随机事件思维导图
北师大版四年级上册数学第八单元思维导图
可能性差不多
抛出硬币，正面或 反面的可能性差不
多
不可能
有红球和白球， 不可能摸出蓝色球
四年级上册数学
—— 北师大版 ——
滴水试验
常见的量及进率
质量单位 容积单位
千克、克、吨
kg、g、t
进率
1吨=1000千克，1千克=1毫升=1立方厘米 1升=1立方分米
1升=1000毫升
1毫升水的重量是1克、1升水的重量是1千克
数学好玩
编码
身份证号码有18位第7位至14位表示出生年、月、日第17位（倒数第2位） 单数表示男性，双数表示女性
一些事件的结果是可预知的， 具有确定性，用“一定、不可能”来描述。 一些事件的结果是不可预知的， 具有不确定性，用“可能”来描述。
事件发生 可能性的大小 与数量有关
1、在总数中所占数量多， 发生的可能性大。 2、在总数中所占数量少， 发生的可能性小。
可能性
可能性大 可能性小
摸出黄球的可能性大 中奖的可能性小
数图形的学问
如果某条线段上有 n 个点(包括两个端点) 那么这条线段就被分成 ( n-1 ) 个最小的部分， 线段的总条数就是：[ ( n-1 )+( n-2 ) + … + 3 + 2 + 1 ]
第八单元 可能性
不确定性 【感受简单随机现象的实例】
摸球游戏 【定性描述可能性的大小】
随机现象
结果不可预知的事件，称为“随机事件/现象”
理数思维导图
十十五、平面面向量量
不不等式的基本概念
具有大大小小和方方向的量量叫做向量量
空间向量量
七、不不等式
同向不不等式与异向不不等式 同解不不等式与不不等式的同解变形
共线向量要不不等式 几几个著名不不等式 不不等式的解法
整式不不等式分式不不等式;指数不不等式;对数不不等式;含绝对值不不等式
平面面
集合的性质
两条平行行行线在同一一平面面内的射影图形是一一条直线或两条平行行行线或两点 异面面直线判定定理理：过平面面外一一点与平面面内一一点的直线和平面面内不不经过该点的直线是 异面面直线.（不不在任何一一个平面面内的两条直线） 平行行行公理理：平行行行于同一一条直线的两条直线互相平行行行 等⻆角定理理：若果一一个⻆角的两边和另一一个⻆角的两边分别平行行行并且方方向相同，那么这两个⻆角相等 相交、平行行行、在平面面内. 空间直线与平面面位置
直线与平面面平行行行、直线与平面面垂直
八八、立立体几几何
一一、集合与常 用用逻辑语言言
“或”、“且”、“非非”这些词叫做逻辑联结词；不不含有逻辑 联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结 词“或”、“且”、“非非”构成的命题是复合命题。
平面面平行行行判定定理理：如果一一个平面面内有两条相交直线都平行行行于另一一个平面面，那么这两个平面面平行行行.（“线面面平行行行，面面面面平行行行”） 从n个不不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一一 定顺序排成一一列列，叫做从n个不不同元素中取出m个 元素的一一个排列列. 如果，两个排列列相同，不不仅这两个排列列的元素必须完全相同，而而 且排列列的顺序也必须完全相同. 定义 相同排列列. 排列列数. 排列列公式 含有可重元素的排列列问题. 排列列 对排列列定义的理理解. ①棱柱的各个侧面面都是平行行行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱 的各个侧面面都是矩形；正棱柱的各个侧面面都是全等的矩形. ②棱柱的两个底面面与平行行行于底面面的截面面是对应边互相平行行行的全等多边形. ③过棱柱不不相邻的两条侧棱的截面面都是平行行行四边形. 棱柱具有的性质 平行行行六面面体 两个平面面平行行行的性质定理理：如果两个平面面平行行行同时和第三个平面面相交，那么它们交线平行行行.（“面面面面平行行行，线线平行行行”） 一一、两个平面面所成二二面面⻆角是直二二面面⻆角，则两个平面面垂直 二二、如果一一个平面面与一一条直线垂直，那么经过这条直线的平面面垂直于这个平面面.（“线面面垂直，面面面面垂直”） 1. 乘法原理理、加法原理理. 2. 可以有重复元素的排列列. 两个平面面垂直，那么在一一个平面面内垂直于它们交线的直线垂直于另一一个平面面。 两个原理理 两个平面面垂直的判定 两个平面面垂直性质定理理 直棱柱侧面面积 斜棱柱侧面面积
(完整版)初中数学知识点思维导图(北师大版)
位置与坐标
确定位置
坐标确定位置
平面直角坐标系
1、点的坐标
2、坐标与图形性质
3、两点间距离公式
4、关于x轴、y轴、原点对称点的坐标
轴对称与坐标变化
轴对称与坐标变化（对称、平移、旋转）
第四章
一次函数
函数
1、常量与变量
2、函数概念、关系式、自变量的取值范围、函数值
3、函数图像
4、函数的表示方法
一次函数与正比例函数
七年级上册
第一章
丰富的图形世界
生活中的立体图形
1、认识立体图形
2、点、线、面、体
3、几何体的表面积
展开与折叠
1、几何体的展开图
2、展开图折叠成几何体
3、正方体相对两个面
截一个几何体
截一个几何体
从三个方向看物体的形状
1、简单几何体的三视图
2、简单组合体的三视图
3、由三视图判断几何体
第二章
有理数及其运算
2、代数式
3、列代数式
4、代数式求值
整式
1、单项式与多项式
整式的加减
1、同类项与合并同类项
2、去口号与添括号
3、整式的加减与化简求值
探索与表达规律
数字的变化规律
第四章
基本平面图形
线段、射线、直线
1、线段、射线、直线
2、直线的性质：两点确定一条直线
比较线段的长短
1、线段的性质：两点之间线段最短
2、两点间的距离
2、方程的解
3、等式的性质
4、一元一次方程的定义
求解一元一次方程
1、一元一次方程的解
2、解一元一次方程
3、含绝对值符号的一元一次方程
4、同解方程
高考复习概率与统计知识点归纳总结
概率与统计知识点总结（一）知识点思维导图（二）常用定理、公式及其变形1．用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）样本本均值：nx x x x n +++= 21 （2）样本标准差：nx x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-== （3）频率分布直方图估算样本众数、中位数、平均数①众数：最高小矩形中点值；②中位数：先确定中位数所在小组，设中位数为m ，由直线x=m 两侧小矩形面积之和等于0.5列方程求m ． ③平均数：各小矩形中点值与其面积的积的和．2．随机事件的概率及概率的意义（1）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（2）概率定义：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=n n A为事件A 出现的频率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率．3．概率的基本性质（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B 为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)4．古典概型及随机数的产生（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性．（2）公式P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件数A 5．几何概型及均匀随机数的产生（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ． 6．随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示．7．离散型随机变量的分布列：一般的，设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，．．．．． ，x i ，．．．．．．，x n ．X 取每一个值 x i (i=1，2，．．．．．．）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列分布列性质：∪ p i ≥0， i =1，2， … ；∪ p 1 + p 2 +…+p n = 1．9．条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率．记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率公式：.0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P 10．相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件，)()()(B P A P B A P ⋅=⋅12．数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 Eξ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量．13．方差：D(ξ)=(x 1-Eξ)2·P 1+（x 2-Eξ)2·P 2 +．．．．．．+（x n -Eξ)2·P n 叫随机变量ξ的均方差，简称方差．14．正态分布：（1）定义：若概率密度曲线就是或近似地是函数 的图象，其中解析式中的实数0)μσσ>、（是参数，分别表示总体的平均数与标准差．则其分布叫正态分布(,)N μσ记作：，f( x )的图象称为正态曲线；（2）基本性质：∪曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交；∪曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点；∪当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”；表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；∪正态曲线下的总面积等于1．15．3原则：从上表看到，正态总体在 以外取值的概率只有4．6%，在 以外取值的概率只有0．3% 由于这些概率很小，通常称这些情况发生为小概率事件．也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的．),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπμμμσσσσ)2,2(σμσμ+-)3,3(σμσμ+-17．回归分析。
文数思维导图
四种命题之间的相互 关系 奇函数f(-x)=-f(x) 偶函数f(-x)=f(x)
原命题为真，它的逆命题不不一一定为真 原命题为真，它的否命题不不一一定为真 原命题为真，它的逆否命题一一定为真
函数的奇偶性 棱形、棱柱
随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 概率 等可能事件的概率 事件
常用用逻辑语言言 平面面平行行行于平面面垂直
道 有
原命题：若p则q 逆命题:若q则p 否命题:¬p则¬q
品 精
h 课
p t t
集合运算
/ : s
交 并 补
③空集是任何非非空集合的真子子集
k /
y . e
u o
a d
c . o
m o
包含关系 等价关系
主要性质和运算律律
逆否命题:¬q则¬p 交换律律 集合的运算律律 结合律律 分配率 其他
函数单调性
十十、导数
有
高高考数学 思维导图 （文文科）
精 道
课 品
t h
s p t
对数函数
/ / :
e k
o y .
d u
o a
o c .
/ m
⻆角度与弧度的互换关系 弧⻓长公式
三⻆角函数定义:设α是任意⻆角，在α的终边上取（异于原点的）一一点P(X,Y)P与原点的距离为r,则
三⻆角函数 的定义域 三⻆角函数的公式
/ / :
e k
o y .
d u
o a
o c .
/ m
直接证明与间接证明 数学归纳法 向量量的概念 空间向量量的运算
十十三、证明和推理理
十十四、平面面向量量
不不等式的基本概念
不不等号的定义
高校统计学专业概率论知识点整理思维导图
高校统计学专业概率论知识点整理思维导图概率论是统计学中重要的基础学科，它研究的是不确定事件的数量关系和规律性。
对于高校统计学专业的学生来说，掌握概率论知识是非常重要的。
本文将通过整理概率论的知识点，并以思维导图的形式展示，帮助读者更好地理解和记忆。
一、概率基本概念1. 随机试验- 随机试验的定义- 试验的分类- 样本空间和样本点2. 事件与事件的关系- 事件的定义- 事件的运算- 事件关系的性质3. 概率的定义与性质- 古典概型- 几何概型- 组合概型二、概率分布1. 随机变量- 随机变量的定义- 随机变量的分类- 随机变量的分布函数2. 离散型随机变量及其分布- 离散型随机变量的定义- 二项分布、泊松分布等常见分布 - 离散型随机变量的期望和方差 3. 连续型随机变量及其分布- 连续型随机变量的定义- 均匀分布、正态分布等常见分布 - 连续型随机变量的期望和方差三、概率密度函数与分布函数1. 概率密度函数- 概率密度函数的定义- 连续型随机变量的概率计算2. 分布函数- 分布函数的定义- 连续型和离散型随机变量的分布函数性质 - 分布函数的计算方法四、多维随机变量1. 二维随机变量- 二维随机变量的定义- 二维随机变量的概率密度函数和分布函数 2. 边缘分布与条件分布- 边缘分布的定义与计算- 条件分布的定义与计算3. 相关性与独立性- 相关性与协方差的关系- 独立性的定义与判定五、大数定律与中心极限定理1. 大数定律- 弱大数定律与强大数定律- 大数定律的应用2. 中心极限定理- 中心极限定理的定义- 中心极限定理的应用六、抽样与统计推断1. 抽样方法- 简单随机抽样- 分层抽样- 系统抽样2. 参数估计- 点估计与区间估计的概念 - 极大似然估计- 置信区间估计3. 假设检验- 假设检验的原理- 单侧与双侧假设检验- 显著性水平与p值总结：概率论作为统计学的基础学科，对于高校统计学专业的学生来说是非常重要的。
数学人教版九年级上册25.1.1随机事件.1.1--随机事件
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的基本概念和特 点； 2.能根据随机事件、必然事件、不可能事件的特点判断一 件事情属于那类事件； 3.能举出简单的随机事件、必然事件、不可能事件．
例
题
5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。
签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，
3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签 筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题： 1、抽到的序号有几种可能的结果？ 2、抽到的序号是0，可能吗？ 3、抽到的序号小于6，可能吗？
4、抽到的序号是1，可能吗？
一、在一定条件下: 必然会发生的事件叫必然事件; 必然不会发生的事件叫不可能事件; 可能会发生，也可能不发生的事件叫不确定事件或随 机事件.
1.事件分类： （1）确定事件： 必然发生的事件 不可能发生的事件
（2）随机事件：有可能发生也有可能不发生的事件 2.随机事件的定义：在一定的条件下，有可能发生
也有可能不发生的事件称之为随机事件.
特征：事先不能预料即具有不确定性.
二、一般地，随机事件发生的可能性是有
大小的，不同的随机事件发生的可能性的 大小有可能不同.
跟踪训练
判断下列事件中哪些是必然事件，哪些是不可能事件， 哪些是随机事件？ 1、从地面往上抛出的篮球会落下.
必然事件
不可能事件 随机事件 随机事件
2、软木塞沉在水底.
3、买一张彩票中大奖
4、抛掷一枚硬币，落地后有国徽的一面朝上.
第一章 随机事件-PPT精品文档
A B
A B A 且 B A B
A与B的样本点完全相同。
3. 事件的并(和) A∪B（或A＋B） —— A 与B 的和事件
事件 A与事件B 至 少有一个发生 由属于A或B的 所有样本点构成的集合。
A ,A , ,A 1 2 n 的和事件 ——
A
B
A∪B
例1 给出一组随机试验及相应的样本空间
E 1 : 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数
{ 0 , 1 , 2 , 3 } 1
有限样本空间
E 2 : 观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数
{ 0 , 1 , 2 , 3 , , N } 2
E 3 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度
Ai
A ,A , ,A , 的积事件 —— 1 2 n
i1
Ai
5. 事件的差
A B —— A 与B 的差事件
事件 A 发生，但 事件 B 不发生 由属于A但不属于B的 样本点构成的集合。
A
B
A B
6. 事件的互斥(互不相容)
—— A 与B 互斥 AB
A
A与 B不可能同时发生 A与B没有公共的样本 点 A ,A , ,A 1 2 n 两两互斥 A A , i j , i , j 1 , 2 , , n i j A ,A , ,A , 两两互斥 1 2 n
例5 在图书馆中随意抽取一本书， 事件A={数学书}，B={中文书}，C={平 装书}，说出下列3个式子的意义。
(1) ABC ：抽取的是精装中文版数学书
(2)C B
(3)A B
：精装书都是中文书
考研数学一思维导图
数学一（By 风吟）高等数学线性代数概率论与数理统计函数、极限、连续一元函数微分学一元函数积分学向量代数和空间解析几何多元函数微分学多元函数积分学无穷级数常微分方程行列式矩阵向量线性方程组矩阵的特征值和特征向量二次型随机事件和概率随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律和中心极限定理数理统计的基本概念参数估计假设检验函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数一阶微分形式的不变性 微分中值定理洛必达（L’Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程 直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离球面 柱面 旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程多元函数的概念二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用 二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林（Green ）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯（Gauss ）公式 斯托克斯（Stokes ）公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用 常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p 级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier ）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet ）定理常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli ）方程 全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler ）方程 微分方程的简单应用行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理矩阵的概念 矩阵的线性运算矩阵的乘法 方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵 矩阵的初等变换初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算向量的概念向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组 向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念n 维空间向量的基变换和坐标变换过渡矩阵 向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基 正交矩阵及其性质线性方程组的克拉默（Cramer ）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵二次型的秩 惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性随机事件与样本空间 事件的关系与运算完备事件组 概率的概念 概率的基本性质古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布 多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质切比雪夫（Chebyshev ）不等式切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli ）大数定律 辛钦（Khinchine ）大数定律棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace ）定理列维-林德伯格（Levy-Lindberg ）定理总体 个体简单随机样本统计量 样本均值样本方差和样本矩X2分布t 分布 T 分布 分位数正态总体的常用抽样分布随机变量函数的分布点估计的概念 估计量与估计值矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
九年级数学概率初步知识结构图
[说明] 学生已经能够理解：任意选取一张卡片，这张卡片是船的可能性比 1 1 是车的可能性大，现在应当明确地知道其概率分别是 2 和 4 。这个例子可 以举一反三，如转动转盘，当转盘停止时指针指向某一特定部分的概率； 一个袋子里有几种颜色、数量不同的球，随机摸出某种颜色球的概率，等等。
分析掷两个骰子点数之和的可能性的大小。 [说明] 这个问题看起来很难，无从下手。事实上，这也是简单事件的问题。
一、导：
今天要介绍的另一种求概率方法—树形图(投影课题及目标)， 认真看课本的内容，想一想，什么时候使用“列表法”方便， 什么时候使用“树形图法”方便？
二、学：
1、学生按照自学指导看书，教师巡视，确保人人学得紧张高 效。
2、检查自学效果。
3、完成课本练习（P137，第2题），请几位同学板演，其余
题3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙所猜数字记为b，且a、b分别 取数字0，1，2，3，若a、b满足｜a-b｜≤1，则称甲、乙两人“心 有灵犀”。现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率 为 。
必然事件与随机事件
必然事件：在一定条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然发生的事件． 例如，问题1中“抽到的序号小于6”，问题2中“出现的点数大于0”，这两 个事件是必然发生的事件．
2010年：
二、填空题（每小题3分，共27分） 12．现有点数为2，3，4，5的四张扑克牌，背面朝上洗匀，然后从中任意抽取 两张，这两张牌上的数字之和为偶数的概率为______________ 18（9分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“五一”期间，小记者刘凯随 机调查了城区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下 的统计图： （1）求这次调查的家长人数，并补全图①； （2）求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数； （3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概 率是多少？