平面解析几何对称问题浅论

平面解析几何对称问题浅论
一、点对称
命题1：平面上一点),(y x A 关于点),(b a B 的对称点为)2,2(y b x a --。

证明：设),(y x A 关于点),(b a B 的对称点为)','('y x A ， 则根据中点公式有⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧=+=+b y y a x x 2'2'，⎩⎨⎧-=-=∴y
b y x a x 2'2' 运用：
已知曲线方程0),(=y x F （如02=--y x 、x x y 22-=、4)2()1(22=-+-y x 等等） 则该曲线方程0),(=y x F 关于),(b a B 的对称曲线方程为0)2,2(=--y b x a F 。

说明：只要用x a -2替代原方程的x ，y b -2替代原方程的y ，所得的新方程即是对称方程。

例题1：求直线方程02=--y x 关于点)1,1(A 的对称方程。

一般做法：取直线上任意两点，求出对称点，该两点所在的直线方程即为所求。

按上述方法易得直线方程为：02)2()2(=----y x ，即02=+-y x 例题2：求圆方程4)2()1(22=-+-y x 关于点)1,2(A 的对称方程。

一般做法：先求出圆心的对称坐标，再按照半径不变，即可求得。

按上述方法得：4)22()14(22=--+--y x ，即4)3(22=+-y x
例题3：求x y sin =关于点)2,4(π
A 的对称方程 一般方法较难求解，按上述方法易得对称方程为：)2sin(4x y -=-π
，即x y cos 4-=
用上述方法求填空题无疑能提高做题的速度，但对于大题应该按如下步骤解题： 第一步：设),(y x P 是所求方程上的任意点。

第二步：求出),(y x P 关于),(b a A 的对称点)','('y x P 。

第三步：由于)','('y x P 在曲线上，要满足方程，即有0)','(=y x F 。

二、直线对称
求平面上一点),(y x A 关于直线0=++c by ax 的对称点。

由于直线方程用公式表示较难，故不要求，只要会求解过程即可，求解过程如下： 第一步：设),(y x A 关于直线的对称点为)','('y x A
第二步：求出'A A 、的中点坐标，即)2'
,2'
(y y x x ++
第三步：因为中点在直线上，要满足直线方程，代入得到第一个方程。

第四步：由于直线'AA 与原直线垂直，求出直线'AA 的斜率。

第五步：根据)'('''x x x x y y k AA ≠--=得到第二个方程。

第六步：联立两个方程求解。

例题1：求直线方程02=--y x 关于直线x y 2=的对称方程。

解题方法：由于是直线，只要求原直线上的两个点关于直线x y 2=的对称点，该两点所在的直线方程即为所求。

先求直线02=--y x 与直线x y 2=的交点（无交点即平行，可用平行距离求对称方程）。

该交点)4,2(--也在对称直线上，取原直线上一点)0,2(，求出对称点)58
,56
(-，
故直线方程为：107+=x y 。

例题2：求圆方程4)2()1(22=-+-y x 关于直线x y 2=的对称方程。

解题方法：先求出圆心)2,1(关于直线x y 2=的对称点，然后就可以求出对称的圆方程。

注意：当轨迹不是直线或圆，求解时应采用以下解题步骤： 例题3：求x y sin =关于直线x y 2=的对称方程 第一步：：设),(y x P 是所求方程上的任意点。

第二步：求出),(y x P 关于直线x y 2=的对称点)','('y x P 。

第三步：由于)','('y x P 在曲线上，要满足方程，即有0)','(=y x F 。

所求对称方程为：)543sin(534y
x y
x +-=+
曲线方程0),(=y x F 关于直线（特殊直线）对称的方程。

1. x 轴：x 不变，y 变y -，即0),(=-y x F 。

2. y 轴：y 不变，x 变x -，即0),(=-y x F 。

3. x y =：x 变y ，y 变x ，即0),(=x y F 。

4. x y -=：x 变y -，y 变x -，即0),(=--x y F 。

5. a y =：x 不变，y 变y a -2，即0)2,(=-y a x F 。

6. a x =：y 不变，x 变x a -2，即0),2(=-y x a F 。