陕西省咸阳市高新一中2021届高三上学期第三次质量检测数学(理)试题

咸阳市高新中学2021届2020—2021学年第一学期第三次质量检测 （理科数学）一、选择题1. 若集合A ={x |-1≤x ≤2，x ∈N }，集合B ={2，3}，则A ∪B 等于（ ） A. {-1，0，1，2，3} B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2}【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义，即可得出结果.【详解】因为集合A ={x |-1≤x ≤2，x ∈N }，集合B ={2，3},即集合A ={0,1,2}， 所以A ∪B ={0，1，2，3}. 故选：B.【点睛】本题考查并集的定义及运算，属于基础题.2. 向量(1,1)a =，(2,5)b =，(3,)c x =，满足条件(8)a b -．c 30=，则x =() A. 6 B. 5C. 4D. 3【答案】C 【解析】向量()()1,1,2,5a b ==，则()()()8?=63?3,18330a b c x x -=+=，， 故解得4x =. 故答案为：C 。

3. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ ）． A. 13 B. 35C. 49D. 63【答案】C 【解析】试题分析：依题意有21613{511a a d a a d =+==+=，解得1a 1,d 2，所以7172149S a d =+=. 考点：等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 4. 若向量()1,2a x =-，()4,b y =相互垂直，则93x y +的最小值为（ ）A. 6B.C.D. 12【答案】A 【解析】 【分析】首先利用向量互相垂直，求得22x y +=，再利用基本不等式求最小值.【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即()4120x y -+=，所以22x y +=．则293336x y x y +=+≥===，当且仅当233x y=，21x y ==取等号，所以最小值为6， 故选：A【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5. 设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）B.6C.13D.16【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可根据线段1PF 的中点在y 轴上得出2PF x ⊥轴，然后根据1230PF F ∠=︒得出2112PF PF =，再然后根据122PF PF a +=得出223PF a =，最后根据21212tan PF PF F F F ∠=以及ce a=即可得出结果. 【详解】设点P 坐标为()11,x y ，因为线段1PF 的中点在y 轴上，()1,0F c -，()2,0F c ， 所以10cx ，1=x c ，点P 与2F 横坐标相等，2PF x ⊥轴，因为1230PF F ∠=︒，所以2112PF PF =， 因为122PF PF a +=，所以223PF a =，则2121223tan 2aPF PF F F F c ∠===，化简得3ac ，故c e a ==， 故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查中点性质的应用，能否根据题意得出2PF x ⊥轴是解决本题的关键，考查椭圆定义的应用，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a ，考查计算能力，是中档题.6. 已知曲线1215:sin ,:cos()26C y x C y x π==-，则下列说法正确的是（ ） A. 把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移3π，得到曲线2C B. 把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移23π，得到曲线2C C. 把1C 向右平移3π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2CD. 把1C 向右平移6π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2C 【答案】B 【解析】对于A ，1115sin sinsin cos 22626y x y x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=→=→=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ,1115sin sinsin =cos 22326y x y x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=→=→=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 对于C ，215sin sin sin 2cos 3326y x y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→=-→=-≠- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 对于D ，15sin sin sin 2cos 6626y x y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→=-→=-≠- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1511cos()cos sin ,2622323y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B.【方法点晴】本题主要考查诱导公式、函数三角函数函数图象的性质及变换，属于中档题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是先对函数图象经过“放缩变换”再“平移变换”后，根据诱导公式化简得到的.7. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何. 刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网络纸中粗线部分为其三视图，设网络纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈 【答案】B 【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选 B. 8. 曲线31()(0)f x x x x=->上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为（ ） A. 3 B. 3C. 23D. 6【答案】C 【解析】 试题分析：当且仅当时，即时，时，斜率考点：1、切线的斜率；2、求导运算；3、基本不等式．9. 已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的直径为（ ）A. 13B. 10C. 210D.2172【答案】A 【解析】因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=12， 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心， 即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长， 因AB=3，AC=4，BC=5，BC 1=13，所以球的直径为：13． 故答案为：A ．10. 设,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数2yz x =+的取值范围[,]m n 恰好是2sin 2y x ω= (0)>ω的一个单调递增区间，则ω的一个值为（ ）A.12B.2π C.4π D.8π【解析】【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：则z 的几何意义为区域内的点D （﹣2，0）的斜率， 由图象知DB 的斜率最小，DA 的斜率最大，由10102x x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，即A （﹣1，2），则DA 的斜率k DA =2，由10112x x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩即B （﹣1，﹣2），则DB 的斜率k DB =-2，则﹣2≤z≤2，故2yz x =+的取值范围是[﹣2，2]， 故[﹣2，2]是函数的一个单增区间，故[]2,2,.224w w w πππ⎡⎤-=-⇒=⎢⎥⎣⎦故得到答案为C ．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形．11. 已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. (2,)+∞B. 3,2)C. (2,3)D. 2)【解析】双曲线22x a﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，不妨设过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba（x ﹣c ）， 与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bca）， ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 2|，即有24c +2224b c a＞c 2， ∴22b a＞3，即b 2＞3a 2， ∴c 2﹣a 2＞3a 2，即c ＞2a ． 则e=ca＞2． ∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选A ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x R f x α∈∈=，(){}0x R g x β∈∈=，若存在α、β，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”．若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围为（ ）A. 7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []2,3D. []2,4【答案】C 【解析】 【分析】先求得函数()f x 的零点为1x =，进而可得()g x 的零点β满足02β≤≤，由二次函数的图象与性质即可得解.【详解】由题意，函数()12x f x ex -=+-单调递增，且()10f =，所以函数()f x 的零点为1x =， 设()23g x x ax a =--+的零点为β，则11β-≤，则02β≤≤，由于()23g x x ax a =--+必过点()1,4A -，故要使其零点在区间[]0,2上，则()()020g g ⋅≤或()()00200022g g a ⎧>⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪≤≤⎪⎩，即()()3730a a -+-≤或()230370430022a a a a a -+>⎧⎪-+>⎪⎪⎨--+≥⎪⎪≤≤⎪⎩，所以23a ≤≤，故选：C .【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数()g x 零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.二、填空题13. 曲线3cos 22y x x ππ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用定积分表示曲边梯形的面积. 【详解】由图可知，曲线3cos 22y x x ππ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x 轴围成平面图形面积3223223cos sin sin sin222S xdx xππππππ⎛⎫⎛⎫=-⎰=-=---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：214. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．【答案】丙【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.15. 设,l m是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，则下列命题正确的是__________．①若,l m m α⊥⊥，则lα⊥或//lα.②若,lγαγ⊥⊥，则//lα或lα⊂.③若//,//l mαα，则//l m或l与m相交.④若//,lααβ，则lβ⊥或lβ⊂.【答案】②【解析】①若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或 l∥α，故①错；②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l⊂α，故②对；③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交，或l与m异面，故③错；④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β或 l ⊂β或l ∥β或l ⊂β，或l 与β相交．故④错． 故答案为②16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数()(0)x f x e x =>的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 【答案】max 11()2t e e=+ 【解析】设切点(,)aP a e ，因/()xf x e =，故切线的斜率a k e =，切线l 的方程为()a ay e e x a -=-，令0x =得(0,(1))aM e a -；过点(,)aP a e 与切线l 垂直的直线方程为()aay e e x a --=--，令x =得(0,)a a N e ae -+，则MN中点的纵坐标为11()[(2)]22a a a a a a t e ae e ae a e ae --=-++=-+，因/11(2))(1)()22a a a a a a t a e e e ae a e e ---=--+-=-+，故当1a <时，0t '>，函数1[(2)]2a a t a e ae -=-+单调递增；故当1a >时，0t '<，函数1[(2)]2a a t a e ae -=-+单调递减，故当1a =时，函数11max 11[(21)]()22t e e e e --=-+=+，应填答案11()2e e -+．点睛：解答本题的关键是如何建构以切点(,)aP a e 的横坐标为变量的函数．求解时先设切点坐标为切点(,)aP a e ，然后再依据题设条件建立关于线段MN 的中点的纵坐标为t 的目标函数，最后再运用导数的知识求函数t 的最大值，从而使得问题获解．三、解答题17. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos cos b c aB A-+=. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆的面积S 的最大值. 【答案】（1）4A π=.（2）21+.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化边为角，利用两角和正弦公式可得结果；（2）利用余弦定理以及均值不等式求ABC ∆的面积S 的最大值. 试题解析：（Ⅰ）由cos cos b aB A-+=，及正弦定理可得sin sin cos cos B C A B A -+=, ()sin cos cos sin cos cos sin B A C A A B C A A B -==+cos sin C A C =，又sin 0C ≠，所以cos 2A =, 故4A π=.（Ⅱ）由余弦定理及（Ⅰ）得，2222242cos4a b c bc b c π==+-=+，由基本不等式得：(42bc ≥,当且仅当b c =时等号成立，所以(22bc ≤=+所以(11sin 22 1.22S bc A =≤⨯+= 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243n nn T +=-⨯. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T .【详解】（Ⅰ）因为233=+nn S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==>（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313nn n n b n ---==-⋅所以1113T b ==， 当1n >时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-，所以()01231132313n n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦，两式相减，得()()01212233+3133nnn T n ---=+++--⋅()11121313313n n n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243n n n T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合， 综上可得：13631243n nn T +=-⨯. 【点睛】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题.19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ABD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，EB =1EF =，BC =M 是BD 的中点.（1）求证：//EM 平面ADF ；（2）求二面角A FD B --的余弦值的大小.【答案】（1）见解析（2）34【解析】 【分析】试题分析：（1）取AD 的中点N ，连接MN 、NF ．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE 为平行四边形，从而得到EM ∥FN ，结合线面平行的判定定理，证出EM ∥平面ADF ；（2）求出平面ADF 、平面BDF 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角A FDB --的大小.解析：（1）解法一：取AD 的中点N ，连接,MN NF . 在DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点， 所以1//,2MN AB MN AB =，又因为1//,2EF AB EF AB =， 所以//MN EF 且MN EF =.所以四边形MNFE 为平行四边形，所以//EM FN ，又因为FN ⊂平面,ADF EM ⊄平面ADF ，故//EM 平面ADF . 解法二：因为EB ⊥平面,ABD AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.由已知可得()(3,0,3,3,2,0,0,32EM AD AF ⎛⎫=-=-=-⎪⎝， 设平面ADF 的一个法向量是(),,n x y z =.由00n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32030x y y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令3y =，则(2,3,3n =.又因为0EM n ⋅=，所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ， 故//EM 平面ADF .（2）由（1）可知平面ADF 的一个法向量是(2,3,3n =. 易得平面BFD 的一个法向量是()0,3,1m =- 所以3cos ,||m n m n m n ⋅==-⋅，又二面角A FD B --为锐角， 故二面角A FD B --3. 【详解】20. 已知抛物线2E :2(0)y px p =>的准线与x 轴交于点K ，过点K 作圆()22C:59x y -+=的两条切线，切点为M,N ，且33MN =(1)求抛物线E 的方程；(2)若直线AB 是过定点()Q 2,0的一条直线，且与抛物线E 交于A,B 两点，过定点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G,D 两点，求四边形AGBD 面积的最小值.【答案】（1）24y x =（2）min 48S =【解析】试题分析：（1）第（1）问，设MN 与x 轴交于点R ，计算出32CR =，求出|CK|=6,最后求出p 的值即得抛物线E 的方程. (2)第(2)问，设直线AB 的方程为2x my =+，先根据条件求出四边形AGBD 面积表达式S =再换元利用二次函数求函数的最小值. 试题解析： （1）由已知得(),0,5,02p K C ⎛⎫-⎪⎝⎭设MN 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，MR =于是32CR =，所以30,60CMR MCR ∠=∠=，所以6CK =， 所以2p =.故抛物线E 的方程为24y x =.（2）设直线AB 的方程为2x my =+，设()()1122,,,A x y B x y ==，联立24{2y x x my ==+得2480y my --=，则12124,8y y m y y +==-.12AB y y ∴=-==设()()3344,,,G x y D x y ==，同理得GD = 则四边形AGBD 的面积12S AB GD =⋅==令()2212m m μμ+=≥，则S ==S =μ的增函数，故min 48S =，当且仅当1m =±时取得最小值48.点睛：本题的难点在于计算出S=数的值域.这里主要是通过观察发现，221mm+这个代数式导致函数比较复杂，所以可以考虑换元，再利用二次函数和复合函数的性质求函数的最小值.换元法是高中数学解题中常用的一种技巧，大家要理解掌握和灵活运用.21. 已知函数()ln,()xxf x x xg xe==，记()()()F x f x f x=-.（1）求证：()F x在区间(1,)+∞内有且仅有一个实数；（2）用min{,}a b表示,a b中的最小值，设函数()min{(),()}m x f x g x=，若方程()m x c=在区间(1,)+∞内有两个不相等的实根1212,()x x x x<，记()F x在(1,)+∞内的实根为x.求证：122x xx+>.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，得到函数的单调性，结合零点存在定理证出结论即可；（2）问题转化为证明x1+x2＞2x0，根据m（x）在（x0，+∞）上递减，即证明m（m2）＜m（2x0﹣x1），根据函数的单调性证明即可．解析：（1）()ln xxF x x xe=-，定义域为()0,x∈+∞，()11lnxxF x xe-=++'，当1x>时，()()0,F x F x>'∴在()1,+∞上单调递增，又()()21210,22ln20F Fe e=-=-，而()F x 在()1,+∞上连续，根据零点存在定理可得：()F x在区间()1,+∞有且仅有一个实根. （2）当01x<≤时，()ln0f x x x=≤，而()0xxg xe=>，故此时有()()f xg x<，由（1）知，()F x在()1,+∞上单调递增，有x为()F x在()1,+∞内的实根，所以()()()000F x f x g x=-=，故当1x x<<时，()0F x<，即()()f xg x<；当0x x>时，()0F x>，即()()f xg x>.因而()0,0,xxlnx x xm x xx xe<<⎧⎪=⎨>⎪⎩，当01x x <<时，()()ln ,1ln 0m x x x m x x =+'=>，因而()m x 在()01,x 上递增； 当0x x >时，()()1,0x xx x m x m x e e-='=<，因而()m x 在()0,x +∞上递减； 若方程()m x c =在()1,+∞有两不等实根12,x x ，则满足()()10201,,,x x x x ∈∈+∞ 要证：1202x x x +>，即证：1202x x x +>，即证：20102x x x x >->， 而()m x 在()0,x +∞上递减，即证：()()2012m x m x x <-，又因为()()12m x m x =，即证：()()1012m x m x x <-，即证：()0101111022ln ,1,x x x x x x x x e--<∈ 记()()00022ln ,1,x x x x h x x x x x e --=-∈，由()00F x =得：()00000ln ,0x x x x h x e =∴=. ()0000022212211ln 1ln x x x x x x x x x x h x x x e e e ---+--=++++-'=，()x x g x e =，则()1xxg x e ='-，当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<.故()()1g x g x e ≤=，所以当0x >时，()10g x e <≤, 00022120,0x x x x x x e e --->∴<≤,因此()00000222122111ln 1ln 10x x x x x xx x x x h x x x e e e e---+--=++=+>-'+->， 即()h x 在递增.从而当101x x <<时，()()00h x h x <=，即01011122ln x x x xx x e--<，故1202x x x +>得证. 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P的坐标为(，求PA PB +. 【答案】（1）(225x y +-=（2）PA PB +=【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标方程的转化，可直接求解，并将圆的一般方程化为标准方程即可. （2）将直线参数方程代入圆的方程，可得关于t 的一元二次方程.根据参数方程的几何意义，即可求得PA PB +.【详解】（1）由ρθ=，等式两边同时乘以ρ，可得2sin ρθ=.∴22x y +=，即(225x y +=.（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程.得223522t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=.由于(24420∆=--⨯=>，故可设1t ，2t是方程240t -+=的两实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩又直线l过点(P ，故由上式及t的几何意义得1212t t t t PA PB +=+=+=【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义及线段关系求法，属于中档题.选修4—5：不等式选讲23. 已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4． （1）求a b c ++的值； （2）求2221149a b c ++的最小值． 【答案】（1）4；（2）87． 【解析】 【分析】（1）首先根据函数含绝对值的三角不等式求函数的最小值，同时求出a b c ++的值；（2）构造柯西不等式，利用4a b c ++=求2221149a b c ++的最小值． 【详解】（1）因为()()()f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立．又0a >，0b >，所以a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++．又已知()f x 的最小值为4，所以4a b c ++=． （2）由（1）知4a b c ++=，由柯西不等式得()()2222211491231164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥⨯+⨯+⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即222118497a b c ++≥．当且仅当1132231b ac ==， 即87a =，187b =，27c =时等号成立． 故2221142a b c ++的最小值为87． 【点睛】方法点睛：求含绝对值的函数最值时，常用的方法有： 1.利用绝对值的几何意义；2.利用绝对值三角不等式，即a b a b a b +≥±≥-；3.利用零点区分区间，求每个区间内最值再求函数最值。