2020考研数学一真题与文都图书预测中对照表

2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ．【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ．【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2020考研数学一真题【完整版】

2020考研数学一真题【完整版】考研的小伙伴们，咱们来聊聊 2020 考研数学一的真题哈！这真题啊，可真是让不少同学抓耳挠腮，也让一些高手展露锋芒。

记得我当年考研的时候，那学习的劲头可足啦！每天早早地就爬起来，抱着数学书啃。

当时我住在学校附近的一个小出租屋里，条件挺简陋的，但为了梦想，啥都能忍。

有一天晚上，我做一道数学题，怎么都解不出来，急得我在屋里来回踱步，额头都冒汗了。

突然，我灵机一动，想到了一个之前忽略的知识点，一下子就把题给做出来了，那种成就感，真的无法形容。

咱们回到 2020 考研数学一真题。

先说说选择题，这部分题目考查的知识点比较基础，但也有一些小陷阱。

比如说有一道关于函数极限的题，看着简单，可要是概念没掌握清楚，很容易就选错啦。

填空题呢，需要咱们计算仔细，一个小马虎，分数可能就丢了。

像有一道求积分的填空题，稍不注意积分限就弄错了。

再看看大题，那可真是综合性强啊！有一道概率论的大题，把多个知识点融合在一起，不仅要会求概率分布，还得会用期望和方差的性质进行计算。

当时考场上，好多同学看到这题就懵了。

还有那道高等数学的大题，涉及到曲线积分，需要我们熟练运用格林公式。

这题对于基础扎实的同学来说，应该不算太难，但对于那些概念模糊的同学，可能就无从下手了。

我想起我当时考研复习的时候，有一次和同学一起讨论一道真题，争得面红耳赤，最后发现我俩都错了，哈哈，现在想起来还觉得好笑。

总的来说，2020 考研数学一真题难度适中，但要想拿高分，就得基础扎实，思维灵活，计算准确。

大家在复习的时候，可不能只追求难题怪题，把基础知识打牢才是关键。

就像盖房子，地基不稳，房子再漂亮也会塌。

希望准备考研的小伙伴们，能认真研究真题，总结规律，找到自己的薄弱环节，有针对性地进行复习。

相信通过努力，大家都能在考场上取得好成绩！加油吧！。

2020年考研数学一真题及答案解析

（4）【答案】（A）.
【解析】若 anrn 发散，则 r R ，否则，若 r R ，由阿贝尔定理知， anrn
n 1
n 1
绝对收敛，矛盾. 故应选（A）.
（5）若矩阵 A 经过初等列变换化成 B ，则
（）
（A）存在矩阵 P ，使得 PA B.
（B）存在矩阵 P ，使得 BP A.
（C）存在矩阵 P ，使得 PB A.
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
z c3 c2
相交于一
ai
点，法向量 αi
bi
,
i
1, 2,3 .则
ci
（）
（A） α1 可由 α2 , α3 线性表示.
（B） α2 可由 α1, α3 线性表示.
（C） α3 可由 α1, α2 线性表示. （6）【答案】（C）.
f x
,
f y
, 1
0,0
fx0, 0, fy 0, 0 , 1 ，故
n x, y, f x, y fx0, 0 x fy 0, 0 y f x, y x2 y2 ，
3
n x, y, f x, y
x2 y2
则 lim
lim
0. 故应选（A）.
x, y0,0
x2 y2
x, y0,0
x2 y2
（4）设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径， r 是实数，则 n 1
（）
（A） anrn 发散时， r R . n 1
（B） anrn 发散时， r R . n 1
（C） r R 时， anrn 发散. n 1

2020-数一真题答案解析

x→0
e
1 x−
1
−
1 ln(1 +
x)
=
lim
x→0
ln(1+ x) − ex (ex −1) ln(1+
+1 x)
=
lim
x→0
ln(1 +
x) − x2
ex
+1
2020 数学（一）真题第 5 页共 13 页
1 − ex = lim 1+ x = −1.
x→0 2x
（10）若
=x y =
∑ 可得
P
100 i =1
Xi
55
的近似值为
(A) 1− Φ(1)
(B) Φ(1)
(C) 1− Φ(2)
(D) Φ(2)
【答案】B.
【解析】由题意= EX 1= ，DX 1 ，
2
4
∑ E
100 i =1
= Xi X
1= 00EX
50 ，
∑ D
1= i0=01 X i
1= 00DX
25 .
∞
∑ (C) | r | R 时， a2nr2n 发散 n=1
∞
∑ (B) a2nr2n 收敛时， | r | R n=1
∞
∑ (D) | r | R 时， a2nr2n 收敛 n=1
【答案】A.
（5）若矩阵 A 经初等列变换化成 B ，则
(A) 存在矩阵 P ，使得 PA = B
(B) 存在矩阵 P ，使得 BP = A
1 x2 2 0
5
= 52 ⋅
1 2
2
⋅ x5 .
（2）设函数 f (x) 在区间 (−1，1) 内有定义，且 lim f (x) = 0 ，则 x→0

2020年考研数学一真题(含完整答案)

x2
+
y2
=
2，方向为逆时针方向.
(17)
( 设数列 {an} 满足 a1 = 1，(n + 1)an+1 = n +
1 2
)
an.
证明：当
|x|
<
1
时，幂级数
∑∞
anxn
收敛，
n=1
并求其和函数.
√ (18) 设 Σ 为曲面 z = x2 + y2(1 ≤ x2 + y2 ≤ 4) 的下侧，f (x) 为连续函数. 计算
.
则
d2 y dx2
=
t=1
.
(11)
设
f (x)
满足
f ′′(x)
+
af ′(x)
+
f (x)
=
0(a
>
0)，f (0)
=
m，f ′(0)
=
n，则
´ +∞
0
f (x)dx
=
.
(12)
设
f (x,
y)
=
´ xy
0
ext2 dt，则
∂2f ∂x∂y
=
(1,1)
.
a 0 −1 1
(13) 行列式 0
a
1 −1 =
,·-·O X
.r-0 X
.r-·•O X
排除 CD)'故应选 CC). (3) 【答案】A
。, + 【解析】
利用函数z=
一
.I 位，y)在(x
Yo)处可微的充要条件Jim 幻 -J'心 . X 汇�,Jt:,x2
- J:t:,y= t:,yZ

2020年考研数学一真题及答案(全)

2020年考研数学一真题及答案(全)全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1.若函数 $f(x)=\begin{cases}1-\cos x。

& x>0 \\ a x + b。

& x\leq 0\end{cases}$ 在 $x$ 连续，则 $ab=$答案：A详解：由 $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$ 得 $ab=1$。

2.设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x)f'(x)>0$，则A) $f(1)>f(-1)$；(B) $f(1)f(-1)$；(D) $f(1)<f(-1)$。

答案：C详解：$f(x)f'(x)>0$ 表示 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和$(0,+\infty)$ 上单调，且 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在$(0,+\infty)$ 上单调递增，所以 $f(1)>f(-1)$。

3.函数 $f(x,y,z)=xy+z$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿着向量$n=(1,2,2)$ 的方向导数为A) $12$；(B) $6$；(C) $4$；(D) $2$。

答案：D详解：方向余弦$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+2^2+2^2}}=\frac{1}{3}$，$\cos\beta=\frac{2}{3}$，$\cos\gamma=\frac{2}{3}$，偏导数$f_x'=2xy$，$f_y'=x^2$，$f_z'=2z$，代入 $\cos\alphaf_x'+\cos\beta f_y'+\cos\gamma f_z'$ 即可。

2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国I)预测卷文科数学试卷 PDF版含答案

高三文科数学第 4 页
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I）预测卷
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
数学答题卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）
握认为交通安全意识与性别有关；
（Ⅲ）用分层抽样的方式从得分在50 分以下的样本中抽取 6 人，再从 6 人中随机选取 2 人对未来
一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于 40 分的概率.
频率
组距
0．028
安全意识强安全意识不强合计
0．020
a
男性女性
0．008 0．004
合计
0
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I）预测卷
文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间 120 分钟，共 150 分．
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
注意事项：
每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其它答案，不能答在试题卷上．
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I）预测卷文科数学参考答案
一、选择题
DABCD BBCCD AC
二、填空题
13. 1 2
三、解答题
1
14. 15.5252
3
16. 2 7
17.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题知 3 sin( A B) 4sin2 C ， 2

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版附答案解析

sin
t2dt) '
=
sin
x2
cos
x
~
x2
；
0
1-cos x
D 选项 (
sin3 tdt) ' = sin x
sin3(1− cos x) ~
1 x4 .
0
2
2.设函数 f ( x) 在区间（-1,1）内有定义，且 lim f (x) = 0 ，则（） x→0 A 当 lim f (x) = 0 ， f ( x) 在 x = 0 处可导。 x→0 x B 当 lim f (x) = 0 ， f ( x) 在 x = 0 处可导。 x→0 x C 当 f ( x) 在 x = 0 处可导时， lim f (x) = 0 。 x→0 x
a1 a2 a2 − a3 点组成的向量与两直线的方向向量共面，故 b1 b2 b2 − b3 = 0 ，故选 C .
c1 c2 c2 − c3
7. 设 A, B,C 为三个随机事件，且 P(A) = P(B) = P(C) = 1 , P(AB) = 0
4
P(AC) = P(BC) = 1 ，则 A, B,C 中恰有一个事件发生的概率为
A 存在矩阵 P ，使得 PA = B B 存在矩阵 P ，使得 BP = A
C 存在矩阵 P ，使得 PB = A
D 方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解
答案：B
解析：矩阵 A 经初等列变换化成 B ，根据左行右列，应该选 B .
6.
已
知
直
线
L1：x
− a2 a1
=
y − b2 b1
=
z − c2 c1
12 A. 3

2020考研数学一真题及答案

0 0⎰⎰x →0→ →2020考研数学一真题及答案一、选择题：1~8 小题，第小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1. x → 0+ 时，下列无穷小阶数最高的是 A. ⎰ x (e t 2-1)d tB.⎰ x ln (1+ t 3)d tC.sin x sin t 2d t1-cos xD.1. 答案：Dsin 3 t d t2. 设函数 f (x ) 在区间（-1，1）内有定义，且lim f ( x ) = 0, 则（）A. 当limxB. 当limx →0f (x )= 0, f ( x )在x = 0 处可导. | x |f (x )= 0, f ( x )在x = 0 处可导.C. 当 f (x )在x = 0处可导时,limx 0D. 当 f (x )在x = 0处可导时,limx →0f (x ) = 0.| x |f (x )= 0.x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 22. 答案：B解析: limf (x )= 0 ∴limf (x )= 0 ∴ limf (x )= 0, lim f (x ) = 0x →0x →0| x |x →0+x x →0-x∴limf (x )= 0, lim f ( x ) = 0x →0xx →0∴lim f (x ) - f (0) = lim f (x ) = 0 = f '(0) x →0 x - 0 x →0 x∴ f (x ) 在 x = 0 处可导∴选 Blim ( x , y)→(0,0)lim ( x , y)→(0,0)lim ( x , y)→(0,0)lim ( x , y)→(0,0) | n ⋅ ( x , y , f ( x , y )) |= 0存在| n ⨯( x , y , f ( x , y )) |= 0存在| d ⋅ ( x , y , f ( x , y )) |= 0存在| d ⨯( x , y , f ( x , y )) |= 03. 答案：A解析：f (x , y )在(0, 0) 处可微. f (0, 0)=0∴limx →0 y →0f (x , y ) - f (0, 0) - f x '(0, 0) ⋅ x - f y '(0, 0) ⋅ y= 0即lim x →0y →0f (x , y ) - f x '(0, 0) ⋅ x - f y '(0, 0) ⋅ y= 0n ⋅ ( x , y , f (x , y ) ) = f x '(0, 0)x + f y '(0, 0) y - f (x , y )n ⋅ ( x , y , f (x , y ) )A. B. C. D.4.设 R 为幂级数∑ a r 的收敛半径，r 是实数，则（）A.∑ a r 发散时，| r |≥ RB.∑ a r 发散时，| r |≤ RC.| r |≥ R 时，∑ a r 发散D.| r |≤ R 时，∑ a r 发散∵R 为幂级数∑ a x 的收敛半径.∴∑ a x 在(-R , R ) 内必收敛.∴∑ a r 发散时，| r |≥ R .1 1 ∴ lim( x , y )→(0,0)= 0 存在∴选 A.∞n n n =1∞n n n =1∞n nn =1∞n nn =1∞n nn =14. 答案：A解析：∞n n n =1∞n n n =1∞n n n =1∴选 A. 5. 若矩阵 A 经初等列变换化成 B ，则（）A. 存在矩阵 P ，使得 PA =BB. 存在矩阵 P ，使得 BP =AC. 存在矩阵 P ，使得 PB =AD. 方程组 Ax =0 与 Bx =0 同解 5. 答案：B 解析：A 经初等列变换化成 B. ∴存在可逆矩阵 P 1 使得 AP 1 = B∴ A = BP -1令P = P -1∴ A = BP .∴选B .6.已知直线 L : x - a 2 = y - b 2 = 2 - c 2 与直线 L : x - a 3 = y - b 3 = 2 - c 3 相交于一点，法1⎡a i ⎤ a 1 b 1 c 1a 2b 2c 2 向量 a = ⎢b ⎥,i = 1, 2, 3. 则i ⎢ i ⎥ ⎢⎣c i ⎥⎦A. a 1 可由 a 2 , a 3 线性表示B. a 2 可由 a 1, a 3 线性表示C. a 3 可由 a 1, a 2 线性表示D. a 1, a 2 , a 3 线性无关6.答案：C 解析：令 L 的方程x - a 2 = y - b 2= z - c 2 = t1⎛ x ⎫ a 1 b 1 c 1⎛ a 2 ⎫ ⎛ a 1 ⎫ 即有y ⎪ = b ⎪ + tb ⎪ =α + t α ⎪ 2 ⎪ 1 ⎪ 2 1 z ⎪c ⎪ c ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 1 ⎭ ⎛ x ⎫ ⎛ a 3 ⎫ ⎛ a 2 ⎫ 由 L 的方程得 y ⎪= b ⎪ + t b ⎪ =α + t α 2 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎪ 32 z ⎪ c ⎪ c ⎪ ⎝ ⎭ ⎝3 ⎭ ⎝ 2 ⎭由直线 L 1 与 L 2 相交得存在 t 使α2 + t α1 =α3 + t α2即α3 = t α1 + (1- t )α2 ，α3 可由α1 ,α2 线性表示，故应选C. 7. 设 A,B,C 为三个随机事件，且 P ( A ) = P (B ) = P (C ) =1, P ( AB ) = 0 4P ( AC ) = P (BC ) = 1123A. 4 2B. 3 1C.2，则 A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为25D.127.答案：D解析： P( ABC ) =P( ABUC) =P( A) -P[ A(BUC)]=P( A) -P( AB +AC)=P( A) +P( AB) -P( AC) +P( ABC)=1- 0 -1+ 0 =1 4 12 6P(BAC ) =P(BAUC) =P(B) -P[B( AUC)] =P(B) -P(BA) -P(BC) +P( ABC)=1- 0 -1+ 0 =1 4 12 6P(CBA) =P(CBUA) =P(C) -P[CU (BUA)] =P(C) -P(CB) -P(CA) +P( ABC)=1-1-1+ 0 =14 12 12 12P( ABC +ABC +ABC) =P( ABC ) +P( ABC ) +P( ABC)=1+1+1=5 6 6 12 12选择D8.设X1 , X 2,…, X n为来自总体X 的简单随机样本，其中P( X = 0) =P( X = 1) =1, Φ(x) 表2⎛100 ⎫示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得P ∑X i ≤ 55⎪的近似值为⎝i=1 ⎭A.1-Φ(1)B. Φ(1)C.1-Φ(2)D. Φ(2)8.答案：B解析：由题意EX =1, DX =1 2 4∑ ⎣ ⎦⎝ ⎭⎛ 100 ⎫ ⎛ 100 ⎫ E ∑ X i ⎪ X = 100EX = 50. D ∑ X i ⎪ = 100DX = 25 ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭100由中心极限定理X i~ N (50, 25)i =1⎧ 100⎫ ⎧ 100⎫ ⎪∑ X i - 55 55 - 50⎪ ∴ P ⎨∑ X i ≤ 55⎬ = P ⎨ i =1 ≤ 55 ⎬ = Φ(1) ⎩ i =1 ⎭ ⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎭故选择 B二、填空题：9—14 小题，每小题 2 分，共 24 分。