导数及其应用运算单调性极值与定积分单元过关检测卷(一)附答案人教版高中数学艺考生专用
导数及其应用运算单调性极值与定积分单元过关检测卷(二)含答案新人教版高中数学名师一点通艺考生专用
高中数学专题复习《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象 可能是（ ）答案 D2．过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为( D ) （A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+=(2020全国2文)（11）3．设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2020(x )＝（ ） A ．si nx B ．－sinxC ．cos xD ．－cosx （2020湖南理)4．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为 （ ）A ．2π5B ．43C ．32D ．π2（2020湖北理）5．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( ) （A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-（2020全国2文7）6．函数()()21n fx ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2020安徽文10）7．若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)21xe x x ++… (B)21111241x x x<-++(C)21cos 12x x -… (D)21ln(1)8x x x +-…8．已知函数2f (x )x cos x =-，则06005f (.),f (),f (.)-的大小关系是( )（A ）00605f ()f (.)f (.)<<- (B) 00506f ()f (.)f (.)<-< (C) 06050f (.)f (.)f ()<-< (D) 05006f (.)f ()f (.)-<<9．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象 如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C．3个D ． 4个 答案 A解析 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A .10．已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是（ ）(2020福建理)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．若函数f (x )＝a x 4＋bx 2＋c 满足(1) 2f '=，则(1)f '-= ． 12． 若存在实常数k 和b ，使函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 恒有：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知2(),()2ln h x x x e x ϕ==，则可推知(),()h x x ϕ的“隔离直线”方程为▲ .a bxy)(x f y '=O13．函数f （x ）=x 3﹣2x 2的图象在点（1，﹣1）处的切线方程为 y=﹣x ．（4分）14．已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则xf x f x 2)1()1(lim-+→=___________15．由曲线2613y x x =-+与直线3y x =+所围成的封闭区域的面积为 .16．设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：（1）方程0)(=-x x f 有实数解；(2）函数)(x f 的导数)('x f 满足0＜)('x f ＜1．给出如下函数：①4s i n 2)(xx x f +=； ②x x x f tan )(+=，)2,2(ππ-∈x ；③1lo g )(3+=x x f ，),1[+∞∈x ．其中是集合M 中的元素的有 ．（只需填写函数的序号） 评卷人得分三、解答题17．已知函数f (x )＝ax ＋b x e x，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值； （2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值； ② 设g′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g′(x )＝0成立，求ba 的取值范围．(本小题满分16分)解：（1）当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝(2＋1x )e x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 所以f′(x )＝(x ＋1)(2x －1)x 2e x ． …………………………………………2分 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝12，列表x (－∞，－1)－1(－1，0)(0，12)12(12，＋∞)f′(x)+0－－0+ f (x)↗极大值↘↘极小值↗由表知f(x)的极大值是f(－1)＝e－1，f(x)的极小值是f(12)＝4e．……………………………………4分（2）①因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－bx－2a)ex，当a＝1时，g (x)＝(x－bx－2)ex．因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x2－2x－xe x在x∈（0，＋∞）上恒成立．…………………………………………8分记h(x)＝x2－2x－xe x（x＞0），则h′(x)＝(x－1)(2e x＋1)e x．当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．所以h(x)m i n＝h(1)＝－1－e－1．所以b的最大值为－1－e－1．…………………………………………10分解法二：因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－bx－2a)ex，当a＝1时，g (x)＝(x－bx－2)ex．因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，所以g(2)＝－b2e2＞0，因此b＜0．…………………………………………6分g′(x)＝(1＋bx2)ex＋(x－bx－2)ex＝(x－1)(x2－b)e xx2．因为b＜0，所以：当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)在（0，1）上是减函数；当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)在（1，＋∞）上是增函数．所以g(x)m i n＝g(1)＝(－1－b)e－1…………………………………………8分因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，所以(－1－b)e－1≥1，解得b≤－1－e－1因此b的最大值为－1－e－1．…………………………………………10分②解法一：因为g (x)＝(ax－bx－2a)ex，所以g′(x)＝(bx2＋ax－bx－a)ex．由g (x)＋g′(x)＝0，得(ax－bx－2a)ex＋(bx2＋ax－bx－a)ex＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．存在x＞1，使g (x)＋g′(x)＝0成立，等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．…………………………………………12分因为a＞0，所以ba＝2x3－3x22x－1．设u(x)＝2x3－3x22x－1（x＞1），则u′(x)＝8x[(x－34)2＋316](2x－1)2．因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，所以ba＞－1，即ba的取值范围为（－1，＋∞）．…………………………………………16分解法二：因为g (x)＝(ax－bx－2a)ex，所以g′(x)＝(bx2＋ax－bx－a)ex．由g (x)＋g′(x)＝0，得(ax－bx－2a)ex＋(bx2＋ax－bx－a)ex＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．存在x＞1，使g (x)＋g′(x)＝0成立，等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．…………………………………………12分设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b当b≤0时，u′(x) ≥0此时u(x)在[1，＋∞)上单调递增，因此u(x)≥u(1)＝－a－b因为存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立所以只要－a－b＜0即可，此时－1＜b a≤0 …………………………………………13分当b ＞0时，令x 0＝3a ＋9a 2＋16a b 4a ＞3a ＋9a 24a ＝32＞1，得u (x 0)＝b ＞0， 又u (1)＝－a －b ＜0于是u (x )＝0，在(1，x 0)上必有零点 即存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立，此时ba ＞0 …………………………………………15分综上有ba的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分 18．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围. （14分）19．已知函数xx a x f 1ln )(+=． （1）当0>a 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；（2）当0>a 时，若0>∀x ，均有1)ln 2(≤-x ax ，求实数a 的取值范围； （3）若0<a ，),0(,21∞+∈∀x x ，且21x x ≠，试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小．20．已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈. (1）求函数()f x 的单调区间；(2）若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，对于任意[1,2]t ∈，函数()32'[()]2mg x xx f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； (3）求证：ln 2ln 3ln 4ln 1(,2)234n n N n n n<∈≥【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1． 2．D解析：21y x '=+，设切点坐标为00(,)x y ，则切线的斜率为201x +，且20001y x x =++于是切线方程为200001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点（－1，0）在切线上，可解得0x ＝0或－4，代入可验正D 正确。
高二下数学第一章导数及其应用单元检测(含答案)
阶段质量检测：导数及其应用(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 2．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上的极大值点为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π23．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．若函数()ln f x x a x=+不是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[)0,+∞B ．(],0-∞C ．(),0-∞D ．()0,+∞5．若e x ≥k ＋x 在R 上恒成立，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[－1，＋∞)6．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，103 B.⎣⎡⎭⎫2，103 C.⎝⎛⎭⎫103，174 D.⎝⎛⎭⎫2，174 7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67B.⎝⎛⎭⎫－85，－316C.⎝⎛⎭⎫－83，－116D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )9．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( ) A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台D ．9千台10．.已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )A.4f (1)<f (2)B.4f (1)>f (2)C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)11．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3 ·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.c >a >b12．若函数f (x )＝sin xx ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝21sin x x ，12sin b x x =，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．16．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17． (本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．18． (2021·百师联盟考试)设函数f (x )＝ln x ＋ax(a 为常数).(2)不等式f(x)≥1在x∈(0，1]上恒成立，求实数a的取值范围.19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．20．(本小题满分12分) (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝e x＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3＋1，求a的取值范围.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax＋1(a∈R).(2)若函数f (x )的图象与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2.22． (本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．参考答案1.【解析】选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 2.答案：B3.【解析】选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4.【答案】C【解析】由题意知0x >,()1af x x'=+,要使函数()ln f x x a x =+不是单调函数,则需方程10ax+=在0x >上有解,即x a =-,所以0a <,故选C ． 5.解析：选A 由e x ≥k ＋x ，得k ≤e x －x . 令f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1. 当f ′(x )<0时，解得x <0，当f ′(x )>0时，解得x >0.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∴f (x )min ＝f (0)＝1. ∴实数k 的取值范围为(－∞，1]．故选A.6.解析：选D 因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点可化为f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解， 即a ＝x ＋1x 在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解，设t (x )＝x ＋1x ，则t ′(x )＝1－1x 2， 令t ′(x )>0，得1<x <4，令t ′(x )<0，得13<x <1.所以t (x )在(1,4)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减．所以t (x )min ＝t (1)＝2，又t ⎝⎛⎭⎫13＝103，t (4)＝174，所以a ∈⎝⎛⎭⎫2，174. 7.【解析】选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D. 8.【解析】选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9.【解析】选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．10.答案 B【解析】设函数g (x )＝f （x ）x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′（x ）－2xf （x ）x 4＝xf ′（x ）－2f （x ）x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，因此g (1)>g (2)， 即f （1）12>f （2）22，所以4f (1)>f (2). 11.答案 D【解析】 设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，∴x <0时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减.由y ＝f (x )在R 上为奇函数， 知g (x )在R 上为偶函数，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴c ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＝g (－2)＝g (2)，又0<log π3<1<30.3<3<2， ∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，即b <a <c .12.【解析】选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x－cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，由0<x 1<x 2<1得12211212sin sin ,sin sin x x x x x x x x >∴>,a >b ，故选A. 13.【解析】f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23. 答案：2314.【解析】 对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x ，x >0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0，且f (1)＝－12＋a ≥1，所以a ≥32.答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 15.【解析】f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]16.【解析】f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b .答案：c <a <b17.【解析】(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. 18.【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，当a ≤0时，又x >0，∴x －a >0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，∴f (x )单调递增； 若0<x <a ，则f ′(x )<0，∴f (x )单调递减.综上可知：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，f (x )在区间(0，a )上是减函数，在区间(a ，＋∞)上是增函数. (2)f (x )≥1⇔a x ＋ln x ≥1⇔ax ≥－ln x ＋1⇔a ≥ －x ln x ＋x 对任意x ∈(0，1]恒成立. 令g (x )＝－x ln x ＋x ，x ∈(0，1].则g ′(x )＝－ln x －x ·1x ＋1＝－ln x ≥0，x ∈(0，1]， ∴g (x )在(0，1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝1， ∴a ≥1，故a 的取值范围为[1，＋∞).19.【解析】(1)由投资额为零时收益为零，可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)．设投入经销B 商品的资金为x 万元(0＜x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元，设所获得的收益为S (x )万元， 则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0＜x ≤5)．S ′(x )＝6x ＋1－2，令S ′(x )＝0，得x ＝2.当0＜x ＜2时，S ′(x )＞0，函数S (x )单调递增；当2＜x ≤5时，S ′(x )＜0，函数S (x )单调递减．所以当x ＝2时，函数S (x )取得最大值， S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时， 他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，x ∈R ，f ′(x )＝e x ＋2x －1.故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增. (2)由f (x )≥12x 3＋1得，e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0， ①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a ∈R .②当x >0时，分离参数a ，得a ≥－e x －12x 3－x －1x 2，记g (x )＝－e x －12x 3－x －1x 2，g ′(x )＝－（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12x 2－x －1x 3.令h (x )＝e x－12x 2－x －1(x >0)， 则h ′(x )＝e x －x －1，令H (x )＝e x －x －1，H ′(x )＝e x －1>0，故h ′(x )在(0，＋∞)上是增函数，因此h ′(x )>h ′(0)＝0，故函数h (x )在(0，＋∞)上递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x －12x 2－x －1>0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 24，综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞. 21.【解析】(1) 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋a ＝ax ＋1x .当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，f ′(x )>0，f (x )单调递增；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，f ′(x )<0，f (x )单调递减.综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减.(2)证明 由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不满足条件. 所以a <0，此时f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－ln(－a )，由已知得－ln(－a )＝0，故a ＝－1，此时f (x )＝ln x －x ＋1.不妨设0<x 1<x 2，则f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2等价于ln x 2x 1<x 2x 1－x 1x 2＋x 2－x 1，即证：ln x 2x 1－x 2x 1＋x 1x 2<x 2－x 1.令g (x )＝ln x －x ＋1x (x >1)，则g ′(x )＝1x －1－1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34x 2<0，故g (x )在(1，＋∞)单调递减，所以g (x )<g (1)＝0<x 2－x 1.所以对于任意互不相等的正实数x 1，x 2， 都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2成立.22.【解析】(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a .函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．φ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．。
导数及其应用运算单调性极值与定积分单元过关检测卷(二)附答案人教版高中数学考点大全艺考生专用
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《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．曲线2ln y x x =-在点(1,2)处的切线方程是 ．
2．已知32
()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是
（ ） A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④（2020福建文）
3．已知函数)(()(x f x f x y ''=其中的图象如右图所示))(的导函数是函数
x f ，下面四个图象中)(x f y =的图象大致是 （ ）(2020江西理)。
高中数学《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试卷及答案解析(共四套)
高中数学选择性必修二《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（一）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sin α－cos x ，则f′(x)等于( )A ．sin xB ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x 2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π43．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．函数f(x)＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎥⎤0， 22 5．函数f(x)＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12C ．0D ．－16．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．函数f(x)＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，67B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－316C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，－116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－310∪⎝ ⎛⎭⎪⎫67，＋∞8．已知定义在R 上的函数f(x)，f(x)＋xf′(x)＜0，若a ＜b ，则一定有( )A ．af(a)＜bf(b)B ．af(b)＜bf(a)C ．af(a)＞bf(b)D ．af(b)＞bf(a)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列结论中不正确的是( ) A ．若y ＝cos 1x ，则y′＝－1x sin 1xB ．若y ＝sin x 2，则y′＝2xcos x 2C ．若y ＝cos 5x ，则y′＝－sin 5xD ．若y ＝12xsin 2x ，则y′＝xsin 2x10．下列函数中，存在极值点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2|xC ．y ＝－2x 3－x D ．y ＝xln x11.定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4上的函数f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f(x)在区间(0,4)上单调递增B ．函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减 C ．函数f(x)在x ＝1处取得极大值 D ．函数f(x)在x ＝0处取得极小值12．已知函数f(x)＝e x－ax 有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则下列说法正确的是( ) A ．a ＞e B ．x 1＋x 2＞2C ．x 1x 2＞1D ．f(x)有极小值点x 0，且x 1＋x 2＜2x 0第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若f(x)＝13x 3－f′(1)x 2＋x ＋5，则f′(1)＝________.14．已知奇函数 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx－1(x>0)，h (x )(x<0)，则函数h(x)的最大值为________．15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 16．若函数f(x)＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值4. (1)求实数a ，b 的值；(2)当a>0时，求曲线y ＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程． 18．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f(x)＝(－x 2＋ax)e x. (1)当a ＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围． 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 在x ＝22处取得极小值－ 2. (1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点M(1，m)的直线与曲线y ＝f(x)相切且这样的切线有三条，求实数m 的取值范围．20. (本小题满分12分)设函数f(x)＝x22－kln x ，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点． 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)当a ＜0时，证明f(x)≤－34a－2.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x －ax .(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g(x)＝ln x －a ，若g(x)<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． 答案解析第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sin α－cos x ，则f′(x)等于( )A ．sin xB ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x 解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析：选A y′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.3．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f(x)在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b)上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点． 4．函数f(x)＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎥⎤0， 22 解析：选A ∵f′(x)＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x≤22时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 5．函数f(x)＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0 D ．－1解析：选A f′(x)＝3－12x 2，令f′(x)＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f(0)＝0，f(1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－12＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.6．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选D f′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，∵f′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f(x)＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，67B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－316C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，－116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－310∪⎝ ⎛⎭⎪⎫67，＋∞解析：选D f′(x)＝ax 2＋ax －2a ＝a(x ＋2)(x －1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫103a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－76a ＋1<0，解得a<－310或a>67. 故选D.8．已知定义在R 上的函数f(x)，f(x)＋xf′(x)＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af(a)＜bf(b) B ．af(b)＜bf(a) C ．af(a)＞bf(b) D ．af(b)＞bf(a)解析：选C 令y ＝xf(x)，则y′＝[xf(x)]′＝x′f(x)＋xf′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0，∴函数y ＝xf(x)是R 上的减函数，∵a ＜b ，∴af(a)＞bf(b)．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列结论中不正确的是( ) A ．若y ＝cos 1x ，则y′＝－1x sin 1xB ．若y ＝sin x 2，则y′＝2xcos x 2C ．若y ＝cos 5x ，则y′＝－sin 5xD ．若y ＝12xsin 2x ，则y′＝xsin 2x解析：选ACD 对于A ，y ＝cos 1x ，则y′＝1x 2sin 1x ，故错误；对于B ，y ＝sin x 2，则y′＝2xcos x 2，故正确；对于C ，y ＝cos 5x ，则y′＝－5sin 5x ，故错误；对于D ，y ＝12xsin 2x ，则y′＝12sin 2x ＋xcos 2x ，故错误．10．下列函数中，存在极值点的是( ) A ．y ＝x －1x B ．y ＝2|x|C ．y ＝－2x 3－x D ．y ＝xln x解析：选BD 由题意，函数y ＝x －1x ，则y′＝1＋1x 2＞0，所以函数y ＝x －1x在(－∞，0)，(0，＋∞)内单调递增，没有极值点．函数y ＝2|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x≥0，2－x，x ＜0根据指数函数的图象与性质可得，当x ＜0时，函数y ＝2|x|单调递减，当x≥0时，函数y ＝2|x|单调递增，所以函数y ＝2|x|在x ＝0处取得极小值；函数y ＝－2x 3－x ，则y′＝－6x 2－1＜0，所以函数y ＝－2x 3－x 在R 上单调递减，没有极值点；函数y ＝xln x ，则y′＝ln x ＋1，x ＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，y′＜0，函数单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，y′＞0，函数单调递增，当x＝1e时，函数取得极小值，故选B 、D. 11.定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4上的函数f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f(x)在区间(0,4)上单调递增B ．函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减 C ．函数f(x)在x ＝1处取得极大值 D ．函数f(x)在x ＝0处取得极小值解析：选ABD 根据导函数图象可知，f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上，f′(x)＜0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)在x ＝0处取得极小值，没有极大值，所以A 、B 、D 选项正确，C 选项错误．故选A 、B 、D.12．已知函数f(x)＝e x－ax 有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则下列说法正确的是( ) A ．a ＞e B ．x 1＋x 2＞2C ．x 1x 2＞1D ．f(x)有极小值点x 0，且x 1＋x 2＜2x 0解析：选ABD 由题意，函数f(x)＝e x－ax ，则f′(x)＝e x－a ，当a≤0时，f′(x)＝e x－a ＞0在R 上恒成立，所以函数f(x)单调递增，不符合题意；当a ＞0时，令f′(x)＝e x－a ＞0，解得x ＞ln a ，令f′(x)＝e x－a ＜0，解得x ＜ln a ，所以函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝e x－ax 有两个零点x 1，x 2且x 1＜x 2，则f(ln a)＝eln a－aln a ＝a －aln a ＝a(1－ln a)＜0，且a ＞0，所以1－ln a ＜0，解得a ＞e ，所以A 项正确；又由x 1＋x 2＝ln(a 2x 1x 2)＝2ln a ＋ln(x 1x 2)＞2＋ln(x 1x 2)，取a ＝e 22，则f(2)＝e 2－2a ＝0，x 2＝2，f(0)＝1＞0，所以0＜x 1＜1，所以x 1＋x 2＞2，所以B 正确；由f(0)＝1＞0，则0＜x 1＜1，但x 1x 2＞1不能确定，所以C 不正确；由函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，所以函数的极小值点为x 0＝ln a ，且x 1＋x 2＜2x 0＝2ln a ，所以D 正确．故选A 、B 、D. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若f(x)＝13x 3－f′(1)x 2＋x ＋5，则f′(1)＝________.解析：f′(x)＝x 2－2f′(1)x＋1，令x ＝1，得f′(1)＝23.答案：2314．已知奇函数 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx－1(x>0)，h (x )(x<0)，则函数h(x)的最大值为________．解析：先求出x>0时，f(x)＝e xx －1的最小值．当x>0时， f′(x)＝e x(x －1)x 2，∴x ∈(0,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f′(x) >0，函数单调递增，∴x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e. 答案：1－e15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)， 因为f′(x)＝1＋cos x≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b. 答案：c<a<b 16．若函数f(x)＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f′(x)＝4－4x2(x 2＋1)2，令f′(x)＞0，得－1＜x ＜1，即函数f(x)的增区间为(－1,1)． 又因为f(x)在(m,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m≤0.答案：(－1,0]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值4. (1)求实数a ，b的值；(2)当a>0时，求曲线y ＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程． 解：(1)∵f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.∵f(1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝4，f′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.经检验都符合题意．(2)当a>0时，由(1)得f(x)＝x 3＋3x 2－9x ＋9， ∴f′(x)＝3x 2＋6x －9. ∴f(－2)＝31，f′(－2)＝－9.∴所求的切线方程为y －31＝－9(x ＋2)，即9x ＋y －13＝0. 18．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f(x)＝(－x 2＋ax)e x. (1)当a ＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f(x)＝(－x 2＋2x)e x，f′(x)＝(－x 2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x 2＋2)e x>0，注意到e x>0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x< 2.所以，函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立． 又因为f′(x)＝[－x 2＋(a －2)x ＋a]e x，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a]e x≥0，注意到e x>0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y′＝1＋1(x ＋1)2>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y<1＋1－11＋1＝32，故a≥32.即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 在x ＝22处取得极小值－ 2. (1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点M(1，m)的直线与曲线y ＝f(x)相切且这样的切线有三条，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意得，f′(x)＝3ax 2＋b.∵函数f(x)＝ax 3＋bx 在x ＝22处取得极小值－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝－4，32a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，经检验满足条件，则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x 3－3x.(2)设切点坐标为(x 0,2x 30－3x 0)，则曲线y ＝f(x)的切线的斜率k ＝f′(x 0)＝6x 20－3， 切线方程为y －(2x 30－3x 0)＝(6x 20－3)(x －x 0)， 代入点M(1，m)，得m ＝－4x 30＋6x 20－3，依题意，方程m ＝－4x 30＋6x 20－3有三个不同的实根． 令g(x)＝－4x 3＋6x 2－3，则g′(x)＝－12x 2＋12x ＝－12x(x －1)， ∴当x ∈(－∞，0)时，g′(x)<0； 当x ∈(0,1)时，g′(x)>0； 当x ∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.故g(x)＝－4x 3＋6x 2－3在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴g(x)极小值＝g(0)＝－3，g(x)极大值＝g(1)＝－1.∴当－3<m<－1时，g(x)＝－4x 3＋6x 2－3的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点， ∴－3<m<－1时，存在这样的三条切线． 故实数m 的取值范围是(－3，－1)．20. (本小题满分12分)设函数f(x)＝x22－kln x ，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．解：(1)由f(x)＝x22－kln x(k>0)，得x>0且f′(x)＝x －k x ＝x 2－kx .由f′(x)＝0，解得x ＝k(负值舍去)． f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：所以，f(x)在x ＝k 处取得极小值f(k)＝k (1－ln k )2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(k)＝k (1－ln k )2.因为f(x)存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k≥e.当k ＝e 时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0， 所以x ＝e 是f(x)在区间(1， e ]上的唯一零点．当k>e 时，f(x)在区间(1， e ]上单调递减，且f(1)＝12>0，f(e)＝e －k2<0，所以f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点． 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)当a ＜0时，证明f(x)≤－34a －2.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x .若a≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f′(x)＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f′(x)＜0.故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f(x)在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a .所以f(x)≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a ＋1≤0.设g(x)＝ln x －x ＋1，则g′(x)＝1x－1.当x ∈(0,1)时，g′(x)＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g(x)取得极大值且为最大值，最大值为g(1)＝0. 所以当x ＞0时，g(x)≤0.从而当a ＜0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x －ax .(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g(x)＝ln x －a ，若g(x)<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)f′(x)＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x>0)，当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数， f(x)不存在最小值；当a<0时，由f′(x)＝0得x ＝－a ， 且0<x<－a 时，f′(x)<0， x>－a 时，f′(x)>0.∴x ＝－a 时，f(x)取得最小值， f(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a ＝－e. (2)g(x)<x 2即ln x －a<x 2，即a>ln x －x 2，故g(x)<x 2在(0，e]上恒成立，也就是a>ln x －x 2在(0，e]上恒成立． 设h(x)＝ln x －x 2，则h′(x)＝1x －2x ＝1－2x2x，由h′(x)＝0及0<x≤e 得x ＝22.当0<x<22时，h′(x)>0，当22<x≤e 时，h′(x)<0，即h(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤22，e 上为减函数， 所以当x ＝22时h(x)取得最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝ln 22－12. 所以g(x)<x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22－12，＋∞.高中数学选择性必修二《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（二）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( ) A ．10 B ．20 C ．16 D ．122．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1(n≥2)，则a 5等于( )A ．－163 D ．163 C ．－83 D ．833．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3 4．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－55．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )A ．第8项B ．第10项C ．第12项D ．第14项 6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝( )A ．2 D ．12 C ．3 D ．137．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －18．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n－i ＋1(i 是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数不超过2m(m ＞1，m ∈N *)的对称数列，且1,2,4，…，2m －1是数列{b n }的前m 项，则当m ＞1 200时，数列{b n }的前2 019项和S 2 019的值不可能为( ) A ．2m－2m －2 009B ．22 019－1C ．2m ＋1－22m －2 019－1 D ．3·2m －1－22m －2 020－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的公比q ＝－23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 1010．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是( ) A ．若S 5＝S 9，则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9，则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6＞S 7，则必有S 7＞S 8D ．若S 6＞S 7，则必有S 5＞S611．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( ) A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝ln n n ＋1第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a n ＝________，S 10＝________.15．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.16．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f(x n －1)(n≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 020.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132.(1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 21．(本小题满分12分)在①a n ＋1＝a n 3a n ＋1，②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，其中1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列，③1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝1，________.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由． 答案解析第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( ) A ．10 B ．20 C ．16 D ．12 解析：选D ∵{a n }是等差数列， ∴d ＝a 5－a 35－3＝52，∴a 7＝2＋4×52＝12.2．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1(n≥2)，则a 5等于( )A ．－163 D ．163 C ．－83 D ．83解析：选B ∵a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1，∴a 2＝(－1)2×2×13＝23，a 3＝(－1)3×2×23＝－43，a 4＝(－1)4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－83，a 5＝(－1)5×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83＝163.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3解析：选A 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.4．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－5 解析：选D 因为S n ＝5n ＋1＋a ＝5×5n＋a ，由等比数列的前n 项和S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝a 11－q－a 11－q·q n ，可知其常数项与q n的系数互为相反数，所以a ＝－5. 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )A ．第8项B ．第10项C ．第12项D ．第14项 解析：选D 当n 为正奇数时，a n ＋1＝2a n ，则a 2＝2a 1＝2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝a n ＋1，得a 3＝3，依次类推得a 4＝6，a 5＝7，a 6＝14，a 7＝15，…，归纳可得数列{a n }的通项公式a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋12－1，n 为正奇数，2n2＋1－2，n 为正偶数，则2n2＋1－2＝254，n ＝14，故选D.6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝( )A ．2 D ．12 C ．3 D ．13解析：选C ∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3＝35.∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，∴a 2＝3.故选C. 7．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1解析：选A 由题知a 1＝1，q ＝13，则a n －a n －1＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.设数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1的前n 项和为S n ， ∴S n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n .又∵S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ，∴a n ＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n .8．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n－i ＋1(i 是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数不超过2m(m ＞1，m ∈N *)的对称数列，且1,2,4，…，2m －1是数列{b n }的前m 项，则当m ＞1 200时，数列{b n }的前2 019项和S 2 019的值不可能为( ) A ．2m－2m －2 009B ．22 019－1C ．2m ＋1－22m －2 019－1 D ．3·2m －1－22m －2 020－1解析：选A 若数列{b n }的项数为偶数，则数列可设为1,21,22，…，2m －1,2m －1， (22)2,1，当m≥2 019时， S 2 019＝1×(1－22 019)1－2＝22 019－1，故B 可能．当1 200＜m ＜2 019时，S 2 019＝2×1×(1－2m)1－2－1×(1－22m －2 019)1－2＝2m ＋1－22m －2 019－1，故C 可能．若数列为奇数项，则数列可设为1,21,22，…，2m －2,2m －1,2m －2， (22)2,1，当m≥2 019时，S 2 019＝1×(1－22 019)1－2＝22 019－1.当1 200＜m ＜2 019时，S 2 019＝2×1×(1－2m －1)1－2－1×(1－22m －1－2 019)1－2＋2m －1＝3·2m －1－22m －2 020－1，故D 可能．故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的公比q ＝－23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10 解析：选AD ∵等比数列{a n }的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10＝a 29⎝ ⎛⎭⎪⎫－23<0，故A 正确； 但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确； ∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数，又∵b 1＝12>0，∴d<0，∴b 9>b 10，故D 正确；∴b 10一定是负数，即b 10<0，故C 不正确．故选A 、D.10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是( ) A ．若S 5＝S 9，则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9，则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6＞S 7，则必有S 7＞S 8D ．若S 6＞S 7，则必有S 5＞S 6解析：选ABC ∵等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2，若S 5＝S 9，则5a 1＋10d ＝9a 1＋36d ，∴2a 1＋13d ＝0， ∴a 1＝－13d2，∵a 1＞0，∴d ＜0，∴a 1＋a 14＝0，∴S 14＝7(a 1＋a 14)＝0，A 对；又∵S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－13nd 2＋n (n －1)d 2＝d[(n －7)2－49]2，由二次函数的性质知S 7是S n中最大的项，B 对；若S 6＞S 7，则a 7＝a 1＋6d ＜0，∴a 1＜－6d ， ∵a 1＞0，∴d ＜0，∴a 6＝a 1＋5d ＜－6d ＋5d ＝－d ，a 8＝a 7＋d ＜a 7＜0， S 7＞S 8＝S 7＋a 8，C 对；由a 6＜－d 不能确定a 6的符号，所以S 5＞S 6不一定成立，D 错．故选A 、B 、C.11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( ) A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍解析：选ABD 设此人第n 天走a n 里路，则{a n }是首项为a 1，公比为q ＝12的等比数列．所以S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192.a 3＝a 1q 2＝192×14＝48，所以A 正确，由a 1＝192，则S 6－a 1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B 正确． a 2＝a 1q ＝192×12＝96，而14S 6＝94.5＜96，所以C 不正确．a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＝336，则后3天走的路程为378－336＝42而且42×8＝336，所以D 正确． 故选A 、B 、D.12．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝ln nn ＋1解析：选CD 对A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误；对C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确； 对D ，若a n ＝lnn n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln n n ＋1＝ln n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)递减，所以数列{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确． 故选C 、D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．解析：由a n ＝2 020－3n>0，得n<2 0203＝67313，又∵n ∈N *，∴n 的最大值为673. 答案：67314．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a n ＝________，S 10＝________.解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝20－2(n －1)＝22－2n .S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案：22－2n 11015．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.解析：因为数列1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.因为数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，又b 2＝1×q 2＞0(q 为等比数列的公比)，所以b 2＝3，则b 2a 1＋a 2＝310. 答案：31016．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.解析：设{a n }的公比为q ，q>0，且a 23＝1， ∴a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍去)，a 1＝1q2＝4. ∴S 5＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝314.答案：314四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f(x n －1)(n≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 020.解：(1)证明：∵x n ＝f(x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n≥2且n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n≥2且n ∈N *)， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是公差为13的等差数列．(2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53.∴1x 2 020＝2 020＋53＝675. ∴x 2 020＝1675.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132.(1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .解：(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.(2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，所以a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，所以数列{a 2n }是首项为1，公比为14的等比数列，故a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差是d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n <a n ＋1，得q>1，又a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2， 因为S 3＝2S 2＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＝2(a 1＋a 2)＋1，则1＋q ＋q 2＝2(1＋q)＋1，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，b n ＝(2n －1)·a n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)， 则T n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，两式相减，得－T n ＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n －1)×2n，即－T n ＝1＋22＋23＋24＋ (2)－(2n －1)×2n， 化简得T n ＝(2n －3)×2n＋3. 21．(本小题满分12分)在①a n ＋1＝a n 3a n ＋1，②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，其中1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列，③1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝1，________. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：若选条件①：(1)易知a n ≠0，∵a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1－1a n ＝3.又1a 1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列，∴1a n ＝3n －2，∴a n ＝13n －2. (2)证明：由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13， 故T n ＜13.若选条件②：(1)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，则1a 2＝1＋d ，1a 3＋1＝2＋2d ，1a 6＝1＋5d ，∵1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列， ∴(2＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d ＝3或d ＝－1.当d ＝－1时，1a 2＝1＋d ＝0，此时1a 2，1a 3＋1，1a 6不能构成等比数列，∴d ＝3，∴1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， ∴a n ＝13n －2. (2)由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13， 故T n ＜13.若选条件③：(1)由1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n 2知，当n≥2时，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －1＝3(n －1)2－(n －1)2，两式相减，得1a n ＝3n 2－n 2－3(n －1)2－(n －1)2＝3n －2，∴a n ＝13n －2(n≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也适合上式， ∴a n ＝13n －2. (2)由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13， 故T n ＜13.22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2 d.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n(n ∈N *)．(2)假设存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k . 因为b n ＝a n a n ＋1＝nn ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1，所以⎝⎛⎭⎪⎫m m ＋12＝12×k k ＋1.整理，得k ＝2m2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m ，k 的方法： 因为k>0，所以－m 2＋2m ＋1>0， 解得1－2<m<1＋ 2. 因为m≥2，m ∈N *， 所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8使得b 1，b m ，b k 成等高中数学选择性必修二《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（三）一、单选题1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2 2．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．13π+ B ．4π+．6π+．2π4．若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞ 5．曲线2yx x 在点(1,0)处的切线方程是（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．10x y --=D ．10x y +-=6．已知函数()f x 的导函数()()()1f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．()2,+∞C ．()0,1D ．(),3-∞- 7．已知函数()cos xf x e x =+，设()10.3a f -=，()0.32b f -=，()2log0.2c f =，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a << 8．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）A ()()34f ππ-< B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π>-D ．()()63f ππ<二、多选题9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20192020f ef < B ．()()20192020ef f >C ．()f x 是R 上的增函数D ．若0t >，则有()()tf x e f x t <+10．若直线12y x b =+是函数()f x 图像的一条切线，则函数()f x 可以是（ ） A ．1()f x x=B ．4()f x x =C ．()sin f x x =D ．()x f x e = 11．已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．1-是函数()f x 的极小值点B ．3-是函数()f x 的极小值点C ．函数()f x 在区间()3,1-上单调递增 D ．函数()f x 在0x =处切线的斜率小于零 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＞时，()1xx f x e -=.则下列结论正确的是（ ）.A ．当0x <时，()()1xf x e x =-+B ．函数()f x 在R 上有且仅有三个零点C ．若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是()()22f m f -≤≤D ．12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -<三、填空题13．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()321xf x x f x e '=-++，则()1f '的值等于__________.14．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A 对应________；B 对应________；。
导数及其应用运算单调性极值与定积分单元过关检测卷(二)附答案人教版高中数学艺考生专用
高中数学专题复习
《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元
过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的是
（ ） A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀
B ．0x -是)(x f -的极小值点
C ．0x -是)(x f -的极小值点
D ．0x -是)(x f --的极小值点（2020年
高考福建卷（文））
2．若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ,2x ,且11()=f x x ,则关于x 的方程
213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是 (A)3 (B)4 (C) 5 (D)6（2020年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））
3．设0a >且1a ≠，则“函数()x
f x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)
g x a x =-在R 上是增函数”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件。
导数及其应用运算单调性极值与定积分单元过关检测卷(一)含答案人教版高中数学新高考指导艺考生专用
高中数学专题复习《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ,2x ,且11()=f x x ,则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6（2020年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））2．由曲线y=2x ,y=3x 围成的封闭图形面积为（ ） （A ）112(B)14(C)13(D)712（2020山东理7)3．函数()()m nf x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==（2020安徽理）B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.4．设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ） ()A 1ln2- ()B 2(1ln 2)- ()C 1ln2+ ()D 2(1ln 2)+5．如下图，已知()32()0,f x ax bx cx d a =+++≠记()243,b ac ∆=-则当00()a f x ∆≤>且时，的大致图象为（ ）.答案C6．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B7．下列图像中有一个是函数1)1(31)(223+-++=x a ax x x f)0,(≠∈a R a 的导数)(x f ' 的图像，则=-)1(f（ ）Ayox Dyoxy oxCy oxBA .31B .31-C .37D .31-或35答案B8．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为9．（2020天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A 在区间1(,1),(1,)e e内均有零点。
导数及其应用运算单调性极值与定积分单元过关检测卷(三)含答案人教版新高考分类汇编艺考生专用
高中数学专题复习《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．函数y ＝x co s x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ） （A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（2020全国2理）（10）2．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．2π5B ．43C ．32D ．π2（2020湖北理）3．设b a <，函数)()(2b x a x y --=的图象可能是（ ）(2020安徽理)[解析]：/()(32)y x a x a b =---，由/0y =得2,3a b x a x +==，∴当x a =时，y 取极大值0，当23a b x +=时y 取极小值且极小值为负。
故选C 。
或当x b <时0y <，当x b >时，0y >选C4．函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f （x ）＞2x+4的解集为（ ）（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞）（2020辽宁理11） 5．设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ） ()A 1ln2- ()B 2(1ln 2)- ()C 1ln2+ ()D 2(1ln 2)+6．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f7．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为（ ） （A ）y ＝3x －4 （B ）y ＝－3x ＋2（C ）y ＝－4x ＋3 （D ）y ＝4x －5（2020全国2文）（3） 8．若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为xb y ao (A )x b y ao (B )x b y a o (C )xb y a o (D )A. (,)0+∞B. -+10⋃2∞（，）（，）C. (,)2+∞D. (,)-109．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为10．f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤,对任意正数a 、b ,若a ＜b ，则必有 A ．af(b) ≤bf(a) B ．bf(a) ≤af(b) C ．af(a) ≤f(b)D ．bf(b) ≤f(a)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为__________________________.12．若3()3f x ax x =-在R 上是单调函数，则a 的取值范围为______.13．如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，'()f x 为函数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ⋅<的解集为______oyx-3314．已知函数12)(,1)(332++-=++=a a x x g a xx x f 若存在， )1(,1,21>⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a a ξξ，使得12|()()|9f g ξξ-≤，则a 的取值范围是 ▲ .15．若函数32()31f x x a x =-+的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a 的取值范围 (-1,1) 。
导数及其应用运算单调性极值与定积分单元过关检测卷(二)带答案人教版高中数学艺考生专用
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《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元
过关检测
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第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的是
（ ） A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀
B ．0x -是)(x f -的极小值点
C ．0x -是)(x f -的极小值点
D ．0x -是)(x f --的极小值点（2020
年高考福建卷（文））
2．若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ,2x ,且11()=f x x ,则关于x 的方程
213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是 (A)3 (B)4 (C) 5 (D)6（2020年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））
3．设0a >且1a ≠，则“函数()x
f x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)
g x a x =-在R 上是增函数”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件。
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第I 卷（选择题）
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得分
一、选择题
1．设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2020(x )＝（ ） A ．sinx B ．－sinx
C ．cos x
D ．－cosx （2020湖
南理)
2．设函数1
()f x x
=
,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ）
A ．12120,0x x y y +>+>
B ．12120,0x x y y +>+<
C ．12120,0x x y y +<+>
D ．12120,0x x y y +<+<（2020山东文）
解析:设32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不
同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2
()03F b =,因
为(0)1F =,故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <,则322
23
x b ==.所以。