5-等离子体物理(第五讲单粒子轨道运动(二))

=0
在上式中，
v
∇× B
只有z 分量，
Bθ
弯曲的磁场
Br 不随θ变化
1 ∂ (rBθ ) = 0 r ∂r
Bθ
1 Bθ ∝ , r
不能是常数，是r 的函数
所以总漂移速度要考虑B的梯度漂移速度
V ∇B + V R
梯度 漂移 曲率 漂移
υ ∇B

mυ B × ∇B = 2 2qB B
2 T
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故弯曲真空场中的总漂移应是：
m RC × B 2 1 2 (υ // + υ ⊥ ) υ ∇B + υ R = 2 2 q RC B 2
“由上式可看出:为了约束热 核等离子体而把磁场弯成环 形，不论怎样改变温度和磁 场，粒子最终都将漂移出 环”。
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第五讲：单粒子轨道运动（二）
等离子体物理
Plasma Physics
2.3 非均匀磁场
dυ ( x, y, z ) m = qυ ( x, y, z ) × B( x, y, z ) dt

3
2.3.1 回旋中心(导向中心) 近似
回旋运动通常是磁场中粒子的基本运动，一般处理电粒 子在电磁场中时，把其运动分解成回旋运动加回旋中心 的漂移运动：
∂B = −qv⊥ (sin ωct ) B0 − qv⊥ rL sin ωct cos ωct ∂y
F = x
∫
2π
0
−qv y B( y ) dt
∂B = −qv⊥ (sin ωct ) B0 − qv⊥ rL sin ωct cos ωct ∂y dt ∫0
2π
=0
∂B Fy = −qvx B( y ) = −qvx B0 + y ( ) + ....... ∂y ∂B = −qv⊥ ( cos ωct ) B0 ± rL (cos ωct ) ∂y 2 ∂B = −qv⊥ ( cos ωct ) B0 − qv⊥ rL (cos ωct ) ∂y
梯度漂移速度:
1 B × ∇B υ∇B = υ ⊥ rL 2 2 B 2 mυ ⊥ B × ∇B = 2 2qB B
梯度漂移速度垂直与磁感应强度和磁场梯度
讨 论
离子的漂移速度大于电子的漂移速度，方向相反。 漂移速度与回旋半径成正比 数量级：
ν ∇B rc ∇B rc ~ ~ << 1 ν⊥ B L
带电粒子的回旋运动
－－快运动 常局域磁场中的回旋运动 忽略回旋中心的漂移
带电粒子的回旋中心的漂移运动
－－慢运动 由于磁场的不均匀性导致回旋轨道的不闭合，产 生中心漂移，通常是对一个回旋周期进行平均。 必须在弱 不均匀性条件下
弱不均匀性条件
7
弱不均匀性条件
条件 1 ：回旋运动的特征尺寸－回旋半径远小于磁场 的非均匀性的标长
dυ m = qυ × B0 + qυ × (r ⋅ ∇) B0 dt

υ = υc + υ D
回旋运动运动方程：
零级近似
未扰动轨道运动 方程
dυ c = qυ c × B0 m dt

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有了梯度磁场分量后，各 个点的速度不同，要计算 力，需要考虑一个回旋周 期的平均。
1 ∂E ∇× = B µ0 j + 2 c ∂t
Bθ
弯曲的磁场
真空中▽×B＝0
1 ∂Bz ∂Bθ ∂Br ∂Bz )r + ( )θ ∇ = ×B ( − − r ∂θ ∂z ∂z ∂r
1 ∂ 1 ∂Br (rBθ ) − )z +( r ∂r r ∂θ
ˆr e
ˆθ e
2 = π A r 回旋周期面积： L
ωc 1 回旋周期电流： i = q ⋅ = q ⋅ T 2π
磁矩：
2 mν ⊥ µ = i⋅ A = 2B
2 mν ⊥ ∂B Fy = − 2 B ∂y
mν 磁矩： µ = 2B
代入漂移公式
2 ⊥
∂B Fy = − µ ∂y
F×B νD = 2 qB
m RC × B 2 1 2 (υ // + υ ⊥ ) = 2 2 q RC B 2
m RC × B 2 1 2 (υ // + υ ⊥ ) υ ∇B + υ R = 2 2 2 q RC B 1 RC × B 1 2 2 (mυ // + mυ ⊥ ) υ ∇B + υ R = 2 2 q RC B 2
z
B
磁场梯度引起的漂移速度为：
ν ∇B

1 ν ⊥ rc ∂B ˆx =− e 2 B ∂y
x
∇/B/ y
∂B Fy = − µ ∂y
ν ∇B

1 ν ⊥ rL ∂B ˆx e =− 2 B ∂y
F = − µ ∇B
υ ∇B
1 B × ∇B = υ ⊥ rL 2 2 B
由于坐标的任意性，可以把上面公式一般化： 梯度漂移力： 梯度漂移速度:
dvx ( y )v y Fx = m qB = dt
B = B0 + (r ⋅∇) B + ... Bz = B0 + y (∂Bz / ∂y ) + .......
∂B Fx = −qv y B( y ) = −qv y B0 + y ( ) + ....... ∂y
2.3.3 带电粒子的曲率漂移
实际磁场都具有一定的弯曲度，是一种方向的 不均匀性。
设磁力线的曲率半径为Rc，则粒子以vⅡ 的切向速度运动时会受到离心力
2 mν // 2 Rc ˆr = mν // 2 Fef = e Rc Rc
v
ˆr e
Bθ
弯曲的磁场
ˆθ e
F×B νD = 2 qB
B
∇/B/
dvx ( y )v y Fx = m qB = dt
m
dv y dt
= −qB( y )vx = Fy
Bz = B0 + y (∂Bz / ∂y ) + .......
vx = v⊥ cos ωc t ,
vx , v y , y
用圆周运动代替
v y = v⊥ sin ωc t
y = rL cos ωc t
2 ⊥
mυ RC × B VR = 2 qB RC
2 // 2
形式不统一
υ ∇B
现做一些变换

2 mυ ⊥ B × ∇B = 2 2qB B
Rc 1 1 − 2r= − 3 Bθ ∝ , ⇒ ∇B = Rc Rc r
∇B ⇒ B
Rc = − 2 Rc
vx = v⊥ cos ωc t ,
v y = v⊥ sin ωc t
y = rL cos ωc t
∂B −qv y B( y ) = −qv y B0 + y ( ) + ....... Fx = ∂y
∂B = −qv⊥ (sin ωct ) B0 ± rL (cos ωct ) ∂y
(2.3.5)
2 2 mυ ⊥ B × ∇B mυ ⊥ B ∇B υ ∇B = = × 2 2qB B 2qB B B ∇B RC =− 2 B RC 2 RC mυ ⊥ B υ ∇B = × (− 2 ) 2qB B RC
υ ∇B

mυ RC × B = 2 2qB RC
B
一个自由度
υz
根据能量均分定理
υx
二个自由度
υy
1 1 1 1 2 2 mυ // = T ; mυ ⊥ = 2 ∗ T = T 2 2 2 2
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1 1 1 1 2 2 mυ // = T ; mυ ⊥ = 2 ∗ T = T 2 2 2 2
1 RC × B 1 2 2 υ ∇B + υ R = (mυ // + mυ ⊥ ) 2 2 q RC B 2 2T RC × B 2T RC B ˆ = = e 2 2 2 2 z q RC B q RC B rC υ 2T 1 ˆz = ˆz = ˆz e e = υT e q RC B RCωC RC
υ = υc + υ D
由于场的不均匀性，很难给出速度的解析表达式。
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导向中心近似： 不考虑时空尺度较小的回旋
运动，用导向中心代表粒子 外场变化时，回旋运动受影响，若在回旋运动的 时间空间尺度中，外场相对变化小，则回旋运动 近似是完整的，粒子的运动可以近似用导向中心 代表，将场的变化对回旋运动的影响归结为对导 向中心运动的修正 实际上很多情况下，场的非均匀性比较弱－缓 变，这样可以对运动进行分解：快回旋＋缓慢 的漂移运动。
已知漂移公式
则它引起的漂移为
2 1 Fef × B mυ // RC × B VR = = 2 2 2 q B qB RC
v
注意：
Bθ
弯曲的磁场
真空中弯曲磁场 在半径方向是不 均匀的，
此种情况下必须考虑到B的梯度漂移??
磁场沿着θ方向 ∇B沿着r方向
v
稀薄等离子体， 不考虑电场
x
y
磁场的梯度会怎么影响电荷的运动呢？
B
∇/B/
mυ ⊥ rL = qB
必然也会影 响电荷的回 旋运动
B大
小
B小
大
∇/B/
mυ ⊥ rL = qB
B的梯度使轨道的底部的 拉莫尔半径大于顶部的， 故引起了与 ▽B和B 都垂 直的漂移。
mυ ⊥ rL = qB