相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)

1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．

（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？

【答案】解：（1）

MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34

x

h ∴=

（2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，

①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，

1A MN y S =△=21133

2248MN h x x x ==··（04x <≤）

②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，

设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则13

2662

h h x =-=

- 11EF MN

A EF A MN

∴∥△∽△

11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△

12

16A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭

△△ABC

1

6824

2

ABC S =⨯⨯=△

2

2

363224122462EF

x S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪ ⎪

⎝⎭

1△A

1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫

=-=

--+=-+- ⎪⎝⎭

△△所

29

1224

(48)8

y x x x =-+-<<

综上所述：当04x <≤时，2

38

y x =

，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-，取16

3x =，8y =最大

86>∴当16

3

x =时，y 最大，8y =最大

M

N

A

2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

【答案】解：（1）该抛物线过点(02)C -，，

∴可设该抛物线的解析式为2

2y ax bx =+-． 将(40)A ，，(10)B ，代入，

得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得12

52

a b .

⎧

=-⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩，

∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-． （2）存在．

如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215

222

m m -+-， 当14m <<时，4AM m =-，215

222PM m m =-

+-． 又90COA PMA ∠=∠=°，∴①当2

1

AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△，

即21542222m m m ⎛⎫

-=-+- ⎪⎝⎭

．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．

②当

12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即215

2(4)222

m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，． 类似地可求出当4m >时，(52)P -，．

当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． 3．如图，已知直线128

:33

l y x =

+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且

点G 与点B 重合．

（1）求ABC △的面积；

（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；

（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．

【答案】（1）解：由

28

033

x +=，

得4x A =-∴．点坐标为()40-，． 由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．

∴()8412AB =--=． 由

2833216y x y x ⎧

=+⎪⎨

⎪=-+⎩，

．

解得

56x y =⎧⎨

=⎩

，

．∴C

点的坐标为

()56，

．

11

1263622

ABC C S AB y =

=⨯⨯=△·．

（2）解：∵点D 在1l 上且28

88833

D B D x x y ==∴=

⨯+=，．

∴D 点坐标为()88，． 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ∴

8448OE EF =-==，．

（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形

CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则

Rt Rt RGB CMB △∽△．

∴

BG RG BM CM =，即36

t RG

=，

∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，

∴

()()112

36288223

ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．

即241644

333

S t t =-++．

························································································· 当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=3

2838)8(32t t -=+-,

∴

3

8038]32838)4(32[421+

-=-++-⨯=t t t s

当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，

4883

)12)(328(212

+-=--=t t t t s

4．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点

出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别

（图3）

（图1）

（图2）