2022年全国版高考数学必刷题第五单元导数的概念与计算定积分与微积分定理

第五单元 导数的概念与计算、定积分与微积分定理考点一 导数的计算1.(2016年四川卷)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )={-lnx,0<x <1,lnx,x >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ).A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞) 【解析】由图象易知P 1,P 2位于f (x )图象的两段上,不妨设P 1(x 1,-ln x 1)(0<x 1<1),P 2(x 2,ln x 2)(x 2>1), 则函数f (x )的图象在点P 1处的切线l 1的方程为y+ln x 1=-1x 1(x-x 1),即y=-x x 1+1-ln x 1. ①则函数f (x )的图象在点P 2处的切线l 2的方程为y-ln x 2=1x 2(x-x 2),即y=x x 2-1+ln x 2. ②由l 1⊥l 2,得-1x 1×1x 2=-1,∴x 1x 2=1.由切线方程可求得A (0,1-ln x 1),B (0,ln x 2-1), 由①②知l 1与l 2交点的横坐标x P =2−lnx 1-lnx 21x 1+1x 2=2x1+x 2. ∴S △PAB =12×(1-ln x 1-ln x 2+1)×2x1+x 2=2x1+x 2=2x 1+1x1. 又∵x 1∈(0,1),∴x 1+1x 1>2,∴0<2x 1+1x1<1,即0<S △PAB <1.【答案】A2.(2015年天津卷)已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f'(x )为f (x )的导函数.若f'(1)=3,则a 的值为 .【解析】f'(x )=a (lnx +x ·1x)=a (1+ln x ). 因为f'(1)=a (1+ln 1)=a ,又f'(1)=3,所以a=3. 【答案】3考点二 导数的几何意义3.(2016年山东卷)若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质,下列函数中具有T 性质的是( ).A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x 3【解析】若y=f (x )的图象上存在两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2)),使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则f'(x 1)·f'(x 2)=-1.对于A :y'=cos x ,若有cos x 1·cos x 2=-1,则存在x 1=2k π,x 2=2k π+π(k ∈Z )时,结论成立; 对于B :y'=1x,若有1x 1·1x 2=-1,则存在x 1x 2=-1,∵x>0,∴不存在x 1,x 2,使得x 1x 2=-1; 对于C :y'=e x,若有e x 1·e x 2=-1,则存在e x 1+x 2=-1,显然不存在这样的x 1,x 2;对于D :y'=3x 2,若有3x 12·3x 22=-1,则存在9x 12x 22=-1,显然不存在这样的x 1,x 2.综上所述,故选A . 【答案】A4.(2015年全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=ax 3+x+1的图象在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a= .【解析】∵f'(x )=3ax 2+1,∴f'(1)=3a+1.又f (1)=a+2,∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1).∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1.【答案】15.(2016年全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x-1-x ,则曲线y=f (x )在点(1,2)处的切线方程是 .【解析】设x>0,则-x<0,f (-x )=e x-1+x.∵f (x )为偶函数,∴f (-x )=f (x ),∴f (x )=e x-1+x (x>0). ∵当x>0时,f'(x )=e x-1+1, ∴f'(1)=e 1-1+1=1+1=2.∴曲线y=f (x )在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. 【答案】2x-y=06.(2016年全国Ⅱ卷)若直线y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= .【解析】求得(ln x+2)'=1x,[ln (x+1)]'=1x+1. 设曲线y=ln x+2上的切点为(x 1,y 1),曲线y=ln (x+1)上的切点为(x 2,y 2), 则k=1x 1=1x 2+1,所以x 2+1=x 1.又y 1=ln x 1+2,y 2=ln (x 2+1)=ln x 1, 所以k=y 1-y 2x 1-x 2=2,所以x 1=1k =12,y 1=ln 12+2=2-ln 2, 所以b=y 1-kx 1=2-ln 2-1=1-ln 2. 【答案】1-ln 2考点三 定积分及其应用7.(2014年江西卷)若f (x )=x 2+2∫ 10f (x )d x ,则∫ 10f (x )d x=( ).A.-1B.-13C.13D.1【解析】∵f (x )=x 2+2∫ 10f (x )d x ,∴∫ 10f (x )d x=(13x 3+2x ∫f 10(x)dx)| 01=13+2∫f 1(x)dx, ∴ ∫ 10f (x )d x=-13.【答案】B8.(2014年山东卷)直线y=4x 与曲线y=x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ).A.2√2B.4√2C.2D.4【解析】令4x=x 3,解得x=0或x=±2,∴S=∫24x -x 3)=(2x 2-x 44) 02=8-4=4,故选D .【答案】D9.(2014年陕西卷)定积分∫ 10(2x+e x)d x 的值为( ).A.e+2B.e+1C.eD.e-1【解析】∫10(2x+e x)d x=(x2+e x)|1=e.故选C.【答案】C10.(2015年天津卷)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.【解析】如图,阴影部分的面积即为所求.由{y=x2,y=x,得A(1,1).故所求面积为S=∫10(x-x2)d x=(12x2-13x3)01=16.【答案】1611.(2015年陕西卷)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,由抛物线过点(0,-2),(-5,0),(5,0),得抛物线的函数表达式为y=225x2-2,抛物线与x轴围成的面积S1=∫5-5(2−225x2)d x=403,梯形面积S2=(6+10)×22=16.故原始的最大流量与当前最大流量比为S2∶S1=1.2.【答案】1.2高频考点:导数的几何意义、导数的运算,定积分的计算偶尔涉及.命题特点:导数的几何意义,主要以小题的形式考查,有时也会作为解答题的第一小问出现,难度不大.导数是研究函数的工具,其运算渗透在解答题中,定积分全国卷近几年没有涉及,地方卷偶尔考查,是基础题.§5.1导数概念及其运算一导数的概念1.函数y=f(x)在x=x0处的导数:定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率lim Δx→0=f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limΔx→0ΔyΔx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x.几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f'(x 0)的几何意义是曲线y=f (x )在点 处的 .相应地,切线方程为 .2.函数f (x )的导函数:lim Δx →0=f(x+Δx)-f(x)Δx . 二 基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )=x n (n ∈Q *) f'(x )= f (x )=sin x f'(x )= f (x )=cos x f'(x )= f (x )=a x f'(x )= (a>0) f (x )=e xf'(x )=f (x )=log a x f'(x )=1xlnaf (x )=ln x f'(x )=1x三 导数的运算法则1.[f (x )±g (x )]'= ;2.[f (x )·g (x )]'= ;3.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g (x )≠0). 四 复合函数的导数复合函数y=f (g (x ))的导数和函数y=f (u ),u=g (x )的导数间的关系为y x '= ,即y 对x 的导数等于 的导数与 的导数的乘积.☞ 左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x 0)与(f (x 0))'表示的意义相同. ( ) (2)函数f (x )=(x+2a )(x-a )2的导数为3(x 2-a 2).( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. ( ) (4)若f (x )=sin α+cos x ,则f'(x )=cos α-sin x.( )若f (x )=x ·e x,则f'(1)等于( ).A.0B.eC.2eD.e2曲线y=sin x+e x在点(0,1)处的切线方程是().A.x-3y+3=0B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0D.3x-y+1=0若y=ln(2x+5),则y'=.设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=f'(π2)sin x+cos x,则f'(π4)=.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,求a的值.知识清单一、1.(x0,f(x0))切线斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)二、n·x n-1cos x-sin x a x ln a e x三、1.f'(x)±g'(x)2.f'(x)g(x)+f(x)g'(x)四、y'u·u'x y对u u对x基础训练1.【解析】(1)错误,f'(x0)表示导函数值,(f(x0))'=0,是常数的导数.(2)正确,由求导公式计算可知f(x)'=3(x2-a2).(3)正确.(4)错误,f'(x)=-sin x.【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2.【解析】f'(x)=e x+x e x,则f'(1)=2e.【答案】C3.【解析】y'=cos x+e x,则切线斜率k=2,所以切线方程2x-y+1=0.【答案】C4.【解析】y'=22x+5.【答案】22x+55.【解析】因为f'(x )=f'(π2)cos x-sin x ,所以f'(π2)=-1,所以f'(π4)=√22f'(π2)-√22=-√2.【答案】-√26.【解析】设切点P (m ,ln (m+a )),又y'=1x+a, 所以{1m+a=2,ln(m +a)=2m -1,解得a=12ln 2.题型一 导数的计算【例1】(1)f (x )=x 2+xe x; (2)f (x )=x 3+2x -x 2lnx -1x 2; (3)y=x sin (2x +π2)cos (2x +π2).【解析】(1)f'(x )=(2x+1)e x -(x 2+x)e x (e x )2=1+x -x 2e x .(2)由已知得f (x )=x-ln x+2x -1x2,∴f'(x )=1-1x -2x 2+2x 3=x 3-x 2-2x+2x 3.(3)∵y=x sin (2x +π2)cos (2x +π2)=12x sin (4x+π)=-12x sin 4x ,∴y'=-12sin 4x-12x ·4cos 4x=-12sin 4x-2x cos 4x.【变式训练1】(1)函数y=(1-√x )(1+1√x),则y'= .(2)已知f (x )=sin (3x -π4),则f'(π3)= .【解析】∵y=(1-√x )(11√x )=1√x-√x =x -12-x 12,∴y'=-12x-32-12x-12=-12x-32+x-12.(2)∵y'=cos(3x-π4)·(3x-π4)'=3cos(3x-π4),∴f'(π3)=3cos(3×π3-π4)=-3√22.【答案】(1)-12x-32-x12(2)-3√22题型二导数的几何意义【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.【解析】∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1.又f(2)=-2,∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.(2)设切点坐标为(x0,x03-4x02+5x0-4),∵f'(x0)=3x02-8x0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3x02-8x0+5)(x-2).又切线过点(x0,x03-4x02+5x0-4),∴x03-4x02+5x0-2=(3x02-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,∴经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.【变式训练2】(1)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为().A.1B.2C.-1D.-2(2)设a∈R,函数f(x)=e x+ae x 的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为.【解析】(1)设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a).又y'=1x+a,所以y'|x=x0=1x0+a=1,即x0+a=1.又y0=ln(x0+a),所以y0=0,则x0=-1,所以a=2.(2)函数f(x)=e x+ae x 的导函数是f'(x)=e x-ae x.又f'(x)是奇函数,所以f'(x)=-f'(-x),即e x-ae x=-(e-x-a·e x),则e x(1-a)=e-x(a-1),所以(e2x+1)·(1-a)=0,解得a=1,所以f'(x)=e x-1e x.令e x-1e x=32,解得e x=2或e x=-12(舍去),所以x=ln2.【答案】(1)B(2)ln 2题型三导数运算的应用【例3】设点P,Q分别是曲线y=x e-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+1上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为().A.√22(2−1e) B.√2(2−1e)C.√22D.√2【解析】y'=e-x-x e-x=(1-x)e-x,令(1-x)e-x=1,得e x=1-x,e x+x-1=0,令h(x)=e x+x-1,显然h(x)是增函数,且h(0)=0,即方程e x+x-1=0只有一解x=0,曲线y=x e-x在x=0处的切线方程为y=x,故两条平行线x-y=0和x-y+1=0间的距离为d=1√2=√22,即P,Q两点间距离的最小值为√22,故选C.【答案】C【变式训练3】f(x)=x(2017+ln x),若f'(x0)=2018,则x0等于().A.e2B.1C.ln 2D.e【解析】f'(x)=2017+ln x+x×1x=2018+ln x,故由f'(x0)=2018得2018+ln x0=2018,则ln x0=0,解得x0=1.【答案】B方法一化归转化思想在导数运算中的应用对于比较复杂的函数求导,若直接套用求导法则,计算过程繁琐冗长,且易出错.可先化简将其转化为基本初等函数,再求导,但要注意变形的等价性,避免不必要的失误.【突破训练1】求下列函数的导数.(1)y=√x1−√x +√x 1+√x;(2)y=x ln √2x.【解析】(1)∵y=(1+√x)2+(1−√x)21−x =2(1+x)1−x =41−x -2,∴y'=4(1-x)2. (2)y=x ln (2x )12=12x ln 2x ,y'=(12xln2x)'=12[x'ln 2x+x (ln 2+ln x )']=12(ln 2x+1).方法二 求切线斜率的方法导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A (x 0,f (x 0)),求斜率k ,即求该点处的导数值:k=f'(x 0). (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f'(x 1)=k.(3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由{y 1=f(x 1),y 0-y 1=f'(x 1)(x 0-x 1)求解即可.【突破训练2】已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y=f (x )相切,求直线l 的方程.【解析】∵点(0,-1)不在曲线f (x )=x ln x 上,∴设切点为(x 0,y 0).又∵f'(x )=1+lnx ,∴{y 0=x 0lnx 0,y 0+1=(1+lnx 0)x 0,解得x 0=1,y 0=0.∴切点为(1,0).又∵f'(1)=1+ln 1=1,∴直线l 的方程为y=x-1,即x-y-1=0.1.(2017海南八校一模)已知函数f (x )=axx 2+3,若f'(1)=12,则实数a 的值为( ).A .2B .4C .6D .8 【解析】函数f (x )=axx 2+3,则f'(x )=a(x 2+3)−ax(2x)(x 2+3)2,∵f'(1)=12,即f'(1)=4a -2a 16=12,∴a=4. 【答案】B2.(2017吉林白山二模)设f (x )存在导函数且满足lim Δx →0f(1)-f(1-2Δx)Δx =-2,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为( ).A .-1B .-2C .1D .2【解析】y=f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f'(1)=lim Δx →0=f(1)-f(1-2Δx)2Δx =-1. 【答案】A3.(2017惠州模拟)已知函数f (x )=1x cos x ,则f (π)+f'(π2)=( ).A .-3π2 B .-1π2C .-3πD .-1π【解析】因为f'(x )=-1x 2cos x+1x (-sin x ),所以f (π)+f'(π2)=-1π+2π×(-1)=-3π. 【答案】C4.(2017江西南昌模拟)已知函数f (x )=ln √x 2+1,则f'(2)=( ).A .15B .25C .35D .45【解析】因为f (x )=ln √x 2+1=12ln (x 2+1),所以f'(x )=12×2x 1+x 2=x1+x 2,所以f'(2)=21+22=25,故选B .【答案】B5.(2017西宁复习检测)已知曲线y=x+1x -1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( ).A .-2B .2C .-12D .12【解析】由y'=-2(x -1)2,得曲线在点(3,2)处的切线的斜率为-12.又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,所以a=-2,故选A .【答案】A6.(2017河南郑州二模)设函数f (0)(x )=sin x ,定义f (1)(x )=f'[f (0)(x )],f (2)(x )=f'[f (1)(x )],…,f (n )(x )=f'[f (n-1)(x )],则f (1)(15°)+f (2)(15°)+…+f (2017)(15°)的值为( ).A .√6+√24B .√6-√24C .0D .1【解析】f 0(x )=sin x ,则f (1)(x )=cos x ,f (2)(x )=-sin x ,f (3)(x )=-cos x ,f (4)(x )=sin x ,f (5)(x )=cos x ,…,则f (1)(x )=f (5)(x )=f (9)(x )=…,即f (n )(x )=f (n+4)(x ),则f (n )(x )是周期为4的周期函数.又f (1)(x )+f (2)(x )+f (3)(x )+f (4)(x )=sin x+cos x-sin x-cos x=0,且2017=504×4+1,∴f (1)(15°)+f (2)(15°)+…+f (2017)(15°)=f (1)(15°)=cos 15°=cos (45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin45°sin 30°=√22×√32+√22×12=√6+√24.【答案】A7.(2017江西七校一模)已知函数f (x )=x 2+f'(2)(ln x-x ),则f'(4)= .【解析】f (x )=x 2+f'(2)(ln x-x ),则f'(x )=2x+f'(2)(1x -1),则f'(2)=4+f'(2)(12-1),∴f'(2)=83,∴f'(x )=2x+83(1x -1),∴f'(4)=6.【答案】68.(2017郑州第二次质检)如图,y=f (x )是可导函数,直线l :y=kx+2是曲线y=f (x )在x=3处的切线,令g (x )=xf (x ),其中g'(x )是g (x )的导函数,则g'(3)= .【解析】由题图可得曲线y=f (x )在x=3处的切线的斜率为-13,即f'(3)=-13.又因为g (x )=xf (x ),所以g'(x )=f (x )+xf'(x ),g'(3)=f (3)+3f'(3),由题图可知f (3)=1,所以g'(3)=1+3×(-13)=0.【答案】09.(2017保定一模)若函数f (x )=ln x+ax 的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a 的取值范围是 .【解析】函数f (x )=ln x+ax 的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x )=2在x ∈(0,+∞)上有解,而f'(x )=1x+a ,即1x+a=2在x ∈(0,+∞)上有解,a=2-1x,因为x>0,所以2-1x<2,所以a 的取值范围是(-∞,2).【答案】(-∞,2)10.(2017安徽安庆二模)给出定义:设f'(x )是函数y=f (x )的导函数,f″(x )是函数f'(x )的导函数,若方程f″(x )=0有实数解x 0,则称点(x 0,f (x 0))为函数y=f (x )的“拐点”.已知函数f (x )=3x+4sin x-cos x 的拐点是M (x 0,f (x 0)),则点M ( ).A .在直线y=-3x 上B .在直线y=3x 上C .在直线y=-4x 上D .在直线y=4x 上【解析】 f'(x )=3+4cos x+sin x ,f″(x )=-4sin x+cos x ,令f″(x )=0,则有4sin x 0-cos x 0=0,所以f (x 0)=3x 0,故拐点M (x 0,f (x 0))在直线y=3x 上.【答案】B11.(湖南衡阳八中2017适应性试卷)已知函数f (x )=ax 2+bx (a>0,b>0)的图象在点(1,f (1))处的切线的斜率为2,则8a+bab的最小值是( ).A .9B .10C .16D .25【解析】由f (x )=ax 2+bx ,得f'(x )=2ax+b.又因为f (x )=ax 2+bx (a>0,b>0)的图象在点(1,f (1))处的切线的斜率为2,所以f'(1)=2a+b=2,即a+b2=1.则8a+b ab =8b +1a=(a +b 2)(8b +1a )=8a b +b 2a+5≥2√8a b ·b2a+5=9,当且仅当{2a +b =2,8a b=b 2a,即{a =13,b =43时等号成立.所以8a+b ab的最小值是9. 【答案】A12.(2017北京东城区模考)已知M ,N 分别是曲线y=e x与直线y=e x-1上的点,则线段MN 的最小值为( ).A .1e 2+1B .√e 2+1e 2+1C .√e 2+1D .e【解析】设曲线y=e x在某点处的切线为l ,当切线l 与直线y=e x-1平行时,这两条平行直线间的距离就是所求的最小值.因为切线l 与直线y=e x-1平行,所以切线l 的斜率为e .设切点坐标为M (a ,b ),又曲线y=e x在点M (a ,b )处的切线的斜率为y'| x=a =e a,由e a=e ,得a=1,所以切点M 的坐标为(1,e ),故切线l 的方程为y-e=e (x-1),即e x-y=0. 又直线y=e x-1,即e x-y-1=0, 所以d=√e 2+1=√e 2+1e 2+1,即线段MN 的最小值为√e 2+1e 2+1.【答案】B13.(2017河北衡水一模)定义:如果函数f (x )在[a ,b ]上存在x 1,x 2(a<x 1<x 2<b )满足f'(x 1)=f(b)-f(a)b -a ,f'(x 2)=f(b)-f(a)b -a,那么称函数f (x )是[a ,b ]上的“双中值函数”.已知函数f (x )=x 3-x 2+a 是[0,a ]上的“双中值函数”,那么实数a 的取值范围是( ).A .(13,12)B .(32,3)C .(12,1)D .(13,1)【解析】由题意可知,在区间[0,a ]存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<a ),满足f'(x 1)=f'(x 2)=f(a)-f(0)a=a 2-a , ∵f (x )=x 3-x 2+a ,∴f'(x )=3x 2-2x ,∴方程3x 2-2x=a 2-a 在区间(0,a )上有两个不相等的解.令g (x )=3x 2-2x-a 2+a (0<x<a ),则{Δ=4−12(−a 2+a)>0,g(0)=-a 2+a >0,g(a)=2a 2-a >0,0<13<a,解得12<a<1.∴实数a 的取值范围是(12,1).【答案】C14.(2017四川南充一诊)已知函数f (x )=sin (2x+θ),f'(x )是f (x )的导函数,若函数f (x )+f'(x )为奇函数,则tanθ= .【解析】∵f (x )=sin (2x+θ),∴f'(x )=2cos (2x+θ), 则f (x )+f'(x )=sin (2x+θ)+2cos (2x+θ).∵f (x )+f'(x )为奇函数,∴sin (-2x+θ)+2cos (-2x+θ)=-sin (2x+θ)-2cos (2x+θ),即-sin (2x-θ)+2cos (2x-θ)=-sin (2x+θ)-2cos (2x+θ),则-sin 2x cos θ+cos 2x sin θ+2cos 2x cos θ+2sin 2x sin θ=-sin 2x cos θ-cos 2x sin θ-2cos 2x cos θ+2sin 2x sin θ,得2cos 2x sin θ=-4cos 2x cos θ,解得sin θ=-2cos θ,即tan θ=-2, 【答案】-215.(2017辽宁葫芦岛模考)已知函数f (x )=ax 3+x 2+bx+2中a ,b 为参数,且曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y=6x-1,则f (-1)= .【解析】∵f (x )=ax 3+x 2+bx+2,∴f'(x )=3ax 2+2x+b ,∴f (1)=a+b+3,f'(1)=3a+b+2,故切线方程为y-(a+b+3)=(3a+b+2)(x-1),即y=(3a+b+2)x-2a+1. 而y=6x-1,则{3a +b +2=6,-2a +1=−1,解得{a =1,b =1,故f (x )=x 3+x 2+x+2,则f (-1)=1. 【答案】116.(2017河北唐山一中月考)已知函数f (x )=ax 3+3x 2-6ax-11,g (x )=3x 2+6x+12和直线m :y=kx+9,且f'(-1)=0. (1)求a 的值.(2)是否存在k ,使直线m 既是曲线y=f (x )的切线,又是曲线y=g (x )的切线?如果存在,求出k 的值;如果不存在,请说明理由.【解析】 (1)由已知得f'(x )=3ax 2+6x-6a ,因为f'(-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2.(2)存在.由已知得直线m恒过定点(0,9),若直线m是曲线y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3x02+6x0+12).因为g'(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将(0,9)代入切线方程,解得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由(1)知f(x)=-2x3+3x2+12x-11,①由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.在x=-1处,y=f(x)的切线方程为y=-18,在x=2处,y=f(x)的切线方程为y=9,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.②由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.在x=0处,y=f(x)的切线方程为y=12x-11,在x=1处,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.§5.2定积分与微积分基本定理一定积分的几何意义∫baf(x)d x(f(x)>0)的几何意义:表示直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的的面积.二定积分的性质1.∫ba kf(x)d x=k∫baf(x)d x(k为常数).2.∫ba [f1(x)±f2(x)]d x=∫baf1(x)d x±∫baf2(x)d x.3.∫ba f(x)d x=∫caf(x)d x+∫bcf(x)d x(其中a<c<b).三微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且F'(x)=f(x),那么∫baf(x)d x=,这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记作,即∫ba f(x)dx=F(x)|ba=F(b)-F(a).☞左学右考∫1(e x+2x)d x等于().A.1B.e-1C.eD.e+1定积分∫2-2|x2-2x|d x等于().A.5B.6C.7D.8若∫Tx2d x=9,则常数T的值为.已知质点的速率v=10t,求从t=0到t=2质点所经过的路程.知识清单一、曲边梯形三、F(b)-F(a)F(x)|ba基础训练1.【解析】∫10(e x+2x)d x=(e x+x2)|1=e+1-1=e.【答案】C2.【解析】∫2-2|x2-2x|d x=∫0-2(x2-2x)d x+∫2(2x-x2)d x=(13x3-x2)|-2+(x2-13x3)|2=8.【答案】D3.【解析】由∫T0x2d x=9得13(T3-0)=9,解得T=3.【答案】34.【解析】S=∫20v d t=∫210t d t=5t2|2=20.题型一定积分的计算【例1】(1)∫ 1-1(x 2+sin x )d x ;(2)∫ 31√3+2x -x 2d x.【解析】(1)∫ 1-1(x 2+sin x )d x=∫ 1-1x 2d x+∫ 1-1sin x d x=2·∫ 10x 2d x=2·x 33| 1 0=23.(2)由定积分的几何意义知,∫ 31√3+2x -x 2d x 表示圆(x-1)2+y 2=4和x=1,x=3,y=0围成的图形的面积,∴∫ 31√3+2x -x 2d x=14×π×4=π.【变式训练1】∫ 1-1(x 2+√1−x 2)d x= .(2)设f (x )={x 2,x ∈(0,1],1x,x ∈(1,e)(e 为自然对数的底数),则∫ e0f (x )d x 的值为 .【解析】 (1)原式∫ 1-1x 2d x+∫ 1-1√1−x 2d x=13x 3| 1 -1+∫ 1-1√1−x 2d x=23+∫ 1-1√1−x 2d x ,∵∫ 1-1√1−x 2d x 等于半径为1的圆的面积的12,∴∫ 1-1√1−x 2d x=π2,故原式=π2+23.(2)∵f (x )={x 2,x ∈(0,1],1x,x ∈(1,e),∴∫ e0f (x )d x=∫ 10x 2d x+∫ e 11x d x=(13x 3)| 1 0+ln x | e 1=13+ln e =43.【答案】(1)π2+23(2)43题型二 定积分在平面几何中的应用【例2】求由曲线y=√x 、y=2-x 、y=-13x 所围成的图形的面积.【解析】画出草图,如图.解方程组{y =√x,x +y =2,{y =√x,y =−13x 及{x +y =2,y =−13x, 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以S=∫ 10[√x -(-13x)]d x+∫ 31[(2-x)-(-13x)]d x=∫ 10(√x +13x)d x+∫ 31(2−x +13x)d x=(23x 32+16x 2)| 1 0+(2x -12x 2+16x 2)| 3 1=23+16+(2x -13x 2)| 3 1=56+6-13×9-2+13=136.【变式训练2】求抛物线y 2=2x 和直线y=-x+4所围成的图形的面积.【解析】先求抛物线和直线的交点,解方程组{y 2=2x,y =−x +4,得交点坐标为A (2,2)和B (8,-4).选取x 为积分变量,变化区间为[0,8],将图形分割成两部分(如图),则面积为S=S 1+S 2=2∫ 20√2x d x+∫ 82(√2x -x+4)d x=4√23x 32| 2+2√23x 32-12x 2+4x | 82=18. 题型三 定积分在物理中的应用【例3】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t )=7-3t+251+t (t 的单位:s ,v 的单位:m/s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m )是( ).A .1+25ln 5B .8+25ln 113C .4+25ln 5D .4+50ln 2【解析】令v (t )=0,得t=4或t=-83(舍去),∴汽车继续行驶的距离S=∫ 40(7−3t +251+t)d t=7t-32t 2+25ln (1+t )| 4=28-24+25ln 5=4+25ln 5.【答案】C【变式训练3】一物体在力F (x )={5,0≤x ≤2,3x +4,x >2(单位:N )的作用下沿与力F 相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m )处,则力F (x )做的功为 J .【解析】由题意知,力F (x )所做的功为W=∫ 40F (x )d x=∫ 205d x+∫ 42(3x+4)d x=5×2+(32x 2+4x)| 42=10+[32×42+4×4−(32×22+4×2)]=36(J ).【答案】36方法 计算定积分的方法(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差,用积分性质求积分.(2)根据定积分的几何意义,转化为求封闭图形的面积.【突破训练】用min {a ,b }表示a ,b 两个数中的较小的数,设f (x )=min {x 2,√x },那么由函数y=f (x )的图象、x轴、直线x=12和直线x=4所围成的封闭图形的面积为 .【解析】由题意知,所求图形的面积为如图所示的阴影部分的面积,即所求的面积S=∫ 112x2d x+∫ 41√x d x=13x 3| 112+23x 32| 4 1=13-13×18+(163-23)=11924.【答案】119241.(2017山东模拟)若f (x )=x+2∫ 10f (t )d t ,则f (x )=( ).A .2x-1B .2x+1C .x+1D .x-1【解析】记a=∫ 10f (t )d t ,则f (x )=x+2a ,故∫ 10f (x )d x=∫ 10(x+2a )d x=12+2a ,所以a=12+2a ,a=-12,故f (x )=x-1. 【答案】D2.(2017广东汕头模拟)已知等比数列{a n }中,a 5+a 7=∫ 2-2√4−x 2d x ,则a 6(a 4+2a 6+a 8)的值为( ).A .16π2B .4π2C .2π2D .π2【解析】∵∫ 2-2√4−x 2d x 表示以原点为圆心,2为半径的圆的面积的二分之一,∴∫ 2-2√4−x 2d x=12π×4=2π,∴a 5+a 7=2π.∵{a n }为等比数列,∴a 6(a 4+2a 6+a 8)=a 6a 4+2a 62+a 6a 8=a 52+2a 5a 7+a 72=(a 5+a 7)2=4π2.【答案】B3.(2017江西南昌模拟)若a=∫ 20x 2d x ,b=∫ 20x 3d x ,c=∫ 20sin x d x ,则a ,b ,c 的大小关系是( ).A .a<c<bB .a<b<cC .c<b<aD .c<a<b【解析】因为a=∫ 20x 2d x=13x 3| 2 0=83,b=∫ 20x 3d x=14x 4| 2 0=4,c=∫ 20sin x d x=(-cos x )| 2 0=1-cos 2<2,所以c<a<b.【答案】D4.(2017广西南宁二模)定义min {a ,b }={a,a ≤b,b,a >b,设f (x )=min {x 2,1x },则由函数f (x )的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为( ).A .712B .512C .13+ln 2D .16+ln 2【解析】由1x =x 2,得x=1,又当x<0时,1x<x 2,所以根据新定义有f (x )=min x2,1x={x 2,0<x ≤1,1x,x <0或x >1.函数f (x )的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形为图中阴影部分(如图),则其面积为S=∫ 10x 2d x+∫ 211x d x=13x 3| 1 0+ln x | 2 1=13+ln 2.【答案】C5.(2017湖南衡阳一模)下列4个不等式:①∫ 10√x d x<∫ 10√x 3d x ; ②∫ π40sin x d x<∫ π40cos x d x ; ③∫ 10e -x d x<∫ 10e -x 2d x ;④∫20sin x d x<∫2x d x.其中,正确的个数为().A.1B.2C.3D.4【解析】①∵x∈(0,1),∴√x<√x3,∴∫1√x d x<∫10√x3d x;②∵x∈[0,π4],∴sin x<cos x,∴∫π4sin x d x<∫π4cos x d x;③∵x∈(0,1),∴e-x<e-x2,∴∫10e-x d x<∫10e-x2d x;④∵∫20sin x d x=-cos x|2=1-cos 2∈(1,2),∫2x d x=12x2|2=2,∴∫2sin x d x<∫2x d x.综上可知,正确的个数为4.【答案】D6.(2017安徽合肥期中)物体A以速度v=3t2+1(单位:m/s)在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5 m处,同时以v=10t的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间为().A.3B.4C.5D.6【解析】因为物体A在t s内行驶的路程为∫t0(3t2+1)d t,物体B在t s内行驶的路程为∫t10t d t,所以∫t 0(3t2+1-10t)d t=(t3+t-5t2)|t=t3+t-5t2=5,即(t-5)(t2+1)=0,所以t=5.【答案】C7.(2017天津市红桥区期中)如图,由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于().A.1B.43C.23D.13【解析】由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于2∫10√x d x=2×23x32|1=43.【答案】B8.(2017山东烟台期中)曲线y=x3与直线y=x所围成的图形的面积为().A.13B.12C.1D.2【解析】曲线y=x3与直线y=x的交点坐标为(0,0),(1,1),(-1,-1).曲线y=x 3与直线y=x在第一象限所围成的图形的面积是∫ 10(x-x 3)d x=(12x 2-14x 4)| 1 0=12-14-0=14.由y=x 3与y=x 都是奇函数,可知它们在第三象限的面积与第一象限的面积相等.所以曲线y=x 3与y=x 所围成的图形的面积为12,故选B .【答案】B9.(2017山东联考)由曲线y=x 3与y=√x 围成的封闭图形的面积是 .【解析】如图,在同一平面直角坐标系内画出y=x 3与y=√x 的图象,则封闭图形的面积S=∫ 10(√x -x 3)d x=(23x 32-14x 4)| 1=23-14=512.【答案】51210.(2017山西晋中月考)如图,矩形OABC 内的阴影部分由曲线f (x )=sin x 及直线x=a (a ∈(0,π))与x 轴围成.向矩形OABC 内随机掷一点,该点落在阴影部分的概率为38,则a= .【解析】根据题意,阴影部分的面积为∫ a0sin x d x=-cos x | a 0=1-cos a ,矩形的面积为a ·4a =4.由几何概型的概率公式可得1−cosa 4=38, 即cos a=-12,又a ∈(0,π),∴a=2π3.【答案】2π311.(2017广东湛江二模)曲线y=2x与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为( ).A .2-ln 2B .2ln 2-12C .2+ln 2D .2ln 2+12【解析】联立方程组{y =2x ,y =x -1,解得x=2,y=1, 则曲线y=2x与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为S=∫ 21(2x -x+1)d x=(2ln x-12x 2+x )| 21=(2ln 2-2+2)-(0-12+1)=2ln 2-12.【答案】B12.(2017邯郸一模)如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,则过C 、M 、D 三点的抛物线与CD 围成的阴影部分的面积是( ).A .23 B .43 C .52 D .83【解析】由题意,建立平面直角坐标系,如图所示,则D (2,1),设抛物线方程为y 2=2px ,代入D ,可得p=14,∴y=√12x ,∴S=2∫ 20√12x d x=√2·23x 32| 2 0=83,故选D .【答案】D13.(2017哈尔滨六中一模)设函数f (x )是R 上的奇函数,f (x+π)=-f (x ),当0≤x ≤π2时,f (x )=cos x-1,则当-2π≤x ≤2π时,f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积为( ).A .4π-8B .2π-4C .π-2D .3π-6【解析】由f (x+π)=-f (x ),得f (x+2π)=f (x ),即函数的周期是2π.若-π2≤x ≤0,则0≤-x ≤π2,即f (-x )=cos (-x )-1=cos x-1.∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (-x )=cos x-1=-f (x ),即f (x )=1-cos x ,-π2≤x ≤0.∵函数的周期是2π,∴当3π2<x ≤2π时,-π2<x-2π≤0,即f (x )=f (x-2π)=1-cos (x-2π)=1-cos x.当π2<x ≤π时,-π2<x-π≤0,即f (x )=-f (x-π)=cos (x-π)-1=-cos x-1,当π<x ≤3π2时,0≤x-π≤π2,即f (x )=-f (x-π)=-cos (x-π)+1=cos x+1,综上,f (x )={ cosx -1,0≤x ≤π2,-cosx -1,π2<x ≤π,cosx +1,π<x ≤3π2,1−cosx,3π2<x ≤2π.则由定积分的公式和性质可知,当-2π≤x ≤2π时,f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积S=2∫ 2π0f (x )d x=4∫ π0f (x )d x=8∫ π20|f (x )|d x=8∫ π20|(cos x-1)|d x=8∫ π20(1-cos x )d x=8(x-sin x )| π2 0=4π-8.【答案】A14.(2016山东济南二模)已知曲线y=1x与直线x=1,x=3,y=0围成的封闭区域为A ,直线x=1,x=3,y=0,y=1围成的封闭区域为B ,在区域B 内任取一点P ,该点P 落在区域A 的概率为 .【解析】由题意,A 对应区域的面积为∫ 311x d x=ln x | 31=ln 3,B 对应区域的面积为2,由几何概型的公式得所求概率为ln32. 【答案】ln3215.(2017山东德州期中)设函数f (x )对x ≠0的实数满足f (x )-2f (1x)=-3x+2,那么∫ 21f (x )d x= .【解析】∵函数f (x )对x ≠0的实数满足f (x )-2f (1x)=-3x+2,∴{f(x)-2f (1x )=−3x +2,f (1x)-2f(x)=-3x+2,解得f (x )=x+2x-2, ∴∫ 21f (x )d x=∫ 21x d x+∫ 212x d x-∫ 212d x=x 22| 21+2ln x | 2 1-2x | 2 1=2ln 2-12.【答案】2ln 2-1216.(2017江西南昌模拟)已知函数y=f (x )的图象是折线段ABC ,其中A (0,0)、B (12,5)、C (1,0),则函数y=xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为 .【解析】当0≤x ≤12时,线段AB 的方程为y=10x ;当12<x ≤1时,线段BC 方程为y -05−0=x -112-1,整理得y=-10x+10,即f (x )={10x,0≤x ≤12,-10x+10,12<x ≤1,∴y=xf (x )={10x 2,0≤x ≤12,-10x2+10x,12<x ≤1,故函数y=xf (x )(0≤x ≤1)与x 轴围成的图形的面积为S=∫ 12010x 2d x+∫ 112(-10x 2+10x )d x=103x 3| 12 0+(-103x 3+5x 2)| 1 12=54.【答案】54。