高中数学联赛多项式专题练习(详解版)
2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛一试试题(解析版)
2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛一试试题考试时间:8:00-9:20填空题(1-8题每题8分，第9题16分，第10，11题每题20分，共120分)1．设整数集合{}12345A a a a a a =，，，，，若A 中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为{}30,15,10,6,5,3,26,10,15B =------，，则集合A =.2．已知函数()201ln 102x x f x x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，，若关于x 的方程()()f f x m =恰有三个不相等的实数根123,,x x x 且满足123x x x <<，则()1229ln 4x x ++的取值范围是.3．从1,2,,2024 中任取两个数()a b a b ≤，，则37a b +的值中，个位数字为8的数有个.4．设复数z 满足32i 6z -=，令21107457iz z z z -+=-+，则1z 的最大值是.5．已知函数()*,1,,,N ,,,x x f x q q x p q p q p q p p ⎧⎪=+⎨=∈>⎪⎩若为无理数若其中且互质，则函数()f x 在区间89,910⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最大值为.6．对于0c >，若非零实数a b ，满足224240a ab b c -+-=，且使2a b +最大，则342a b c -+的最小值为.7．已知函数()44cos sin sin4f x x x a x b =++-，且π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数.若方程+=0在[]0,π上有四个不同的实数解1234，，，x x x x ，则12344x x x x f +++⎛⎫ ⎪⎝⎭的平方值为.8．已知{}1,2,,2625A ⊆ ，且A 中任意两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，则A 的最大值为.9．设多项式202320240()i i f x x cx ==+∑，其中{}1,0,1i c ∈-.记N 为()f x 的正整数根的个数（含重根）.若()f x 无负整数根，N 的最大值是.10．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 上的一点，且11,A EF =为截面1A BD 上的动点，则AF FE +的最小值等于.11．数列{}n a 定义如下：设()()2!!2024!n n n +写成既约分数后的分母为(),n A n a 等于()2A n 的最大质因数，则n a 的最大值等于.2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛二试试题考试时间:9:40-12:3012．设,,a b c 是三个正数，求证：++13．如图所示，锐角ABC V 的三条高线AD ，BE ，CF 交于点H ，过点F 作//FG AC 交直线BC 于点G ，设 CFG 的外接圆为O O ，与直线AC 的另一个交点为P ，过P 作//PQ DE 交直线AD 于点Q ，连接OD ，OQ .求证:OD OQ =.14．有n 个球队参加比赛，球队之间的比赛计划已经安排好了.但是每场比赛的主场客场还没有分配好.这时每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数.最终组委会发现这些次数加在一起恰好是比赛的总场次，并且组委会还发现任意挑出若干支球队，他们能够接受的客场次数之和都要大于等于他们之间的比赛总场次.请问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意，请证明你的结论.15．设12n a a a ，，，为n 个两两不同的正整数且12n a a a 恰有4048个质因数.如果12n a a a ，，，中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方，求n 的最大值.1．{}2,1,1,3,5--【分析】依据总的乘积，绝对值最大的乘积，绝对值最小的乘积去分析集合A 中的各元素即可.【详解】A 中所有三元子集共有35C 10=个，A 中的每个元素在这些三元子集中均出现了10365⨯=次，故()()()()()()()612345301510653261015a a a a a =-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯，1234530a a a a a =，因为集合B 中的元素有6个负数4个正数，故集合A 中的元素有2个负数3个正数，所以1234530a a a a a =，不妨设12345a a a a a ≤≤≤≤，三个元素之积绝对值最大时，34530a a a =-，121a a =-，又A 为整数集合，所以11a =，21a =-或者11a =-，21a =；三个元素之积绝对值最小时，1232a a a =，又121a a =-，所以32a =-，4515a a =，因为集合A 中的元素有2个负数3个正数，故4a 、5a 均为正整数，所以43a =，55a =，故{}2,1,1,3,5A =--.故答案为：{}2,1,1,3,5--.【点睛】关键点点睛：本题考查集合的子集，关键是理解题目的意思，并从“总的乘积，绝对值最大的乘积，绝对值最小的乘积”这些不同的角度去分析集合A 中的各元素.2．11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】求出嵌套函数解析式4,2,1(())ln 2,20,211ln ln 11,022x x f f x x x x x ⎧⎪+<-⎪⎪⎪⎛⎫=+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤⎛⎫++≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩，作出其图象，得到0ln 2m ≤<，化简得()121ln 229221ln 4ln 2x x m ⎛⎫- ⎪+=- ⎪++ ⎪⎝⎭，设右边为新函数，根据其单调性得到范围.【详解】当2x <-时，则20x +<，则()()224f f x x x =++=+，当20x -≤<时，022x £+<，则()()()11ln 21ln 222f f x x x ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当0x ≥时，()()11ln ln 1122f f x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即4,2,1(())ln 2,20,211ln ln 11,022x x f f x x x x x ⎧⎪+<-⎪⎪⎪⎛⎫=+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤⎛⎫++≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩方程(())f f x m =恰有三个不相等的实数根等价于直线y m =与函数(())y f f x =的图象有三个不同交点，因此0ln 2m ≤<.此时14x m +=且21ln 22x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则14x m =-，()2ln 4ln 2x m +=+，从而()121ln 22921221ln 4ln 2ln 2x m x m m ⎛⎫- ⎪++==- ⎪+++ ⎪⎝⎭，设()1ln 2221ln 2h m m ⎛⎫- ⎪=- ⎪+ ⎪⎝⎭，则其在[0,ln 2)上单调递增，因此()1229ln 4x x ++的取值范围是11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用分段函数的解析式求出()()y f f x =的表达式，然后利用转化法、数形结合思想进行求解.。
多项式专项小练习(附详细答案)
一、概念考察:1. 叫做多项式. 叫做多项式的项. , 叫做常数项2. 叫做多项式的次数, 统称整式.二、实践应用：1.式子 m−n 5, −8 ,−119ab , y x −2 , 1a , 1m−n 中，多项式有哪几个？2.多项式x 2y 3−2xy 3−8的各项分别是： 。
3.多项式x 2y 3−2xy 3−8的项数和次数分别是 。
4.多项式3x y 2−8x 3y 3−6x 3y −5是 次 项式，其中最高次项是 ，常数项是 。
5.一个只含字母x 的二次三项式，二次项系数是3，一次项系数是-1，常数项是8，则这个多项式是 。
6.若多项式（m −3）x 2−4x −(m +2)是关于x 的一次多项式，则m = ,若它是关于x 的二次二项式，则m= 。
7.已知a 是两位数，b 是一位数，把a 写在b 的前面，就成为一个三位数，则这个三位数可表示为： 。
8.有一组多项式：m −n 2 , m 2+n 4 , m 3−n 6 , m 4+n 8 ,⋯,请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第9个多项式为 。
一、概念考察:1. 几个单项式的和 叫做多项式. 每个单项式 叫做多项式的项. , 不含字母的项 叫做常数项2. 多项式里，次数最高项的次数 叫做多项式的次数, 单项式和多项式 统称整式.二、实践应用：1.式子m−n 5, −8 ,−119ab , y x −2 , 1a , 1m−n 中，单项式和多项式各有哪几个？答：单项式：−8 ,−119ab , 多项式：m−n 5 2.多项式x 2y 3−2xy 3−8的各项分别是： x 2y 3，−2xy 3， −8共三项 。
3.多项式x 2y 3−2xy 3−8的项数和次数分别是 项数为3，次数为5 。
4.多项式3x y 2−8x 3y 3−6x 3y −5是 六 次 四 项式，其中最高次项是−8x 3y 3，常数项是 −5 。
5.一个只含字母x 的二次三项式，二次项系数是3，一次项系数是-1，常数项是8，则这个多项式是 3x 2−x +8 。
polynomial 竞赛题及解析
文章标题：深度解析：多项式竞赛题及解析1. 引言在数学竞赛中，多项式是一个常见且重要的题型。
通过对多项式的理解和运用，可以帮助我们提高数学解题的能力，培养逻辑思维和数学推理能力。
接下来，我们将深入探讨多项式竞赛题及其解析，希望能为大家在数学竞赛中更好地应对多项式题型提供一些帮助。
2. 什么是多项式？让我们来了解一下多项式的基本概念。
多项式是由常数和自变量的非负整数次幂以及它们的乘积和构成的代数表达式。
一般来说，多项式的形式可以写为P(x) = an*x^n + an-1*x^(n-1) + ... + a1*x + a0，其中n为非负整数，an,an-1,...,a1,a0为常数，也被称为多项式的系数。
3. 多项式竞赛题例析接下来，我们通过几个多项式竞赛题的例子来深入探讨多项式题型的解析。
例题一：已知多项式P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4，求P(2)的值。
解析：将x=2代入多项式P(x)中，得到P(2) = 2^3 - 2*2^2 + 3*2 - 4 = 8 - 8 + 6 - 4 = 2。
P(2)的值为2。
例题二：已知多项式P(x)除以(x-1)的余数为3，除以(x-2)的余数为4，求P(x)。
解析：根据题意，我们可以将多项式P(x)表示为P(x) = (x-1)q1(x) +3 = (x-2)q2(x) + 4，其中q1(x)和q2(x)分别为商式。
解方程组得到q1(x)和q2(x)，然后将它们代入上式，即可得到P(x)。
4. 总结与回顾通过以上的例子，我们对多项式竞赛题有了更深入的了解。
在解题过程中，我们需要灵活运用多项式的基本性质和运算规律，结合数学推理能力，才能更好地解决复杂的多项式竞赛题。
5. 个人观点和理解在实际解题中，多项式竞赛题常常需要综合运用多项式的性质和相关知识，因此我们在日常学习中应该多加练习，提高对多项式的理解和运用能力。
多与他人交流讨论，多思考多探索，也是解决多项式竞赛题的有效途径。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题13 多项式(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题13 多项式 （50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2021·全国·高三竞赛）若33223(2011)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-=__________．【答案】8- 【解析】 【分析】 【详解】令x 1,y 2==-，条件式立即化为3(2)248a b c d -=-+-，即2488a b c d -+-=-. 故答案为：8-.2．（2019·全国·高三竞赛）若a>b>，a+b+c=0，且12x x 、为20ax bx c ++=的两实根.则2212x x -的取值范围为______. 【答案】[)0,3 【解析】 【详解】由a+b+c=0，知方程20ax bx c ++=有一个实根为1，不妨设11x =. 则由韦达定理知2cx a=. 而a ＞b ＞c ，a+b+c=0，故 a ＞0，c ＜0，且a ＞-a-c ＞c. 则122c a -<<-. 故222144c x a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭. 从而，[)22120,3x x -∈.故答案为[)0,33．（2018·湖南·高三竞赛）四次多项式432182001984x x kx x -++-的四个根中有两个根的积为-32，则实数k=_____. 【答案】86 【解析】 【详解】设多项式432182001984x x kx x -++-的四个根为1234x x x x 、、、，则由韦达定理，得1234121314232434123124134234123418,,200,1984.x x x x x x x x x x x x x x x x k x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++++=⎪⎨+++=-⎪⎪=-⎩设1232x x =-，则3462x x =，故()()12346232200x x x x +-+=-.又123418x x x x +++=，所以12344,14,x x x x +=⎧⎨+=⎩ 故()()1234123486k x x x x x x x x =++++=. 故答案为864．（2018·湖南·高三竞赛）已知n 为正整数，若22310616n n n n +-+-是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____. 【答案】811【解析】 【详解】因为()()()()225231061682n n n n n n n n +-+-=--+-，当21n -=±时，若()()8,55,31n n n ++=+=，则22310616n n n n +---是一个既约分数，故当3n =时，该分数是既约分数. 所以这个分数为811. 故答案为8115．（2019·全国·高三竞赛）已知关于x 的方程320x ax bx c +++=的三个非零实根成等比数列，则33a c b -=______.【答案】0 【解析】 【详解】设这三个根分别为2d dq dq 、、，由韦达定理得22222333d dq dq a d q d q d q b d q c ⎧++=-⎪++=⎨⎪=-⎩①②③÷②①得bdq a=-， 代入式③得3b c a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故330a c b -=.故答案为06．（2021·全国·高三竞赛）若实数a ，b 满足22(1)(1)2,411b a a b a b+--=+=+-则55a b -=_________．【答案】82 【解析】 【分析】 【详解】2222(1)(1)4(1)(1)(1)(1)4(1)(1)11b a b b a a a b a b+-+=⇔-++--=+-+-， 22()[()3]()2()244()41a b a b ab a b ab a b a b ab ab ⇔--+-----+=+--⇔=， 55223322()()()82a b a b a b a b a b -=+---=．故答案为：82.7．（2019·全国·高三竞赛）已知实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=，227ax by +=，3316ax by +=，4442ax by +=.则55ax by +=______.【答案】20 【解析】 【详解】由3316ax by += ()()()3316ax by x y x y ⇒++=+()()()442216ax by xy ax by x y ⇒+++=+ ()42716xy x y ⇒+=+， ①227ax by += ()()()227ax by x y x y ⇒++=+ ()()()337ax by xy ax by x y ⇒+++=+()1637xy x y ⇒+=+， ②联立式①、②解得14x y +=-，38xy =-. 则4442ax by += ()()()4442ax by x y x y ⇒++=+()()()553342ax by xy ax by x y ⇒+++=+()55421620ax by x y xy ⇒+=+-=.故答案为208．（2019·全国·高三竞赛）设抛物线2y x =的一条弦PQ 被直线l ：()()11y k x k Z =-+∈垂直平分.则弦PQ 的长等于_______.【解析】 【详解】设直线PQ 的方程为1y x b k=-+（显然0k ≠，否则，l 不可能垂直平分PQ ）.由2,1,y x y x b k ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消去x 并整理得20y ky bk +-=. 由PQ 与抛物线2y x =有两个不同交点，知上式的判别式大于零，即240k bk +>.①设PQ 的中点为M ，则有2M k y =-，22M kx bk =+.而M 在直线l 上，所以，2111122k k k bk ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭.②将式②代入式①整理得()()212220k k k k+-+<. 解得20k -<<. 又由k Z ∈，知1k =-.将1k =-代入式②，得1b =-.于是，直线PQ 的方程为1y x =-. 由21,y x y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得2310x x -+=. 设1x 、2x 为其两根，根据韦达定理得 123x x +=，121x x =.故12PQ x =-==9．（2019·全国·高三竞赛）对正整数k ，方程()()222a kb kc k --=-的整数解组(),,a b c 有_____个． 【答案】无数 【解析】 【详解】取1,a b c ab k =+=-. 则22222c k a b kab k k -=-+-()()()2222222ak b k a b k a b k --=-++.因()()2222121121a b b b b b ab +=++=++=+，所以，()()222a kb kc k --=-.由b 的任意性知，方程有无数个解. 故答案为无数10．（2018·全国·高三竞赛）在复数范围内，方程()210x px p ++=∈R 的两根为α、β．若1αβ-=，则p =______．【答案】【解析】 【详解】，此时，p =此时，p =11．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，4，…，1000中，能写成()221a b a N -+∈的形式，且不能被3整除的数有________个． 【答案】501. 【解析】 【详解】 设{}1,2,3,4,,1000S =，若221n a b =-+，则()3mod4n ≠.又()()2242211k k k =--+，()()2241111k k k +=+--+，()()22422121k k k +=+-+，因此，221n a b =-+当且仅当()3mod44n ≠.令(){|3mod44}A a S a =∈≡，(){|0mod3}B b S b =∈≡，则(){|3mod12}A B c S c ⋂=∈≡，因为250A =，333B =，84A B ⋂=，从而符合条件的数的个数为100025033384501--+=. 故答案为50112．（2020·浙江·高三竞赛）设曲线C ：32()32f x x x x =-+，若对于任意实数k ，直线y kx b =+与曲线C 有且只有一个交点，则b 的取值范围为__________. 【答案】∅. 【解析】 【详解】直线y kx b =+与曲线C 联立，消去y 得：323(2)0x x k x b -+--=， 法1：由题设，该方程对任意的k ∈R ，均有且又只有一个实数解，设()323(2)g x x x k x b =-+--，则()236(2)g x x x k '=-+-，则()361220k ∆=--≤对任意的k ∈R 恒成立，这不可能成立， 故b 的取值范围为∅. 法2：设方程的根为0x ，则()()32203(2)x x k x b x x x mx n -+--=-++.由题意得，方程20x mx n ++=无解，或方程的根为0x .对比两边的系数得：000003325m x mx n mx k n k nx b b n x ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=-⇒=-⎨⎨⎪⎪-=-⎩⎪=⎪⎩. 因为k R ∀∈，所以n R ∈，方程20x mx n ++=化为 20030bx x x x ++=. ()* （1）方程()*无解时，则200940bx x ∆=-<，即09b x >对任意00x ≠恒成立， 故b 的取值范围为∅.（2）方程()*有唯一的解0x ，则020094904b x x x b ∆=-=⇒=，于是22943049b b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，矛盾. 综上所述，b 的取值范围为∅. 故答案为：∅13．（2019·江苏·高三竞赛）若x +y －2是关于x 、y 的多项式2256x axy by x y ++-++的因式，则a －b 的值是________ . 【答案】1 【解析】 【分析】结合因式分解待定系数()()22562x axy by x y x y x by m ++-++=+-++，即可得解.【详解】由题：x +y －2是关于x 、y 的多项式2256x axy by x y ++-++的因式，所以()()22562x axy by x y x y x by m ++-++=+-++即()()()2222561222x axy by x y x b xy by m x m b y m ++-++=++++-+--所以1252126a b m m b m =+⎧⎪-=-⎪⎨-=⎪⎪-=⎩，解得123a b m =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以a －b 的值是1.故答案为：1 【点睛】此题考查多项式因式分解，利用待定系数法求解系数，也可利用赋值法，结合特殊值求解.14．（2019·江西·高三竞赛）设x >0，且2217x x +=，则551x x +=____________ . 【答案】123 【解析】 【详解】2221129x x x x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以13x x +=. 由2242411492x x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则44147x x +=，所以54325234111111x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-⋅+⋅-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭42421111x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3(4771)=-+123=.故答案为：123．15．（2019·江西·高三竞赛）将集合{1，2，……，19}中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_________ . 【答案】16815 【解析】 【详解】所求的和为()22221(1219)12192⎡⎤+++-+++⎣⎦1(361002470)2=-16815=.故答案为：16815．16．（2019·山东·高三竞赛）整数n 使得多项式f (x )=3x 3－nx －n －2，可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n 的可能值的和为______ . 【答案】192 【解析】 【详解】由题意知f (x )=(ax 2+bx +c )(dx +e )，其中a 、b 、cd 、e 均为整数，且不妨设(a ，d )=(1，3)或(3，1).若(a ，d )=(1，3)，则－5=f (－1)=(1－b +c )(－3+e )，所以(3)|(5)e -+-，得e =－2，2，4，8；又03e f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得33(36)e ne n =--，有3|e ，矛盾.若(a ，d )=(3，1)，一方面由－5=f (－1)得(e －1)|(－5)，有e =－4，0，2，6； 另一方面f (e )=0，得3e 3－ne －n －2=0，故可以求得n 的值为38，－2，26，130. 所以所求之和为192. 故答案为：192．17．（2019·全国·高三竞赛）已知关于x 的方程()()2201000x a x a a +-+=≠的两根均为整数．则实数a 的值为______． 【答案】4024 【解析】 【详解】设方程的根为1x 、()212x x x ≤．由韦达定理得()122010x x a +=--，12x x a =．则12122010x x x x ++=，即()()12112011x x ++=．又因为2011为质数，所以，120,2010x x =⎧⎨=⎩或122012,2.x x =-⎧⎨=-⎩故0a =（舍）或4024a =．18．（2019·全国·高三竞赛）已知实系数方程3210ax x bx -+-=有三个正实根.则()23563a ab P a b a -+=-的最小值为______.【答案】108. 【解析】 【详解】设3210ax x bx -+-=的三个正实根为1v 、2v 、3v . 由韦达定理得1231v v v a++=， ① 122331bv v v v v v a++=， ② 1231v v v a=. ③ 由式①、②得0a >，0b >.由式①、③得1a≥ ④ 而()()2122331123213331b v v v v v v v v v ab a a ++≤++⇒⋅≤⇒≤. 故()()223356351a ab a P a b a a b a -++=≥--. 又()()()2313121231231231111222v v v v v v v v v v v v v v v a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-≤⇒---≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()229410514a ab a a b a ⇒-+≥⇒+≥-.则()()3244108a b a P a b a a-≥=≥-.故当a =b =P 取最小值108. 故答案为10819．（2019·全国·高三竞赛）若123x x x 、、是关于x 的一元三次方程325510x x x -++=的三个两两不等的复数根，则代数式()()()222222112222333311x x x x x x x x x x x x ++++++的值为______．【答案】625 【解析】 【详解】 由韦达定理得1235x x x ++=，1223315x x x x x x ++=，1231x x x =-．则()()()222222112222333311x x x x x x x x x x x x ++++++333333233112122331x x x x x x x x x x x x ---=⋅⋅--- ()22112212551551x x x x x x -----=⋅- ()22223323551551x x x x x x ------ ()22331131551551xx x x x x -----⋅-()()()122331125111x x x x x x =+-+-+- ()()()312125444625x x x =---=.20．（2019·全国·高三竞赛）对x ∈R ，n +∈N ，定义()()11!nxx x x n C n --+=．设()P x 是一个6次多项式且满足()01P =，()()121,2,,6k P k k -==．用()1,2,,6kx C k =表示()P x =______．【答案】2461x x x C C C +++【解析】 【详解】由()01P =，知存在多项式()1Q x 使得()()11P x xQ x =+． 故()()11111P Q ==+，有()110Q =．又有多项式()2Q x 使得()()()121Q x x Q x =-，即()()()211P x x x Q x =+-． 故()()222122P Q ==+，有()2122Q =． 从而，又有多项式()3Q x 使得()()()23122Q x x Q x =-+．则()()()()23112x P x C x x x Q x =++--．又由()()343133!2P Q ==++，知()330Q =．故()()()343Q x x Q x =-，()()()()()241123x P x C x x x x Q x =++---． 进一步有()()()()()()24511234x x P x C C x x x x x Q x =+++----． 继续下去并利用()P x 是6次多项式可得()2461x x x P x C C C =+++．故答案为2461x x x C C C +++21．（2018·河北·高三竞赛）若实数x 、y 、z 满足2223x y z ++=，224x y z +-=，则max min z z +=_____.【答案】169- 【解析】 【详解】由柯西不等式得()()()2222122x y x y ++≥+，由已知得2223x y z +=-，()()22242x y z +=+，所以有()()225342z z -≥+，化简得291610z z ++≤，即max Z 、min Z 为方程291610z z ++=的两根，由韦达定理得max min 169Z Z +=-. 22．（2018·福建·高三竞赛）已知整系数多项式()543212345f x x a x a x a x a x a =+++++，若0f=，()()130f f +=，则()1f -=______．【答案】24 【解析】 【详解】设0x 0x (202x =，于是20032x -+=，2001x =+．所以()()2221x =+，42001010xx -+=．所以0x ()42101g x x x =-+的一个根．又0x所以()g x 整除()f x ．故()()()()()42101f x g x x r x x x r =-=-+-，r 为整数．所以()()18188f r r =--=-+，()()383248f r r =--=-+． 由()()130f f +=，得()()882480r r -++-+=，2r =．所以()()()421012f x x x x =-+-，()124f -=．23．（2018·全国·高三竞赛）设a 、b 、R c ∈.且满足方程组，222210110,450.a b c a a bc a ⎧++--=⎨---=⎩则ab bc ca ++的取值范围是__________.【答案】[]40,72- 【解析】 【详解】由题设得245bc a a =--，2221011b c a a +=-++.则()1b c a +====±+.由根与系数关系知，b 、c 是关于t 的一元二次方程()221450ta t a a ++--=的两个实根.由()()2214450a a a ∆=+---≥，解得17a -≤≤.令()()()2145f a ab bc ca a b c bc a a a a =++=++=±++--，所以，()()5212f a a a ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦或()()()5117f a a a =-+-≤≤.易知，当()()51f a a =-+时，()400f a -≤≤；当()()5212f a a a ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦时，()49728f a -≤≤.所以ab bc ca ++的取值范围是[]40,72.-24．（2018·全国·高三竞赛）设实数a 使得关于x 的一元二次方程2556617150x ax a -+-=的两个根均是整数.则所有这样的a 是__________. 【答案】870 【解析】 【详解】设两个整数根为1x 、2x ()12x x ≤.由根与系数关系得12a x x =+，从而，a 是整数.由原方程得251715857857135********x x x a x Z Z x x x ---==++∈⇔∈---()5857566x Z x -⇔∈-（因为5与566x -互质）5857664219566566Z Z x x -⨯+⇔∈⇔∈-- 5661x ⇔-=±或4219±（因为4219是质数） 13x ⇔=或857.所以，13857a =+或1313+或857857+，即870a =或26或1714. 由方程有整数根知5a ，这与26a =，1714矛盾.故870a =.25．（2018·全国·高三竞赛）设多项式()f x 满足()()22131101132f x f x x x ++-=++.则()f x =________. 【答案】2235x x ++ 【解析】 【详解】注意到()1f x +与()1f x -的次数相同，而右边为二次的，故()2f x ax bx c =++.代入题设等式并比较两边系数得2,3,5a b c ===.因此，()2235f x x x =++.26．（2018·全国·高三竞赛）已知关于x 的方程32450x x x a -++=（R a ∈）有三个实数根123,,x x x ．则{}123max ,,x x x 的最大值为______．【答案】2 【解析】 【详解】不妨设{}3123max ,,x x x x =．由韦达定理得()()12312312312331223314,4,5545x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=-++=⎧⎧⇒⎨⎨=-+=--++=⎩⎩．于是，以1x 、2x 为根的一元二次方程为()()23334540x x x x x ---+-= ()()2233333445403840x x x x x ⎡⎤⇒∆=----≥⇒-+≤⎣⎦3223x ⇒≤≤． 当32x =时，121x x ==，2a =-． 故{}123max ,,x x x 的最大值为2．27．（2021·全国·高三竞赛）已知多项式202020192020201910()P x a x a x a x a =++++有2020个非零实根（可以有重根），其中012020,,,a a a 为非负整数，求()2020P 的最小值．【答案】20202021 【解析】 【详解】设2020个非零实根为122020,,,x x x ，易知02020,1a a ≥．当0x ≥时，()0P x >，所以0i x <． 由均值不等式知2021202020211,2,,2020)i x i--=．这2020个式子相乘，得()20202020202020201(2020)20202021i i P a xa ==-∏202020202021a =2020202020212021=．当2020()(1)P x x =+时，等号成立．故()2020P 的最小值为20202021． 故答案为：20202021.28．（2021·浙江·高三竞赛）已知方程20x ax b ++=有两个不同的实数根，则()432210x ax b x ax ++--+=有______个不同的实数根. 【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】设1x 与2x 是方程20x ax b ++=的两个不同的根. 由韦达定理知12x x a +=-，12x x b =.不难验证,()43221x ax b x ax ++--+()()()23212121221x x x x x x x x x x =-++-+++()()221211x x x x x x =----,剩下只需证明,方程221210,?10x x x x x x --=--=的根是实数且两两不同. 事实上,这两个方程的判别式显然都是正的,所以个有两个不同的实数根，而若x 是这两个方程的公共根,则有()211x x x ---(()22211)0x x x x x x --=-=,于是0x =，是0x =却明显不是它们的根.所以方程()432210x ax b x ax ++--+=有四个实数根.故答案为：4.29．（2019·福建·高三竞赛）已知532()10f x x x ax bx c =-+++，若方程f (x )=0的根均为实数，m 为这5个实根中最大的根，则m 的最大值为____________ . 【答案】4 【解析】 【详解】设f (x )=0的5个实根为1234x x x x m ，则由韦达定理，得12340m x x x x ++++=，()()123412131423243410m x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++=-.于是，212131423243410x x x x x x x x x x x x m +++++=-+.所以22222341x x x x +++()()212341213142324342x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+++++ ()22221020m m m =--+=-.另一方面，由柯西不等式，知()()22222123412344x x x x x x x x ++++++.于是，()222420,16,4mm m m -.又对f (x )=(x -4)(x +1)4=5321020154x x x x ----， 方程f (x )=0的根均为实数，且5个实根中最大的根m =4. 所以m 的最大值为4. 故答案为：4． 二、解答题(共0分)30．（2021·全国·高三竞赛）设()1212,x x x x <是方程2210a x bx ++=的两个实根，()3434,x x x x <是方程210ax bx ++=的两个实根，若3124x x x x <<<，求实数a 的取值范围. 【答案】{}|1a a > 【解析】 【分析】 【详解】由韦达定理，得121234342211,,,b b x x x x x x x x a a a a +=-=+=-=. 前后两式分别相除，得12341111b x x x x +=-=+. ①因为12210x x a =>，所以12x x 、同号. 若31240x x x x <<<<，3421341211111111,x x x x x x x x <<<+<+，矛盾. 若31240x x x x <<<<，则2134123411111111,x x x x x x x x <<<+<+，矛盾.所以1234x x x x 、、、同号，且有3410x x a=>，即0a >. 又因为3124x x x x <<<，得42131111x x x x <<<，所以341211110x x x x ->->.结合①，得22221212343412341*********x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-->+--⇒> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2a a >，结合0a >，知实数a 的取值范围为{}|1a a >.31．（2021·全国·高三竞赛）已知实数x 、y 、z 满足11112020,2020x y z x y z ++=++=求证：x 、y 、z 中至少一个为2020． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】由题意知()2020xy yz zx xyz ++=，故：()()()202020202020x y z ---232020()2020()2020xyz xy yz zx x y z =-+++++- 22020(2020)0x y z =++-=，故x 、y 、z 中至少一个为2020．32．（2020·浙江·高三竞赛）已知()P x ，()Q x 为整系数多项式，若()22()2020()1P x x Q x --=，求()P x ，()Q x . 【答案】答案见解析 【解析】 【详解】由题意得：()22()12020()P x x Q x -=-，即[][]()2()1()12020()P x P x x Q x -+=-.因为()()112P x P x +--=⎡⎤⎣⎦，故()()1,1P x P x +-无公约式， 若()0Q x =，则()1P x =±，若()0Q x ≠， 因为()P x ，()Q x 为整系数多项式，则()()()212()12020()1P x x q x P x q x ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩或()()()212()12020()1P x x q x P x q x ⎧+=-⎪⎨-=⎪⎩，其中()()12,q x q x 无公约式，若()()()212()12020()1P x x q x P x q x ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，则()()()22120202q x x q x =-+， 故()()21()20201P x x q x =-+，()()()()21120202Q x q x x q x ⎡⎤=-+⎣⎦，同理当()()()212()12020()1P x x q x P x q x ⎧+=-⎪⎨-=⎪⎩时，()()21()20201P x x q x =--，()()()()21120202Q x q x x q x ⎡⎤=--⎣⎦， 综上，()()21()20201P x x q x =--，()()()()21120202Q x q x x q x ⎡⎤=--⎣⎦ 或()()21()20201P x x q x =-+，()()()()21120202Q x q x x q x ⎡⎤=-+⎣⎦，()1q x 为整系数的多项式.33．（2019·新疆·高三竞赛）已知x 、y 、z 是正数且满足81535x y xy y z yz z x zx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩.则x +y +z +xy =____________ . 【答案】15 【解析】 【分析】根据x +y +xy =8知x +y +xy +1=9，即(1)(1)9x y ++=，同理对方程组变形，作商求解. 【详解】由x +y +xy =8知x +y +xy +1=9，即(1)(1)9x y ++=.① 同理可得(1)(1)16(1)(1)36y z z x ++=⎧⎨++=⎩，② 结合①和②可得(1)(1)(1)346x y z +++=⨯⨯，③ 由①和③可知z =7. 同理由②③可得72x =，y =1.从而x +y +z +xy =15. 故答案为：15【点睛】此题考查解三元二次方程组，涉及利用因式分解整体代入求解方程，对代数式的综合处理能力要求较高.34．（2019·山东·高三竞赛）已知4239n n -+是素数，求正整数n 的所有可能值 【答案】n =1，n =2 【解析】 【详解】因为()()4222393333n n n n n n -+=++-+，所以或n 2－3n +3=1，解得n =1，2.将n =1，n =2代入检验均满足题意，所以n =1，n =2为所求.35．（2019·全国·高三竞赛）设实数a 、b 、c 、d 满足2222331a b c d a b c d abc bcd cda dab +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩.证明：()()()()33331111a a b b c c d d -=-=-=-. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 根据恒等式得()()22222132ab bc cd da ac bd a b c d a b c d ⎡⎤+++++=+++-+++=⎣⎦. 设()()31f x x x =-.只需证明：()()()()f a f b f c f d ===. 注意到，()()()()x a x b x c x d abcd -----()()()432x a b c d x ab bc cd da ac bd x abc bcd cda dab x =-+++++++++-+++()()3432331x x x x x x f x =-+-=-=-. 则()()()()()f x abcd x a x b x c x d =-----.令,,,x a b c d =，分别代入上式得()()()()f a f b f c f d ===. ()()()()33331111a a b b c c d d ⇒-=-=-=-.36．（2019·全国·高三竞赛）若()t t R ∈为某一整系数多项式的根，则称t 为“代数数”.否则，称t 为“超越数”，证明：（1）可数个可数集的并为可数集； （2）存在超越数.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【详解】（1）设12,,,,n I I I ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为可数集（注意到，题中所述的可数集有可数个.则可对这些集合进行自然数编号）.设{}1212,,,i ii I x x I I I U =⋅⋅⋅=⋃⋅⋅⋅.将ij x 与i j 对应（i 、j 均为正整数），则i j 为有理数.故I 中有元素与有理数集中的元素一一对应.因为有理数集为可数集，所以，I 为可数集. （2）设所有i 次整系数多项式的根构成的集合为i I .只需证明：i 次整系数多项式有可数个，即1110i i i i a x a x a x a --++⋅⋅⋅++，其中，12,,,i a a a ⋅⋅⋅均为正整数，有可数种取值. 用数学归纳法证明.（i ）证明10a x a +有可数个，对固定的1a 、0a 有可数种取值，又1a 有可数种取值，由（1）知可数个可数集的并为可数集.因此，10a x a +有可数个. （ii ）假设1110i i a xa x a --+⋅⋅⋅++有可数个.对固定的i a ，则1110i i a x a x a --+⋅⋅⋅++有可数个.又i a 有可数种取值，则由（1）知1110i i i i a x a x a x a --++⋅⋅⋅++有可数个，每个整系数多项式有可数个根，而i 次整系数多项式有可数个，故i 次整系数多项式的所有根构成的集合i I 为可数集.由（1）知12I I I =⋃⋃⋅⋅⋅为可数集，即代数数集为可数集. 又R 为不可数集，故超越数一定存在.37．（2019·全国·高三竞赛）是否存在实数k ，使得()()()555222333,,x y z k x y z xy z f x y z x y z+++++++=++是一个三元多项式．【答案】56k =-【解析】 【详解】假设存在这样的实数k ．则()()555222333x y z k x y z x y z +++++++有因式x y z ++． 令1y z ==．则2x +是()()532222x k x x ++++的因式．作多项式除法．用()53212242k x kx kx k +++++除以2x +的余式为3630k --．要使2x +整除()()532222x k x x ++++，则5363006k k --=⇒=-．故()()()55522233356,,x y z x y z xy z f x y z x y z++-++++=++()()()52233325532231551556666x y z x y z x y z y z y z x y z-+-+++--=++ ()()()()()()243222222211111223366366x y z x y z yz x y z y yz z x y z y yz z =-+-+--+-+++-+ 综上，这样的实数k 存在，且56k =-．38．（2019·全国·高三竞赛）已知非零实数 a b c t 、、、满足()21a tb cb c t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩. (1)证明：二次方程()()()22220x c b c x b c b c +--+-=必有实根；(2)当15,a =7b =时,求,?c t . 【答案】（1）见解析；（2）1c =，2t = 【解析】 【详解】(1)由()21a tb cb c t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩消去t 得21a c a c b c b b ⎡⎤--⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.变形整理得()()()22220ca c b c a b c b c +--+-=. ①所以,方程()()()22220cx c b c x b c b c +--+-=有实根a .(2)把15,a = 7b =代入式①整理得()()3223737934301363430c c c c c c -+-=⇒--+=.而()223634318190c c c -+=-+>.故1c =.再由a tb c =+,得2t =.39．（2019·全国·高三竞赛）设实数p 、q 、r 满足：存在a 为p 、q 、r 中某一个，且另两个恰为方程()22330x a x a a +-+-=的两实根. 试求333p q r ++的最小可能值.【答案】15 【解析】 【详解】不妨设a p =，则q 、r 恰为方程两根. 由韦达定理知3p q r ++=且23qr p p =-.由()()223430p p p ∆=---≥，知13p -≤≤.则()222222p q r p q r qr ++=++- ()()2223239p p p p =+---=.从而，333p q r ++ ()()2223pqr p q r p q r p q r qr ⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()22333933p p p p p p p ⎡⎤=-+----⎣⎦ 323927p p =-+，其中，13p -≤≤.对()323927f p p p =-+，求导得()()291892f p p p p p =='--.故()f p 在[]2,3上递增，在[]0,2上递减，在[]1,0-上递增. 则()f p 在[]1,3-上最小值为()(){}min 1,215f f -=. 因此，333p q r ++最小值为15.当2p =，2q =，1r =-时，可取到最小值且符合条件. 40．（2019·全国·高三竞赛）设2006个实数122006,,,a a a 满足20061242320073a a a +++=，20061243420085a a a +++=，2006124 4520097a a a+++=， (2006124)2007200840124013a a a+++=，求代数式32006123574013a a a a ++++的值. 【答案】见解析【详解】记2006n =，并定义()1212na a aR x x x x n=++++++. 则所求代数式为320061211357401322a a a a R ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭. ① 记()()()q x R x p x =， ②其中，()()()()12p x x x x n =+++，()q x 是次数小于n 的多项式.由定义可知()()41,2,,21R k k n k =∀=+从而，多项式()()()421p x x q x -+的次数不大于n ，且1,2,,n 是方程()()()4210p x x q x -+=的根.由代数基本定理有()()()()()()42112p x x q x c x x x n -+=---. ③其中，c 是依赖于12,,,n a a a 的常数，比较式③两端n x 的系数可得()1242n c a a a =-+++.将12x =-代入式③，可得()4121nc n -=+. 另外，将12x =代入式③得()()()413521114222212nn p q n ⨯⨯⨯⨯+⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪+⨯⎝⎭⎝⎭. 由式②得()21122212212q R n p ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭==-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭.将上式代入式①得()2211111122401321R n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭+. 41．（2018·全国·高三竞赛）求出所有使111x y x xyx x y z、、++++均为整数的正有理数组(,,)()x y x x y z ≤≤.【答案】()()()()()(),,1,1,1,1,2,2,2,3,6,2,4,4,3,3,3x y x = 【解析】考虑以x y z 、、为根的多项式()()()()()()32f t t x t y t z t x y x t xy yz zx t xyz =---=-+++++-.注意到xyx 均为整数.所以,()f t 是首项系数为1的整系数多项式.又其根均为有理数,其根的分母为首项系数的约数,故其根均为整数,即x y z 、、均为整数.设111k x y z ++=，因为x y z ≤≤，所以311113k x x x y z ≥++=≥⇒≤(1)当1x =时，11y z+为整数. 若1y =,则只能是1x =,得(1,1,l );若2y =,由3x y z z ++=+为整数,知z 为整数,故z 2=,得(1,2,2); 若3y ≥,则111133y z +=+,矛盾. (2)当2x =时,2111114y 22k y y z ≥+=-≥-⇒≤. 若2y =,则只能是1z =,与2z y ≥=矛盾. 若3y =,则6x =,得(2,3,6); 若4y =,则z 4=,得()2,4,4. (3)当3x =时,21111213y 333k y y z ≥+=-≥-=⇒≤.故(3,3,3). 综上,()()()()()(),,1,1,l ,1,2,2,2,3,6,2,4,4,3,3,3x y x =42．（2018·全国·高三竞赛）已知复平面上的正n 边形,其各个顶点对应的复数恰是某个整系数多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++的n 个复根.求该正多边形面积的最小值.【答案】2sin2n nπ【解析】 【详解】设正n 边形的中心对应的复数为a .将复平面的原点平移到a 后,则该正n 边形的顶点均匀分布在一个圆周上,即它们是方程()nx a b -=(b 是某个复数)的解 于是,()()11100C ninn i n i n n i f x x a x a x a b x a ---=++++=-+-∑＝.对比x 各次项的系数,知1n na a --=为整数,所以,a 为有理数；再结合()11n n a a --=为整数,故a为整数.这样,由a 0=(-a)"-b 为整数,知b 为整数.上述讨论表明,该正n 边形的顶点对应的复数是整系数方程()nx a b -=的解.于是,1.故此正n 边形的面积不小于2sin2n nπ. 而方程1n x =的n 个根在复平面上对应一个正n 边形的n 个顶点, 因此,该正多边形面积的最小值为2sin2n nπ. 43．（2021·浙江·高二竞赛）已知二次函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R 有两个不同的零点.若()2210f x x +-=有四个不同的根1234x x x x <<<，且1x ，2x ，3x ，4x 成等差数列，求-a b 的取值范围. 【答案】25,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】 【详解】设()f x 的两个零点为s ，t ，其中s t <，则可知1x ，4x 为2210x x t +--=的两根；2x ，3x 为2210x x s +--=的两根， 所以14232x x x x +=+=-，141x x t =--，231x x s =--， 又a s t -=+，b st =，所以1(1)(1)a b s t st s t -=---=-++，记113x d =-，21x d =-，31x d =+，413x d =+，其中0d >， 所以22123410251999a b x x x x d d ⎛⎫-=-=-≤⎪⎝⎭. 44．（2021·全国·高三竞赛）设函数32()1f x ax x bx =-+-有三个正零点，求22532(,)()a ab g a b a b a -+=-的最小值.【答案】【解析】 【详解】一方面，当a b==方程3()0(0f x x=⇔=，故此函数()f x有三个相等的零(,)g a b=.设方程3210ax x bx-+-=的三个正实根分别为α､β､γ，则由根与系数的关系可得11,,ba a aαβγαββγγααβγ++=++==.故0,0a b>>.由2()3()αβγαββγγα++≥++知：213ba a≥，可得13ba≤.①又由αββγγα++≥ba≥b≥从而有13ba≤，故13a，解得a≤a b≤，即0b a->，所以2210()3a b a a aa⎛⎫<-≤-⎪⎝⎭②由①②可得222232532511531()33a ab a aPa b a a aa aa-+++=≥=--⎛⎫-⎪⎝⎭，其中0a<≤，设()231533ah aa a+-=，则()()()()2223315113a aa ah a'-+-=<，故()h a在⎛⎝⎦为减函数，故()minh a h==⎝⎭故min(,)g a b=45．（2019·江苏·高三竞赛）已知实数a、b、c均不等于0，且2222,2ma b c m a b c++=++=，求222(2)(2)(2)a m ab m bc m cabc-+-+-的值.【答案】12【解析】【分析】设,,a b c为方程()()()0t a t b t c---=的三个实数根，根据题设条件，化简整理得到24mab bc ca++=，代入方程，求得21(2)4abc t m t=-，进而得到21(2)4abc a m a=-，21(2)4abc b m b =-，21(2)4abc c m c =-，代入即可求解.【详解】设,,a b c 为方程()()()0t a t b t c ---=的三个实数根，即32()()0t a b c t ab bc ca t abc -+++++-=的三个实数根， (1)因为2222,2m a b c m a b c ++=++=，从而()222221()24m ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦. 由(1)式得23204m t t mt abc -+-=，即21(2)4abc t m t =-，于是21(2)4abc a m a =-，21(2)4abc b m b =-，21(2)4abc c m c =-， 从而222222(2)(2)(2)(2)(2)(2)a m a b m b c m c a m a b m b c m c abc abc abc abc-+-+----=++44412=++=.【点睛】本题主要考查了代数式的运算，以及方程根的应用，其中解答中根据题设条件，合理化简abc 的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.46．（2019·全国·高三竞赛）已知非常数的整系数多项式()f x 满足()()()()32324432211xx x f x x x x f x +++=-+-+.①证明：对所有正整数()8n n ≥，()f n 至少有五个不同的质因数. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 式①等价于()()()()()()2231111x x x f x x x x f x +++=--++. ②在式②中分别令3x =-1.则()()210f f f f -====⎝⎭⎝⎭.再在式②中令2,0x =-.则()()100f f -==.故2-、1-、0、1()0f x =的根.则 ()()()()()()22111f x x x x x x x g x =++--+， ③ 其中，()g x 为实系数多项式.由式③得()()()()()()2132111f x x x x x x x g x +=++++++. ④将式③、④代入式②得()()1g x g x =+. 设()0nkk k g x a x ==∑.则()01nnkkk k k k a x a x ===+∑∑.考虑两边1n -次项系数知110n n n n a na a na --=+⇒=. 所以，()g x 为常数c .故()()()()()22111f x c x x x x x x =++---，其中，常数{}\0c Z ∈.首先证明：()()()()2118n n n n n ++-≥至少有四个不同的质因数.否则，()()()211n n n n ++-至多有三个不同的质因数2、3、()2,3p p ≠.但1n -、n 、1n +、2n +两两之间的最大公因数为1、2、3，其中两个奇数互质，则为3a 、()bp a b N +∈、.从而，两个偶数为12c +、()23d c d N +⨯∈、.故231c d-=.解得()()(),2,1,3,2c d =.因此，这两个偶数为8、6或16、18.前者不符，后者得到另两个奇数为15、17或17、19，均导致矛盾.其次，假设存在某个正整数()8n n ≥，使得21n n -+的每个质因数都是()()()211n n n n ++-的质因数，且()()()211n n n n ++-恰有四个质因数，否则，结论成立.显然，()()21,11n n n n -+-=.由()()()()21123237n n n n n n -+=+-+=+-+,知()21,11n n n -++=或3，()21,21nn n -++=或7.故()2137a b n n a b N +-+=∈、.但9|21)n n -+（不能，故{}0,1a ∈，则0b >. 由假设知2n +、1n +、n 、1n -的质因数为2、3、7、()2,3,7p p ≠.则()72n +. 考虑其中两个偶数、两个奇数的质因数集合A 、B .显然，2A ∈，2B ≥，{}3A B ⋂⊆.故2A =或3A =且3A ∈.若{}2,3A =或{}2,7，则两个偶数为12c +、23d ⨯或12c +、27d ⨯，得231c d -=或271c d-=.故这两个偶数为16、18或16、14.前者得7 |（n+2）不能；后者使()()()211n n n n ++-有质因数2、3、5、7及13(或17），矛盾. 若{}2,A p =，则2n +为奇数，1n -为偶数. 由33|A ∈⇒(1)3|n -⇒(2)n -.故()27c n +=，3d n =，且{}21,1en n ∈+- ()2,3c d e N c d e +∈≥≥、、、.从而，()()321,2,3d ed e -=⇒=.于是，9n =.则2117c n +=≠，矛盾.若{}2,3,7A =，则{}3,B p =，且2n +为偶数，()2,13n n +-=. 故()2372n ⨯⨯+.从而，2c n =，13d n -=，1e n p += (),3,2c d e N c d +∈≥≥、、.于是，()()231,2,1c dc d -=⇒=，矛盾.若{}2,3,A p =，则{}3,7B =，且2n +为奇数，()2,13n n +-=.故()372n ⨯+. 但(),21n n +=，则n 的奇质因数不是3、7，矛盾.47．（2019·全国·高三竞赛）已知正ABC ∆的三个顶点在抛物线2y x 上.试求正ABC ∆中心的轨迹方程.【答案】()64222918338413k k k y k+++=-，其中，参数k ≠【解析】 【详解】设AB l ：y kx b =+. ① 由对称性，先不妨设0k ≥.将式①与2y x =联立得20x kx b --=.则A B x x k +=，A B x x b =-，240k b ∆=+>.从而，AB 的中点2,22k k M b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且A B AB x =-=则CM l ：2122k k y x b k ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，即224x k y k ++∆=-+. ②由2C k CM =⇒-((11222C C k k k x x ⇒-===+， 其中，{}1,1ε∈.将式②与2y x =联立得2224C Cx k x k ++∆=-+(2213244k k +∆⇒+∆+=(())22221211313k kkk εε+⇒+-∆⇒=-，其中，213k ≠，且()2221,130;sgn 131,130.k k k ε⎧->=-=⎨--<⎩从而，22221213k k ⎛⎫+∆= ⎪-⎝⎭.故(()22226137112213213C k k k k kx k k ⎡⎤++⎢⎥=+=+=⋅--⎢⎥⎣⎦.设ABC ∆的中心(),O x y .则()22221373223613213M C k k k k x x x k k ⎛⎫+-=+=+=⋅⎪--⎝⎭，()26422229183384413x k k k k y k k ++∆+++=-+=-，其中，参数k ≠48．（2019·全国·高三竞赛）已知方程20x px q ++=和20y py r -+=都有实根（p 、q 、r R ∈，0p ≠），且可以安排适当的顺序分别将两个方程的根记为1x 、2x 和1y ，2y .则11221x y x y -=成立的充要条件是()()242421p q r p q r p -+++=. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 （1）必要性依题意有12x x p +=-，12x x q =， 12y y p +=，12y y r =，()201,2i i x px q i ++==， ()201,2j j y py r i -+==. 由11221x y x y -=，得22221122121221x y x y x x y y +-=.则()()()()112221px q py r px q py r qr ---+----=，()()()211221212221p x y x y pr x x pq y y qr qr -+++-++-=.因为0p ≠，所以， 112221x y x y q r p ⎛⎫+=-++ ⎪⎝⎭.又()()221122112212124x y x y x y x y x x y y +--=，即22114q r qr p ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭.化简得()()242421p q r p q r p -+++=. （2）充分性. 因为0p ≠，则()()244212p p q r p q r =+-++()2222p q r p q r ≥-++.若q r ≥，则244p q r ≥≥； 若q r <，则244p r q ≥>.不论哪种情形，均表明方程20x px q ++=与20y py r -+=有实根. 又12x x p +=-，12x x q =，12y y p +=，12y y r =，。
多项式的运算练习题及解析
多项式的运算练习题及解析一、综合练习题1. 计算多项式 P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 在 x = 2 时的值。
解析：将 x = 2 代入多项式 P(x) 中，得到：P(2) = 3(2)^3 - 2(2)^2 + 5(2) - 1= 3(8) - 2(4) + 10 - 1= 24 - 8 + 10 - 1= 25因此，在 x = 2 时，多项式 P(x) 的值为 25。
2. 将多项式 P(x) = 2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x + 6 与多项式 Q(x) = x^3 - 2x + 5 相加，并将结果化简。
解析：将 P(x) 和 Q(x) 相加，得到：P(x) + Q(x) = (2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x + 6) + (x^3 - 2x + 5)= 2x^4 + 3x^3 + x^3 - 5x^2 - 2x + x + 6 + 5= 2x^4 + 4x^3 - 5x^2 - 2x + 11因此，将多项式 P(x) 和 Q(x) 相加后化简后得到 2x^4 + 4x^3 - 5x^2 - 2x + 11。
3. 将多项式 P(x) = 4x^5 - 6x^4 + 2x^3 - x^2 + 8x - 3 与多项式 Q(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5 相乘，并将结果化简。
解析：将 P(x) 和 Q(x) 相乘，得到：P(x) * Q(x) = (4x^5 - 6x^4 + 2x^3 - x^2 + 8x - 3) * (2x^3 - 3x^2 + 5)= 8x^8 - 12x^7 + 4x^6 - 2x^5 + 16x^4 - 6x^3 - 3x^5 + 4x^4 -x^3 + 5x^2 + 8x - 3化简后，将同类项合并得：P(x) * Q(x) = 8x^8 - 12x^7 + 4x^6 - 5x^5 + 20x^4 - 7x^3 + 5x^2 + 8x - 3因此，将多项式 P(x) 和 Q(x) 相乘并化简后得到 8x^8 - 12x^7 + 4x^6 - 5x^5 + 20x^4 - 7x^3 + 5x^2 + 8x - 3。
高中数学联赛多项式专题练习(详解版)
故选B.
【点睛】
本小题主要考查根与系数关系，考查方程的解法，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
4．C
【解析】
【分析】
当 时，计算出所求表达式的值为 ，当 时，根据已知可知 是方程 的解，由此写出根与系数关系，化简所求表达式，由此求得表达式的值.进而求得正确选项.
（1）用含 、 的代数式表示图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为________；
（3）若每块小长方形的面积为 ，四个正方形的面积和为 ，试求 的值.
10．设 是不小于 的实数，关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）令 （ ），求实数 的取值范围.
（2）
.
且 ， 且 ，即 且 .
故实数 的取值范围为 且 .
【点睛】
本小题主要考查根与系数关系，考查一元二次方程的解法，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
11．（1） ， ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系、复数的运算法则即可得出；
4．若实数 、 满足 ， ，则 的值是（）
A． B．2C．2或 D．
二、多选题
5．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是（）
A．这两个方程的根都是负根B．这两个方程的根中可能存在正根
C． D．
三、解答题
6．已知 、 是一元二次方程 的两个实数根．
高中数学计算突破总结训练：多项式类的计算问题总结(含详细解析)
专项1 计算基础（多项式）高中数学没有哪道题是单纯为了计算而设置的题目，但又有哪道题能够离开计算呢？很多同学是不是思路清晰，方法明确，但却算不对呢？甚至有很多同学，一道题算三遍四遍仍然不能算对，计算能力是数学基础中的基础，专项1就高中数学中所有用到的多项式计算类型，特别进行夯实巩固，这里边的所有题目必须都要会做，而且能够“计算正确”。
一、解一元二次方程一元二次方程可以采用的方法有，一是：求根公式x =，首先要求有根，也就是要求240b ac -≥；二是采取因式分解法，因式分解的重要措施就是使用“十字相乘法”，十字相乘法适用于求解20(0)ax bx c a ++=≠，拆分形式图如：m p n q ⎛⎫ ⎪⎝⎭需要满足的条件是：;;;mn a pq c mq pn b =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，m n p q 、、、四个关键参数需要考生观察想到，则该式即可化成：()()0mx p nx q ++=，则两根可解出，但是要知道一点，十字相乘法不是万能的，有些方程因为不能满足上述三个条件而不能使用；三是使用配方法，这个方法在初中的时候，是作为重要方法进行训练的，相信大家没有问题。
二、解一元二次不等式我们统一养成一个习惯，将一元二次不等式的二次项系数处理为正数，之后凡是解“大于零或大于等于零”的一元二次不等式，一律“取两边”； 凡是解“小于零或小于等于零”的，一律“取中间”。
1.已知集合{}|110P x N x =∈≤≤,集合Q ={}2|60x R x x ∈+-≤, 则P Q ⋂2.解下列一元二次方程（1） （2）（3） 3.若01,a <<则不等式1()()0x a x a--<的解是_______________4．()f x =x 的取值范围是________________ 5.若210ax bx +-<的解集为}{|12x x -<<，则a ＝________，b ＝________． 6.解下列不等式(1)(1)(3)52x x x --<-23440x x -++>()()21322x x x x +->--2232142-<---<-x x(2)2(11)3(1)x x x +≥+(3)2(21)(3)3(2)x x x +->+(4)211(1)3x x x x -+>- 7.（1）不等式2210x x --<的解集是_____________. （2）不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是_____________.8.不等式111x x +>-的解集为_____________三、分式不等式解法（1） 第一步要先进行标准化： 移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f xg x <)的形式；或 移项通分化为()0()f x g x ≥(或()0()f x g x ≤)的形式； 这个标准化过程需要同学们注意不等式右侧必须是0；（2） 第二步转化为整式不等式（组）：()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≤⎧<⇔<≤⇔⎨≠⎩ 四、高次不等式解法如果有的分式不等式变成整式不等式后，可能最高次幂会达到或超过三次，那么这就是高次不等式，高次不等式有专门的的解决方法:方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正,这样做的原因是为了减少不必要的出错. 使用方法:① 在数轴上标出化简后各因式的根；即等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.② 自右向左、自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).所谓的偶次重 根、奇次重根是指每个分解后的因式的次幂数为偶数、奇数，不是指每个根是偶数还是奇数。
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。
解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。
解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
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一、单选题
1．若实数 ，且 ， 满足 ， ，则代数式 的值为
A． B．
C． 或 D． 或
2．已知 、 是方程 的两个实数根，则 的值为（）
A． B．2C．22D．30
3．设 的两实根为 ， ，而以 ， 为根的一元二次方程仍是 ，则数对 的个数是（）
A．2B．3C．4D．0
（1）是否存在实数k， 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
（2）求使 的值为整数的实数k的整数值．
7．已知关于 的实系数一元二次方程 的两个复数根为 、 ，试用实数 表示 的值．
8．已知关于 的不等式 ．
（1）若不等式的解集为 ，求 ；
（2）当 时，解此不等式．
9．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为 的小正方形，五块是长为 ，宽为 的全等小长方形，且 .（以上长度单位：cm）
【详解】
设方程 的两根为 、 ，方程 的两根为 、 .由题意知 ， ，又 ， ，
这两个方程的根都是负根，故A正确，B不正确；
， ， ， ，
，
故C正确；
，
， 、 均为负整数， ，
. ， , . ， ，
、 均为负整数， ，
，即 ， ，故D正确.
综上所述，正确的结论有A，C，D.
故选:ACD.
【点睛】
本小题主要考查一元二次方程根与系数关系，考查不等式的证明，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，属于中档题.
四、填空题
13．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的正整数根，则整数 的值是_______.
14．设是_______.
15．已知 ， 是方程 的两个根，则 ____________.
16．若 是方程 的一个根，则 ______.
17．已知 是 的三边长，关于 的方程 的解集中只有一个元素，方程 的根为 ，则 的形状为________；若 为关于 的两个实数根，则实数 的值_________．
6．（1）不存在，理由见解析；（2）－2，－3，－5．
【解析】
【分析】
(1)因为一元二次方程 的两个实数根，所以利用判别式求出 的取值范围，将 化为 结合韦达定理以及 的取值范围，即可判断.
(2)将关系式 化为 ，结合韦达定理以及整除的性质即可求解.
11．关于x的实系数方程 .
（1）设 （i是虚数单位）是方程的根，求实数a，b的值；
（2）证明：当 时，该方程没有实数根.
12．已知m是实数，关于x的方程E：x2﹣mx+（2m+1）＝0．
（1）若m＝2，求方程E在复数范围内的解；
（2）若方程E有两个虚数根x1，x2，且满足|x1﹣x2|＝2，求m的值．
本题主要考查韦达定理的应用以及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.
3．B
【解析】
【分析】
利用根与系数关系列方程，通过解方程求得 的所有可能取值，由此得出正确选项.
【详解】
根据题意得， ①， ②， ③， ④，
由②、④可得 ，解得 或 ，即 或 .
由①、②、③可得 ，即 .
当 时， ，解得 或 ，
即 或 把它们代入原方程的判别式中可知符合题意；
当 时， ，解得 或 ，即 或
【详解】
①当 时， ；
②当 时，因为实数 、 满足 ， 所以 、 可看成是方程 的解，所以 ， .
，
把 ， 代入得 .
综上， 的值为2或 .
故选C.
【点睛】
本小题主要考查根与系数关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
5．ACD
【解析】
【分析】
列出两个方程的根与系数关系，判断A,B两个选项的正确性.根据两个方程的判别式为非负数，判断C选项的正确性.根据两个方程的根与系数关系，分别求得 的表达式，证得 和 ，由此判断D选项的正确性.
本题表面是求出 的值，再代入求值，其实需要转化为利用韦达定理整体代入求解.
2．D
【解析】
【分析】
将 代入方程 ，由此化简 的表达式，根据根与系数的关系求得 ，进而化简求得 的值.
【详解】
是方程 的实根， ，
即 ， ，
原式
， 是方程 的两实根， ， 原式 .
故选:D.
【点睛】
本小题主要考查根与系数关系，考查代数式的变形，属于基础题.
4．若实数 、 满足 ， ，则 的值是（）
A． B．2C．2或 D．
二、多选题
5．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是（）
A．这两个方程的根都是负根B．这两个方程的根中可能存在正根
C． D．
三、解答题
6．已知 、 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）用含 、 的代数式表示图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为________；
（3）若每块小长方形的面积为 ，四个正方形的面积和为 ，试求 的值.
10．设 是不小于 的实数，关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）令 （ ），求实数 的取值范围.
把它们代入原方程的判别式中可知 不合题意，舍去.所以数对 的个数是3，
故选B.
【点睛】
本小题主要考查根与系数关系，考查方程的解法，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
4．C
【解析】
【分析】
当 时，计算出所求表达式的值为 ，当 时，根据已知可知 是方程 的解，由此写出根与系数关系，化简所求表达式，由此求得表达式的值.进而求得正确选项.
18．若不等式 的解集是（4，b），则实数a=_____，b=_____.
19．若 、 分别是方程 的两个根，则 ______.
20．已知 ，且 、 （ 是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，那么 的值为________
参考答案
1．A
【解析】
【详解】
满足 ，
可看着方程 的两根，
，
，故选A.
【方法点睛】