北师大版八年级数学上册--勾股定理知识技能和题型归纳
北师大版八年级数学上册-第一章勾股定理题型分类归纳(无答案)
勾股定理题型分类一：借助勾股定理求边长或面积例1：如图，在ΔABC中，AB=15cm, AC=13cm, BC=14cm, 求ΔABC的面积例2: 在RtΔABC中，∠ACB=90º, AB=10cm, AB边上的高CD=4.8cm, 则RtΔABC的周长为______cm. 变式练习1：如图在RtΔABC中，∠C=90º, 点D是BC上一点，AD=BD,若AB=8, BD=5,求CD的长变式练习2：如果直角三角形的三边长分别为10，6，x, 则最短边上的高为________例3: 如图，以RtΔABC的三边为斜边向外做等腰三角形，若斜边AB=3, 则图中ΔABE的面积是_____，阴影部分面积为____，ΔAHC, ΔBCF, ΔABE的面积间的关系为______变式练习3：如图，RtΔABC的周长为12，以AB, AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN,若这两个正方形的面积之和为25，则ΔABC的面积是___二：勾股定理解决一些实际问题例4：如图，校园内有两根电线杆，相距8米，一根电线杆高13米，另一根电线杆高7米，若一只小鸟从一根电线杆的顶端飞到另一根电线杆的顶端，则小鸟至少飞多少米？例5：如图，一辆小汽车在一条限速为70km/h的公路上直线行驰，某一时刻刚好行驰到路对面车速检测仪A正前方30m的B处，过了2s后，测得小汽车（位于C处）与车速检测仪A的距离为50m, 这辆小汽车超速了吗？变式练习4：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=1m, 将它往高推送6m(水平距离BC=6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=4m, 秋千的绳索始终拉的很直，则绳索AD的长度为____m变式练习5：如图，有一只喜鹊在一颗3m 高的小树顶觅食，它的巢筑在距离该树24m 远的一颗大树上，大树高14m, 且巢距离树顶部1m, 当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s, 那么它至少需要多长时间才能赶回巢中?三：勾股定理的逆定理及应用例6： 若a, b, c 是ΔABC 的三边长，且a, b, c 满足（a −5）2+(b −12)2+|c-13|=0, 则ΔABC 是直角三角形吗？说明理由例7： 如图，MN 为我国领海线，其方向为南北方向，MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私艇B 和走私艇C 的距离是13海里，A, B 两艇的距离是5海里，反走私艇B 和走私艇C 的距离是12海里，若走私艇C 的速度不变，则最早会在什么时候进入我国领海？变式练习6： 如图，在ΔABC 中，BC=6, AC=8, 在ΔABE 中，DE 是AB 边上的高，DE=7, ΔABE 的面积为35求：（1）AB 的长 （2）四边形ACBE 的面积变式练习7：在B 港口有甲， 乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60º方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿什么方向航行的吗？四：:勾股定理求解折叠问题例8：如图，将长方形纸片ABCD 的一边AD 向下折叠，使D 和F 点重合，已知AB=CD=8, BC=AD=10,求EC 的长变式练习8：如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm, BC=8cm, 现将ΔABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE,则BE的长为___变式练习9：如图，在长方形ABCD中，AB=8, BC=6, P为AD上一点，将ΔABP沿BP翻折至ΔEBP, PE与CD相交于点O,且OE=OD, 则AP的长为___五：勾股定理求解距离最短距离例9：已知某植物绕着树干向上生长（1）如果树干的周长（即图中圆柱的底面周长）为30cm, 绕行一圈升高（即圆柱的高）40cm, 则它绕行一圈的长度是多少？（2）如果树干的周长为80cm, 绕行一圈的长度是100cm, 绕10圈到达数顶，则数干高多少？变式练习10. 如图，一只蚂蚁在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对顶角G 处，若AB=3cm, BC=5cm, BF=6cm, 问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？变式练习11. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18, BC=12, BF=10, 点M在棱AB 上，且AM=6, 点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N, 它需要爬行的最短路程的平方为______六: 勾股定理在动点问题中的应用例10：如图，在ΔABC中，∠ACB=90º, AB=5cm, BC=3cm, 点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A-C-B-A运动，当点P回到点A时，停止运动，设运动时间为t(t>0)s(1) 若点P在AC上，且满足PA=PB, 求t的值（2）若点P恰好在∠BAC平分线上，求t的值变式练习12. 如图，已知ΔABC中，∠B=90º, AB=8cm, BC=6cm, P, Q是ΔABC边上的两个动点，点P 从点A开始沿A-B方向运动，且速度为1cm/s, 点Q从点B开始沿B-C-A方向运动，且速度为2cm/s, 它们同时出发，设运动时间为t(1) 求运动几秒时，ΔAPC是等腰三角形（2）当点Q在边CA上运动时，求能使ΔBCQ成为等腰三角形的运动时间七：利用勾股定理探究规律例11：如图，已知ΔABC是腰长为1的等腰直角三角形，以RtΔABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD, 再以RtΔACD的斜边AD为直角边画第三个等腰直角三角形ADE... 依次类推，第2013个等腰直角三角形的斜边的平方为______变式练习13：如图，OP=1, 过点P作P P1⊥OP, 且P P1=1, 得O P12=2, 再过点P1作P1P2⊥O P1,且P1P2=1，得O P22=3, 又过点P2作P2P3⊥O P2,且P2P3=1，得O P32=4…依次作下去，得2=_______O P2012。
(完整word版)(最终版)北师大版八年级上册数学复习知识点和例题相结合
北师大版数学八年级上册知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+例 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （ ）.（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12例 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（ ）.（A ）6 （B ）8.5 （C ）1320 （D ）13602、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
例 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是 （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）直角三角形3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
例 下列各组中，不能构成直角三角形的是（ ）.（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，41第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等例 下列命题中，正确的是（ ）。
A 、两个无理数的和是无理数B 、两个无理数的积是实数C 、无理数是开方开不尽的数D 、两个有理数的商有可能是无理数二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= - b ，反之亦成立。
(完整版)北师大版数学八年级上册知识点总结
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理第十八章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数：满足222c b a=+的三个正整数，称为勾股数。
3.3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90° （3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC 7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
八年级上册数学北师大版知识点总结
第一章勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两直角边长分别为\(a\)，\(b\)，斜边长为\(c\)，那么\(a^2 + b^2 = c^2\)。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是直角三角形。
第二章实数1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。
2. 平方根：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；\(0\)的平方根是\(0\)；负数没有平方根。
3. 算术平方根：正数\(a\)的正的平方根叫做\(a\)的算术平方根，记作\(\sqrt{a}\)。
4. 立方根：如果一个数的立方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的立方根。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，\(0\)的立方根是\(0\)。
第三章位置与坐标1. 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
2. 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为\(x\)轴或横轴，竖直的数轴称为\(y\)轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
3. 点的坐标：对于平面内任意一点\(P\)，过点\(P\)分别向\(x\)轴、\(y\)轴作垂线，垂足在\(x\)轴、\(y\)轴上对应的数\(a\)，\(b\)分别叫做点\(P\)的横坐标、纵坐标，有序数对\((a,b)\)叫做点\(P\)的坐标。
4. 各象限内点的坐标的特征：点\(P(x,y)\)在第一象限：\(x>0\)，\(y>0\)；点\(P(x,y)\)在第二象限：\(x0\)，\(y>0\)；点\(P(x,y)\)在第三象限：\(x0\)，\(y0\)；点\(P(x,y)\)在第四象限：\(x>0\)，\(y0\)。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)
cbaD CAB第一章 勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长 发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。
知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）例1。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：例2。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：知识点四：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c bbbbccccaaaabbb ba accaaACBDAB如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。
若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。
1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 知识点六：勾股数（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7知识点七：确定最短路线1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .知识点八：逆定理判断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )ABCD A 'B 'C 'D 'BC5米3米1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2+ n 2, m 2– n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，水平距离AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43C 、0.2，0.3，0.4D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ． A815.在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ ．6.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，则高AD= ，S △ABC = 。
北师大版八上数学勾股定理复习(解析版)
专题一勾股定理【知识网络】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，E、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF＝45°，求证：222AE BF EF +=.解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△BCF，∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF′＝∠B＝45°，∴∠EAF′＝90°．∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝45°．∵∠ACF′＝∠BCF，∴∠ECF′＝45°．在△ECF 和△ECF′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴△ECF≌△ECF′(SAS)，∴EF＝EF′．在Rt△AEF′中，222AE F A F E ''+=，∴222AE BF EF +=．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：222BD AB BC =+.解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC＝AD，故点A 转至点C．点B 转至点E，连结BE．∵BD＝DE，∠BDE＝60°∴△BDE 为等边三角形，BE＝BD易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵四边形ADCB 中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE +=∴222BC AB BD +=2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8又∵PB 2=1，BE 2=9∴PE 2+PB 2=BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、(1)已知：如图1，，，求证：①(2)运用(1)的结论可以证明下列命题：已知：如图2，设M 是△ABC 内部任意一点，于G ，于K ，于，BD=BE ，CE=CF ，求证：AD=AF ．图１图２(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠AOC=∠BOD=90°∴(2)证明：连结AM ，BM ，CM∵AB ⊥DM ∴○1∵∴○2∵∴○3把○1○2○3三式相加，得222222DB AM CE BM AF CM +++++222222AD BM BE CM CF AM =+++++又∵，，∴4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴△GAB ≌△HCG∴∠GAB=∠H ，AB=CH又∵AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴△ABG ≌△ADE∴∠GAB=∠DAE在Rt ADF △中，设AD a =，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a a AF a =+=+==∴又544a HF CH CF a a =+=+=∴AF=HF∴∠FAH=∠H∴∠FAH=∠DAE∴∠BAF=2∠DAE举一反三：【变式】如图，已知等腰△ABC 的底边BC=20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD=16cm ，BD=12cm ，求△ABC 的周长.解：∵BC=20cm ，CD=16cm ，BD=12cm ，∴BD 2+DC 2=122+162=202=BC 2，∴∠BDC=90°，又∵AC=AB=BD+AD=12+AD ，在Rt △ADC 中，AC 2=AD 2+DC 2，即(12+AD)2=AD 2+162，解得AD=143，故△ABC 的周长为：2AB+BC=1533cm类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A、B 到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？解：作点A 关于直线CD 的对称点G，连接GB 交CD 于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．∵点G、A 关于直线CD 对称，∴AI＝GI，AE＝GE．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H，在直角三角形GHB 中，∵GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，∴由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴GB＝1000，即最短路程为1000米．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC 上有一点P，使EP＋BP 最短．求EP＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC 于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，即最短距离EP＋BP 也就是ED．∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4，∴AD＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+=．∵ED＞0，∴ED＝5，∴最短距离EP＋BP＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt△ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）．由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=DE＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2级．【巩固练习】一.选择题1.在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=，222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】C；【解析】连接AC，计算AC 2＝BC 2＝5,AB 2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°.3．在下列说法中是错误的（）A．在△ABC 中，∠C＝∠A 一∠B，则△ABC 为直角三角形．B．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形．C．在△ABC 中，若35a c =，45b c =，则△ABC 为直角三角形．D．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形．【答案】D；【解析】D 选项222224+≠，故不是直角三角形.4．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）A ．2900mB ．1200mC ．1300mD ．1700m 【答案】C；【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P ，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5.直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（）A．ab =h 2B．a 2+b 2=h 2C．111a b h+=D．222111a b h +=【答案】D；【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：abc h=．再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．进行等量代换，得a 2+b 2=222a b h ．两边同除以a 2b 2，得222111a b h +=．6．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于点D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2等于()A.25B.325C.2197D.405【答案】B；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325.7.已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（）A.()()2222221,4,1a m b m c m =-==+ B.()()222221,4,1a m b m c m =-==+C.()()222221,2,1a m b m c m =-==+ D.()()2222221,2,1a m b m c m =-==+【答案】B；【解析】()()22141m m m -+=+.8.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（）A.90B.100C.110D.121【答案】C；【解析】如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，长方形KLMJ 的面积为10×11=110．故选C ．二.填空题9.如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．【答案】6；【解析】延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为直角三角形．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．【答案】3；【解析】设点B落在AC上的E点处，设BD＝x，则DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，CE＝4，CD＝8－x，在Rt△CDE中根据勾股定理列方程．11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．【答案】14或4；【解析】当△ABC是锐角三角形时，BC＝9＋5＝14；当△ABC是钝角三角形时，BC＝9－5＝4. 12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD上的任意一点，则AP+EP 的最小值是cm．【答案】5【解析】作E点关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP的最小值5.13．如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14BC，∴AC=4cm，PC=34BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=5.14．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为1米，∠B=90°，BC=4米，AC=8米，当正方形DEFH 运动到什么位置时，即当AE=米时，有DC 2=AE 2+BC 2．【解析】连接CD ，假设AE=x ，可得EC=8﹣x ．∵DE=1，∴DC 2=DE 2+EC 2=1+（8﹣x ）2，AE 2+BC 2=x 2+16，∵DC 2=AE 2+BC 2，∴1+（8﹣x ）2=x 2+16，x =4916.15.已知长方形OABC，点A、C 的坐标分别为OA=10，OC=4，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，CP 的长为________．【答案】3，2，8；【解析】以O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形1OPD ，因为1OP ＝5，114PH OC ==，所以由勾股定理求得13OH =，所以13CP =，同理，以D 为等腰三角形的顶点，可求出232,8CP CP ==.如图所示.16.如图所示，在△ABC 中，AB＝5，AC＝13，BC 边上的中线AD＝6，∠BAD＝________.【答案】90°；【解析】延长AD 到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD．∴CM＝AB＝5AM＝2AD＝12在△ACM 中22251213+=即222CM AM AC +=∴∠AMC＝∠BAD=90°三.解答题17.如图所示，已知D、E、F 分别是△ABC 中BC、AB、AC 边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝4，AC＝3，32BD CD =，求：△ABC 的面积．【解析】解：∵32BD CD =，设BD＝3x ，则CD＝2x ，由AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，即AF＝3－2x ，AE＝4－3x ，∴3－2x ＝4－3x ，解得x ＝1．∴BC＝3x ＋2x ＝5又∵222345+=，即222AC AB BC +=∴△ABC 是直角三角形，∠A＝90°．∴1143622ABC S AB AC ==⨯⨯= △18．如图等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一个动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直．解：如图，作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，∵BC=8cm ，∴BD=CD=BC=4cm ，∴AD=3，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA ⊥AC 时，∵AP 2=PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2.25，∴BP=4﹣2.25=1.75=0.25t ，∴t=7秒，当点P 运动t 秒后有PA ⊥AB 时，同理可证得PD=2.25，∴BP=4+2.25=6.25=0.25t ，∴t=25秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．19.有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ,①如图1，现将纸片沿直线AD 折叠，使直角边AC 落在斜边AB 上，且与AB 重合,则CD ＝_________.图1图2②如图2，若将直角∠C 沿MN 折叠，使点C 落在AB 中点H 上，点M、N 分别在AC、BC 上，则2AM 、2BN 与2MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.解：①3；②2AM ＋2BN ＝2MN证明：过点B 作BP∥AC 交MH 延长线于点P，连接NP，∴∠A＝∠PBH 在△AMH 和△BPH 中∠A＝∠PBHAH＝BH ∠AHM＝∠BHP ∴△AMH≌△BPH ∴AM＝BP，MH＝PH 又∵NH⊥MP ∴MN＝NP∵BP∥AC，∠C＝90︒∴∠NBP＝90︒∴222NP BNBP =+∴2AM ＋2BN ＝2MN20.如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB＝6cm ，CD＝15cm ，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D 四点处是可以活动的）.现固定AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点C 在线段AD 上（如图2）；位置二：当点C 在AB 的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC 的长为x ，请用x 的代数式表示AD 的长；（2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，BC、AD 边的长．解：（1）∵在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，BC＝x ，∴在图2中，AC＝BC－AB＝x －6，AD＝AC＋CD＝x ＋9．（2）位置二的图形见图3．（3）∵在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，∴在图3中，BC＝x ，AC＝AB＋BC＝6＋x ，AD＝x ＋9．在△ACD 中，∠C＝90°由勾股定理得222AC CD AD +=．∴222(6)15(9)x x ++=+．整理，得2212362251881x x x x +++=++．化简，得6x ＝180．解得x ＝30．即BC＝30．∴AD＝39．【课后练习】一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高()A.5mB.7mC.8mD.10m【答案】C；2．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为()A.15B.16C.17D.18【答案】C；【解析】距离为222815289AB =+=,AB=173.放学以后，小红和小颖分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若两人行走的速度都是40m/min ，小红用15min到家，小颖用20min 到家，则小红和小颖家的距离为（）A.600mB.800mC.1000mD.不能确定【答案】C；【解析】OA=40×20=800m ，OB=40×15=600m ，在直角△OAB 中，AB=1000m .4.如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F 是中线AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6B．12C．24D．30【答案】A；【解析】由题意BEF CEF S S =△△，∴13462ABD S S ==⨯⨯=△阴影．5．下列三角形中，是直角三角形的是()A.三角形的三边满足关系a b c +=B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，41【答案】D；6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要()A.450a 元B.225a 元C.150a 元D.300a 元【答案】C；【解析】作高，求得高为15m ，所以面积为120151502⨯⨯=2m .7.如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC 是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对【答案】A；【解析】AC 2＝13，AB 2＝52，BC 2＝65，满足勾股定理.8.已知，如图长方形ABCD 中，AB＝3cm ，AD＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.32cmB.42cmC.62cmD.122cm【答案】C；【解析】设AE＝x ，则DE＝BE＝9－x ，在Rt△ABE 中，.二.填空题9.根据下图中的数据，确定A=，B=，x=．【答案】225；144；40；【解析】根据勾股定理直接求解即可．10．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．【答案】8；11．如图，B，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．【答案】30；12．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【答案】132cm ；【解析】由题意()222111n n +=+，解得60n =，所以周长为11＋60＋61＝132.13.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是162cm ，则其中最大的正方形的边长为______cm ．【答案】4；【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.14．如图，平面上A、B 两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C 处有食物，已知点C 在A 的东南方向，在B 的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B 两地出发爬向C 处，速度都是30cm ／min.结果甲蚂蚁用了2min，乙蚂蚁2分40秒到达C 处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______cm .【解析】依题知AC＝60cm ，BC＝80cm ，∴AB 2＝602+802＝1002，AB=100cm ．15.小明要把一根长为70cm 的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm 的木箱中，他能放进去吗？（填“能”或“不能”）．【解析】可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．16．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．【答案】81；三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，由勾股定理得：()()2223420x x +=化简得：216x =∴直角三角形的面积为：21346962x x x ⨯⨯==.18．如图，两个村庄A、B 在河CD 的同侧，A、B 两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．解：作A 点关于CD 的对称点A′，连结A′B，与CD 交点为O．222223(13)255A B A E BE A B ''=+=++='=所以铺设水管的总费用W 为20000×5＝100000＝10万元.19．如图，△ABC 中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB 到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD 的长．解：设BD＝x ，则CD＝30－x ．在Rt△ACD 中根据勾股定理列出()222(30)1020x x -=++，解得x ＝5．所以BD＝5.20.如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，B '为CD 边上的点，C B '＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B '处，点A 的对应点为A '，折痕分别与AD，BC 边交于点M，N．求BN 的长.解：点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称，∴AM A M '=，BN B N '=．设BN B N x '==，则9CN x =-．∵正方形ABCD ，∴o 90C ∠=．∴222CN B C B N ''+=．∵C B '＝3∴222(9)3x x -+=．解得5x =．∴5BN =.21.综合与实践21。
1.3 勾股定理的应用 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册
破 设 AE 为 x km，则 BE=（25-x） km，所以 x2+102=（
25-x）2+152，
解得 x=15，所以 E 站应建在距A 地 15 km 处．
1.3 勾股定理的应用
重 思路点拨 难 题 型 突 破
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1.3 勾股定理的应用
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重 解题通法
难 题
键.
型
突
破
利用勾股定理列方程是解决此类型题的关
原理 两点之间线段最短
1.3 勾股定理的应用
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考
对点典例剖析
点 清
典例1 如图所示的是一个长方体盒子，其长、宽、高分
单 解
别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点
A，B
处，不计线
读 头，求细线的最短长度.
1.3 勾股定理的应用
考 ［解题思路］ 点 清 单 解 读
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1.3 勾股定理的应用
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考 ［答案］ 解：如图，连接 AB′，则 AB′
点
清 即为所用的最短细线长，AA′=4+2+4+2=12，
单 解
A′B′=AB=9，
由勾股定理，
读
得 AB′2=AA′2+A′B′2=122+92=225，则AB′=15，即细
线的最短长度为 15．
1.3 勾股定理的应用
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考 ■考点二 勾股定理的实际应用
单 解
一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边时，可设未知
读 数，根据勾股定理建立方程，通过解方程回目录
考
对点典例剖析
点 清
典例2 如图，台风过后，一棵白杨树在某处折断，白杨
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勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系。
③作长为n 的线段。
（利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。
） 2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。
要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c ）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。
若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。
补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。
（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。
如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。
（2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可，不必专门训练.二、本章解题技能归纳1、直角三角形的性质与判定小结 （1）直角三角形的性质：角的关系：直角三角形两锐角互余。
边的关系：直角三角形斜边大于直角边。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
双垂图：双垂图中的线段关系。
（2）直角三角形的判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形。
②有两个角互余的三角形是直角三角形。
③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。
2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c ，由勾股定理知道：222c b a =+。
变形得：222222,,b a c a c b b c a +=-=-=，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。
3、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边 （1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：2:3。
（2）含有45°的直角三角形的三边的比为：2:1:1。
（3）等边三角形的边长为a ，则高为23a ，面积为243a 。
三、阅读与思考——“希波克拉底月牙形”（1如左图：∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积S1,S2,S3有什么关系？ 答：（2）如图：∠C=90°，△ABC 的面积为20，在AB 的同侧，分别以AB,BC,AC 为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为勾股定理知识技能和题型归纳（二）——题型一、基础练习（要求熟练掌握）1、在ΔABC 中，a ,b ,c 为三边长.(1)当∠A =90°时，三边关系 . (2)当∠C =90°时，三边关系 .(3)当222b c a =+时， =90°.2、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC=a,AC=b,AB=c . （1） 已知a =5,b =12,则c = ; （2） 已知b =6,c =10, 则a = （3） 已知a =2,c =5,则b = ；（4） 已知a =15,b=20, 则△ABC 的周长= ； （5） 已知a =2, c =, 则△ABC 的面积= ； （6） 已知a : c =3:5, a + c =32, 则b = ;（7） 已知c =10, a : b =3:4, 则a = , b = ，斜边上的高= 。
3、已知△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =5， 求AB 的长。
4、在△ABC 中，∠C =90°，AB =20。
（1）若∠B=45°，求BC 、AC 。
（2）若∠A =60°，求BC 、AC 。
ba5、求下列图中未知数x 、y 、z 的值：x= ;y= ; z = ;二、与其它章节知识的联系6、在△ABC 的三边 c b a ,,，且442222b a c b c a -=-，判断△ABC 的形状。
7、若△ABC 的三边c b a ,,满足条件c b a c b a 262410338222++=+++，判断 △ABC 的形状。
8、△ABC 的三边c b a ,,，满足c a b b a ,161210022+=++边的长是55352-+=-x x x 的解，求△ABC 中最大角的度数。
9、用本章学过的知识判断直线33+=x y 与331+-=x y 的位置关系，说明理由。
10、在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？11、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
12、如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25千米，C、D为两个村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=15 千米，CB=10千米，现要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村到E的的距离相等，则E应建在距A多少千米处？13、在河L的同侧有两个仓库A、B相距1640米，其中A距河210米，B距河570米，现要在河岸上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最短，问：这个最短路程是多少？码头应建在何处三、典型数学思想、方法的训练(一)方程思想进行计算14、小明用一根长30厘米的绳子折成三段，围成一个三角形，他用尺子量了一下，其中一条线段的长度比较短线段长7厘米，比较长线段短1厘米，请你帮助小明判断一下，他围成的三角形是直角三角形吗2，求15、已知△ABC中，∠C=90°，D、E分别为BC、AC 的中点，AD=5，BE=10AB的长.16、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。
这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少？17、如图所示．已知：在正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，作EF ⊥AC 于F ，作FG ⊥AB 于G ．求22FG AB 的值．(二)构造直角三角形18、已知△ABC 中，AB =8，AC =7，BC =6，求△ABC 的面积。
19、已知△ABC 中，∠B =30°，∠C =45°，AB －AC =2-2，求BC 的长。
20、已知：如图，AB＝AC＝20，BC＝32，D为BC边上一点，∠DAC＝90°．求BD的长．21、（1）写出三种用“构造斜边长为7的直角三角形的方法”作长为7的线段的方案。
（2）能否通过“构造直角边长为7的直角三角形的方法”来作长为7的线段？若能，写出三角形的三边；若不能，说明理由。
DB（3）在（1）中，作长为7的线段，往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为7的线段，对于正整数k ，能否通过构造两边均为有理数的直角三角形求出作长为k 的线段？若能，请写出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说明理由。
(三)勾股定理与变换22、已知矩形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在同一平面内C '处，BC '与AD 交于点E ，AD=8，AB =4，求DE 的长。
1)()(231221=+h h h h23、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种证明方法。
如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到'''D C AB 的位置，连结'CC ，设c AC b BC a AB ===,,，请利用四边形''BCC D 的面积证明勾股定理。
24、△ABC 中,CD 是AB 边上的中线，AC =8，BC =6，CD =5，判断△ABC 的形状。
(四)面积法: 25、设321,,h h h 表示三角形的三条高，如果 ，那么这个三角形是什么三角形？26、证明：直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和。
27、已知：平面直角坐标系xOy 内，点A （0-），B ），C (0,－3)， （1）判断ABC ∆的形状并说明理由；（2）若点D 的坐标为(4)-，求BCD ∆中CD 边上的高h 的值.28.如图，已知直线133+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ΔABC , ∠BAC =90O,且P (1,a )为坐标系中的一个动点.(1)求ΔABC 的面积ABC S ；(2)证明不论a 取任何实数，ΔBOP 的面积是一个常数； (3)要使得ΔABC 和ΔABP 的面积相等，求实数a 的值.(五)代数计算证明几何问题:29、求证：直角三角形中两直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．FA30、如图△ABC 中，∠C =90°，M 是CB 的中点，MD ⊥AB 于D ， 请说明三条线段AD 、BD 、AC 总能构成一个直角三角形。
31、正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，AF =AD 41，求证：CE ⊥EF .32、（1）已知：如图，CD ⊥AB ，OA ＞OB ， 求证：①2222BC AD BD AC +=+；②2222AC BC AD BD -=-.AB（2）运用（1）的结论可以证明下列命题：已知：如图，设M是△ABC内部任意一点，MD⊥AB于G，ME⊥BC于K，MF⊥CA于H，BD=BE，CE=CF，求证：AD=AF；(六)图形的割、补与拼图33、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=52，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。