一维方势垒
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16-3 一维势阱和势垒问题
]
ψ1 = A1 e + B1 e
ik1x
−ik1x
− ik 2 x
1
( x < 0)
( x > a)
U
通解: 通解
ψ 2 = A2 e
ik 2 x
1
+ B2 e
(0 ≤ x ≤ a )
U0
ψ 3 = A3 eik x + B3 e − ik x
处无反射波： 由 x > a 处无反射波： B 3 = 0 令 A1 = 1（以入射波强度为标准） 以入射波强度为标准） 由波函数的 标准条件得 O 可解得
§16-3 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中， 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该 区域内可以自由运动的问题 →简化模型。 →简化模型 简化模型。 例如： 例如： 金属中自由电子 受规则排列的晶格点阵作用 简化：交换动量) 简 相互碰撞 (简化：交换动量) 化 只考虑边界上突然升高的势 能墙的阻碍 —— 势阱 认为金属中自由电子不能逸出表面 ——无限深势阱 无限深势阱
2 2πx p = ∫ |ψ | d x = ∫ sin dx a a 0 0
4 4 2 a a
2a πx 2 πx = ∫ sin d( ) aπ a a 0
4
a
1 πx 1 2 2 2π x = ( − sin ) π a 4 a
a
4
= 9.08 × 10 −2
0
练习： 练习
已知： 已知：
ψ = cx ( L − x )
A A2 ∞ 2 dx = ∫ dx = A arctg x − ∞ = A2π = 1 ∫∞ 1 + ix 1 + x2 − −∞
16-3一维势阱和势垒问题解读
n4
x a
a x
第k激发态(n=k+1)有k个节点。
（2）一维无限深势阱 的粒子位置概率密度 分布
1
2
n 1
0 2 2 n 2 a
2
x
0 无数峰：量子 经典均匀分布 0
a a n 1，x 处，几率最大 0 3 2 b n ，峰数 ，当n 时，
4
U0
II
III
o
a
x
而在微观粒子的情形，却会发生反射。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）E<U0 从解薛定谔方程的结果来看，在 势垒内部存在波函数2。即在势垒内 部找出粒子的概率不为零，同时，在 x>a区域也存在波函数，所以粒子还 I 可能穿过势垒进入x>a区域。
V
V0
II
III
o
a
x
粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的 现象称为隧道效应。
式中 A和α是待定常数，由边界条件和归一化条 件确定。
( x) A sin( kx )
从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波 函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0。 考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即
(0) 0, (a) 0
————边界条件
(0) 0
这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维 无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式 给出的那些分立的值 En（体系的能量本征值）时， 相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系 的能量是量子化的，亦即体系的能谱是分立的。
2
2
2 2 2
( x) A sin kx
nx n ( x) A sin( ) a
x a
a x
第k激发态(n=k+1)有k个节点。
（2）一维无限深势阱 的粒子位置概率密度 分布
1
2
n 1
0 2 2 n 2 a
2
x
0 无数峰：量子 经典均匀分布 0
a a n 1，x 处，几率最大 0 3 2 b n ，峰数 ，当n 时，
4
U0
II
III
o
a
x
而在微观粒子的情形，却会发生反射。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）E<U0 从解薛定谔方程的结果来看，在 势垒内部存在波函数2。即在势垒内 部找出粒子的概率不为零，同时，在 x>a区域也存在波函数，所以粒子还 I 可能穿过势垒进入x>a区域。
V
V0
II
III
o
a
x
粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的 现象称为隧道效应。
式中 A和α是待定常数，由边界条件和归一化条 件确定。
( x) A sin( kx )
从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波 函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0。 考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即
(0) 0, (a) 0
————边界条件
(0) 0
这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维 无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式 给出的那些分立的值 En（体系的能量本征值）时， 相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系 的能量是量子化的，亦即体系的能谱是分立的。
2
2
2 2 2
( x) A sin kx
nx n ( x) A sin( ) a
量子力学课件(6)( 一维方势垒、隧道效应)
利用STM可以分辨表面上原子 的台阶、平台和原子阵列。可 以直接绘出表面的三维图象
探针
空气隙
样品 STM工作示意图
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物 质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性 质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有 着重大的意义和广阔的应用前景。
求出解的形式画于图中。
量子力学结果分析： （1）E>V0情况 在经典力学中，该情况的粒子 可以越过势垒运动到x>a区域，而 在量子力学中有一部分被反弹回去， I 即粒子具有波动性的具体体现。 （2）E<V0情况
V
隧道效应
V0
II
III
o
a
x
在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回， 在x<0的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同 ，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿 透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特 有的现象称“隧道效应”。
§8 一维方势垒 隧道效应 X=a处， 2 (a) 3 (a)
第二章 薛定谔方程
可得
于是
d 3 ( x) d 2 ( x) |x a |x a dx dx ik1 k2 ik1a k2a A2 e A3 2k2 ik1 k2 ik1a k2a ' A2 e A3 2k 2 2 2 k1 k2 ik1a ' A1 [ sh(k2 a)]e A3 2ik1k2 2 2 k1 k2 ik1a ' A1 A1 [ch(k2 a) sh(k2 a)]e A3 2ik1k2
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
探针
空气隙
样品 STM工作示意图
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物 质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性 质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有 着重大的意义和广阔的应用前景。
求出解的形式画于图中。
量子力学结果分析： （1）E>V0情况 在经典力学中，该情况的粒子 可以越过势垒运动到x>a区域，而 在量子力学中有一部分被反弹回去， I 即粒子具有波动性的具体体现。 （2）E<V0情况
V
隧道效应
V0
II
III
o
a
x
在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回， 在x<0的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同 ，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿 透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特 有的现象称“隧道效应”。
§8 一维方势垒 隧道效应 X=a处， 2 (a) 3 (a)
第二章 薛定谔方程
可得
于是
d 3 ( x) d 2 ( x) |x a |x a dx dx ik1 k2 ik1a k2a A2 e A3 2k2 ik1 k2 ik1a k2a ' A2 e A3 2k 2 2 2 k1 k2 ik1a ' A1 [ sh(k2 a)]e A3 2ik1k2 2 2 k1 k2 ik1a ' A1 A1 [ch(k2 a) sh(k2 a)]e A3 2ik1k2
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
量子力学§3.2一维方势阱
ka a ， 2 2
ctg
2V0 a 2
2 2 2
2 2 2V0 a 2 / 2 2 / 4
2 2 2 2 2 即 V0 a ，或 V0 时 2 8 8 a
半壁无限深方势阱存在束缚定态。
为束缚态，相应于第二条
tan 线，第一条线仍存 2 在）。 V0 a 继续增大，则将出现更多激发态。
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
a 2、奇宇称态 2 ( x) ~ sin kx | x | 2 与上类似，由连续条件可得： k cot(ka / 2) cot
a为阱宽，V0为阱深。
V(x)
V0 V0
E
-a/2 0
a/2
势的特点：空间反射对称
x
讨论束缚态，即0 E V0
写出分区定态方程
在阱外(经典禁介区)
d2 2 1 2 (V0 E ) 1 0 2 dx (1)
在阱内(经典允许区)
d 2 E 2 2 2 0 2 dx
阱外
V ( x) ( x 0 x a)
定态薛定谔方程 阱外：
2 d 2 2 dx 2 2 ( x) E 2 ( x)
d ( x ) E ( x ) 1 1 2 dx 2
2 2
阱内：
根据波函数的统计解释 阱外
2 ( x) 0
令
2
2 (V0 E )
2 E k
1 '' k 1 0
(0 x a)
2 '' 2 0
2
x a
ctg
2V0 a 2
2 2 2
2 2 2V0 a 2 / 2 2 / 4
2 2 2 2 2 即 V0 a ，或 V0 时 2 8 8 a
半壁无限深方势阱存在束缚定态。
为束缚态，相应于第二条
tan 线，第一条线仍存 2 在）。 V0 a 继续增大，则将出现更多激发态。
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
a 2、奇宇称态 2 ( x) ~ sin kx | x | 2 与上类似，由连续条件可得： k cot(ka / 2) cot
a为阱宽，V0为阱深。
V(x)
V0 V0
E
-a/2 0
a/2
势的特点：空间反射对称
x
讨论束缚态，即0 E V0
写出分区定态方程
在阱外(经典禁介区)
d2 2 1 2 (V0 E ) 1 0 2 dx (1)
在阱内(经典允许区)
d 2 E 2 2 2 0 2 dx
阱外
V ( x) ( x 0 x a)
定态薛定谔方程 阱外：
2 d 2 2 dx 2 2 ( x) E 2 ( x)
d ( x ) E ( x ) 1 1 2 dx 2
2 2
阱内：
根据波函数的统计解释 阱外
2 ( x) 0
令
2
2 (V0 E )
2 E k
1 '' k 1 0
(0 x a)
2 '' 2 0
2
x a
一维势垒问题总结
一维势垒中的透射系数利用传递矩阵方法研究了粒子在一维势垒中运动时的粒子的透射系数,主要研究的是在一个方势垒两个方势垒中透射系数，对以上的透射系数的总结，推出了对于任意势垒中透射系数， 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系.一维方势垒势垒模型在方势垒中，遇到的问题和 值得注意的地方。
在求方势垒波 函数中，首先要知道这是一个什 么样问题，满足什么样的方程， 方程可以写成什么样的形式，在 求解方程中，波函数的形式应该怎样需要怎样的分段，分段的过程中，特别要强调的边界条件问题。
并且验证了概率流密度。
在量子力学中，粒子在势垒附近发生的现象是不一样的，能量E 大于势垒高度0u 的粒子在势垒中有一部分发生反射，而能量小于0u 的粒子也会有部分穿过势垒，这在经典力学中是不会发生的。
下面讨论的是一维散射（即在非束缚态下问题，在无穷远处波函数不趋于零）。
重点讨论的是粒子通过势垒的透射和反射，重点在于求出波函数，这就必须求解薛定谔方程，由于)(x U 是与时间无关的，此处是定态薛定谔方程。
定态薛定谔方程通式：ψψψE U m=+∇-222h 在量子力学里, 必须知道波函数ψ, 因此必须要解薛定谔方程t i U x m ∂∂=+∂∂-ψψψh h 2222一维散射问题是一个非束缚态问题(()U x 与时间无关, 而E 是正的).因此令t Ei ex t x h-=)(),(ψψ由此得到ψψψE U dx d m =+-2222h按照势能()U x 的形式, 方程(2)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式0222=+ψψk dxd⎩⎨⎧><<<=.,0,0;0,)(0a x x a x u x U 先讨论0u E >的情形粒子满足薛定谔方程分解为三个区域：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=-<<=+-<=-a x x E x dx d m a x x E x u x dx d m x x E x dx d m ),()(20),()()(20),()(233222220222211222ψψψψψψψh h h （1） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=+<<=-+<=+a x x mEx dx d a x x u E x dx d x x mEx dxd ,0)(2)(0,0)()()(0,0)(2)(323222022212122ψψψψψψh h特征方程02=++q pr r 的两个根21,r r方程 0=+'+''qy y p y 的通解两个不相等的实根21r r ≠ x r x r e C e C y 2121+= 两个相等的实根21r r = x r e x C C y 1)(21+= 一对共轭复根βαi r ±=2,1)sin cos (21x C x C e y x ββα+=注： 0=+''qy y 的通解:特征方程02=+q r ,当0<q 时，通解xq xq eC e C y ---+=21，当0>q 时，通解xq ixq ie C e C y -+=21方程（1）的解可以表示为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<<+=<+=-----a x de te x a x ce be x x re ae x x mEi x mE i x u E m i x u E m i x mE i x mE i ,)(0,)(0,)(223)(2)(2222100h h hh hh ψψψ （2）定态波函数321,,ψψψ再分别乘上一个含时间的因子Et i eh-，可以看到式子（2）的三式，第一项是左向右传播的平面波，第二项是由右向左传播的平面波，即入射波和反射波。
52_6半无限深势阱_一维势垒解读
d 1 ( x ) d 2 ( x ) / 1 ( x ) | x a / 2 ( x ) |xa dx dx
2m 2 (U 0 E )
2
cos(ka) k sin(ka)
cos2 ( ka) 2 U 0 2 1 2 sin ( ka) k E
空气隙
样品
STM工作示意图
16
d变~ 10nm
i 变几十倍，非常灵敏。
竖直分辨本领可达约百分之几 nm； 横向分辨本领与探针、样品材料及绝缘物有关， 在真空中可达0.2nm 技术关键： 1. 消震：多级弹簧，底部铜盘涡流阻尼。 2. 探针尖加工：电化学腐蚀，强电场去污， 针尖只有1~2个原子！ 3. 驱动和到位：利用压电效应的逆效应 —— 电致伸缩，一步一步扫描。 扫描一步0.04nm， 扫描12 ，用0.7s
2 d 2 3 ( x ) E 3 ( x ), 2 2m dx
xa
9
2mE 令： k 2
2
2m(U 0 E ) k 2
2 1
三个区间的薛定谔方程化为
U
d 1 ( x) 2 k 1 ( x ) 0, 2 dx
2
x0
U0
d 2 3 ( x ) 2 k 3 ( x ) 0, 2 dx
2
2mE k 2
2
sin ( ka ) 1或
2
ka
h2 E U0 2 2 8ma 32ma
2 2
( x) Be
x
,
xa
结果说明粒子会出现在x＝a的表层附近
6
§6 一维方势垒 势垒贯穿（隧道效应） U
U ( x ) 0, x 0, x a
2m 2 (U 0 E )
2
cos(ka) k sin(ka)
cos2 ( ka) 2 U 0 2 1 2 sin ( ka) k E
空气隙
样品
STM工作示意图
16
d变~ 10nm
i 变几十倍，非常灵敏。
竖直分辨本领可达约百分之几 nm； 横向分辨本领与探针、样品材料及绝缘物有关， 在真空中可达0.2nm 技术关键： 1. 消震：多级弹簧，底部铜盘涡流阻尼。 2. 探针尖加工：电化学腐蚀，强电场去污， 针尖只有1~2个原子！ 3. 驱动和到位：利用压电效应的逆效应 —— 电致伸缩，一步一步扫描。 扫描一步0.04nm， 扫描12 ，用0.7s
2 d 2 3 ( x ) E 3 ( x ), 2 2m dx
xa
9
2mE 令： k 2
2
2m(U 0 E ) k 2
2 1
三个区间的薛定谔方程化为
U
d 1 ( x) 2 k 1 ( x ) 0, 2 dx
2
x0
U0
d 2 3 ( x ) 2 k 3 ( x ) 0, 2 dx
2
2mE k 2
2
sin ( ka ) 1或
2
ka
h2 E U0 2 2 8ma 32ma
2 2
( x) Be
x
,
xa
结果说明粒子会出现在x＝a的表层附近
6
§6 一维方势垒 势垒贯穿（隧道效应） U
U ( x ) 0, x 0, x a
一维方势垒
利用在 x 0 和 x a处波函数连续性和波函 数微商连续性条件
A A B B k1A k1A k2B k2B Beik2a Beik2a Ceik1a k2 Beik2a k2Beik2a Ck1eik1a
2.6 一维方势垒
可得出A,C 与 A 关系
A
2i(k12 k22 ) sin k2a (k1 k2 )2 eik2a (k1 k2 )2 eik2a
A 2 A2
(k12
(k12 k22 )2 sin 2 k2a k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
透射系数为：
T
JT JC2 A24k12 k 22 (k12 k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
2.6 一维方势垒
由上两式可见，一般情况下，透射系数T 1 ， 反射系数R 0 ，而这之和为1。这表明，在量 子力学中，即是粒子的能量大于势垒高度，仍 有部分被反射回来。这正是微观粒子具有波动 性的体现。
2.6 一维方势垒
下面分别就来 E U0 与 E U0 来讨论
一、E U0 的情形 此时，(x)满足的薛定谔方程为
d 2l dx2
2m h2
El
0
x 0,
d 2m dx2
2m h2
(E
U0 )m
0
0 xa
d 2r dx2
2m h2
Er
0
xa
2.6 一维方势垒
为方便起见，令 方程可改为：
k12
由第二式可见，一般情况下透射系数T 1 ， 当k2a n的特定情况下，其透射系数T 1 ，
这种情形下的透射现象叫做 共振透射
2.6 一维方势垒
二、E U0 的情形
一一一维维维势势势垒垒垒贯贯贯穿穿穿
2 ˆ (x) = − � ψ (x)�� = Eψ (x) Hψ 2m
(2.88)
(2.89)
在x < 0, x > a的区域, 就是 ψ (x) + k = 0, 在0 ≤ x ≤ a, ψ (x) − β = 0,
�� 2 �� 2
k=
�
2mE �2
(2.90)
β=
�
2m(V0 − E ) . �2
.
(2.106)
2.4. 一维势垒贯穿
37
在以上计算的基础上, 我们来讨论些物理问题. 首先我们看到S 不等于零! 这意味着我们可以在势垒的右边找到粒子! 这一完 全不同于经典力学的结论称为隧 道 效 应 (tunneling effect). 下面作更详细的分析. 在势垒左边, x < 0区域, 我们可以计算几率流密度j . j= 1 ˆψ − ψ p ˆψ ∗ ), (ψ ∗ p 2m (2.107)
2 sinh2 βa V0 4E (V0 −E )
CHAPTER 2. 一维问题
= =
A + B, (A − B )β.
(2.95)
= =
Байду номын сангаас
Seika , ikSeika
(2.96)
= =
β + ik + R(β − ik ) β − ik + R(β + ik ). (2.97)
= =
eika−βa S (β + ik ) eika+βa S (β − ik ).
2 sin2 αa V0 4E (E −V0 )
(2.111) . (2.112)
我们应该可以观察到所谓的共振透射。当αa = nπ , n = 1, 2, 3, · · · , |S |2 = 1. 如果粒子遇到一个势井，V0 < 0, 会怎样？(2.112)仍然适用。唯一要注意的 是：当E → 0, T → 0.
(2.88)
(2.89)
在x < 0, x > a的区域, 就是 ψ (x) + k = 0, 在0 ≤ x ≤ a, ψ (x) − β = 0,
�� 2 �� 2
k=
�
2mE �2
(2.90)
β=
�
2m(V0 − E ) . �2
.
(2.106)
2.4. 一维势垒贯穿
37
在以上计算的基础上, 我们来讨论些物理问题. 首先我们看到S 不等于零! 这意味着我们可以在势垒的右边找到粒子! 这一完 全不同于经典力学的结论称为隧 道 效 应 (tunneling effect). 下面作更详细的分析. 在势垒左边, x < 0区域, 我们可以计算几率流密度j . j= 1 ˆψ − ψ p ˆψ ∗ ), (ψ ∗ p 2m (2.107)
2 sinh2 βa V0 4E (V0 −E )
CHAPTER 2. 一维问题
= =
A + B, (A − B )β.
(2.95)
= =
Байду номын сангаас
Seika , ikSeika
(2.96)
= =
β + ik + R(β − ik ) β − ik + R(β + ik ). (2.97)
= =
eika−βa S (β + ik ) eika+βa S (β − ik ).
2 sin2 αa V0 4E (E −V0 )
(2.111) . (2.112)
我们应该可以观察到所谓的共振透射。当αa = nπ , n = 1, 2, 3, · · · , |S |2 = 1. 如果粒子遇到一个势井，V0 < 0, 会怎样？(2.112)仍然适用。唯一要注意的 是：当E → 0, T → 0.
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由上两式可见，一般情况下，透射系数T 1 ， 反射系数R 0 ，而这之和为1。这表明，在量 子力学中，即是粒子的能量大于势垒高度，仍 有部分被反射回来。这正是微观粒子具有波动 性的体现。
由第二式可见，一般情况下透射系数T 1 ， 当k2a n的特定情况下，其透射系数T 1 ，
这种情形下的透射现象叫做 共振透射
2.6 一维方势垒
二、E U0 的情形
此时，k2 为虚数。但若令k2 ik3 ，则
k32
2m
2
(U0
E)
系数关系变为
A
(k12
(k12 k32 ) s hk3a k32 )2 s hk3a 2ik1k3chk3a
A,
C
2ik1k3eik1a
A,
(k12 k32 )2 s hk3a 2ik1k3chk3a
2.6 一维方势垒
前面讨论了束缚态，这一节我们讨论散射态。
首先讨论一维方势垒问题。
0 U (x) U0
x 0, x a 0<x<a
设能量为E的粒子从势垒的左方向右方运动，
U (x)
E
U0
x
0
a
2.6 一维方势垒
下面分别就来 E U0 与 E U0 来讨论
一、E U0 的情形 此时，(x)满足的薛定谔方程为
反射系数为：
R JR J
A 2 A2
(k12
(k12 k22 )2 sin 2 k2a k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
透射系数为：
T
JT J
C2 A2
4k12 k22 (k12 k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
2.6 一维方势垒
A,
C
4k1k2eik1a (k1 k2 )2 eik2a (k1 k2 )2 eik2a
A,
2.6 一维方势垒
由概率流密度公式可得入射波的概率流密度为：
J
k1 m
A2
透射波的概率流密度为：
JT
k1 m
C2
反射波的概率流密度为：
JR
k1 m
A 2
2.6 一维方势垒
2.6 一维方势垒
反射系数和透射系数为：
R
(k12
(k12 k32 )2 s h2k3a k32 )2 s h2k3a 4k12k32
,
T
(k12
4k12 k32 k32 )2 s h2k3a 4k12k32
由此可见，反射系数R 1和透射系数T 0 ，且 二者之和等于1，这表明，在量子力学中，即使
A A B B k1A k1A k2B k2B Beik2a Beik2a Ceik1a k2 Beik2a k2Beik2a Ck1eik1a
2.6 一维方势垒
可得出A,C 与 A 关系
A
2i(k12 k22 ) sin k2a (k1 k2 )2 eik2a (k1 k2 )2 eik2a
k22m
0
0 xa
d 2r (x) dx2
k12 r
0
xa
2.6 一维方势垒
其解分别为
l (x) Aeik1x Aeik1x , m (x) Beik2x Beik2x , r (x) Ceik1x Ceik1x ,
利用在 x 0 和 x a处波函数连续性和波函 数微商连续性条件
d 2l dx2
2m
2
El
0
x 0,
d 2m dx2
2m
2
(E
U0 )m
0
0 xa
d 2r dx2
2m
2
Er
0
xa
2.6 一பைடு நூலகம்方势垒
为方便起见，令
k12
2mE
2
,
k22
2m
2
(E
U0
)
方程可改为：
d 2l dx2
k12l
0
x 0,
d 2m dx2
2.6 一维方势垒
2、隧道二极管是一种利用隧道效应的半导体器 件，也是隧道效应的重要应用之一。 由于隧道效应而使其伏安特性曲线出现负阳 区，因而隧道二级管具有高频、低噪声的特 点。 隧道二级管是低频放大器、低频噪声振荡器 和超高速开关电路中的重要器件。
粒子的能量小于势垒的高度，粒子仍有一部分 透射过去。
2.6 一维方势垒
这种粒子在其能量 E小于势垒高度 U0时， 仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫
隧道效应，又叫隧穿效应
入射波
U (x)
U0
透射波
0
a
x
2.6 一维方势垒
隧道效应的应用：
1、扫描隧道显微镜（STM）是电子隧道效应的 重要应用之一。 扫描隧道显微镜可以显示表面原子台阶和原 子排布的表面三维图案。 在表面物理、材料科学和生命科学等诸多领 域中，扫描隧道显微镜都能提供十分有价值 的信息。
由第二式可见，一般情况下透射系数T 1 ， 当k2a n的特定情况下，其透射系数T 1 ，
这种情形下的透射现象叫做 共振透射
2.6 一维方势垒
二、E U0 的情形
此时，k2 为虚数。但若令k2 ik3 ，则
k32
2m
2
(U0
E)
系数关系变为
A
(k12
(k12 k32 ) s hk3a k32 )2 s hk3a 2ik1k3chk3a
A,
C
2ik1k3eik1a
A,
(k12 k32 )2 s hk3a 2ik1k3chk3a
2.6 一维方势垒
前面讨论了束缚态，这一节我们讨论散射态。
首先讨论一维方势垒问题。
0 U (x) U0
x 0, x a 0<x<a
设能量为E的粒子从势垒的左方向右方运动，
U (x)
E
U0
x
0
a
2.6 一维方势垒
下面分别就来 E U0 与 E U0 来讨论
一、E U0 的情形 此时，(x)满足的薛定谔方程为
反射系数为：
R JR J
A 2 A2
(k12
(k12 k22 )2 sin 2 k2a k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
透射系数为：
T
JT J
C2 A2
4k12 k22 (k12 k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
2.6 一维方势垒
A,
C
4k1k2eik1a (k1 k2 )2 eik2a (k1 k2 )2 eik2a
A,
2.6 一维方势垒
由概率流密度公式可得入射波的概率流密度为：
J
k1 m
A2
透射波的概率流密度为：
JT
k1 m
C2
反射波的概率流密度为：
JR
k1 m
A 2
2.6 一维方势垒
2.6 一维方势垒
反射系数和透射系数为：
R
(k12
(k12 k32 )2 s h2k3a k32 )2 s h2k3a 4k12k32
,
T
(k12
4k12 k32 k32 )2 s h2k3a 4k12k32
由此可见，反射系数R 1和透射系数T 0 ，且 二者之和等于1，这表明，在量子力学中，即使
A A B B k1A k1A k2B k2B Beik2a Beik2a Ceik1a k2 Beik2a k2Beik2a Ck1eik1a
2.6 一维方势垒
可得出A,C 与 A 关系
A
2i(k12 k22 ) sin k2a (k1 k2 )2 eik2a (k1 k2 )2 eik2a
k22m
0
0 xa
d 2r (x) dx2
k12 r
0
xa
2.6 一维方势垒
其解分别为
l (x) Aeik1x Aeik1x , m (x) Beik2x Beik2x , r (x) Ceik1x Ceik1x ,
利用在 x 0 和 x a处波函数连续性和波函 数微商连续性条件
d 2l dx2
2m
2
El
0
x 0,
d 2m dx2
2m
2
(E
U0 )m
0
0 xa
d 2r dx2
2m
2
Er
0
xa
2.6 一பைடு நூலகம்方势垒
为方便起见，令
k12
2mE
2
,
k22
2m
2
(E
U0
)
方程可改为：
d 2l dx2
k12l
0
x 0,
d 2m dx2
2.6 一维方势垒
2、隧道二极管是一种利用隧道效应的半导体器 件，也是隧道效应的重要应用之一。 由于隧道效应而使其伏安特性曲线出现负阳 区，因而隧道二级管具有高频、低噪声的特 点。 隧道二级管是低频放大器、低频噪声振荡器 和超高速开关电路中的重要器件。
粒子的能量小于势垒的高度，粒子仍有一部分 透射过去。
2.6 一维方势垒
这种粒子在其能量 E小于势垒高度 U0时， 仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫
隧道效应，又叫隧穿效应
入射波
U (x)
U0
透射波
0
a
x
2.6 一维方势垒
隧道效应的应用：
1、扫描隧道显微镜（STM）是电子隧道效应的 重要应用之一。 扫描隧道显微镜可以显示表面原子台阶和原 子排布的表面三维图案。 在表面物理、材料科学和生命科学等诸多领 域中，扫描隧道显微镜都能提供十分有价值 的信息。