驻波 东北大学 大学物理
大学物理驻波
以柔软细绳中的横波为例
⏹波的能量密度w:波传播时,单位体积介质中所
储存的波的能量.
⏹波的能流密度I:波传播时,单位时间内通过垂
直于波的传播方向单位面积的
体积介质中所波的能量.
⏹对于简谐波,两者关系为:I=uw
简谐波的能量密度和能流密度
⏹机械波的平均能量密度和平均能流密度:
都与振幅平方成正比,与频率平方成正比.
⏹电磁波的平均能量密度和平均能流密度:
都与振幅平方成正比,与频率无关.
⏹在介质中任意一点,简谐机械波的动能与势能都是同相位振动的;在真空中传播的简谐电磁波的电场能和磁场能在任意一点都是同相位振动的.
波的叠加原理
当几列波在介质中某点相遇时,该点的振动位移是各列波单独存在时在该点引起的位移的叠加
波的叠加原理举例驻波(standing waves)
122cos cos x y y y A t u
ωω=+=1cos ()x y A t u ω=-2cos ()x y A t u
ω=+
驻波
⏹形成驻波的条件:两列简谐波
✓频率相同;
✓振幅相同;
✓振动方向相同;
✓在同一媒介中相向传播,叠加而形成逐波.⏹驻波的现象:
✓相邻波节(或波腹)的间距为二分之一波长;✓相邻波节与波腹的间距为四分之一波长;
✓相邻两波节之间各点(称为一段)同相位振动;✓相邻两段的振动相位差为π.
驻波举例
位于A,B两点的两个简谐波源的振幅相同,频率都是100Hz,相位差为π.若A,B相距30m,波速为400m/s,求AB连线上因叠加而静止的各点的位置.
波的叠加原理举例驻波(standing waves)
拍(beats)。
东北大学大学物理附加题9章10章作业答案
第9章 振动 作 业一、教材：选择填空题 １~5；计算题:13，14,１8 二、附加题 （一)、选择题1、一沿x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ,振动方程用余弦函数表示，如果该振子的初相为π34,则ｔ＝０时,质点的位置在:D(A)过A x 21=处，向负方向运动； (B) 过A x 21=处,向正方向运动;(C ）过A x 21-=处，向负方向运动； (D)过A x 21-=处，向正方向运动。
2、一质点作简谐振动,振动方程为:ｘ＝A ｃｏs(ωt ＋φ ）在t=T/2（T 为周期)时刻,质点的速度为:B(A ） sin A ωϕ-. (B ） sin A ωϕ. （C) cos A ωϕ-. (D)cos A ωϕ.3、一质点沿x 轴做简谐运动,振动方程为:21410cos(2)3x t ππ-=⨯+。
从t = ０时刻起,到x =-2c ｍ处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为:C (A)1s 8. (Ｂ) 1s 4. (Ｃ) 1s 2. （D) 1s 3. （Ｅ） 1s 6. (二）、计算题1、一物体沿x 轴做简谐运动,振幅Ａ = ０.12m ，周期Ｔ = 2s.当t = 0时,物体的位移x 0= ０.０６ｍ,且向x 轴正向运动．求:（１）此简谐运动的运动方程;(2)ｔ = T ／４时物体的位置、速度和加速度;解:(1）0.12cos 3x t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭m（2)0.12sin 3v t πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭m ／s 20.12cos 3a t πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭m ／ｓ2 t = Ｔ／4时0.12cos 0.106x π==≈m0.12sin0.060.196v πππ=-=-≈-ｍ/s20.12cos 0.06 1.026a πππ=-=-≈-m ／s 22、一物体沿x 轴做简谐运动,振幅A = 10.0cm,周期T ＝ 2.０ｓ.当t ＝ 0时，物体的位移x 0= -５cm ，且向x 轴负方向运动．求：(1)简谐运动方程;(2）t = 0.5ｓ时,物体的位移;（3)何时物体第一次运动到x = 5ｃm 处?(4)再经过多少时间物体第二次运动到x = 5ｃm 处?解:(１)20.1cos 3x t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ｍ(2）t = 0.5ｓ时,270.1cos 0.1cos 0.087236x πππ⎛⎫=+=≈- ⎪⎝⎭m (3)利用旋转矢量法，第一次运动到x =5ｃm 处，相位是15233t πππ=+所以11t =s(３）利用旋转矢量法，第二次运动到x =5ｃm 处,相位是27233t πππ=+所以253t =s 215210.6733t t t s ∆=-=-==３、若简谐振动方程为m ]4/20cos[1.0ππ+=t x ,求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2)t =2s 时的位移、速度和加速度．解：(１）可用比较法求解．据]4/20cos[1.0]cos[ππϕω+=+=t t A x得:振幅0.1A m =,角频率20/rad s ωπ=,频率1/210s νωπ-==, 周期1/0.1T s ν==,/4rad ϕπ=(2）2t s =时，振动相位为:20/4(40/4)t rad ϕππππ=+=+ 据cos x A ϕ=，sin A νωϕ=-,22cos a A x ωϕω=-=-得20.0707, 4.44/,279/x m m s a m s ν==-=-4、如图所示，质量为10g 的子弹以1000m ．s －1的速度射入木块并嵌在木块中,并使弹簧压缩从而作简谐振动，若木块质量为4.99kg ，弹簧的劲度系数31810N m -⨯⋅，求振动的振幅。
大学物理 驻波(一)2024
大学物理驻波（一）引言概述：驻波是在介质中传播的波在与逆向传播的波相遇时形成的一种特殊波动现象。
它在大学物理中有着重要的应用和理论意义。
本文将从驻波的基本概念和特点入手，详细介绍了驻波的形成条件，驻波的数学描述以及驻波的实验观察等。
正文：1. 驻波的基本概念和特点- 驻波是由两个相同频率、振幅相等而方向相反的波在空间中相遇而形成的。
- 驻波的震动节点是固定不动的，而虚节点一直在不断地交替出现。
- 驻波是由于波的干涉而形成的，不会传输能量或物质。
2. 驻波的形成条件- 驻波形成的必要条件是波的传播速度相同，波长相等且频率相同。
- 在一维情况下，驻波形成的充分条件是两波的幅值、频率、相位相同。
3. 驻波的数学描述- 驻波可以用数学方程来描述，常用的方程为y(x,t) = Acos(kx)cos(ωt + φ)，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率，φ为初相位。
- 驻波方程中的k和ω与波长λ和周期T之间有着确定的关系：k = 2π/λ，ω = 2π/T。
4. 驻波的实验观察- 驻波可以通过在一定条件下的波的传播介质中观察到，如绳上的驻波、声管中的驻波等。
- 在实验观察中，可以通过调节波的频率、振幅、传播介质的长度等参数来观察驻波的形成与特性。
5. 驻波的应用- 驻波在声学、光学、电磁学以及其他物理学领域中有着广泛的应用，如乐器共鸣现象、干涉仪的工作原理等。
- 驻波还可以用于测量波的参数，如测量波速、波长等。
总结：驻波是在介质中传播的波在与逆向传播的波相遇时形成的一种特殊波动现象。
它具有震动节点固定、虚节点不断交替出现的特点，是由波的干涉形成的。
驻波的形成需要满足波的传播速度相等、波长相等且频率相同的条件。
驻波可以通过实验观察到，并可用数学方程进行描述，有着广泛的应用价值。
大学物理实验弦线上的驻波
11 级
砝码托 40 克，若无砝码托则加两只 20 克砝码）接上电源，使音叉振动大小合适，能看到稳
验
中 心
数据表格
1. 观察驻波现象并加以描述：_____________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________。
弦线上的振动
驻波是由两列传播方向相反而振幅、频率都相同，且相位差 1 恒定的简谐波波叠加而成 的。驻波有一维驻波、二维驻波等。例如，按某些频率激发弦乐器的弦线振动，弦线就会形 成一维驻波。对于话筒的膜片、锣鼓鼓面，它们形成的驻波分布在平面或曲面上，这是二维 驻波。驻波在声学、光学、无线电工程等方面都有广泛的应用。
使 用 学 生 成 贤 学 院 物 理 实
实验内容
1. 定性观察弦线上的驻波现象
（1） 装好仪器， 移动音叉使弦线长约为 120cm。 在弦线一端的砝码托上加 20 克砝码 （连 定的驻波，并使振幅最大。
大学物理驻波实验报告
大学物理驻波实验报告一、实验目的1、观察弦线上驻波的形成，了解驻波的特点和规律。
2、测量弦线振动的频率、波长和波速，验证驻波的相关理论。
3、掌握利用驻波测量物理量的实验方法和数据处理技巧。
二、实验原理当两列振幅相同、频率相同、传播方向相反的简谐波在同一直线上相向传播时，叠加形成驻波。
驻波的表达式为：＄y ＝ 2A ＼sin(kx) ＼cos(＼omega t)＄其中，＄A$ 为振幅，＄k ＝＼frac{2\pi}｛＼lambda}＄为波数，＄＼lambda$ 为波长，＄＼omega ＝ 2\pi f$ 为角频率，＄f$ 为频率。
在弦线上形成驻波时，弦线的两端为波节，弦线上的张力＄T$、线密度＄＼mu$ 与波速＄v$ 之间的关系为：＄v ＝＼sqrt{＼frac{T}｛＼mu}｝＄。
又因为＄v ＝＼lambda f$ ，所以可以通过测量弦线的张力、线密度、振动频率和波长来研究驻波的特性。
三、实验仪器弦音计、砝码、米尺、电子天平、信号发生器等。
四、实验步骤1、安装实验仪器将弦线的一端固定在弦音计的可移动刀口上，另一端通过砝码盘悬挂一定质量的砝码，以提供弦线的张力。
调整弦音计的位置，使弦线处于水平状态。
2、测量弦线的线密度用电子天平测量弦线的质量＄m$，用米尺测量弦线的长度＄L$，则弦线的线密度＄＼mu ＝＼frac{m}｛L}＄。
3、调节信号发生器的频率打开信号发生器，调节输出频率，使弦线产生振动。
观察弦线上的振动情况，当出现稳定的驻波时，记录此时信号发生器的频率＄f$ 。
4、测量驻波的波长通过移动弦音计的可移动刀口，改变弦线的长度，使弦线上出现不同阶数的驻波。
记录相邻两个波节之间的距离，即为半波长＄＼frac{＼lambda}｛2}＄。
测量多个数据，计算波长的平均值。
5、改变弦线的张力在砝码盘中增加或减少砝码，改变弦线的张力，重复步骤 3 和 4，测量不同张力下的频率和波长。
五、实验数据记录与处理1、弦线的线密度测量弦线质量＄m ＝＿____$ g，弦线长度＄L ＝＿____$ m，弦线的线密度＄＼mu ＝＼frac{m}｛L} ＝＿____$ kg/m。
大学物理下高等教育出版社
2.波节----振幅始终为 0 的位置。
波节 3.波腹----振幅始终最大的位置。
波腹
4.波节、波腹位置
①.波节位置
2 A cos 2 x 0
2 x (2k 1)
2
x (2k 1)
4
(k 0,1,2 )
/2
/2
波节
波腹
相邻波节间距离
xk 1
xk
2k
1 1
4
2k
1
4
2
②.波腹位置
波源行驶时，与波源安装在一起的接收器接收 到从汽车反射回来的波的频率为" 110 kHz . 已知空气中的声速u 330 m s，1 求车速.
v0
解 (1)车为接收器 ' u v0
u
(2)车为波源 " u ' v0 u
u vs
u vs
车速
v0
vs
" "
u
56.8
km h 1
四、半波损失
实验表明，在介质分界面（反射点）出现波节还是 波腹，与反射点两侧介质的性质有关。 波密介质——波阻（ρu）较大的介质。 波疏介质——波阻（ρu）较小的介质。
理论和实验证明：
1
2
①. 当波由波密介质入射到波疏介质时，反射点为波腹， 反射波与入射波在反射点同相；
②. 当波由波疏介质入射到波密介质时，反射点为波节， 反射波与入射波在反射点反相 。即反射时入射波的相
(m)
（1）
在1，2两种介质分界面上点A与坐标原点O
相距L=2.25 m.已知介质2的波阻大于介质1
的波阻,假设反射波与入射波的振幅相等, 求： （a）反射波方程; （b）驻波方程;
大学物理：Chapter 13-驻波
)
y驻
2 A cos(2
x
)cos(2
2
t T
)
2
(3) 波节点： 2 Acos(2 x ) 2
0,
2 x (2k 1)
2
2
2 x k , x k (k 0, 1, 2,) (0 x 5 )
垂直入射中，入射波和反射波的合成
四、半波损失 (相位跃变）
1. 波阻：ρ u 其中，ρ — 介质密度；u — 波速。 两介质相比较，ρ u 大者称波密介质，小者称波疏介质。
2. 半波损失
— 当波由波疏介质向波密介质垂直入射，在两介质界面
反射时相位突变π ，称为“半波损失”。
★ 1v1 2v2 时，有半波损失，
A驻 2 A
2 x 2 1 k (k 0, 1, 2,)
2
★ 相邻两波节(或波腹)间的距离： Δx xk 1 xk 2
t 0
tT 4
tT 2
t 3T 4
波节:始终 不动的点。 红色虚线对 应的位置。
波腹:振幅 始终最大的 点。黑色虚 线对应的位 置。
2. 驻波中各点的相位关系
2π
2
半波损失: 反射点为波节，表明入射波与反射波在该点反相.
两端固定的弦 振动的简正模式
l n n n 1,2,
2
l 1
2 l 22
2
l 33
2
1）弦上的驻波
A
弦
B
L n n
L
2
n
2L n
n=1 n=2 n=3
n
u
n
n u n=4 2L
1
u 2L （基频）
2
u L
3
3u 2L
东北大学大物振动和波总结
合振幅最大
相干减弱： 当
Amax A1 A2
2k 1π
合振幅最小
Amin A1 A2
5 驻波 形成条件: 两列振幅相同的相干波相向传播 x 驻波方程: y 2 A cos 2π cos 2π t
判断波节、波腹的位置以及相位 半波损失
驻波的能量
两端固定的弦振动的简正模式
能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.
P wu S
平均能流：
P wu S
能流密度 ( 波的强度 )I:
通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流.
P 1 I wu 2 A2u S 2
4 波的干涉条件 波频率相同，振动方向相同，位相差恒定 相干加强： 当
2kπ时k 0,1,2,3...
x A cos(t )
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
两个同方向同频率简 谐运动合成后仍为同 频率的简谐运动
(1) 振动加强
A=A1+A2 (k=0,1,2,…)
l n
n
2
n 1,2,
一端固定一端自由的弦振动的简正模式
1 n l (n ) 2 2 n 1,2,
6 多普勒效应
u V0 u VS
g 单摆 l
2
2p w= T
2
复摆
mgl J
2 基本概念
振幅，周期，频率，相位
3 简谐振动的描述方法
解析法，曲线法，旋转矢量法
4 简谐振动的能量
1 2 1 E Ek E p kA m 2 A2 2 2
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6
讨论
驻波方程
y 2 A cos2π x cos2π t
(1)振幅
2 A cos 2π
x
随
x 而异,与时间无关
cos 2 π x
1 0
2 π x k π k 0,1,2,
2π x (k 1 ) π k 0,1,2,
2
7
a
x
当 (2kco1s)2π
4
x
(
0 时 A 0
4
的奇数倍)
22
l 1 4
l 32
4
l 53
4 22
鱼洗
23
环驻波演示 24
例 如图, 一列沿x轴正向传播的简谐波方程为
y1
103 cos[200π(t x )] 200
(m)
(1)
在1，2两种介质分界面上点A与坐标原点O相距
L=2.25 m.已知介质2的波阻大于介质1的波阻,假设
反射波与入射波的振幅相等, 求：
第五讲 驻波
1
一 驻波的产生
1 现象
2
2 条件 两列振幅相同的相干波反向传播
3
3 驻波的形成
4
产生 驻 波 装置
5
二 驻波方程
正向
y1
A cos2π
(t
x)
负向
y2
A cos2π (t
x)
y y1 y2
A cos2π (t x ) A cos2π (t x )
2 A cos2π x cos2π t
起的，所以可以直接由入射波得到反射波方程，
只需考虑在反射点有π的位相突变
y反
103
c os [200π(t
2L - x) 200
π]
103 cos[200π(t x ) ]
200 2
(m)
y 12
O
L
A
x
28
（b）y
（c） 令
y1
y2 2 103 cos(πx cos(πx π ) 0
4
π ) cos(200πt 4
π) 4
得波节坐标
x
n
1 4
(n 0,1,2,)
x ≤ 2.25 m
x 0.25 m,1.25 m,2.25 m
令
cos(πx π ) 1 4
得波腹坐标
x n 1 4
(n 1,2,)
x ≤ 2.25 m
x 0.75 m,1.75 m
29
15
波密介质 波疏介质
当波从波密介质垂直入射到波疏 介质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相 同，即反射波在分界处不产生相位跃 变.
16
17
四 驻波的能量
波 腹
A
波
位移最大时
dWp
( y )平衡位置时
dWk
( y )2 t
18
驻波的能量 驻波的能量在相邻的波腹和波节 间往复变化，动能主要集中在波腹， 势能主要集中在波节，但无能量的定 向传播.
结论二 一波节两侧各点振动相位相反
12
边界条件 驻波一般由入射、反射波叠加而成， 反射发生在两介质交界面上，在交界面处 出现波节还是波腹，取决于介质的性质. 介质分类 波疏介质,波密介质
13
波疏介质 波密介质
波
波
疏
密
介
介
质
质
u
u
较
较
小
大
14
三 相位跃变（半波损失）
当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反 射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分 界处产生 的相位跃变，相当于出现了半 个波长的波程差，称半波损失.
19
五 振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时，波长λn
和弦线长 l 应满足
l n n ,
2
n
nu 2l
n 1,2,
这种振动方式称为弦线振动的简正模式.20
两端固定的弦振动的简正模式
l n n
2
n 1,2,
l
1
2
l 22
2
l 33
2
21
一端固定一端自由的弦振动的简正模式 l (n 1 ) n n 1,2,
x
26
由式（2）得A点的反射振动方程
y2 A 103 cos[200π(t
由式(3)和式(4)得：
0 2πL π -3.5π
0
π 2
L 200
-4π
) 0
舍
去π
2
](m（) 4）
所以反射波方程为：
y2
103
c os [200π(t
x ) 200
π] 2
(m)
27
另解 （a）
已知入射波方程，而反射波是由入射波引
为波节
(k 0,1,2，)
b
当
cos
2π
x
1
时
A 2A 为波腹
x 2k
4
(
4
的偶数倍)
(k 0,1,2，)
8
结论 有些点始终不振动,有些点始终振幅最大 相邻波腹（节）间距 2
相邻波腹和波节间距 4
y
波腹
波节
4
4
3
4
5
4
x
2
振幅包络图
9
(2) 相位分布
10
y (2 A cos 2π x) cos t A cos t
x ( , ),cos 2π x 0
44
y (2 A cos 2π x) cos t
结论一 相邻两波节间各点振动相位相同
11
y
4
4
3
4
5
4
x
x ( , 3 ),cos 2π x 0
44
y (2 A cos 2π x) cost (2 A cos 2π x) cos(t π)
（a）反射波方程; （b）驻波方程; （c）在OA之间波节和波腹的位置坐标.
y 12
O
L
A
x
25
解 （a）设反射波方程为
y2
103
c os [200π(t
x 200
)
0
]
(m)
由式（1）得A点的反射振动方程
y1A
103
c os [200π(t
L ) 200
π]
(m)
（2） （3）
y 12
O
L
A