高考数学参数方程和普通方程的互化练习(20200618145037)

【参数方程和普通方程的互化】

例1求曲线（为参数）与曲线（为参数）的

交点．

解：把代入

得：两式平方相加可得

∴（舍去）

于是即所求二曲线的交点是（, －）．

说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时, 最好由参数方程组求解, 如果化为

普通方程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－, ）是增解．

例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且）

解法一：因, , 故

∴

设。取为参数, 则得所求参数方程

解法二：如图, （）为直线上的定点, 为直线上的动点．因动点M

与的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时, ；当M

在的下方或正左方时, ；当M与重合时, ）, 故取为参数．

过点M作y轴的平行线, 过点作轴的平行线, 两直线相交于点Q（如图）．则有∴

即为所求的参数方程。

说明：①在解法二中, 不必限定, , 即不必限定,

．由此可知, 无论中任意值时, 所得方程都是经过（）, 倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”．

②要充分理解解法二所示的参数的几何意义, 这对解决某些问题较为方便．

③如果取为参数, 则得直线参数方程

一般地, 直线的参数方程的一般形式是

（, 为参数）

但只有当且仅当, 且时, 这个一般式才是标准式, 参数才具有上述的几何意义．

例3求椭圆的参数方程．

分析一：把与对比, 不难发现, 可设

, 也可设

解法一：设（为参数）, 则

∴

故

因此, 所得参数方程是

（Ⅰ）或（Ⅱ）

由于曲线（Ⅱ）上的点（, ）, 就是曲线（Ⅰ）上的点（, ）, 所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点．

显然．椭圆的参数方程是

分析二：借助于椭圆的辅助圆, 可明确椭圆参数方程中的几何意义．

解法二：以原点O为圆心, 为半径作圆, 如图．设以轴正半轴为始边, 以动半径OA 为终边的变角为, 过点A作轴于N, 交椭圆于M, 取为参数, 则点M（）的横坐标（以下同解法一）．

由解法二知, 参数是点M所对应的圆半径OA的转角, 而不是OM的转角, 因而称

为椭圆的离角．（如果以O为圆心, 为半径作圆, 过M作, 交圆于B, 由可知也是半径OB的转角）．

例4用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数, 把圆化为参数方程。

分析：由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。

解：如图所示, 圆方程化为, 设圆与x轴正半轴交于A, 为圆上任一点, 过P作轴于B, OP与x轴正半轴所成角为, , 则：

又中,

∴

∴此圆的参数方程为

例5设（为参数）把普通方程化为以为参数的参数方程。

解：把代入原方程, 得,

解得

∴参数方程为（为参数）

∵与表示的是同一曲线, 所以它们是等价的, 可以省略一个。

∴所求参数方程

例6化双曲线为参数方程。

解：设, 代入为, 得

∴的参数方程为（为参数, ）

这是同学中较为常见的解法, 这种解法是错误的, 那么错在哪里呢？请你找出来。

错误在于, 双曲线上x的取值范围是不等于零的一切实数, 错解中得到的参数方

程中x的取值范围仅仅, 故错解中得到的参数方程只表示双曲线上一部分, 不符合普通方程与参数方程的等价性要求, 普通方程化为参数方程时关键是选择适当的参数, 注意使所得参数方程与原普通方程中变量x、y的允许值范围要保持一致。

下面给出正确解法：设, 代入得。

∴的参数方程为：（为参数, ）

例7化参数方程

（为参数）为普通方程。

分析一：用代入消元法, 从已知方程中解出参数, 代入后消去参数。

解法一：∵

∴即

将它代入（1）, 并化简得

（）

分析二：用整体消参法。注意表达式的分母相同, 而分子的平方和恰为原来相同的分母。

解法二：得

又∵∴

于是得所求普通方程为

即

分析三：因为, 所以。从表达式可联想万能公式。于是可用三

角变换, 然后利用三角公式再消参。

解法三：∵,

∴可令（, ）

又∵

于是得

得

即

∵, （）

∴（）

即, ∴

∴普通方程是（）

说明：解法一是用代入法消参, 解法二是整体消参法, 解法三是运用万能公式, 三角变换消参, 三种解法中都应注意的限制条件, 使参数方程化为普通方程时保持等价性。

例8将下列参数方程（其中, 为参数）化为普通方程。

（1）（2）（3）

解：（1）∵

∴（）为所求。

（2）由, 得（）

将它代入, 并化简得（）

另解：∵

并整理得

（）

（3）∵

且

∴所求普通方程为

说明：（1）小题是用三角公式变形后用代入法消参, （2）是用代入（消元）法消参变形后整体消参, （3）小题是通过代数变换法消参。但都应特别注意等价性。

例9对于方程（a, b为常数）

（1）当t为常数, 为参数时, 方程表示何种曲线；

（2）当t为参数, 为常数时, 方程表示何种曲线

解：（1）当t为常数, 原方程可变形为

两式平方相加得

即

这是以（a, b）为圆心, 为半径的圆。

（2）当为常数时,

由第一式得代入第二式得

即

这是过点（a, b）, 斜率为的一条直线

小结：同一参数方程, 由于参数不同, 所表示的曲线也不同, 消去参数化为普通方程后, 曲线的类型也就显现出来。

例10已知直线过点P（2, 0）, 斜率为。直线和抛物线相交于A、B两点, 线段AB的中点为M。求：

（1）线段PM的长；

（2）M点的坐标；

（3）线段AB的长

解：如图。

（1）由直线过点P（2, 0）, 斜率为。设其倾斜角为, 则有

可得直线的标准参数方程为：