2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一)
精选2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考题(含标准答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点,O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．32．(2005全国1文)已知双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（ ） （A ）23（B ）23 （C ）26（D ）3323．（2007四川文）（5）如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)364 (B)362 (C)62(D)324．（2005）抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( ) A ． 2B ． 3C ． 4D ． 55．设点P 是椭圆22195x y +=上的一点，点M 、N 分别是两圆：2221(x )y ++=和2221(x )y -+=上的点，则的最小值、最大值分别为( )(A)6，8 (B)2，6(C)4，8 (D)8，12二、填空题6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，1,B B 分别是双曲线虚轴的上、下端点，,A F分别是双曲线左顶点和坐焦点，若双曲线的离心率为2，则BA 与1B F 夹角的正切值为 ．7． 若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为y =，则它的离心率为 ▲ ．8．已知动圆过定点(0，－1)，且与定直线y ＝1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若090BAO BFO ∠+∠=，则椭圆的离心率是 ．10．.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为_________.11．一圆形纸片的圆心为O 点，Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点，当点A 运动时点P 的轨迹是__ ____。
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。
（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。
已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。
P为C上一点，且PF⊥x轴。
过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。
2024年新高考版数学专题1_9.5 圆锥曲线的综合问题(分层集训)
解析 (1)设动点P的坐标为(x,y),因为| PF | = 5 ,
d5
所以
(x 1)2 y2
=
5 ,即5[(x+1)2+y2]=|x+5|2,整理得 x2 + y2 =1.所以动点P的
| x5|
5
54
轨迹方程为 x2 + y2 =1.
54
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由(1)可得点A的坐标为(0,-2),故直线AM:y=
AC
·BC
=1,
则点C的轨迹为 ( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案 A
3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,8)已知圆C的方程为(x-1)2
+y2=16,B(-1,0),A为圆C上任意一点,若点P为线段AB的垂直平分线与直线
AC的交点,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 + y2 =1
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2 ,四
2
个顶点组成的菱形的面积为8 2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过☉O:x2+y2= 8
上任意点P作☉O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:
PM
·
3
PN
为定值.
解析 (1)由题意得2ab=8 2 ,e= c = 2 ,a2=b2+c2,
2
3
6
,
0
,∴
PM
=
0,
2
3
6
,
PN
=
0,
2
6 3
,
∴
高考数学专题练习——圆锥曲线(一)
两渐近线于 A， B 两点， 且与双曲线在第一象限的交点为 P， 设 O 为坐标原点， 若
uuur uur uuur
OP OA OB ( , R) ，
3 16 ， 则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 3 3
B． 3 5 5
C. 3 2 2
9 D．
8
x2 y 2
24.设 F 为双曲线 C： a2
b2
1(a
OF
点在以原点 O 为圆心，
为半径的圆上， 则直线 PF 的斜率是 _______.
2
40.设抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点为 F ,已知 A， B 为抛物线上的两个动点， 且满足
AFB
60 ,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线
| MN | MN ,垂足为 N,则 | AB | 的最大值
构成以 A1A2 为斜边的直角三角形， 则双曲线离心率 e 的取值范围是（ ）
61
A ． ( 2,
)
2
61
C． (1,
)
2
51
B． ( 2,
)
2
51
D． (
,)
2
6.已 知过 抛物 线 y2 2 px( p 0) 的 焦点 F 的 直线 与抛 物线 交于 A ， B 两点 ， 且 uuur uuur AF 3FB ， 抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C， AA1 l 于点 A1， 若四边形 AA1CF 的面
①曲线 C恰好经过 6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线 C上任意一点到原点的距离都不超过 ③曲线 C所围成的 “心形 ”区域的面积小于 3. 其中 ， 所有正确结论的序号是（ ）
2；
A. ①
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线
1.椭圆C 1：()22210x ya b a b+=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为410.过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线l 与圆C 2：()()22240x y r r -+=>相切于点N . （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）若43AN MN =u u u r u u u u r，求直线l 的方程和圆C 2的半径r .2.已知椭圆C ：1121622=+y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. （1）求21λ⋅λ的值；（2）求证：点Q 在一定直线上.3.已知椭圆C ：)0(12422>>=+b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ .（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切；（2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=•MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . （1）求轨迹W 的方程；（2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .5.已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线1l ：2x =-的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且212d d =.直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；（3）对于直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22116x y m m +=+（m ＞0）的离心率为45，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，F 是其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点． （1）求m 的值及椭圆的准线方程；（2）设过点B 且与x 轴的垂直的直线交AP 于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．7.如图，在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭.F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF ，BF 分别交椭圆于C ，D 两点.（2）若AF FC =，求BFFD的值； （3）设直线AB ，CD 的斜率分别为12,k k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为2，且过点6(2,). （1）求椭圆E 的方程；（2）若点A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，直线l 经过点B 且垂直与轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .①设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；②设过点M 垂直于PB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.9.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于AB 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.10.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点在直线l30y --=上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为14-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线t 经过点(10)P ，，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中02x >）使得A ，B 到0l 的距离A d ，B d 满足||||A B d PA d PB =恒成立？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由.11.已知点11(,)A x y ，22(,)(D x y 其中12)x x <是曲线24(0)y x y =≥上的两点，A ，D 两点在x 轴上的射影分别为点B ，C ，且||2BC =.（I ）当点B 的坐标为(1,0)时，求直线AD 的斜率； （II ）记△OAD 的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：1214S S <.12.已知点C 在圆()22116x y ++=上，A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，线段BC 的垂直平分线交线段AC 于点M . （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设圆222x y r +=与点M 的轨迹E 交于不同的四个点D ，E ，F ，G ，求四边形DEFG 的面积的最大值及相应的四个点的坐标.13.已知椭圆C 1：2214x y +=，曲线C 2上的动点(),M x y 满足：16=.（1）求曲线C 2的方程；（2）设O 为坐标原点，第一象限的点A ，B 分别在C 1和C 2上，2OB OA =u u u v u u u v，求线段|AB |的长.14.已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E过点12⎫⎪⎪⎝⎭，离心率为2. （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程.15.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）已知M ，椭圆C 的离心率为12，直线l 交直线4x =于点P ，求1F MN ∆的周长及1F MP ∆的面积；（2）当224a b +=且点M 在第一象限时，直线l 交y 轴于点Q ，11F M FQ ⊥，证明：点M 在定直线上.16.已知离心率为22的椭圆C ： 22a x +22by =1（a ＞b ＞0）过点P （﹣1，22）．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AB ：y =k （x +1）交椭圆C 于A 、B 两点，交直线l ：x =m 于点M ，设直线PA 、PB 、PM 的斜率依次为k 1、k 2、k 3，问是否存在实数t ，使得k 1+k 2=tk 3？若存在，求出实数t 的值以及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．17.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0),F 左顶点为(2,0).A -（1）求椭圆E 的方程；（2）过点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆E 交于（不同于点A 的）M ,N 两点.试判断直线MN 与x 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.参考答案1.（Ⅰ）由题意知，c a =，即22234a b a-=，∴224a b =，∵由椭圆1C 截直线y x =所得的弦长为5，∴弦在第一象限的端点的坐标为⎝⎭，∴2244155a b +=，将224a b =代入上式，解得2,1a b ==.∴椭圆1C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2,0A -，设()()1122,,,M x y N x y ，∵43AN MN =u u u r u u u u r ，∴14AM AN =u u u u r u u u r，∴214y y =，设直线l 的方程为()20x y =-≠λλ，联立22214x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩λ，得()22440y y +-=λλ，∴1244y =+λλ；联立()22224x y x y r=-⎧⎪⎨-+=⎪⎩λ，得()222112360y y r +-+-=λλ，∵0∆=，∴22361r =+λ，且2261y =+λλ；∴2264414=+⋅+λλλλ，解得245=λ，∴220r =，∴:5100,l x r ±+==2.（1）因为)0,2(-F ，由x BF ⊥轴，由对称轴不妨设)3,2(--B ，则直线)4(23:+-=x y AB 又左准线8:-=x l ，所以)6,8(-P ， 又1λ=，所以111λλ++=同理：由2λ=，得：221λλ++=PAPQ又23=，所以11123λλ++=PQPA又//，比较系数得：12312λλ=，所以2321=•λλ（2）证明：设点),(11y x C ，),(22y x D ，),(00y x Q由CQ BC 1λ=，得101112λλ++-=x x ，11113λλ++-=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)13(4)12(321012101=++-+++-λλλλy x ，整理得：0)962412()4843(100212020=++--+λλy x y x显然01≠λ，所以48439624122020001-+++=y x y x λ 同理：由DA QD 2λ=，得：220214λλ+-=x x ，221λ+=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)1(4)14(32202220=+++-λλλyx同理可得：96244843020202+-+=x y x λ又由（1）2321=λλ，所以2396244843484396241202020202000=+-+•-+++x y x y x y x 整理得：0200=+-y x 即点Q 在定直线02=+-y x 上.3.（1）由题设)2,0(D ，)0,2(F ，)0,2(A ， 又DF AP //，所以DF AP k k =，可得：2=t ， 所以122:=+yx AP ，即2=+y x ， 所以22|2|=-=d ，为圆222=+y x 的半径， 所以直线AP 与圆222=+y x 相切.（2）设)2,(0x Q ，),(11y x E ，由OE OQ ⊥，则⊥，可得02110=+y x x ， 而EQ ：0)(2)2()()2(0101011=-+-----x x x y y x x x y20121101201210101)()2(|2|)()2(|)(2)2(-|x x y x x y x x y x x x y d -+--=-+--+-=由02110=+y x x 得1102x y x -=代入上式， 得42))(4(||2)2()2(||221212122121212121212121212121++=+++=++-+=x x y y x x x y y x y x x y d又422121=+y x ，212124y x -=，代入上式得：2=d所以直线EQ 与圆222=+y x 相切.4.（1）因为B A ,两点关于x 轴对称， 所以AB 边所在直线与y 轴平行，设),(y x M ，由题意，得)3,(x x A ，)3,(x x B -， 所以y x AM -=3||，x y MB 3||+=， 因为3||||=•MB AM ，所以3)3)(3(=+-x y y x ，即1322=-y x ， 所以点M 的轨迹W 的方程为1322=-y x )1(≥x （2）设),(y x M ，则22)(||y m x MP +-=，因为点M 在1322=-y x )1(≥x ，所以3322-=x y ， 所以32433)(||2222-+-=-+-=m mx x x m x MP 343)4(422-+-=m m x若14<m，即4<m ，则当1=x 时，|1|||min -=m MP ； 若14≥m ，即4≥m ，则当4m x =时，12321||2min -=m MP 所以，||PM 的最小值⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=4,1232140|,1|)(2m m m m m f .5.解：设()P x y ，，则1|2|d x =+，2d21d d ==，化简得：2212x y +=.∴椭圆C 的方程为：2212x y +=（2）解：∵(01)A ，，(10)F -，， ∴1010(1)AF k -==--，180OFA OFB ∠+∠=︒，∴1BF k =-，BF ：1(1)1y x x =-+=--代入2212x y +=，得：2340x x +=，∴0x =，或43x =-，代入1y x =--得01x y =⎧⎨=-⎩（舍），或4313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴4133B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11134203ABk -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴AB ：112y x =+ （3）证明：由于180OFA OFB ∠+∠=︒，所以B 关于x 轴的对称点B 1在直线AF 上.设11()A x y ，，22()B x y ，，122()B x y -，设直线AF 方程：(1)y k x =+，代入2212x y +=，得：222212102k x k x k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，2122212k x x k +=-+，2122112k x x k -=+，1212AB y y k x x -=-，AB ：121112()y y y y x x x x --=--，令0y =，得122112111212x x x y x y x x y y y y y --=-=--， 11(1)y k x =+，22(1)y k x =+，()22222112211212122121212212211(1)(1)22222(1)12212k k k k x y x y x k x x k x x x x x x k y y k x k x x x k -⨯-++-⨯++⨯+++=====--+++++-+∴直线l 总经过定点(20)M -，6.解：（1）因为椭圆的离心率为45．所以16161625m =+，解得9m =． 所以椭圆的方程为221259x y += ……3分准线方程为254x =±……5分（2）由题可知()()()5,0,5,0,4,0A B F -，设()00,P x y ．由椭圆的对称性，不妨设00y > ①若04x =，则94,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PF 方程为4x =，AP 方程为15xy =+，()5,2D 以BD 为直径的圆的圆心(5,1)，半径为1与直线PF 相切； ……8分②若04x ≠，则AP 方程为()0055y y x x =++ 令5x =，得00105y y x =+，则00105,5y D x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭以BD 为直径的圆的圆心0055,5y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，半径为0055y x + ……11分 直线PF 方程为()0044y y x x =--，即()000440y x x y y ---=圆心M到直线PF的距离d=……13分=＝()002545455x yxx-+=-＝055yx+所以圆M与直线PF相切……15分综上所述，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．…………16分7.（1）设椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>，由题意知：22121914caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解之得：2ab=⎧⎪⎨⎪⎩22143x y+=（2）若AF FC=，由椭圆对称性，知3(1,)2A，所以3(1,)2B--，此时直线BF方程为3430x y--=，由223430,1,43x yx y--=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x--=，解得137x=（1x=-舍去），故1(1)713317BFFD--==-．（3）设00,)A x y（，则00(,)B x y--，直线AF的方程为0(1)1yy xx=--，代入椭圆方程22143x y+=，得2220000(156)815240x x y x x---+=，因为x x=是该方程的一个解，所以C点的横坐标08552Cxxx-=-，又(,)c CC x y在直线0(1)1yy xx=--上，所以00003(1)152C cy yy xx x-=-=--，同理，D点坐标为085(52xx++，03)52yx+，所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =．8.解：（1）由题意椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为2，且过点， 所以223221,1c a b=+=，解得2,a b ==， 所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）①设000(,)(0)P x y y ≠，则直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++， 令2x =得004(2,)2y M x +，因为01022y k x =+，因为0202y k x =-， 所以212202y k k x =-，因为000(,)(0)P x y y ≠在椭圆上，所以2200143x y +=， 所以1232k k =-为定值， ②直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=， 则直线m 的方程为1111011112242(2)(2)(1)2x x y x y x y x x y y x y ---=-+=-+=++， 所以直线m 过定点(1,0)-.9.由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ P . ......5分 （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分10.解：（1）设椭圆焦距为2c （0c >），右焦点 为(0)c ，，∵直线l 与x 轴的交点坐标为0)∴c =.设椭圆上任意一点()Q x y ，和关于原点对称的两点()M m n ，，()N m n --，，则有22221m n a b +=，22221x y a b +=∴2222220x m y n a b --+=又∵14y n y n x m x m -+⋅=--+即222214y n x m -=--∴2214b a = 又2223c a b =-=，∴24a =，21b =.∴椭圆的方程为2214x y +=.（2）存在04x =符合题意，理由如下：当直线t 的斜率存在时，设直线t 的方程为(1)y k x =-，设11()A x y ，，22()B x y ，联立22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=2222(8)4(41)(44)0k k k =--+->△恒成立2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+ 不妨设121x x >>，∴012021||||||1||||1|]A B d PB d PA x x x x x x -=-⋅---⋅-001212(1)()2]0x x x x x x =-+++=∴2200228(1)8(1)204141x k k x k k +--+=++，整理得0280x -=，即04x =满足条件当直线t 的斜率不存在时，显然04x =满足条件 综上，04x =时符合题意.11.解：（Ⅰ）因为(1,0)B ，所以1(1,),A y 代入24y x =，得到12y = …………………1分 又||2BC =，所以212x x -=，所以23x = …………………2分 代入24y x =，得到123y = …………………3分 所以212123231AD y y k x x --===-- …………………4分（Ⅱ）法一：设直线AD 的方程为y kx m =+.则1211|()|||.2OMD OMA S S S m x x m ∆∆=-=-=…………………6分 由24y kx my x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=,所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………8分 所以21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k =+-=+=+++=,…………………10分 又1204kmy y =>，所以0,0k m >>，所以12124S m km S y y ==+， 因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<.…………………12分 法二：设直线AD 的方程为y kx m =+. 由24y kx m y x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=,所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………6分 2221212||1|1|21AD k x x k x x k =+-=+-=+点O 到直线AD 的距离为d =, 所以||||211m d AD S ==…………8分 所以21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k =+-=+=+++= …………………10分 又1204kmy y =>，所以0,0k m >> 因为16160km ∆=->，所以01km << 所以12124S m km S y y ==+41<…………………12分12.解：（1）由已知得：4MA MB AC +==，而24AB =<，所以点M 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长24a =的椭圆，设(,)M x y ，所以点M 的轨迹E 的方程：22143x y +=．………4分（2）由对称性可知，四边形DEFG 为矩形，不妨设()11,D x y 为椭圆E 上第一象限的点， 则11=4DEFG S x y 矩形，而10x >，10y >，且2211143x y +=，所以2211111=42243DEFG x x y S x y ⎫=⋅≤+=⎪⎭矩形当且仅当12x =1x =， 1y ==”，所以矩形DEFG 的面积的最大值为四个点的坐标为：,⎭，,⎭，,⎛ ⎝⎭，,⎛- ⎝⎭．………12分13.解：（1）由已知，动点M 到点()0,-P，()0,Q 的距离之和为8，且8<PQ ，所以动点M 的轨迹为椭圆，而4=a ，=c ，所以2=b ，故椭圆2C 的方程为221164y x +=.………3分（2）解：,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ，由2OB OA =u u u v u u u v及（1）知，,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =.将y kx =代入2214x y +=中，得()22144k x +=，所以22414A x k =+， 将y kx =代入221164y x +=中，得()22416k x +=，所以22164B x k =+， 又由2OB OA =u u u v u u u v ，得224B A x x =，即22164414k k =++，解得21,=易得k A B ，故||==AB 分14.解：（1）设椭圆E 的方程为：22221x y a b +=(0)a b >>， 由已知：222221261144⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩a b a a b 得：22a =，21b =，所以，椭圆E 的方程为：2212x y +=. ………3分（2）由已知直线l 过左焦点()1,0F -．①当直线l 与x轴垂直时，1,2A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，此时AB =则112OAB S ∆==②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：()1y k x =+由()22112=++⎧⎨⎪⎩=⎪y k x x y 得()2222124220k x k x k +++-=所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k-=+， 而12121122OAB S OF y y y y ∆=⋅-=-， 由已知23OAB S ∆=得1243y y -=，所以()22222441612912k k k k +=++，则4220k k +-=，所以1k =±， 所以直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=．………12分15.（1）由题设知：22312b a b a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得2a =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=……2分∴1F MN ∆的周长11122148;F M MN NF F M MF F N NF a =++=+++==……………3分 由12(1,0),(1,0)F F -知直线l 的方程为13x +=，得(4,33)P -， ∴1F MP ∆的面积1213(33)432F F =--=.………………………………………6分（2）【证明】设220(,),0,(0,),M x y x y Q y c a b >=-且,由题设知：12(,0),(,0)F c F c -.由2,,M F Q l ∈知22//F M F Q u u u u r u u u u r ，220(,),(,)F M x c y F Q c y =-=-u u u u r u u u u r，则有0()y x c cy -=-；由11F M FQ ⊥知11FM FQ ⊥u u u u r u u u r ，110(,),(,)FM x c y FQ c y =+=u u u u r u u u r，则有0()0c x c y y ++=； ∴两式联立消去0y 点得(,)M x y 满足2()()x c x c y +-=，即222x y c -=； ……………9分又点M 在椭圆C 上，即有12222=+by a x ， 即222222b x a y a b +=，∴两式联立得44222222,a b x y a b a b ==++； 又224a b +=，即22,22a b x y ==………11分 ∴点(,)M x y 满足222a b x y ++=，即点M 在定直线2x y +=上. ……………………12分16.解：（1）由椭圆的离心率e==，则a=c ，b 2=a 2﹣c 2=c 2，将P 代椭圆方程：，则，解得：c=1，则a=，b=1，∴椭圆的方程：；（2）由题意可知：k 显然存在且不为0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1=k （x 1+1），y 2=k （x 2+1），则，整理得：（1+2k 2）x 2+4k 2x+2k 2﹣2=0， x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，当x=m 时，y=k （m+1），则k 1=，k 2=，则k 3=，则k 1+k 2=+===2k+，由k 1+k 2=tk 3，2k+=t×=tk ﹣，则当t=2，m=﹣2，∴当直线l ：x=﹣2，存在实数t=2，使得k 1+k 2=tk 3成立．17.解：（1）由已知得1,2,c a ==222 3.b a c =-=…………（3分）所以椭圆E 的方程为221.43x y +=…………（4分） （2）①当直线MN 与x 轴垂直时,直线AM 的方程为2,y x =+联立2223412y x x y =+⎧⎨+=⎩得271640,x x ++=解得22().7x x =-=-或舍去 此时直线MN 的方程为2.7x =-直线MN 与x 轴的交点为2(,0).7- …………（6分）②当直线MN 不垂直于x 轴时,设直线MN 的方程为.y kx m =+联立223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(43)84120.k x kmx m +++-= 设1122(,),(,),M x y N x y 则2221212122228412312,,,434334km m m k x x x x y y k k k --+=-==+++ 且222(8)4(43)(412)0,km k m ∆=-+->即224 3.m k <+…………（8分）而1122(2,),(2,),AM x y AN x y =+=+u u u u r u u u r 由题意知,,AM AN ⊥u u u u r u u u r 即22121212271642()40,43m km k AM AN x x x x y y k -+⋅=++++==+u u u u r u u u r 解得27m k =或2().m k =舍去…………（10分） 当27m k =时,满足224 3.m k <+直线MN 的方程为2(),7y k x =+此时与x 轴的交点为2(,0).7-故直线MN 与x 轴的交点是定点,坐标为2(,0).7-…………（12分）。
2019-2020年高考数学专题练习——圆锥曲线
该双曲线的离心率为（ ）24.已知抛物线 y 2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M ，N 两 uuur 点, 若 PF uuuur 3MF，则 MN（）16 A ． 3B ．8C ．16D ．83 35.知双曲线 2x2 a 2b y 2 1(ab0,b 0) ， A 1、A 2 是实轴顶点， F 是右焦点，B （0,b ） 是虚轴端点，若在线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点 P i i 1,2 ，使得 P i A 1A 2 i 1,2 构成 以 A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）2019-2020 年高考数学专题练习圆锥曲线（一）、选择题 2 x 1.设双曲线 C: 2 a 2 y 2 1 a 0,b b 10 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 1 且斜率为3的直线与双曲线的两渐近线分别交于点 A ，B ，并且 F 2A F 2B ,则双曲线的离心率为A ． 52B ． 2 D ．2 x 2.设 F 1，F 2 分别为双曲线 C ： 2 a 2 b y 2 1(ab 0,b 0） 的左、右焦点， A 为双曲线的左顶点，以 F 1F 2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、N 两点，且满足：MAN 120o ，则 7A ．3B ． 19 321 C ．3D ． 7333.双曲线 2x2a 2y2 1 a 0,bb0 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作倾斜角为 60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于 A ， B 两点，若点 A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是 A ． 3B ． 2+ 3 C. 2 D ． 2 1B ．( 2, 52 1) 51D ． ( 52 126.已知过抛 物线 y 2 2px(p 0)的 焦点 F 的 直线与 抛物线 交于 A ，B 两点，且 uuur uuurAF 3FB ，抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C ， AA 1 l 于点 A 1，若四边形 AA 1CF 的面积 为12 3 ，则准线 l 的方程为A ． x2 B ． x 2 2 C ． x 2 D ． x 17.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90 °的正角 .已知双曲线22 E： a x 2 b y 21(a ab0,b 0) ，当其离心率e [ 2,2] 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为( )A ．[0, 6]B ． [ , ]63C ．[ 4, 3]D ．[3, 2]8.已知直角坐标原点22xy O 为椭圆 C ： 2 2ab 1(a b 0) 的中心，F 1，F 2 为左、右焦点，在区间 (0,2)任取一个数 e ，则事件 “以 e 为离心率的椭圆 C 与圆 O ： x 2 y 2 a 2 b 2 没有 交点 ”的概率为( )A ．2442 B ． 4C ．2 2 D ．22 29.已知直线 y 1x 与双曲线 ax 2 by 21(a 0， b 0 )的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为3， a则()2b23 A ．3 B ．C ． 93D ． 2327223210.过双曲线 x 22 y1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A ，B 两3点，则AB)A．4 33B．2 3 C．6 D．4 311.已知抛物线C：4x的焦点为F，过F的直线交C于A，B 两点，点A在第一象限，P（0,6），O 为坐标原点，则四边形OPAB面积的最小值为（7 A．4 13B．4C．3D．412.若双曲线2x3m1的一条渐近线方程为2x 3y 0 ，则m 的值为（）233C．2213.已知双曲线a x2 b y2 1 的左右焦点分别为F1，F2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线的右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I 与x 轴相切于点A，过F2作直线PI 的垂线，垂足为B，若 e 为双曲线的离心率，则（）A．|OB | e|OA| C．|OB| |OA| B．|OA| e|OB|D．|OA|与|OB |关系不确定14.已知 F 是椭圆C：2y1 的左焦点，5P为C上一点，A（1,4），则|PA| |PF |的3最小值为（）10 A．3 11B．3C．4 D．13315.已知F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF2 3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A．4 3 B．2 3C．3 D．22216.双曲线x2y21（a a2b2A（. 1，2）b 0）离心率的范围是（）B（. 1，）C（. 2，）D（. 1，22）17.如图，过抛物线 y 2px（p 0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A ，B ，交其准线于点8 C ． 3为（ ）2x 2 2 py 的焦点，点 F 2为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点，过 F 2 作抛物线 C 的切线，切点为 A ，若点 A 恰好在以 F 1，F 2 为焦点的双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ▲ ）两点， MN 中点的横坐标为 1，则此椭圆的方程是（ ）2A ． y32 B． 2 x32 2y1 522yx C. 1 36 92 xD ． 362y1 921. 已知双曲线 C ：2 x 2 ay 2 b 21a 0,b 0 的虚轴长为 8 ，右顶点 （a ，0）到双曲线的一16D ．318.已知过椭圆 2x 2a2y2 1(a b 0)b 2的左焦点且斜率为 a 的直线 l 与椭圆交于 A ，B 两点 .若椭圆上存在一点 P ，满足 OA OB OP 0 （其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率A ． 22B ．C. 321D ．219.已知点 F 1 是抛物线 C ：A ．6 22B ． 2 1C ． 2 1D ．6 2220.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为 F(0 ，3 3) ，直线 4x3y 13 0 与其相交于 M 、N34，则 p 为（条渐近线的距离为 12，则双曲线 C 的方程为（2 x A ． 9 2 y 216 x 2C. 25 y 2 16 22. 已知圆C ： x 2 y 2 2x 2 3y 线相切，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 6 3 B ．23323.设双曲线2 x 2 a 2 y b 2 1(a 0， b 0) 2x 2y2 16 92 2xy 216 2522yx2ab 243 F ， 过点 B． D．1(a C ． 的右焦点为0,b 0） 的一条渐近D ． 7 作与 x 轴垂直的直线 l 交 且与双曲线在第一象限的交点为P ， 设 O 为坐标原点，若 uu ur OP uur OA uuur OB( , R)， A ． 23B ． 3 5 35 两渐近线于 A ，B 两点， 2 x 2 y3 16 ，则双曲线的离心率为（ C.3 2 2 9 D ． 8 2 24.设 F 为双曲线 C ： ab 21（a 0,b 0） 的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x y a 交于 P ，Q 两点.若 PQ OF ，则 C 的离心率为（ A ． 2 B ． 3．C 2）25.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 22C ： x 2 y 21 |x| y 就是其中之一 （如图） .给出下列三个结论： ① 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ； ③ 曲线 C 所围成的 “心形 ”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ①②D.①②③、填空题26.过点Mx20,1 的直线l交椭圆x81于A，B两点，F为椭圆的右焦点，当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为27.已知F1，F2 分别为双曲线2C:x242 y12 1的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I 分别为F1PF2的重心、内心，若GI∥x 轴，则F1PF2 的外接圆半径R=2 28.已知点P在离心率为2 的双曲线x2 a2y2 1(a 0,b 0) 上，F1，F2为双曲线的两个buuur 焦点，且PF1uuuurPF20 ，则PF1F2的内切圆半径r 与外接圆半径R之比为29.已知双曲线2C:x2a2yb2 1 a 0,b 0 的实轴长为16，左焦点为F，M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且OM MF ，O为坐标原点，若S OMF 16 ，则双曲线C的离心率2 x 30.设点M 是椭圆2 a 2 yb2 1(a b 0) 上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F，圆M 与y 轴相交于不同的两点P、Q，若PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为2 31. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2 a2by2 1( a b 0 )的离心率e23，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为a，过点A2 作圆A1的切线，切点为P，在x 轴的上方交椭圆于点Q.则P P A Q232.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为椭圆的右顶点和上顶点，当FB515 1，此类椭圆被称为“黄金椭圆”2算出“黄金双曲线 ”的离心率 e 等于 .22C: x 2 y 21(a b 0)33.已知椭圆 a b，A ，B 是 C 的长轴的两个端点，点 M 是 C 上的一点，满足 MAB 30 , MBA 45 ，设椭圆 C 的离心率为 e ，则 e 2 ________________________ .234.已知抛物线 y 2 2px(p 0)的焦点为 F ，O 为坐标原点，点 M ，N 为抛物线准线上相 异的两点，且 M ，N 两点的纵坐标之积为 - 4，直线 OM ， ON 分别交抛物线于 A ， B 两点，若A ， F ，B 三点共线，则 p ______________ .235.已知抛物线 y 2 8x 上有一条长为 9 的动弦 AB ，则 AB 中点到36.如图：以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率 e= .等腰三角形，则 M 的坐标为 __________22x 2y 2 139.已知椭圆 9 5 的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是 ________ .240. 设抛物线 y 2px(p 0)的焦点为 F,已知 A ， B 为抛物线上的两个动点，且满足| MN |AFB60,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 |AB| 的最大值为41. 已知 F 为抛物线 C: y 2 4x 的焦点， E 为其标准线与 x 轴的交点，过 F 的直线交抛物线37.已知双曲线 C ：2x2 a的两条渐近线分别交于2y21(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线与 C buuur uuur uuur uuuurA ，B 两点．若 F 1A AB ， F 1B F 2B 0，则C 的离心率为38.设 F 1，F 2 为椭圆1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限 .若△MF 1F2为C:36 20C 于 A ，B 两点， M 为线段 AB 的中点，且 |ME | 20，则|AB|参考答案0,易知F (1,0)，设直线AB : x my 1x my 1 2由 2y 2 4my 4 0, 所以 y 1 y 2 4 y 2y 2 4x易知 f (x) 在 0,1 上为减函数，所以当12. A22双曲线 x y1的一条渐近线方程为 2x 3y 0 ，可得3 m m 1(3 m)(m 1) 0 ，解得 m ( 1,3)，因为 m 1x 3 m y3 解得 m ，故选A.13，内切圆与 x 轴的切点是A ，∵ ，由圆切线长定理有 ， 设内切圆的圆心横坐标为x ，则，即3y 12 4 1 2y 12( y 1 0) y1f (x) 3 x2 1 2 3x3 x 2 24 ( x 1)(3x 24x 4)2 x 2 2x 22x 2设A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)且x 1,y 1S OPABS OPASOFA SOFB32 1 2f ( x) x x (x 0)4 2 x4y 1y 1 1时， ( S OPAB )min 13,故选4B0 是双曲线的渐近线方程，所以∴ ，即 A 为右顶点，在中，由条件有，在中，有∴.设椭圆的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以22e2 ，由焦点三角形面积公式得b12 3b22，即设椭圆离心率e1 ，双曲线离心率a12 3a22 4c2，即1232e12 e22 4 ，设1 12 2 m ,n 即m 3n 4 ，e1 e2由柯西不等式得m n最大值为43 3设的中点，由题意知两式相减得，而，所以所以直线的方程为，联立，解得又因为，所以所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选 A.，易得：∴此椭圆的方程是 故选： C∵ |PQ| |OF | c ，∴ POQ 90o , 又|OP| |OQ | a ，∴a 2 a 2 c 2 解得 c 2，即 e 2.a由题意，得 ，设过 的抛物线 的切线方程为 ，联立，令，解得 ， 即 ，不妨设 ，由双曲线的定义得.故选 C.，则该双曲线的离心率为设椭圆方程为联立方程： ，整理得：， ，则，即 ，化简得：1,0),(-1,1)六个整点,结论① 正确.22由x2y21 x y 得,x2y2, 1x y,解得x2点的距离都不超过2 . 结论② 正确.如图所示,易知A 0, 1 ,B 1,0 ,C 1,1, ,D心形”区域的面积大于3,说法③ 错误.由x2y21 x y得,y2x y 1 x2, |x|y234x2 ,1423x2 2 4厔0,x243所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线C:x2y21 x y 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-4 1026.3628.229. 526230.2 , 所以曲线C 上任意一点到原0,1 ,四边形ABCD 的面积S ABCD 11 123,很明显2心形”区域的面积大于2 S ABCD ,即231.37如图所示，设，，椭圆方程为圆的方程为，直线与圆相切，则：，直线是斜率为，直线方程为：联立直线方程与椭圆方程：整理可得：即，由弦长公式可得：，在中，，故5132.2“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．如图，设“黄金双曲线”的方程为，22则，，∵， ∴， ∴， ∴，解得 或 （舍去），∴黄金双曲线 ”的离心率 e 等于1333. 35 35.2易知抛物线 的准线方程为 ，设 ，且 的中点为 ，分别 过点 作直线 的垂线，垂足分别为 ，则 ，由抛物线定义，得 （当且仅当 三点共线时取等号），即 中点 到 轴的最短距离为 .36. 3 1OA 为中位线且 OA BF 1 ，所以 OB OF 1 ，因此 F 1OA BOA ，又根据两渐近线对uuur uuur uuur uuuur由F 1A AB, F 1B F 2B 0知 A 是 BF 1的中点， uuu r F Buuuur F 2B ，又 O 是 F 1, F 2的中点，所称， F 1OA F 2OB ，所以 F 2OB 60 ， e1 (b )21 tan2 60 2.39. 15方法 1：由题意可知 |OF|=|OM |= c = 2，由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4，设 P(x,y)可得 (x 2)2 y 2 16，2联立方程 xy 2519 可解得 x32,x 21 2 (舍)，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，1515求得 P3, ，所以 k P F 2152 2F 138. (3, 15)22已知椭圆 C ：x y36 20 1可知， a 6，c 4，由 M 为 C 上一点且在第一象限，故等腰三角形 MF 1F 2中 MF 1 F 1F 2 8，MF 2 2a MF 1 4 , sin F 1F 2M4 , y MMF 2 sin F 1F 2 M 15 ，22代入C ：3x6 2y0 1可得 x M3.故 M 的坐标为 (3, 15 ) .82方法 2：焦半径公式应用解析 1：由题意可知 |OF |=|OM |= c= 2 ， 由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4 ，即 aex p 4 x p15求得 P 3, 15 ，所以 k PF215 . 2 2 PF 12F （1，0）为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，E （-1，0）为其准线与 x 轴的交点， 设过F 的直线为 y=k （x-1）， 代入抛物线方程 y 2=4x ，可得 k 2x 2-（ 2k 2+4） x+k 2=0，设 A （ x 1， y 1）， B （x 2，y 2），解得k 2=1，则 x 1+x 2=6，由抛物线的定义可得 |AB|=x 1+x 2+2=8.。
圆锥曲线大题
绝密★启用前数学组卷圆锥大题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一．解答题（共40小题）1．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2＝0相切．（1）若A 在直线x +y ＝0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |﹣|MP |为定值？并说明理由．2．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |＝4，求l 的方程； （2）若AP →=3PB →，求|AB |． 3．（2018•新课标Ⅰ）设椭圆C ：x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0）．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB ．4．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C ：y 2＝2x ，点A （2，0），B （﹣2，0），过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：∠ABM ＝∠ABN ． 5．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．6．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 为曲线C ：y =x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4． （1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．7．（2016•新课标Ⅰ）设圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明|EA |+|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．8．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t （t ≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ． （Ⅰ）求|OH||ON|；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由． 9．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y =x 24与直线l ：y ＝kx +a （a ＞0）交于M ，N 两点．（Ⅰ）当k ＝0时，分別求C 在点M 和N 处的切线方程．（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？（说明理由） 10．（2015•新课标Ⅰ）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若OM →•ON →=12，其中O 为坐标原点，求|MN |． 11．（2014•新课标Ⅰ）已知点A （0，﹣2），椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为2√33，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 12．（2014•新课标Ⅰ）已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．13．（2013•新课标Ⅰ）已知圆M ：（x +1）2+y 2＝1，圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．14．（2012•新课标）设抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点；（1）若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为4√2，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．15．（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，﹣1），B 点在直线y ＝﹣3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →⋅AB →=MB →•BA →，M 点的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．16．（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2﹣6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线x ﹣y +a ＝0交与A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 17．（2010•全国新课标）设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+y 2b2=1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． （Ⅰ）求|AB |；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．18．（2009•全国卷Ⅰ）如图，已知抛物线E ：y 2＝x 与圆M ：（x ﹣4）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交于A 、B 、C 、D 四个点． （Ⅰ）求r 的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标．19．（2008•海南）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|=53． （Ⅰ）求C 1的方程；（Ⅱ）平面上的点N 满足MN →=MF 1→+MF 2→，直线l ∥MN ，且与C 1交于A ，B 两点，若OA →⋅OB →=0，求直线l 的方程．20．（2007•海南）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣12x +32＝0的圆心为Q ，过点P （0，2）且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA →+OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．21．（2007•陕西）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，短轴一个端点到右焦点的距离为√3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为√32，求△AOB 面积的最大值．22．（2006•全国卷Ⅱ）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →=λFB →(λ＞0)．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （Ⅰ）证明FM →.AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f （λ）的表达式，并求S 的最小值．23．（2006•福建）已知椭圆x 22+y 2=1的左焦点为F ，O 为坐标原点．（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．24．（2019•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为C上的点，O 为坐标原点．（1）若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．25．（2019•新课标Ⅱ）已知点A （﹣2，0），B （2，0），动点M （x ，y ）满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12．记M 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． （i ）证明：△PQG 是直角三角形； （ii ）求△PQG 面积的最大值．26．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 27．（2017•新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22+y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →=√2NM →． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x ＝﹣3上，且OP →•PQ →=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．28．（2016•新课标Ⅱ）已知椭圆E ：x 2t+y 23=1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． 29．（2016•新课标Ⅱ）已知A 是椭圆E ：x 24+y 23=1的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （I ）当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积 （II ）当2|AM |＝|AN |时，证明：√3＜k ＜2． 30．（2015•陕西）如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （0，﹣1），且离心率为√22． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 斜率之和为2．31．（2015•新课标Ⅱ）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1，（a ＞b ＞0）的离心率√22，点（2，√2）在C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．32．（2014•大纲版）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |=54|PQ |． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程． 33．（2014•陕西）如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0，y ≥0）和部分抛物线C 2：y ＝﹣x 2+1（y ≤0）连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为√32． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q （均异于点A ，B ），若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．34．（2014•新课标Ⅱ）设F 1，F 2分别是C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b ． 35．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点．（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．36．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．37．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→．证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．38．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→，证明：2|FP →|＝|FA →|+|FB →|． 39．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2+mx ﹣2与x 轴交于A 、B 两点，点C 的坐标为（0，1），当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．40．（2017•新课标Ⅲ）已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，﹣2），求直线l 与圆M 的方程．数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2＝0相切．（1）若A 在直线x +y ＝0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |﹣|MP |为定值？并说明理由．【分析】（1）由条件知点M 在线段AB 的中垂线x ﹣y ＝0上，设圆的方程为⊙M 的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝R 2（R ＞0），然后根据圆与直线x +2＝0相切和圆心到直线x +y ＝0的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；（2）设M 的坐标为（x ，y ），然后根据条件的到圆心M 的轨迹方程为y 2＝4x ，然后根据抛物线的定义即可得到定点．【解答】解：∵⊙M 过点A ，B 且A 在直线x +y ＝0上， ∴点M 在线段AB 的中垂线x ﹣y ＝0上，设⊙M 的方程为：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝R 2（R ＞0），则 圆心M （a ，a ）到直线x +y ＝0的距离d =√2， 又|AB |＝4，∴在Rt △OMB 中， d 2+（12|AB |）2＝R 2，即(|2a|√2)2+4=R 2① 又∵⊙M 与x ＝﹣2相切，∴|a +2|＝R ② 由①②解得{a =0R =2或{a =4R =6，∴⊙M 的半径为2或6；（2）∵线段AB 为⊙M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上， 设点M 的坐标为（x ，y ），则|OM |2+|OA |2＝|MA |2， ∵⊙M 与直线x +2＝0相切，∴|MA |＝|x +2|， ∴|x +2|2＝|OM |2+|OA |2＝x 2+y 2+4， ∴y 2＝4x ，∴M 的轨迹是以F （1，0）为焦点x ＝﹣1为准线的抛物线，∴|MA |﹣|MP |＝|x +2|﹣|MP | ＝|x +1|﹣|MP |+1＝|MF |﹣|MP |+1，∴当|MA |﹣|MP |为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为（1，0）， ∴存在定点P （1，0）使得当A 运动时，|MA |﹣|MP |为定值．【点评】本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方程的求法，属难题．2．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |＝4，求l 的方程； （2）若AP →=3PB →，求|AB |．【分析】（1）根据韦达定理以及抛物线的定义可得．（2）若AP →=3PB →，则y 1＝﹣3y 2，⇒x 1＝﹣3x 2+4t ，再结合韦达定理可解得t ＝1，x 1＝3，x 2=13，再用弦长公式可得．【解答】解：（1）设直线l 的方程为y =32（x ﹣t ），将其代入抛物线y 2＝3x 得：94x 2﹣（92t +3）x +94t 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=92t+394=2t +43，①，x 1x 2＝t 2②，由抛物线的定义可得：|AF |+|BF |＝x 1+x 2+p ＝2t +43+32=4，解得t =712， 直线l 的方程为y =32x −78．（2）若AP →=3PB →，则y 1＝﹣3y 2，∴32（x 1﹣t ）＝﹣3×32（x 2﹣t ），化简得x 1＝﹣3x 2+4t ，③由①②③解得t ＝1，x 1＝3，x 2=13， ∴|AB |=√1+94√(3+13)2−4=4√133． 【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题． 3．（2018•新课标Ⅰ）设椭圆C ：x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0）．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB ．【分析】（1）先得到F 的坐标，再求出点A 的方程，根据两点式可得直线方程， （2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明． 【解答】解：（1）c =√2−1=1， ∴F （1，0）， ∵l 与x 轴垂直， ∴x ＝1，由{x =1x 22+y 2=1，解得{x =1y =√22或{x =1y =−√22，∴A （1.√22），或（1，−√22），∴直线AM 的方程为y =−√22x +√2，y =√22x −√2，证明：（2）当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA ＝∠OMB ， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k （x ﹣1），k ≠0， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＜√2，x 2＜√2， 直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ，k MB 之和为k MA +k MB =y 1x 1−2+y2x 2−2， 由y 1＝kx 1﹣k ，y 2＝kx 2﹣k 得k MA +k MB =2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)，将y ＝k （x ﹣1）代入x 22+y 2＝1可得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2＝0，∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，∴2kx 1x 2﹣3k （x 1+x 2）+4k =12k 2+1（4k 3﹣4k ﹣12k 3+8k 3+4k ）＝0从而k MA +k MB ＝0， 故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA ＝∠OMB ， 综上∠OMA ＝∠OMB ．【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以韦达定理，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．4．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C ：y 2＝2x ，点A （2，0），B （﹣2，0），过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：∠ABM ＝∠ABN ．【分析】（1）当x ＝2时，代入求得M 点坐标，即可求得直线BM 的方程；（2）设直线l 的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得k BN +k BM ＝0，即可证明∠ABM ＝∠ABN ．【解答】解：（1）当l 与x 轴垂直时，x ＝2，代入抛物线解得y ＝±2， 所以M （2，2）或M （2，﹣2），直线BM 的方程：y =12x +1，或：y =−12x ﹣1．（2）证明：设直线l 的方程为l ：x ＝ty +2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立直线l 与抛物线方程得{y 2=2x x =ty +2，消x 得y 2﹣2ty ﹣4＝0，即y 1+y 2＝2t ，y 1y 2＝﹣4，则有k BN +k BM =y 1x 1+2+y 2x 2+2=(y 222×y 1+y 122×y 2)+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2)=(y 1+y 2)(y 1y22+2)(x 1+2)(x 2+2)=0，所以直线BN 与BM 的倾斜角互补， ∴∠ABM ＝∠ABN ．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查转化思想，属于中档题． 5．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P 2（0，1），P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）三点在椭圆C 上．把P 2（0，1），P 3（﹣1，√32）代入椭圆C ，求出a 2＝4，b 2＝1，由此能求出椭圆C 的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l ：y ＝kx +t ，（t ≠1），联立{y =kx +tx 2+4y 2−4=0，得（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣4＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）两点必在椭圆C 上， 又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 1（1，1）， ∴P 2（0，1），P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）三点在椭圆C 上． 把P 2（0，1），P 3（﹣1，√32）代入椭圆C ，得： {1b 2=11a 2+34b2=1，解得a 2＝4，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l ：x ＝m ，A （m ，y A ），B （m ，﹣y A ）， ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1， ∴k P 2A +k P 2B =y A −1m +−y A −1m =−2m=−1， 解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l ：y ＝kx +t ，（t ≠1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =kx +tx 2+4y 2−4=0，整理，得（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣4＝0， x 1+x 2=−8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2−41+4k2， 则k P 2A +k P 2B =y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+t)−x 2+x 1(kx 2+t)−x 1x 1x 2=8kt 2−8k−8kt 2+8kt1+4k 24t 2−41+4k2=8k(t−1)4(t+1)(t−1)=−1，又t ≠1，∴t ＝﹣2k ﹣1，此时△＝﹣64k ，存在k ，使得△＞0成立， ∴直线l 的方程为y ＝kx ﹣2k ﹣1， 当x ＝2时，y ＝﹣1， ∴l 过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．6．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 为曲线C ：y =x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4． （1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【分析】（1）设A （x 1，x 124），B （x 2，x 224），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；（2）设M （m ，m 24），求出y =x 24的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m ，即有M 的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x 1，x 2的关系式，再由直线AB ：y ＝x +t 与y =x 24联立，运用韦达定理，即可得到t 的方程，解得t 的值，即可得到所求直线方程．【解答】解：（1）设A （x 1，x 124），B （x 2，x 224）为曲线C ：y =x 24上两点，则直线AB 的斜率为k =x 124−x 224x 1−x 2=14（x 1+x 2）=14×4＝1； （2）设直线AB 的方程为y ＝x +t ，代入曲线C ：y =x 24， 可得x 2﹣4x ﹣4t ＝0，即有x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣4t ， 再由y =x 24的导数为y ′=12x ， 设M （m ，m 24），可得M 处切线的斜率为12m ，由C 在M 处的切线与直线AB 平行，可得12m ＝1， 解得m ＝2，即M （2，1）， 由AM ⊥BM 可得，k AM •k BM ＝﹣1，即为x 124−1x 1−2•x 224−1x 2−2=−1，化为x 1x 2+2（x 1+x 2）+20＝0， 即为﹣4t +8+20＝0， 解得t ＝7．则直线AB 的方程为y ＝x +7．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题． 7．（2016•新课标Ⅰ）设圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明|EA |+|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB ＝ED ，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，求得a ，b ，c ，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l ：x ＝my +1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN |，由PQ ⊥l ，设PQ ：y ＝﹣m （x ﹣1），求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ |，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0即为（x +1）2+y 2＝16， 可得圆心A （﹣1，0），半径r ＝4， 由BE ∥AC ，可得∠C ＝∠EBD ， 由AC ＝AD ，可得∠D ＝∠C ， 即为∠D ＝∠EBD ，即有EB ＝ED ， 则|EA |+|EB |＝|EA |+|ED |＝|AD |＝4， 故E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，且有2a ＝4，即a ＝2，c ＝1，b =√a 2−c 2=√3， 则点E 的轨迹方程为x 24+y 23=1（y ≠0）；（Ⅱ）椭圆C 1：x 24+y 23=1，设直线l ：x ＝my +1，由PQ ⊥l ，设PQ ：y ＝﹣m （x ﹣1），由{x =my +13x 2+4y 2=12可得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 可得y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，则|MN |=√1+m 2•|y1﹣y 2|=√1+m 2•√36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4 =√1+m 2•√36(4m 2+4)3m 2+4=12•1+m 23m 2+4，A 到PQ 的距离为d =√1+m 2=√1+m 2，|PQ |＝2√r 2−d 2=2√16−4m 21+m2=√2√1+m 2， 则四边形MPNQ 面积为S =12|PQ |•|MN |=12•4√3m 2+4√1+m 2•12•1+m 23m 2+4＝24•√1+m 2√3m 2+4=24√13+11+m 2， 当m ＝0时，S 取得最小值12，又11+m2＞0，可得S ＜24•√33=8√3， 即有四边形MPNQ 面积的取值范围是[12，8√3）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．8．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t （t ≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ． （Ⅰ）求|OH||ON|；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由． 【分析】（Ⅰ）求出P ，N ，H 的坐标，利用|OH||ON|=|y H ||y N |，求|OH||ON|；（Ⅱ）直线MH 的方程为y =p2tx +t ，与抛物线方程联立，消去x 可得y 2﹣4ty +4t 2＝0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l 与抛物线方程联立，解得P （t 22p，t ），∵M 关于点P 的对称点为N ， ∴x N +x M2=t 22p，y N +y M2=t ，∴N （t 2p，t ）， ∴ON 的方程为y =ptx ， 与抛物线方程联立，解得H （2t 2p，2t ）∴|OH||ON|=|y H ||y N |=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH =p 2t， ∴直线MH 的方程为y =p2tx +t ，与抛物线方程联立，消去x 可得y 2﹣4ty +4t 2＝0， ∴△＝16t 2﹣4×4t 2＝0，∴直线MH 与C 除点H 外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．9．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y =x 24与直线l ：y ＝kx +a （a ＞0）交于M ，N 两点．（Ⅰ）当k ＝0时，分別求C 在点M 和N 处的切线方程．（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？（说明理由）【分析】（I ）联立{y =ay =x 24，可得交点M ，N 的坐标，由曲线C ：y =x 24，利用导数的运算法则可得：y ′=x2，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II ）存在符合条件的点（0，﹣a ），设P （0，b ）满足∠OPM ＝∠OPN ．M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线PM ，PN 的斜率分别为：k 1，k 2．直线方程与抛物线方程联立化为x 2﹣4kx ﹣4a ＝0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k 1+k 2=k(a+b)a．k 1+k 2＝0⇔直线PM ，PN 的倾斜角互补⇔∠OPM ＝∠OPN ．即可证明．【解答】解：（I ）联立{y =ay =x 24，不妨取M (2√a ，a)，N (−2√a ，a)，由曲线C ：y =x 24可得：y ′=x 2， ∴曲线C 在M 点处的切线斜率为2√a 2=√a ，其切线方程为：y ﹣a =√a(x −2√a)，化为√ax −y −a =0．同理可得曲线C 在点N 处的切线方程为：√ax +y +a =0． （II ）存在符合条件的点（0，﹣a ），下面给出证明：设P （0，b ）满足∠OPM ＝∠OPN ．M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线PM ，PN 的斜率分别为：k 1，k 2．联立{y =kx +a y =x 24，化为x 2﹣4kx ﹣4a ＝0，∴x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4a ． ∴k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−b x 2=2kx 1x 2+(a−b)(x 1+x 2)x 1x 2=k(a+b)a． 当b ＝﹣a 时，k 1+k 2＝0，直线PM ，PN 的倾斜角互补， ∴∠OPM ＝∠OPN ． ∴点P （0，﹣a ）符合条件．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（2015•新课标Ⅰ）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若OM →•ON →=12，其中O 为坐标原点，求|MN |．【分析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y ＝kx +1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．【解答】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程：y ＝kx +1，即：kx ﹣y +1＝0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R ＝1． 故由√k 2＜1，故当4−√73＜k ＜4+√73，过点A （0，1）的直线与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1相交于M ，N 两点．（2）设M （x 1，y 1）；N （x 2，y 2），由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y ＝kx +1，代入圆C 的方程（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1，可得 （1+k 2）x 2﹣4（k +1）x +7＝0， ∴x 1+x 2=4(1+k)1+k 2，x 1•x 2=71+k2， ∴y 1•y 2＝（kx 1+1）（kx 2+1）＝k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1=71+k 2•k 2+k •4(1+k)1+k 2+1=12k 2+4k+11+k2， 由OM →•ON →=x 1•x 2+y 1•y 2=12k 2+4k+81+k2=12，解得 k ＝1， 故直线l 的方程为 y ＝x +1，即 x ﹣y +1＝0． 圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径． 所以|MN |＝2．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．11．（2014•新课标Ⅰ）已知点A （0，﹣2），椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为2√33，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a 、c 关系，通过A 求出a ，即可求E 的方程； （Ⅱ）设直线l ：y ＝kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）将y ＝kx ﹣2代入x 24+y 2=1，利用△＞0，求出k 的范围，利用弦长公式求出|PQ |，然后求出△OPQ 的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知2c=2√33，得c =√3又ca=√32， 所以a ＝2，b 2＝a 2﹣c 2＝1，故E 的方程x 24+y 2=1．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y ＝kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y ＝kx ﹣2代入x 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2﹣16kx +12＝0，当△＝16（4k 2﹣3）＞0，即k 2＞34时，x 1，2=8k±2√4k 2−31+4k2 从而|PQ|=√k 2+1|x 1−x 2|=4√k 2+1⋅√4k 2−31+4k2又点O 到直线PQ 的距离d =√k +1，所以△OPQ 的面积S △OPQ=12d|PQ|=4√4K 2−31+4K 2， 设√4k 2−3=t ，则t ＞0，S △OPQ =4t t 2+4=4t+4t≤1， 当且仅当t ＝2，k ＝±√72等号成立，且满足△＞0， 所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y =√72x ﹣2或y =−√72x ﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．12．（2014•新课标Ⅰ）已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．【分析】（1）由圆C 的方程求出圆心坐标和半径，设出M 坐标，由CM →与MP →数量积等于0列式得M 的轨迹方程；（2）设M 的轨迹的圆心为N ，由|OP |＝|OM |得到ON ⊥PM ．求出ON 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O 到l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM 的长度，代入三角形面积公式得答案． 【解答】解：（1）由圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，得x 2+（y ﹣4）2＝16， ∴圆C 的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M （x ，y ），则CM →=(x ，y −4)，MP →=(2−x ，2−y)．由题意可得：CM →⋅MP →=0． 即x （2﹣x ）+（y ﹣4）（2﹣y ）＝0． 整理得：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2．∴M 的轨迹方程是（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2．（2）由（1）知M 的轨迹是以点N （1，3）为圆心，√2为半径的圆， 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上， 从而ON ⊥PM ． ∵k ON ＝3，∴直线l 的斜率为−13．∴直线PM 的方程为y −2=−13(x −2)，即x +3y ﹣8＝0． 则O 到直线l 的距离为√122=4√105．又N 到l 的距离为√10=√105， ∴|PM |=2√2−(√105)2=4√105． ∴S △POM =12×4√105×4√105=165． 【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．13．（2013•新课标Ⅰ）已知圆M ：（x +1）2+y 2＝1，圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．【分析】（I ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得|PM |+|PN |＝R +1+（3﹣R ）＝4，而|NM |＝2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II ）设曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM |﹣|PN |＝2R ﹣2≤4﹣2＝2，所以R ≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0）R ＝2时，其半径最大，其方程为（x ﹣2）2+y 2＝4．分①l 的倾斜角为90°，此时l 与y 轴重合，可得|AB |．②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R ，可知l 与x 轴不平行，设l 与x 轴的交点为Q ，根据|QP||QM|=R r 1，可得Q （﹣4，0），所以可设l ：y ＝k （x +4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I ）由圆M ：（x +1）2+y 2＝1，可知圆心M （﹣1，0）；圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，圆心N （1，0），半径3． 设动圆的半径为R ，∵动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，∴|PM |+|PN |＝R +1+（3﹣R ）＝4，而|NM |＝2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2﹣c 2＝3． ∴曲线C 的方程为x 24+y 23=1（x ≠﹣2）．（II ）设曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM |﹣|PN |＝2R ﹣2≤3﹣1＝2，所以R ≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0）R ＝2时，其半径最大，其方程为（x ﹣2）2+y 2＝4．①l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |=2√3．②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R ，可知l 与x 轴不平行， 设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|=R r 1，可得Q （﹣4，0），所以可设l ：y ＝k （x +4），由l 于M 相切可得：√1+k 2=1，解得k =±√24．当k =√24时，联立{y =√24x +√2x 24+y23=1，得到7x 2+8x ﹣8＝0．∴x 1+x 2=−87，x 1x 2=−87．∴|AB |=√1+k 2|x 2−x 1|=√1+(24)2√(−87)2−4×(−87)=187由于对称性可知：当k =−√24时，也有|AB |=187． 综上可知：|AB |=2√3或187．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．14．（2012•新课标）设抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点；（1）若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为4√2，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD |＝2p 点A 到准线l 的距离d =|FA|=|FB|=√2p ，由△ABD 的面积S △ABD =4√2，知12×BD ×d =12×2p ×√2p =4√2，由此能求出圆F 的方程．（2）由对称性设A(x 0，x 022p )(x 0＞0)，则F(0，p2)点A ，B 关于点F 对称得：B(−x 0，p −x 022p )⇒p −x 022p =−p 2⇔x 02=3p 2，得：A(√3p ，3p 2)，由此能求出坐标原点到m ，n 距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD |＝2p 点A 到准线l 的距离d =|FA|=|FB|=√2p ， ∵△ABD 的面积S △ABD =4√2， ∴12×BD ×d =12×2p ×√2p =4√2，解得p ＝2，所以F 坐标为（0，1）， ∴圆F 的方程为x 2+（y ﹣1）2＝8．（2）由题设A(x 0，x 022p )(x 0＞0)，则F(0，p2)，∵A ，B ，F 三点在同一直线m 上，又AB 为圆F 的直径，故A ，B 关于点F 对称．由点A ，B 关于点F 对称得：B(−x 0，p −x 022p )⇒p −x 022p =−p 2⇔x 02=3p 2得：A(√3p ，3p2)，直线m ：y =3p 2−p 2√3p+p 2⇔x −√3y +√3p 2=0，x 2=2py ⇔y =x 22p⇒y′=x p =√33⇒x =√33p ⇒切点P(√3p 3，p6) 直线n ：y −p 6=√33(x −√3p 3)⇔x −√3y −√36p =0 坐标原点到m ，n 距离的比值为√3p 2：√3p6=3．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 15．（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，﹣1），B 点在直线y ＝﹣3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →⋅AB →=MB →•BA →，M 点的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．【分析】（Ⅰ）设M （x ，y ），由已知得B （x ，﹣3），A （0，﹣1）并代入MB →∥OA →，MA →⋅AB →=MB →•BA →，即可求得M 点的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设P （x 0，y 0）为C 上的点，求导，写出C 在P 点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O 点到l 距离，然后利用基本不等式求出其最小值． 【解答】解：（Ⅰ）设M （x ，y ），由已知得B （x ，﹣3），A （0，﹣1）． 所MA →=（﹣x ，﹣1﹣y ），MB →=（0，﹣3﹣y ），AB →=（x ，﹣2）． 再由题意可知（MA →+MB →）•AB →=0，即（﹣x ，﹣4﹣2y ）•（x ，﹣2）＝0． 所以曲线C 的方程式为y =14x 2−2．（Ⅱ）设P （x 0，y 0）为曲线C ：y =14x 2−2上一点，因为y ′=12x ，所以l 的斜率为12x 0，因此直线l 的方程为y ﹣y 0=12x 0（x ﹣x 0），即x 0x ﹣2y +2y 0﹣x 02＝0． 则o 点到l 的距离d =002√4+x 0．又y 0=14x 02−2，所以d =12x 2+4√4+x 0=12(√x 02+4√4+x 0)≥2，所以x 02＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2．【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．16．（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2﹣6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a＝0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y＝x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2√2，0），（3﹣2√2，0）．可知圆心在直线x＝3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2＝（2√2）2+t2，解得t＝1，故圆C的半径为√32+(t−1)2=3，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0x＝0，y＝1有1+E+F＝0y＝0，x2﹣6x+1＝0与x2+Dx+F＝0是同一方程，故有D＝﹣6，F＝1，E＝﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1＝0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组{x−y+a=0(x−3)2+(y−1)2=9，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1＝0，由已知可得判别式△＝56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2＝4﹣a，x1x2=a 2−2a+12①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2＝0，又y1＝x1+a，y2＝x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2＝0②由①②可得a＝﹣1，满足△＝56﹣16a﹣4a2＞0．故a＝﹣1．【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．17．（2010•全国新课标）设F1，F2分别是椭圆E：x2+y 2b2=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．。
最新精选2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（2000全国11）过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ） A ．2a B ．a21 C ．4a D ．a4 2．（2006）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．43．在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）（2003京春文9，理5）二、填空题4．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是 ☆5．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝ ．（2002天津理，14）6． 抛物线过直线 0x y += 与圆 2240x y y ++= 的交点，且关于y 轴对称，则此抛物线的方程为 ．B7．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是；分析：椭圆的基本量的应用，利用条件建立不等关系.3.8． 如图，在ABC ∆中， 30=∠=∠CBA CAB ，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ▲ .9．若双曲线经过点，渐近线方程是13y x =±，则这条双曲线的方程是 ▲ .10．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22所围成的三角形区域(包括边界)为E ，P (x ，y )为该区域内的一动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________． 解析：由题知，双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，则其与直线x ＝22的交点为⎝⎛⎭⎫22，22和 ⎝⎛⎭⎫22，－22，所以可求得目标函数z ＝x －2y 的最小值为－22.11．命题p ：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过2F 作21PF F ∠的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值.类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线)0(12222>>=-b a by a x ，1F ，2F 是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过2F 作21PF F ∠的的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值.12．点M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P,Q ，若△PQM 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_▲_．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心、右焦点、右顶点分别为O 、F 、A ，右准线与x 轴的交点为H ，则FAOH的最大值为 14．已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是15．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为 2416．椭圆7x 2＋16y 2＝112的焦点坐标是________________.(3,0)±17．已知F 1、F 2是双曲线-y 2=1的两个焦点,P 在双曲线上,当△F 1PF 2的面积为1时,·的值为________________.【答案】 18．1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的动直线与双曲线相交于两点.（I ）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II ）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.19．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的________条件．20．已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A ,两点，且(OA OB O ⊥为坐标原点)，若椭圆的离心率]22,21[∈e ，则a 的最大值为 ． 21．经过点(30)，的直线l 与抛物线22x y =两个交点处的切线相互垂直，则直线l 的斜率k 等于________22．已知点(02)A ，,抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线与点B ，过B 做l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p =_________23．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为____________24．双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为_________. 三、解答题25．已知椭圆中心在原点，上顶点为(0,1)A ，右焦点为(1,0)F ，右准线为l ，l 与x 轴交于P 点，直线AF 交椭圆与点B ．（1）求椭圆的方程；（2）求证：PF 是APB ∠的平分线；（3）在l 上任意取一点Q ，求证：直线,,AQ FQ BQ 的斜率成等差数列．xy O ABF 1F 2 (第11题第19题图26．在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,右顶点为A ,直线BC 过原点O ,且点B 在x 轴上方,直线AB 与AC 分别交直线:1l x a =+于点,E F .（1）若点B ,求ABC ∆的面积；（2）若点B 为动点,设直线AB 与AC 的斜率分别为12,k k . ①试探究12k k ⋅是否为定值.若为定值，请求出值；若不为定值,请说明理由.②求AEF ∆的面积的最小值.27．（10分）如图，已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0），下顶点为A（0，﹣b ），直线AF 与椭圆的右准线交于点B ，与椭圆的另一个交点为点C ，若F 恰好为线段AB 的中点． （1）求椭圆的离心率；（2）若FC=，求椭圆的方程．28． （16分）椭圆22221(0)x y a b a y+=>>上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线//AB OM （1）、求椭圆的离心率e ；（2）、设Q 是椭圆上任意一点，2F 是右焦点，1F 是左焦点，求12FQF ∠的取值范围29．(本小题满分14分)已知椭圆1:C 22+=143x y ,其左准线为1l ，右准线为2l ，抛物线2C 以坐标原点O 为顶点，2l 为准线，2C 交1l 于,A B 两点.（1） 求抛物线2C 的标准方程； （2） 求线段AB 的长度.30．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过(M N 两点； (1）求椭圆的方程；(2）在椭圆上是否存在点P （x,y ）,使P 到定点A （a ,0）(其中9＜a ＜3)的距离的最小值为1？若存在，求出a 的值及点P 的坐标；若不存在，请给予证明（本小题满分14分）。
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2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一）1.设F 1，F 2为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点. （1）求F 1，F 2的坐标；（2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值.2.已知椭圆2214x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B .（1）求△P AB 面积的最大值；（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围.3.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为5，定点()2,0M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且21MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.4.已知椭圆C 的标准方程为2211612x y +=，点(0,1)E ． （1）经过点E 且倾斜角为3π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由．5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2e =，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程；(2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点.(i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；(ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.6.椭圆C 一个焦点为(1,0)F ，离心率2e =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程式．（Ⅱ）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．（Ⅲ）定直线:2l x =，P 为椭圆C 上的动点，证明点P 到(1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值．7.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线l 的方程为43x =，焦距为23.（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点(1,0)B 作直线l 与椭圆C 交于点,P Q （异于椭圆C 的左、右顶点12,A A ）两点，设直线1PA 与直线2QA 相交于点M .①若(4,2)M ，试求点,P Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条直线上.8.设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.9.已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心离为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =． （Ⅰ）求m 的值．（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记PMF △和PNF △的面积分别为1S 、2S ，求证：12||||S PM S PN =．10.已知常数0m >，向量(0,1)a =r ，(,0)b m =r 经过点(,0)A m ，以a b λ+r r为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-r r为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ．（1）求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E ．（2）若点(1,0)C，当m =M 为轨迹E 上任意一点，求||MC 的最小值．11.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线上．Ⅰ求椭圆C 的标准方程．Ⅱ点P，(2,Q 在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． （i ）若直线AB，求四边形APBQ 面积的最大值． （ii ）当A ，B 运动时，满足APQ BPQ =∠∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．13.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b =>>+过点(0,1)A -，且离心率e ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程．（Ⅱ）若椭圆M 上存在点B 、C 关于直线1y kx =-对称，求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上．14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b =>>+的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00,x y N a b ⎛⎫⎪⎝⎭称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB △的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．15.已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，离心率e ，且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =，求直线l 的方程． （Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形MATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．16.已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点F （0,2)做两条可相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 交于A ,B 两点, l 2与曲线 C 交于C ,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，N 两点。
求证|MF |:|NF |为定值.17.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点，A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：8x =，且1AA l ⊥，垂足为A 1，1BB l ⊥，垂足为B 1，若(3,0)D ，且△A 1B 1D 的面积是△ABD 面积的5倍，求△ABD 面积的最大值．试卷答案1.解：（Ⅰ）1F (1,0)-，2F (1,0)（Ⅱ）（i ）当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知m =0.（ii ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y . 由题意得121, 1.x x ≠-≠- 直线P A 的斜率为1111()11y m kx k m x x --+=++；直线2PF 的斜率为2m-； 直线PB 的斜率为2222()11y m kx k m x x --+=++. 由题意得1212()()()0121kx k m kx k m m x x -+-++-+=++.化简整理得1212(4)3()(45)0.(*)k m x x m x x k m --+-+= 将直线AB 的方程(1)y k x =-代入椭圆方程，化简整理得2222(43)84120k x k x k +-+-=.由韦达定理得221212228412,.4343k k x x x x k k -+==++ 代入(*)并化简整理得216200k m k m ++=.从而220.161km k =-+ 当0k =时，0m =；当0k ≠时，220||5||.1612k m k =≤=+ 故m 的所有整数值是－2,－1,0,1,2.2.解：（Ⅰ）由题意得椭圆的上顶点(),P 01，设点A 为(),x y 00.因为B 是A 关于原点O 的对称点，所以点B 为(),x y --00.设PAB ∆的面积为S ，则PAO PB PAO S S S S PO x x ∆∆∆=+==⨯=0001222. 因为x -≤≤022，所以当x =±02时，S 有最大值2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()(),,,(,P B x y x --≠000010且)y ≠-01. 所以，直线PB 的斜率为y x +001，线段PB 的中点为,x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭00122，于是PB 的中垂线方程为y x x y x y -⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭00001212. 令x =0，得N 的纵坐标()N x y y y --=+22000121.又直线l 的方程为y kx =+1，将方程代入x y +=2214并化简得()k x kx ++=221480. 由题意，,,k k x y k k-=-=++200228141414 所以，()()()N k k k k k y k k k ----++==--+++222222222814112141414142114. 因为点N 在椭圆内部，所以k k-<-<+22121114.解得k -<<44. 又由已知k ≠0，所以斜率k的取值范围是()(,)-0044U .3.(1)由222222519a b b e a a -===-，23b a =， 依题意，12MB B △是等腰直角三角形， 从而2b =，故3a =，所以椭圆C 的方程是22194x y +=.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为2x my =+， 将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得：()224916200m y my ++-=，1221649my y m -+=+，1222049y y m -?+， 若PM 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0PA PB K K +=， 设(),0P n ，则有12120y yx n x n+=--， 将112x my =+，222x my =+代入得，()()1212220my y n y y +-+=， 整理得()290n m -=，由于上式对任意实数m 都成立，所以92n =.综上，存在定点9,02P 骣琪琪桫，使PM 平分APB ∠.4.解：（Ⅰ）l 经过点(0,1)E 且倾斜角为3π4， 所以直线l 的方程为1y x =-+，联立22111612y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩或227157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴||7AB ． （Ⅱ）设直线:p y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 将直线:p y kx m =+与椭圆联立可得：2211612y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(34)84480k x kmx m +++-=， ∴2222644(34)(448)0k m k m ∆=-+->， ∴221612k m +>，∴122834km x x k -+=+，212244834m x x k-=+， 设MN 中点00(,)F x y ， ∴12024234x x km x k +-==+，002334m y kx m k =+=+， ∵||||ME NE =，∴EF MN ⊥，∴1EFk k ⋅=-，∴2231341434mk k km k -+⋅=--+， ∴2(43)m k =-+代入①可得：2221612(43)k k +>+， ∴4216830k k +-<，解得1122k -<<．故直线p 斜率的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．5.(1)依题意2e =，设22122:12x y C b b +=，22222:124x y C b b+=，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积1222222S b b =创=，解得：21b =.所以椭圆221:12x C y +=，222:124x y C +=.(2)(i)设()00,P x y ，则2200124x y +=，()2,0A -，()2,0B.02PA k x =+，02PB k x =-.所以：2200220042222PA PBy x k k x x -?==---. 直线PA ，PB 斜率之积为常数2-. (ii)设()11,E x y ，则221112x y +=.112EA k x =+，112EB k x =-，所以：221122101112222EA EBx y k k x x -?==---，同理：12FA FB k k ?-， 所以：14FA FB FA FB k k k k 鬃=，由EA PA k k =，FB PB k k =，结合(i)有 18EA FB k k ?-.6.解：（Ⅰ）根据题意得1c =，2c e a ==， ∴2a =，1c =，1b =，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设P 点坐标为10(,)x y ，则220012x y +=，2222220000000||(2)22(2)46(2)10MP x y y y y y y +--+---+-++∵011y -≤≤，∴当01y =-时，MP 取得最大值3．∴||MP 最大值为3，此时P 点坐标为(0,1)-．（Ⅲ）设P 点(,)x y ，则2212x y +=，P 点到(1,0)F的距离为：=)x ==-， P 到直线2x =的距离为2x -，∵)22x x -=- 故P 到(1,0)F．7.解:⑴由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===2222322334c b a c ca 得 ⎩⎨⎧==12b a 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵①因为()12,0A -，()22,0A ，()4,2M ，所以1MA 的方程为1(2)3y x =+，代入2244x y +=，22144[(2)]03x x -+=+，即4(2)[(2)(2)]09x x x -=+++，因为12A x =-，所以1013P x =，则1213P y =，所以点P 的坐标为1012(,)1313． 同理可得点Q 的坐标为64(,)55-．②设点()00,M x y ，由题意，02x ≠±．因为()12,0A -，()22,0A ， 所以直线1MA 的方程为00(2)2y y x x =++，代入2244x y +=，得220044[(2)]02yx x x -+=++，即2204(2)[(2)(2)]0(2)y x x x x -=++++，因为12A x =-，所以2022002220002082(2)4(2)24241(2)P y x x x y x y x -+==-++(+)++，则0022004(2)(2)4P x y y x y +=++，故点P 的坐标为2000222200004(2)4(2)(2,)(2)4(2)4x x y x y x y +-+++++． 同理可得点Q 的坐标为2000222200004(2)4(2)(2,)(2)4(2)4x x y x y x y ---+-+--+． 因为P ，Q ，B 三点共线，所以PB QB k k =，11Q PP Q y y x x =--． 所以()()0000222200002200222200004(2)4(2)(2)4(2)44(2)422121(2)424x y x y x y x y x x x y x y +--++-+=--+----++++，即000022220000(2)(2)(2)123(2)4x y x y x y x y +--=+---+， 由题意，00y ≠，所以002222000022(2)123(2)4x x x y x y +-=+---． 即2222000000003(2)(2)4(2)(2)(2)12(2)x x x y x x x y +--+=-+--．所以22000(4)(1)04x x y -+-=，则040x -=或220014x y +=．若220014x y +=，则点M 在椭圆上，P ，Q ，M 为同一点，不合题意．故04x =，即点M 始终在定直线4x =上．16分8.（Ⅰ）解：设F (c ，0)，由|FA |e|OA ||OF |311=+，即)(311c a a c a c -=+，可得a 2－c 2=3c 2，又a 2－c 2=b 2=3，所以c 2=1，因此a 2=4.所以，椭圆的方程为13422=+y x . （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k ky B .由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅，所以034123449222=+++-k ky k k H ，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=. 设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y .9.解：（Ⅰ）∵椭圆C 的方程为2211612x y +=，∴4a =，b =2c =， ∴12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-， ∵||21||42FA AP m ==-， ∴8m =．（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则有12S S =，||||PM PN =，符合题意， 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616480k x k x k +-+-=， 可知0∆>恒成立，且21221643k x x k +=+，2122164843k x x k -=+， ∵12121212(2)(2)8888PM PN y y k x k x k k x x x x --+=+=+---- 122112(2)(8)(2)(8)(8)(8)k x x k x x x x --+--=--121212210()32(8)(8)kx x k x x kx x -++=--2222121648162103243430(8)(8)k k k k k k k x x -⋅-⋅+++==--，∴MPF NPF =∠∠，∵PMF △和PNF △的面积分别为：11||||sin 2S PF PM MPF =∠，21||||sin 2S PF PN NPF =∠， ∴12||||S PM S PN =．10.解：（1）∵(,)a b m λλ+=r r，∴直线AP 的方程为：()y x m mλ=-①式，又4(,4)b a m λλ-=-r r，∴直线BP 的方程为：4()y x m mλ=-+②式， 由①式，②式消去入得22224()y x m m =--，即22214x y m +=，故点P 的轨迹方程为22214x y m +=．当2m =时，轨迹E 是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆，当2m >时，轨迹E是以原点为中心，以(为焦点的椭圆， 当02m <<时，轨迹E是以原点为中心，以(0,为焦点的椭圆．（2）当m =时，22184x y +=，∵M 为轨迹E 是任意一点， ∴设,2sin )M θθ，∴||MC=∵cos [1,1]θ∈-，∴当cos θ=时，||MC11.（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为22221(0)x y a b a b +=>>，∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴1b c ==，a =，故所求椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）右焦点(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 由22221x y y x ⎧+=⎨=-⎩得，23210y y +-=，解得11y =-，213y =，∴1212112||||||223DOQ S OF y y y y =⋅-=-=△． （Ⅲ）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<， 使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形建菱形，因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 由22221x y y kx ⎧+=⎨=-⎩可得：2222(12)4220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，11(,)MP x m y =-u u u r ，22(,)MQ x m y =-u u u u r ，2121(,)PQ x x y y =--u u u r，其中210x x -≠，以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形()MP MQ PQ ⇔+u u u r u u u u r u u u r⊥，∴()0MP MQ PQ +⋅=u u u r u u u u r u u u r，即12211221(2)()()()0x x m x x y y y y +-+++-=， ∴1212(2)()0x x m k y y +-++=，∴22222442201212k k m k k k ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得222(24)0k k m -+=， ∴22(0)12k m k k =≠+，∴102m <<．12.解：Ⅰ设椭圆C 的标准方程为2221(0)x y a b a b2+=>>，∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线2y =-上， ∴2b -=-，即2b =， 又∵c a =222a b c =+， ∴4a =，c =故椭圆C 的标准方程为221164x y +=． Ⅱ（i ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB的方程为y x t =+，联立22416y t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得223120x t +-=， 由0∆>，计算得出t <<，∴12x x +=，212312x x t =-，∴12||x x -==∴四边形APBQ的面积121||2S x x =⨯-，当0t =时，max 12S =．（ii ）∵APQ BPQ =∠∠，则PA ，PB 的斜率互为相反数，可设直线PA 的斜率为k ， 则PB 的斜率为k -，直线PA的方程为：(2)y k x -=-，联立22(2)416y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)82)2)160k x k k x k +++-=，∴12x +=同理可得：22x + ∴212216414k x x k -+=+，12x x -12121212()4AB y y k x x k k x x x x -+-===-- ∴直线AB．13.（1）∵椭圆M 过点(0,1)A -，∴1b =．∵=c e a =222a b c =+，∴2a =． ∴椭圆M 的方程为2214x y =+．（2）依题意得0k ≠，因为椭圆M 上存在点B ，C 关于直线1y kx =-对称， 所以直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上，设直线BC 的方程为1y x t k =-+，11(,)B x y ，22(,)C x y ．由22144y x t kx y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩++，得22222(4)8440k x ktx k t k --=++． 由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=--=->++，得22240k t k --<． ∵12284ktx x k =++， ∴BC 的中点坐标为2224,44kt k t k k ⎛⎫⎪⎝⎭++．又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，∴2224144k t ktk k k =⋅-++，∴22314k t k =+，代入22240k t k --<，得k <或k ．∴S k k ⎧⎪=<⎨⎪⎩k >⎪⎭．∵22143k t k =+， ∴对于k S ∀∈，线段BC 的中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上．14.（1）由12e =，得2a c =， 又222a b c =+，∴b =， ∴椭圆2222:431x y C c c +=．∵点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在c上，∴22914143c c +=，得1c =， ∴2a =，b ，∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x P ⎛ ⎝，22x Q ⎛ ⎝，由以PQ 为直径的圆经过坐标原点，得0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即1212043x x y y +=①， 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得222(34)84(3)0k x mk m +++-=，由22226416(34)(3)0k m k m ∆=-+->，得22340k m +->．而122834mk x x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+，②所以22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+③， 将②③代入①得222224(3)3(4)04(34)4(34)m m k k k --+=++，即22243m k -=． 又∵||AB ，原点O 到直线:l y kx m =+的距离d =，∴1||2AOBS AB d ==△， 把22243m k -=代入上式得AOB S △ 故AOB △15.（1）由题意可得2221b ca abc =⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩+，解得a 1b c ==，∴椭圆C 的方程为2212x y =+．（2）设直线l 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则 22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩+，消去y 得2222(21)4220k x k x k --=++， 2122421k x x k =++，21222221k x x k -=+．∵423AB =， ∴22222242242(1)42121k k k k k ⎡⎤⎛⎫-⎢-⋅⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+++，化简得427250k k --=即22(1)(75)0k k -=+， 解得1k =±．故直线l 的方程为1y x =-或1y x =--．（3）由（2）可知(0,1)A -，41,33B ⎛⎫⎪⎝⎭，假设存在点(,0)M m ，设00(,)T x y ，则220000001244()033122x y x m y x m y ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩+++，解得26(0,1)m ±=∉， 故不存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形MATB 是菱形．16.（1）设动圆圆心为，半径为 ∵两个定圆为和∴其圆心分别为，，半径分别为，∵∴两个定圆相内含 ∵动圆与两个圆均相切 ∴，∴∴动点的轨迹为以，为焦点，以4为长轴长的椭圆∴曲线的方程为（2）当，平行于坐标轴时，可知当，不平行于坐标轴时，设，将的方程代入曲线的方程中消去化简得：∴，同理可得，由直线中令可得①∵与曲线交于，两点，与曲线交于，两点∴，代入①式化简得∴同理可得∵∴综上所述，17.（1）依题意222221,21231,,c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得4,2,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为2211612x y +=． （2）设直线AB 与x 轴相交于点(,0)R r 1|3|||2ABD A B S r y y ∆=-⋅-，111115||2A B D A B S y y ∆=⨯⨯-， 由于115A B D ABD S S ∆∆=且11||||A B A B y y y y -=-， 得55|3|r =⨯-，4r =（舍去）或2r =， 即直线AB 经过点(2,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的直线方程为：2x my =+， 由222,3448,x my x y =+⎧⎨+=⎩即22(34)12360m y my ++-=， 1221234m y y m -+=+，1223634y y m -=+，121||2ABD S y y ∆=-===，令1t =≥，所以212121313ABD t S t t t∆==++， 因为11333()t t t t+=+，所以13t t +在)+∞上单调递增，所以在[1,)t ∈+∞上单调递增， 所以134t t +≥，所以3ABD S ∆≤（当且仅当1t ==，即0m =时“=”成立）， 故ABD S ∆的最大值为3．。