初三培优——平行四边形和相似三角形的分类讨论

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相似三角形分类讨论

相似三角形专题一——分类讨论类型一：AX 分类讨论例1、如图，在中，ABC 8cm,16cm AB AC ==，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度向B 运动，同时点Q 从C 出发，以3cm/s 的速度向A 运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t ．（1）用含t 的代数式表示：AQ =_______；（2）当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动时间t =________1、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．(1)用含t 的代数式表示BP 、BQ ；(2)是否存在某一时刻t 的值，使△BPQ 的面积是△BAC 面积的14；(3)若以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值．2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D ，点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止运动，设运动时间为t 秒．(1)求线段CD 的长；(2)设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当t 为何值时，△CPQ 与△CAD 相似？请直接写出t 的值．二、直角三角形分类例2、如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？1、如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA 边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？2、如图，在平面直角坐标系中，点，点、分别在轴、轴的正半轴上，且满足．求点、点的坐标；若点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段由向运动，连接，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由．三、等腰三角形分类讨论例3、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．相似三角形专题二——三角形框四边形问题1、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GH∥EF交BC于点H．（1）求证：△AFG∽△ABC；（2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值．1、如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，求正方形MNPQ的边长．2、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG 在BC 上，另两个顶点E 、H 分别在边AB 、AC 上．（1）求BC 边上的高；（2）求正方形EFGH 的边长．相似三角形专题三——面积比问题例1.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则DEF S △：EFBC S 四边形为（）1、如图，在▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是____．2、如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若：：，则：．。

初三数学特殊的平行四边形图形的相似知识点

初三数学特殊的平行四边形图形的相似知识点平行四边形是一个有特殊性质的四边形，其边界任意两边两边互相平行并且长度相等。

在研究平行四边形的时候，我们可以遇到以下几种相似的图形：1. 直角共边平行四边形：这是一种特殊的平行四边形，其中两条边是相互垂直的，我们可以通过相似性来研究它们。

由于这是一个直角平行四边形，角度大小为90度，因此我们可以利用相似三角形的概念来研究其它相似性质。

2. 斜边相等平行四边形：这是另一种特殊的平行四边形，其中两条斜边的长度相等。

根据这个特点，我们可以得出这两个平行四边形的其它边长也相等。

利用这种相似性，我们可以得到它们的一些共同特征，例如周长、面积等。

3. 高度等比例平行四边形：对于两个平行四边形，如果它们的高度相等，并且这两个平行四边形是相似的，那么它们的边长之比也是相等的。

这个性质可以通过相似三角形的概念进行证明。

4. 底边等比例平行四边形：对于两个平行四边形，如果它们的底边之比等于它们的相似比，那么这两个平行四边形是相似的。

同样地，这个性质也可以通过相似三角形进行证明。

在研究平行四边形的相似性质时，我们可以利用各种几何定理和性质来进行证明。

相似性质不仅可以帮助我们推导出平行四边形的其他性质，还能扩展我们对几何形状的理解，为后续的学习奠定坚实的基础。

平行四边形是在我们初中数学中经常会遇到的一个图形，它有着独特的性质和特点。

而在研究平行四边形的过程中，我们经常会遇到一些特殊情况，这些特殊的平行四边形图形包含着一些相似的知识点。

首先，我们来讨论直角共边平行四边形。

直角共边平行四边形是一个有趣且特殊的平行四边形，其中两条边是互相垂直的。

这使得我们可以运用相似三角形的概念来研究它们。

在这种情况下，平行四边形的两对对角线相交于一点，并且形成四个直角三角形。

我们可以利用直角三角形的性质，如勾股定理和三角函数，来探讨直角共边平行四边形的周长、面积和各边之间的关系。

其次，我们来考虑斜边相等平行四边形。

例谈相似三角形分类讨论问题

想方法i 2021年第5期中学数学教学参考（下旬相似三角形分类讨论问题李松（四川省成都市石室天府中学）摘要：分类讨论是重要的数学思想。

分类讨论思想的关键是要清楚为什么要进行分类讨论和分类讨论的依据是什么。

分类讨论思想的培养，需要教师有一个长期的教学规划，为学生提供合适的分类讨论的情境。

关键词：分类讨论；相似三角形；动点问题；折叠问题文章编号：1002-2171 (2021)5-0063-02《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）指出，“分类讨论是一种重要的数学思想方法，教学时要通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟这种思想方法的精髓。

”例如，在学习“图形的相似”一章时，如果两个相似三角形未指明对应顶点，那么可能存在三种情况，此时需要分类讨论。

分类讨论思想的渗透是一个较长的过程，所以在教学活动中，教师需要精心准备适切的、足量的、螺旋上升的问题帮助学生积累活动经验，形成技能.从而使学生体会为什么要分类、如何分类等。

笔者下面以几个经典问题为例，就教学中哪类问题需l_ln(l+f)>l=ln e#0,所以在区间(工。

，|)内/(•T)无零点。

当:|，7r)时，jy^sin单调递减，:y=ln(l+*r)单调递减，则/(X)在区间(|，7t)内单调递减，/(7t)=0—ln(l+7T)<0,所以在区间(晋，K)内 /U)存在一个零点。

当 x6(7r，+°°)时，/(:c)=sin x_ln(1+x) 1—ln(1十7T)<C0 t旦成立，则/(工）在区间（t t，+°°)内无零点。

综上可得，/U)有且仅有2个零点。

7根的分布法对于特定的二次函数零点问题，利用根的分布来求解也是一个有效的途径。

要分类讨论做归纳整理。

1类型归纳1.1单动点运动的相似问题需要分类讨论单动点运动的相似问题是指一个点在某条直线上运动引起图形变化，而动点运动到某几个位置时，会产生相似三角形的情况。

相似三角形中的分类讨论实录加反思

无可奈何“落去”，似曾“相似”归来——“一题一课”模型下的相似复习课课堂实录与反思背景介绍“一题一课”，倡导一个题目上一节课，就是围绕着说题时抽到的那一题来上一节课。

我抽到的题是第18题，主要考查相似三角形的判定与性质，涉及到分类讨论。

这道题对学生来讲说不上难，因为从学生接触相似三角形开始就已经在接触这类题了；可也说不上简单，毕竟分类讨论不是每个学生都能理解的了的。

可光就这个题目讲上一节课，是根本不可能的。

对这课我最初的设想是由浅入深，先温习或做些铺垫性的问题，把起点放在相似三角形的判定的复习上，编制单一的不涉及分类的相似题目，再重点像讲课文例题那样去启发分析，最后拓展提炼。

因此刚开始花了大量的时间去寻找合适的题目，无果之后又尝试着自己去改编题目：赋予△ABC为等腰三角形的背景下，DE∥BC，在BC边上寻一点F，使△DEF与△ABC相似。

试上之后，这道题反响还不错，引入等方面修正完善一下就好。

杭州听课回来还没缓过神来连着清明放假三天，期间我仔细思考教学设计中的这道题目，总觉得偏离了“一题一课”的理念。

可是箭在弦上不得不发，没机会再试上再磨课了！比赛当天，心里还是隐隐觉得不好，于是开始两手准备：一方面将这个课再次仔细整理准备上课；另一方面再次去找寻其他题目，最终决定只将该题作为课后拓展题让学生拓展提升。

感谢教研组听课的同事，每一位都给出了非常宝贵的意见和建议，帮我不断修正与完善。

在磨课的过程中，我受益良多。

课堂实录师：今天这节课我们一起探讨相似三角形中的分类讨论。

首先我们拿出练习纸，动手画画看。

（媒体显示题目，学生动手作图）如图，△ABC中，AB=12，AC=15。

D为AB 边上一点，过点D作一条截线交AC于点E，使△ADE与△ABC相似，你能作出几条？请画出图形。

师：谁来说说看你是怎么画的？生：先做BC的平行线，交AC于点E。

还有一个是做的那条线和AD相等……师：做的那条线和AD相等？生：作AD=AE师：在AC上取一点E，使得AD=AE师：说说看你是怎么想的?（学生回答不出）为什么这种情况下这两个三角形相似？生：因为平行师：依据的是什么？生：相似三角形中（学生说不出来师补充）师：作DE∥BC时，就是说∠ADE与∠ABC相等。

相似三角形与平行四边形的关系

相似三角形与平行四边形的关系相似三角形与平行四边形是几何学中两个重要的概念。

它们在形状、性质和关系上都有着密切的联系。

本文将介绍相似三角形和平行四边形的定义以及它们之间的关系。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形指的是具有相同形状但可能有不同大小的三角形。

两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，对应边成比例。

具体表述为：对于三角形ABC和DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则三角形ABC与DEF相似。

相似三角形具有以下性质：1. 相似三角形的对应边成比例，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

2. 如果两个角分别相等，则剩余的一个角也相等，即如果∠A=∠D，∠B=∠E，则∠C=∠F。

3. 相似三角形的周长之比等于相应边长之比。

相似三角形在实际应用中有重要意义，例如在地图测绘、建筑设计以及几何推理中经常会用到相似三角形的性质。

二、平行四边形的定义与性质平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。

平行四边形的性质包括以下几点：1. 对边互相平行，即AB∥CD，AD∥BC。

2. 对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D。

3. 相邻内角互补，即∠A+∠B=180°。

三、相似三角形与平行四边形的关系相似三角形与平行四边形之间存在紧密的关系。

下面将介绍两者之间的几个重要关系：1. 平行四边形的对角线引出相似三角形。

平行四边形的两条对角线可以将平行四边形分成四个三角形。

这四个三角形中，两对共对角线的三角形是相似三角形。

具体来说，对角线AC与对角线BD引出的三角形ABC与ABD相似，对角线AB与对角线CD引出的三角形ABC与ACD相似。

2. 相似三角形的比例关系引出平行四边形。

设有两个相似三角形ABC和DEF，且有AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么可以得到四边形AFBE为平行四边形。

通常情况下，这个四边形称为"纵比例四边形"。

此外，可以通过逆向推理得到其他平行四边形。

2018中考相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)

Q △ AMNABC △ AEF ABC2018年中考复习相似动点分类讨论1•如图，已知一个三角形纸片 ABC , BC 边的长为8, BC 边上的高为6 , B 和 C 都为锐角，M 为AB 一动点(点M 与点A B 不重合)，过点M 作MN // BC ，交AC 于点N , 在△ AMN 中，设MN 的长为x , MN 上的高为h . (1 )请你用含x 的代数式表示h . (2)将厶AMN 沿MN 折叠，使△AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点 A 落在平面的点为A ,, △ AMN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为 y ,当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：(1) Q MN // BC △ AMN ABC - - h 3x 6 8 4 (2) Q △ AMN AMN △ A “MN 的边 MN 上的高为 h ,当点 A 落在四边形 BCNM 内或BC 边上时 c 1 S A AMN = — MN • h21 3 一 x •一 x2 4 ②当A 1落在四边形BCNM 外时，如下图(4 x 8),3 设厶A 1EF 的边EF 上的高为h 1，则h , 2h 6 -x 6 2 Q EF // MN △ A 1EF AMNS^ AEF SA ABC Q S A ABC1 6 8 242SA A 1 EF 24 3x 212x 242Q y S A A 1MN SA A 1EF3 2 3 29 2x -x 2 12x 24x 12x 24 828y9 2 -x 212x 248 (4 x 8)综上所述：当Ox < 4时， y 3x 2，取 x84 , y 最大6当4 x 8 时，y 9 2 -x 12x 24，取 x16 ,y 最大 883ACA 1Q 8 6当x 时，y 最大，y 最大832•如图，抛物线经过 A(4,0, B(1,0), C(0, 2)三点.(1 )求出抛物线的解析式；(2) P 是抛物线上一动点，过 P 作PM x 轴，垂足为M ，是否存在P 点, M 为顶点的三角形与 A OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标; 说明理由；将 A(4,0), B(1 ,0)代入,A B 两点.矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线h 、l 2上，顶点F 、点G 与点B 重合. (1 )求△ ABC 的面积；(2) 求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；(3) 若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0 < t < 12)秒，矩形DEFG 与厶ABC 重叠部分的面积为 S ,求S 关于t 的函数【答案】解：(1) Q 该抛物线过点 C(0, 2), 可设该抛物线的解析式为2axbx使得以A , 若不存在，得16a 4b 2 °，解得a b 2 0.12此抛物线的解析式为如图，设 P 点的横坐标为 m ，贝y P 点的纵坐标为m 2 m 2 ,2 2 当1 m4时, AM 4 m ,PM - 25 m - m 2 .2 2又QCOAPMA 90°①当耐AO 2 时，△ APMPM OC 1即4 m 2 1 2 5 -mm 2 •解得m 1 2, m 24 (舍去)，P(21) •k/Xra②当AM PMOC OA1时，△ APM CAO ，即 22(41 2 5 m) - m m 2. 2 2解得 mi 4 , m 2 5 (均不合题意，舍去)4 时，P(2,1).类似地可求出当 m 4 时，P(5, 2).当m 1时，P( 3,14) •综上所述，符合条件的点 P 为(2,1)或(5, 2)或(3,14).2 83.如图，已知直线|1 : y - x 一与直线l 2 : y 2x3 316相交于点C , h 、|2分别交 x 轴于G 都在x 轴上，且(2)存在.关系式，并写出相应的t 的取值范围.3由 16 0,得 x 8. 2x 4. A 点坐标为4,0 . 2 y 3X2X 8316. S A ABC 1AB-y C 2 (2) 又•••点 OE 8 (3) B 点坐标为 8,0 . • AB412.5,6. 占八、、的坐标为 5,6 1 12 6 2 36. 解：•••点D 在11上且x DE 在l 2 4 4,解法一: X B 8, Y D88. • D 点坐标为8,8 .3 上且Y E Y D 8, EF 8. 2X E 16 8. X E 4. • E 点坐标为4,8 .①当0 < t 3时，如图1,矩形 DEFG 与△ABC 重叠部分为五边形 CHFGR ( t Rt △RGB s Rt △CMB. 过C 作CMBG BM D2 E F M G B X(图1) 为四边形CHFG ) (图2)(图3)RG，即-RG ,••• RG 2t.CM 3 6 Q Rt A AFH s Rt AAMC ,S SA ABC S A BRGSA AFH36 t 2t8时，如图2,为梯形面积,2t一 3 001 28 2t 8 80 s — 4[ —(4 t) 8] t2 333332当8 t 12时，如图3,为三角形面积，s 1 刍(12 t) & 4823 34•如图，矩形 ABCD 中，AD 3厘米，AB a 厘米(a 3) •动点M , N 同时从B 点出发，分别沿 B A ，B C 运动，速度是1厘米/秒.过 M 作直线垂直于 AB ，分别交AN , CD 于P , Q •当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒. (1 )若a 4厘米，t 1秒，则PM __________ 厘米；(2) 若a 5厘米，求时间t ，使△ PNBPAD ，并求出它们的相似比； (3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形 P MBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围;(4 )是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形9 © 3 (a 1) -(a t) t t a __________ a 2 26aQt < 3,< 3，则 a < 6, 3 a < 6 ,6 a(4) Q3 a < 6时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则 CNX(a t) 3 t ，把t -6生代入，解之得a 2晶，所以a 243 • a 6 a形PQCN 的面积都相等？若存在，求【答案】解:(2) t 2， (3) Q PM △ AMP ABC ，(1) PM 3，4使△ PNBPAD ，相似比为3: 2 丄AB, CB 丄 AB, AMPPM AM BN AB QM当梯形 PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即ABC ， (QP PMt 口 ,Q PM a t(aAD)DQ2(MP BN)BMPMBN ，梯形 PQDA ，梯化简得t -6a -6 aPM所以，存在a ,当a ^.3时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等.5. 如图，已知△ ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t( s)，解答下列问题：(1 )当t= 2时，判断△ BPQ的形状，并说明理由；(2)设厶BPQ的面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式；(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时，△ APR s^ PRQ?【答案】解：⑴△ BPQ是等边三角形，当t=2时,AP=2 X 1=2,BQ=2 X 2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP又因为/ B=60,所以△ BPQ是等边三角形•⑵过Q作QE! AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t • sin60 0= . 31,由AP=t,得PB=6-t,1 1 l~3所以S A BPQ」X BP X QE)(6-t) X、3 t= —12+3 3t ;2 2 2⑶因为QR// BA,所以/ QRC M A=600,/ RQC M B=60°,又因为/ C=6(f,1 所以△ QRC是等边三角形，所以QR=RC=QC=6-2t因为BE=BQ cos60°= X 2t=t,2 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP// QR,EP=QR所以四边形EPRQ是平行四边形所以PR=EQ= 3 t,又因为/ PEQ=9& 所以/ APR=/ PRQ=90.因为△ APR-A PRQ,所以/ QPR/ A=6C°,所以tan 60°=塑，即6 2t . 3,所以t= 6,所以当t= 6时，△ PR J3t 5 5 APR-A PRQ6. 在直角梯形OABC 中，CB // OA, / COA = 90o, CB= 3, OA = 6, BA = 3 5.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.(1)求点B的坐标；(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD= 5, OE = 2EB ,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式；(3)点M 是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N.使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.(第26题图1)5件皿"恼干点U W ECJ/HH.:.MECsMRH. .................... .............. (4 分) ・•・06 = 21・•・点用的屮林为（2. 4）.・•• （5分） XV 点"於樂标为（0. 5）.i 殳门线t ）E 的箫折式为r =4r >6. 则｛乩；心・解絆"■寺・"5.・・・甲逖处的梆析式为；厂-鼻T(3)礙存在 ............................................................① 如图I •当Oh = MW = WV - AV) «$时.囚边后0DHN 为菱形. 作W 轴于点几M ”P 〃・仙• •・• △MPDs △刚0MP Pt) WD 业，“ I u “ …• •斎总而二 F Q *•'当「0 时.-yr *5x0. ttij x = 10, ••• F 点的坐标为 <l». 0).Of = 10.(£ R 心""中・劝=JO 小”卢・v S^VlO 2 =5 &・•・¥結" A 叫岳.点M 的型林为(-2js.)・A 点A 的生杯为(-2$. 5) •...................................... ② 如图 2. on = /ZV = XM 5 \f(f - 5 B41 pq 边形f"八初为菱毎.«R A W 交*釉于点几M vr 11M.•-•点"在血线y- -y* *5上・.・.设H 点坐标力(a, -yn*5), 庄 RlAOPM中.OP ♦ PM 1 =av\ 7°45) =5：,6 =4. a 2 =0 (命去).•・•虑”他圭标为(4 ")•-3妇图亍.W /J =：/>< = A7）nj t 边形加〃爪为旻呼・ifttAV.交OQ 1如・则・\WjO 〃兀郴乖口丫・分.；• y ・f 0。

课后培优练：27_2_1 相似三角形的判定(解析版)

姓名：班级27.2.1 相似三角形的判定全卷共24题，满分：100分，时间：60分钟一、单选题（每题3分，共36分）1．（2021·北京·牛栏山一中实验学校九年级月考）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（）对．①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6；③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25；④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°．A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】C【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案．【详解】解：①∵∠C=∠C′=90°，∠A=25°．∴∠B=65°．∵∠C=∠C′，∠B=∠B′．∴△ABC∽△A′B′C′．②∵∠C=90°，AC=6，BC=4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6．∴AC：BC=A′C′：B′C′，∠C=∠C′．∴△ABC∽△A′B′C′．③∵AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25．∴AC：A′C′=BC：B′C′=AB：A′B′．∴△ABC∽△A′B′C′．④∵没有指明80°的角是顶角还是底角．∴无法判定两三角形相似．∴共有3对．故选：C．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．（2021·上海虹口·九年级月考）点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（）A．2条B．3条C．4条D．5条【答案】C【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过P作PE∥AC，则有△BPE∽△BAC；如图2，过P作PE∥BC，则有△APE∽△ABC；如图3，过P作∠AEP=∠B，又∠A=∠A，则有△APE∽△ACB；如图4，过P作∠BEP=∠A，又∠B=∠B，则有△BEP∽△BAC，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．3．（2021·北京市古城中学九年级月考）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可．【详解】∵AC22+AB=2，BC221310+=112A51210522：2比例，∴这两个三角形相似，A符合题意；B532B不符合题意；C51，2C不符合题意；D5213D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了网格中三角形相似，灵活运用勾股定理计算各边长，熟练运用三边对应成比例的两个三角形相似求解是解题的关键．4．（2021·内蒙古·包头市第二十九中学九年级月考）下列各组图形中可能不相似的是（）A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形【答案】A【分析】根据判定三角形相似的方法：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似，逐项分析即可．【详解】解：A、不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；B、正确，由已知我们可以得到这是两个等边三角形，从而可以根据三组边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似；C、正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似；D、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．5．（2021·山东桓台·八年级期末）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】A【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．【详解】解：如图：AC2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=25，∵5+20=25，∴AC2+ BC2= AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，12 ACBC=；△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°，12DEEF=；∴△ABC~△DEF；△JKL是直角三角形，且∠JKL=90°，111JKKL==；HI2=12+12=2，HG2=12+22=5，GI2=12+22=5，∵5+2≠5，∴HG 2+ HI 2= GI 2，∴△HGI 不是直角三角形，综上，只有△ABC ~△DEF ；故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．6．（2021·浙江温州·九年级期末）如图，下列条件不能判定ACD ∆与ABC ∆相似的是（）A ．CD AC BC AB = B ．AC AD AB AC= C ．ADC ACB ∠=∠ D ．ACD B ∠=∠ 【答案】A【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．【详解】A 、当CD AC BC AB =时，无法得出ACD ABC ∆∆，符合题意； B 、,AC AD A A AB AC =∠=∠，ACD ABC ∴∆∆，能判定相似，不符合题意；C 、,A A ADC ACB ∠=∠∠=∠，ACD ABC ∴∆∆，能判定相似，不符合题意；D 、,A A B ACD ∠=∠∠=∠，ACD ABC ∴∆∆，能判定相似，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的点，下列条件中不能推出△ABP 与以点E 、C 、P 为顶点的三角形相似的是（）．A ．∠APB ＝∠EPCB ．∠APE ＝90°C ．P 是BC 的中点D ．BP ∶BC ＝2∶3【答案】C 【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．【详解】解：A. ∠APB =∠EPC ，根据正方形性质得到∠B =∠C ，可以得到ΔABP ∽ΔECP ，不合题意；B. ∠APE =90︒，根据正方形性质得到∠B =∠C ，根据同角的余角相等，得到∠APB =∠PEC ，可以得到ΔABP ∽ΔPCE ，不合题意；C. P 是BC 的中点，无法判断ΔABP 与ΔECP 相似，符合题意；D. BP :BC =2:3，根据正方形性质得到AB :BP =EC :PC =3:2，又∵∠B =∠C ，可以得到ΔABP ∽ΔECP ，不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．8．（2021·全国全国·九年级专题练习）ABC 和A B C '''中，9cm AB =，8cm BC =，5cm CA =，4.5cm A B ''=， 2.5cm B C ''=，4cm C A ''=，则下列说法不正确的有（）A ．ABC 与B AC '''相似B ．AB 与B A ''是对应边C ．两个三角形的相似比是2:1D ．BC 与B C ''是对应边【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、2AB CA BC A B B C C A ===''''''，所以两个三角形相似，选项正确； B 、AB 与B A ''是对应边，选项正确；C 、两个三角形的相似比是2:1，选项正确； D 、BC 与C A ''是对应边，选项错误．故选：D【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，根据定理内容解题是关键．9．（2021·浙江·诸暨市滨江初级中学九年级期中）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交与点E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 与点F ，AD 交PC 于点G ，则下列结论中错误的是（）A ．△CGE ∽△CBPB ．△APD ∽△PGDC ．△APG ∽△BFPD ．△PCF ∽△BCP【答案】A【分析】根据∠CPD ＝∠A ＝∠B ，∠D =∠D ，∠C =∠C 即可得到△APD ∽△PGD ，△PCF ∽△BCP ，再根据∠APG =∠C +∠P ，∠BFP =∠C +∠CPD ，可以得到∠APG =∠BFP ，即可证明△APG ∽△BFP ，由此即可求解．【详解】解：∵∠CPD ＝∠A ＝∠B ，∠D =∠D ，∠C =∠C∴△APD ∽△PGD ，△PCF ∽△BCP 故B 、D 选项不符合题意，∵∠APG =∠C +∠P ，∠BFP =∠C +∠CPD ，∴∠APG =∠BFP ，∴△APG ∽△BFP ，故C 选项不符合题意，对于A 选项不能得到两个三角形相似，故选A ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，,ABC ADE BC ≌，DE 交于点O ，有下列三个结论：①12∠=∠，②BC DE =，③ABD ACE ∽．则一定成立的有（）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质可判断①和②，再根据相似三角形的判定判断③即可．【详解】①∵ABC ADE △≌△，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠1+∠DAC =∠2+∠DAC ，∴∠1=∠2，故①成立；②∵ABC ADE △≌△，∴BC=DE ，故②成立，③∵ABC ADE △≌△，∴AB=AD ，AC=AE ，∴AB AD AC AE =，又∠1=∠2，∴ABD ACE ∽，故③成立，综上，一定成立的有①②③共3个，故选：D ．【点睛】本题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的判定是解答的关键．11．（2021·河北海港·九年级期中）如图，己知ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，12AB =，8AC =，6AD =，当AP 的长度为______时，ADP △和ABC 相似．（）A ．9B ．6C ．4或9D ．6或9【答案】C 【分析】分别根据当△ADP ∽△ACB 时，当△ADP ∽△ABC 时，求出AP 的长即可．【详解】解：当△ADP ∽△ACB 时，∴AP AD AB AC =，∴6128AP =，解得：AP =9，当△ADP ∽△ABC 时，∴AD AP AB AC=，∴6128AP =，解得：AP =4， ∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故选C ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．x﹣1与x轴交于A，与y轴12．（2021·山东大学附属中学九年级月考）如图所示，直线y＝12交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】因为点C在第一象限，所以只有点A，点C可能为直角顶点，由此讨论，可得结论．【详解】解：∵点C在第一象限，∴当点C为直角顶点时，有两种情形，当点A为直角顶点时，也有两种情形，共有4种情形．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．二、填空题（每题3分，共18分）13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC__________△DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．【答案】一定相似【分析】分别计算两个三角形的三边长，看三边是否成比例，即可判定这两个三角形是否相似．【详解】根据图示知：AB ＝2，BC ＝1，AC ＝5；DE ＝25，EF ＝5，DF ＝5， ∴1555AB BC AC DE EF DF ====，∴△ABC ∽△DEF ．故答案为：一定相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，关键是熟悉相似三角形的判定． 14．（2021·山东张店·八年级期末）如图，D 是ABC 的边AB 上一点（不与点A ，B 重合），请添加一个条件后，使ACD ABC ~，则添加的这个条件可以是__________（只添加一个条件）．【答案】ACD B ∠=∠（答案不唯一）【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，添加条件ACD B ∠=∠即可．【详解】解：添加条件是：ACD B ∠=∠，理由是：A A ∠=∠，ACD B ∠=∠，ACD ABC ∴△∽△，故答案为：ACD B ∠=∠（答案不唯一）．【点睛】本题考查了对相似三角形的判定定理的应用，本题是一道比较好的题目，答案不唯一，主要考查了学生对相似三角形的判定定理的运用能力．15．（2021·北京市第六十六中学九年级期中）如图，已知∠1＝∠2，添加条件____后，使△ABC ∽△ADE ．【答案】∠B ＝∠D【分析】先证出∠BAC ＝∠DAE ，再由∠B ＝∠D ，即可得出ABC ∽△ADE ．【详解】解：添加条件∠B ＝∠D 后，△ABC ∽△ADE ．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE ＝∠2+∠BAE ，即∠BAC ＝∠DAE ，又∵∠B ＝∠D ，∴ABC ∽△ADE ．故答案为：∠B ＝∠D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握三角形相似的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．16．（2021·河南·郑州中原一中实验学校九年级月考）如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过______秒时QBP △与ABC 相似．【答案】0.8或2【分析】设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQ BA BC =时，BPQ BAC ∽，即824816t t -=；当BP BQ BC BA=时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，然后解方程即可求出答案．【详解】解：设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =, ∵PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQ BA BC =时，BPQ BAC ∽，即824816t t -=，解得：2t =；当BP BQ BC BA=时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，解得：0.8t =；综上所述：经过0.8s 或2s 秒时，QBP △与ABC 相似，【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．17．（2020·江苏·南通市跃龙中学九年级月考）如图，D 、E 是以AB 为直径的半圆O 上任意两点，连接AD 、AE 、DE ，AE 与BD 相交于点C ，要使ADC 与ABD △相似，可以添加的一个条件是___________（填正确结论的序号）．①ACD DAB ∠=∠；②AD DE =；③2AD BD CD =⋅；④CD AB AC BD ⋅=⋅．【答案】①②③【分析】由两角法可得①正确；由等弦对等弧、等弧所对圆周角相等及两角法可知②正确；由两边夹一角法可以判断③正确，④错误．【详解】解：如图，∠ADC=∠ADB ，①、∵∠ACD=∠DAB ，∴△ADC ∽△BDA ，故①选项正确；②、∵AD=DE ，∴AD DE =，∴∠DAE=∠B ，∴△ADC ∽△BDA ，故②选项正确； ③、∵2AD =BD•CD ，∴AD ：BD=CD ：AD ，∴△ADC ∽△BDA ，故③选项正确；④、∵CD•AB=AC•BD ，∴CD ：BD=AC ：AB ，但∠ADC=∠ADB 不是对应夹角，故④选项错误．故答案为①②③．【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．熟练掌握三角形相似的判定方法及圆周角定理是解题关键．18．（2021·黑龙江集贤·九年级期中）已知在Rt ABC ∆中，90,3,4C BC cm AC cm ︒∠===，点,M N 分别在边AC AB 、上，将ABC ∆沿直线MN 对折后，点A 正好落在对边BC 上，且折痕MN 截ABC ∆所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与ABC ∆相似，则折折痕MN =__________cm 【答案】32或158．【分析】先画草图借草图分析．如图重叠的小三角形为'AMN △，由对折知'A MA N ∠=∠，所以要使△ABC 和'AMN △相似，只需'A90NM ANM ACB∠=∠=∠=︒，此时'A和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需'A90MN AMN ACB∠=∠=∠=︒，此时'A与B点重合，'A M=BM=AM=12AB，再由相似的知识算得MN的值．【详解】由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论：第一种情况如图1当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点．∵∠BCA=90°∴∠MNC=∠BCA又由对折知：∠MCN=∠A∴△MCN∽△ABC由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得1133222MN BC==⨯=（㎝）；第二种情况如图2当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点．∵∠C=90°∴∠C=∠NMB又由对折知∠A=∠NBM∴△ABC∽△BNM∴B MN M BC AC=又由对折知115B5222M AB==⨯=∴52B15348MMN BCAC==⨯=（㎝）．综上分析得MN=32㎝或158㎝．故答案为：32或158．【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之．三、解答题（19-20题每题7分，其他每题8分，共46分）19．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）如图，在5×6的方格中，点A、B 是两个格点，请按要求作图．（1）在图1中，以AB 为边作矩形ABEF （要求E 、F 两点均是格点）；（2）在图2中，点C 、D 是两个格点，请在图中找出一个格点P ，使△P AB 和△PCD 相似（找出一个即可）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据矩形的定义作出图形即可．（2）连接BD ，AC ，延长BD 交AC 的延长线于点P ，点P 即为所求．【详解】解：（1）如图，四边形ABEF 即为所求．（2）如图，点P 即为所求．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，矩形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．20．（2021·辽宁·大连市第三十七中学九年级月考）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是AD 上一点，且BE BD =．求证：ABE ACD ∽△△．【答案】见解析【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD ＝∠CAD ，根据等腰三角形的性质得到∠BED ＝∠BDE ，由等角的补角相等得到∠AEB ＝∠ADC ，根据相似三角形的判定定理即可得到结论【详解】证明：∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠．∵BE BD =，∴BED BDE ∠=∠．∴AEB ADC ∠=∠．∴ABE ACD ∽△△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A ”型和“X ”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．21．（2021·全国·九年级课时练习）如图，Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高．求证：（1）ACD ABC △∽△；（2）CBD ABC ∽△△．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．【详解】证明：（1）∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC ．（2）∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠ACB ＝90°，∵∠B ＝∠B ，∴△CBD ∽△ABC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．22．（2021·上海市实验学校九年级月考）已知抛物线y 32433x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）试判断AOC 与BOC 是否相似，并说明理由．【答案】（1）(1,0),(3,0)A B --，3)C ；（2）相似，理由见解析【分析】（1）根据抛物线与坐标轴有交点，分别令,0x y =解方程即可求得,,A B C 的坐标；（2）根据（1）的结论，求得,,OA OB OC 的长，根据两边成比例夹角相等，证明三角形相似即可．【详解】（1）抛物线y 32433x 轴交于A 、B 两点，A 在B 的右侧，与y轴交于点C ，令0x =，解得3y =，(0,3)C ∴，令0y =，即23433033x x ++=，解得121,3x x =-=-，∴(1,0),(3,0)A B --；（2）AOC COB △∽△，理由如下，如图，(1,0),(3,0)A B --，(0,3)C ；，1,3,3AO BO CO ∴===，133,333AO CO CO BO ===，AO CO CO BO ∴=，又AOC COB ∠=∠，AOC COB ∴△∽△．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定，根据题意求得,,A B C 的坐标是解题的关键．23．（2021·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学九年级月考）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ．且∠B ＝∠ADE ＝∠C ．（1）证明：△BDA ∽△CED ；（2）若∠B ＝45°，BC ＝6，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合）．且△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．【答案】（）见解析；（2）632-或3．【分析】（1）根据题目已知条件可知180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，即可得证．（2）由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD =AE ，②AD =DE ，③AE =DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．【详解】（1）180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒B ADE ∠=∠∴EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠ ∴BDA CED △∽△；（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形∴90BAC ∠=︒BC =6，∴AB =AC =22BC =32 ①当AD =AE 时，则ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒∴90DAE ∠=︒∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上 ∴此情况不符合题意． ②当AD =DE 时，如图，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）可知EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠：BDA CED ≌ ∴AB =DC =32632BD =-③当AE =DE 时，如图45B ∠=︒，∴==45B C DAE ADE ∠∠∠=∠=︒∴AD 平分BAC ∠,AD BC ⊥∴1=32BD BC =．综上所述：BD =632-3．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．24.（2021·浙江衢江·九年级期末）如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝m （m ＞1），点E 、F 分别在边AD 、AB 上，且AE ＝1．（1）当m ＝3，AF ：FB ＝1：3时，求证：AEF ∽BFC ；（2）当m ＝3.5时，用直尺和圆规在图②的线段AB 上确定所有使AEF 与以点B 、F 、C 为项点的三角形相似的点F （请保留画图痕迹）；（3）探究：对于每一个确定的m 的值，线段AB 上存在几个点F ，使得AEF 与以点B 、F 、C 为顶点的三角形相似？（直接写出结论即可）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m＞4时，有1个．【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A＝∠B＝90°，再由已知可推出13AE AFBC FB==，即可利用相似三角形的判定得出结论；（2）利用对称性或辅助圆解决问题即可；（3）根据交点个数分类讨论即可解决问题；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵AE＝1，BC＝m＝3，AF：FB＝1：3，∴13AE AFBC FB==，∴AEF∽BFC；解：（2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连接CE′，交AB于点F1；连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．点F1、F2、F3即为所求；（3）如（2）中所作图形，当m=4时，由已知条件可得DE＝3，则CE＝5，即圆的直径为5，由梯形中位线定理可得此时圆心到AB的距离为2.5，等于半径，点F2、F3重合，符合条件的点F有2个；当m＞4时，圆和AB相离，此时点F2、F3不存在，即符合条件的点F只有1个；当1＜m＜4且m≠3时，符合条件的点F有3个；综上所述，可得：当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m＞4时，有1个．【点睛】本题考查了作图-相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

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初三培优——平行四边形和相似三角形的分类讨论问题
一、平行四边形的分类讨论问题（比划比划寻找平行四边形）
例:1：（2016·福建龙岩）已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分
别为A（﹣4，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
相关练习：（2016·贵州安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
二、相似三角形的分类讨论问题
例题2：（2016·山东潍坊）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
相关练习：（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B 和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．。