数字信号处理 Chapter 1
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《数字信号处理》 完整加精版
由于不涉及物理量的改变，数字系统可以
采用抽象算法表达：由软件程序虚拟实现。 在采用硬件电路实现时，由于不需要考虑 物理环境对信号的影响，可以在设计中尽可
能采用低功耗高密度集成。
数字系统的特点
信号采用数字序列表达后，对模拟信号难以 进行的很多处理能够方便地实现，例如： 对信号的乘法调制和各种编码调制、信号的时 间顺序处理、信号的时间压缩/扩张、复杂标准 信号的产生…
时间变量与对应的函数值采用两个相等长度的序列 （一维向量）表示。 两个序列可以进行直接数值设臵:
例：n=[0 1 2 3 4 5 6 7];
x=[1 2 4 6 5 3 1 0];
数字信号的MATLAB表达
坐标区间设臵： n=[n1:n2] 只取整数，设定起点和终点；
信号函数设臵：其序列长度由n序列限定； x=3*n x=exp(j*(pi/8)*n)
设臵好坐标序列t和信号序列x后，可以采 用下列作图语句画出连续时间信号图形: plot(t，x) 该语句通过将离散的信号点之间用直线连 接得到连续图形。
模拟信号的作图表达
例：MATLAB程序
t=[0:0.1:10];x1=[zeros(1,30) ones(1,40) zeros(1,31)]; x2=2-0.3*t;x3=exp(j*(pi/8)*t);x4=exp(-0.2*t).*cos(2*pi*t);
欠采样导致的问题
s N
若原始频谱与镜像频谱混叠，产生混叠失真，则
信号不可恢复！
采样定理
待采样信号必须为带限信号
X 0
M
采样频率应大于信号最高频率的2倍
2 s 2M N Ts
Nyquist 频率
重建滤波器（低通）截止频率应满足：
采用抽象算法表达：由软件程序虚拟实现。 在采用硬件电路实现时，由于不需要考虑 物理环境对信号的影响，可以在设计中尽可
能采用低功耗高密度集成。
数字系统的特点
信号采用数字序列表达后，对模拟信号难以 进行的很多处理能够方便地实现，例如： 对信号的乘法调制和各种编码调制、信号的时 间顺序处理、信号的时间压缩/扩张、复杂标准 信号的产生…
时间变量与对应的函数值采用两个相等长度的序列 （一维向量）表示。 两个序列可以进行直接数值设臵:
例：n=[0 1 2 3 4 5 6 7];
x=[1 2 4 6 5 3 1 0];
数字信号的MATLAB表达
坐标区间设臵： n=[n1:n2] 只取整数，设定起点和终点；
信号函数设臵：其序列长度由n序列限定； x=3*n x=exp(j*(pi/8)*n)
设臵好坐标序列t和信号序列x后，可以采 用下列作图语句画出连续时间信号图形: plot(t，x) 该语句通过将离散的信号点之间用直线连 接得到连续图形。
模拟信号的作图表达
例：MATLAB程序
t=[0:0.1:10];x1=[zeros(1,30) ones(1,40) zeros(1,31)]; x2=2-0.3*t;x3=exp(j*(pi/8)*t);x4=exp(-0.2*t).*cos(2*pi*t);
欠采样导致的问题
s N
若原始频谱与镜像频谱混叠，产生混叠失真，则
信号不可恢复！
采样定理
待采样信号必须为带限信号
X 0
M
采样频率应大于信号最高频率的2倍
2 s 2M N Ts
Nyquist 频率
重建滤波器（低通）截止频率应满足：
数字信号处理第一章课后答案
故系统是线性系统。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
n
（7） y(n)= x(m) 令输入为m0
x(n－n0)
输出为
n
y′(n)= =0[DD)]x(m-n0)
m0
nn0
y(n－n0)= x(m)≠y′(n) m0
故系统是时变系统。 由于
n
T［ax1(n)+bx2(n)］=
［ax1(m)+bx2(m)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：
x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)
+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)
2． 给定信号：
2n+5
－4≤n≤－1
(x(n)= 6 0
0≤n≤4 其它
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；
（2） y(n)=x(n)+x(n+1)
n n0
（3） y(n)= x(k) k nn0
（4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：（1）只要N≥1， 该系统就是因果系统， 因为输出 只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤M， （2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以 后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则 |y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统 题2解图（四）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
n
（7） y(n)= x(m) 令输入为m0
x(n－n0)
输出为
n
y′(n)= =0[DD)]x(m-n0)
m0
nn0
y(n－n0)= x(m)≠y′(n) m0
故系统是时变系统。 由于
n
T［ax1(n)+bx2(n)］=
［ax1(m)+bx2(m)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：
x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)
+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)
2． 给定信号：
2n+5
－4≤n≤－1
(x(n)= 6 0
0≤n≤4 其它
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；
（2） y(n)=x(n)+x(n+1)
n n0
（3） y(n)= x(k) k nn0
（4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：（1）只要N≥1， 该系统就是因果系统， 因为输出 只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤M， （2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以 后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则 |y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统 题2解图（四）
数字信号处理第一讲
x(n)
系统
y(n)
模拟系统：精度不高，受环境影响较大，可靠性差，不灵活 数字系统：体积小、功耗低、精度高、可靠性高、灵活性大 、易于大规模集成、可进行二维与多维处理
11
数字信号处理系统的基本组成
模拟 前置取
样滤波
xa(t)
x(n)
y(n)
A/D 变换器
ADC
采样→量化
数字信号 处理器
DS P
D/A 变换器
202X
年终总结
点击此处添加副标题
共48学时
考核方式：平时40% ，期末考试60%
1
课程内容
一．绪论-DSP的发展和应用 二．离散时间信号与系统分析（第二章） 三．离散傅里叶变换DFT(第三章） 四．快速傅里叶变换FFT（第四章） 五．数字滤波器(DF)的结构和设计（第五章）
2
参考书
数字信号处理-基于计算机的方法 Mitra，电 子工业
x(n)
y(n)
0 T 2T ┈ 6T 7T n
T 2T ┈ 6T 7T n
(4)D/A变换
数字信号→模拟信号，脉冲间隙插值，产生波形。
(5)后置滤波器 滤除不需要的高频分量 得模拟信号ya(t)
ya(t) 0
t
15
三、典型的信号处 理运算
时域(Time Domain):描述 信号随时间的变化
频域(Frequency Domain)：信号的频谱 （Spectrum）
8
图像信号： 黑白图像：二维信号
彩色图像：三通道二维信号
黑白视频信号：三维信号 彩色视频信号：三维三通道信号
9
按自变量与函数值的取值形式不同分类
0
0
0
数字信号处理课件Chapter 1
The full color image obtained by
displaying the previous 3 color components is shown below
17
Characterization and Classification of Signals
Each frame of a black-and-white digital
19
Characterization and Classification of Signals
For a 1-D signal, the independent variable
is usually labeled as time If the independent variable is continuous, the signal is called a continuous-time signal If the independent variable is discrete, the signal is called a discrete-time signal
12
Characterization and Classification of Signals
Continuous signals vs. discrete signals Real signals vs. complex signals
Scalar(标量) signals vs. vector(矢量) signals
2
Examples of Typical Signals
Speech and music signals-Represent
air pressure as a function of time at a point in space Electrocardiography (ECG心电图) Signal-Represents the electrical activity of the heart A typical ECG signal is shown in Figure 1.12(a)
displaying the previous 3 color components is shown below
17
Characterization and Classification of Signals
Each frame of a black-and-white digital
19
Characterization and Classification of Signals
For a 1-D signal, the independent variable
is usually labeled as time If the independent variable is continuous, the signal is called a continuous-time signal If the independent variable is discrete, the signal is called a discrete-time signal
12
Characterization and Classification of Signals
Continuous signals vs. discrete signals Real signals vs. complex signals
Scalar(标量) signals vs. vector(矢量) signals
2
Examples of Typical Signals
Speech and music signals-Represent
air pressure as a function of time at a point in space Electrocardiography (ECG心电图) Signal-Represents the electrical activity of the heart A typical ECG signal is shown in Figure 1.12(a)
第一章绪论(数字信号处理)
例：
二阶系统 的单位阶 跃响应
★ 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。 模拟信号：时间和幅值均为连续的信号常称为模拟信号。 数字信号：幅值也离散的量化了的离散信号，称为数字信号。
在实际应用中，连续信号与模拟信号两个名词常常不 予区分，离散信号与数字信号两个名词也常互相通用。一 般，在研究理论问题时常用“连续”、“离散”二词，而 讨论具体的实际问题时常用“模拟”、“数字”二词。
根据这一定义， （1）系统可大可小，一个大的系统可以分成若 干个小系统。 （2）处理或变换软件也是系统
按处理的信号种类不同可分为： （1）模拟系统：处理模拟信号，系统的输入输出均为连续
时间连续幅值的模拟信号 （2）连续时间系统：处理连续时间信号，系统的输入输出
均为连续时间信号。 （3）离散时间信号：处理离散时间信号——序列，系统的
离散信号通常是对连续信号等距采样的结果。
（4）确定性信号与随机信号
确定性信号
周期信号一 谐般 波周 信期 号信号 非周期信号一准般周非期周信期号信号
非确定性信号
平稳随机信号非各各态态历历经经信信号号
非平稳随机信号
（1） 确定性信号 可以用明确的数学关系式或图表、图象来描述的信号。
0
t
⑧一般性的非周期信号
❖ 非确定性信号：每次实验观测结果都不相同，无法用数学关系
式或图表描述其关系。正如其名字“非确定”， 具有随机性，是没有规律可以遵循的，具有不 重复性、不确定性、不可预估性 。 它的另外一个名字叫做“随机信号”。 对于非确定性信号，不能对它准确预测，只能用概率统计的 方法由过去估计未来。 例 ① 汽车奔驰所产生的振动； ② 飞机在大气中的浮动； ③ 树叶随风飘动； ④ 环境噪声；
二阶系统 的单位阶 跃响应
★ 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。 模拟信号：时间和幅值均为连续的信号常称为模拟信号。 数字信号：幅值也离散的量化了的离散信号，称为数字信号。
在实际应用中，连续信号与模拟信号两个名词常常不 予区分，离散信号与数字信号两个名词也常互相通用。一 般，在研究理论问题时常用“连续”、“离散”二词，而 讨论具体的实际问题时常用“模拟”、“数字”二词。
根据这一定义， （1）系统可大可小，一个大的系统可以分成若 干个小系统。 （2）处理或变换软件也是系统
按处理的信号种类不同可分为： （1）模拟系统：处理模拟信号，系统的输入输出均为连续
时间连续幅值的模拟信号 （2）连续时间系统：处理连续时间信号，系统的输入输出
均为连续时间信号。 （3）离散时间信号：处理离散时间信号——序列，系统的
离散信号通常是对连续信号等距采样的结果。
（4）确定性信号与随机信号
确定性信号
周期信号一 谐般 波周 信期 号信号 非周期信号一准般周非期周信期号信号
非确定性信号
平稳随机信号非各各态态历历经经信信号号
非平稳随机信号
（1） 确定性信号 可以用明确的数学关系式或图表、图象来描述的信号。
0
t
⑧一般性的非周期信号
❖ 非确定性信号：每次实验观测结果都不相同，无法用数学关系
式或图表描述其关系。正如其名字“非确定”， 具有随机性，是没有规律可以遵循的，具有不 重复性、不确定性、不可预估性 。 它的另外一个名字叫做“随机信号”。 对于非确定性信号，不能对它准确预测，只能用概率统计的 方法由过去估计未来。 例 ① 汽车奔驰所产生的振动； ② 飞机在大气中的浮动； ③ 树叶随风飘动； ④ 环境噪声；
数字信号处理-第一章(new)
2 n , n 3 x(n) 3 0, n 3 2 n 1 , n 2 x(n 1) 3 0, n 2 2 n 1 , n 4 x(n 1) 3 0, n 4
1数字信号处理第一章离散时间信号与系统11离散时间信号序列本节涉及内容序列的运算序列的周期性序列的能量几种常用序列用单位抽样序列表示任意序列2数字信号处理第一章离散时间信号与系统1离散时间信号定义??nntxnxnntxtxaanttan取整数3数字信号处理第一章离散时间信号与系统离散时间信号序列的表示形式nx表示离散时间信号序列如图1所示示0时刻的序列值表表示1时刻的序列值0x1x图14数字信号处理第一章离散时间信号与系统一序列的运算1移位m0时该移位
3、矩阵序列
RN (n) u(n) u(n N )
例如N=4
1,0 n N 1 RN ( n ) 0, 其它 n
19
数字信号处理－第一章 离散时间信号与系统
4、实指数序列
a 1 a 1
x(n) a u(n) x(n) 收敛
n
x ( n)
发散
例如a=1/2及a=2时
1 n , n 1 例： x ( n) 2 0, n 1
在－6<n<6范围内求： x(n) ，x(n)
9
数字信号处理－第一章 离散时间信号与系统 n01=-1; n02=0; ns=-5; nf=5; nf1=6; ns1=-6; n1=n01:nf1; n2=ns:nf; n3=ns:nf1; x=(1/2).^n1; x=[zeros(1,(n01-ns)),x]; for n=1:11 y1(1,n)=x(1,n+1)-x(1,n); end
数字信号处理第1章
序列的乘积
将两序列序号相同的数值相乘，即：
z(0)=x(0)· y(0)
z(1)=x(1)· y(1)
z(2)=x(2)· y(2) …
序列的基本运算
序列的延时
将序列全体在时间轴上移动，即：
y(n) x(n n0 ) n0 0 时左移，n0 0 时右移，如：
序列的基本运算
序列乘常数 y (n) ax(n)
第一章 离散时间信号与系统
1.1离散时间信号 1.2离散时间系统 1.3线性时不变系统的差分方程描述 1.4连续时间信号的数字处理
§1 离散时间信号
离散时间信号定义与分类 时域表示 序列的基本运算 常用序列 序列的周期 用单位脉冲序列表示任意序列 序列的能量与功率
离散时间信号及其时域表示
n
试判断该信号是能量信号还是功率信号。 解：∵该信号为有界信号，其总能量为：
可见信号的能量是无限的，但其功率为：
∴该信号是功率信号。
§2 离散时间系统
离散时间系统的定义和性质 线性时不变离散系统 线性时不变离散系统的基本元件 单位脉冲响应与卷积 序列的相关性 离散时间系统的因果性与稳定性
1
1…m
-2 -1
0
n
常用序列
单位阶跃序列
u(n) 1 ... 0 1 2 3 n
与
的关系
常用序列
令 x(n) e cos 0 n je 复指数序列实部与虚部示意图：
矩形序列 余弦与正弦序列示意图：
n n
中σ sin 0 n = 0
则有： x(n)
cos 0 n 1 j sin 0 n
序列的基本运算（共八种）
胡广书-数字信号处理-第1章-1
k
)
1 0
nk nk
如何
表达
p(n)
(n k)
k
单位冲激信号（Drac 函数）
(t)dt 1
(t) 0, t 0
x(t) (t )dt x( )
脉冲串： p(n) (n k)
k
或写为 p(n) ={… , 1 , 1 , 1 , …}
冲激串： p(t) (t kTs ) k
第1章 离散时间信号与离散时间系统基础
一、 常用的离散时间信号； 二、信号的分类； 三、噪声； 四、信号空间； 五、离散时间系统； 六、 LSI系统输入、输出关系； 七、 LSI系统的频率响应； 八、确定性信号的相关函数
1.1 常用的离散时间信号
（Kronecker 函数）
(n)
1 0
n0 n0
(n
1.3 噪声（Noise）
（一）噪声的种类：
1.白噪声：
White Noise
频谱为一直线；
自相关函数为 函数
各点之间互不相关
白噪声是信号处理中最常用的噪声模型！
histogram of u(n) u(n)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
1500
1000
500
0 0
均匀分布白噪声
20
40
60
80
100
(a) n=1--- 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b) bins of x axis
直方图
高斯分布白噪声
u(n) histogram of u(n)
1.5 1
0.5 0
-0.5 -1 0 x 104 5 4 3 2 1 0 -1.5
数字信号处理第三版课件第一章
❖ 设有序列x(n)， 则x(-n)是以n=0为纵轴将x(n)反褶后的序列。
x(n)
3 2 11
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
3 x(-n)
2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
x(n)
3
3
3
2
2
2
…1
1
1
…
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
2
x(n)= (n) +2(n-1)+3(n-2) x(m) (n m)
3 2
m0
1
(其中，x(0)=1, x(1)=2, x(2)=3)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
2、单位阶跃序列u(n) -Unit step sequence
❖ x(mn) 为抽取序列（m>1） ❖ x(n/m)为插值序列（m<1）
例如：x(n)与x(2n)
x(n)
2 1
5 4 3
-2 -1 0 1 2
n
x(2n)
5
3
1
-2 -1 0 1 2
n
注意：
x(n) = x(t)|t=nT x(2n) = x(t)|t=2nT x(n/2) = x(t)|t=nT/2
❖ 一般，采样间隔是均匀的，用x(nT)表示离散时间信号在nT 点上的值，n为整数。由于x(nT)顺序存放在存储器中，我们通 常直接用x(n)表示离散时间信号－序列。
x(t)|t=nT=x(nT)
…… 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ……
x(n)
3 2 11
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
3 x(-n)
2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
x(n)
3
3
3
2
2
2
…1
1
1
…
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
2
x(n)= (n) +2(n-1)+3(n-2) x(m) (n m)
3 2
m0
1
(其中，x(0)=1, x(1)=2, x(2)=3)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
2、单位阶跃序列u(n) -Unit step sequence
❖ x(mn) 为抽取序列（m>1） ❖ x(n/m)为插值序列（m<1）
例如：x(n)与x(2n)
x(n)
2 1
5 4 3
-2 -1 0 1 2
n
x(2n)
5
3
1
-2 -1 0 1 2
n
注意：
x(n) = x(t)|t=nT x(2n) = x(t)|t=2nT x(n/2) = x(t)|t=nT/2
❖ 一般，采样间隔是均匀的，用x(nT)表示离散时间信号在nT 点上的值，n为整数。由于x(nT)顺序存放在存储器中，我们通 常直接用x(n)表示离散时间信号－序列。
x(t)|t=nT=x(nT)
…… 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ……
数字信号处理第一章1
• 4.利用特殊用途的DSP芯片:市场上推出专门用于FFT,FIR 滤波器，卷积、相关等专用数字芯片。其软件算法已在芯 片内部用硬件电路实现，使用者只需给出输入数据，可在 输出端直接得到数据。
用通用的可编程的数字信号处理器实现法—是目前 重要的数字信号处理实现方法，它即有硬件实现法 实时的优点，又具有软件实现的灵活性优点。
• 七十年代以后，由于计算机的广泛应用和大规 模集成技术的高速发展，数字信号处理技术得到 了广泛的应用，与此同时，出现了一门新的学科 ――数字信号处理。但由于受到器件的限制，相应 的硬件技术仍旧不能满足实时处理的要求。
• 八十年代以后，特别是九十年代以来，随着超 大规模集成电路以及微处理机、微处理器的惊人 发展，数字信号处理的理论和技术得到充分的推 广应用，处理实时性问题也正在逐步得以解决。 例如目前被广泛应用的各种体积很小的数字信号 处理器(TM320系列)，FFT芯片和数字滤波器等 。
• 数字滤波就是在形形色色的信号中提取所需要的 信号,抑制不需要的信号或干扰信号。
• 应用于（1）消除信息在传输过程中由于信道不理 想所引起的失真, （2）滤除不需要的背景噪声， （3）去除干扰、（4）频带分割， 信号谱的成形。
• 它广泛地应用于数字通信，雷达，遥感，声纳， 语音合成，图象处理，测量与控制，高清晰度电 视，多媒体物理学，生物医学，机器人等。
第三章：介绍无限冲激响应(IIR)数字滤波器和有限冲激响 应(FIR)的设计方法，其中我们只介绍通过变换公 式逼近的经典设计方法，而计算机辅助设计方法就 不作讲解，也就是课本第三章的第4节不讲，有兴 趣的同学可以在课下学习。
第四章：介绍离散随机信号的基本知识以及线性数字系统对 随机信号的响应，同时还介绍FIR最佳滤波和线性 预测的知识，第5节离散随机信号的功率谱估计我 们也是不讲的。
用通用的可编程的数字信号处理器实现法—是目前 重要的数字信号处理实现方法，它即有硬件实现法 实时的优点，又具有软件实现的灵活性优点。
• 七十年代以后，由于计算机的广泛应用和大规 模集成技术的高速发展，数字信号处理技术得到 了广泛的应用，与此同时，出现了一门新的学科 ――数字信号处理。但由于受到器件的限制，相应 的硬件技术仍旧不能满足实时处理的要求。
• 八十年代以后，特别是九十年代以来，随着超 大规模集成电路以及微处理机、微处理器的惊人 发展，数字信号处理的理论和技术得到充分的推 广应用，处理实时性问题也正在逐步得以解决。 例如目前被广泛应用的各种体积很小的数字信号 处理器(TM320系列)，FFT芯片和数字滤波器等 。
• 数字滤波就是在形形色色的信号中提取所需要的 信号,抑制不需要的信号或干扰信号。
• 应用于（1）消除信息在传输过程中由于信道不理 想所引起的失真, （2）滤除不需要的背景噪声， （3）去除干扰、（4）频带分割， 信号谱的成形。
• 它广泛地应用于数字通信，雷达，遥感，声纳， 语音合成，图象处理，测量与控制，高清晰度电 视，多媒体物理学，生物医学，机器人等。
第三章：介绍无限冲激响应(IIR)数字滤波器和有限冲激响 应(FIR)的设计方法，其中我们只介绍通过变换公 式逼近的经典设计方法，而计算机辅助设计方法就 不作讲解，也就是课本第三章的第4节不讲，有兴 趣的同学可以在课下学习。
第四章：介绍离散随机信号的基本知识以及线性数字系统对 随机信号的响应，同时还介绍FIR最佳滤波和线性 预测的知识，第5节离散随机信号的功率谱估计我 们也是不讲的。
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要使x(n+N)= x(n) ，即x(n)为周期N的周期序列
则要求0 N 2 k ，即 N
2
0
k，N，k为整数
且k的取值标准N是最小的正整数31正弦序列的周期性
分情况讨论
1）当 2）当 3）当
2
0 为整数时
2
0
2
为有理数时 为无理数时
0
32
正弦序列的周期性
当 为整数时 0
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
1）翻褶：x(n) x(m) h(n) h(m) h( m)
2）移位：h(m) h(n m)
3）相乘：x(m) h(n m) m
4）相加： x( m) h( n m)
周期性序列
若对所有n存在一个最小的正整数N，满足 x(n) x(n N ) n
则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。
例： x(n) sin( n) sin[ (n 8)] 4 4
因此，x(n)是周期为8的周期序列
30
正弦序列的周期性
x(n) A sin(0 n ) x(n N ) A sin[0 (n N ) ] A sin(0n 0 N )
m 0 N 1
(n) (n 1) ... [ n ( N 1)]
25
（4）实指数序列
x ( n) a u ( n)
n
a 为实数
|a|<1，序列收敛 |a|>1，序列发散
26
（5）复指数序列
x(n) e( j0 ) n e n e j0n e n cos(0 n) je n sin(0 n)
m
n
16
（8）卷积和
卷积过程
n -2
y(n)=0
17
（8）卷积和
n=-1
n=0
n=1
y (-1) 8
y (0) 6 4 10
y (1) 4 3 6 13
18
（8）卷积和
n=5
n=6
n=7
y (5) -1 1 0
y (6) 0.5
y(n) 0, n 7
19
（8）卷积和
y (n)
20
（8）卷积和
卷积和与两序列的前后次序无关
y ( n ) x ( n) h( n)
m
x(m)h(n m)
令 nm k 则 m nk
n k
x (n k )h(k )
T [ x(m) (n m)] x(m)T [ (n m)]
43
二、移不变系统
移不变系统（时不变系统）
系统响应与激励加于系统的时刻无关 输入输出的运算关系不随时间而变化 对于移不变系统，若 T [ x(n)] y (n) 则 T [ x(n m)] y (n m)，m为任意整数 具有移变增益的系统一定是移变系统
44
线性移不变系统
同时具有线性和移不变性的离散时间系统 称为线性移不变系统
例如：
4 4 2 5 sin( n)， 0 ， 5 5 0 2
该序列是周期为5的周期序列
34
正弦序列的周期性
当 为无理数时 0
取任何整数k都不能使N为正整数 序列x(n)不是周期序列。
2
例如：
1 1 2 sin( n)， 0 ， 8 4 4 0
该序列不是周期序列
35
例题
判断 x(n) e
解
n j ( ) 6
是否是周期序列
n N ) 6
x(n N ) e
j(
e
n N j ( ) 6 6
若x(n)为周期序列，则必须满足x(n+N)= x(n)
N 即满足 2k ，且N，k为整数 6
而无论k取什么整数，N=12πk 都是一个无理 数，所以x(n)不是周期序列。
第一章 离散时间信号与系统
学习目标
掌握序列的概念及其几种典型序列的定义，掌握 序列的基本运算，并会判断序列的周期性。
掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概 念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/ 稳定性判断的充要条件。
理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单 位抽样响应。
了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特 抽样定理，了解抽样的恢复过程。
9
（3）和
同序列号(n)的序列值逐项对应相加
x(n) x1 (n) x2 (n)
x1 (n)
x2 (n)
x ( n)
10
（4）积
同序号(n)的序列值逐项对应相乘
x(n) x1 (n) x2 (n)
x1(n)
x2(n) A
x(n)
x(n)=x1(n)·2(n) x
x(n)
其中： , a1 , a2为常数 a
则此系统为线性系统。
41
一、线性系统
线性系统的判定
在证明一个系统是线性系统时，必须证明此 系统同时满足可加性和比例性
例
y ( n ) 4 x ( n) 6
42
增量线性系统
增量线性系统=线性系统+零输入响应
y(n) ax(n) b
y0(n) x(n) 线性系统 y(n)
14
（7）时间尺度变换
时间尺度变换 x(mn): m<1——插值 m>1——抽取
零值插入
0
x(n)
n 0 x(n/2) n
L2
n x( ), n iL, L为整数,i 0, 1, 2, xe (n) L 0, 其他
L
15
（8）卷积和
设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：
xa (t ) A sin(t ) x(n) xa (t )
t nT
A sin(nT )
： 模拟域频率，rad/s f s： 采样频率
0 T / f s
0： 数字域频率，rad T： 采样周期
数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率
29
三、序列的周期性
36
四、用单位抽样序列来表示任意序列
x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和
x(n) x(m) (n m)
也可表示成与单位取样序列的卷积和。
x ( n ) x ( n) ( n )
m
例：
x(n) 2 (n 1) (n) 1.5 (n 1) (n 2) 0.5 (n 3)
2
第一章 主要内容
离散时间信号与系统
1.1 离散时间信号—序列
1.2 线性移不变系统
1.3 常系数线性差分方程
1.4 连续时间信号的抽样
3
信号
信号
信号传递信息的函数。
信号的分类
连续时间信号：时间是连续的，幅值可以是连 续的也可以是离散(量化)的。 模拟信号：时间是连续的，幅值是连续的。 离散时间信号(或称序列)：时间是离散的，幅 值是连续的。 数字信号：时间是离散的，幅值是量化的。
( n) ( n 1) ( n 2) ...
k
(k )
24
n
（3）矩形序列
1 0 n N 1 RN (n) 其它n 0
N称为矩形序列的长度
与其他序列的关系
RN (n) u (n) u (n N ) RN (n) (n m)
37
五、序列的能量和功率
序列的能量E定义为序列各抽样值的平方和
E x ( n)
n n 2
x(n)x* (n)
序列的(平均)功率
N 1 2 P lim x (n) N 2 N 1 n N
38
第一章 主要内容
离散时间信号与系统
1.1 离散时间信号—序列
y(n) y(n)=A· x(n)
11
（5）累加
n
y ( n)
k
x(k )
表示y(n)在某个n0上 的值等于这一个n0上 的x(n0)值以及n0以前 的所有n值上的x(n)值 之和。
12
（6）差分
前向差分：
x(n) x(n 1) x(n)
后向差分：
x(n) x(n) x(n 1)
0 为数字域频率
例：
x(n) 0.9n e
j n 3
27
复正弦序列
x(n) e jn cos( n) j sin( n)
复正弦序列是离散信号作傅里叶变换的基函数 同时也可作为离散系统的特征函数。
28
（6）正弦序列
x(n) A sin(0 n )
模拟正弦信号：
x(n) x(n 1)
x(n) x(n 1)
13
（7）时间尺度变换
时间尺度变换 x(mn): m<1——插值 m>1——抽取
抽取
x( Dn), D 1
t nT t DnT
x(n) xa (t )
xd ( n) x( Dn) xa (t )
D
D2
移位 翻褶 和 积 累加 差分 时间尺度变换 卷积和
7
（1）移位
序列x(n)，当m>0时
x(n-m)：延时/右移m位 x(n+m)：超前/左移m位