北京理工大学珠海学院《概率论与数理统计》历届真题一
北京理工大学数学专业数理统计期末试题（07000233）
北京理⼯⼤学数学专业数理统计期末试题（07000233）课程编号：07000233 北京理⼯⼤学2011-2012学年第⼆学期2010级数理统计期末试题A 卷⼀、设总体()20,X N σ，12,,,m n X X X +是抽⾃总体X 的简单随机样本，求常数c 使得随机变量2221222212mm m m n X X X Y c X X X ++++++=?+++服从F 分布，指出分布的⾃由度并证明。
⼆、设总体()2,X N µσ，其中220σσ=为已知常数，R µ∈为未知参数。
12,,,nX X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本，12,,,n x x x 为相应的样本观测值。
1.求参数µ的矩估计；2.求参数µ和2EX 的极⼤似然估计；3.证明1n i i i X X α='=∑，其中11ni i α==∑和11ni i X X n ==∑都是µ的⽆偏估计；4.⽐较两个⽆偏估计X '和X 的有效性并解释结果。
三、设总体X 服从泊松分布()P λ，123,,X X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本，设假设检验问题011:3;:3H H λλ==的否定域为(){}123,,0.5D X X XX =≤。
1.求该检验问题犯第⼀类错误的概率；2.求该检验问题犯第⼆类错误的概率和在1H 下的功效函数。
四、设总体X 的概率密度函数为()32,0,20,0xx e x f x x θθθ-?>?=??≤?，其中0θ>为未知参数，12,,,n X X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本。
1.验证样本分布族是指数族，并写出其⾃然形式（标准形式）；2.证明()1nii T X X==∑是充分完全（完备）统计量，并求()ET X ；3.利⽤充分完全统计量法和Cramer-Rao 不等式⽅法证明113n i i X n =∑是1θ的⼀致最⼩⽅差⽆偏估计。
《数理统计》测验卷一答案
1 •设随机变量X「X2，…，X10相互独立，且；■ 0，有___________10A. P{P' X i一1 I：：： ;} _1 一丫i 410C. P{P X i -10卜：；} _1 -20 ；'i 4EX i =1 , DX i = 2 ( i = 1,2，…,10 )，则对于任意给定的C10P{| a X i -1 卜：；}乞1 一；'i 410D. P{p' X i -1卜：；}乞1 -20；‘i丄B.A岀现的次数, p是事件A在每次试验中出现的概率，则对于任意，广>0,均有lim P j—-p< ®n_jpc n:2 •设」n是n次重复试验中，事件A. = 0B. = 1 3•设X1, X2,…,X n是来自总体1 n nA—、X i2 B. ' (X j」)2 n i 4 i 1C. 02N (•仁)的样本,D.不存在J为未知参数，则是一个统计量。
D. (X r二)2 t 24. X“X2，…，X n是来自总体的样本，记A.样本矩B.二阶原点矩5 •设总体X在区间［-1,1］上服从均匀分布,1 n—X i的方差D(X) = __________n i 11 nX为样本均值，则 -n -1 TC.二阶中心矩D.统计量X1 , X 2^ , X n为其样本,(X i -X)2则样本均值A. 01B.-31C.—3nD. 3166. X i,X2，…，X i6是来自总体X ~A. t(15)B. t(16) 7•设X「X2，…,X n是来自总体XA. 2(n -1)B. 2(n)2--------------------- 1N(2,二)的一个样本，X X i，则16 yD. N(0,1)n __2 、(X i -X) 丫二丄二2Acr 2 D. N(=) n1n2二乙、(X i -)24X -8C. 2 (15)〜N(亠二2)的样本,C. N(Y2)8 •设总体X〜)，X1, X2/ ,X n为其样本，则A. 2(n -1)B. 2(n)C. t(n _1)，其中X为样本均值，则服从分布9 •设总体X ~ N(」F2),X1,X2，…,X n为其样本，D.t (n)1 nX X in i彳B1n二丄7 (X i _x)2，则n u丫二n - 1(X -)服从的分布是S nA. (n -1)B. N(0,1)C. t(n -1)D.t(n)22 210 •设总体X ~ N(0,匚)，匚为已知常数,X i , X 2，…,X n 为其样本,二1^ X i 为样本均值，则服 n i 丄2 从 分布的统计量是 ,(其中 So X - 1 A. SCn C. 1 n 2(X i —X)2 )o n i 41 n 2、(X i -X) CT i 4 11 •若X i ,X 2，…，X n 是来自总体N(0,1)的一个样本，则统计量 n D” i 二 X a 2 (X i -X)2 X ； (n-1)X 12D. F(n,1) X ；A. 2(n -1)B. 2(n) 12 •两种水稻的亩产量分别为 X 与丫，(X 1,X 2，…，X n )、(丫1,丫2,…，Y n )为分别来自总体 X 、丫的样本, 且 E(X)二丄1 , D(X)=G 2, E(Y)^2, D(Y)=/ , CA.叫乞込 13 •矩估计必然是A.无偏估计C. F(n _1,1) 当条件 满足时，品种X 不次于品种Y 。
北理珠《概率论与数理统计》模拟试卷2
..
8．已知 P ( AB ) 0.72, P ( A) 0.8, 则 P ( B | A) ____________ .
二、解答下列各题（第 1 题 6 分，第 2、3 题各 7 分，第 4 题 10 分，共 30 分） 【得分： 】
.
.
5. 设随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x)
ax, 0 x 2 ，则 a others 0,
6. 设随机变量 X 与 Y 独立， DX 1, DY 2, 则 D( X 2Y ) ____________ .
X 的概率密度函数为 f X ( x), Y 的概率密度函数为 fY ( y ), 则 7. 设随机变量 X 与 Y 独立，
fY ( y ) 。
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2. 设 X 1 , , X n 是来自总体 X 的样本，且 X 的概率密度为
e x , x 0 ，其中未知参数λ>0. f ( x; ) x0 0,
(1) 求参数λ的矩估计量； （2）求参数λ的最大似然估计量。
1 t2 附表 1：标准正态分布函数表（部分）, ( x) e dt 2 x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948
x
2
0.07 0.8577 0.9808 0.9949
《概率论与数理统计》期末试卷(A)
第1页 共3页北京理工大学珠海学院2013 ～ 2014学年第二学期《概率论与数理统计》期末试卷（A ）1.箱中有5个白球3个红球，任取2个，则两个都是红球的概率为（ ） A.15/28 B.13/28 C.5/28 D.3/282.设),(~2σμN X ，则随σ增加，概率(||)P X μσ-<（ ）A.单调增加B.单调减少C.保持不变D.与错误!未找到引用源。
μ有关3.设总体),(~2σμN X ，错误!未找到引用源。
是总体X 的样本，则以下μ错误!未找到引用源。
的无偏估计中， 最有效的估计量是（ ）. A.12X X - B.321613221X X X -+ C.错误!未找到引用源。
D.321515452X X X -+ 4.设8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互斥，则=)(B P 5.设随机变量X 在（1,6）服从均匀分布，则=<<)42(X P 6.若总体),(~2σμN X ，其中2σ未知，则对总体均值μ进行区间估计时选择的枢轴量为1.分别为20%、（1（22.设随机变量X （1）求)(X E ；3.设随机变量X （1）求常数c ；1. 求（1）X (2))1(22≤+Y X P2.（1）求错误!（2）判断错误!……………………………………………装………………………………订…………………………线………………………………………………………此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写 此处不能书写3.设总体X 的概率密度为错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
,n X X X ,,,21 是总体X 的样本，求未知参数θ的最大似然估计量.4.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布)108.0,55.4(2N ，现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37。
对于0.05α=，01: 4.55,: 4.55H H μμ=≠，试检验总体均值有无变化？ 李琳、许其州（0.050.0250.050.0251.645, 1.96,(5) 2.02,(5) 2.57z z t t ====）四、解答题（每小题6分，共12分）【得分： 】 1.设随机变量)25,1(~N X ，)16,2(~N Y ，4.0-=XY ρ，求 （1）),cov(Y X ；（2）)(Y X D +.2.某高校图书馆阅览室共有1332个座位，该校共有14400名学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去自习的概率为10%.试用中心极限定理计算阅览室晚上座位不够用的概率？（9987.0)3(,8413.0)1(=Φ=Φ错误!未找到引用源。
大学概率论与数理统计习题及参考答案
十一、两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个 邮筒内只有一封信的概率. 解: 设事件 A 表示“前两个邮筒内没有信”，设事件 B 表示“及第一个邮筒 内只有一封信”，则
22 P ( A) 2 0.25; 4 1 1 C2 C3 P( B) 0.375. 2 4
解
P A B P( A) P( B) P( AB)
P A B P( A) P( B)
AB A ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B) P ( A) P ( B)
3 2 1 C3 C3 C9 27 1 ; 则 P B 0 3 P B1 ; 3 220 C 12 220 C 12 1 2 3 C3 C9 C9 108 84 P B 2 ; P B . 3 3 3 220 C 12 C 12 220
设 A 表示事件“第二次取到的都是新球”,
解: 设事件 A 表示“最强的两队被分在不同的组内”，则
10 基本事件总数为： C 20 9 1 事件 A 含基本事件数为： C 18 C2
9 1 C 18 C2 P A 0.5263. 10 C 20
或
P A 1 P A
8 2C 18 C 22 1 10 C 20
解法1设事件a表示报警系统a有效事件b表示报警系统b有效由已知0862093092006808508006893从而所求概率为解法20012015080988001211三为防止意外在矿内同时设有两种报警系统a与b每种系统单独使用时效的概率系统a为092系统b为093在a失灵的条件下b有效的概率为0851发生意外时这两个报警系统至少有一个有效的概率
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
北京理工大学珠海学院《概率论与数理统计》历届真题一
解：A 和 B 相互独立 P（AB）=P(A)P(B)=0.42 该 电 路 并 联 ， 所 以 线 路 正 常 工 作 的 概 率 P(AUB)=P （ A ） +P(B)-P(AB)=0.6+0.7-0.42=0.88
3、甲乙两名战士，据以往练习记录的总结，他们打靶命中环数 X，Y 的分 布列如下： X P 6 7 8 9 0.2 0.2 0.2 0.2 10 0.2
个样本，得数据如下：1050，1250，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150， 1150，求参数 的极大似然估计。 三、综合应用题（每小题 7 分，共 28 分） 1、一种称之为酶连接免疫吸附测定的血液试验被用来诊断艾滋病，假设艾 滋病病毒携带者经试验结果为阳性的概率 90%，非艾滋病病毒携带者的健康人 经试验结果为阴性的概率 93%， 在美国据估计大约每 1000 人中有一人是艾滋病 病毒携带者， 现进行普查若有一人经此血液试验结果呈阳性， 问这人确为艾滋病 病毒携带者的概率是多少？ 2、设线路由 A、B 两元件并联组成（如图） ，且各元件独立工作，A 正常工 作的概率为 0.6，B 正常工作的概率为 0.7，求该线路正常工作的概率。
1
。 。
7、设连续型随机变量 X 的密度为 f ( x ) ，则 P (a X b ) =
8 、 设 ( x1 , x 2 , , x n ) 是 取 自 总 体 X 的 样 本 ， 则 总 体 期 望 的 矩 估 计 量 为 。 9、若 ~ N (0,1) ， ~ 2 ( n) ，且相互独立，则统计量 f 分布。 10、设总体 X 服从正态分布 N ( , 2 ) ， 2 未知，随机抽样得到样本方差为
S 2 ，若要对 进行检验，则采用
概率论与数理统计试题与答案完整版
概率论与数理统计试题与答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分）1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。
2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若95)1(=≥X p ，则=≥)1(Y p 。
3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。
4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。
5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本，则统计量∑==n1i i X Y 服从分布。
6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。
（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分）1、 若A 与自身独立，则（ ）(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<<A P ； (D) 0)(=A P 或1)(=A P2、下列数列中，是概率分布的是（ ）(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ； (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=-(C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）。
(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误．．的是（ ）。
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《概率论与数理统计》检测题一
（考试时间：90分钟）
姓名 班级 分数
一、填空题（每小题3分，共30分）
1、设C B A ,,为三事件，则事件“C B A ,,同时发生”应表示为： ABC 。
2、若B A ,互斥，则=AB 0。
3、在n 重贝努利概型中，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则A 恰
好发生k 次的概率为P(K)=)....2.1.0(n k q p c k n k k n =⨯⨯
- 4、某时间段内光顾某商店的顾客数ξ应服从 正态 分布。
5、设某地区人群的身高服从正态分布)5,173(2N ，则该地区人群的平均身高为 175 。
6、设连续型随机变量ξ的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1 || , 0
1|| , 1)(2x x x A x f ，则=A
1 。
7、设连续型随机变量X 的密度为)(x f ，则)(b X a P <<= 。
8、设),,,(21n x x x 是取自总体X 的样本，则总体期望的矩估计量为 。
9、若)1,0(~N ξ，)(~2n χη，且相互独立，则统计量n
f /ηξ=服从 分布。
10、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，2σ未知，随机抽样得到样本方差为2S ，若要对μ进行检验，则采用 t 检验法。
二、计算题（每小题7分，共42分）
1、设有两个事件A ，B 的概率)(A P ＝0.5，)(B P =0.6，)(AB P ＝0.3，求A ，
B 至少有一个发生的概率。
解：一个
都不发生的概率
P=8.02.012.04.05.0=-==⨯P 至少有一个发生的概率
2、甲乙两射手各自对目标进行一次射击，已知甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，求“两人都命中目标”的概率。
解：p(AB)=0.5*0.6=0.3
3、设随机变量X 服从=λ10的普阿松分布，求“1≥X ”的概率。
4、设连续型随机变量X 的密度为⎪⎩
⎪⎨⎧-∈-=其他,0]1 , 1[,11)(2
x x x πφ，求EX 。
5、设总体X 的分布密度为⎩⎨⎧<≥=-0
,00,)(x x e x x θθφ，（0>θ），今从X 中抽取10
个样本，得数据如下：1050，1250，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150，1150，求参数θ的极大似然估计。
三、综合应用题（每小题7分，共28分）
1、一种称之为酶连接免疫吸附测定的血液试验被用来诊断艾滋病，假设艾滋病病毒携带者经试验结果为阳性的概率90%，非艾滋病病毒携带者的健康人经试验结果为阴性的概率93%，在美国据估计大约每1000人中有一人是艾滋病病毒携带者，现进行普查若有一人经此血液试验结果呈阳性，问这人确为艾滋病病毒携带者的概率是多少？
2、设线路由A 、B 两元件并联组成（如图），且各元件独立工作，A 正常工作的概率为0.6，B 正常工作的概率为0.7，求该线路正常工作的概率。
解：A 和B 相互独立 P （AB ）
该电路并联，所以线路正常工作的概率P(AUB)=P （A ）+P(B)-P(AB)=0.6+0.7-0.42=0.88
3、甲乙两名战士，据以往练习记录的总结，他们打靶命中环数X ，Y 的分布列如下：
问哪一名战士的射击技术稳定？
4、某厂生产的一批零件，其长度),(~2σμN X ，现从这批零件中随机抽取16个，测得样本均值与方差为22017.0,125.2==s x ，求μ的置信区间。
（显著性水平05.0=α）
5、已知某型号的柴油发动机，使用柴油每升的运转时间服从正态分布，现测试装配好的6台的运转时间分别为28，27，31，29，30，27（分钟），按设计要求，平均每升运转应在30分钟，根据测试结果，在显著水平为0.05下，能否说明这些发动机是符合设计要求的？。