论文_三对角矩阵的简单计算
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量要求求解一个实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
在介绍如何求解之前，首先我们来了解一下实对称三对角矩阵的定义。
实对称三对角矩阵是指矩阵的非零元素主对角线上的元素为a，副对角线上的元素为b，而其他元素均为0。
可以表示为如下形式：[a1b100...0][b1a2b20...0][0b2a3b3...0][00b3a4...0][..................][ 0 0 0 ... bn-1 an ]下面我们将介绍如何求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量有多种方法，其中一种常用的方法是通过迭代法，特别是Householder迭代法。
下面我们将介绍这种方法的主要步骤。
1. 首先，将实对称三对角矩阵转化为对称上Hessenberg矩阵。
对称上Hessenberg矩阵是一个具有类似三对角矩阵结构的对称矩阵。
2. 在转化得到的对称上Hessenberg矩阵上应用QR迭代，不断迭代直到矩阵的对角线元素基本上收敛于特征值。
3. 在每次QR迭代中，我们通过施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization）来构建Q矩阵，然后计算出新的矩阵R，并将其与Q相乘，得到下一次迭代的矩阵。
4.在QR迭代的最后一步，我们得到了一个上三角矩阵，其对角线上的元素即为所求的特征值。
5. 然后，我们可以通过反复应用幂迭代法（power iteration method）来求解对应于这些特征值的特征向量。
幂迭代法是一种求解线性代数特征向量的数值方法。
通过上述方法，我们可以求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
这种方法具有较高的数值稳定性和计算效率，因此在实际求解中被广泛采用。
需要注意的是，在特征值和特征向量的计算过程中，可能会出现一些特殊情况。
比如矩阵中的主对角线元素不是严格递增或递减的时候，对于这种情况，我们需要进行一些额外的处理。
三对角行列式计算公式推导
三对角行列式计算公式推导要推导三对角行列式的计算公式，我们首先需要定义三对角矩阵。
一个n×n的矩阵A是三对角的，如果它的非零元素只在主对角线上以及位于主对角线上方和下方的相邻两条对角线上。
一个三对角矩阵的一般形式如下：a1b10c2a2b200c3a3b3...0 0 cn an bn其中，ai, bi 和 ci 分别表示第i个主对角线和位于主对角线上方和下方的对角线元素。
det(A) = a1 * a2 * a3 * ... * an - 1 * an - (b1 * c2 * a2 * a3 * ... * an - 1) - (b2 * c3 * a3 * a4 * ... * an - 1) - ... - (bn - 2 * cn - 1 * an - 1 * an)推导过程如下：设三对角矩阵A的行列式为det(A)。
我们可以通过对A的第一列使用行列式展开式来推导det(A)的计算公式。
根据行列式的定义，展开式如下：det(A) = a1 * M11 - b1 * M12其中，M11是去除A的第一行和第一列后的(n-1)×(n-1)的子矩阵的行列式，M12是去除A的第一行和第二列后的(n-1)×(n-1)的子矩阵的行列式。
我们可以继续展开M11 和 M12 的行列式，直到展开到1×1 的子矩阵。
在展开的过程中，我们会发现只有b1 * c2 * ... *bn - 1 * an - 1 这一项才会保留下来。
通过这个过程，我们可以得到以下递推关系：det(A) = a1 * M11 - b1 * M12=a1*(a2*M21-b2*M22)-b1*(c2*M21-a2*M23)=a1*a2*M21-a1*b2*M22-b1*c2*M21+b1*a2*M23=a1*a2*M21-a1*b2*M22+a2*b1*M23-b1*c2*M21继续展开，我们得到：det(A) = a1 * a2 * M21 - a1 * b2 * (a3 * M31 - b3 * M32) + a2 * b1 * (c3 * M32 - a3 * M33) - b1 * c2 * M21-a1*b2*a3*M31+a1*b2*b3*M32-a2*b1*c3*M33这一过程可以继续下去，直到展开到最后一个(n-1)×(n-1) 子矩阵的行列式，此时我们只剩下最后一个主对角线上的元素an。
三对角矩阵计算
三对角矩阵计算
唐达
【期刊名称】《高等学校计算数学学报》
【年(卷),期】1997(19)2
【摘要】1 引言在数值计算中,有许多问题最后归结为三对角矩阵的计算,因此研究它们的计算方法是有意义的。
此外,有些三对角阵的计算方法可以做为带状阵计算的借鉴。
本文讨论三对角线性方程组的解耦算法,矩阵的LR^(-1)分解,求行列式,Jacobi矩阵的特征值与特征向量的关系以及三对角阵求逆等方面的问题,与现有的算法比较,本文的算法具有计算量或存贮量较少,或计算精度较高,或编程较简单等某些特点。
设A为n阶非奇实三对角阵:
【总页数】8页(P97-104)
【关键词】三对角矩阵;数值计算;矩阵;误差分析
【作者】唐达
【作者单位】上海电机专科学校数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
1.三对角线性方程组的循环规约对角占优算法 [J], 李太全;肖柏勋
2.严格对角占优的对称块三对角矩阵的逆 [J], 连培培;畅大为
3.求三对角和周期三对角矩阵逆矩阵的一种新算法 [J], 余承依;陈跃辉;赵立群
4.三对角对称正定阵及三对角对称M阵的逆特征值问题 [J], 廖安平
5.一种三对角矩阵的相似对角化及其应用 [J], 张兴刚;曹磊
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求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）摘要在特征值计算问题上，QR方法具有里程碑意义。
QR 方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。
QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。
特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解。
关键词：特征值；特征向量；QR分解Solve Real Symmetry Three Diagonal Matrix Eigenvalue AndEigenvectorABSTRACTValues in the feature, the QR method has milepost sense. QR method is a transformation method, is the calculation of the general matrix ( small and medium-sized matrix ) one of the most effective methods of eigenvalue problems. The QR method has fast convergence, algorithm stability. Because the eigenvalues and eigenvectors can reveal some important properties of matrix from the nature, and thus obtain their exact solutions is very important, but the calculation is very complicated mathematical problems. Especially when the high rank of matrix, the calculation is very large, and is not easy to find the exact solution.Key words:eigenvalue; eigenvector; QR decomposition目录1 绪论 (1)1.1 问题重述 (1)1.2研究方法 (1)2 QR方法 (3)2.1 QR分解的概念 (3)2.2 Givens方法 (3)2.3豪斯霍尔德方法（镜像变换） (5)2.2.1 Householder 矩阵和Householder变换 (5)2.2.2QR算法 (6)3 QR算法C实现过程 (8)3.1主要参数 (8)3.2组成模块 (8)3.3程序改错 (8)4 测试运行 (11)参考文献……………………………………………………………………………….…….. 附录…………………………………………………………………………….……………..1 绪论1.1 问题重述（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用QR 方法求实对称三对角矩阵全部特征值和特征向量的通用子程序。
数学与应用数学专业论文三对角矩阵的逆的算法及matlab实现
2014届学士学位毕业论文三对角矩阵的逆的算法及MATLAB实现学号：12204431姓名：任荣珍班级：12级专升本班指导教师：崔艳星专业：数学与应用数学系别：数学系完成时间：年月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《》是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院数学系或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。
所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院数学系有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。
学位论文指导教师签名：时间摘要三对角矩阵在现实生活中有很多的应用，因此三对角矩阵的计算近年来被广泛地研究。
分块周期三对角矩阵在科学和工程计算方面应用广泛，块三对角矩阵和分块带状矩阵在数学、物理和工程上的很多问题中都有重要的应用。
本文基于三对角矩阵的结构特点，给出了利用解线性方程组的方法、LU 分解的方法求三对角矩阵逆矩阵的新算法，这些新算法运算量小，节省内存，在整个计算过程中，只需要进行较少次的乘除运算，新算法比传统算法的计算复杂度和计算时间要低。
其次，通过算例来表示该算法的有效性和可行性。
最后，利用MATLAB编程来实现三对角矩阵逆矩阵的新算法。
关键词：分块周期三对角矩阵；块三对角矩阵；分块带状三对角矩阵；解线性方程组；LU分解法；逆矩阵；MATLABTriple diagonal matrix inverse algorithm andMATLABAbstractTriple diagonal matrix in real life there are many applications, so the triple diagonal matrix calculation was widely studied in recent years. Block periodic triple diagonal matrix is applied widely in science and engineering calculation, and the block triple diagonal matrix block banded matrices in mathematics, physics and engineering has important applications in many of the problems, in this paper, based on the structure characteristics of triple diagonal matrices, is given by using the method of solving linear equations, the recursive method, LU decomposition of the new method to calculate the inverse matrix of triple diagonal matrix algorithm, the new algorithm computational complexity is small, save memory, in the whole computing process, only needs less arithmetic, a new algorithm than the traditional algorithm of computing complexity and computing time.Second by an example to show the feasibility and effectiveness of the algorithm Finally, using MATLAB to realize the triple diagonal matrix inverse matrix of the new algorithmKey words:Block periodic triple diagonal matrix; Block-triple diagonal matrix; Block banded triple diagonal matrix; Solution of linear equations; LU decomposition method; inverse matrix; MATLAB.目录1.引言 (1)2.基础知识 (2)2.1 定义1[1] (2)2.2 定义2[2] (2)2.3 定义3[3] (2)3.分块周期三对角矩阵逆的新算法 (3)3.1 分块三对角矩阵的一些性质 (3)3.2 求分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法 (5)4.块三对角矩阵的逆的算法 (7)4.1 块三对角矩阵的一些性质 (7)4.2 块三对角矩阵的逆 (8)4.2.1 块三对角矩阵逆的性质 (8)5.三对角矩阵逆元素的表示 (10)5.1 一般三对角矩阵 (10)5.2 用解线性方程组的方法求三对角矩阵的逆的算法 (11)5.2.1[5]基本原理与算法 (11)5.2.2[5]三对角矩阵A的逆矩阵的算法 (13)6.三对角矩阵逆的算法的MATLAB实现 (14)7.结束语 (14)8.参考文献 (14)附录 (14)致谢 (14)1.引言1.1 课题来源及选题意义三对角矩阵是计算数学的重要组成部分。
三对角矩阵公式推导
三对角矩阵公式推导我们先定义一个三对角矩阵，记作A：\[A = \begin{bmatrix}a_1 & b_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\c_1 & a_2 & b_2 & 0 & \dots & 0 \\0 & c_2 & a_3 & b_3 & \dots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\0 & \dots & 0 & c_{n-2} & a_{n-1} & b_{n-1} \\0 & \dots & 0 & 0 & c_{n-1} & a_n \\\end{bmatrix}\]我们想要找到一个矩阵B，使得A可以通过B的逆和B相乘得到。
如果我们能够找到相应的B，那么我们就可以得到A的逆矩阵。
通过观察，我们可以发现这个三对角矩阵有一些特点。
首先，对角线上的元素是$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$，即A的主对角线元素。
其次，A的上方对角线元素是$b_1, b_2, b_3, \dots,b_{n-1}$，下方对角线元素是$c_1, c_2, c_3, \dots, c_{n-1}$。
其他位置的元素都是零。
我们再来观察相应的矩阵B。
B的对角线上的元素是$b_1, b_2, b_3, \dots, b_{n-1}$，B的上方对角线元素是$c_1, c_2, c_3,\dots, c_{n-1}$，下方对角线元素是$c_1, c_2, c_3, \dots, c_{n-1}$。
其他位置的元素都是零。
根据矩阵乘法的定义，我们可以将矩阵B的逆矩阵写成如下形式：\[B^{-1} = \begin{bmatrix}d_1 & e_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\f_1 & d_2 & e_2 & 0 & \dots & 0 \\0 & f_2 & d_3 & e_3 & \dots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\0 & \dots & 0 & f_{n-2} & d_{n-1} & e_{n-1} \\0 & \dots & 0 & 0 & f_{n-1} & d_n \\\end{bmatrix}\]要得到A的逆矩阵，我们需要通过B的逆和B相乘。
数值分析实验报告之追赶法求三对角矩阵
xi yi ui xi1 , i n 1, ,1 ，显示求解结果，过程结束。
实 验 总 结
本次试验也是针对求解线性方程组解的问题。当一个矩阵的结构比较特殊时，利用 特殊的方法进行对待，这样可以提高解题的速度，本次实验所针对的一类矩阵是比较特 殊的， 因此用了追赶法进行求解。 因为对实验的核心算法有所了解， 在编程实现的时候， 基本上没有遇到算法的逻辑错误。在网上找到了几组实验数据，我分别对它们进行了测 试，在确定结果无误之后，然后求解老师实验所给数据。本次实验使我对线性方程组的 求解有了进一步的认识，增加了一种方程组的求解方法，对更加深入的学习线性方程组 有很大的帮助。
u1 ci y yi 1 c1 y , y1 1 , ui , yi i , i 2, , n 1, b1 b1 bi ui 1ai bi ui 1ai
yn
yn yn1an ，然后求解 xi yi ui xi 1 , i n 1, ,1 。 bn un1an
实验原理
b1 c1 x1 y1 x1 u1 x2 y1 x u x y a2 b2 c2 x2 y 2 2 2 3 2 化为 x an1 bn1 cn 1 xn1 y n 1 u n 1 xn y n 1 n 1 an bn xn y n xn y n
实验步骤
Step5:
方程组，过程结束，否则转到 Step5:； 2i；
Step6: 计算; ui ci / bi ui1ai , yi ( yi yi1 ) / bi ui1ai Step7: 判断 i 是否大于 n ，若是，转到 Step8，否则，令 r 1 r ，返回 Step6。 Step8:
数学-简单三对角矩阵矩阵行列式的基本探究
简单三对角矩阵矩阵行列式的基本探究张云鹏 ()指导教师：李厚彪【摘要】三对角矩阵的行列式的计算在行列式的计算中占据特殊地位,由于三对角矩阵具有明显的规律性但其行列式运算又有一定的难度经常成为出题的热点，本篇小论文给简单三角矩阵行列式运算做出基本解法，并通过三对角矩阵得到一组Cos 〔nx 〕与Sin(nx)的简明展开公式。
【关键词】三对角矩阵; 矩阵; 数列递推; 三角函数; 斐波那契数列1. 引言在进行行列式计算之前我们先探究一下斐波那契数列通项公式的计算方法。
例1、现已知斐波那契数列满足如下关系：()01111,1,,1n n n F F F F F n +-===+≥，试求其通项公式。
解：易知对于1、2项为任意值但满足()11,1n n n F F F n +-=+≥的数列的加法与数乘满足线性空间八条条件。
则存在满足()11,1n n n F F F n +-=+≥的两个数列{}n a 、{}n b 。
他们的任意;(k 0)nn a kb =≠不恒成立。
则任意{}n c 中的任意一项12n n n c k a k b =+使恒成立。
鉴于()11,1n n n F F F n +-=+≥的递推形式，我们不妨设数列{}n a 、{}n b 为两组几何级数，其公比分别为1q 、2q ；且()1nn a q =、()2nn b q =根据()11,1n n n F F F n +-=+≥可列方程n n-1n-2q =q +q ，化简可知2q -q-1=0。
又因为011,1F F ==，可求得12k k == 经计算可知15q=2±，则nnn n 1+51-5a =b =22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，。
又因为011,1F F ==，可求得12k k ==则斐波那契数列的表示为1122n n n F ⎡⎤⎛⎛⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦我们简化上述求法为特征方程法。
并可以广泛运用在三对角矩阵矩阵行列式的计算中。
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长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练三对角矩阵的简单计算
系（部）：信息与计算科学
专业：数学与应用数学
学号： 2009031105
学生姓名：尹锋霖
成绩：
2012 年６月
三对角矩阵的简单计算
尹锋霖
长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022
摘要：三对角行列式是一类特殊而常见的行列式，其计算灵活多样，本文给出三对角行列式的两种特殊的计算方法和证明．
关键词：三对角行列式，递推法，差分法
1 引言
1．简本文主要介绍三对角行列式两种简单计算方法，然后给与证明，对以后行列式的计算有很大的帮助．
2．文献[1]，主要研究了三对角行列式的递推法、差分法、数学归纳法和拆行（列）法这四种计算方法．文献[2]，主要研究了三对角行列式及其运用，主要讨论了利用递归方程得到了计算了计算三对角行列式的一般方法，然后研究三对角行列式在线性代数及组合数学中的应用．文献[3]，主要是在给出了三对角行列式的几种算法，利用三对角行列式证明了两类Chebyshev 多项式的几种显式．
3，本篇文章主要总结了三对角行列式的两种简单计算与证明． 定义1 形如
111
222333111
000000000000
n n n n n
b a
c b a c b a D c b a c b ---=
的n 阶行列式叫做三对角行列式．
2 两种方法对三对角行列式的求解
2.1 递推法
递推法可分为直接递推和间接递推．用直接递推法计算行列式n D ，依次从
123n D D D D →→→→ 逐级递推便可以求出
n
D 的值；间接递推的做法是，借助于行
列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组，从而消去1n D -就可解得n D ．
例１ 计算ｎ阶行列式
000000000000
n a b c a b c a b D c a b c
a
=
．
因此有
()1
1
2
2
4;
1,
4;
2n n n n
a a a bc D a n a bc ++⎧
+--≠=⎪⎛⎫
⎪+= ⎪⎪⎝⎭
⎩
．
证明 设det n n D T =按第一行展开得
12n n n D aD bcD --=-． （1）
取p ，q
为方程20x ax bc -+=的根，即
2
a p +
=
，2
a q -=
，
则式(1)可改为
112()n n n n D pD q D pD ----=-．
注意到
2
21D pD q
-=，
可递推求得
1n
n n D pD q
--=，
从而
11
2
1
1
2
,4;(1),4;
n n n n n n
n n p q a bc D p p
q pq
q p q
n p a bc ++--⎧-≠⎪=++++=-⎨⎪+=⎩
，
从而得到
()1
1
2
2
4;
1,
4;
2n n n n
a a a bc D a n a bc ++⎧
+--⎪≠=⎪⎛⎫
⎪+= ⎪⎪⎝⎭
⎩
．
证毕．
例3 计算下面行列式
4104
410
4
4
A =．
2
4414=⨯⨯ ， 3
4(31)322A ⎛⎫
∴=+⨯= ⎪⎝⎭
．
2.2 差分法
首先由行列式n D 得到一个一般的递推公式
12n n n D pD qD --=+．
然后把该关系看作一个差分方程，求出特征方程
2
0p q λλ-+=
的两个根12,λλ,则
112212()n
n
n D C C λλλλ=+≠，
或
1212()n
n D nC λλλ==．
最后从由12,D D 得到的一个方程组中解出常数12,C C ,从而求出行列式n D 的值． 例3 计算n 阶行列式
000000000000
n a b a b
a b a b a b a D b a b a b
a b
+++=
++
．
解 按第一列展开得
()
1100000000()0000
n n n a b a b
a b a b a b a D a b D b
b a b a b
a b
--+++=+-++
()12()3n n a b D abD n --=+=≥．
即有递推关系
12()(3)
n n n D a b D abD n --=+=≥．
令,p a b q ab =+=-．由特征方程20p q λλ-+=得到两个特征根12,a b λλ==． 若a b ≠，则112212n n n n n D C C C a C b λλ=+=+，由2212,D a b D a ab b =+=++， 有
122222
12
a b C a C b a ab b C a C b +=+⎧
⎨++=+⎩． 1
1
12,;n n n
a b a
b
C C D
a b
a b
a b
++-=
=
∴=---．
若a b =，则特征方程有相等实根12a λλ==，这时
112212n
n
n
n
n D C nC C a nC b
λλ=+=+，
代入12,D D 解方程组可得
121(1)n
n C C D n a
==⇒=+．
因此有
11
,(1),n n n n a b a b D a b
n a a b
++⎧-≠⎪
=-⎨⎪+=⎩
．
参考文献
[1] 卢潮辉．三对角行列式的计算［J ］．漯阳职业技术学院学报，2010，9(2)：1-4. [2] 杨胜良．三对角行列式及其应用［J ］．工科数学，2002，18(2)．
[3] 杨胜良．三对角行列式与Chebyshev 多项式［J ］．大学数学报，2006，22(6)1-6：． [4] 徐仲，张凯院，陆全．矩阵类的快速算法［M ］．西北：西北工业出版社，1999： [5] 王萼芳,石生明.高等代数［M ］．北京：高等教育出版社,2003：。