高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
《二项式定理》教学设计
《二项式定理》教学设计
《《二项式定理》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
1.知识与技能：
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.
2.过程与方法：
(1)通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式.
(2)引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依.
3.情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨.通过二项式定理的发现、推广、证明及杨辉三角历史的了解，进一步激发学生的学习兴趣，培养对科学的探究与钻研精神，渗透爱国主义教育。
4.活动体验：
通过教师提出问题并引导学生主动探究、解决问题的过程，让学生在教学活动中主动发现、大胆猜想、主动发展，达到提高学习能力与渗透情感教育的目的。
《二项式定理》教学设计这篇文章共1217字。
《二项式定理》教学设计
《二项式定理》教学设计
一、教学目标
1、学习二项式定理的概念；
2、掌握二项式定理的证明方法；
3、熟练运用二项式定理计算阶乘。
二、课前准备
1、准备教学案例：“抛掷次数为n的骰子，其中点数之和为k，求出满足条件的概率”；
2、准备课堂活动：利用抽签游戏，引导学生理解二项式定理；
3、准备实物：骰子；
4、准备实践活动：利用抛掷骰子实验验证二项式定理。
三、课堂教学步骤
第一步、引入
1、介绍课题：二项式定理（一）；
2、简单介绍二项式定理的概念：其是指当抛掷次数为n的骰子时，点数之和为k的概率，可以表示为n个“1”和“0”的排列组合，其中“1”代表抛掷出的点数为6，“0”代表抛掷出的点数不为6第二步、活动
1、布置抽签游戏：将班上学生分成2组，每组各抽取一张纸片，纸
片上分别写有“1”和“0”，由学生们举手抽签，当每组中有n个学生均
抽出“1”或“0”时，分数比较高的组即为胜利组；
2、进行讨论：根据抽签游戏，引导学生们讨论，抛掷次数为n的骰子，其中点数之和为k，求出满足条件的概率；
第三步、演示
1、讲解二项式定理：说明抛掷次数为n的骰子，其中点数之和为k。
高中数学《二项式定理》教学设计
高中数学《二项式定理》教学设计教学目标：1.理解二项式定理的概念和公式；2.掌握二项式定理的应用方法，能够将其用于多项式展开和计算；3.培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
教学重点：1.二项式定理的概念和公式；2.二项式定理的应用方法。
教学难点：1.二项式定理的应用方法；2.数学推理能力的培养。
教学准备：1.教材《高中数学》；2.黑板、彩色粉笔；3.教学投影仪。
教学过程：Step 1 引入（5分钟）1. 在黑板上写出“(a+b)² = a² + 2ab + b²”这个式子，让学生观察这个式子有什么特点。
2.引导学生思考，当我们展开一个形如“(a+b)ⁿ”的式子时，会得到怎样的结果。
Step 2 概念讲解（10分钟）1.分析上面提到的式子，得出一个结论：“当一个多项式的指数为2时，展开后的结果是一个三项式”。
2.引入二项式的概念：“若为任意正整数n，a和b为任意常数，则(a+b)ⁿ展开后得到的多项式称为二项式。
”3.引入二项式定理的公式：“对任意正整数n，有(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿ·b⁰+C(n,1)aⁿ⁻¹·b¹+C(n,2)aⁿ⁻²·b²+...+C(n,n-1)a¹·bⁿ⁻¹+C(n,n)a⁰·bⁿ。
”4.解释公式中的C(n,k)为组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
Step 3 示例讲解（15分钟）1.通过一个具体的示例，将二项式定理的应用方法展示给学生。
2.示范展开一个二项式“(a+b)³”。
3.计算C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3)的值。
4.将计算结果代入公式，展开“(a+b)³”。
Step 4 练习（20分钟）1.让学生尝试展开不同次数的二项式，并听取他们的答案。
2.提示学生根据二项式定理的公式，计算组合数的值，并将其应用于展开计算中。
人教版高中数学《二项式定理》教学设计(省级一等奖)
课题：§1.3.1二项式定理（人教A 版高中课标教材数学选修2-3）《二项式定理》教学设计一、教学内容解析《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．二、教学目标设置新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题．2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力．3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感．三、学情分析１．有利因素授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助．２．不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程．四、教法策略分析遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学．本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程．五、教学过程引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：2()+=a b ？ 3()+=a b ？ 4()+=a b ？那么9()?a b +=……n b a )(+的展开式是什么？【设计意图】学生的学习遵循“历史发生原理”，把二项式定理发现的历史融入新课导入，既能引起学生的兴趣，符合新课程理念，还能提升课堂品味．创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习环境．数学的来源，一是来自数学外部现实社会的发展需要；二是来自数学内部的矛盾，即数学本身发展的需要．这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其中，为后面的研究做好铺垫．（二）体验感知 探究归纳1．归纳特点总结规律．【设计意图】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察．只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论．也只有对得出各种结论进行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析．2．项的结构特点．（学生叙述展开过程中各项是如何形成的．如果学生的叙述中没有说明从每个因式中取一个字母相乘得到展开式的项，老师提出预备问题：展开式的各项是由同一个因式中的字母相乘得到的吗？） 师：根据多项式乘法法则，()na b +的展开式就是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项． 【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础，同时也为用组合数表示系数创设情境．而学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅．通过教师强调多项式乘法法则，让学生思维建立旧知识与新知识联系，为下面系数的确定做好铺垫．3．项的系数特点．本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析．该问题的提出，符合学生的思维发展规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法．（三）知识建构 形成定理)()(*110N n b Cb a C b a C a C b a n n n k kn k n n n n n n ∈+++++=+-- —— 二项式定理证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -，它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．二项式定理的公式特征：①展开式中每一项的次数都是n ；②展开式共1n +项；③按照字母a 降幂排列，次数由n 递减到0，字母b 升幂排列，次数由0递增到n ；④k n k k n C a b -是展开式的第1k +项； k n k k n C a b -叫二项展开式的通项，用1k T +表示．⑤各项的系数(0,1,)k n C k n = 叫二项式系数．【设计意图】先由学生独立完成，然后组织讨论．完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力．在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数．（四）巩固新知 提升能力【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数，培养学生的运算能力．设计题目考察学生的学习情况,各个题目设计的比较有梯度，逐渐加大难度，符合学生的认知水平．（五）回顾反思 归纳总结知识方面：二项式定理，通项，二项式系数；思想方法：从特殊到一般；观察——归纳——类比——猜想——证明．【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法．（六）课下作业 思维延伸一、P 36: 1~3二、1.求12(3的展开式的中间一项； 2.求x -101(1)2展开式中含x51的项的系数． 思维延伸： 探究()5a b c ++的展开式中22a b c 的系数．【设计意图】通过课下作业使学生深入理解知识，培养学生的创新精神、增强主动探究的意识和能力．六、板书设计教学设计说明高中数学的学科价值在于以下三个方面：传递初等数学知识；进行逻辑推理训练；培养学科精神．数学学习的关键在于理解，重视知识的形成过程，而不是死板的公式应用．新课标指出：学生的学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式．因此，课堂教学中应该是“用教材”，而不是“教教材”，教师要敢于放手，营造宽松的教学氛围，关注学生的主体参与、师生互动、生生互动，着重培养学生研究数学的意识和发展数学的能力，提升学生提出问题、研究问题的能力，竭尽全力培养学生探索创新的意识．在这过程中，要努力把表现的机会让给学生，让学生在直接体验中构建自己的知识体系．本节课堂教学中，遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，分为：创设情境、探究归纳、知识建构、巩固新知、归纳总结五个阶段．努力使学生有足够的思维活动体验，教师根据学生的思维特征和认知规律，在学生数学学习经验的基础上去设置问题．例如本节中，由特殊到一般的数学思维方法，需要对特殊情形进行观察归纳．要想提高归纳的准确性，就需要较多的实例进行观察．特别是“组合知识的运用”，当n 较小时，学生意识不到用组合的知识解释项的系数．只有当n 较大时，各项系数的确定才能凸显出组合知识的优势．因此，在题目设置时，准备了2()+a b ，3()+a b ，4()+a b 三个展开式让学生观察归纳，否则关于“组合知识的运用”就成了教师的告知．问题解决是数学教育的核心，课堂教学中，在学生原有认知的基础上，设置“好”的问题串是非常重要的，因为教师对问题设置如何，直接决定了学生的思维方向和思维深度，教学中以问题为主线，由问题驱动，激发学生探究结论的欲望，使学生的思维始终处于“提出问题、解决问题”的状态中．本节课在“多项式乘法法则”“组合知识的运用”两个方面，学生无法自主完成思维方法的提升，教师通过设置恰当的问题引导学生分析思维过程，为学生在理论层面总结提升．在探究的环节，教师的作用是“激活”而不是“告知”，要把隐藏在学生思想深处的思维方法引导出来．教师作为学生数学探究活动的设计者、活动实施的调控者，直接影响和决定了学生的学习热情及课堂效果．本节课中，课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力．学生能学到很多数学经验：在二项展开式探究过程中，运用组合理解算理、利用数列知识理解通项、运用赋值法得到相关结论等，渗透数学学习的策略与方法，在组织学生数学探究中，积极动手、动脑，实现思维建构、不断积累数学经验，从而形成自主探究的学习习惯，达到理想的教育教学效果．点评《二项式定理》作为一节命题课，更应该重视学生数学素养的培养，良好思维品质的生成．何磊老师深读课标和教材，清晰制定了具体可测的教学目标，深刻挖掘了二项式定理的数学本质；结合学生的认知基础和心理特点，设计了层层递进数学问题；以学生为主体，给学生足够的思考空间和辨析研讨的机会，激发了学生深层次的思考；何老师数学功底扎实，教学功底雄厚，教学有张有弛，当学生需要帮助时，给学生隐性的帮助，在关键时刻又有恰当和明确的概括提升．其教学特色主要体现在：1.突出核心内容，深挖数学本质作为计数原理的应用，提示我们这是挖掘二项式定理数学本质的根源．但在大量的课堂观察中发现，很多老师规避这一教学难点，仅从外在形式上分析和记忆．导致学生在用二项式定理解决问题时，难以有效的迁移．何老师则是充分理解教材和学生的基础上，充分地运用计数原理分步、分类的教学思想，有效的化解了这一重点和难点．2.目标明确具体，问题层层递进高效率的课堂，必须有具体可测的教学目标和具体可操作的数学问题．何老师的这节课主要围绕a b展开式中项的形式和项的系数，展开问题驱动，使学生始终围绕这一核心展开思考，使学生的()n思维始终处于不断的“提出问题、解决问题”的状态中，认知结构和解决问题的能力在潜移默化中得以提升．3.关注学生主体，激发深层思考学生探究意识强烈，学习积极性高．何老师在这节课所设计的问题以及围绕这些问题所进行的铺垫，为学生的数学探究活动营造了浓郁的学习环境和气氛，通过让学生口述、板书、交流讨论等形式使学生成为课堂学习的主人，激发了学生深层次的思考，从而深化对知识的理解．4.高效驾驭课堂，适时概括引领作为课堂的设计者和组织者，既要重视学生的主体，也不能忽视教师的概括引领．何老师的教学设计高观点，教学展开低起点，教学概括明确适时．尤其是数学思想方法渗透到位．何老师十分重视数学思想方法的渗透，以问题为载体，通过观察、归纳、类比、猜想、证明，教给学生运用数学思想方法分析、解决问题的思维策略，使数学思想方法的运用植入学生数学思维体系．思维的升华从有价值的思考开始，学生良好的思维品质的培养，需要教师高水平的预设和高水平的驾驭生成．我觉得何老师很好的诠释了二项式定理，并带学生较好的领悟了二项式定理的本质，是一节好课．。
高中数学《二项式定理》教学设计
高中数学《二项式定理》教学设计本教学设计是一节高中数学二项式定理的课程。
在这个课程中，学生将学习到如何使用二项式定理来解决一些关于组合的问题。
通过本教学设计，学生能够理解二项式定理在实际应用中的作用，掌握其应用方法。
同时，本教学设计还包括教师准备的教学资源、学生所需的前置知识以及课程结束后的检测和评估活动，以帮助学生加深对知识点的理解并实现有效的学习评估。
学生目标：学生能够理解二项式定理的概念及其应用，掌握使用二项式定理解决组合问题的方法。
教师准备为了保证课堂的流畅性和有效性，教师需要准备以下教学资源：1. 展示设备：电子白板、投影仪2. 课程材料：讲义、PPT3. 展示数学公式的软件4. 课堂练习、作业和答案学生前置知识在学习二项式定理之前，学生需要掌握以下知识：1. 排列组合基本概念2. 梅钦公式3. 复合概率教学过程1. 引入（5分钟）为引入二项式定理的概念和应用，教师可以提出以下问题：问题一：如果我们有一个10次独立试验，并且每次试验成功的概率为0.6，那么在这10次试验中，恰有6次成功的概率是多少？问题二：在有6个截然不同的装置中，每个装置都有一个潜在的缺陷，其中两个装置可以顺利地工作而且没有缺陷。
如果我们从这些装置中任选2个进行测试，那么至少一个缺陷装置被测试的概率是多少？在这个部分，教师会将学生引入二项式定理的概念：对于某些正整数n和非负整数k，我们可以计算：(1+x)^n = C(n,0)x^0 + C(n,1)x^1 + C(n,2)x^2 + … + C(n,n)x^n其中，C(n,k)表示由n个不同元素产生的大小为k的组合数。
Pascal 公式为C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。
3. 演示应用（20分钟）在这个部分，教师会把二项式定理的应用展示给学生，例如计算二项式系数、捆绑系数、概率分布等。
在这个部分，为帮助学生更好地掌握二项式定理的应用方法，教师会让学生在小组内自行解决几个组合问题。
人教版高中选修(B版)2-31.3二项式定理教学设计 (2)
人教版高中选修(B版)2-31.3二项式定理教学设计
一、教学目的
通过教学设计，让学生了解二项式定理的定义和性质，掌握二项式定理的应用方法，加深对二项式定理的理解和记忆。
二、教学重点
1.二项式定理的定义和性质；
2.二项式定理的应用方法。
三、教学难点
1.二项式定理的应用；
2.数学语言的转化和表述。
四、教学过程
1. 导入（5分钟）
向学生提出以下问题：22，23，24，……，210的结果是多少？请计算。
学生计算之后，教师简要讲解幂的概念，引出二项式定理的概念。
2. 学习1（10分钟）
•教师简述二项式定理的定义和性质；
•鼓励学生在教师提示下完成小组内讨论：如何理解二项式定理的定义和性质？在什么条件下，二项式定理能够被使用？
3. 学习2（30分钟）
•教师给出多个二项式定理的应用实例，供学生进行思考；
•学生和教师一起合作，归纳总结应用二项式定理的方法和步骤；
•学生分组完成书本上的练习题，加深应用二项式定理的能力。
4. 总结（5分钟）
•教师通过示例，要求学生掌握二项式定理的定义、性质和应用理解；
•教师要求学生在课后进行个人思考和总结，梳理知识点和重点应用。
五、教学评价
1.以课堂小组合作完成的讨论题目，展现学生的团队合作精神；
2.根据教师提供的实例，学生能够运用二项式定理进行问题的解答；
3.学生能够熟练地进行数学语言的转化和表述。
二项式定理教学设计高三
二项式定理教学设计高三一、教学目标1. 理解二项式定理的定义和基本性质。
2. 掌握二项式定理的运用方法。
3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
4. 培养学生对数学问题的兴趣和探索精神。
二、教学重点1. 掌握二项式定理的展开和应用。
2. 培养学生的数学思维和运算能力。
三、教学难点1. 帮助学生理解二项式定理的证明过程。
2. 培养学生抽象思维和推理能力。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问和讲述引导学生回顾高中阶段已学习的数学知识，如排列组合、多项式等内容。
然后向学生介绍今天的学习内容：二项式定理。
2. 概念解释（10分钟）教师通过示意图和具体例子，向学生阐述二项式定理的概念和基本性质。
帮助学生理解二项式定理是将两个数相加或相乘的展开式。
3. 二项式定理的展开（15分钟）教师通过板书和示范展示如何将二项式展开。
先给出一个简单的二项式，并指导学生按照二项式定理的公式进行展开。
然后通过一些具体的例子，让学生逐步掌握二项式定理展开的方法和技巧。
4. 二项式定理的应用（20分钟）教师通过实际问题和应用题，引入二项式定理的应用领域。
如组合数学、概率统计等。
通过解答一些实际问题，让学生认识到二项式定理在数学和实际生活中的重要性和应用价值。
5. 二项式定理的证明（20分钟）教师通过逻辑推理和数学推导，带领学生理解和证明二项式定理。
可以使用归纳法和数学归纳法等方法，引导学生参与证明的过程，提高学生的抽象思维和逻辑推理能力。
6. 练习和巩固（15分钟）教师设计一些练习题，让学生巩固和应用所学知识。
通过学生的练习，检验学生对二项式定理的掌握程度和运算能力。
7. 总结和拓展（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并给出一些延伸阅读和学习资料，鼓励学生在课后继续学习和探索。
五、教学评价1. 教师通过课堂讨论、学生练习和问题解答等形式，对学生的学习情况进行评价和反馈。
2. 鼓励学生积极参与课堂活动，发表自己的观点和思考。
高三数学下10.4二项式定理2教案.doc
课 题： 10．4二项式定理(二)教学目的：12.展开式中的第1+r 项的二项式系数rn C 与第1+r 项的系数是不同的概念教学重点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用教学难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=二、讲解范例：例1．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例2．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例3．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x +∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈，∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．例4．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T 三、课堂练习： 1．6)x2x (+展开式中常数项是（ ）A.第4项B.464C 2C.46C D.22．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是（ ） A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.1024 3．7)21(+展开式中有理项的项数是（ ）A.4B.5C.6D.74．设(2x-3)4=44332210x a x a x a x a a ++++，则a 0+a 1+a 2+a 3的值为（ ）A.1B.16C.-15D.15 5．113)x1x (-展开式中的中间两项为（ ） A.5125121111,C x C x - B.695101111,C x C x - C. 513591111,C x C x - D.5175131111,C x C x -6．在7)y 31x 2(-展开式中，x 5y 2的系数是 7．=++++nn n 2n 21n 0n C 3C 3C 3C Λ 8. 203)515(+的展开式中的有理项是展开式的第 项 9．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是10．1032)x x 3x 31(+++展开式中系数最大的项是答案：1．通项r r 236r 6rr6r 61r 2xC )x2(xC T --+==，由4r 0r 236=⇒=-，常数项是44652C T =，选（B ）2．设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是10242/)2(2)1(f )1(f 11-=-=-+，选C 3．通项2r r 7rr71r 2C )2(C T ==+，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选（A ） 4.C 5.C 6.3224; 7.4n; 8.3,9,15,21 9．(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为310．(1+3x+3x 2+x 3)10=(1+x)30中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T 16=151530x C .四、小结 ：1．三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性；2．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 五、课后作业：六、板书设计（略）七八、课后记：。
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大.较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明.解决方案：通
过对（a b）3的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般的展开式进行 刻画.
基于上述情况，本节课的教学难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律.
教师4：根据你所计算的结果，填对应表格.
学生4:发现项数、项的次数、项的系数并猜
想：
(a ■ b)n_-oan■、an°b补…:;:'\an^b^…:%b
引导学生通 过对特殊情 形的观察， 归纳猜想一 般情形的基 本特征.
教师引导， 学生根据所 得具体的展 开式，从展 开式中的项 数、项的次 数、项的系 数等角度进 行归纳，并 根据归纳所 得猜想一般 的展开式的 结果.
（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机 会去落实． 在二项式定理的教学中， 从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开 式的规律是进行数学抽象教学的很好机会； 同时利用组合计数模型证明二项式定理， 以及利 用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会.
二、目标和目标解析
目标：
（1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项 式定理．
（2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式 定理的简单应用．
（3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模 型培养学生数学建模素养．
考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点.
在教学过程中，重视二项式定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽
象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范.因
此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.
五、教学过程与设计
(a b)3与 佝bi)(a2b?)® bs)是什么
关系？
学生6:当at=a2=a3=a,d=b2=b3=b
时，佝bi)(a2b2)(a3bs) = (a b)3.
教师7:提出问题：
探究 佝bi)(a2b2)(a3 • d)展开式的特
占
八、、♦
学生7:利用图形计算器的CAS功能中
expand()函数，得出 佝■bi)(a2■6)任b3)的
教 学 环 节
问题或任务
师生活动
设计意图
［问题1］有人说
(1 -x)70的展开式中
有x47项，你认为对
吗？若有，它的系数是
多少?
［问题2］为了解决问题
1,需要用到(a-b)n的
展开，你认为这个展开
式式会怎样呢？
教师1:提出问题1.学生1：学生思考.
教师2:提出问题2.
学生2:学生思考.
教师3：观察(a b)>(a b)>(a b)>
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示•为了让学生通过观察、
归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台•因此，在教学过程中使用TI-图形
计算器.既可以解决多项式乘法的复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学
习状态中来.
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学•问题的设置给学生留多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二 项式定理符合学生的认知规律． 但归纳概括的结论， 如果不加以严格的证明不符合数学的基 本要求．因此， 在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论， 还能为证 明二项式定理提供方法．
（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列 的通项帮助理解与应用， 学生很难短期内对定理有深入的认识．因此， 通过一些特例， 建立 二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．
2•教学问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题•这不仅是
本节课的重点，也是教学难点.解决方案：通过比较多项式（ai• bi）（a2■ b2）（a3-d）展开
式中项与项的异同点，得出（a b）n的展开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容.
3•教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题•学生很容易把发现二项式展
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(a b)>(a b)的展开式，你能得到哪些规
律？
学生3:利用图形计算器CAS的expand()函数, 得出(a-b)3、(a b)4、(a-b)5的展开式.
问题引入.
提出问题.
回 顾 刖 知
引
出
猜
想
展开式
特点
(ct+£?)3=a+b
{a+b^=/ +3dTfr-i-3o&2+F
=a4++
(a+i}:=aE+So't+lOtf ft3+10u1£jJ++0
二项式定理（第
一、内容和内容解析
内容：二项式定理的发现与证明．
内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多 项式乘法的特例， 是初中所学多项式乘法的延伸， 此内容安排在组合计数模型之后， 随机变 量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．
由于二项式定理的发现， 可以通过从特殊到一般进行归纳概括， 在归纳概括过程中还可 以用到组合计数模型， 因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽 略的价值．教学中应当引起充分重视．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理.
三、教学问题诊断分析
1•教学问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又
较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，解决运算问题是
本节课的第一个教学问题. 解决方案：运用图形计算器的代数运算功能， 可以让学生快速得 到正确结果，让学生把主要精力用在观察、发现规律上.
学生体会由 特殊到一般 的归纳猜想 的过程.
教师5:提出问题3.学生5：引起思考，并提出想法.
教师6:提出问题：
在(a•b)3_，°a3：：.*•.ia2b：：.*.2ab23b3
中，为什么"o =1，二・i=3，-2=3，
探 寻 规 律
获 得 结 论
'3=1”？
学生6：展开式计算，寻找答案.
教师7:提出问题：