含有势垒的一维无限深方势阱的矩阵解法
16-3 一维势阱和势垒问题
]
ψ1 = A1 e + B1 e
ik1x
−ik1x
− ik 2 x
1
( x < 0)
( x > a)
U
通解: 通解
ψ 2 = A2 e
ik 2 x
1
+ B2 e
(0 ≤ x ≤ a )
U0
ψ 3 = A3 eik x + B3 e − ik x
处无反射波： 由 x > a 处无反射波： B 3 = 0 令 A1 = 1（以入射波强度为标准） 以入射波强度为标准） 由波函数的 标准条件得 O 可解得
§16-3 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中， 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该 区域内可以自由运动的问题 →简化模型。 →简化模型 简化模型。 例如： 例如： 金属中自由电子 受规则排列的晶格点阵作用 简化：交换动量) 简 相互碰撞 (简化：交换动量) 化 只考虑边界上突然升高的势 能墙的阻碍 —— 势阱 认为金属中自由电子不能逸出表面 ——无限深势阱 无限深势阱
2 2πx p = ∫ |ψ | d x = ∫ sin dx a a 0 0
4 4 2 a a
2a πx 2 πx = ∫ sin d( ) aπ a a 0
4
a
1 πx 1 2 2 2π x = ( − sin ) π a 4 a
a
4
= 9.08 × 10 −2
0
练习： 练习
已知： 已知：
ψ = cx ( L − x )
A A2 ∞ 2 dx = ∫ dx = A arctg x − ∞ = A2π = 1 ∫∞ 1 + ix 1 + x2 − −∞
2-6 一维无限深方势阱
0 ~ a 上的连续函数，都可以用正弦函数(35)来展开。
从细节上讲， 傅里叶级数是对周期函数进行展开， 所用的三角函数也是定义在无穷区间 上的周期函数。 比如， 已知函数 f x 在 0 ~ a 上的定义， 先将 f x 作奇延拓， 即在 a ~ 0 上，定义 f x f x ，然后将函数以 2a 为周期延拓到整个实轴上。因为是奇函数， 所以傅里叶级数中只出现正弦，基波周期为 2a 。这里我们只关注势阱内部分，将 f x 用 本征函数组(35)展开。当然，也可以对 f x 作偶延拓，再作周期性延拓，这样会得到余弦 级数；或者直接以 a 为周期作周期性延拓，得到标准形式的傅里叶级数，此时基波的周期为
通常把正交性和归一性合并为
ψn x ψm x dx 0
(29)
称本征函数组 ψ n x , n 1, 2, (4) 本征函数组
n
ψn x ψm x dx nm
(30)
是正交归一的。
ψ x , n 1, 2, 是完备的。也就是说，任何在势阱内的连续函数
i
Ent
, x a
(36)
利用欧拉公式，可以将其改写为指数形式
n x, t C1 exp x Ent C2 exp x Ent , x a (37) 2a 2a
1 nπ sin x , ψn x a 2a 0,
势阱宽度仍为 2a ，可以做参数替换 a 为
0 x 2a x 0, x 2a
(33)
a 将势阱宽度变为 a ，此时能级和能量本征函数变 2
163一维势阱和势垒问题
0,
mn mn
克罗内克符号
二、势垒穿透和隧道效应
有限高的方形势垒
数学形式：
U
(
x)
0,
U 0 ,
图形形式：
x 0(P区),x a(S区) 0 x a(Q区)
U
考虑粒子的动能 E小于势垒高
U0
度 U0的情况。（ E < U0 ）
E
PQ S
o ax
U (x) 0, x 0和x a
1
(0 x a)
(x 0及x a)
2
势阱内 0 < x < a
d 2 1
dx2
2E
2
1
0
势阱外 x ≤ 0 ;x ≥a
2 0
理由:因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d 2
d x2
2E
2
0
E是粒子的总能量，E > 0，令 k
定态薛定谔方程变为
d 2
一维无限深方势阱的图形表达形式 ：
∞∞
U(x)
粒子只能在宽为 a 的两个无限 高势壁间运动，这种势称为一 维无限深方势阱。
0
ax
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
2
2
2
U
(r)
(r )
E
(r )
————定态薛定谔方程
①列出各区域的定态薛定谔方程
若在样品与针尖之间
加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势
垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
21-6一维无限深势阱
量子论观点：
Ψ (x)
当 n 很大时， 量子概率分 布就接近经 典分布 02 2 n Ψ( x) 源自 sin ( x) a a2
Ψ (x)
2
n =4 n =3 n =2
a n =1
0
a
例题1、 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大值 的位置。 解：一维无限深势阱中粒子的概率密度为
2 n ( n) a sin 2 2 n a
0 xa
x 0, x a
( x) 0
o
a
x
二、方程的求解 当x<0时：
当0≤x≤a时：
d ( x) 2m 2 E ( x) 0 2 dx
2
当x>0时： 令
( x) 0
k 2 2m E
2
则
d 2 ( x) 2 k ( x) 0 2 dx
x
n 1,2,3,
将上式对x求导一次，并令它等于零
d n ( x ) dx
2
x 0
4 m a2
sin na x cos na x 0
0 x a , sin na x 0 cos na x 0
因为在阱内，即 只有
于是
n a
x (2 N 1) 2
四、讨论 1、粒子能量不能取连续值 能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所 具有的性质。 2、粒子的最小能量不等于零 最小能量
n 2 2 E1 2 2ma
也称为基态能或零点能。
零点能的存在与不确定度关系协调一致。
3、粒子在势阱内出现概率密度分布 经典观点：
不受外力的粒子在0到 a 范围内出现概率处处相等。
16-3一维势阱和势垒问题解读
x a
a x
第k激发态(n=k+1)有k个节点。
（2）一维无限深势阱 的粒子位置概率密度 分布
1
2
n 1
0 2 2 n 2 a
2
x
0 无数峰：量子 经典均匀分布 0
a a n 1，x 处，几率最大 0 3 2 b n ，峰数 ，当n 时，
4
U0
II
III
o
a
x
而在微观粒子的情形，却会发生反射。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）E<U0 从解薛定谔方程的结果来看，在 势垒内部存在波函数2。即在势垒内 部找出粒子的概率不为零，同时，在 x>a区域也存在波函数，所以粒子还 I 可能穿过势垒进入x>a区域。
V
V0
II
III
o
a
x
粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的 现象称为隧道效应。
式中 A和α是待定常数，由边界条件和归一化条 件确定。
( x) A sin( kx )
从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波 函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0。 考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即
(0) 0, (a) 0
————边界条件
(0) 0
这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维 无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式 给出的那些分立的值 En（体系的能量本征值）时， 相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系 的能量是量子化的，亦即体系的能谱是分立的。
2
2
2 2 2
( x) A sin kx
nx n ( x) A sin( ) a
【大学物理】§3-2薛定谔方程 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
一维无限深势阱
n*dx
=
a −a
A sin ⎢⎣⎡
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤dx
= aA2 = 1
A= 1 a
ψn =
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
ψ
n
( x, t )
=
ψ
− i Et
ne h
=
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤
⋅
−i
eh
Et
En
=
n2π 2h 2 8μA2
ΔEn
=
En +1
§2.6 一维无限深势阱 （1） 序
一维运动 相互作用用势函数 U 表示
势场
⎧散射场 ⎩⎨束缚态
势垒
方形势阱
⎧方形势阱 ⎪⎪谐振子势阱 ⎪⎨δ 阱 ⎪⎩周期阱
一维无限深势阱，图 2.1 所示
Fig 2.1 一维无限深势阱
（2） 一维无限深势阱 在一维空间中运动的粒子，粒子在一定区域内（x=-a 到 x=a）为零，而在此区域外，势能为无
a −a
⎢⎣⎡cos
n
+ n′ 2a
(
x
+
a)
−
cos
n
− n′ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
dx
=0
——此即为波函数的正交条件。
8．波函数可视为两波波函数的迭加
ψ = c e + c e i h
(
nπh 2a
−
Ent
)
−
52_6半无限深势阱_一维势垒
ϕ1 ( x) = Ae + r e
ikx
1
−ikx
,
x≥a
x≤0
0≤ x≤a
ϕ2 ( x) = Cek x + De−k x ,
1
ϕ 1 (0) = ϕ 2 (0)
ϕ3 ( x) = te ,
ikx
ϕ 2 (a ) = ϕ 3 (a )
dϕ 1 ( x ) dϕ 2 ( x ) |x=0 = |x=0 dx dx
例如，电子可逸出金属表面， 例如，电子可逸出金属表面， 在金属表面形成一层电子气。 在金属表面形成一层电子气。 7
怎样理解粒子通过势垒区? 怎样理解粒子通过势垒区 经典物理：粒子不能进入E 的区域(动能 经典物理：粒子不能进入 < U的区域 动能< 0)。 的区域 动能< 。 量子物理：粒子有波动性，遵从不确定关系， 量子物理：粒子有波动性，遵从不确定关系， 粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。 粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。 只要势垒区宽度∆ 不是无限大， 只要势垒区宽度∆ x = a 不是无限大， 粒子能量就有不确定量∆ 粒子能量就有不确定量∆E
U ( x)
U0
方程的解必处处为零,根据 方程的解必处处为零 根据 波函数的标准化条件， 波函数的标准化条件，在边界上
ϕ ( x) = 0
x≤0
E2 E1
o
a
x
2、在0<x<a 区域粒子势能为零，定态薛定谔方程 、 区域粒子势能为零，
− ℏ 2 d 2ϕ ( x ) = Eϕ ( x ) 2 2m dx 0< x<a
ℏ 2 d 2ϕ 3 ( x ) − = E ϕ 3 ( x ), 2 2 m dx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
含有势垒的一维无限深方势阱的矩阵解法
朱昌勇
【摘要】无限深方势阱是量子力学中一个非常重要的模型,采用矩阵力学的方法解出了含有势垒的一维无限深方势阱的归一化波函数和能级,并且讨论了势垒趋于δ势垒时能级的情况.
【期刊名称】《韶关学院学报》
【年(卷),期】2016(037)002
【总页数】6页(P1-6)
【关键词】无限深势阱;波函数;势垒
【作者】朱昌勇
【作者单位】韶关学院物理与机电工程学院,广东韶关512005
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
一维对称无限深方势阱是量子力学中最基本的问题之一，大部分的量子力学都有讲述，而且可以通过奇偶性求得其解析解［1-3］.但是对于含有方势垒的一维无限深方势阱的讨论就比较少，本文通过矩阵力学的方法求得其归一化波函数和能级，并且对一种极限情况：即方势垒趋于势垒时粒子的能级进行了讨论.
设质量为m的粒子在一个含有方势垒的一维无限深势阱中运动，设势能为：
其中，L为势阱半宽度，为势垒半宽度，为势垒高度，如图1所示.粒子满足的定态薛定谔方程为：
其中，E为粒子的能量.利用该方程可以求出粒子的能级和波函数.下面就两种情况（）进行求解.
1.1的情况
令：，则粒子在势阱内满足的定态薛定谔方程可简写为：
在势阱外，由于，所以波函数应该恒为零.即：
所以，满足边界条件（2）的势阱波函数的通解可分别写为：
根据连续性边界条件：在处，有：
即：
在处，有：
即：
将式（4a）、（4b）、（5a）、（5b）表示为矩阵方程的形式：
方程有非零解的条件是式（6）系数矩阵的行列式等于零，进而可以得到：
其解为：
此外注意到，与粒子的总能量E无关.为了求得粒子的能量本征值，可以引入两个新的参量和，令，则结合（8a）和（8b）可以得到：
由此可以求出粒子的能级.
将代入式（6），可以得到其基础解系为：
所以粒子满足的波函数为：
由归一化条件，可知：
将式（9a）～（9c）代入式（10）可得：
将代入式（6），可以得到其基础解系为：
则粒子满足的波函数为：
将式（12a）～（12c）代入式（10），可得：
1.2的情况
令，则粒子在势阱内满足的定态薛定谔方程可简写为：
满足边界条件（2）的势阱波函数的通解可分别写为：
根据连续性边界条件，在处，可以得到：
将式（16a）、（16b）、（16c）、（16d）表示为矩阵方程的形式：
方程有非零解的条件是式（17）系数矩阵的行列式等于零，进而可以得到：
其解为：
此外有，与粒子的总能量E无关.为了求得粒子的能量本征值，引入两个新的参量和，令，则结合（19a）和（19b）可以得到：
由此可以求出粒子的能级.
将代入式（17），从而可以得到其基础解系为：
所以粒子满足的波函数为：
将式（20a）～（20c）代入式（10）可得：
将代入式（17），可以得到其基础解系为：
则粒子波函数为：
将式（22a）～（22c）代入式（10）可得：
现讨论，但为有限值时粒子能级的情况，此种极限情况相当于无限深势阱内在处存在一个势垒.
此时，对于式（8a），其右边：
所以式（8a）可变为：
对于式（8b），其右边：
所以，即：.从而可以有其解为.利用，可以得到其能级为
此种情况与无势垒的一维无限深方势阱的能级相同，即相当于此时势垒不起作用. 本文采用矩阵方程表述的方法求解了含有势垒的一维无限深方势阱中粒子运动的波函数和能级，并且讨论了当，但为有限值（即相当于存在一个势垒）的情况，通过
对式（8b）的处理发现此时势垒对运动粒子的能级不起作用.
【相关文献】
［1］周世勋. 量子力学教程［M］.2版.北京：高等教育出版社，2009：26-29. ［2］苏汝铿. 量子力学［M］. 上海：复旦大学出版社，1997：37-40.
［3］曾谨言. 量子力学：卷Ⅰ［M］. 3版.北京：科学出版社，2001：88-92.。