高中数学三角函数专题复习
高中数学第五章三角函数笔记重点大全(带答案)
高中数学第五章三角函数笔记重点大全单选题1、若sin (π7+α)=12，则sin (3π14−2α)=（ ） A ．35B ．−12C ．12D ．13答案：C分析：令θ=π7+α可得α=θ−π7，再代入sin (3π14−2α)，结合诱导公式与二倍角公式求解即可令θ=π7+α可得α=θ−π7，故sinθ=12，则sin (3π14−2α)=sin (3π14−2(θ−π7))=sin (π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=12故选：C2、sin1860°等于（ ） A ．12B ．-12C ．√32D ．-√32 答案：C分析：用诱导公式先化简后求值.sin1860°=sin (5×360°+60°)=sin60°=√32, 故选: C3、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ）A ．−17B ．0C ．7D ．17 答案：D分析：由题知A (3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A (3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43， 所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D4、化简：tan(π−α)cos(2π−α)sin(−a+3π2 )cos(−a−π)sin(−π−a)的值为（）A．−2B．−1C．1D．2答案：B分析：运用同角三角函数间的基本关系和三角函数的诱导公式化简可得答案.解：原式＝−tanα⋅cosα⋅(−cosα)cos(π+a)⋅[−sin(π+a)]＝tanα⋅cos2α−cosα⋅sinα＝−sinαcosα⋅cosαsinα＝－1．故选：B.5、sin(3π2+α)=（）A．sinαB．−sinαC．cosαD．−cosα答案：D分析：利用诱导公式sin(π+α)=−sinα,sin(π2+α)=cosα代入计算．sin(3π2+α)=sin(π+π2+α)=−sin(π2+α)=−cosα．故选：D．6、函数y=−sin2x−4cosx+6的值域是（）A．[2,10]B．[0,10]C．[0,2]D．[2,8]答案：A分析：根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于cosx的二次函数，利用换元法可得值域.函数y=−sin2x−4cosx+6=−(1−cos2x)−4cosx+6=cos2x−4cosx+5=(cosx−2)2+1，因为cosx∈[−1,1]，所以当cosx=1时，函数取得最小值2，当cosx=−1时，函数取得最大值10，故函数的值域为[2,10]，故选：A．7、关于函数y=sinx(sinx+cosx)描述正确的是（）A．最小正周期是2πB．最大值是√2C ．一条对称轴是x =π4D ．一个对称中心是(π8,12) 答案：D分析：利用三角恒等变换化简y 得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论. 解：由题意得：∵y =sinx(sinx +cosx) =sin 2x +12sin2x=1−cos2x 2+12sin2x =√22sin(2x −π4)+12选项A ：函数的最小正周期为T min =2πω=2π2=π，故A 错误；选项B ：由于−1≤sin(2x −π4)≤1，函数的最大值为√22+12，故B 错误； 选项C ：函数的对称轴满足2x −π4=kπ+π2，x =k2π+3π8，当x =π4时，k =−14∉Z ，故C 错误； 选项D ：令x =π8，代入函数的f(π8)=√22sin(2×π8−π4)+12=12，故(π8,12)为函数的一个对称中心，故D 正确；故选：D8、当θ∈(0,π2)，若cos (5π6−θ)=−12，则sin (θ+π6)的值为（ ） A ．12B ．√32C ．−√32D ．−12 答案：B分析：利用诱导公式和平方关系求解.因为cos (5π6−θ)=−cos (π−(5π6−θ))=−cos (π6+θ)=−12， 所以cos (π6+θ)=12， 因为θ∈(0,π2)， 所以π6+θ∈(π6,2π3)，所以sin (θ+π6)=√1−cos 2(π6+θ)=√32，故选：B 多选题9、已知角α,β,γ，满足α+β+γ=π，则下列结论正确的是（ ） A ．sin(α+β)=sinγB ．cos(β+γ)=cosα C ．sinα+γ2=sin β2D ．cosα+β2=sin γ2答案：AD分析：由诱导公式判断．因为α+β+γ=π，所以sin(α+β)=sin(π−γ)=sinγ，cos (γ+β)=cos (π−α)=−cosα，α+β+γ2=π2，sinα+γ2=sin (π2−β2)=cos β2，cosα+β2=cos (π2−γ2)=sin γ2．BC 错，AD 正确． 故选：AD ．10、如图，已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，ω>0，|φ|≤π2）的图象与x 轴交于点A,B ，与y 轴交于点C ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠OCB =π3,|OA|=2，|AD|=2√213.则下列说法正确的有（ ）A ．f (x )的最小正周期为12B ．φ=−π6C ．f (x )的最大值为163D ．f (x )在区间(14,17)上单调递增答案：ACD分析：由题意可得：√3|Asinφ|=2+πω，sin(2ω+φ)=0，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据|AD|=2√213，可得方程(1−π2ω)2+A 2sin 2φ4=283，进而解出ω，φ，A ．判断出结论．由题意可得：|OB|=√3|OC|，∴√3|Asinφ|=2+πω，sin(2ω+φ)=0，A(2,0)，B(2+πω，0)，C(0,Asinφ)，∴D (1+π2ω,Asinφ2)，∵|AD |=2√213，∴(1−π2ω)2+A 2sin 2φ4=283，把|Asinφ|=1√3(2+πω)代入上式可得：(πω)2−2×πω−24=0，ω>0.解得πω=6，∴ω=π6，可得周期T =2πω=12，∴sin(π3+φ)=0，|φ|≤π2，解得φ=−π3.可知：B 不对，∴√3|Asin (−π3)|=2+6，A >0，解得A =163，函数f(x)=163sin(π6x −π3)，可知C 正确.x ∈(14,17) 时，(π6x −π3)∈(2π,5π2)，可得：函数f(x)在x ∈(14,17)单调递增.综上可得：ACD 正确. 故选：ACD小提示：关键点点睛：本题的关键是表示点B,C,D 的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.11、已知函数f(x)=√3cos(2x +π3)，则下列结论正确的是（ ） A ．函数f(x)的最小正周期为π B ．函数f(x)在[0,π]上有三个零点 C ．当x =5π6时，函数f(x)取得最大值D ．为了得到函数f(x)的图象，只要把函数f(x)=√3cos(x +π3)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) 答案：AC分析：根据各选项分别进行讨论，从而得出结论. A 选项，根据周期公式T =2π2=π，故A 正确；B 选项，画出函数图象，根据图象可知函数f(x)在[0,π]上有两个零点，故B 错误；C 选项，画出函数图象，根据图象可知当x =5π6时，函数f(x)取得最大值，故C 正确；D选项，为了得到函数f(x)的图象，只要把函数f(x)=√3cos(x+π3)图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，故D错误.故选：AC.小提示：本题考查余弦型三角函数的知识点，涉及到函数的周期零点以及函数的图象等，属于基础题型.12、已知函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．f(x)=√3sin(2x+π3)B．函数f(x)在[π6,2π3]上单调递减C．函数g(x)＝√3cos2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移π12个单位得到D．函数f(x)的图象关于（5π12，0）中心对称答案：AC分析：首先利用“五点法”求函数的解析式，利用函数的性质求函数的单调递减区间，判断选项B，再利用平移规律，判断选项C ，利用对称中心公式求函数的对称中心，判断选项D . 解：对于A ：根据函数的图象：2×π12+φ＝2kπ+π2（k ∈Z ），解得φ＝2kπ+π3（k ∈Z ），由于|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝π3．由于f （0）＝32，所以A sin π3=32，解得A ＝√3．所以f (x )＝√3sin(2x +π3)，故A 正确；对于B ：令π2+2kπ≤2x +π3≤2kπ+3π2（k ∈Z ），解得：π12+kπ≤x ≤kπ+7π12（k ∈Z ）， 所以函数的单调递减区间为[π12+kπ,kπ+7π12]（k ∈Z ），故函数在[π12,7π12]上单调递减，在[7π12,2π3]上单调递增，故B 错误；对于C ：函数f （x ＋π12）＝√3sin(2x +π6+π3)=√3cos2x =g(x)，故C 正确；对于D ：令2x +π3=kπ（k ∈Z ），解得x =−π6+kπ2（k ∈Z ），所以函数的对称中心为（−π6+kπ2,0）（k ∈Z ），由于k 为整数，故D 错误；故选：AC ．小提示：思路点睛：本题考查y =Asin (ωx +φ)的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数y =Asin (ωx +φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线x =x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证f (x 0)的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求ωx +φ的范围，验证此区间是否是函数y =sinx 的增或减区间.13、已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．f (136)=12B ．函数f (x −13)是偶函数C ．函数f (x )在区间[2k −23,2k +13](k ∈Z )上单调递增 D ．若函数f (x )在[−2,a ]上有5个零点，则176≤a <236答案：CD分析：根据图像得到函数解析式为f(x)=sin (πx +π6)，代入数据计算知A 错误，f (x −13)=sin (πx −π6)，非奇非偶，所以B 错误，计算单调性得到C 正确，计算t =πx +π6∈[−2π+π6,aπ+π6]，根据函数图像计算得到D 正确，得到答案.T 2=43−13=1，T =2πω=2，即ω=π，由13π+φ=2kπ+π2，可得φ=2kπ+π6，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ=π6， 因此函数f(x)=sin (πx +π6). f (136)=f (16)=√32，所以A 错误；f (x −13)=sin [π(x −13)+π6]=sin (πx −π6)，非奇非偶，所以B 错误；由2kπ−π2≤πx +π6≤2kπ+π2，可得2k −23≤x ≤2k +13(k ∈Z)，所以函数f(x)在区间[2k −23,2k +13](k ∈Z)单调递增，所以C 正确；因为x ∈[−2,a]，所以t =πx +π6∈[−2π+π6,aπ+π6]，结合函数y =sint(t ∈R)的图象可得3π≤aπ+π6<4π，所以176≤a <236，所以D 正确.故选：CD. 填空题14、若函数f (x )=2sin (ωx +π6)(ω>0)在区间[−π4,π4]上单调递增，则ω的最大值是__________. 答案：43分析：直接利用正弦函数的单调性与区间的关系列不等式即可求解. ∵−π4≤x ≤π4，∴π6−π4ω≤ωx +π6≤π4ω+π6，要使f (x )在[−π4,π4]上单调递增，则{π6−π4ω≥−π2,π4ω+π6≤π2,，解得{ω⩽83ω⩽43， 又∵ω>0，∴0<ω⩽43，则ω的最大值是43.所以答案是：43.15、已知cosα=13，则sin (π2+α)=_____________. 答案：13分析：直接利用诱导公式sin (π2+α)=cosα计算可得. 解：因为cosα=13，所以sin (π2+α)=cosα=13所以答案是：13.16、当θ∈(0,π2)时，若cos (5π6−θ)=−12，则sin (θ+π6)的值为_________． 答案：√32##12√3分析：先由已知条件求出sin (5π6−θ)，然后利用诱导公式可求得结果. ∵θ∈(0,π2)，∴5π6−θ∈(π3,5π6)，∴sin (5π6−θ)=√1−cos 2(5π6−θ)=√32， ∴sin (θ+π6)=sin [π−(5π6−θ)]=sin (5π6−θ)=√32．所以答案是：√32解答题17、已知函数f(x)=4−msinx−3cos2x（m∈R）．(1)若关于x的方程f(x)=0在区间(0,π)上有三个不同解x1,x2,x3，求m与x1+x2+x3的值；(2)对任意x∈[−π6,π]，都有f(x)>0，求m的取值范围．答案：(1)m＝4，x1+x2+x3=3π2；(2)(−72,2√3).分析：（1）由题设及同角三角函数平方关系有f(x)=3sin2x−msinx+1，令t=sinx∈(0,1]，根据已知条件、二次函数的性质及三角函数的对称性求参数m，以及x1,x2,x3的关系，进而求x1+x2+x3.（2）由（1）得t∈[−12,1]且3t2+1>mt恒成立，讨论t的范围，结合对勾函数的性质求参数m的范围. （1）f(x)=4−msinx−3cos2x=3sin2x−msinx+1,设t=sinx，在(0,π)上0<t≤1，则y=3t2−mt+1，若f(x)=0有三个不同解x1,x2,x3，则3t2−mt+1=0有两个不同的根，其中t1=1，0<t2<1，所以3−m+1=0，得：m＝4，由t1=sinx1=1得：x1=π2，由t2=sinx，知：两个解x2,x3关于x=π2对称，即x2+x3=2×π2=π，综上，x1+x2+x3=π+π2=3π2；（2）由（1），当x∈[−π6,π]时，t∈[−12,1]，要使f(x)>0恒成立，即3t2−mt+1>0，得3t2+1>mt，当t＝0时，不等式恒成立，当t＞0时，m<3t+1t 恒成立，又3t+1t≥2√3t⋅1t=2√3，当且仅当t=√33时取等号，此时0<m<2√3，当t ＜0时，m >3t +1t ，而t ∈[−12,0)时y =3t +1t 为减函数，而y|t=−12=−32−2=−72，此时0>m >−72， 综上，实数m 的取值范围是(−72,2√3)．18、已知函数f (x )=3sin (2x +φ)(φ∈(0,π2))，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y 轴对称．(1)求函数f (x )的表达式；(2)说明其图象是由y =sinx 的图象经过怎样的变换得到的．答案：(1)f (x )=3sin (2x +π6)(2)答案见解析分析：（1）写出变换后的函数解析式，根据函数的对称性可得出关于φ的等式，结合φ的取值范围可求得φ的值，即可得出函数f (x )的解析式；（2）根据三角函数图象的变换规律可得出结论.(1)解：将函数f (x )=3sin (2x +φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象的函数解析式为y =3sin [2(x +π6)+φ]=3sin (2x +π3+φ)．因为图象平移后关于y 轴对称，所以2×0+π3+φ=kπ+π2(k ∈Z )，所以φ=kπ+π6(k ∈Z )．因为φ∈(0,π2)，所以φ=π6，所以f (x )=3sin (2x +π6)．(2)解：将函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y =sin (x +π6)， 再把所得图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得函数y =sin (2x +π6)的图象， 再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），即得函数y =3sin (2x +π6)的图象．。
高中三角函数知识点归纳总结(通用10篇)
高中三角函数知识点归纳总结(通用10篇)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式篇一sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式推导篇二sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina高中数学三角函数知识点总结：半角公式篇三tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)高中数学三角函数知识点总结：辅助角公式篇四Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))高中数学三角函数知识点总结：和差化积篇五sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)高中三角函数知识点归纳篇六1.做高中数学题的时候千万不能怕难题！有很多人数学分数提不动，很大一部分原因是他们的畏惧心理。
专题63 高中数学三角函数章末复习(原卷版)
专题63 三角函数章末复习一 知识系统整合二 规律方法1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2k π＋30°，k ∈Z ，这种表示法不正确． 2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sin α＝yr ≠sin ×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆． 3．同角三角函数的基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．4．三角函数的诱导公式诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用． (1)－α角的三角函数是把负角转化为正角；(2)2k π＋α(k ∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角； (3)π2±α，π±α，3π2±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角； (4)化负为正→化大为小→化为锐角； (5)记忆规律：奇变偶同，象限定号． 5．正弦函数、余弦函数的图象与性质(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规．(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f (x ＋T )＝f (x )应强调的是自变量x 本身加常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是f (2x )的周期．解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域．6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β，其变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)应用广泛；公式cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α的变形公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2常用来升幂或降幂．7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)主要掌握由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的平移、伸缩等变换． 注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A ，ω，φ与各种变换的关系． 8．三角函数的应用 (1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式作出图象；(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型；(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．考点一 三角函数的概念1．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．2．若角α的终边所在直线经过点P (－2,3)，则有( )A ．sin α＝21313B ．cos α＝－21313C ．sin α＝31313D ．tan α＝－323．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝_____.4．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是5．有一个扇形的弧长为π2，面积为π4，则该弧所对弦长为考点二 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用1．若cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－53，则sin(－5π＋α)＝2．已知1－cos x ＋sin x1＋cos x ＋sin x ＝－2，则tan x 的值为3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )， 且cos α＝306，则|a －b |＝4．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，则sin α－cos α＝5．已知角α的终边上有一点P (1,3)，则sin (π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2cos (－π＋α)的值为6．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝7．已知3sin （π＋α）＋cos （－α）4sin （－α）－cos （9π＋α）＝2，则tan α＝8．已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.9．已知tan α＝－43，求下列各式的值：(1)2cos α＋3sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α.10．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝⎛⎭⎫－3π2，－π.求： (1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α.11．已知tan α＝－34.(1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求sin (4π－α)cos (3π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫152π－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin ⎝⎛⎭⎫132π＋α的值．12．已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值．13．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x 的值为________．14．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于15．若sin θ＝33，则cos (π－θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值为________．16. 已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）(n ∈Z)．考点三 三角恒等变换的综合应用1．化简1－2sin (π＋4)cos (π＋4)等于( )A ．sin4－cos4B ．cos4－sin4C ．－sin4－cos4D ．sin4＋cos42．2sin 215°－1的值是3．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是4．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝5．在3sin x ＋cos x ＝2a －3中，a 的取值范围是A.⎣⎡⎦⎤12，52B.⎝⎛⎦⎤－∞，12C.⎝⎛⎭⎫52，＋∞D.⎣⎡⎭⎫－52，－12 6．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．7．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6，4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为________．8．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知sin α＝55，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为10．已知α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α的值为________．11．求值：sin50°(1＋3tan10°)－cos20°cos80°1－cos20°.12．化简：2sin130°＋sin100°(1＋3tan370°)1＋cos10°.13．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.14．求证：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝1.15．求证：1＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝1＋tan α1－tan α.16．求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x.17．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.18．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角，求cos β的值．19．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－277，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求： (1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β)．20．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．21．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．22．已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．23．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．24．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．25．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且－π4<α<π4，π4<β<3π4，求cos[2(α－β)]的值．考点四 三角函数的图象与性质1．函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域为______________．2．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式是__________________．3．对于函数f (x )＝sin2x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为24．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])的单调递增区间是5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝6．在△ABC 中，C >π2，若函数y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )A ．f (cos A )>f (cosB ) B ．f (sin A )>f (sin B )C ．f (sin A )>f (cos B )D ．f (sin A )<f (cos B )7．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋φ是奇函数，当φ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，φ的值为________．8．若函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π6对称，则a ＝________.9．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2，其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③10．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝⎛⎭⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π2(x ∈R)，下列说法错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0中心对称D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为13．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列命题中正确的是( )A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，函数取得最大值1C ．当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数取得最小值－1D ．当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z)时，f (x )<014．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )15．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为2π，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π≤x <0，sin x ，0≤x <π，则f ⎝⎛⎭⎫－174π＝________.16．已知f (x )＝sin 2x ＋cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，则f (x )的值域为________．17．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是18．函数f (x )＝sin x (1－sin x )1－sin x的奇偶性是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又偶函数D ．非奇非偶函数19．求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域．20．已知|x |≤π4，求函数y ＝－sin 2x ＋sin x ＋1的最小值．21．函数f (x )＝log 12cos x 的单调递增区间是___________．22．下列函数中，周期为4π的是( )A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos2xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝sin x 223．已知函数f (x )＝log a cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(其中a >0，且a ≠1)． (1)求它的定义域；(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．24．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． ①求f (x )的单调区间；②若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．26．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间．①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的图象有两个交点，求a 的取值范围．27．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－π6B ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－3π4C ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－π6D ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π428．函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R)．(1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．29．在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．30．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)求函数f (x )的最小值及f (x )取到最小值时自变量x 的集合；(2)指出函数y ＝f (x )的图象可以由函数y ＝sin x 的图象经过哪些变换得到；(3)当x ∈[0，m ]时，函数y ＝f (x )的值域为[－3，2]，求实数m 的取值范围．考点五 三角函数的图象变换问题1．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π2B.π4C ．0D ．－π43．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式．5．如图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的一段图象．(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的？考点六 三角函数的应用1．直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P 的一直线与走廊的外侧两边交于A ，B 两点，且与走廊的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2.(1)将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)2．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板ABOC ，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？。
高中数学一轮复习重难点 三角函数的图象与性质
5.3 三角函数的图象与性质五年高考考点1 三角函数的图象及其变换1.(2022浙江,6,4分,易)为了得到函数y=2sin 3x 的图象,只要把函数y=2sin (3x +π5)图象上所有的点( )A.向左平移π5个单位长度 B.向右平移π5个单位长度 C.向左平移π15个单位长度 D.向右平移π15个单位长度 答案 D2.(2021全国乙理,7,5分,中)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin (x-π4)的图象,则f(x)=( ) A.sin (x 2-7π12) B.sin (x2+π12) C.sin (2x-7π12) D.sin (2x +π12) 答案 B3.(2017课标Ⅰ理,9,5分,中)已知曲线C 1:y=cos x,C 2:y=sin (2x +2π3),则下面结论正确的是 ( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 答案 D4.(2023全国甲理,10,5分,中)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2x+π6)的图象向左平移π6个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=12x−12的交点个数为()A.1B.2C.3D.4答案C5.(2019天津,文7,理7,5分,中)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g(π4)=√2,则f (3π8)=()A.-2B.-√2C.√2D.2答案C6.(2021全国甲文,15,5分,中)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(π2)=.答案-√37.(2023新课标Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)=.答案-√32考点2三角函数的性质及其应用1.(2021新高考Ⅰ,4,5分,易)下列区间中,函数f(x)=7sin(x-π6)单调递增的区间是()A.(0,π2) B.(π2,π)C.(π,3π2) D.(3π2,2π)答案A2.(2021全国乙文,4,5分,易)函数f(x)=sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是()A.3π和√2B.3π和2C.6π和√2D.6π和2 答案C3.(2023全国乙理,6,5分,易)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(π6,2π3)单调递增,直线x=π6和x=2π3为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f (-5π12)=()A.-√32B.−12C.12D.√32答案D4.(2018课标Ⅰ文,8,5分,中)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()A. f(x)的最小正周期为π,最大值为3B. f(x)的最小正周期为π,最大值为4C. f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D. f(x)的最小正周期为2π,最大值为4答案B5.(2021北京,7,4分,中)函数f(x)=cos x-cos 2x是()A.奇函数,且最大值为2B.偶函数,且最大值为2C.奇函数,且最大值为98D.偶函数,且最大值为98答案D6.(2022北京,5,4分,中)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则()A. f(x)在(-π2,-π6)上单调递减B. f(x)在(-π4,π12)上单调递增C. f(x)在(0,π3)上单调递减D. f(x)在(π4,7π12)上单调递增答案C7.(2020天津,8,5分,中)已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论:①f(x)的最小正周期为2π;②f(π2)是f(x)的最大值;③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移π3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.其中所有正确结论的序号是()A.①B.①③C.②③D.①②③答案B8.(2020课标Ⅰ,文7,理7,5分,中)设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为()A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2答案C9.(2022新高考Ⅰ,6,5分,中)记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π,且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称,则f(π2)=()A.1B.32C.52D.3答案A10.(多选)(2022新高考Ⅱ,9,5分,中)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)中心对称,则()A. f(x)在区间(0,5π12)单调递减B. f(x)在区间(-π12,11π12)有两个极值点C.直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴D.直线y=√32-x是曲线y=f(x)的切线答案AD11.(2019北京理,9,5分,易)函数f(x)=sin22x的最小正周期是.答案π212.(2023新课标Ⅰ,15,5分,中)已知函数f(x)=co s ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是.答案[2,3)13.(2019课标Ⅰ文,15,5分,中)函数f(x)=sin(2x+3π2)-3cos x的最小值为. 答案-414.(2022全国乙理,15,5分,中)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=√32,x=π9为f(x)的零点,则ω的最小值为. 答案 315.(2020江苏,10,5分,中)将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.答案x=-524π16.(2020课标Ⅲ理,16,5分,难)关于函数f(x)=sin x+1sinx有如下四个命题:①f(x)的图象关于y轴对称.②f(x)的图象关于原点对称.③f(x)的图象关于直线x=π2对称.④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.答案②③三年模拟一、单项选择题1.(2021江苏七市第二次调研,6,易)函数f(x)=sin xcos x+√3cos2x的图象的一条对称轴为()A.x=π12B.x=π6C.x=π3D.x=π2答案A2.(2023广东潮州二模,5,中)若f(x)=sin(2x+π6)在区间[-t,t]上单调递增,则实数t的取值范围为()A.[π6,π2] B.(0,π3]C.[π6,π3] D.(0,π6]答案D3.(2023安徽“江南十校”一模,中)已知函数f(x)=cos(x+π2)cos(x+π4),则下列说法正确的是()A.点(-π8,0)是曲线y=f(x)的对称中心 B.点(π8,√24)是曲线y=f(x)的对称中心C.直线x=5π8是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线x=3π8是曲线y=f(x)的对称轴 答案 C4.(2023湖南岳阳一模,中)已知函数f(x)=sin x+acos x 的一个零点是π3,将函数y=f(2x)的图象向左平移5π12个单位长度后所得图象的表达式为( ) A.y=2sin (2x-7π6) B.y =2sin (2x +π12)C.y=-2cos 2xD.y=2cos 2x 答案 D5.(2023河北邯郸二模,6,中)已知函数f(x)=cos(2x-θ)(|θ|<π2),将函数f(x)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则函数f(x)的极值点为( ) A.π6+kπ(k ∈Z ) B.π6+kπ2(k ∈Z ) C.π12+kπ(k ∈Z ) D.π12+kπ2(k ∈Z ) 答案 B6.(2023皖南八校一模,6,中)已知函数f(x)=√3sin x 2cos x 2−sin2x 2+12,则下列结论正确的有( ) A.|f(x)|的最小正周期为2πB.直线x=-π3是f(x)图象的一条对称轴 C. f(x)在(0,π2)上单调递增D.若f(x)在区间[-π2,m]上的最大值为1,则m ≥π3 答案 D7.(2021天津南开一模,7,中)已知函数f(x)=√3sin ωx -cos ωx(ω>0)满足f(x 1)-f(x 2)=4,且|x 1-x 2|的最小值为π2,则 f (π8)的值为( ) A.√6-√22B.1C.√3D.2答案 A8.(2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,7,中)若函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位长度后关于直线x=π4对称,则函数f(x)在区间[0,π2]上的最小值为()A.-√32B.−12C.√32D.12答案A二、多项选择题9.学科融合(2023广东一模,9,中)如图,弹簧下端悬挂着的小球做上下运动(忽略小球的大小),它在t(s)时刻相对于平衡位置的高度h(cm)可以由h=2sin(π2t+π4)确定,则下列说法正确的是()A.小球运动的最高点与最低点的距离为2 cmB.小球经过4 s往复运动一次C.t∈(3,5)时小球是自下往上运动D.当t=6.5时,小球到达最低点答案BD10.(2023湖南永州二模,9,中)已知函数f(x)=sin(2x+π6)−2√3sin xcos x,则()A.f(x)的最大值为1B.直线x=π3是f(x)图象的一条对称轴C. f(x)在区间(-π6,π3)上单调递减D. f(x)的图象关于点(π6,0)对称答案ABC11.(2022湖南株洲一模,中)若x=π6是函数f(x)=asin x+bcos x(ab≠0)图象的一条对称轴,则下列说法正确的是()A.b=√3aB.x=-5π6是函数f(x)图象的一条对称轴C.点(2π3,0)是函数f(x)图象的一个对称中心D.函数f(x)在(π6,7π6)上单调递减 答案 ABC12.(2023广东深圳二模,10,中)已知f(x)是定义在闭区间上的偶函数,且在y 轴及其右侧的图象是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)图象的一部分(如图所示),则( )A.f(x)的定义域为[-π,π]B.当x=π6时, f(x)取得最大值 C.当x<0时, f(x)的单调递增区间为[-2π3,-π6] D.当x<0时, f(x)有且只有两个零点-5π12和-11π12 答案 BCD13.(2022山东滨州二模,中)设函数f(x)=|cos x|+cos 2x,则下列结论中正确的是( ) A. f(x)的最小正周期为π B. f(x)在[0,2π3]上单调递减 C. f(x)的图象关于直线x=π4对称 D. f(x)的值域为[-1,2] 答案 AD 三、填空题14.(2023浙江强基联盟2月统测,中)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2), f(x)≤|f (π6)|, f(x)+f (4π3-x)=0, f(x)在(π36,π6)上单调,则正整数ω的最大值为 . 答案 715.(2022上海杨浦二模,12,中)若函数f(x)=cos ωx(ω>0)在区间(2π,3π)内既没有最大值1,也没有最小值-1,则ω的取值范围是 . 答案 (0,13]∪[12,23]∪{1} 四、解答题16.(2023山东青岛第一次适应性测试,中)已知函数f(x)=2cos 2ωx+sin 2ωx(ω>0),x 1,x 2是f(x)的两个相邻极值点,且满足|x 1-x 2|=π.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程; (2)若f(α)=13,求sin 2α.解析 (1)f(x)=2cos 2ωx+sin 2ωx=1+cos 2ωx+sin 2ωx=√2sin (2ωx +π4)+1.(2分) 由题意得T=2π,所以2ω=2πT=1.(3分) 所以f(x)=√2sin (x +π4)+1.令x+π4=kπ+π2(k ∈Z ),得x=kπ+π4(k ∈Z ),所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ+π4(k ∈Z ).(5分) (2)由f(α)=13得sin (α+π4)=−√23.(6分)所以sin α+cos α=-23,所以(sin α+cos α)2=49,即1+sin 2α=49,所以sin 2α=-59.(10分) 17.(2023江苏南京一模,17,中)已知f(x)=sin ωx -√3cos ωx,ω>0. (1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2,求f (3π2)的值; (2)若函数f(x)的图象关于(π3,0)对称,且函数f(x)在[0,π4]上单调,求ω的值. 解析 (1)f(x)=sin ωx -√3cos ωx =2(12sinωx-√32cosωx)=2sin (ωx-π3),因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2,所以12T =π2,则T=π,所以T=2πω=π,解得ω=2, 所以f(x)=2sin (2x-π3), 所以f (3π2)=2sin (2×3π2-π3)=2sin π3=2×√32=√3.(2)由(1)知f(x)=2sin (ωx-π3),因为函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称,所以πω3−π3=kπ,k ∈Z ,所以ω=3k+1,k ∈Z .由x ∈[0,π4],ω>0,得ωx -π3∈[-π3,πω4-π3], 因为f(x)在[0,π4]上单调,所以{πω4-π3≤π2,ω>0,解得0<ω≤103,所以取k=0,ω=1.18.(2022山东临沂二模,18,中)已知函数f(x)=Asin (ωx +π4)(A>0,0<ω<1), f (π4)=f (π2),且f(x)在(0,3π4)上的最大值为√2. (1)求f(x)的解析式;(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的13,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g (α2)=12,求sin 2α的值.解析 (1)因为0<ω<1,所以周期T=2πω>2π,又f(x)在(0,3π4)上的最大值为√2,且f (π4)=f (π2),所以当x=12×(π4+π2)=3π8时, f(x)取得最大值√2, 所以A=√2,且f (3π8)=√2,即√2sin (3π8ω+π4)=√2, 因为0<ω<1,所以π4<3π8ω+π4<5π8,故3π8ω+π4=π2,解得ω=23,故f(x)=√2sin (23x +π4).(2)由题意得g(x)=f(3x)=√2sin (2x +π4), 又g (α2)=√2sin (α+π4)=12,所以sin (α+π4)=2√2,所以sin 2α=-cos (2α+π2)=2sin2(α+π4)−1=−34.。
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题含答案免费)
1.已知 tanx=2,求 sinx , cosx 的值.解： 因为 tan x = Sin X =2，又 sin 2x + cos 2x=1 , cosxsin x = 2cosx联立得丿2 2 ，sin x +cos x =1sin x -cosx _2 sin x cosx所以 sinx — cosx=2(sinx + cosx),22得到sinx= — 3cosx ,又sin x + cos x=1，联立方程组，解得3+10sin,COSX = -〒0- C ——3 所以 sin xcosx — 10法二：因为叱叱=2,sin x cosx所以 sinx — cosx=2(sinx + cosx),所以(sinx — cosx)2=4(sinx + cosx)2, 所以 1 — 2sin xcosx=4 + 8sin xcosx ,3所以有 sinxcosx — ■10求证：tan 2x sin 2x=tan 2x — sin 2x . I.F , [ ]22 2 22 2 2 22证明：法一：右边=tan' x — sin x=tan x — (tan x cos x)=tan x(1 — cos x)=tan x sin x , 法二：左边 =ta n 2x sin 2x=ta n 2x(1 — cos 2x)=ta n 2x — ta n 2x cos 2 x=ta n 2x — si n 2x ,问题得证.sinx =2.5解这个方程组得cosx =245sin x = --------- i 靠 cosx I 5tan(-120)cos(210)sin(-480)2 .求——tan(-690 ') sin(-150 丨 cos(330 )的值.解：原式tan( -120 180 )cos(18030 )sin( -360 -120 )o~tan(-720 30o )sin(-150 )cos(360 -30 )tan 60 (-cos30 )(-sin 120) 弋 3 tan30(—sin150 )cos303.卄 sin x - cosx右sin x cosx=2,,求 sinxcosx 的值. 解：法一：因为 3110 sinx 10- 尿，cosx4.问题得证.3 x =84[0 2兀]0x2 f(x)x1如sin(2 ■ 6)[-?，1], y [1 2]2(1)y sin x cosx+2(1)y=si n 2x t=cosx t(2)y 2sin xcosx[- 2, 2]cosx 2 [-1,1],2 cos x cosx (2)y 2sin xcosx (sinx2= (cos 2x cosx) 3 cosx)一 (t 2t) 3-(t 丄)2213 +— 4(sinx cosx)=(s in xy =t 2 -t -1,y=As in( + )( (6 0)(2, 2) 匚=4T=164、2 = . 2 sin(- 2)84f(x)=cos x f(x) 一 sinxcosx)20)© =一842sinxcosx sin x(si nx cosx) t=sinxcosx= 42 sin((2「2)..y _2 sin(_ x ).48 4()xwy f(x)42222f(x)=cos x 2sinxcosx sin4x (cos x sin x)(cos x sin x)_ 2= (cos x -sin x) -sin 2x =cos2x -sin 2xsin2x-2x) - - 2 sin(2x -；))x 可Og](2x--)%-丄]4 4 4x=0 f(x)tan - 21 cos 日 +sin 日cos ： -sin -2 si n 2°—si n B . cos 日+2cos 2 &1 + si n 日 (1)cos ，Sinn _ cos^ cos 日 +si ne . sin 日1 ------ cos ：-1十¥ =」—2逅;1 - tan v 1_22 2sinsin rcos v 2cos r2 2sin sin vcos v 2 cos 二2 2sin cos 二2 si nr sin 二 22=COS d COSdsin -彳1cos 二说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到) 程简化。
高中数学 三角函数5部分25个考点100道典型题!
三角函数超全考点与题型分析第一部分三角函数定义【思维导图】【常见考法】考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为。
【答案】180135,k k Z⋅︒+︒∈【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=⋅︒+︒=⋅︒+︒，k Z ∈，角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：2360315(21)180135k k α=⋅︒+︒=+⋅︒+︒，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：180135k α=⋅︒+︒，k Z ∈．2．下列各组角中，终边相同的角是。
A．2k π与()2k k Z ππ+∈B．3±k ππ与()3k k Z π∈C．()21+k π与()()41k k Z π±∈D．6k ππ+与()6k k Z ππ±∈【答案】C【解析】对于A 选项，()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π与()2k k Z ππ+∈的终边不一定相同；对于B 选项，()()3133k k k Z πππ±±=∈ ，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3k k Z π∈表示3π的整数倍，所以，,,33k x x k k Z x x k Z πππ⎧⎫⎧⎫=±∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则3±k ππ与()3k k Z π∈的终边不一定相同；对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得()()22121k k ππ+=+，()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=- ，()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，则()21+k π与()()41k k Z π±∈的终边相同；对于D 选项，显然,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则6k ππ+与()6k k Z ππ±∈的终边不一定相同.故选：C.3．已知集合|22,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是。
高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题,含答案)
1．tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．假设,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求以下函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，那么,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，那么]2,2[-∈t 那么，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y 7．假设函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)假设],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)假设]2π,0[∈x ，那么]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 2tan =θ，求〔1〕θθθθsin cos sin cos -+；〔2〕θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：〔1〕2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点〔如果不具备，通过构造的方法得到〕，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
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三角函数知识点与常见习题类型解法1. 任意角的三角函数：（1） 弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。
（2） 扇形的面积公式：lR S 21=R 为圆弧的半径，l 为弧长。
（3） 同角三角函数关系式：①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan =， aaa s i n c o s c o t =③平方关系：1cos sin 22=+a a（4）2.两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：βββαsin sin cos cos )cos(a a =± βββs i n c o s c o s s i n )s i n (a a a ±=±βββtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=± 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．． （2）二倍角公式：a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a aaa 2tan 1tan 22tan -=从二倍角的余弦公式里面可得出降幂公式：22cos 1cos 2a a += ， 22cos 1sin 2a a -=（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：2cos 12sinaa -±=，2cos 12cos a a +±= ，aa a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= 3.4.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质） （1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ=T （3） 五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t ，取0、2π、π、23π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。
（4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。
切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
（附上函数平移伸缩变换）:函数的平移变换：①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减）②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）函数的伸缩变换：①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（1>w 缩短， 10<<w 伸长）②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（1>A伸长，10<<A 缩短） 函数的对称变换：①)()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）②)()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动） 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．4．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域．5．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．历年综合题 一，选择题12(sin cos )1y x x =--是 （ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3.若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2 5.函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( )A.-sin xB.sin xC.-cos xD.cos x 7.已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数8.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，329.将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是 （ ） A.512π B.512π- C.1112π D.1112π-10.函数sin ()sin 2sin2x f x xx =+是 （ ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ） A ．1BCD ．212.已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A． BC ．45-D ．4513.sin 330︒等于 （ ） A．2-B ．12-C ．12D．214()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 16.设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则 （ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ） A.2π B .π C.32π D.2π 18.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （ ）A.0B.1C.2D.4 二，填空题19.若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ． 21.设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．22.若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________。
23.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是三，解答题24.求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
25. 已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．26. 已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．2）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域28. ）已知函数2()2sincos 444x x xf x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．。