圆柱、圆锥的侧面展开图及其计算

24.4.2 圆柱、圆锥的侧面展开图及其计算

教学目标

（一）知识教学目标

1．使学生了解圆柱的特征，了解圆柱的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆柱的侧面展开图是矩形．

2．使学生会计算圆柱的侧面积或全面积．

3．使学生了解圆锥的特征，了解圆锥的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆锥的侧面展开图是扇形。

4．使学生会计算圆锥的侧面积或全面积。

（二）能力训练目标

1．通过圆柱、圆锥形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和概括能力；

2．通过圆柱、圆锥侧面积的计算，培养学生正确、迅速的运算能力；

3．通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽象出数学模型的能力．

教学重点·难点·

1．重点：（1）圆柱的形成和圆柱的轴、母线、高等概念及其特征；

（2）会用展开图的面积公式计算圆柱、圆锥的侧面积和全面积．

2．难点：圆柱、圆锥的侧面积计算的理解．

教学过程

一、复习导入

在小学，大家已学过圆柱，在生活中我们也常常遇到圆柱形的物体，涉及到圆柱形物体的侧面积和全面积的计算问题如何计算呢？圆柱是生产、生活实际中常遇到的几何体，它是怎样形成的，如何计算它的表面积？（展开图是一个矩形，并能将这矩形的长与宽跟圆柱的高（或母线）、底面圆半径找到相互转化的对应关系．最后应用对应关系和面积公式进行计算．）

二、新课学习

（一）圆柱学习

（幻灯展示生活中常遇的圆柱形物体，如：油桶、铅笔、圆形柱子等），前面展示的物体都是圆柱．在小学，大家已学过圆柱，哪位同学能说出圆柱有哪些特征？

（教师演示模型并讲解）：大家观察矩形ABCD，绕直线AB旋转一周得到的图形是什么？大家再观察，圆柱的上、下底是由矩形的哪些线段旋转而成的？上、下底面圆为什么相等？圆柱的侧面是矩形ABCD的哪条线段旋转而成的？

矩形ABCD绕直线AB旋转一周，直线用叫做圆柱的轴，CD叫做圆柱的母线．圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．矩形的另一组对边AD、BC是上、下底面的半径。

圆柱一个底面上任意一点到另一底面的垂线段叫做圆柱的高，哪位同学发现圆柱的母线与高有什么数量关系？圆柱上、下底面圆有什么位置关系？A、B是两底面的圆心，直线AB是轴．哪位同学能叙述圆柱的轴的这一条性质？哪位同学能按轴、母线、底面的顺序归纳有关圆柱的性质？（教师边演示模型，边启发提问）：现在我把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，观察这个侧面展开图是什么图形？这个圆柱展开图——矩形的两边分别是圆柱中的什

么线段？想想矩形面积公式是什么？哪位同学能归纳圆柱的面积公式？（底面圆周长×圆柱母线）大家知道圆柱的母线与高相等，所以圆柱的面积公式还可怎样表示？

幻灯展示［例1］如图，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD．已

知，求这个圆柱形木块的表面积（精确到）．（安排学生上黑板做题，其余在练习本做）

解：AD是圆柱底面的直径，AB是圆柱母线，设圆柱的表面积为S，则

答：这个圆柱形木块的表面积约为．

幻灯展示［例2］用一张面积为的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的底面直径（精确到0.1cm）．

（安排学生上黑板完成，其余在练习本上完成）

解：设正方形边长为x，圆柱底面直径为d．

则，依题意（cm）

答：这个圆柱的底面的直径约为9.6cm．

（二）圆锥学习

在小学，同学们除了学习圆柱之外还学习了一个几何体——圆锥，在生活中我们也常常遇到圆锥形的物体，涉及到这些物体表面积的计算．这些圆锥形物体的表面积是怎样计算出来的？

［幻灯展示生活中常遇的圆锥形物体，如：铅锤、粮堆、烟囱帽］屏幕上展示的物体都是什么几何体？在小学我们已学过圆锥，哪位同学能说出圆锥有哪些特征？（圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高。）

［教师边演示模型，边讲解］：大家观察Rt，绕直线SO旋转一周得到的图形是什么？大家观察圆锥的底面，它是Rt的哪条边旋转而成圆锥的侧面是Rt的什么边旋转而得的？圆锥是Rt绕直线SO旋转一周得到

的，与圆柱相类似，直线SO应叫做圆锥的什么？大家观察圆锥的轴SO应具有什么性质？圆锥的侧面是Rt的斜边绕直线SO旋转一周得到的，同圆柱相

类似，斜边SA应叫做圆锥的什么？给一圆锥，如何找到它的母线？圆锥的母线应具有什么性质？

［教师边演示模型，边启发提问］：现在我把这圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，哪位同学发现这个展开图是什么图形？请同学们仔细观察：并回答：圆锥展示图——扇形的弧长l等于圆锥底面圆的什么？扇形的半径其实是

圆锥的什么线段？（扇形的弧长是底面圆的周长，即，扇形的半径就是

圆锥的母线］）由于，圆锥半径已知则展开图扇形的弧长已知，圆锥

母线已知则展开图扇形的半径已知，因此展开图扇形的面积可求，而这个扇形的面积实质就是圆锥的侧面积，因此圆锥的侧面积也就可求．

［教师边演示模型，边启发提问］：如图，现在将圆锥沿着它的轴剖开，哪位同学回答，经过轴的剖面是一个什么图形？这个等腰三角形的腰与底分别是圆锥的什么？这个等腰三角形的高也就是圆锥的什么？．这个经过轴的剖面，我们称之谓“轴截面”，在轴截面里包含了有关圆锥的所有元素：轴、高、母线，底面圆半径．这个等腰三角形的顶角，我们称之谓

“锥角”，大家不难发现圆锥的母线、高、底面圆半径及锥角构成了一个直角三角形，它给定旋转一周得圆锥的那个直角三角形，当然给定半径、母线；圆锥侧面展开图——扇形的面积、圆心角可求、因此可以说有关圆锥的计算问题，其实质就是解这个直角三角形的问题．

幻灯展示例题：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm，（1）计算这个展开图的圆心角及面积；（2）画出它的展开图．