流形学习专题介绍共73页文档
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流形学习1. 什么是流形1. 两个例⼦：现在我们想表⽰⼀个圆，在平⾯直⾓坐标系中，这个圆可以被⼀个⼆维点集{(x,y)| x^2 + y^2 <=R^2}表⽰。
所以圆是⼆维的object在极坐标系中，这个圆可以这样表⽰：圆⼼在原点，然后给定半径R。
所以圆是⼀维的object上述描述可以画个两个图(更加形象，有助于理解)2. 流形的定义：流形学习的⼀个观点：任何现实世界中的object均可以看做是低维流形在⾼维空间的嵌⼊(嵌⼊可以理解为表达)，举例说：圆是⼀维流形在⼆维空间的嵌⼊，球是⼆维流形在三维空间的嵌⼊（三维坐标系中的球可以⽤⼆维的经纬度来表达）流形学习的观点是认为，我们所能观察到的数据实际上是由⼀个低维流形映射到⾼维空间上的。
由于数据内部特征的限制，⼀些⾼维中的数据会产⽣维度上的冗余，实际上只需要⽐较低的维度就能唯⼀地表⽰。
我个⼈的感觉：这个好像是个拓扑变换的感觉，你看到的是⾼维的数据点，但是可以借助⼀些拓扑变换，转化为低维的表达(但是这种低维表达要确保某些“合理性”)2. 流形有什么⽤1. outline数据⾮线性降维刻画数据的本质2. 流形⽤于数据降维⾼维空间有冗余，低维空间没冗余。
也就是说，流形可以作为⼀种数据降维的⽅式。
传统很多降维算法都是⽤欧⽒距离作为评价两个点之间的距离函数的。
但是仔细想想这种欧⽒距离直觉上并不靠谱。
“我们只是看到了三维数据，就要⽤三维坐标系内的尺度去对事物进⾏评价？”总觉得有些怪怪的。
举例来说：你要测量从⼴州到深圳的距离，有两种做法：（1）基于已有的经纬度地图体系，拿个卷尺到地球仪上固定两点做个测量；（2）构建关于地球的三维坐标系，在地球上这两点之间打洞连个直线测量。
现任正常⼈都是选择第⼀种⽅案。
再⽐如我们想基于距离对⼴东省内所有⼩城市进⾏聚类，聚合形成⼏个超⼤城市，这个时候你⽤的距离当然是地表距离（⽤经纬度体系构建的⼆维地图来计算距离），⽽不会说要根据三维坐标系下的两点之间的欧⽒距离⽽对于降维算法来说，如果使⽤传统的欧⽒距离来作为距离尺度，显然会抛弃“数据的内部特征”。
流形
在阵列信号处理中微分几何的作用1、介绍在过去的十几年里，出现了显著研成源定位算法的传感器阵列信号处理，最终在子空间为基础的方法，其中渐近表现出无限的发展的分辨率，并因此也被称为“超分辨率”的算法。
该基于子空间的测向（DF）算法的操作主要涉及分割空间的观察到相互正交的信号和噪声子空间和搜索的阵列流形的响应向量其倒在信号子空间或可等价地，正交于噪声子空间。
阵列歧管的概念是基本的子空间类的DF算法和被定义为所有的反应的位点该阵列在可行集源方向的到达（DOAS）的向量。
在一个方位仅DF系统的情况下，例如的线性阵列，该阵列歧管在复杂的N维空间C N，其中N是数的曲线阵列的传感器，而对于一个方位角仰角的DF 系统，例如平面阵列，该阵列歧管是表面在C N。
在超分辨DF阵列系统性能的阵列流形的意义强烈支持，需要一个严格的分析。
阵列歧管的性质使得微分几何的技术特别适合于该任务。
为了便于理解，方位角仅DF系统将首先予以考虑。
在这种情况下，该阵列歧管是一个曲线嵌入在C N和信号源然后可使用此曲线的一个简单的搜索定位。
很显然，如果歧管曲线跨越或者其自身，那么这两个反应或歧管的载体是不可区分的，相对于一个信号子空间，虽然它们对应于光源从不同的方向照射。
当歧管载体是两种或更多种歧矢量的线性组合，另一个不可解析的情况出现。
这种现象被称为“模糊问题”，是异常的歧管曲线的结果。
可以设想，较长的歧曲线，越容易产生这种异常的情况;然而，这也意味着，歧管的载体应更广泛地间隔开，因此它是容易接近信号源之间进行区分的，即，相应的数组显示更好的检测，分辨率和DOA估计能力。
从前面的讨论中，有如下的阵列流形决定了相应的数组的检测，分辨率DOA 估计和模糊性的表现。
这些影响的定量分析需要微分几何方法应用到阵列流形。
本文的结构如下。
在第2节，整个文件中使用的符号约定都和远场窄带无源阵列信号处理模型的定义相同。
此外，线性和平面阵列歧管的形式定义所提供的同时，在第3节，微分几何的阵列流形应用的结果。
多流形
• 经典的MDS算法
• Node-Weighted MDS算法
思想1：Manifold Clustering
• K-manifolds可以聚
类互相相交的多流形， 但是不能应用于分离较 远的多流形。原因在于 算法中要计算测底距离 矩阵，不能处理不连通 数据。
思想2：谱聚类
• SMMC（Spectral Multi-Manifold Clustering）
n
n
2
2qT ( D W )q
再定义一个 L 矩阵
L D W
L 称为拉普拉斯矩阵，W 为权重矩阵（也称邻接矩阵），D 为度矩阵
w (q q )
i 1 j 1 ij i j
n
n
2
2qT Lq
Spectral Clustering 谱聚类
Laplacian矩阵
1 n n q Lq wij (qi q j ) 2 0 2 i 1 j 1
许多高维采样数据都是由少数几个隐含变 量所决定的。比如人脸采样由光线亮度, 人离相机的距离, 人的头部姿势, 人的脸 部肌肉等因素决定。 这些高维采样数据存在于一个低维流形上， 人的认知过程就是基于这种低维流形的。
流形学习就是要根据有限的离散样本学习和 发现嵌入在高维空间中的低维光滑流形，揭 示隐藏在高维数据集中的内在低维结构，重 构并进行非线性维数约简或者可视化。
n
n
2wij qi q j 2qi
i 1 j 1 i 1
n
n
n
2
w
j 1
n
ij
2qT ( D W )q
其中D为对角矩阵
n
Dii wij
j 1
通俗易懂流形
通俗易懂流形一、引言在数学中，流形是一种抽象的概念，它是一种具有局部欧几里得空间特征的空间。
流形广泛应用于物理学、计算机图形学、机器人学等领域。
本文将从流形的定义、分类和性质三个方面详细介绍流形。
二、定义1. 拓扑流形拓扑流形是指满足以下条件的拓扑空间：（1）Hausdorff空间：任意两点都可以被开集分离；（2）第二可数性：存在可数拓扑基；（3）局部欧几里得：每个点都有一个邻域同胚于欧几里得空间。
2. 光滑流形光滑流形是指在拓扑上是拓扑流形，在微分结构上具有光滑结构的对象。
即对于每个点，存在一个邻域同胚于欧几里得空间，并且这个同胚映射具有光滑性。
3. 流形之间的映射设M和N是两个流形，若存在一个连续双射f:M→N，且f和其逆映射都光滑，则称f为从M到N的光滑同胚映射。
三、分类1. 维数流形的维数是指流形中每个点局部欧几里得空间的维数，可以是有限维或无限维。
有限维流形称为曲面、曲线等，无限维流形称为函数空间、Banach空间等。
2. 连通性连通性是指流形中不存在分离开的部分。
具有连通性的流形称为单连通流形，否则称为多连通流形。
3. 奇异性奇异性是指在拓扑上不能被拉成平的特殊点或子集。
具有奇异性的流形称为非定向流形，否则称为定向流形。
四、性质1. 奇异同调群奇异同调群是一种测量拓扑空间中“孔洞”的工具。
对于一个n维拓扑空间X，其第i个奇异同调群Hi(X)描述了X中所有i维“孔洞”的数量和结构。
2. 切丛和余切丛切丛和余切丛是描述流形上切向量和余切向量的工具。
对于一个n维光滑流形M，其切丛TM描述了M上每个点处的切向量空间，而余切丛T*M描述了M上每个点处的余切向量空间。
3. 黎曼度量黎曼度量是描述流形上距离和角度的工具。
对于一个n维光滑流形M，其黎曼度量g(x)是在每个点x处定义的对称正定二次型，它描述了M上每个点处的内积结构。
五、总结本文介绍了流形的定义、分类和性质。
流形是一种具有局部欧几里得空间特征的空间，可以用于描述物理学、计算机图形学、机器人学等领域中的问题。
流型学习L.pdf
三、现代算法的新进展图谱
SOM=>CCA =>CDA MDS => Isomap=> C-Isomap L-ISOmap (Local ，Landmark) L-MDS（Local MDS，Landmark MDS） LLE => Laplacian Eigenmap Kernel Methods:Kernel-PCA, Kernel-LDA
Semantic analysis of Text docs. By NMF
LLE缺陷分析
1、数据点的局部邻域参数K或epcilon的选择理论 指导； 2、没有给出对于未见新样本的处理方法; 3、LLE所能处理的流形类型是什么？
4、Kernel PCA
Suppose: Eigen decomposition:
局限性分析 Only discover linear degrees of freedom
全局线性结构假设 vs. 非线性数据集[相关是线性 意义下]
独立性假设 vs. 时序依赖性等[协方差计算] 大样本学习 vs. 小样本学习[相容性、稳定性]
二、现代算法的介绍
MDS (Multidimensional Scaling) Sammon’s map Triangulation SOM (Self-Organization Map)
一、经典算法的回顾
Data Presentation： PCA (Matrix method &Data Method)
Local-PCA[缺陷，非全局性]
FA (Factors Analysis) CCA (Canonical Correlation Analysis) Data Classification： LDA (Linear Discriminative Analysis)
流形学习方法介绍
Lawrence Cayton lcayton@ June 15, 2005
Abstract
Dimensionality reduction has other, related uses in addition to simplifying data so that it can be effiManifold learning is a popular recent approach to ciently processed. Perhaps the most obvious is vinonlinear dimensionality reduction. Algorithms for sualization; if data lies in a 100-dimensional space, this task are based on the idea that the dimensional- one cannot get an intuitive feel for what the data ity of many data sets is only artificially high; though looks like. However, if a meaningful two- or threeeach data point consists of perhaps thousands of fea- dimensional representation of the data can be found, tures, it may be described as a function of only a then it is possible to “eyeball” it. Though this may few underlying parameters. That is, the data points seem like a trivial point, many statistical and machine are actually samples from a low-dimensional manifold learning algorithms have very poor optimality guarthat is embedded in a high-dimensional space. Man- antees, so the ability to actually see the data and the ifold learning algorithms attempt to uncover these output of an algorithm is of great practical interest. parameters in order to find a low-dimensional repreBeyond visualization, a dimensionality reduction sentation of the data. In this paper, we discuss the procedure may help reveal what the underlying forces motivation, background, and algorithms proposed for governing a data set are. For example, suppose we are manifold learning. Isomap, Locally Linear Embedto classify an email as spam or not spam. A typical ding, Laplacian Eigenmaps, Semidefinite Embedding, approach to this problem would be to represent an and a host of variants of these algorithms are examemail as a vector of counts of the words appearing in ined. the email. The dimensionality of this data can easily be in the hundreds, yet an effective dimensionality reduction technique may reveal that there are only a 1 Introduction few exceptionally telling features, such as the word Many recent applications of machine learning – in “Viagra.” data mining, computer vision, and elsewhere – require deriving a classifier or function estimate from an extremely large data set. Modern data sets often consist of a large number of examples, each of which is made up of many features. Though access to an abundance of examples is purely beneficial to an algorithm attempting to generalize from the data, managing a large number of features – some of which may be irrelevant or even misleading – is typically a burden to the algorithm. Overwhelmingly complex feature sets will slow the algorithm down and make finding global optima difficult. To lessen this burden on standard machine learning algorithms (e.g. classifiers, function estimators), a number of techniques have been developed to vastly reduce the quantity of features in a data set —i.e. to reduce the dimensionality of data. 1 There are many approaches to dimensionality reduction based on a variety of assumptions and used in a variety of contexts. We will focus on an approach initiated recently based on the observation that highdimensional data is often much simpler than the dimensionality would indicate. In particular, a given high-dimensional data set may contain many features that are all measurements of the same underlying cause, so are closely related. This type of phenomenon is common, for example, when taking video footage of a single object from multiple angles simultaneously. The features of such a data set contain much overlapping information; it would be helpful to somehow get a simplified, non-overlapping representation of the data whose features are identifiable with the underlying parameters that govern the data. This intuition is formalized using the notion of a manifold:
通俗易懂流形
通俗易懂流形一、引言1.1 任务背景流形是拓扑学中一个重要的概念，对于理解空间的形状、结构和性质具有重要意义。
然而，对于非数学背景的人来说，理解流形的概念常常是一件困难的事情。
因此，本文旨在以通俗易懂的方式介绍流形的概念，并深入探讨其基本性质和应用。
1.2 流形的定义在数学中，流形是一种局部上与欧几里德空间同胚的拓扑空间。
简单来说，流形可以看作是一种具有平滑结构的空间，它在局部上与我们熟悉的欧几里德空间类似。
流形可以是一维、二维、三维甚至更高维度的，具有各种各样的形状。
二、流形的性质2.1 流形的维度流形的维度是指流形的拓扑维度，它可以是整数或实数。
一维流形可以看作是一条曲线，二维流形可以看作是一个曲面，而三维流形可以看作是我们熟悉的三维空间。
流形的维度可以帮助我们理解流形的结构和性质。
2.2 流形的局部特征流形在局部上与欧几里德空间同胚，这意味着在流形上的每一点都存在一个与之相对应的欧几里德空间中的点。
我们可以使用局部坐标系来描述流形上的点，这种描述方式可以帮助我们理解流形的局部性质。
2.3 流形的全局结构流形的全局结构可以通过连接不同局部坐标系的变换关系来描述。
这些变换关系被称为流形上的坐标变换，它们具有平滑性和可逆性的特点。
通过研究流形的坐标变换，我们可以揭示流形的整体结构和属性。
2.4 流形的测地线在流形上，我们可以定义测地线来描述物体在流形上的运动轨迹。
测地线是沿着流形上曲线的最短路径，类似于欧几里德空间中的直线。
测地线具有很多有趣的性质，它们可以帮助我们理解流形的几何性质和运动规律。
三、流形的应用3.1 流形在物理学中的应用流形在物理学中有广泛的应用，特别是在描述时空结构和引力场的理论中。
爱因斯坦的广义相对论就是基于流形的概念建立的，它揭示了时空的曲率与物质分布之间的关系。
流形理论在量子场论、粒子物理学和宇宙学等领域也有重要应用。
3.2 流形在计算机科学中的应用在计算机科学中，流形在图像处理、模式识别和机器学习等领域发挥着重要作用。
流形学习概述
Overvie w of manif old learning
XU Ro ng ,J IAN G Feng , YAO Ho ng2xun
( School of Co mp uter Science and Technology , Harbin Instit ute of Technology , Harbin 150001 ,China)
m m
. LL E[ 6 ] 和 Iso map [ 5 ] 是 2 种有代表性的非线性
降维方法 . Roweis 和 Saul 提出的 LL E 算法能够实 现高维输入数据点映射到一个全局低维坐标系 , 同 时保留了邻接点之间的关系 , 这样固有的几何结构 就能够得到保留 . 此算法不仅能够有效地发现数据 的非线性结构 ,同时还具有平移 、 旋转等不变特性 .
随着信息时代的到来 , 科研工作者在研究过程 中不可避免地会遇到大量的高维数据 , 如全球气候 模型 、 人类基因分布 、 文本聚类中的词频等 , 所以经 常会面临维数约简的问题 , 维数约简的目的是要找 出隐藏在高维数据中的低维结构 . 人脑也面临着同 样的问题 : 人脑在每天的感知活动中要从 3 万个听 觉神经的输入和 1 万个视觉神经的输入中抽取出有 意义的信息 . 从几何的观点来看 , 维数约简可以看成是挖掘 嵌入在高维数据中的低维线性或非线性流形 . 这种 嵌入保留了原始数据的几何特性 , 即在高维空间中
智 能 系 统 学 报 第1卷
map 发现了存在于高维空间中的潜在低维参数空
1) 投影法 : 寻找通过数据内部的主表面 , 比如
间 . Do no ho 等人利用人工合成的数据用 Iso map 算 法进行测试实验 , 实验结果表明 , Iso map 能够准确 地发现图像流形潜在的参数空间 ,并在自然图像 ( 人 脸图像) 中不同姿态和亮度等潜在的未知参数下也 可得到较好的结果 . Do no ho 等人还拓展了 LL E 算 法 ,提出 HLL E 算法 , 能够发现流形上局部的潜在 等距映射参数 . 张长水等人 在 LL E 的基础上提出 一种从低维嵌入空间向高维空间映射的方法 , 并在 多姿态人脸图像的重构实验中得到有效的验证 , 进 一步完善了非线性降维方法 . 由于已有的流形学习 算法对噪音和算法参数都比较敏感 , 詹德川 、 周志 华 [ 10 ] 针对 Iso map 算法 ,提出了一种新方法 ,通过引 入集成学习技术 ,扩大了可以产生有效可视化结果 的输入参数范围 , 并且降低了对噪音的敏感性 . 另 外 ,赵连伟[ 11 ] 等人完善了 Iso map 的理论基础 ,给出 了连续流形与其低维参数空间等距映射的存在性证 明 ,并区分了嵌入空间维数 、 高维数据的固有维数与 流形维数这些容易混淆的概念 , 证明如果高维数据 空间存在环状流形 , 流形维数则要小于嵌入空间维 数 . 他们还给出一种有效的环状流形发现算法 ,以得 到正确的低维参数空间 . 特别地 , 周志华等