2021年六年级小升初数学总复习第四讲(平面图形)(含答案)

2021年六年级小升初数学总复习第四讲平面图形一．教学目标1.理解各种图形的概念和特点2.掌握基本图形的面积计算方法3.掌握平面图形中常见的模型，并能熟练应用二．知识点1.图形计数 （1）相关类型 ①数线段：21)1(-⨯n n 或）（1321-+++n 注意：是线段上端点的个数n②数角：21)1(-⨯n n 或）（1321-+++n 注意：是边的个数n③数三角形：21)1(-⨯n n 或）（1321-+++n 注意：是边的个数n④数长方形: 长边上的线段数×短边上的线段数⑤数正方形：22221)2()1(+⋯⋯+-+-+n n n 注意：含的基本单位数表示大正方形边长上包n ⑥其他计数问题:给出图形，数出其中特定图形的多少 （2）相关方法①枚举法：罗列所有情况逐个计数，也称穷举法②加法原理和乘法原理：利用计数中出现的各种情况进行加或乘的计算 ③递推法：利用简单图形的计数逐步找出规律进行递推的方法 2.周长巧算 （1）相关方法①直接计算：根据公式直接计算 ②平移法 （2）相关公式①正方形周长公式：C=边长×4 ②正方形周长公式：C=（长+宽）×2 3.常见模型 （1）等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；S 2S 1②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． （2）鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵（3）蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =DCBAS 4S 3S 2S 1O DCBA A DO aS 2S 1S 4②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． （4）相似模型金字塔模型 沙漏模型GF E ABCD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．（5）燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 4.圆（1）相关概念①圆的定义：平面上到一个定点的距离等于定长的点的全体，这里的定点叫做圆心，定长称为半径。

②直径：经过圆心的直线与圆的两个交点之间的线段。

③弧：圆上两点之间的部分。

④扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

OFE DCBA⑤方中圆：正方形与内切圆 ⑥圆中方：圆的内接四边形 （2）相关公式及方法①圆的周长和面积公式：2,2r S d C r C π，ππ=== ②扇形弧长公式：180rnl π=③扇形面积公式：lr r n S 213602==π ④方中圆：大正方形平均分成四个小正方形 ⑤圆中方：大正方形平均分成四个小三角形三．例题【例1】数一数，图中共有多少条线段？【答案】6+5+4+3+2+1=21（条） 【练习】数一数，下图中有多少个角？【答案】3+2+1=6（个）【例2】 如图，正方形的面积是 8 平方厘米，求圆的面积。

【答案】A B C D E解：S=πr 2=3.14×8=25.12（平方厘米）答：圆的面积是25.12平方厘米．【练习】如图，长方形的面积和圆的面积相等，已知圆的半径是3厘米，求阴影部分的周长与面积各是多少？【答案】解：（1）圆的周长：2×3.14×3=18.84（厘米）， 圆的面积：3.14×32=28.26（平方厘米）， 长方形的长：28.26÷3=9.42（厘米）， 长方形的周长：（9.42+3）×2=24.84（厘米）， 则阴影部分的周长： 24.84-3×2+18.84×41 =24.84-6+4.71， =18.84+4.71， =23.55（厘米）； （2）阴影部分的面积： 28.26×（1-41）， =28.26×43 =21.195（平方厘米）；【例3】下图的周长是 厘米.4cm8cm【答案】 (8+4)⨯2 =12⨯2 = 24(厘米)【练习】下图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是多少厘米？【答案】170厘米【解析】每个小正方形的面积为400÷16=25平方厘米.所以每个小正方形的边长是5cm ,因此它的周长是34⨯5=170厘米.【例4】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【答案】连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍． 三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．【练习】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【答案】运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABGABCDS S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△． ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例5】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【答案】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【练习】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA AB CDE【答案】连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABCABESS=又∵5AB AD = ∴515ADEABEABCSSS=÷=÷，∴1515ABCADESS==．【例6】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【答案】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AM BC=，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCGS S S S=⨯⨯=△△△△（）（），设1AGMS=△份，则123MCDS=+=△份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S=+=阴影份，所以:1:3S S=阴影正方形，所以1S=阴影平方厘米．【练习】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．?852OA BCDE F?852OA BCDE F【答案】连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以EOD FOCS S∆=，又根据蝴蝶定理，EOD FOC EOF CODS S S S∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF CODS S S S∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EODS∆=(平方厘米)，4812ECDS∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC的面积为245289---=(平方厘米)．【例7】如图，ABC△中，DE，FG，BC互相平行，AD DF FB==，则::ADE DEGF FGCBS S S=△四边形四边形．EGFADCB【答案】设1ADES=△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFGS S AD AF==△△，22::1:9ADE ABCS S AD AB==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【练习】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【答案】由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=四．课后练习基础巩固1.数一数，图中共有（ ）个三角形。