详解】解：复数11i 22-中，r ==，设θ为复数的辐角主值，[0,2π)θ∈又7π7πcos44==所以117π7πi cos isin 2244⎫-=+⎪⎝⎭.故答案为：7π7πcos isin 244⎫+⎪⎝⎭. 9．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，直线1AC 与底面ABCD 所成角的大小是60︒，则11A C 到底面ABCD 的距离为______．【分析】根据正四棱柱的几何性质由直线1AC 与底面ABCD 所成角的大小是60︒，确定线段1C C 的长，则则11A C 到底面ABCD 的距离即可求. 【详解】解：如图，连接AC正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，则1AD DC ==，所以22AC AD == 且1C C ⊥底面ABCD ，则直线1AC 与底面ABCD 所成角即160C AC ∠=︒ 则1tan60236C C AC =⋅︒=⨯=则在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11A C 到底面ABCD 的距离为即1C 到到底面ABCD 的距离16C C =.故答案为：6.10．如下图所示，梯形1111D C B A 是水平放置的平面图形ABCD 的直观图（斜二测画法），若11111111112//,//,43A D O y ABCD A B C D ''==，111A D =，则四边形ABCD 的面积是_____．【答案】10【分析】根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD 的形状，求出底边边长以及高，然后求出面积．【详解】根据直观图画法的规则， 直观图中11A D 平行于y 轴，111A D =， 所以原图中//AD Oy ，从而得出AD ⊥DC ，且1122AD A D ==， 直观图中1111//A B C D ，1111243A B C D ==，所以原图中//AB CD ，243AB CD ==，即四边形ABCD 上底和下底边长分别为4，6，高为2，故其面积()1462102S =⨯+⨯=.故答案为：10.11．正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的大小的取值范围是_______． 【答案】90,1()80︒︒【分析】采用极限思想,让顶点无限接近底面,让顶点无限远离底面,推出范围即可.【详解】假设顶点无限接近底面的中心,那么这四个侧面就趋向一个平面，那两个相邻侧面所成的二面角就无限接近180︒；假设顶点无限远离底面中心,那么四个侧面都垂直于底面,底面两边的夹角就是两个侧面所成二面角的平面角,大小为90︒,因此正四棱锥的两个侧面所成二面角的大小范围是90,1()80︒︒. 故答案为：90,1()80︒︒12．已知关于x 的方程2250(R)x px p -+=∈的两根为1x 、2x .若122x x -=，则实数p 的值是______．【答案】226±【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得1212,25x x p x x +==，则由()21212124x x x x x x -=+-p 的值.【详解】解：关于x 的方程2250x px -+=的两根为1x 、2x ， 所以224251000p p ∆=-⨯=-≥，1212,25x x p x x +==， 所以()2212121241002x x x x x x p -=+-=-=所以104226p ==±故答案为：226±13．已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -各棱长均为2，如果一只小蚂蚁从A 沿表面移动到1D 时，其最短路程为______．【答案】2523+##2235+【分析】根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较. 【详解】解：将所给的正六棱柱下图（2）表面按图（1）展开， 11144222232A E ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，22162210AD '=+=，()2222111122322523AD AE E D =+=++=+，11AD AD '> ，故从A 沿正侧面和上表面到1D 的路程最短为2523+.故答案为：2523+.14．有以下4个命题：（1）底面是正多边形的棱锥是正棱锥，（2）侧棱和底面所成的角都相等，侧面和底面所成锐二面角也都相等的三棱锥是正三棱锥，（3）底面是正方形，侧面都是等腰三角形的棱锥是正四棱锥，（4）四个面都是全等三角形的四面体是正四面体．其中正确的命题有_______．（写出所有正确的序号） 【答案】（2）【分析】根据正棱锥的定义及结构特征逐一判断即可.【详解】解：（1）中，底面是正多边形，若顶点在底面的射影不落在底面的中心，此时的棱锥不是正棱锥，所以该命题错误;（2）中，侧棱和底面所成的角都相等，则顶点在底面的射影落在底面的外心，若侧面和底面所成锐二面角都相等，则顶点在底面的射影落在底面三角形的内心，所以该底面三角形的外心和内心重合，所以底面三角形为正三角形，故该棱锥为正三棱锥，所以该命题正确;（3）中，若当一条侧棱和底面边长相等时，另外三条侧棱相等，此时满足侧面都是等腰三角形，但该四棱锥不是正四棱锥,所以该命题错误;（4）中，当四面体有一组对棱相等，另外四条棱长相等时，四个面是全等三角形，但该四面体不是正四面体，所以该命题错误. 故答案为：（2）.15．在ABC 中，4BC BD =，E 为AD 的中点，过点E 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ．设AB mAM =，AC nAN =，复数i(,R)z m n m n =+∈，则||z 取到的最小值为__．【答案】4105##4105 【分析】先利用平面向量基本定理及M 、E 、N 三点共线，判断出31=188m n +，对22=z m n +消去n 后利用二次函数判断出||z 的最小值.【详解】在ABC 中，因为4BC BD =，所以()11314444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+.又AB mAM =，AC nAN =，所以31=44AD mAM nAN +.因为E 为AD 的中点，所以131==288AE AD mAM nAN +. 因为M 、E 、N 三点共线，所以31=188m n +，即83n m =-，复数i(,R)z m n m n =+∈，所以()22222=83104864z m n m m m m +=+--+令2212321048641055y m m m ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，故当125m =，z 324105=41016．,a b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角；②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是__________(填写所有正确结论的编号) 【答案】②③【分析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，如下图，设CD 为a 直线，CE 为b 直线，不妨设1AC CD CE ===，利用向量法求解判断即可【详解】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，如下图，设CD 为a 直线，CE 为b 直线，不妨设1AC CD CE ===则()1,0,0CD =，()0,1,0CE =，()0,0,1A ，依题意可设(),,0B x y ， 等腰直角三角形ABC 中，,AC BC AC BC =⊥, 则点B ∈平面CDE即点B 在平面CDE 内的轨迹在以C 为圆心，1为半径的圆周上，即有221x y +=，(),,1AB x y =-，设直线AB 与a 成θ角，直线AB 与b 成ϕ角则有cos cos ,,cos cos ,22x y CD AB CE AB θϕ====当直线AB 与a 成60︒1,22x=得到2x =由221x y +=，可得22y =1cos 2ϕ=，所以AB 与b 成60︒角，故②正确; ①不正确.由cos cos ,2xCD AB θ==,又1x ≤，故2cos θ⎡∈⎢⎣⎦，所以,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 所以所以③正确，④错误综上可知选②③． 故答案为：②③．三、解答题17．给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，所有4个这样的平面围成的几何体称为四面体（如图所示），预先给定的4个点称为四面体的顶点，2个顶点的连线称为四面体的棱，3个顶点所确定的三角形称为四面体的面．求证：四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线．(1)请你用异面直线判定定理证明该结论； (2)请你用反证法证明该结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）根据异面直线的判定定理说明即可；（2）假设直线,AC BD 是共面于平面α，则,,,A B C D 四点共面，说明其与已知矛盾即可，即可得证. 【详解】（1）证明：因为A ∈平面ABD ，C ∉平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，A ∉直线BD ， 所以直线AC 与BD 是异面直线，同理AB 与CD ，AD 与BC 也是异面直线，所以四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线； （2）证明：假设直线,AC BD 是共面于平面α，即,AC BD αα⊂⊂， 则,,,A C B D αααα∈∈∈∈，,,,A B C D 四点共面与已知四点不共面矛盾， 所以假设错误，即直线,AC BD 一定是异面直线， 同理AB 与CD ，AD 与BC 也是异面直线，所以四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线.18．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥面ABCD ，12AB AA ==(1)证明：1A C BD ⊥；(2)求直线AC 与平面11BB D D 所成的角θ的大小.【答案】(1)证明见解析 (2)4π【分析】（1）以O 为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得向量坐标，利用空间向量数量积证得1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，然后利用线面垂直判定定理证得结论.（2）求AC 、平面11BB D D 的一个法向量，由线面角得到向量方法可得答案.【详解】（1）∵OA ､OB ､1OA 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系， ∵12AB AA ==∴11OA OB OA ===，∴()100A ，，，()010，，B ，()100，，-C ，()010D -，，，()1001，，A ， 由11AB A B =易得()1111B -，，， ∴()1101，，=--AC ，()020，，=-BD ，()1101，，=-BB ， ∴10AC BD ⋅=，110AC BB ⋅=，∴1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，∴1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，又1BD BB B ⋂=，且BD ､1BB ⊂平面11BB D D ，∴1AC ⊥平面11BB D D .∵BD ⊂平面11BB D D ，∴1A C BD ⊥.（2）由（1），()2,0,0AC =-， ()020，，=-BD ，()1101，，=-BB ，设平面11BB D D 的一个法向量为()n x y z =，，，所以100BD n BB n ⎧⊥=⎪⎨⊥=⎪⎩，即200y x z -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得1,0z y ==， 所以()101，，=n ，设直线AC 与平面11BB D D 所成的角0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 则22sin cos ,222n ACn AC n AC θ⋅====⋅， 因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以4πθ=， 所以直线AC 与平面11BB D D 所成的角为4π.19．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，P 为面对角线1AD 上的动点（不包括端点），PM ⊥平面ABCD 交AD 于点M ，MN BD ⊥于N ．(1)设AP x =，将PN 长表示为x 的函数()f x ，并求此函数的值域；(2)当PN 最小时，求异面直线PN 与11A C 所成角的大小．【答案】(1)()2321433f x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭(02)x <<；值域为3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (2)3【分析】（1）设(0AP x x =<<，利用平行线解线段成比例求得AM PM =，得到1MD x =，进一步求得MN ，再由勾股定理列式求解()f x ，结合二次函数求值域； （2）由（1）当x =时，PN最小，此时PN //MN AC ，又11//AC AC ，PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角，通过解直角三角形PMN 得答案．【详解】（1）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，∴1AD =设(0AP x x =<<，因为PM ⊥平面ABCD ，故1PM DD ，则1APM AD D ~，故1AM PM AD DD ==，得AM PM =，故1MD =，同理得12MN x =-，()PN f x ∴===(0x <<.故当3x =时，()f xx ()1f x =， ∴函数()f x的值域为⎫⎪⎣⎭；（2）当x =PN最小，此时PN = 在底面ABCD 中，MN BD ⊥，AC BD ⊥，//MN AC ∴，又11//AC AC ，PNM ∴∠为异面直线PN 与11A C 所成角的角，在PMN 中，PMN ∠为直角，1sin PM PNM PN ∠===PNM ∴∠= ∴异面直线PN 与11A C所成角的大小为 20．对于任意的复数(,)z x yi x y R =+∈，定义运算P 为2()(cos sin )P z x y i y ππ=+．（1）设集合A ={|(),||1,Re ,Im P z z z z ωω=≤均为整数}，用列举法写出集合A ；（2）若2()=+∈z yi y R ，()P z 为纯虚数，求||z 的最小值；（3）问：直线:9=-L y x 上是否存在横坐标、纵坐标都为整数的点，使该点(,)x y 对应的复数z x yi =+经运算P 后，()P z 对应的点也在直线L 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）{0,1}A =；（2）172；（3）存在，(3,6)-或(3,12)-- 【分析】（1）根据题意得到0,1,,,1=--z i i ，代入计算得到答案.（2）根据计算法则得到1()2=+∈y k k Z ，代入计算复数模，根据二次函数性质得到最值. （3）假设存在这样的点(,9)-x x ，计算得到2()[cos(9)sin(9)]P z x x i x ππ=-+-，讨论x 为奇数和x 为偶数两种情况，计算得到答案.【详解】（1）||1,Re ,Im z z z ≤均为整数，则0,1,,,1=--z i i ，(0)0P =，()11p =，()0p i -=，()0p i =，()11p -=，故{0,1}A =.（2）()4(cos sin )P z y i y ππ=+，∵()P z 是纯虚数，∴cos 0=y π且sin 0≠y π，∴1()2=+∈y k k Z ，∴21||42⎛⎫=++ ⎪⎝⎭z k ，0k =或1-时，||z 的最小值为172. （3）假设存在这样的点(,9)-x x ，设该点对应的复数为z ，则2()[cos(9)sin(9)]P z x x i x ππ=-+-，若x 为奇数，则2()=P z x ，∴209=-x ，3x =±；若x 为偶数，则2()=-P z x ，∴209=--x ，无解．综上，存在这样的点，坐标为(3,6)-或(3,12)--.【点睛】本题考查了复数运算的新定义，复数的模，复数对应的点，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．圆锥的轴截面为等腰Rt SAB ，Q 为底面圆周上一点．(1)若QB 的中点为C ，OH SC ⊥，求证：OH ⊥平面SQB ；(2)如果60AOQ ∠=︒，3QB =(3)如果二面角A SB Q --的大小为arctan(22)，求AOQ ∠的大小．【答案】(1)证明见解析(2)42π (3)45AOQ ∠=︒【分析】（1）连接AQ ，由三角形中位线定理可得//OC AQ ，由圆周角定理我们可得OC BQ ⊥，由圆锥的几何特征，可得SO BQ ⊥，进而由线面垂直的判定定理，得到QB ⊥平面SOC ，则OH BQ ⊥，结合OH SC ⊥及线面垂直的判定定理得到OH ⊥平面SBQ ；（2）若60AOQ ∠=︒，易得30OBQ OQB ∠=∠=︒，又由23QB =，可求出圆锥的底面半径OA 长及圆锥的母线SB ，代入圆锥表面积公式即可；（3）作QM AB ⊥于点M ，由面面垂直的判定定理可得QM ⊥平面SAB ，作MP SB ⊥于点P ，连QP ，则MPQ ∠为二面角A SB Q --的平面角，根据二面角A SB Q --的大小为arctan(22)-，设OA OB R ==，AOQ α∠=，进而根据22MQ MP=-可求出AOQ ∠的大小. 【详解】（1）连接AQ ，因为O 为AB 的中点，QB 的中点为C ，所以//OC AQ ．因为AB 为圆的直径，所以90AQB ∠=︒，故OC BQ ⊥．因为SO ⊥平面ABQ ，BQ ⊂平面ABQ ，所以SO BQ ⊥.又OC SO O =，,OC SO ⊂平面SOC ，所以QB ⊥平面SOC .又OH ⊂平面SOC ，故OH BQ ⊥．又OH SC ⊥，SC BQ C =，,SC BQ ⊂平面SBQ ，所以OH ⊥平面SBQ ．（2）60AOQ ∠=︒，30OBQ OQB ∴∠=∠=︒，23BQ =4cos30BQ AB ∴==︒，2OA =，又SA SB ⊥，22SA SB ==故圆锥的侧面积π··42πS OA SB ==．（3）作QM AB ⊥于点M ，平面SAB ⊥平面ABQ 且平面SAB 平面ABQ AB =QM ∴⊥平面SAB ．再作MP SB ⊥于点P ，连QP ，QP SB ∴⊥MPQ ∴∠为二面角A SB Q --的平面角如图：(arctan 22MPQ ∴∠=，22MQ MP∴= 设OA OB R ==，AOQ α∠=，sin MQ R α∴=，cos OM R α=，(1cos )MB R α=+，45SBA ∠=︒，MP BP ∴=，22(1cos )MP α∴+，222(1cos )R α=+sin 211cos αα∴=+， 即22sincos 22212cos 2ααα=，tan 212α=，故22tan 2tan 11tan 2ααα==-，解得45α=︒，45AOQ ∠=︒.。
【数学】上海市普陀区曹杨第二中学2022-2023学年高一下学期期末考试试卷 (解析版)
上海市普陀区曹杨第二中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一，填空题1．已知复数z＝1﹣i,则Im z＝ ．【结果】﹣1【思路】∵复数z＝1﹣i,∴Im z＝﹣1,故结果为：﹣1．2．已知复数z满足,且|z+i|＝1,则z＝ ．【结果】1﹣i【思路】设复数z＝a+bi（a,b∈R）,∵,∴a+bi+a﹣bi＝2,∴a＝1,∴z＝1+bi,∵|z+i|＝|1+（b+1）i|＝＝1,∴b＝﹣1,∴z＝1﹣i,故结果为：1﹣i．3．已知向量＝（2,4）,＝（﹣1,1）,则2﹣＝ ．【结果】（5,7）【思路】∵向量＝（2,4）,＝（﹣1,1）,∴2﹣＝2（2,4）﹣（﹣1,1）＝（5,7）．故结果为：（5,7）．4．若cos（θ+）＝1,则cosθ＝ ．【结果】【思路】因为cos（θ+）＝1,所以sin（θ+）＝0,所以cosθ＝cos[（θ+）﹣]＝cos（θ+）cos+sin（θ+）sin＝1×+0×＝．故结果为：．5．若向量,,,则＝ ．【结果】0【思路】向量,,,可得,所以1+2+4＝5,所以＝0．故结果为：0．6．已知{a n}为等差数列,{a n}地前5项和S5＝20,a5＝6,则a10＝ ．【结果】11【思路】∵{a n}为等差数列,∴S5＝5a3＝20,∴a3＝4,∵a5＝6,a3＝4,∴2d＝a5﹣a3＝6﹣4＝2,即d＝1,∴a10＝a5+5d＝6+5＝11．故结果为：11．7．已知{a n}为等比数列,首项和公比均为,则{a n}前10项和为 ．【结果】【思路】依据题意,{a n}为等比数列,首项和公比均为,则S10＝＝。
故结果为：．8．设O为坐标原点,A（2,0）,B（﹣3,4）,则向量在上地投影为 ﹣3 ．【结果】-3【思路】因为A（2,0）,B（﹣3,4）,所以,所以在上地投影为．故结果为：﹣3．9．已知正方形ABCD地边长为3,点E,F分别在边BC,DC上,BC＝3BE,,若,则实数λ地值为 ．【结果】【思路】,,所以,解得．故结果为：．10．已知数列{a n}为等比数列,函数过定点（a1,a2）,设b n＝log2a n,数列{b n}地前n项和为S n,则S n地最大值为 1 ．【结果】1【思路】函数过定点（a1,a2）,令x＝2＝0,解得x＝2,当x＝2时,y＝1,所以a1＝2,a2＝1,由于数列{a n}为等比数列,,所以公比q＝,所以,则b n＝log2a n＝2﹣n,由于b1＝1,b2＝0,b3＝﹣1,......,所以S n地最大值为：S2＝b1+b2＝1．故结果为：1．11．已知函数,则地值为 ．【结果】2020【思路】依据题意,函数,则f（1﹣x）＝（1﹣x﹣）3+1＝﹣（x﹣）3+1,故f（x）+f（1﹣x）＝2,则＝f（）+f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（）＝2×1010＝2020。
2023-2024学年上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷含详解
【详解】设 xOA ,则
sin
1 1
48
1 7
, cos
4 3 4 3. 1 48 7
将 OA 绕原点 O 逆时针旋转
至 OB
,则 OB 的倾斜角为
.
3
3
则 OB OA 1 48 7 .
∴点
B
的纵坐标为
OB
sin
3
7
sin
cos
3
cos
sin
3
13 2
.
故答案为 13 2
km ．（结果精确到 0.1km ）
9．若
tan
tan
1 2
,则
cos( cos(
) )
．
10．已知点 A(4 3,1) ,将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 3 至 OB ,则点 B 的纵坐标为
11．i 为虚数单位,若复数 z1 和复数 z2 满足 z1 1 i 1, z2 z1i ,则 z2 的最大值为
,则
cos(
)
．
4．在梯形
ABCD 中,
AD
1 2
BC
,设
AC
a, BD
b
,若用
a,
b
的线性组合表示
AB
,则
AB
．
5．若 sin cos 3 ,则 sin 2
2
6．若向量
a
(3,
4), b
(1,
2)
,则
a,b
． ．
7．设 0
π
,若函数
y
tan( x
)
的.定义域为 x
x
14.6km .
故答案为：14.6.
9．3
上海市高一第二学期期末数学试卷(共3套,含参考答案)
上海高一第二学期期末数学试卷一、填空题（44分）1、 计算4lg 0.01=2、 函数1y =（0x ≥）的反函数是3、 若1log 12a<，则实数a 的取值范围是 4、 方程49280xx-⨯+=的解是5、 已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的弧长l 等于 6、 已知1sin 3θ=-，并且θ是第三象限角，则tan θ= 7、 化简：sin()tan(2)cos(2)tan()cos()sin()παπαπαπαπαπα---⋅⋅=+-+8、 化简：0cos 20cos(20)cos 70sin(20)αα---= 9、 函数12log (sin cos )y x x =的单调递减区间是10、函数cos 2sin xy x=-的值域是11、计算3arcsin(sin )4π=二、 选择题（16分）12、若函数1sin()2y x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值为（ ） （A ）ϕπ=- （B ）2πϕ=-（C ）4πϕ=-（D ）8πϕ=-13、“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的（ ）条件 （A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充要 （D ）非充分非必要 14、函数cos 23sin y x x =+的值域是（ ） （A ）174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（B ）17(,4)(,)8-∞-+∞ （C ）[4,4]- （D ）(,4)(4,)-∞-+∞ 15、函数()4log (1)a f x x =+-（0,1a a >≠）的图像恒经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） （A ）（1，4） （B ）（4，1） （C ）（2，4） （D ）（4，2）三、 解答题（6+8+8+8+10）16、解方程：111122log (95)log (32)2x x ---=--17、已知1tan 7α=，sin 10β=，,(0,)2παβ∈，求2αβ+18、在地面某处测得塔顶的仰角为θ，由此向塔底沿直线走3千米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底沿同千米，测得塔顶仰角为4θ（三个测量点都在塔的同一侧），试求θ与塔高。
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一､填空题1. 已知角终边经过点，则__________．2. 已知复数满足，则__________3. 满足，的角的集合为__________.4. 已知函数（）是偶函数，则最小值是______．5. 已知为无穷等比数列，，，则的公比为_________．6. 若是实系数方程的一个虚根，且，则_________．7. 若数列的通项公式为，则______时取到最大值.8. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知，求山的高度___________..9. 已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是__________.10. 已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________11. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且，求集合中元素个数__________.12. 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，的α(2,1)P -sin α=z i 2i z =-z =π2cos 214x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[0,π]x ∈x ()sin 22y x ϕ=+0ϕ>ϕ{}n a 23a =14i i a +∞==-∑{}n a z 220x x p ++=2z =p ={}n a 222023n a n n =-+n =1i ni a =∑m 60BAC ∠=︒BC =m P ABCD AP AB ⋅0{}n a n n S {}457,,10,0a S S ∈-n S {}n a {}n b 223344a b a b b a -=-=-{}1,1500k m k b a a m =+≤≤∣求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P 满足时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是_____________．二､选择题13. 已知为复数，则“”是“”的（ ）A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件14. 下列函数中，最小正周期为且是偶函数是（ ）A. B. C. D. 15. 欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对16. 设无穷项等差数列的公差为，前n 项和为，则下列四个说法中正确的个数是（ ）①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则；③若数列是递增数列，则对任意的，均有；④若对任意的，均有，则数列是递增数列.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三､解答题17. 已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应向量为.（1）求；.的的ABC V 120︒120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°a b c ||2,||3b c == ||||||-+++- a b a b a c z z z =22z z =πcos 2y x =tan y x =πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 2y x=i e cos isin x x x =+i x ∈R e i e 10π+=2299cos isin cos isin cos isin i 101010101010ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭{}n a ()0d d ≠n S 0d <{}n S {}n S 0d <{}n S *n ∈N 0n S >*n ∈N 0n S >{}n S z ()1i 2i,z O +=z OZ 34i z +-（2）若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求.18. 设数列的前项和，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前项和，求使成立的的最小值．19. 已知函数.（1）求解方程:;（2）设,求函数的单调递增区间;（3）在中,角所对应的边为.若的面积为求的值.20. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P .（1）若数列具有性质，且，求的值；（2）若，判断数列是否具有性质并证明；（3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式.II 卷21. 将函数和直线所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________.22. 已知，且对任意都有或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为___________.23. 若向量满足，，且，则的最小值是____________.24. 已知函数，则的值为__________.的OZ O π2,OZ OZ '' z 'z z ⋅'{}n a n 12n n S a a =-123,1,a a a +{}n a 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 111000n T -<n ()sin ,f x x x =∈R ()13f x =()()2π222g x x f x ⎛⎫=++⎪⎝⎭()g x ABC V ,,A B C ,,a b c ()4,f A b ABC ==V sin C {}n a {}1n n a a ++{}n a {}n a P 1231,3a a a ===45,a a 2(1)n nn b =+-{}n b P 212n c c c n n +++=+L {}n d P 13212321d d d c d d c =-=+=,,{}n d ()π4cos 2f x x =()1g x x =-1A 2A n A (P 125...PA PA PA +++= *(1,2,9)i a i ∈=⋯N ()*28k k ∈≤≤N 11k k a a -=+11k k a a +=-16a =99a =91a a ++ ,,a b c →→→a b ®®¹0c ≠ ()()0c a c b -⋅-= a b a b c ++- ()3112f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭122023202420242024f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 答案一､填空题【1题答案】【答案】【2题答案】【3题答案】【答案】【4题答案】【答案】##【5题答案】【答案】##【6题答案】【答案】4【7题答案】【答案】【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】9【10题答案】【答案】【11题答案】【答案】9【12题答案】π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭π41π412-0.5-1011600m12-【答案】二､选择题【13题答案】【答案】A【14题答案】【答案】A【15题答案】【答案】A【16题答案】【答案】C三､解答题【17题答案】【答案】（1）5 （2）【18题答案】【答案】(1).(2)10.【19题答案】【答案】（1）（2） （3【20题答案】【答案】（1）分别为5、11 （2）数列具有性质，证明略 （3）II 卷【21题答案】【答案】103+2-2n n a =1(1)arcsin ,3k x k k Zπ=+-∈πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦45,a a {}n b P ()1*N ,213n n n d n -+-=∈【22题答案】【答案】31【23题答案】【答案】2【24题答案】【答案】2023。
上海市高一第二学期期末数学试卷(共3套,含参考答案)
a2<1，则实数a的取值范围是3，并且θ是第三象限角，则tanθ=tan(π+α)cos(π-α)⋅sin(π+α)= 10、函数y=cos x2x+ϕ)是偶函数，则ϕ的一个值为（2（C）ϕ=-（A）⎢-4,17⎤(17⎣8,+∞)8⎥⎦（B）(-∞,-4)上海高一第二学期期末数学试卷一、填空题（44分）1、计算lg0.014=2、函数y=x+1（x≥0）的反函数是3、若log14、方程4x-9⨯2x+8=0的解是25、已知扇形的圆心角为π，半径为5，则扇形的弧长l等于36、已知sinθ=-17、化简：sin(π-α)⋅tan(2π-α)cos(2π-α)8、化简：cos200cos(α-200)-cos700sin(α-200)=9、函数y=log(sin x cos x)的单调递减区间是122-sin x的值域是311、计算arcsin(sinπ)=4二、选择题（16分）12、若函数y=sin(1）（A）ϕ=-π（B）ϕ=-ππ4（D）ϕ=-π813、“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的（）条件（A）充分非必要（B）必要非充分（C）充要（D）非充分非必要14、函数y=cos2x+3sin x的值域是（）⎡（C）[-4,4]（D）(-∞,-4)(4,+∞)15、函数f(x)=4+log(x-1)（a>0,a≠1）的图像恒经过定点P，则点P的坐标是（a（A）（1，4）（B）（4，1）（C）（2，4）（D）（4，2））三、解答题（6+8+8+8+10）16、解方程：log(9x-1-5)=log(3x-1-2)-2112217、已知tanα=1710π，sinβ=，α,β∈(0,)，求α+2β10218、在地面某处测得塔顶的仰角为θ，由此向塔底沿直线走3千米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底沿同一直线走3千米，测得塔顶仰角为4θ（三个测量点都在塔的同一侧），试求θ与塔高。
2021-2022学年上海市控江中学高一年级下册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市控江中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D 【详解】把2π代入验证即得． 2．已知向量,,a b c ，则“()a b c ⊥-”是“a b a c ⋅=⋅”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据向量垂直以及平面向量的运算律可推出充分条件；举特例可判断必要条件是否成立. 【详解】因为()a b c ⊥-，所以有()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=，所以a b a c ⋅=⋅； 若b c =，显然有a b a c ⋅=⋅，此时0b c -=，显然()a b c ⊥-不成立. 所以，“()a b c ⊥-”是“a b a c ⋅=⋅”的充分非必要条件. 故选：A.3．已知常数0a >，函数π()sin(2)3f x x =+在区间[0,]a 上是严格增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π{|2π2π,N}2a k a k k <≤+∈D ．π{|2π2π,N}12a k a k k <≤+∈ 【答案】B【分析】根据正弦型三角函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】πππ0,022,22333x a x a x a ≤≤≤≤≤+≤+， 由于0a >且π()sin(2)3f x x =+在区间[0,]a 上是严格增函数，所以πππ2,03212a a +≤<≤， 即a 的取值范围是π0,12⎛⎤⎥⎝⎦.故选：B4．如图，两个椭圆221259x y +=，221259y x +=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，现在给出下列四个判断：①P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线0x y +=对称； ③曲线C 所围成区域面积必小于36； ④曲线C 的长度必小于8π.上述判断中，错误命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A【分析】①根据椭圆的定义判断即可； ②利用两个椭圆的对称性判断即可；③根据图形可得曲线C 所围区域在边长为6的正方体内部，即可得到面积必小于36； ④联立两个椭圆的方程得到2245091634x y <+=<，即可得到曲线C 在半径为4的圆的内部，长度小于8π.【详解】①当点P 不是交点时，若点P 在椭圆221259x y +=上，P 到1F ，2F 的距离之和为定值10，到1E ，2E 两点的距离之和不为定值，故①错；②两个椭圆关于0x y +=对称，所以曲线C 关于0x y +=对称，故②正确；③由图可知，曲线C 所围区域在边长为6的正方体内部，所以面积必小于36，故③正确； ④将两个椭圆的方程相加可得2245091634x y <+=<，所以曲线C 在半径为4的圆的内部，长度小于8π，故④正确. 故选：A.二、填空题5．若()tan 0,ααπ∈，则角α=______. 【答案】6π【分析】解方程tan α=k 赋值与(0,)απ∈取交集即可得结果.【详解】∵tan α= ∴Z 6k k παπ=+∈， ，又∵(0,)απ∈ ∴6πα=故答案为：6π. 6．以点()3,4C 为圆心，且过点()6,0M 的圆的方程是______. 【答案】()()223425x y -+-=【分析】求得圆的半径，进而求得圆的方程.【详解】依题意，圆的半径为5CM ， 所以圆的方程为()()223425x y -+-=. 故答案为：()()223425x y -+-= 7．如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么3πcos()2α+=______.【答案】 【分析】结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式求得正确答案. 【详解】由于1cos 5α=，且α是第四象限的角，所以sin α==所以3πcos sin 2αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故答案为：8．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是_______________ 千米．【详解】解：由A 点向BC 作垂线，垂足为D ，设AC=x ， ∵∠CAB=75°，∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°-75°-60°=45° ∴AD=22x ∴在Rt △ABD 中，AB•sin60°= 22x x=" 6" （千米）答：A 、C 两点之间的距离为 千米．故答案为下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°-75°-60°=45° 又相距2千米的A 、B 两点 ∴22322AC= ，解得AC=答：A 、C 两点之间的距离为 千米．故答案为9．已知tan 3α=-，则4sin 3cos 2sin 5cos αααα-=+______.【答案】15【分析】齐次式分子分母同时除以cos α，再代入tan 3α=-即可得到答案. 【详解】tan 3α=-， cos 0α∴≠， 4sin 3cos 4tan 3123152sin 5cos 2tan 565αααααα----∴===++-+.故答案为：15.10．若方程2223x m y +⋅=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()0,2【分析】根据焦点在y 轴的椭圆方程的条件，建立关于m 的不等式组，解之即可得到实数m 的取值范围【详解】椭圆化成标准方程形式，得221332x y m+=，∵方程2223x m y +⋅=表示焦点在y 轴上的椭圆，∴332m >，解得02m <<，得实数m 的取值范围是()0,2. 故答案为：()0,211．若直线l 的一个方向向量(1,3)d =，则l 与直线20x y ++=的夹角α的余弦值cos α=______.【分析】根据题意可得两直线的倾斜角分别为60︒，135︒，进而可得两直线的夹角为75︒，再由两角和的余弦公式即可求得答案.【详解】解：因为直线l 的一个方向向量(1,3)d =，所以直线l 的斜率k = 所以直线l 的倾斜角为60︒，又因为直线20x y ++=的斜率1k '=-， 所以线20x y ++=的倾斜角为135︒， 所以直线l 与直线20x y ++=的夹角1356075α，所以cos cos 75cos(3045)cos30cos 45sin 30sin 45α=︒=︒+︒=︒⋅︒-︒⋅︒=12．在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2223330a ab b c -+=+，则角C 的大小是______. 【答案】1arccos 6π-.【分析】根据已知条件结合余弦定理求解即可. 【详解】由2223330a ab b c -+=+，得 22213a cb ab -=-+，由余弦定理得2221cos 13226aba b C ab ab c --=+==-，因为()0,C π∈， 所以1arccos 6C π=-，故答案为：1arccos 6π-.13．已知向量,a b 满足=3,2a b =且(2)()5a b a b -⋅+=，则a 在b 方向上的数量投影为______.【答案】2-【分析】先求得a b ⋅，进而求得a 在b 方向上的数量投影.【详解】22(2)()2985a b a b a a b b a b -⋅+=-⋅-=-⋅-=，4a b ⋅=-， 所以a 在b 方向上的数量投影为422a b b⋅-==-. 故答案为：2-14．函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，现有三个论断： （1）图象C 关于直线11π12x =对称； （2）函数()f x 在区间ππ(,)22-内是增函数；（3）由函数3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中，正确结论的序号为______. 【答案】（1）【分析】根据三角函数的对称性、单调性、三角函数图象变换等知识求得正确答案. 【详解】（1），11π11ππ3π3sin 3sin 312632f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以（1）正确. （2），ππ4ππ2π,π2π,222333x x x -<<-<<-<-<， 根据正弦函数的单调性可知，()f x 在区间ππ(,)22-内不是增函数.所以（2）错误.（3）函数3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到π2π3sin 23sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以（3）错误. 故答案为：（1）15．定义点P 对应到点Q 的对应法则：:(,)(f P m n Q →(0,0)m n ≥≥，按照该对应法则，当点P 在线段AB 上运动时（其中，点(4,0)A ，点(0,4)B ），点Q 的轨迹方程为______. 【答案】2214x y +=，[]2,0x ∈-，[]1,0y ∈-【分析】线段AB 所在的方程为4y x =-+，设(),Q x y ，2n x =，24m y =，将点代入线段方程再确定范围得到答案.【详解】线段AB 所在的方程为4y x =-+，[]0,4x ∈，设(),Q x y ，则x =y =2n x =，24m y =， []0,4m ∈，[]0,4n ∈，故[]2,0x ∈-，[]1,0y ∈-，P 在线段AB 上，故2244x y =-+，即2214x y +=，[]2,0x ∈-，[]1,0y ∈-.故答案为：2214x y +=，[]2,0x ∈-，[]1,0y ∈-16．已知AB 为单位圆O （注：单位圆指的是半径为1的圆）的一条定弦，P 为单位圆O 上的点.当λ在R 中任意取值时，关于λ的函数()f AP AB λλ=-()R λ∈的最小值记作m .分析发现：当点P 在单位圆O 上运动时，m 的最大值为43.根据以上信息，可以推导得到线段AB 的长度为______.【分析】设AC AB λ=，点C 在直线AB 上，当CP AB ⊥时，()f λ最小为m ，当CP 过圆心时，m 最大，再利用弦长公式计算得到答案.【详解】设AC AB λ=，点C 在直线AB 上，()f AP AB AP AC CP λλ=-=-=， 对一个固定的点P ，当CP AB ⊥时，()f λ最小为m ，当点P 在单位圆O 上运动时，CP 过圆心时，m 最大值为43，此时AB =故答案为：3三、解答题17．已知向量(4,1),(1,3)OA OB ==-，且,//OC OB BC OA ⊥，求向量OC 的坐标. 【答案】()39,13OC =【分析】设出向量OC 的坐标，根据已知条件列方程组，由此求得正确答案. 【详解】设(),OC x y =，则()1,3BC OC OB x y =-=+-， 由于,//OC OB BC OA ⊥，所以()30431OC OB x y y x ⎧⋅=-+=⎪⎨-=+⎪⎩，解得39,13x y ==，所以()39,13OC =.18．())2ππsin 2sin 22cos 1,R 33f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)将函数()f x 化为()sin (0,0,02π)A x A ωϕωϕ+>>≤<的形式，并写出其最小正周期； (2)求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】(1)()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期πT =(2)[]1,2-【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简()f x 的解析式，并求得最小正周期. （2）根据三角函数值域的求法，求得函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【详解】（1）())2ππsin 2sin 22cos 133f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 22sin 22222x x x x x =++ πsin 222sin 23x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （2）由于ππππππ5π,2,24422636x x x -≤≤-≤≤-≤+≤， 所以[]π1πsin 2,1,2sin 21,2323x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+∈-+∈- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.19．已知复数123i,13i z z =--=-+，设复数12,,z z z 分别对应复平面上的点,,A B C .定义复数2222()()i w z z z z =++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-.(1)若121233z z z =+，求w ；(2)当点C 在线段AB 上运动时，求||w 的最大值. 【答案】(1)1009(2)1007【分析】对于（1），由共轭复数定义及复数四则运算法则可得答案.对于（2），由点C 坐标得w 表达式，继而结合C 横坐标范围及函数知识得||w 最大值.【详解】（1）因123i,13i z z =--=-+， 则121233z z z =+1255123333i-i=-i =--++，5533i z =--. 又2509i z =-，()2509i z = 则50501000999i i i w ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭. （2）由题()()3,11,3A B ---，，则线段AB 方程为：()()313113y x ---=+---，即25y x =+，其中31x -≤≤-. 由题，设()11,C x y ，则11i z x y =+，11i z x y =-，其中1125y x =+. 则()2222221*********i ，i z x y x y zx y x y =-+=--故2222()()i w z z z z =++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-221111224x y x y =--，得w 为实数. 则||w =221111224x y x y --，又1125y x =+，则222111111224146050x y x y x x --=---21151001477x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭又令()2146050f x x x =---，其中[]3,1x ∈--.因()340f -=>，()1510077max f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()140f -=-<.则015,17x ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭，使()00f x =.且()f x 在()0153,,17x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上单调递增，在015,7x ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. 故()()1517max max max ，w f x f f ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭1510077f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题涉及复数运算，复数的几何意义及求复数的模.（1）问较为基础，（2）问计算量较大，需注意计算w 表达式时，不要先代入1125y x =+. 20．已知R k ∈，圆()222:2410(5209)0C x y kx k y k k +++++++=. (1)若圆C 与圆221x y +=外切，求实数k 的值； (2)当k 在R 中任意取值时，求圆心C 的轨迹方程；(3)是否存在定直线l ，使得：动圆C 截直线l若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)0k =或4k =- (2)25y x =-(3)存在，且l 的方程为5202x y --=或15202x y --=.【分析】（1）根据两圆外切列方程，化简求得k 的值. （2）求得C 的坐标并消去参数k ，从而求得C 的轨迹方程.（3）求得圆心到直线l 的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案.【详解】（1）圆()222:2410(5209)0C x y kx k y k k +++++++=()22222225(42025)16x kx k y k y k k ++++++++=，()()222254x k y k ++++=，所以圆C 的圆心为(),25C k k ---，半径4r =. 圆221x y +=的圆心为()0,0，半径为1，由于圆C 与圆221x y +=415=+=， 解得0k =或4k =-.（2）由（1）得(),25C k k ---，即25x ky k =-⎧⎨=--⎩，消去k 得25y x =-，所以圆心C 的轨迹方程为25y x =-.（3）设直线l 交圆C 于,A B 两点，设(),25C k k ---到直线l 的距离为d ，则AB =l ，2259516,,44d d d ==-==，即圆心C 与直线l ， 而圆心C 的轨迹方程为250x y --=，所以可设直线l 的方程为20x y t -+=552t =+=， 解得52t =-或152t =-，所以存在符合题意的定直线l ，且定直线l 的方程为5202x y --=或15202x y --=.21．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ．（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值；（3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出12k k +的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）12；（3）2. 【分析】（1）根据椭圆过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，得到2,1a c ==求解.（2）设直线l 的方程为1y x =-+,联立221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，然后利用韦达定理和斜率公式求解. （3）分直线AB 的斜率不存在和直线AB 的斜率存在讨论，当直线AB 的斜率不存在时求得A ，B 的坐标，利用斜率公式求解；当直线AB 的斜率存在时，设()1y k x =-，联立 ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，然后利用韦达定理和斜率公式求解.【详解】（1）因为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ， 所以2,1a c ==，所以 23b =，所以椭圆C 的方程是22143x y +=； （2）设直线l 的方程为1y x =-+，()()1122,,,A x y B x y ， 由221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得27880x x --=， 由根与系数的关系得121288,77x x x x +=⋅=-， 所以1212123344y y k k x x --=⋅--， 12122244x x x x ----=⋅--， ()()121212122214162x x x x x x x x ⋅+++==⋅-++． （3）当直线AB 的斜率不存在时，331,,1,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1233332221414k k ---+=⋅=--， 当直线AB 的斜率存在时，设()1y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()()22224384120k x k x k +-+-=， 由根与系数的关系得221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++， 所以1212123344y y k k x x --+=+--， ()()()()1212121225383416kx x k x x k x x x x ⋅-++++=⋅-++． ()()()()22222222224128253837214343241283614164343k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭===⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。