九年级数学降次解一元二次方程同步测试
人教版数学九年级上册 第21章 21.-2降次-解一元二次方程同步测试试题(一)
降次-解一元二次方程同步测试试题（一）一．选择题1．用配方法解方程x2＝4x+1，配方后得到的方程是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝4C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝1 2．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定3．方程x2＝x的解是（）A．x1＝3，x2＝﹣3B．x1＝1，x2＝0C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣1 4．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（）A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1 5．方程（x﹣1）2＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝x2＝1C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝﹣2 6．用直接开平方的方法解方程（x﹣3）2＝8，得解为（）A．B．C．x1＝3+2，x2＝3﹣2D．x1＝3+2，x2＝3﹣27．方程x2＝x的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个互为相反数的实数C．只有一个实数根D．没有实数根8．已知x1，x2是方程x2﹣x+1＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．3B．5C．7D．49．若方程mx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜9且m≠0B．m＞9C．0＜m＜9D．m＜910．在一元二次方程ax2﹣4x+c＝0（a≠0）中，若a、c异号，则方程（）A．根的情况无法确定B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根二．填空题11．若一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则常数c的值是．12．若2和﹣3是方程x2+bx+c＝0的两个根，则二次三项式x2+bx+c可分解为．13．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+5＝0的两个根，则＝．14．若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．给出以下方程的解题过程①解方程（x﹣2）2＝16，两边同时开方，得x﹣2＝±4，移项得x1＝6，x2＝﹣2；②解方程x（x﹣）＝（x﹣），两边同时除以（x﹣）得x＝1，所以原方程的根为x1＝x2＝1；③解方程（x﹣2）（x﹣1）＝5，由题得x﹣2＝1，x﹣1＝5，解得x1＝3，x2＝6；④方程（x﹣m）2＝n的解是x1＝m+，x2＝m﹣．其中错误的有．三．解答题16．解方程（1）（x+1）2﹣25＝0（2）x2﹣4x﹣2＝017．解不等式组：．18．（1）计算：|﹣1|﹣+（2020﹣π）0+（）﹣1；（2）解方程：（x﹣3）2+2x﹣6＝0．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+3k+6＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于﹣3且小于﹣1，k为整数，求k的值．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：把方程x2＝4x+移项，得x2﹣4x＝1方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝1+4配方得（x﹣2）2＝5．故选：A．2．【解答】解：方程变形得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，解得：当x＝3或x＝6，当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6+6+3＝15，故选：B．3．【解答】解：方程变形得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝1，x2＝0．故选：B．4．【解答】解：x2+4x﹣5＝0，x2+4x＝5，x2+4x+22＝5+22，（x+2）2＝9，故选：A．5．【解答】解：（x﹣1）2＝0，x﹣1＝0，x1＝x2＝1；故选：B．6．【解答】解：由原方程，得x﹣3＝±2，所以x＝3±2，解得，x1＝3+2，x2＝3﹣2．故选：C．7．【解答】解：x2﹣x＝0，△＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．8．【解答】解：∵x1，x2是方程的两根，∴x1+x2＝，x1x2＝1，∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝5﹣2＝3．故选：A．9．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＞0，即62﹣4m1＞0，解得m＜9，∴m的取值范围为m＜9且m≠0．故选：A．10．【解答】解：∵若a与c异号，∴△＝b2﹣4ac＝16﹣4ac＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：∵方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，∴△＝62﹣4×1×c＝36﹣4c＝0，解得：c＝9．故答案为：9．12．【解答】解：因为2和﹣3是方程x2+bx+c＝0的两个根，所以b＝1，c＝﹣6，∴x2+bx+c，＝x2+x﹣6，＝（x﹣2）（x+3）．故答案是：（x+2）（x﹣3）．13．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+5＝0的两个根，∴x1+x2＝5、x1x2＝5，∴＝＝1．故答案为：1．14．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣1）2﹣4k×（﹣）＞0，解得k＞﹣且k≠0．故答案为k＞﹣且k≠0．15．【解答】解：①解方程（x﹣2）2＝16，整理得（x﹣2）2＝32，两边同时开方，得x﹣2＝±4，解得，x1＝4+2，x2＝﹣4+2，本小题解题过程错误；②解方程x（x﹣）＝（x﹣），移项得，x（x﹣）﹣（x﹣）＝0，提公因式得，（x﹣）（x﹣1）＝0，解得，x1＝，x2＝1，本小题解题过程错误；③解方程（x﹣2）（x﹣1）＝5，整理得，x2﹣3x﹣3＝0，x＝∴x1＝，x2＝，本小题解题过程错误；④方程（x﹣m）2＝n的解要根据n的符号确定，本小题解题过程错误；故答案为：①②③④．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）（x+1）2﹣25＝0，（x+1）2＝25，x+1＝±5，x＝±5﹣1，x1＝4，x2＝﹣6；（2）x2﹣4x﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，∴x＝＝2±，即x1＝2+，x2＝2﹣．17．【解答】解：（1）∵x2+2x+1＝6+1，∴（x+1）2＝7，∴x+1＝±，∴x＝﹣1±；（2）∵，由①得：x≥﹣1，由②得：2x+8＞4x+2，∴﹣2x＞﹣6，∴x＜3，∴﹣1≤x＜3．18．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2+1+2＝2﹣；（2）原方程化为：（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3+2）＝0，∴x＝3或x＝1．19．【解答】（1）证明：∵x2﹣（k+5）x+3k+6＝0，∴△＝[﹣（k+5）]2﹣4×1×（3k+6）＝（k﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）∵x2﹣（k+5）x+3k+6＝0∴（x﹣3）[x﹣（k+2）]＝0，∴x1＝3，x2＝k+2，∵此方程有一个根大于﹣3且小于﹣1，∴，解得，﹣5＜k＜﹣3，∵k为整数，∴k＝﹣4，即k的值是﹣4．。
人教版九年级上册数学降次解一元二次方程同步测试题
22．2降次--解一元二次方程（第四课时）22.2.3 因式分解法◆随堂检测1、下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ）A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7B ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=25，x 2=35C ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=12、x 2-5x 因式分解结果为_______；2x （x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．3、用因式分解法解方程:（1）2411x x =；（2）2(2)24x x -=-．点拨：用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式．4、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长． ◆典例分析方程2200920100x x +-=较大根为m ，方程2(2010)2009201110x x +⨯-=较小根为n ，求n m +的值.分析：本题中两个方程的系数都较大，用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算，因此考虑到系数的特点，选用因式分解法最合适． 解：将方程2200920100x x +-=因式分解，得：(2010)(1)0x x +-=， ∴20100x +=或10x -=，∴12010x =-，21x =. ∴较大根为1，即1m =.将方程2(2010)2009201110x x +⨯-=变形为：2(2010)(20101)(20101)10x x +-⨯+-=，∴22(2010)201010x x x +--=， ∴22010(1)(1)0x x x +-+=，∴∴ ∴2(20101)(1)0x x -+=， ∴2201010x -=或10x +=， ∴1212010x =，21x =-. ∴较小根为-1，即1n =-.∴1(1)0m n +=+-=. ◆课下作业 ●拓展提高1、二次三项式x 2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x 2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．2、下列命题:①方程kx 2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x 2=1是同解方程；③方程x 2=x 与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3.其中正确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3、已知()(2)80x y x y +++-=，求x y +的值.点拨:将x y +看作一个整体,不妨设x y z +=，则求出z 的值即为x y +的值. 4、我们知道2()()()x a b x ab x a x b -++=--，那么2()0x a b x ab -++=就可转化为()()0x a x b --=，请你用上面的方法解下列方程：（1）2340x x --=；（2）2760x x -+=；（3）2450x x +-=.5、已知22940a b -=，求代数式22a b a b b a ab+--的值．分析：要求22a b a b b a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入即可．6、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b--的值.●体验中考1、（2009年，河南）方程2x x =的解是（ ）A ．1x =B ．0x =C ．11x =，20x =D ．11x =-，20x =2、（2008年，淮安）小华在解一元二次方程240x x -=时，只得出一个根是4x =，则被他漏掉的一个根是________.（提示：方程两边不能同除以含有未知数的式子，否则会失根的.）参考答案： ◆随堂检测1、B 用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于0的形式．只有B 是正确的.2、x （x-5）；（x-3）（2x-5）.3、解：（1）移项，得：24110x x -=， 因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =. （2）移项，得2(2)240x x --+=，即2(2)2(2)0x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=， 于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =.4、解方程:2430x x -+=，得(3)(1)0x x --=，∴13x =，21x =.∵三角形两边长分别为2和4，∴第三边只能是3.∴三角形周长为9. ◆课下作业 ●拓展提高1、（x+12）（x+8）；x 1=-12，x 2=-8.2、A ①中方程当k=0时不是一元二次方程；②中x=1比方程x 2=1少一个解x=-1；③中方程x 2=x 比方程x=1多一个解x=0；④中由（x+1）（x-1）=3不能必然地得到x+1=3或x-1=3.因此没有正确的命题，故选A.3、解：设x y z +=，则方程可化为(2)80z z +-=,∴2280z z +-=, ∴(4)(2)0z z +-=,∴14z =-，22z =.∴x y +的值是4-或2.4、解（1）∵234(4)(1)x x x x --=-+，∴(4)(1)0x x -+=， ∴40x -=或10x +=，∴14x =，21x =-. （2）∵276(6)(1)x x x x -+=--，∴(6)(1)0x x --=， ∴60x -=或10x -=，∴16x =，21x =.（3）∵245(5)(1)x x x x +-=+-，∴(5)(1)0x x +-=， ∴50x +=或10x -=，∴15x =-，21x =.5、解：原式=22222a b a b bab a---=- ∵22940a b -=，∴(32)(32)0a b a b +-=， ∴320a b +=或320a b -=，∴23a b =-或23a b =， ∴当23a b =-时，原式=-223bb -=3；当23a b =时，原式=-3． 6、解：把1x =代入方程，得：a ＋b ＝40，又∵a b ≠，∴2222a b a b --＝()()2()a b a b a b +--＝2a b +＝20.●体验中考1、C 先移项，得20x x -=，因式分解，得：(1)0x x -=，∴10x =，21x =. 故选C.2、0x = 将方程因式分解，得(4)0x x -=，∴10x =，24x =.∴被他漏掉的根是0x =.答题方法：试卷检查五法重视答案,要对结果负责不少同学都说,明明题目都会做,然而考试时却不是这里出错就是那里出错,总是拿不了高分。
九年级数学 第二十二章 第2节 降次解一元二次方程同步练习 人教实验版
（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 方程x （x －1）＝0的根是（ ）A. 0B. 1C. 0，－1D. 0，12. 方程9（x ＋1）2－4（x －1）2＝0的正确解法是（ ）A. 直接开方得3（x ＋1）＝2（x －1）B. 化为一般形式13x 2＋5＝0C. 分解因式得[3（x ＋1）＋2（x －1）][3（x ＋1）－2（x －1）]＝0D. 直接得x ＋1＝0或x －1＝03. 解方程（5x －1）2＝3（5x －1）的适当方法是（ ）A. 直接开方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法4. 若实数x 、y 满足（x ＋y ＋2）（x ＋y －1）＝0，则x ＋y 的值为（ ）A. 1B. －2C. 2或－1D. －2或15. 方程3x （x －2）＝0的解是（ ）A. x 1＝3，x 2＝2B. x 1＝0，x 2＝2C. x 1＝13，x 2＝2 D. x 1＝0，x 2＝－2 *6. 若a 使得x 2＋4x ＋a ＝（x ＋2）2－1成立，则a 的值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2*7. 如果x 2＋x －1＝0，那么代数式x 3＋2x 2－7的值是（ ）A. 6B. 8C. －6D. －8**8. 已知（x ＋y ）（1－x －y ）＋6＝0，则x ＋y 的值为（ ）A. 2B. －3C. －2或3D. 2或－3二. 填空题1. 一元二次方程x 2－2x ＝0的根是__________．2. 方程（x －1）（x ＋2）＝2（x ＋2）的根是__________．*3. 方程 （x －1）（x ＋2）（x －3）＝0的根是__________．4. 方程x （2x －1）＝3（2x －1）的根是__________．*5. 使代数式x 2＋x －2的值为0的x 的值是__________．6. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，这个数是__________．**7. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x 2－12x ＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是__________．*8. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，若b ＝a ＋c ，则这个方程必有一根为__________．三. 解答题1. 用因式分解法解下列方程：（1）（x －2）2－9＝0；（2）3y 2＋y ＝0；（3）2x （3x ＋2）＝9x ＋6；（4）（3x －1）2＝4（x ＋2）2．2. 用适当的方法解下列方程：（1）（5－8x ）2＝2；（2）x 2＋8x ＝20；（3）3x 2＋2x －3＝0；（4）（x －1）（x ＋2）＝70．3. 试求使代数式（x －7）（x ＋3）的值比（x ＋5）大10的x 的值．4. 审查下面解方程（x－1）2＝2（x－1）的过程回答问题．方程两边都除以（x－1）得x－1＝2，∴x＝3．上述过程对不对，为什么？*5. 直角三角形的三边长是三个连续整数，求这个直角三角形的斜边的长．【试题答案】一. 选择题1. D2. C3. D4. D5. B6. C7. C8. C二. 填空题1. x 1＝0，x 2＝22. x 1＝－2，x 2＝33. x 1＝1，x 2＝－2，x 3＝34. x 1＝12，x 2＝35. x 1＝－2，x 2＝16. 0或727. 24 提示：方程的解为2或10，当x ＝2时，与另两边8和6不能组成三角形应舍去．所以x ＝10，三角形周长为24． 8. x ＝－1三. 解答题1. （1）x 1＝－1，x 2＝5；（2）y 1＝0，y 2＝－33；（3）x 1＝32，x 2＝－23；（4）x 1＝5，x 2＝－35． 2. （1）x 1＝5－28，x 2＝5＋28；（2）x 1＝2，x 2＝－10；（3）x 1＝－1＋103，x 2＝；（4）x 1＝8，x 2＝－9．3. 根据题意（x －7）（x ＋3）－（x ＋5）＝10，解得x 1＝9，x 2＝－4．4. 不对．当x －1＝0时，原方程成立，此时x ＝1；当x －1≠0时，两边同除以x －1得x －1＝2．即x ＝3．所以原方程的解是x 1＝1，x 2＝3．5. 设斜边长为x ，则两直角边分别为x －2，x －1．根据题意可得（x －2）2＋（x －1）2＝x 2，解得x 1＝1，x 2＝5．当x ＝1时x －2＝－1，x －1＝0，不符合题意舍去；当x ＝5时x －2＝3，x －1＝4，所以三角形的斜边长为5．。
人教版九年级21.2 降次解一元二次方程同步练习
《21.2 降次——解一元二次方程》一、选择题（共13小题）1．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=03．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数 D．无实数根8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥19．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x210．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=012．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能13．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0二、填空题（共12小题）14．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=______．15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是______（写出一个即可）．16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是______（填序号）．17．关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m=______．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．19．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是______．20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．21．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．22．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是______．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是______．24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是______．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为______．三、解答题（共5小题）26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．27．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．28．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根．29．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．30．已知关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根．（1）求m 的值；（2）解原方程．《21.2 降次——解一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题（共13小题）1．一元二次方程x 2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b 2﹣4ac 进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2．下列关于x 的方程有实数根的是（ ）A ．x 2﹣x+1=0B ．x 2+x+1=0C ．（x ﹣1）（x+2）=0D ．（x ﹣1）2+1=0【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】分别计算A 、B 中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C 进行判断；根据非负数的性质对D 进行判断．【解答】解：A 、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A 选项错误；B 、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C 、x ﹣1=0或x+2=0，则x 1=1，x 2=﹣2，所以C 选项正确；D 、（x ﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误． 故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A．B．C．D．【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D．【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．5．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，∵△=42﹣4×4×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数 D．无实数根【考点】根的判别式．【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，解之得a≤1．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x2【考点】根的判别式．【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况．【解答】解：A、x2﹣8=0，这里a=1，b=0，c=﹣8，∵△=b2﹣4ac=02﹣4×1×（﹣8）=32＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；B、2x2﹣4x+3=0，这里a=2，b=﹣4，c=3，∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0，∴方程没有实数根，故本选项错误；C、9x2+6x+1=0，这里a=9，b=6，c=1，∵△=b2﹣4ac=62﹣4×9×1=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项正确；D、5x+2=3x2，3x2﹣5x﹣2=0，这里a=3，b=﹣5，c=﹣2，∵△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵△=32﹣4×2×1=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=0【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【解答】解：A、∵△=4﹣4=0，∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等实数根；B、∵△=1﹣4×2＜0，∴方程2x2﹣x+1=0无实数根；C、∵△=4+4×4×3=52＞0，∴方程4x2﹣2x﹣3=0有两个不相等实数根；D、∵△=36＞0，∴方程x2﹣6x=0有两个不相等实数根；故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．【分析】求出a的取值范围，表示出已知方程根的判别式，判断得到根的判别式的值小于0，可得出方程没有实数根．【解答】解：解不等式组得a＜﹣3，∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+）=2a+5，∵a＜﹣3，∴△=2a+5＜0，∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0没有实数根，故选C．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．13．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0【考点】根的判别式．【分析】利用判别式分别判定即可得出答案．【解答】解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根；C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．故选：B．【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式．二、填空题（共12小题）14．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．【考点】根的判别式．【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．【解答】解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=9﹣4m=0，解得：m=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是0 （写出一个即可）．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4m＞0，解得m＜，故m的值可能是0，故答案为0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意本题答案不唯一，只需满足m＜即可．16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是①③（填序号）．【考点】根的判别式；一元一次方程的解．【专题】分类讨论．【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．【解答】解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；故答案为①③．【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．17．关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m= ﹣1 ．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22﹣4×1×（﹣m）=0，解得m=﹣1．故答案为；﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞﹣且a≠0 ．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a ＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解得：a＞﹣且a≠0．故答案为：a＞﹣且a≠0．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．19．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是m＞．【考点】根的判别式．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＜0，解得：m＞．故答案为：m＞．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是m≤1 ．【考点】根的判别式．【专题】探究型．【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，∵方程有实数根，∴△=22﹣4m≥0，解得m≤1．故答案为：m≤1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键．21．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 4 ，b= 2 ．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，∴a=b2，当b=2时，a=4，故b=2，a=4时满足条件．故答案为：4，2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．22．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是a≤1 ．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1，故答案为：a≤1【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是m＜．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，得出△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，∴m＜．故答案为：m＜．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是a＞0 ．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出a的范围即可．【解答】解：∵方程x2+a=0没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为：a＞0【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为﹣3 ．【考点】根的判别式．【分析】因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2）2+4k=0，解关于k的方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（﹣2）2﹣4×（﹣k）=12+4k=0，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．三、解答题（共5小题）26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac ≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=4，又5x 1+2x 2=2求出函数实数根，代入m=x 1x 2，即可得到结果．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m ≥0，∴m ≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2，∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，解得：m=﹣12．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．27．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值．【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m ，c=m 2﹣1，∵△=b 2﹣4ac=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx+m 2﹣1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x 2+2mx+m 2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m ×3+m 2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．28．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可；（2）将x=1代入方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|，求出m的值，进而得出方程的解．【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）=|m|，∴x2﹣5x+6﹣|m|=0，∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）=1+4|m|，而|m|≥0，∴△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是1，∴|m|=2，解得：m=±2，∴原方程为：x2﹣5x+4=0，解得：x1=1，x2=4．即m的值为±2，方程的另一个根是4．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．29．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．【专题】证明题．【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m 2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x 1=，x 2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．30．已知关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根．（1）求m 的值；（2）解原方程．【考点】根的判别式．【分析】（1）根据题意得到：△=0，由此列出关于m 的方程并解答；（2）利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=m 2﹣4×m ×（m ﹣1）=0，且m ≠0，解得m=2；（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x 2+2x+1=0，即（x+1）2=0，解得x 1=x 2=﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．。
人教版九年级数学上册降次解一元二次方程(第五课时)测试题
22．2降次---解一元二次方程（第五课时）22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系◆随堂检测1、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______．2、关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b =______，c =______． 3、一元二次方程210x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（ ） A ．0a = B ．2a =或2a =- C ．2a = D ．2a =或0a =4、已知方程2310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值.◆典例分析已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．（提示：如果1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，那么有12b x x a +=-，12c x x a=） 分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求m 的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方.解:（1）∵一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根,∴△＝22(21)41410m m m --⨯⨯=-+≥,∴14m ≤. （2）当22120x x -=时，即1212()()0x x x x +-=,∴120x x +=或120x x -=.当120x x +=时，依据一元二次方程根与系数的关系可得12(21)x x m +=--, ∴(21)0m --=,∴12m =. 又∵由（1）一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根时m 的取值范围是14m ≤,∴12m =不成立,故m 无解； 当120x x -=时，12x x =,方程有两个相等的实数根, ∴△＝22(21)41410m m m --⨯⨯=-+=,∴14m =. 综上所述,当22120x x -=时，14m =. ◆课下作业●拓展提高1、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ） A ．0p >且q >0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q >0 D ．0p <且q <02、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=.则k 的值为（ ） A 、－1或34 B 、－1 C 、34D 、不存在(注意:k 的值不仅须满足1212x x x x +=,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即k 的值必须使得△0≥才可以.) 3、已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值. 4、已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，求m 的值. 5、已知1x ，2x 是关于x 的方程(2)()(2)()x x m p p m --=--的两个实数根． （1）求1x ，2x 的值；（2）若1x ，2x 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．●体验中考1、（2009年，河北）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A．3 C ．6 D ．9(提示：如果直接解方程22870x x -+=，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解.) 2、（2008年，黄石）已知,a b 是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两个实数根,则式子b aa b+的值是（ ） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n --参考答案： ◆随堂检测 1、23. 依据一元二次方程根与系数的关系可得1232x x +=. 2、－3,2 依据一元二次方程根与系数的关系可得1212x x b x x c +=-⎧⎨=⎩，∴(12)3,122b c =-+=-=⨯=.3、B. △＝22()41140a a --⨯⨯=-=，∴2a =或2a =-，故选B. 4、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121231x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴121212(1)(1)1()1311x x x x x x ++=+++=-+=-. ◆课下作业 ●拓展提高1、A. 由一元二次方程根与系数的关系可得：1212x x p x x q +=-⎧⎨=⎩，当方程20x px q ++=的两根12,x x 同为负数时，121200x x x x +<⎧⎨>⎩，∴0p >且q >0，故选A.2、C. 由一元二次方程根与系数的关系可得：1221243x x k x x k +=-⎧⎨=-⎩，∵1212x x x x +=，∴243k k -=-，解得11k =-，234k =. 当11k =-时,△＝222241(43)151215(1)1230k k k -⨯⨯-=-+=-⨯-+=-<,此时方程无实数根,故11k =-不合题意,舍去.当234k =时,△＝2222341(43)151215()1204k k k -⨯⨯-=-+=-⨯+>,故234k = 符合题意.综上所述,234k =.故选C. 3、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121263x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====. 4、解：设方程230x x m -+=的两根为1x 、2x ，且不妨设122x x =.则由一元二次方程根与系数的关系可得：12123x x x x m+=⎧⎨=⎩，代入122x x =,得222332x x m=⎧⎨=⎩,∴21x =,2m =. 5、解：（1）原方程变为：22(2)2(2)2x m x m p m p m -++=-++ ∴22(2)(2)0x p m x m p --+++=， ∴()()(2)()0x p x p m x p -+-+-=， 即()(2)0x p x p m -+--=， ∴1x p =，22x m p =+-．（2）∵直角三角形的面积为)2(212121p m p x x -+==p m p )2(21212++- =)]4)2(()22()2([21222+-+++--m m p m p =8)2()22(2122+++--m m p ，∴当22+=m p 且m ＞－2时，以x 1，x 2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为8)2(2+m 或221p ．●体验中考1、B. 设1x 和2x 是方程22870x x -+=的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得：1212472x x x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴22221212127()24292x x x x x x +=+-=-⨯=，∴这个直角三角形的斜边长是3，故选B. 2、D 由一元二次方程根与系数的关系可得：1a b nab +=-⎧⎨=-⎩，∴222222()2()()2221b a a b a b ab a b n n a b ab ab ab ++-+-+===-=-=---.故选D.专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第7题图第8题图8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：(2)先从袋子中取出m 个红球，再放入m 个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m 的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________； (2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________； (3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。
人教版九年级数学上 22.2 降次解一元二次方程(同步练习)
2 2.2降次——解一元二次方程一、选择题：1.下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1B.2x 2-x-12=12；C.2(x 2-1)=3(x-1)D.2(x 2+1)=x+22.下列方程:①x 2=0,② 21x -2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32x -=0,⑤32x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )A.1个 B2个 C.3个 D.4个3.把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x 2-4x-4=0 B.x 2-5=0 C.5x 2-2x+1=0 D.5x 2-4x+6=04.方程x 2=6x 的根是( )A.x 1=0,x 2=-6B.x 1=0,x 2=6C.x=6D.x=05.方2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )A.11B.15C.-15D.±157.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1B.4x 2+4x+5420x -= D.(x+2)(x-3)== -5 8.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题： 9.方程2(1)5322x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______. 10.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________.11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________. 13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________.14.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.15.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k的取值范围是_______.16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________.三、解答题17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数) 18.(7分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-2kx+12k2-2=0.(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.四、列方程解应用题20.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.参考答案一、DAABC,DBD二、9.x 2+4x-4=0,4 10. 240b c -≥ 11.因式分解法 12．1或23 13．2 14．18 15．115k >≠且k 16．30%三、17．（1）3，25-；（2（3）1，2a-1 18.m=-6,n=819.(1)Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2) k =四、20．20% 21．20%。
九年级数学上册 22.2降次 解一元二次方程精品同步作业试卷(第五课时)人教新课标版
页眉内容22．2降次---解一元二次方程（第五课时） 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系◆随堂检测1、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______．2、关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b =______，c =______．3、一元二次方程210x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（ ） A ．0a = B ．2a =或2a =- C ．2a = D ．2a =或0a = 4、已知方程2310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值. ◆典例分析已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围； （2）当22120x x -=时，求m 的值．（提示：如果1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，那么有12b x x a +=-，12c x x a=） 分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求m 的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方. 解:（1）∵一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根,∴△＝22(21)41410m m m --⨯⨯=-+≥,∴14m ≤. （2）当22120x x -=时，即1212()()0x x x x +-=,∴120x x +=或120x x -=.当120x x +=时，依据一元二次方程根与系数的关系可得12(21)x x m +=--, ∴(21)0m --=,∴12m =. 又∵由（1）一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根时m 的取值范围是14m ≤,∴12m =不成立,故m 无解；当120x x -=时，12x x =,方程有两个相等的实数根,∴△＝22(21)41410m m m --⨯⨯=-+=,∴14m =. 综上所述,当22120x x -=时，14m =. ◆课下作业 ●拓展提高1、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ） A ．0p >且q >0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q >0 D ．0p <且q <02、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=.则k 的值为（ ） A 、－1或34 B 、－1 C 、34D 、不存在 (注意:k 的值不仅须满足1212x x x x +=,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即k 的值必须使得△0≥才可以.)3、已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值. 4、已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，求m 的值. 5、已知1x ，2x 是关于x 的方程(2)()(2)()x x m p p m --=--的两个实数根． （1）求1x ，2x 的值；（2）若1x ，2x 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值． ●体验中考1、（2009年，河北）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A．3 C ．6 D ．9(提示：如果直接解方程22870x x -+=，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解.)2、（2008年，黄石）已知,a b 是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两个实数根,则式子b aa b+的值是（ ）A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n --参考答案： ◆随堂检测 1、23. 依据一元二次方程根与系数的关系可得1232x x +=. 2、－3,2 依据一元二次方程根与系数的关系可得1212x x bx x c+=-⎧⎨=⎩，∴(12)3,122b c =-+=-=⨯=.3、B. △＝22()41140a a --⨯⨯=-=，∴2a =或2a =-，故选B.4、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121231x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴121212(1)(1)1()1311x x x x x x ++=+++=-+=-. ◆课下作业 ●拓展提高1、A. 由一元二次方程根与系数的关系可得：1212x x p x x q+=-⎧⎨=⎩，当方程20x px q ++=的两根12,x x 同为负数时，12120x x x x +<⎧⎨>⎩，∴0p >且q >0，故选A.2、C. 由一元二次方程根与系数的关系可得：1221243x x kx x k +=-⎧⎨=-⎩，∵1212x x x x +=，∴243k k -=-，解得11k =-，234k =. 当11k =-时,△＝222241(43)151215(1)1230k k k -⨯⨯-=-+=-⨯-+=-<,此时方程无实数根,故11k =-不合题意,舍去. 当234k =时,△＝2222341(43)151215()1204k k k -⨯⨯-=-+=-⨯+>,故234k = 符合题意.综上所述,234k =.故选C. 3、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121263x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====. 4、解：设方程230x x m -+=的两根为1x 、2x ，且不妨设122x x =.则由一元二次方程根与系数的关系可得：12123x x x x m +=⎧⎨=⎩，代入122x x =,得222332x x m=⎧⎨=⎩,∴21x =,2m =. 5、解：（1）原方程变为：22(2)2(2)2x m x m p m p m -++=-++ ∴22(2)(2)0x p m x m p --+++=， ∴()()(2)()0x p x p m x p -+-+-=， 即()(2)0x p x p m -+--=， ∴1x p =，22x m p =+-． （2）∵直角三角形的面积为)2(212121p m p x x -+==p m p )2(21212++- =)]4)2(()22()2([21222+-+++--m m p m p =8)2()22(2122+++--m m p ，∴当22+=m p 且m ＞－2时，以x 1，x 2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为8)2(2+m 或221p ． ●体验中考1、B. 设1x 和2x 是方程22870x x -+=的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得：1212472x x x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩∴22221212127()24292x x x x x x +=+-=-⨯=，∴这个直角三角形的斜边长是3，故选B. 2、D 由一元二次方程根与系数的关系可得：1a b nab +=-⎧⎨=-⎩，∴222222()2()()2221b a a b a b ab a b n n a b ab ab ab ++-+-+===-=-=---.故选D.。
人教版九年级数学上册降次解一元二次方程同步练习题 (2)
人教版九年级数学试题22．2降次--解一元二次方程（第二课时）22.2.1 配方法(2)◆随堂检测1、将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-3 2、已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ） A 、x 2-8x+42=31 B 、x 2-8x+42=1 C 、x 2+8x+42=1 D 、x 2-4x+4=-113、代数式2221x x x ---的值为0，求x 的值．4、解下列方程：（1）x 2+6x+5=0；（2）2x 2+6x-2=0；（3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0. 点拨：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得 x=p mx+n=p （p ≥0）.◆典例分析用配方法解方程222300x x -=，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正． 解：方程两边都除以2并移项，得2215x =， 配方，得22211()1524x x +=+， 即2161()24x -=， 解得1612x -=， 即12161161x x +-==．分析：配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
本题中一次项系数是2-，因此，等式两边应同时加上22()或22()才对 解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下： 配方，得22221158x x +=+， 即22121(8x -=， 解得211244x -=±， 即125232,2x x ==-． ◆课下作业●拓展提高 1、配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（ ） A 、（x-13）2=89 B 、（x-23）2=0 C 、（x-13）2=89 D 、（x-13）2=1092、用配方法解方程x 2-23x+1=0正确的解法是（ ） A 、（x-13）2=89，x=13±23 B 、（x-13）2=-89，原方程无解C 、（x-23）2=59，x 1=235，x 225- D 、（x-23）2=1，x 1=53，x 2=-133、无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数． 4、如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 5、用配方法解下列方程：（1）x 2+4x+1=0；（2）2x 2-4x-1=0；（3）9y 2-18y-4=0；（4）x 236、如果a 、b 34a +2-12b+36=0，求ab 的值．●体验中考1、（2009年山西太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=2、（2009年湖北仙桃）解方程：2420x x ++=．3、（2008年，陕西）方程2(2)9x -=的解是（ ） A ．125,1x x ==- B ．125,1x x =-= C ．1211,7x x ==- D ．1211,7x x =-=4、（2008年，青岛）用配方法解一元二次方程：2220x x --=.参考答案： ◆随堂检测 1、B. 2、B.3、解:依题意,得222010x x x ⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩,解得2x =．4、解：（1）移项，得x 2+6x=-5， 配方，得x 2+6x+32=-5+32，即（x+3）2=4， 由此可得：x+3=±2，∴x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得2x 2+6x=-2， 二次项系数化为1，得x 2+3x=-1， 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2， 即（x+32）2=54，由此可得x+32=5∴x 1532，x 2532（3）去括号整理，得x 2+4x-1=0， 移项，得x 2+4x=1， 配方，得（x+2）2=5，由此可得x+2=5，∴x 15，x 25◆课下作业 ●拓展提高 1、D. 2、B.3、正 ()222224161(2)11110x y x y x y +--+=-+-+≥>.4、x-y=54 原方程可化为[]24()50x y -+=，∴x-y=54.5、解：（1）x 1=3-2，x 2=-3-2；（2）x 1=1+62，x 2=1-62；（3）y 1=133+1，y 2=1-133；（4）x 1=x 2=3.6、解：原等式可化为234(6)0a b ++-=，∴34060a b +=⎧⎨-=⎩，∴43a =-，6b =，∴8ab =-. ●体验中考1、 B.分析：本题考查配方，2250x x --=，22151x x -+=+，()216x -=，故选B ． 2、解：242x x +=-∴1222,2 2.x x =-3、A ∵2(2)9x -=，∴23x -=±,∴125,1x x ==-.故选A.4、解得1213,13x x ==习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。
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22.2降次——解一元二次方程 习题精选直接开平方法1．如果(x －2)2=9，则x ＝ ． 2．方程(2y －1)2－4=0的根是 ． 3．方程(x+m)2＝72有解的条件是 ． 4．方程3(4x －1)2=48的解是 ． 配方法5．化下列各式为(x +m )2+n 的形式． (1)x 2－2x －3=0 ． (2)210x = ．6．下列各式是完全平方式的是( ) A ．x 2+7n =7 B ．n 2－4n －4 C ．211216x x ++D ．y 2－2y +27．用配方法解方程时，下面配方错误的是( ) A ．x 2+2x －99=0化为(x +1)2=0 B ．t 2－7t －4=0化为2765()24t -=C ．x 2+8x +9=0化为(x +4)2=25D ．3x 2－4x －2=0化为2210()39x -= 8．配方法解方程． (1)x 2+4x =－3 (2)2x 2+x=0 因式分解法9．方程(x +1)2=x +1的正确解法是( ) A ．化为x +1=0 B ．x +1＝1C ．化为(x +1)(x +l －1)＝0D ．化为x 2+3x +2＝010．方程9(x +1)2－4(x －1)2=0正确解法是( ) A ．直接开方得3(x +1)=2(x －1) B ．化为一般形式13x 2+5＝0C ．分解因式得[3(x +1)+2(x －1)][3(x +1)－2(x —1)]=0D ．直接得x +1＝0或x －l ＝011．(1)方程x (x +2)=2(z +2)的根是 ． (2)方程x 2－2x －3=0的根是 ． 12．如果a 2－5ab －14b 2=0，则235a bb+= ．公式法13．一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的求根公式是，其中b2—4ac．14．方程(2x+1)(x+2)=6化为一般形式是，b2—4ac，用求根公式求得x1= ，x2= ，x1+x2= ，x x=，12 15．用公式法解下列方程．(1)(x+1)(x+3)＝6x+4．(2)21)0++=．x x(3) x2－(2m+1)x+m＝0．16．已知x2－7xy+12y2＝0(y≠0)求x：y的值．综合题17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x2—17x+66＝0的根，求此三角形的周长．18．关于x的二次三项式：x2+2rnx+4－m2是一个完全平方式，求m的值．19．利用配方求2x2－x+2的最小值．20．x2+ax+6分解因式的结果是(x－1)(x+2)，则方程x2+ax+b＝0的二根分别是什么?21．a是方程x2－3x+1=0的根，试求的值．22．m是非负整数，方程m2x2－(3m2—8m)x+2m2－13m+15=0至少有一个整数根，求m的值．23．利用配方法证明代数式－10x2+7x－4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l、2、3．24．解方程(1)(x2+x)·(x2+x－2)=24；(2)260--=x x25．方程x2－6x－k＝1与x2－kx－7=0有相同的根，求k值及相同的根．26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?27．两个不同的一元二次方程x2+ax+b=0与x2+ax+a=0只有一个公共根，则( )A．a=bB．a－b=lC．a+b=－1D．非上述答案28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．29．海洲市出租车收费标准如下(规定：四舍五入，精确到元，N≤15)N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?30．方程(x －1)(x +2)(x －3)＝0的根是 ． 31．一元二次方程x 2—2x ＝0的解是( )A ．0B ．2C ．0，－2D ．0，232．方程x 2+kx —6=0的一根是2，试求另一个根及k 的值．33．方程(2)310mm x mx +++=是一元二次方程，则这方程的根是什么?34． x1、x2是方程2x2—3x—6=0的二根，求过A(x1+x2，0)B(0，x l·x2)两点的直线解析式．35．a、b、c都是实数，满足2-++=，ax2+bx+ca c c(2)80＝0，求代数式x2+2x+1的值．36．a 、b 、c满足方程组求方程2848a b ab c +=⎧⎪⎨=+-⎪⎩的解。
37．三个8相加得24，你能用另外三个相同的数字也得同样结果吗?能用8个相同的数字得到1 000吗?能用3个相同的数字得到30吗?参考答案：1．x1＝5，x2＝—l2．1231,22y y ==-3．n ≥0 4．1253,44x x ==-5．(1)(x —1)2—4(2)212x ⎛++ ⎝⎭ 6．C 7．C8．(1)方程化为(x +2)2＝l ，∴x 1=—l ，x 2＝—3．(2)方程化为2102x x +=配方得211416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴1210,2x x ==- 9．C 10．C11．(1)x 1＝2，x 2＝—2． (2)x 1＝3，x 2＝—1． 12．∵a 2—5ab —14b 2＝0， ∴(a —7b )(a +2b )＝0， ∴ a ＝76或a ＝—26． ∴23172315555a b a b b b ++==-或13．0x =≥14．2x 2+5x —4=0，57，154x -±=,254x -=,1252x x +=-,x 1x 2=—2．15．(1)1211x x == (2)1213x x ==-(3)1212m x +=，2212m x +=16．∵x 2—7xy +12y 2＝0， ∴(x —3y )(x —4y )＝0， ∴ x ＝3y 或x ＝4y ， ∴x ：y ＝3或x ：y ＝4．,17．由x 2—17x+66＝0得x 1＝11，x 2＝6．但x ＝11不合题意，故取x ＝6．∴三角形周长是17．18．∵x 2+2mx +4—m 2是完全平方式，∴4m 2—4(4—m 2)＝0．解之，m m ==19．222111522222248x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2x 2—x +2的最小值是158。
20．x 1＝l ，x 2＝—221．由题意得a 2—3a +l ＝0， ∴a 2—3a ＝—l ，a 2+l ＝30．∴原式=2222(3)5161(3)311333a a a a a a a a a a a a a-+-+-+--+===-． 22．原方程可变为[mx —(2m —3)][mx — (m —5)]＝0， ∴12352,1x x m m =-=-若x 1为整数，则3m为整数， ∴m ＝l 或m ＝3．若x 2为整数，则5m 为整数． ∴m ＝l 或m ＝5．因而m 的值是l 或3或5．23． 2271111074102040x x x ⎛⎫-+-=---⎪⎝⎭． ∴271110,02040x ⎛⎫--≤-< ⎪⎝⎭． ∴271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭ ∴原式＜0． 举例略．24．(1)(x + x )( x 2+ x —2)＝24，整理得 (x 2+ x )2—2(x 2 + x )—24＝0，∴(x 2+ x —6)( x 2+ x +4)．∴x 2+ x —6＝0．x 2+ x +4＝0由x 2+ x —6＝0得x 1＝—3，x 2＝2．方程x 2+ x +4＝0无解．∴原方程的根是x ＝—3或x ＝2．(2)260x x --=，即60x x --=，解得x ＝3或x ＝2(舍去)，x 1＝3，x 2＝—3．∴原方程的根是x ＝3或x ＝—3．25．(1)设方程只有一个根相同，设相同的根是m ． ∴有m —6m —k —1＝0，①m 2—mk —7＝0，②①—②得(k —6) m ＝k —6，k ≠6时，∴m ＝1将，m ＝l 代人①得k ＝—6．(2)设方程有两个相同的根，则有—k ＝—6且—k —l ＝—7．∴k ＝6．∴k ＝—6时，方程有一个相同的根是x ＝1；k ＝6时，方程有两个相同的根是x 1＝7，x 2＝—1．26．设涨价x 元，则售价定为(50+x )元．依题意列方程得(500—10x )[(50+x )—40]＝8 000．解之，x 1＝30，x 2＝10．x ＝30时，50+x ＝80，售量为500—300＝200．x ＝10时50+x ＝60，售量为500—100＝400．因而，售价定为80元时，进货200个，售价定为60元时，进货400个．27．D28．可给出如图所示的设计，求出x 即可．由题意，可列出方程5030(503)(302)2x x ⨯--=．化简得3x 2—95x +375＝0，解之x 1＝4.62，x 2＝27.04．经检验x ＝27.04不合题意，舍去，故取x ＝4.62．28题图29．由题意，可列出方程2225(63)(116)29.1N N N+-+-=． 解之，N 2—29.1N+191＝0． ∴N 1＝10，N 2＝19.1(不合题意舍去) ∴起步价是10元．30．x 1＝l ，x 2＝—2，x 3＝3 31．D32．k ＝l ，另根—3．33．先确定m ＝2，∴方程是4x 2+6x +l=0．12x x == 34．通过解方程可知A(32，0)，B(0，—3)，∴过AB 的直线是y ＝2x —3．35．由题意得2—a ＝0，a 2+b +c ＝0，c +8＝0， ∴a ＝2，b ＝4，c ＝—8．∴x 满足2x 2+4x —8＝0，即x 2+2x —4＝0． ∴x 2+2x +l ＝4+1＝5．36．a 、b 是方程＝0的根．∴222(8)4(48)4(0c c =---+=--≥．∴c =∴8,16.a b a b +=⎧⎨=⎩∴a ＝b ＝4．∴原方程为2440x +-=．方程的根是1222x x ==。