量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒
量子力学2.6一维无限深势阱
2008.5
Quantum Mechanics
a、偶宇称态 由于这里内外解
(
2 (x)
x)和 '(
~ cos kx
x)在 | x | a
| x | a 2
处是连续的，
2
更方便的方法是取 ' 连续或 (ln )' 连续。
因此在x
a 处，有 2
ln(cos
kx)
' x a
2
ln(
ex
)
' x
a
，得
2
k tan ka
2
（5）
在x a 处，结果同上。 2
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令 则(5)式化为
ka， a
2
2
tan
（6）
（7）
由
2m(V0
E)
,
k
2mE
有
2mV0 2k 2
再利用(6)式,有
2
2
mV0 a 2 2 2
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(8)
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写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E ) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
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考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
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一维无限深势阱
6.ξ一维无限深势阱考虑一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内：0,,x x a U x a⎧<⎪=⎨∞≥⎪⎩ 如右图这种势叫一维无限深势阱因x U 不含 t ，属于定态问题。
体系所满足的定态薛定谔方程是：()2222d E x a dx ψψμ-=<① ()22022d U E x a dx ψψψμ-+=≥② ②中，0U →∞由波函数应满足的连续性和有限性条件，只有当ψ=0时，②式才能成立，所以，有：ψ=0，x a ≥现求解①式，改写为：2221222222020sin cos ,d E dxE d x a dx A x B x x aψψμψμααψψαα+=⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭=+<令：则：，其解为： （本身上方说的解可表为如下振荡函数形式：sin x α，cos ,i x x e αα±，但因现在势阱具有空间反射不变性，()()x x U U -=能量本征函数必定有确定的宇称曾书——P49——所以，只能取sin x α，或cos x α的形式。
根据ψ的连续性，因②式得ψ=0，x a ≥，于是：,sin cos 0sin cos 0sin 0cos 0x a A a B a x a a B a a B a αααααα=+==-+===时时，A 两式相减，得：A 两式相加，得： 因A,B 不能同时为0，否则，sin cos A x B x ψαα=+处也为0，这在物理上无意义。
（物理问题对ψ的要求）所以，得到两组解：⑴0,cos 0A a α== ⑵0,sin 0A a α==对第⑴组解，有,1,3,5.......2n a n απ==对第⑵组解有：,2,4,6 (2)n a n απ== 合并，即有：,1,2,3,4,5 (2)n a n απ==其中对⑴组，n 取奇数，对第⑵组n 取偶数，注意，n 不能取0，否则ψ=0，将2n a απ=代回1222E μα⎛⎫= ⎪⎝⎭，得体系的能量本征值为：2222,8n n E n a πμ=为整数这说明，并非任何E 值所相应的波函数都能满足本问题所要求的边条件，而只能取上式给出的那些分立值n E ，此时的波函数在物理上才是可接受的。
量子力学第三章
当 x a 或x 0，方程中含有 x 项
因 (x) 及 E 有限
( x) 0
（3）
从物理考虑，粒 子不能透过无穷 高的势壁
13
一维无限深势阱 方程（1）
当 0 xa
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
束缚态：0<E<V0
0, V ( x) V0
d 2 k 2 0 dx 2 2mE k
General Solution
V(x)
x a/2 x a/2
I
V 定理3：设 V x 具有空间反演不变性， x V x 。
4
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
宇称
空间反射：空间矢量反向的操作。
r r
(r , t ) (r , t )
归一化条件
A 2
a
17
一维无限深势阱
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
推导:
| n x | dx
2
a 2
0
| n | dx | n | dx | n | dx
2 2 2 0 a
ˆ 定义：空间反射算符，又称宇称算符 P ：
ˆ (r , t ) (r , t ) P
5
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
量子力学中的无限深势阱问题
量子力学中的无限深势阱问题量子力学是描述微观世界的物理学理论，它在解释和预测微观粒子行为方面具有重要的作用。
其中，无限深势阱问题是量子力学中的一个经典问题，它帮助我们理解波函数的性质以及粒子在势场中的行为。
无限深势阱问题是指一个粒子被限制在一个势能在某个区域内为无限大，在区域外为零的势场中运动。
这个问题可以用一维的情况来描述，假设势阱的宽度为L，那么势阱内的势能函数可以表示为：V(x) = 0, 0 < x < LV(x) = ∞, x < 0 或者 x > L在经典力学中，粒子在势场中的运动是由牛顿第二定律描述的，而在量子力学中，粒子的运动状态由波函数来描述。
波函数是量子力学中的基本概念，它是一个复数函数，可以用来描述粒子的位置和动量。
对于无限深势阱问题，我们可以使用定态薛定谔方程来求解。
定态薛定谔方程可以表示为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)其中ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ψ(x)是粒子的波函数。
在势阱内部，势能V(x)为零，因此定态薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² = Eψ(x)这是一个简化的定态薛定谔方程，可以通过求解这个方程来得到粒子在势阱内部的波函数。
根据边界条件，当x=0或者x=L时，势能V(x)为无穷大，因此波函数必须为零。
这意味着在势阱的两个边界处，波函数的值为零。
根据上述条件，我们可以得到波函数的一般形式为：ψ(x) = A * sin(kx)其中A是归一化常数，k是波数，可以通过边界条件来确定。
当x=0时，波函数为零，因此有sin(0) = 0，这意味着kx = 0，即k = 0。
当x=L时，波函数为零，因此有sin(kL) = 0，这意味着kL = nπ，其中n是一个整数。
通过边界条件，我们可以得到k的取值为：k = nπ/L由于波函数必须是归一化的，我们可以通过归一化条件来确定归一化常数A。
【大学物理】§3-2薛定谔方程 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
量子力学专题三(一维势场中的粒子)
量子力学专题三：一维势场中的粒子一、一维薛定谔方程边界条件和处理办法（熟练掌握）1、边界条件：A、束缚态边界条件：在无穷远处，找到粒子的概率为零，相应的波函数的值应该趋近于零；B、连续性边条件：a、波函数连续；b、波函数的一阶偏导数连续。
（注意：不一定同时成立！！）C、周期性边界条件：在求解角动量l分量的本征函数时，利用周期性边界条件可以确z定本征函数的归一化常数；在求解转子的能量本征函数时，亦可以利用周期性边界条件来确定其归一化常数。
2、处理方法：A、列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解；B、根据束缚态边条件，选择适合的解；C、根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；D、写出本征函数和对应的能量本征值。
二、一维方势阱：1、一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论（熟练掌握） A 、非对称势阱： a 、解题步骤：（1）写出各个区间的能量本行方程； （2）根据写出的微分方程，求出其通解；（3）根据连续性边界条件，确定其相位及其能量本征值的取值； （4）根据概率诠释，对波函数进行归一化处理，确定待定常数； （5）写出能量本征方程和对应的能量本征值。
b 、具体过程：)0(),0(0)(a x a x x x V <<><⎩⎨⎧∞=（1）列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解； 在0<x 和a x >区间，波函数为：0)(≡x ψ在ax <<0区间，能量本征方程为：)()(2222x E x dxdm ψψ=-对其变形，得2=+''ψψk其中，mE k2=（0>E ）。
解得： )sin()(δψ+=kx A x（2）根据束缚态边条件，选择适合的解；此处的束缚态边条件，即粒子在无穷远处出现的概率为零，在求解本征方程——在0<x 和a x >区间，波函数为：0)(≡x ψ——时已经应用了！（3）根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；在0=x 处，波函数连续，有0sin )0(==δψA ，则有0=δ。
薛定谔方程
经典力学与量子力学的比较 经典力学
量子力学
研究对象
宏观物体，在一 具有波粒二象性 定条件下可看成 的微观粒子 质点
运动状态描写 坐标（x,y,z） 动量（p）
波函数ψ(x,y,z,t) |ψ(x,y,z,t)|2代表 时刻t在空间某 处的几率。
运动方程即状态 随时间变化规律
牛顿方程
薛定谔方程
三、一维无限深势阱
图3.2.1 无限深势阱
(3.2.3)
(3.2.4)
式中，A，δ为待定常数，为确定A与δ之值，利用ψ的边界条 件及归一化条件。从物理上考虑，粒子不能透过势阱，要求在 阱壁及阱外波函数为零，即
即
上式舍去了n=0和n为负值的情况
(3.2.5)
这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。 又由归一化条件
二、定态薛定谔方程
在势能V不显含时间的问题中，薛定谔方程可以用一种 分离变数的方法求其特解，令特解表为
代入下式，并把坐标函数和时间函数分列于等号两边：
令这常数为E，有
（10）
于是波函数ψ(r,t)可 以写成
与自由粒子的波函数比较，可知上式中的常数E就是能量， 具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态.在定态中几 率密度｜ψ(r,t)｜2=｜ψ(r)｜2与时间无关。另一方面， (10) 式右边也等于E，故有
把(1)对t取一阶偏微商 如果自由粒子的速度较光速 小得多，它的能量公式是 p2/2m=E，两边乘以ψ，即得
（2） （3）
（4） （5）
把(3)和(4)代入(5)
得到一个自由粒子的薛定谔方程。 对于一个处在力场中的非 自由粒子，它的总能量等于 动能加势能
两边乘以ψ
自由粒子的薛定 谔方程可以按此式 推广成
定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子
2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2
故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限
3. 连续性；
V0
x, t
2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
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t
r 的任意性，
i df (t ) A f (t ) dt i
其解为 即
f (t ) Ce
At
,
i At
( r , t ) ( r )e
对照自由粒子的波函数可知，常量 的总能量： A E.
A
就是粒子
8
那么，定态波函数
其中不含时间部分 (r ) (通常也称定态波函数)
令
2 2
其通解：
( x) C1 cos( Kx C 2) .
a Ka 连续性： ( ) C1 cos( C 2) 0, 2 2 a Ka ( ) C1 cos( C 2) 0, 2 2
另外，
C1
一定不能为零。 ???
Ka n , n 1,2,3,... 为何不为负??? C 2 l / 2, l 为整数， 但奇偶性与n相反 .
2
2 V (r , t ) (r , t ) i (r , t ) 2m t
来源：基本假定之一，不可证明，只可检验。 地位： 低速运动微观粒子的基本规律，地位同牛顿 定律。 成功解释氢原子能级和电（磁）场中氢原子光谱 线的分裂，分享1933年Nobel物理奖。 6
2
其通解为
其中
( x) A cos( kx ).
2
k 2mE / ; 当 x 0 及 x L 时， V ( x) V 0 , 方程变形为 2 d ( x ) 2m 2 (V 0 E ) ( x) 2 ( x) 2 dx
其通解为
其中
( x) Be
非相对论极限下，自由粒子能量 – 动量关系：
2 P E . 2m
进行替换、并作用于波函数，得
2 (r , t ) i (r , t ) . 2m t
2
5
在外力场中：
2 P E V (r , t ) 2m
薛定谔方程(1926)：
进行替换、作用于波函数
下 ,其总能量E满足的关系式， 并由此说明能量是否连续。 解： 一维定态薛定谔方程： 2 2
V0
E m,
O
L
X
d [ V ( x)] ( x) E ( x). 2m dx 2 当 0 x L 时， ( x) 0, 方程变形为 V
18
d ( x) 2mE 2 2 ( x ) k ( x) 2 dx
C1 2 / a .
12
粒子的动量：
n K . Pn 2mE n a
h Pn
粒子的德布罗意波长：
n
2a / n 2 / K .
粒子的能量、动量、德布罗意波长 ( 及频率 ) 均是量子化的。 其中最小能量和最小动量皆不为零， 正是不确定度关系的反映。
7
2 2m V (r ) (r , t ) i t (r , t )
2
根据时间 的任意性、空间坐标 上式两端必为常量，令为 A ,则
i df (t ) 1 2 2 V (r ) (r ) f (t ) dt (r ) 2m
x
Ce .
x
2m(V 0 E ) / . 当 x 0时 B 0, 当 x L 时 C 0.
2
19
(x) A cos(kx ) , 0 x L ;
Be
利用连续性：
Ce
x
, x 0;
x
, x L.
2 2
k 2mE / , 2m(V 0 E ) / .
在某处发现一个微粒的概率正比于描述该微粒 的波函数振幅的平方。
2
称为概率密度。
2
微粒在体积元 dV 内出现的概率为：
dW | ( x, y, z, t ) | dV
2
波函数的归一化条件：
( x, y, z, t ) dV 1
2
波函数的标准条件：单值、有限、连续。
坐标和动量的不确定度关系
满足定态薛定谔方程：
( r , t ) ( r )e
i Et
.
2m (r ) 2 ( E V ) (r ) 0
2
9
3、一维无限深势阱
质量为 m的粒子作一维 运动，在力场中的势设为
V (x)
0 , a / 2 x a / 2 ； V ( x) , x a / 2, x a / 2 .
x Px / 2
能量和时间的不确定度关系
E t / 2
3
六、薛定谔方程
1、薛定谔方程 i ( Et Pr ) 自由粒子 E (r , t ) i (r , t ), t P x (r , t ) i x (r , t ),
P y (r , t ) i (r , t ),
y
P z (r , t ) i (r , t ).
z
4
与能量 E 、动量 P 间有对应的等价关系： E i , P i t
j k ) 即算符 i 、 i ( i t x y z
电子，当 E
1eV , V 0 2eV ,
a 2 A 时 , T 0.51;
a 5 A 时 , T 0.006
o
o
制作扫描隧穿显微镜 ( STM )
15
STM下硅表面结构重现
16
利用STM搬迁原子为电子造的“量子围栏”
17
例： 质量为
对称势场
m的粒子处于一维
V (x)
0 , 0 x L; V ( x) V0 , x 0 , x L 中，推导粒子在 E V 0的情况
20
、20.19 、20.20 作 业 题： 习题20.18
预习内容： 20.8 复习内容：本讲
21
量子物理第3讲 —— 薛定谔方程
方程 势垒 一维无限深势阱
主要内容
六、薛定谔方程
定态薛定谔 一维有限高
1
德布罗意公式
E mc h h v , . h h P m
自由粒子物质波的波函数
2
(r , t ) 0 e
0 即 | |
2
i ( Et Pr )
一维无限深势阱.exe
13
4、一维有限高势垒
V (x)
V0 0 , x 0, x a ; V ( x) E V0 , 0 x a. 具有能量 E ( E V 0 ) 的粒子沿
X 正向射向势垒。 经典力学：粒子没有能力穿过势垒，百分之百地 被弹回。 量子力学：粒子有一定的机会通过势垒。 定义透射系数：
11
n l x ). 所以 ( x) C1 cos( a 2 a/2 1 2 2 归一化： a / 2 | ( x) | dx aC1 1 2
2 n l cos( x ), 波函数： ( x) a a 2 2 l 2 2 n x ), 几率密度： ( x) cos ( a a 2 2 2 2 n 2 . n 1,2,3,... K 2mE E n / 能量量子化： n / a , 2 2ma
2、定态薛定谔方程
定态：粒子于力场中运动时，势能与时间无关， 总能量不随时间变化的状态。 定态波函数： 用于描述处于定态的粒子的波函数。 Schrö dinger方程：
分离变量法： (r , t ) (r ) f (t ) 设 2 i df (t ) 1 2 V (r ) (r ) 则： f (t ) dt ( r ) 2m
O
X
透射波函数振幅 T 入射波函数振幅
2
14
解薛定谔方程表明：
2 4k k T 2 . 2 2 2 2 2 2 (k k ) sh k a 4k k ch k a
2
k 2m(V0 E ) / 2 其中 k 2mE / ,
2
隧道效应： 粒子能够穿透比它的能量还高的势垒 的现象。 已经实验证实并得到实际应用。
x 0 处，A cos C, kAsin C ,
x L 处， A cos(kL ) Be , L kAsin( kL ) Be .
解出
L
L 2mE 2 E (V 0 E ) tan . E 不连续！ V 0 2E
a a ( ) 0 , ( ) 0. 2 2
a/2 0 a/2 X
势壁无限高，阱内的粒子不可越出阱外：
阱内
(a / 2 x a / 2) , 定态薛定谔方程： 2 d ( x ) 2m 2 E ( x) 0 . 2
dx
10
K 2mE / , d 2 2 K . 则 2 dx