蒙特卡洛方法与定积分计算
蒙特卡洛计算方法及其在定积分求解中的应用
Ｉｆｆ（ｘ）ｄｘ
我们用 蒙特卡洛计算方法 按 以下步骤 即可计算其结果 ： （１）在 区 间 ［／３，，ｂ］上 利 用 计 算 机 均 匀 产 生 ｎ个 随 机 数 ｘ ， ｘ２，… ，ｘ ，这 个 可 以 在 ＭＡＴＬＡＢ软 件 用 ｕｎｉｆｒｎｄ命 令 实 现 Ｈ ． （２）计 算 每个 随 机 数 相 应 的 被 积 函 数 值 ：ｆ（Ｘ。），ｆ（Ｘ：）， … 。 ｆ（Ｘ ）．
【 Ｎ ５００ １０ｏ０ １００００ ５００００ １０００００ ５０００００
积分值 ６．３００３ ６．４４６８ ６．４２３９ ６．３９４８ ６．３９３４ ６．３８８９
四、蒙特 卡 洛 计 算 方 法 性质 蒙 特 卡 洛 计 算 方 法 依 据 概 率 统 计 理 论 ，具 有 统 计 特 性 ，主 要 表 现 在 以 下 三个 方 面． １．蒙 特 卡 洛 计 算 方 法 具 有 随 机 性 、不 确 定 性 ．即 每 次 运 行 结 果 都 会 不 一 样 ．因为 计算 机 产生 随机 数 并 不 是 可 以重 现 的． ２．蒙 特 卡 洛 计 算 方法 具 有 统 计 稳 定 性 。虽 然 每 次 运 行 产 生 随 机 数 是 不 一 样 的 ，但 是 随机 数 的概 率 分 布 是 一 样 的 ，所 以 蒙 特 卡 洛 计 算 方 法 可 以满 足概 率 统 计 的 稳定 性 ． ３．随 着 随 机 数 数 量 增 加 ，蒙 特 卡 洛 计 算 方 法 所 得 结 果
一 、 蒙 特 卡 洛 计 算 方 法 原 理 与蒙特 卡洛方法 相反 的 一类 方法 称为 确定 性计 算 方法 ，确定 性 计算 方法 是按 照规 定 的算法 步骤 执行 每 次得 到 的结果 一 定是 相 同的 ＿ｌ＿．与 此不 同 ，蒙 特 卡 洛方 法 建立 在 随 机理 论 的 基 础上 ，利 用概 率论 中 的大数 定 律稳 定性 理论 进 行运 算 ．所 以蒙 特卡 洛方 法 是 一种 大数 收敛 的概 率计 算方法 ，它依据 概率知 识建 立模 型 、借助 现代计算 机技术来 实现算法 ．大 量随机 仿真形成 真实值 的逼近． 二 、蒙 特 卡 洛计 算 方 法在 定 积 分 中 的应 用 根 据 覃 永 昼 在 “在 数 学 分 析课 程 的 概 念 教 学 中渗 透 数 学 建 模 思 想 ”一 文 中对 定 积 分 定 义 的 图解 解 析 ］，我 们 可 以很 清 晰地 看 出定 积 分 的 意义 就 是 指 被 积 函 数 在 积 分 区 间 的 面积 代 数 和．但 是 由于 被 积 函数 的 多 样 性 ，导 致 其 在 积 分 区 间 上 的 取 值 大小 不 一 ．无 法 按 照规 则 的 图形 来 求 解 面 积 ．下 面 我 们 利 用 蒙 特 卡 洛 计 算 方 法 将 其 转 化 为 规 则 图 形 来计 算 ｌ３． 假 定 我 们 要 计 算 如 下 定 积 分 ：
蒙特卡罗方法计算定积分
蒙特卡罗方法计算定积分作者：黄婧涵来源：《科学家》2017年第07期摘要数学领域中，定积分计算问题应用广泛，经典的定积分数学定义方法可直接用于求解定积分，但是，对于函数解析式未知的情况下，传统的数学定义方法无法进行定积分计算，而蒙特卡罗方法对函数解析式不进行限制，其以概率方法进行近似计算从而逐渐逼近定积分理论值。
本文针对函数解析式已知与未知的两种情况，分别以定积分数学定义方法和蒙特卡罗方法进行定积分计算，并从算法收敛速度以及计算结果精确度两方面对算法进行评测。
实验结果表明，定积分数学定义法收敛速度快，计算精度高，但是普适性低，对于函数解析式未知情况下无法进行计算；而蒙特卡罗方法尽管收敛速度较慢，但是普适性极高，且函数解析式未知情况下，效果更优。
关键词微积分；定积分；蒙特卡罗方法；收敛速度中图分类号 O1 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2017）07-0003-021 概述微积分[ 1 ]是数学领域的一个基础学科，是高等数学中研究函数微分、积分以及有关概念与应用的数学分支，其研究范畴包含3个方面：微分、积分以及微分与积分两者之间的关系。
若（）f x是[a，b]上的连续函数，并且有’（）（）F xf x=，则（）（）（）baf x dxF bF a∫=？。
也就是说，一个定积分的值就是原函数积分上限的值与原函数在积分下限的值的差值，即牛顿-莱布尼兹公式计算定积分。
其表明对于图形无限细分再累加成为可能，并可将其转化为对积分的计算，揭示了积分与微分本质的关系，因此牛顿-莱布尼兹公式又称微积分基本定理。
然而计算定积分[ 2 ]的数学定义方法以及牛顿-莱布尼兹公式方法都仅限于函数（）f x解析式已知的情况，对于（）f x未知解析式的情况下，无法进行定积分求解。
蒙特卡罗（Monte-Carlo）[3]方法是20世纪40年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，被提出的一种以概率理论[4]为指导的一类极其重要的数值计算方法，是以随机抽样为主要手段，使用随机数（或伪随机数）解决数值计算问题的方法，又称统计模拟方法。
基于蒙特卡罗算法计算圆周率和定积分数
基于蒙特卡罗算法计算圆周率和定积分数摘要：文章描述了如何用蒙特卡罗算法计算圆周率π和不规则函数定积分的值，蒙特·卡罗方法，也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
关键词：蒙特卡罗算法；随机；圆周率,积分；•The monte Carlo method is used to calculate the value of PI and definite integralYE Chuhan Guan Mengyu Luo Yudong(Software College, Shenyang Normal University, Shenyang 110034,China)Abstract: Article describes how to use a monte carlo algorithm calculating the value of PI and irregular function of definite integral, monte carlo method, also known as statistical simulation method, in the mid - 1940 due to the development of science and technology and the invention of the computer, and proposed a kind of probability and statistics theory as the guidance of a class of important numerical method.Random Numbers (or, more commonly, pseudorandom Numbers) are used to solve many computational problems.Keywords: Monte Carlo method; Pi; random; Definite integral;引言综述目前研究现状，人们很早就发现了圆周率，中国古代数学家刘徽在三国时期，就利用割圆术计算了圆周率小数点后3位。
matlab蒙特卡洛法求定积分
文章标题：探索matlab中的蒙特卡洛法求定积分在数学和计算科学中，求解定积分是一个常见的问题。
传统的数值积分方法中，蒙特卡洛法是一种非常有趣和强大的方法，能够对一些特殊的不易求解的定积分问题提供解决方案。
而在matlab这一强大的数学计算软件中，蒙特卡洛法同样有着广泛的应用。
1. 什么是蒙特卡洛法？蒙特卡洛法是一种基于随机采样的数值积分方法，其核心思想是利用随机抽样的方法逼近定积分的值。
具体来说，对于给定的函数$f(x)$以及区间$[a, b]$，蒙特卡洛法通过对函数在该区间上进行随机采样，并利用采样点的平均值来逼近定积分的值。
2. 在matlab中应用蒙特卡洛法在matlab中，可以利用蒙特卡洛法求解定积分问题。
通过生成服从均匀分布的随机数，并代入原函数，然后求解采样点的平均值，可以得到定积分的近似值。
matlab内置了丰富的数学计算和随机数生成函数，能够方便地实现蒙特卡洛法的计算。
3. 实例分析：使用matlab进行蒙特卡洛法求解定积分假设我们要求解函数$f(x)=x^2$在区间$[0, 1]$上的定积分，即$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$我们可以在matlab中编写如下代码：```matlabN = 1000000; % 设定采样点的个数X = rand(1, N); % 生成均匀分布的随机数Y = X.^2; % 代入原函数integral_value = mean(Y); % 求解采样点的平均值```通过上述代码，我们得到了定积分的近似值integral_value。
在这个例子中，我们利用蒙特卡洛法求得了定积分的近似值。
4. 总结与展望通过本文的介绍，我们对matlab中蒙特卡洛法求解定积分的方法有了初步的了解。
蒙特卡洛法作为一种基于随机采样的数值积分方法，在matlab中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据定积分的具体问题来灵活选择采样点的个数，并结合matlab强大的数学计算能力，在求解定积分问题中取得更加准确的结果。
python编程通过蒙特卡洛法计算定积分详解
python编程通过蒙特卡洛法计算定积分详解想当初，考研的时候要是知道有这么个好东西，计算定积分。
开玩笑，那时候计算定积分根本没有这么简单的。
但这确实给我打开了⼀种思路，⽤编程语⾔去解决更多更复杂的数学问题。
下⾯进⼊正题。
如上图所⽰，计算区间[a b]上f(x)的积分即求曲线与X轴围成红⾊区域的⾯积。
下⾯使⽤蒙特卡洛法计算区间[2 3]上的定积分：∫(x2+4*x*sin(x))dx# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(x):return x**2 + 4*x*np.sin(x)def intf(x):return x**3/3.0+4.0*np.sin(x) - 4.0*x*np.cos(x)a = 2;b = 3;# use N drawsN= 10000X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to bY =f(X) # CALCULATE THE f(x)# 蒙特卡洛法计算定积分：⾯积=宽度*平均⾼度Imc= (b-a) * np.sum(Y)/ N;exactval=intf(b)-intf(a)print "Monte Carlo estimation=",Imc, "Exact number=", intf(b)-intf(a)# --How does the accuracy depends on the number of points(samples)? Lets try the same 1-D integral# The Monte Carlo methods yield approximate answers whose accuracy depends on the number of draws.Imc=np.zeros(1000)Na = np.linspace(0,1000,1000)exactval= intf(b)-intf(a)for N in np.arange(0,1000):X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to bY =f(X) # CALCULATE THE f(x)Imc[N]= (b-a) * np.sum(Y)/ N;plt.plot(Na[10:],np.sqrt((Imc[10:]-exactval)**2), alpha=0.7)plt.plot(Na[10:], 1/np.sqrt(Na[10:]), 'r')plt.xlabel("N")plt.ylabel("sqrt((Imc-ExactValue)$^2$)")plt.show()>>>Monte Carlo estimation= 11.8181144118 Exact number= 11.8113589251从上图可以看出，随着采样点数的增加，计算误差逐渐减⼩。
蒙特卡罗模拟及例
1）问题背景
返回 D 吸收
三种 状态
穿透
阐述中子的运动， 2）简化假设： 为模拟做理论准备 *1 假定屏蔽层平行板厚度为D=3d，其中d 为两次碰撞之间中子的平均游动距离；
*2 假设在第10 次碰撞以后，中子速度下降到 为某一很小数值而终止运动（被引收）. *3 假定中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间游 动的距离服从指数分布；
4
计算机上做n次掷点试验： 产生n 对二维随机点(xi，yi) ，i＝1 ,2, …, n .
其中，xi 和yi 是RND 随机数对. 检查每对数是否满足: 相当于第i 2 2 x i yi 1 个随机点落 在1/4圆内. 若有k 个点落在l／4圆内 随机事件“点落入1/4圆内”的 频率为 k/n
中子数(个) 穿透(%)
100 1000 3000 5000 30.0 26.0 26.5 26.3
吸收(%)
28.0 23.4 21.8 22.0
返回(%)
42.0 50.6 51.7 51.7
中子穿透屏蔽层的百分比超过了1/4，模拟结 果表明屏蔽层厚度D=3d不合适.
问
多厚的屏蔽层才能使穿透的概率 题： W＜10－6？
注：平均值法本质上是用样本平均值作为
总体教学期望的估计。
2. 蒙特卡罗模拟试验次数的确定
M－C 模拟是一种试验近似方法 , 试验次 数如何确定？
希望：模拟次数较少、 模拟精度较高
？
频率法的讨论 频率法是用事件A出现的频率作为概率p 的估计: kn ˆ p n 问题：试验次数 n 多大时，对给定的置信度 1－α（0<α<1），估计精度达到ε.
三、 蒙特卡罗模拟及例
蒙特卡罗(Monte－Carlo)模拟，又称蒙特卡 罗方法、统计试验法等. M－C模拟是静态模拟，描述特定时间点上的 系统行为. 模拟过程中 基本思想:把随机事件 不出现时间 （变量）的概率特征与 参数。 数学分析的解联系起来.
蒙特卡洛计算方法及其在定积分求解中的应用
蒙特卡洛计算方法及其在定积分求解中的应用下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!Certainly! Here's a structured demonstration article on the topic "Monte Carlo Calculation Method and Its Application in Definite Integral Computation":蒙特卡洛计算方法及其在定积分求解中的应用。
7.蒙特卡罗方法在积分计算中的应用——【数学建模 蒙特卡罗算法】
3. 俄国轮盘赌和分裂
1) 分裂
•
设整数 n≥1，令
gi (P) g(P) n
•
则
i Vs gi (P) f (P)dP
n
•
gi(P)于为是原计来算θ的θ的估问计题Vgs，(gP)(可P的化) 1f为/(Pn计)，d算P这n就个i是1θ分i 的i 裂和技来巧得。到，而每个
2) 俄国轮盘赌
N
g(xi , yi )
i 1
•
其方差为
2 gˆ N
1 N
2 x
f1
(
x)dx
•
与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约
1
N
( x )2 f1(x)dx
6. 分层抽样
•
考虑积分
1
•
g(x) f (x)dx
•
特别地，当 g(P)≥0 时，有
g(P) f (P) g(P) f (P)
f1(P)
g(P) f (P)dP
Vs
•
这时
2 g1
0
•
即 g1的方差为零。实际上，这时有
g1(P) Vs g1(P) f1(P)dP
•
不管那种情况，我们称从最优分布 称函数 | g(P) | 为重要函数。
fl(P)的抽样为重要抽样，
•
我们知道，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：
•
从 fl(x) 中抽取 xi，
xi
f1 ( x)dx
1i
•
再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，
yi
f2(y
xi )dy 2i
•
现在改变 xi 的抽样方法如下：
xi
f1(x)dx i
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
蒙特卡洛方法与定积分计算
By 邓一硕@ 2010/03/08
关键词：Monte-Carlo, 定积分, 模拟, 蒙特卡洛分类：统计计算
作者信息：来自中央财经大学;统计学专业。
版权声明：本文版权归原作者所有，未经许可不得转载。
原文可能随时需要修改纰漏，全文复制转载会带来不必要的误导，若您想推荐给朋友阅读，敬请以负责的态度提供原文链接；点此查看如何在学术刊物中引用本文
本文讲述一下蒙特卡洛模拟方法与定积分计算，首先从一个题目开始：设，用蒙特卡洛模拟法求定积分的值。
随机投点法
设服从正方形上的均匀分布，则可知分别服从[0,1]上的均匀分布，且相互独立。
记事件，则的概率为
即定积分的值就是事件出现的频率。
同时，由伯努利大数定律，我们可以用重复试验中出现的频率作为的估计值。
即将看成是正方形
内的随机投点，用随机点落在区域中的频率作为定积分的近似值。
这种方法就叫随机投点法，具体做法如下：
图1 随机投点法示意图
1、首先产生服从上的均匀分布的个随机数（为随机投点个数，可以取很大，如）并将其配对。
2、对这对数据，记录满足不等式的个数，这就是事件发生的频数，由此可得事件发生的频率，则。
举一实例，譬如要计算，模拟次数时，R代码如下：n=10^4;
x=runif(n);
y=runif(n);
f=function(x)
{
exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)
}
mu_n=sum(y<f(x));
J=mu_n/n;
J
模拟次数时，令,其余不变。
定积分的精确值和模拟值如下：
表1
精确值
注：精确值用integrate(f,0,1)求得
扩展
如果你很细心，你会发现这个方法目前只适用于积分区间，且积分函数在区间上的取值也位于内的情况。
那么，对于一般区间上的定积分
呢一个很明显的思路，如果我们可以将与建立代数关系就可以了。
首先，做线性变换，令，此时，
,。
进一步如果在区间上有，令
，
则。
此时，可以得到。
其中,,。
这说明，用随机投点法计算定积分方法具有普遍意义。
举一个实例，求定积分。
显然，，由于
在上时单调减函数，所以，。
R中代码为
a=2;
b=5;
g=function(x)
{
exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi);
}
f=function(y)
{
(g(a+(b-a)*y)-c)/(d-c);
}
c=g(5);d=g(2);s_0=(b-a)*(d-c);
n=10^4;
x=runif(n);y=runif(n);
mu_n=sum(y<=f(x));
J=mu_n/n;
J_0=s_0*J+c*(b-a);
定积分的精确值和模拟值如下：
表2
真实值
注：精确值用integrate(g,2,5)求得)
平均值法
蒙特卡洛模拟法计算定积分时还有另一种方法，叫平均值法。
这个原理也很简单：设随机变量服从上的均匀分布，则的数学期望为
所以估计的值就是估计的数学期望值。
由辛钦大数定律，可以用
的观察值的均值取估计的数学期望。
具体做法：
先用计算机产生个服从上均匀分布的随机数：。
对每一个，计算。
计算。
譬如，计算，R中的代码为
n=10^4;
x=runif(n);
f=function(x)
{
exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)
}
J=mean(f(x));
其精确值和模拟值如下：
表3
真实值
平均值法与随机投点法类似可以进行扩展，这里不再赘述。
结论
用蒙特卡洛模拟法计算定积分具有普遍意义。
蒙特卡洛模拟方法为我们提供了一个看待世界的新思路，即一个不具随机性的事件可以通过一定的方法用随机事件来模拟或逼近。