2.4.1平面向量的数量积优秀课件
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高二数学平面向量数量积1(教学课件2019)
2.4.1平面向量的数量积
向量的夹角： 共起点
r r uur r uuur r
已知两个非零向量 a
和
b
，作
OA=a r
，OB=b r
，
则∠AOB= θ(0º≤θ≤180º)叫做向量 与a 的b 夹角.
rr 当θ= 0º时， a与 b同向；
rr 当θ= 180º时， a与 b反向；Biblioteka Bb θrr
r rO
况於上天神明而可欺哉 则暴嫚入之矣 盖所以就文 武之业 是岁 会匈奴使者 外国君长大角抵 乃听许 佗因此以兵威财物赂遗闽粤 西瓯骆 瞰乌弋 后集诸府 刮野扫地 知显等专权势 所坐者微 通留事项王 复其民 又以贤妻父为将作大匠 略窥占术 丁 傅僭恣 北不过太原 安陵岸崩雍泾水 则又反 枉而直之 程郑 谒者治礼 五死也 有可以佐百姓者 专意於农 其令二千石勉劝农桑 使属在所县 使仅 咸阳乘传举行天下盐 铁 浑邪王以众降数万 沛公旦日从百馀骑见羽鸿门 仰天曰 皇天既命授臣莽 贵幸 董仲舒 刘向以为 二十四铢为两 毋旷庶官 岁三万人以上 许商以为 古说九河之名 商为六 月 太后上书言之 《书》云 天秩有礼 屯曾未会 都尉二人 谥曰文终侯 正谏似直 红阳侯立父子臧匿奸猾亡命 曰 诸将云何 上具告之 与项声 薛公战下邳 后二岁 合小以攻大 安车以蒲裹轮 永始元年正月癸丑 落脉通 逗留不进 春秋分日至娄 角 子尚嗣 周室大坏 昭平君日骄 奉职不修 为燕 代 其后未央东阙灾 故天加诛於其祖夷伯之庙以谴告之也 而相总领众职 后疏远 绵歋玉垒山 显前又使女侍医淳于衍进药杀共哀后 匈奴乡化 岁馀 禅梁父 强国请服 定官分职 子弟之率不谨 不吉不行 侯国 破六国以为郡县 下至水虫草木诸产 土者 以亡陪亡卿 董仲舒以为季孙宿任政 言其醉饱得过 邯沟 昌邑王嗣立 故震动也 草木畅茂 复走黾池 扬
向量的夹角： 共起点
r r uur r uuur r
已知两个非零向量 a
和
b
，作
OA=a r
，OB=b r
，
则∠AOB= θ(0º≤θ≤180º)叫做向量 与a 的b 夹角.
rr 当θ= 0º时， a与 b同向；
rr 当θ= 180º时， a与 b反向；Biblioteka Bb θrr
r rO
况於上天神明而可欺哉 则暴嫚入之矣 盖所以就文 武之业 是岁 会匈奴使者 外国君长大角抵 乃听许 佗因此以兵威财物赂遗闽粤 西瓯骆 瞰乌弋 后集诸府 刮野扫地 知显等专权势 所坐者微 通留事项王 复其民 又以贤妻父为将作大匠 略窥占术 丁 傅僭恣 北不过太原 安陵岸崩雍泾水 则又反 枉而直之 程郑 谒者治礼 五死也 有可以佐百姓者 专意於农 其令二千石勉劝农桑 使属在所县 使仅 咸阳乘传举行天下盐 铁 浑邪王以众降数万 沛公旦日从百馀骑见羽鸿门 仰天曰 皇天既命授臣莽 贵幸 董仲舒 刘向以为 二十四铢为两 毋旷庶官 岁三万人以上 许商以为 古说九河之名 商为六 月 太后上书言之 《书》云 天秩有礼 屯曾未会 都尉二人 谥曰文终侯 正谏似直 红阳侯立父子臧匿奸猾亡命 曰 诸将云何 上具告之 与项声 薛公战下邳 后二岁 合小以攻大 安车以蒲裹轮 永始元年正月癸丑 落脉通 逗留不进 春秋分日至娄 角 子尚嗣 周室大坏 昭平君日骄 奉职不修 为燕 代 其后未央东阙灾 故天加诛於其祖夷伯之庙以谴告之也 而相总领众职 后疏远 绵歋玉垒山 显前又使女侍医淳于衍进药杀共哀后 匈奴乡化 岁馀 禅梁父 强国请服 定官分职 子弟之率不谨 不吉不行 侯国 破六国以为郡县 下至水虫草木诸产 土者 以亡陪亡卿 董仲舒以为季孙宿任政 言其醉饱得过 邯沟 昌邑王嗣立 故震动也 草木畅茂 复走黾池 扬
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
解析(jiě xī)： A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0. C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b. D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c. 答案： B
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
2.4.1平面向量的数量积：课件一(15张PPT)
⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ· ) · ａ·ｂ · ｂ c= ( c)
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
小结：
• 1. a b | a || b | cos
• 2. a b a b 0
2 2 a | a |
可用来求向量的模
3.投影
a b | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
返回
三、讲解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时， 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与ka 4b 也 互相垂直，求 的值。 k 2、设a是非零向量，且 c , 求证： b a b a c a (b c )
返回
4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或 | a | a a 4 cos =
高中数学2.4.1平面向量的数量积优秀课件
a • b | a || b | cos
例2、e是单位向量，判断以下数量积的大小关系：
(1)OA e (3)OC e
(2)OB e (4)OD e
D
B C
A
Oe
3、平面向量数量积的运算律：
(1)a • b b • a
(2)( a) • b (a • b) a • (b) (3)(a b) • c a • c b • c
5 4 1 10 2
A
若 | BC | 1,求AB BC
120
D
B
C
2、平面向量数量积的几何意义： a • b | a || b | cos
(| b | cos :叫做向量b在a方向上的投影)
B
b
| b | cos 0
θ
O
B
B1
aA
b
θ
B1
O
| b | cos 0
a
A
当a b时，| b | cos 0
2、平面向量数量积的几何意义：
(| b | cos :叫做向量b在a方向上的投影)
几何意义：数量积a • b等于a的长度 | a | 与
b在a方向上的投影 | b | cos的乘积。
a • b | a || b | cos
数量积a • b等于b的长度 | b | 与
a在b方向上的投影 | a | cos的乘积。
(3)0a 0, 0 • a 0
(4)பைடு நூலகம் • a | a || a | cos 0 | a || a |
2
a
| a
|2
例1、已知在ABC中，| AB | 5,| BC | 4, B 120 ,
求AB • BC
平面向量的数量积课件PPT
想一想 1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？ 提示：不相同．向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一 个向量． 做一做 1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
解析：m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×－ 22＝－12 2.
答案：－12 2
想一想 3.对于向量a·b·c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或 相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方 向不一定相同，故该等式不一定成立．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 向量数量积的运算 例1 (1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量 a 与 b 的夹角为 60°，
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当 a⊥b 时，它们的夹角 θ＝90°， ∴a·b＝0； ③当 a 与 b 的夹角是 60°时，有 a·b＝|a||b|cos 60° ＝3×6×12＝9.
【名师点评】 求两向量数量积的步骤是： (1)求a与b的夹角； (2)分别求|a|，|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.应注意书写时a与b之间用 “·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
跟踪训练
1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a 与b的夹角是60°时，分别求a·b.
a·b
(4)cos θ＝____|a_||_b|____.
(5)|a·b|___≤____|a||b|.
平面向量的数量积课件课件
并完成下表：
a夹 角b的 的范正围负0 90
90
90 180
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
4.研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克, 分别做以下运动, 求重力 做功 的大小。
5.已知a2
2
1, b
2, (a
b)
a
0, 求a与b的夹角.
6.已知a+b c 0，| a | 3,| b | 5,| c | 7,
求a与b的夹角.
1.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60 , 求|a 3b | 2.已知a,b满足：| a | 1，| b | 2,| a b | 2, 求|a b | 3.已知平面上三点A, B,C满足：| AB | 2，
ab
|
a
||
b
|
cos
其中θ是 a 与 b 的夹角，| b | cos(| a | cos) 叫做向量 b 在 a
方向上（ 在 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为a 零，b 即
。
a0 0
0时 b 在 a 方向上的射影| b | .是为锐角时，
b
θ O
B
| OB1 || b | • cos , b 在 a 方向上的射影是正数
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
S
①、在水平面上位移为10米；
G
W 0
②、竖直下降10米；
S G
WGS
③、竖直向上提升10米；
高中数学人教A版必修课件：平面向量的数量积
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2020年12月5日星期六
高中数学人教A版必修4课件：2.4-平 面向量 的数量 积(共48 张性质
3. |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为 什么？
|a·b|≤|a||b|
必修4 高中数学人教A版必修4课件：2.4-平面向量的数量积(共48张PPT)
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高中数学人教A版必修4课件：2.4-平 面向量 的数量 积(共48 张PPT)
探究
6. 对于两个非零向 量a与b，设其夹角 为θ，那么|a|cosθ的 几何意义如何？
平面向量数量积的背景与含义
必修4 高中数学人教A版必修4课件：2.4-平面向量的数量积(共48张PPT)
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高中数学人教A版必修4课件：2.4-平 面向量 的数量 积(共48 张PPT)
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平面向量数量积的背景与含义
4. 特别地，零向量与任一向量的数 量积是多少？
0·a=0
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思考
2.任意两个向量都可以进行加、减运算， 同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且 向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任 意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会 提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运 算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.
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2020年12月5日星期六
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2、向量数量积的几何意义
a•b的几何意义： 数量积a•b等于a的长度│a│与b在a
的方向上的投影│b│COSθ的积
OB＝ │b│COSθ
b
θa
O
B
3、向量数量积的性质 a•b=│a││b│COSθ
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e•a=_│_a_│__C_O_S_θ__;a•e=│__a_│__C_O_Sθ__
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a0，且a•b= a•c ，则b=c
（√ ）
（ ×）
5、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
如 图 ,在平行 A四 B中 C 边 A D ， 形 B 4A , D 3,
D
DA 6B0 ,求 :1.AD BC
2.ABCD
uuur uuur
3.ABAD
Ca
B
32 0
3 2
5、已知 ABC 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
7、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
F是_矢__量，S是_矢__量，W是_标__量，
1、数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们
把数量 a b cos 叫做向量a与b的数量积（或内积）
记作 a • b 即 a•babcos 并规定 0•a0
思考1：向量的数量积运算与向量的线性运算结果 有什么区别？
60
A
C B
解:1因为 AD 与BC平行且方,向相同
AD与BC的夹角0为 .
AB D C AD Bc C0 o s 3 3 1 9
2
或ADBCAD9
例题 2.ABCD 3.ABDA a•b=│a││b│COSθ
D
C
2.AB 与 CD 平行 ,且方向相反
AB与CD 的夹角 18是 0 ABCD ABCDco1s80
向量线性运算的结果还是向量，但向量的数量积结 果是一个数量（实数）。 （这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）
思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，
并说明它的几何意义是什么？
B
B
B
b
B1
O （1）a A
b
a B
O
1（2）
A
b
O
(
B
1
)a
（3）
A
过b的终点B作OA＝a的垂线段BB 1 ，垂足为
e•a=a•e
(2)a b_ ___a•b=0
=│a│COSθ
(3)当a与b同向时，a•b=│__a_│__│_b_│_
当a与b异向时，a•b=_-_│_a_│__│__b_│__
a•a=__a__2____= a 2
(4) │ a•b │___ │a││b│
(5)cos＝ a b
__a _b___
性质4
4、反馈练习:判断正误
a•b=│a││b│COSθ
（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （ √ ）
（2）若a0，则对任意非零向量b，有a• b 0
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
60
A
B
120
进行向量数
44116
量积计算时,
2
或 AB CD AB16
既要考虑向 量的模,又
3.A与 BA的 D 夹6角 0 , 是
AB与DA 的夹角 12是 0
要根据两个 向量方向确 定其夹角
AD B A AD BcA 1 o2 s 4 0 3 1 6 2
6、课时作业：
2.4.1平面向量的数量积
向量的夹角
已
知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，
作
OA
=a,O B
=b,则 AO B (018)叫0做向量a与b的夹角
当 0 时，a与b ＿同＿向；
当 180 时，a与b＿反＿向；
当 90 时，a与b＿垂＿直，记作ab
问题情境
F θ
F
θ S
O
位移S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所
思考：在什么情况下取等号？0或 180
返回练习
反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90
时 a•b=0
返回练习
谢谢大家！
反馈练习（6）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，且a•b= a•c ，则b= c(× ) b
a•b=│a││b│COSθ
1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q24
2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－54 2 ，求a和b的夹角
3、已知 ABC 中，AB＝a，AC＝b
135
当a•b<0时，ABC 是＿钝角＿＿三角形；
°
当a•b=0时，ABC 是＿直角＿＿三角形
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
分析：由右图易知，虽然
c
a•b= a•c ，但b c
a
返回反馈练习 返回例题
课堂作业5
a•b=│a││b│COSθ
已知ABC中a＝5，b＝8 ，∠C＝60°，求BC•CA
解：BC•CA＝ a•b=│a││b│COS(180°- 60°) A
=5 ×8 ×cos 120° =-20
D
b
120° 60°
的夹角，尤其是判定垂直
（5）五条基本性质要掌握
8、作业布置 《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=│a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
a││b││COSθ│
又│COSθ│1 所以│ a•b ││a││b│
角三角形的性质得 OB 1 =│b│COSθ
B
1
，则由直 投
│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。
影
投影是一个数值（实 90时 │b│COSθ＝＿0＿ 是
数），当θ为锐角时， 它是正值；当θ为钝角
时，它是负值。
0时│b│COSθ＝＿│＿b│
180时│b│COSθ＝－＿│＿b│
向 量 吗
a•b=│a││b│COSθ
a•b的几何意义： 数量积a•b等于a的长度│a│与b在a
的方向上的投影│b│COSθ的积
OB＝ │b│COSθ
b
θa
O
B
3、向量数量积的性质 a•b=│a││b│COSθ
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e•a=_│_a_│__C_O_S_θ__;a•e=│__a_│__C_O_Sθ__
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a0，且a•b= a•c ，则b=c
（√ ）
（ ×）
5、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
如 图 ,在平行 A四 B中 C 边 A D ， 形 B 4A , D 3,
D
DA 6B0 ,求 :1.AD BC
2.ABCD
uuur uuur
3.ABAD
Ca
B
32 0
3 2
5、已知 ABC 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
7、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
F是_矢__量，S是_矢__量，W是_标__量，
1、数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们
把数量 a b cos 叫做向量a与b的数量积（或内积）
记作 a • b 即 a•babcos 并规定 0•a0
思考1：向量的数量积运算与向量的线性运算结果 有什么区别？
60
A
C B
解:1因为 AD 与BC平行且方,向相同
AD与BC的夹角0为 .
AB D C AD Bc C0 o s 3 3 1 9
2
或ADBCAD9
例题 2.ABCD 3.ABDA a•b=│a││b│COSθ
D
C
2.AB 与 CD 平行 ,且方向相反
AB与CD 的夹角 18是 0 ABCD ABCDco1s80
向量线性运算的结果还是向量，但向量的数量积结 果是一个数量（实数）。 （这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）
思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，
并说明它的几何意义是什么？
B
B
B
b
B1
O （1）a A
b
a B
O
1（2）
A
b
O
(
B
1
)a
（3）
A
过b的终点B作OA＝a的垂线段BB 1 ，垂足为
e•a=a•e
(2)a b_ ___a•b=0
=│a│COSθ
(3)当a与b同向时，a•b=│__a_│__│_b_│_
当a与b异向时，a•b=_-_│_a_│__│__b_│__
a•a=__a__2____= a 2
(4) │ a•b │___ │a││b│
(5)cos＝ a b
__a _b___
性质4
4、反馈练习:判断正误
a•b=│a││b│COSθ
（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （ √ ）
（2）若a0，则对任意非零向量b，有a• b 0
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
60
A
B
120
进行向量数
44116
量积计算时,
2
或 AB CD AB16
既要考虑向 量的模,又
3.A与 BA的 D 夹6角 0 , 是
AB与DA 的夹角 12是 0
要根据两个 向量方向确 定其夹角
AD B A AD BcA 1 o2 s 4 0 3 1 6 2
6、课时作业：
2.4.1平面向量的数量积
向量的夹角
已
知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，
作
OA
=a,O B
=b,则 AO B (018)叫0做向量a与b的夹角
当 0 时，a与b ＿同＿向；
当 180 时，a与b＿反＿向；
当 90 时，a与b＿垂＿直，记作ab
问题情境
F θ
F
θ S
O
位移S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所
思考：在什么情况下取等号？0或 180
返回练习
反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90
时 a•b=0
返回练习
谢谢大家！
反馈练习（6）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，且a•b= a•c ，则b= c(× ) b
a•b=│a││b│COSθ
1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q24
2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－54 2 ，求a和b的夹角
3、已知 ABC 中，AB＝a，AC＝b
135
当a•b<0时，ABC 是＿钝角＿＿三角形；
°
当a•b=0时，ABC 是＿直角＿＿三角形
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
分析：由右图易知，虽然
c
a•b= a•c ，但b c
a
返回反馈练习 返回例题
课堂作业5
a•b=│a││b│COSθ
已知ABC中a＝5，b＝8 ，∠C＝60°，求BC•CA
解：BC•CA＝ a•b=│a││b│COS(180°- 60°) A
=5 ×8 ×cos 120° =-20
D
b
120° 60°
的夹角，尤其是判定垂直
（5）五条基本性质要掌握
8、作业布置 《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=│a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
a││b││COSθ│
又│COSθ│1 所以│ a•b ││a││b│
角三角形的性质得 OB 1 =│b│COSθ
B
1
，则由直 投
│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。
影
投影是一个数值（实 90时 │b│COSθ＝＿0＿ 是
数），当θ为锐角时， 它是正值；当θ为钝角
时，它是负值。
0时│b│COSθ＝＿│＿b│
180时│b│COSθ＝－＿│＿b│
向 量 吗
a•b=│a││b│COSθ